Aula 4 - DE/UFPB

UNIVERSIDADE FEDERAL
DA PARAÍBA
MEDIDAS
DESCRITIVAS
Departamento de Estatística
Tarciana Liberal
 Vimos
que é possível sintetizar os dados sob a
forma de distribuições de freqüências e gráficos.
 Pode
ser de interesse apresentar esses dados
através de medidas descritivas que sintetizam as
características da distribuição.
 Para
representar um conjunto de dados de forma
condensada utilizaremos algumas medidas de
posição e de dispersão.
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MÉDIA
Média Aritmética Simples: É a soma das observações
dividida pelo número de observações. Em geral é a medida
de tendência central mais comum para um conjunto de
dados e é denotada por µ ou X
a)
Para dados não agrupados: Sejam X1,X2, . . . ,XN, um conjunto de
valores da variável X. Temos então que a média aritmética de X é
dada por:
Na prática não conhecemos toda a população. Logo, utilizamos a
média amostral,dada por:
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MÉDIA
b) Para dados agrupados: Uma vez que os valores da variável estão
agrupados em tabelas de freqüências, temos que
onde k é o número de classes. No caso de distribuição de frequências por
classes, Xi, para i = 1, . . . , k são os respectivos pontos médios das
classes.
EXEMPLO: Determinar a média aritmética dos pesos de
5 alunos da turma.
 PROPRIEDADES
DA MÉDIA ARITMÉTICA

 i)
A soma algébrica dos desvios de um conjunto
de números em relação a média aritmética é
zero.

 ii)
Quando somamos ou subtraímos uma
constante aos valores de uma variável, a média
fica aumentada ou diminuída dessa constante.

 iii)
Quando multiplicamos ou dividimos todos os
valores de uma variável por uma constante, a
média fica multiplicada ou dividida por essa
constante.




PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
IMPORTANTE: Quando um conjunto de dados contém
valores extremos não é aconselhável o uso da média para
representação dos dados.
EXEMPLO: A partir da distribuição de renda calcule a
renda média dos Engenheiros de Produção em uma
Empresa.


2500 3300 5500 2700 4200 6000 3000 4800 7000
3200 5000 80000
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MEDIANA
Mediana: Ocupa a posição central de uma série de
observações ordenadas, ou seja, é o valor que divide os
dados em duas partes iguais. É denotada por Me.
a)
Para dados não agrupados:
Caso 1: “n” ímpar: A mediana será o elemento central de
ordem (n+1)/2;
Caso 2: “n” par: A mediana será a média entre os elementos
de ordens n/2 e (n/2)+1
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MEDIANA
b) Para dados agrupados por valor:
É necessário construir a freqüência acumulada para encontrar o
elemento mediano através da sua ordem
c) Para dados agrupados por classes:
1º Passo: Calcula-se a ordem do elemento central (n/2).
2º Passo: Pela freqüência acumulada identifica-se a classe que contém a
mediana.
3º Passo: Utiliza-se a fórmula
Onde:
lme é o limite inferior da classe mediana;
n é o tamanho da amostra;
FANT é a soma das freqüências anteriores à classe mediana;
hme é a amplitude da classe mediana;
fme é a freqüência da classe mediana.
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MEDIANA




A mediana não é sensível a valores extremos de um
conjunto de dados.
Pode ser calculada para dados agrupados em classes
extremas indefinidas.
EXEMPLO: Obtenha o peso mediano dos 5 alunos
observados. Depois obtenha mais uma observação para a
sua amostra e calcule novamente o peso mediano.
EXEMPLO: A partir da distribuição de renda calcule a
renda mediana. Compare com o valor obtido para a
média.
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MODA
Moda: É o valor (valores) mais freqüente na
distribuição de valores, e será denotado por
MO.
a)
Para dados não agrupados ou agrupados por valor:
1. Se nenhum dado se repete, dizemos que não há moda, ou seja, a
distribuição é amodal;
2. Se dois valores ocorrem com a mesma freqüência, dizemos que a
distribuição é bimodal;
3. Se mais de dois valores ocorrem com a mesma freqüência, dizemos
que a distribuição é multimodal.
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MODA
b) Para dados agrupados em classes
1º Passo: Identifica-se a classe modal.
2º Passo: Uma forma de obtenção da moda é dada pela fórmula
de Czuber:
onde:
lmo é o limite inferior da classe modal;
Δ1 é a diferença entre a freqüência da classe modal e a classe
anterior;
Δ2 é a diferença entre a freqüência da classe modal e a classe
posterior;
hmo é a amplitude da classe que contém a moda;
 Exemplo: De acordo com informações obtidas de uma multinacional, o
salário dos funcionários que possuem curso superior são: R$ 2500,00 –
3200,00 – 1800,00 – 1600,00 – 1900,00 – 2100,00 – 2500,00 – 2000,00 –
4500,00 – 4900,00 – 1500,00 – 3300,00 – 2500,00. Baseado nas
informações da empresa determine:
a)
Qual o salário médio dos funcionários que possuem curso superior?
b)
Qual o salário mais freqüente?
c)
Qual o salário abaixo do qual ficaram 50% dos funcionários?
RELAÇÕES ENTRE MÉDIA, MEDIANA E
MODA
 Média = mediana = moda -> distribuição simétrica

Média > Mediana > Moda -> distribuição assimétrica positiva

Média < Mediana < Moda -> distribuição assimétrica negativa

IMPORTANTE: A média é uma medida de tendência central
adequada quando se supões que os valores têm uma distribuição
razoavelmente simétrica..
EXERCÍCIOS
1) Calcule a média, mediana e moda dos seguintes dados.
Interprete os resultados.
a)
Erros cometidos por um estagiário.
Qual medida você escolheria para apresentar ao
seu chefe se você fosse o estagiário?
a)
b)
Gastos com reparos em máquinas.
O que você pode concluir?
a)
Notas da turma 03 de CPE I.
EXERCÍCIOS





2) Após um levantamento do número de faltas dos alunos um
professor obteve uma média de 3 faltas. Contudo seu filho
brincando apagou a freqüência de uma das classes dos valores
obtidos. Obtenha esta freqüência que está faltando.
No Faltas
0
2
3
Frequência
2
16
8
4
6
4
3) Calcule a medida de tendência central mais recomendável
para os valores amostrais dados a seguir (JUSTIFIQUE):
1 33 35 37 39 39 40 40 41 42 42 43 43 43 44 759
4) Um professor para ajudar uma turma com média 5,2 na
primeira prova resolveu dar a cada aluno 0,8 décimos de
acréscimo por participação na aula. Qual será agora a nota
média da turma?