(Lista 6 - Sistema de Partículas)

Lista 6: Sistema de Partículas
Lista 6: Sistema de Partículas
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Importante:
i.
ii.
Nas cinco páginas seguintes contém problemas para se resolver e entregar.
Ler os enunciados com atenção.
iii.Responder
esponder a questão de forma organizada, mostrando o seu raciocínio de forma coerente.
iv.Analisar
Analisar a resposta respondendo: ela faz sentido? Isso lhe ajudará a encontrar erros!
1. Considere três partículas, m1 = 1 kg; m2 = 2 kg e m3 = 3 kg distribuídas no plano
XY. As forças externas aplicadas em cada partícula são:
são
3
√
1 ̂
3
√
̂;
3̂;
3
√
̂
3
√
̂
em Newton e no instante inicial v1 = 0; v2 = 0 e v3 = 3i em m/s.
a) O momento linear do sistema se conserva? (Para responder, encontre o vetor
força externa resultante.)
b) Calcule o vetor posição do centro de massa das três partículas em t=0.
c) Calcule o vetor velocidade do centro de massa
mas em t=0.
d) Qual o vetor velocidade vCM num tempo posterior?
e) Para confirmar a resposta do item (d) calcule em t=1s os dois itens a seguir:
e1) as novas velocidades v1; v2 e v3 ;
e2) calcule a velocidade vCM utilizando a expressão escrita em termos das velocidades das partículas.
f) Se a velocidade inicial da partícula m3 for v3 = 0, quais são os vetores posições do centro de massa em
t=0 e em t>0?
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2. Um homem de 80 kg está sobre um carrinho de 40 kg que rola sobre um piso horizontal, à velocidade
escalar de 2,0 m/s. Num certo instante, o homem pula fora do carrinho, de modo que a sua velocidade,
relativa ao solo, seja de 1,0 m/s, na direção oposta à do movimento do carrinho.
a) Qual é a velocidade escalar do centro de massa do sistema homem-carrinho, antes e depois do pulo?
b) Qual a velocidade escalar do carrinho depois de o homem ter pulado?
c) Qual é a velocidade escalar do centro de massa (CM) do sistema depois de o homem ter atingido o solo
e ficado em repouso?
d) Qual é a força responsável pela modificação da vCM?
e) Qual é a energia dissipada no pulo do homem?
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3. Uma bomba é lançada de uma arma com velocidade inicial de 466 m/s, num ângulo de 57,4° acima da
horizontal. No topo da trajetória, a bomba explode em dois fragmentos de partes iguais. Um dos
fragmentos, cuja velocidade imediatamente depois da explosão é nula, cai verticalmente. Suponha que o
terreno é nivelado e despreze a resistência do ar.
a) Qual é a trajetória do centro de massa antes e depois da explosão? Esboça a trajetória dos 2
fragmentos e do centro de massa.
b) Qual é o vetor velocidade do segundo fragmento logo depois da explosão?
c) A que distância da arma cai o segundo fragmento?
d) Qual intervalo de tempo entre os fragmentos tocarem o solo?
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4. Uma criança de 40 Kg está parada numa extremidade de um barco em repouso. A massa do barco é 70,0
Kg e seu comprimento e 4,0 m. O barco inicialmente está a 3,0 m da margem. Na tentativa de chegar à
margem a criança se desloca até a outra extremidade do barco com a velocidade de 0,5 m/s em relação ao
barco. O atrito entre o barco e a água é desprezível.
a) Durante o deslocamento da criança quais grandezas do sistema {criança+barco} se conservam? O
momento linear? A energia mecânica? A energia total? Explique!
b) O centro de massa se move durante o deslocamento? Explique!
c) Qual a velocidade do barco em relação à margem durante o deslocamento da criança?
d) Quando a criança pára na outra extremidade do barco qual sua distância à margem? Ela conseguiu se
aproximar da margem?
e) Se a criança se movesse com uma velocidade maior, ela conseguiria se aproximar mais da margem?
Explique?
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5. Um garoto de massa igual a 40,0 kg sobe, num carrinho de 10,0 kg que está num piso nivelado, com dois
tijolos de 5,0 kg cada um. O garoto lança os tijolos, um de cada vez, horizontalmente para trás, com uma
velocidade escalar de 7,0 m/s em relação ao carrinho.
a) Qual a velocidade do sistema depois do lançamento do segundo tijolo?
b) Qual seria a sua velocidade se lançasse os dois tijolos simultaneamente, com a mesma velocidade de
7,0 m/s em relação ao carrinho?
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Questões:
(A) Dizem que quando um atleta de salto com vara salta e ultrapassa a barra o seu centro de massa
realmente passa sob a barra. Isto é possível?
(B) Um barco à vela pode ser propelido pelo ar soprado por um ventilador preso no próprio barco? Explique
a sua resposta.
(C) Suponha que você agarre uma bola de tênis e a seguir seja convidado a agarrar uma bola de boliche que
possui o mesmo momento linear ou a mesma energia cinética da bola de tênis. O que você escolheria?
Explique.
(D) Um passarinho está em uma gaiola de arame, presa numa balança de mola. A leitura da balança, quando
o passarinho está voando é superior, inferior ou igual a leitura quando ele pousa na gaiola.
(E) Uma metralhadora dispara sobre uma placa de aço. A força média oriunda do impacto da bala quando a
bala é refletida é maior ou menor do que a força quando a bala se amassa e fica colada na placa?
Explique.
Exercícios e Problemas
1. Em um dado instante, o centro de massa de um sistema de duas partículas está localizado sobre o eixo
(Ox) no ponto x = 2,0 m e possui velocidade igual a 5,0 i (m/s). Uma das partículas está sobre a origem.
A outra partícula possui massa de 0,10 kg e está em repouso sobre o eixo (0x) no ponto x = 8,0m.
a) Qual é a massa da partícula que está sobre a origem?
b) Calcule o momento linear total do sistema.
c) Qual é a velocidade da partícula que está sobre a origem?
2. Uma bomba de massa m = 10,0 kg que repousava sobre uma superfície horizontal explode se dividindo
em três partes, de massas mA = 5,0 kg, mB = 3,0 kg e mC = 2,0 kg. Sabendo que após a explosão a massa
A tem velocidade de módulo 10,0 m/s e coincide com a direção e sentido do semi-eixo x positivo, e que a
parte B tem velocidade de módulo 5,0 m/s que forma um ângulo de 140º com o mesmo semi-eixo.
a) Determine o módulo da velocidade da massa C e o ângulo que determina com o mesmo semi-eixo.
b) Calcule a variação de energia do sistema.
c) Quem forneceu a diferença de energia?
3. Um canhão está preso a uma carreta que pode mover-se ao
longo de trilhos horizontais, mas está ligado a um suporte fixo
por uma mola de constante elástica k = 2,0 104 N/m. Com a
mola relaxada, o canhão dispara um projétil de 200 kg à
velocidade de 125 m/s em relação à Terra, a 45º acima da
linha do horizonte. A massa do canhão mais a carreta é de
5000 kg.
a) Determine a velocidade de recuo do canhão
imediatamente após o disparo.
b) Determine o alongamento máximo da mola.
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c) Considere o sistema composto por canhão, carreta e projétil. O momento linear desse sistema é
conservado durante o disparo? Justifique a sua resposta.
4. Carlos e Maria estão patinando juntos com velocidade 3,0 m/s sobre uma pista de gelo. Carlos pergunta a
Maria quanto ela pesa. Aborrecida pela pergunta, Maria empurra Carlos de modo que ela acelera até
atingir 4,0 m/s e Carlos diminui sua velocidade para 2,25 m/s, no mesmo sentido. Não existe, idealmente,
força de atrito.
a) Se o peso de Carlos for 700,0 N, determine o peso de Maria.
b) Consideremos agora que após o incidente, existe atrito cinético cujo coeficiente de atrito é µc = 0,3
entre os patinadores e o gelo. Que distância cada um percorre antes de parar?
5. Um homem de massa m segura-se numa escada sem massa que pende de um balão de massa M. O balão
esta estacionário em relação ao solo.
a) Qual é a velocidade do centro de massa do sistema {balão+homem} em relação ao solo.
b) Se o homem começar a subir a escada com velocidade v’ em relação à escada, em qual direção e a
que velocidade o balão se moverá em relação ao solo?
c) Qual seria a nova velocidade do centro de massa do sistema (balão+homem) em relação ao solo?
6. Paulo e José estão em pé sobre um engradado em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito de
uma pista de patinação de gelo. A massa do Paulo é igual a 75,0 kg. José possui massa de 45,0 kg e o
engradado possui massa de 15,0 kg. Eles se lembram de que deveriam pegar um balde de água e pulam
horizontalmente para fora do engradado. Em cada pulo, cada pessoa se afasta do engradado com
velocidade de 4,00 m/s em relação ao engradado.
a) O momento linear e a energia do sistema dos rapazes e engradado se conservam? Explicar.
b) Qual é a velocidade do centro de massa do sistema?
c) Qual é a velocidade final do engradado se Paulo pula primeiro e a seguir, alguns segundos depois,
José pula na mesma direção e no mesmo sentido?
7. Uma jovem de 45,0 kg está em pé sobre uma canoa de 60,0 kg e
comprimento igual a 5,0 m. Ela caminha 3,0 m, a partir de um
ponto situado a 1,0 m de uma das extremidades da canoa,
atingindo a outra extremidade da canoa (conforme mostrado na
figura). Desprezando a resistência da água ao movimento da
canoa, qual a distância que a canoa se move nesse processo?
8. Um corpo de massa m cai livremente, sob a ação da gravidade, de uma posição P, a uma altura h em
relação ao chão. No mesmo momento em que ele começa a cair, outro de igual massa, numa posição O,
na mesma altura h e a uma distância d do primeiro, é atirado com velocidade v0 contra ele. Considerandose t=0 no instante inicial, no instante t1 eles se chocam e permanecem grudados e no instante t2 o
conjunto cai no chão. Determine:
a) a posição e a velocidade iniciais do centro de massa;
b) a aceleração do centro de massa;
c) os tempos t1 e t2;
d) a posição em que o conjunto atingirá o solo.
Obs. Escolha O como origem de coordenadas, eixo x apontando de O para P, e o eixo y na vertical
apontando para baixo.
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9. Duas partículas P e Q estão inicialmente em repouso, separadas de 1,64 m. P tem massa de 1,43 kg e Q
de 4,29 kg; P e Q atraem-se com a força constante de 1,79 x 10-2 N. Nenhuma força externa atua no
sistema.
a) Descreva o movimento do centro de massa;
b) A que distância da posição original de P as partículas irão colidir?
10. Um barco em repouso explode, partindo-se em três pedaços. Dois deles, um tendo o dobro da massa do
outro, têm velocidades perpendiculares entre si e módulo comum igual a 31,4m/s. A massa do terceiro
pedaço é o triplo da massa do mais leve de todos. Determine o módulo e a direção de sua velocidade
imediatamente depois da explosão.
Respostas:
1) a) 0,30 kg; b) 2,0 i (kg.m/s);c) 6,7 i (m/s).
2) a) vC = 19,8 m/s e θ = 194º, b) 680J, c) combustão
3) a) -3,54 m/s, b) 1,77 m
4) a) PM = 525N, b) xC = 0,86 m e xM = 2,72 m
5) a) 0, b) –m/(m+M) v´, c) 0
6) a) p se conserva; E não se conserva, b) 0, c) 5,22 m/s
7) d = 1,29 m
8) a) rcm(0) = d/2 i; vcm(0) = v0/2 i; b) -g j; c) t1=d/v0, t2=√2h/g; d) rf= {v √(2gh)/2 + d/2) i – h j}
9) v3=23,4 m/s, θ=26,6º
10) v3 = 23,4 m/s, 26,6º
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