setor 1102

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Aula 20
PRINCÍPIOS BÁSICOS DA CONTAGEM
2 — REVISÃO
1 — PRINCÍPIOS BÁSICOS DA CONTAGEM
Seja, por exemplo, uma lanchonete que vende três tipos de
refrigerantes e dois tipos de cerveja. Pergunta-se:
a) Quantas são as opções para quem escolher uma bebida?
b) Quantas são as opções para quem quer tomar um refrigerante
e depois uma cerveja?
SISTEMA DECIMAL
a) O sistema de numeração decimal utiliza os algarismos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
b) Os algarismos pares são:
0, 2, 4, 6, 8
c) Os algarismos ímpares são:
1, 3, 5, 7, 9
d) Considerando, por exemplo, o número 7465382, temos:
Vamos então indicar o conjunto dos tipos de refrigerantes
por
R = {r1, r2, r3}
e dos tipos de cervejas por
7
4
6
5
3
8
2
unidade
dezenas
centenas
unidades de milhar
dezenas de milhar
centenas de milhar
unidades de milhão
C = {c1, c2}
Então:
a) Escolher uma bebida significa tomar um elemento de R ou
de C; logo existem 5 opções.
...
b) As duas bebidas estarão escolhidas citando um par de elementos, sendo o primeiro do conjunto R e o segundo do conjunto C.
Observação:
O número 482 tem 3 algarismos, enquanto o número 085
tem 2 algarismos.
Assim:
DIVISIBILIDADE
C
R
c1
c2
r1
(r1, c1)
(r1, c2)
r2
(r2, c1)
(r2, c2)
r3
(r3, c1)
(r3, c2)
Um número é divisível por
a) 2 quando é par, ou seja quando termina com algarismo par.
Exemplos: 574 e 390
b) 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3.
Exemplo: 258, pois:
2 + 5 + 8 = 15 (15 é divisível por 3)
c) 4 quando o número formado pelos dois últimos algarismos
da direita for divisível por 4.
Logo, existem 6 opções.
Exemplos:
Generalizando:
Sendo A um conjunto com n elementos e B um conjunto
com k elementos, com A e B disjuntos, valem os seguintes
princípios:
100 e 324
divisível por 4
d) 5 quando termina com zero ou 5.
Exemplos: 730 e 845
Aditivos: Para a escolha de um elemento de A ou de um
elemento de B existem m + k possibilidades.
e) 6 quando é divisível por 2 e 3.
Exemplo: 258
Multiplicativo: Para a escolha de um elemento de A e um
elemento de B numa certa ordem, existem m ⋅ k possibilidades.
f) por 10 quando termina com zero.
Exemplo: 280
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15
ANGLO VESTIBULARES
4. Quantos são os números naturais de três algarismos distintos
que existem no nosso sistema de numeração?
a) 648
b) 900
c) 720
d) 729
e) 889
NÚMERO PRIMO
Um número natural p é primo se, e somente se, ele possui
dois, e apenas dois divisores distintos: 1 e p.
Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11 e 13
Nota: o número 1 não é primo.
Exercícios
1. Se uma sala tem 5 portas, qual o número de maneiras distintas de se entrar nela e sair dela por uma porta diferente?
9
entrar e sair
↓
5
⋅
⋅ 9 ⋅ 8 = 648
↓
4
= 20 modos
2. Uma placa de automóvel é formada por 3 letras e 4 algarismos. Quantas placas podem ser formadas com as letras
A, B e C, de modo que tenham as 3 letras distintas?
a) 270 000
b) 60 000
c) 54 000
d) 243 000
e) 100 000
3
⋅ 2 ⋅ 1
10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 60000
3. Quantos são os números naturais de três algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 e 9?
a) 729
b) 504
c) 512
d) 336
e) 900
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
Tarefa Mínima
9
•
•
•
⋅ 8 ⋅ 7 = 504
Leia os itens 1 a 4, cap. 9.
Leia os exemplos 1 a 7, cap. 9.
Resolva os exercícios 1 a 4, série 7.
Tarefa Complementar
•
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16
Resolva os exercícios 5 a 7, série 7.
ANGLO VESTIBULARES
Aula 21
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM
2. Quantos números naturais maiores que 3000, pares e de 4 algarismos distintos, podem ser formados com os algarismos
1, 2, 3, 4 e 5?
a) 15
b) 18
c) 30
d) 25
e) 36
Exercícios
1. Quantos números naturais se pode escrever com os algarismos ímpares sem os repetir, que estejam compreendidos
entre 200 e 1500?
a) 48
b) 60
c) 54
d) 26
e) 42
Temos restrição na 1 ª- e na 4 ª- casa. Fixando na 4 ª- ,
temos:
Algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9
Devemos ter:
• números de 3 algarismos distintos maiores que 200.
ou
• números de 4 algarismos distintos menores que 1500.
Assim:
3
ou 4
ou 5
2
3 ⋅ 3 ⋅ 2
ou
3
ou
5
ou
7
ou
9
3
5
4
2 ⋅ 3 ⋅ 2
4 ⋅ 4 ⋅ 3
= 18
ou
= 12
Assim, 18 + 12 = 30.
= 48
ou
1
3
3 ⋅ 2
= 6
Assim, 48 + 6 = 54.
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
Tarefa Mínima
•
Resolva os exercícios 8 a 11, série 7.
Tarefa Complementar
•
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Resolva os exercícios 12 a 14, série 7.
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Aula 22
FATORIAL — FÓRMULA DOS ARRANJOS SIMPLES
1. FATORIAL
Exercícios
DEFINIÇÕES
1. Sendo n 1 e inteiro, assinale verdadeiro (V) ou falso (F):
D1) Sendo n ∈ IN, n 2:
a)
b)
c)
d)
e)
n! = n ⋅ (n – 1) (n – 2) ⋅ . . . ⋅ 2 ⋅ 1 (lê-se ene fatorial)
D2) 1! = 1
D3) 0! = 1
3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6
4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24
Exemplos:
(F )
(V )
(V )
(V )
(V )
n! + n! = (2n)!
n! + n! = 2n!
n! = n ⋅ (n – 1)!
(n + 1)! = (n + 1) ⋅ n!
(n + 1)! = (n + 1) ⋅ n ⋅ (n – 1)!
Entre a e b, temos:
n! + n! = n! (1 + 1) = 2 ⋅ n!
Conseqüência:
n! = n ⋅ (n – 1)!, n 1
2. Simplificando E =
Assim: 4! = 4 ⋅ 3!
a)
b)
c)
d)
e)
2. ARRANJOS SIMPLES
DEFINIÇÃO
Seja I = {a1, a2, a3, . . . , an} um conjunto com n elementos (n ∈ IN). Chama-se arranjo simples dos n elementos de I,
tomados p a p, a qualquer seqüência de p elementos distintos
escolhidos entre os elementos de I.
Indica-se o nº desses arranjos por An, p.
E=
50! (1 + 51)
50!
E = 52
(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)
1444444244444443
seis arranjos
3. O produto 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 … ⋅ 20 é igual a:
a) 20 ⋅ 10!
Assim temos: A3, 2 = 6
20!
2
c) 210 ⋅ 10!
b)
Como os agrupamentos são seqüências eles diferem entre si:
• pela ordem dentro do agrupamento:
20!
10
e) 20! – 10!
d)
(1, 2) ≠ (2, 1)
• pelos elementos componentes:
(1, 2) ≠ (1, 3)
P = (2 ⋅ 1) ⋅ (2 ⋅ 2) ⋅ (2 ⋅ 3) ..... (2 ⋅ 10)
A quantidade de arranjos simples é:
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50
51
52
1
2
E = 50! + 51 ⋅ 50!
50!
Exemplo:
Sendo I = {1, 2, 3}, temos os seguintes arranjos dos elementos de I, também 2 a 2:
A n, p =
50! + 51!
, obtemos:
50!
P = 210 ⋅ (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ..... 10)
P = 210 ⋅ 10!
n!
(n – p)!
18
ANGLO VESTIBULARES
4. Resolver a equação Ax, 3 = 3Ax, 2.
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
x!
x!
∴
=3⋅
(x – 3)!
(x – 2)!
Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
(x – 2)! = 3
(x –3)!
Tarefa Mínima
(x – 2) ⋅ (x – 3)! = 3 ∴ x = 5
(x –3)!
1
1
•
•
•
S = {5}
1
1
Outro modo: x ⋅ (x – 1)(x – 2) = 3 ⋅ x ⋅ (x – 1)
x = 5 (convém)
S = {5}
ALFA-5 85015058
Leia os itens 1, 2 e 3, cap. 10.
Leia os exemplos 1 a 4, cap. 10.
Resolva os exercícios 1 a 5, série 8.
Tarefa Complementar
•
19
Resolva os exercícios 6 a 10, série 8.
ANGLO VESTIBULARES