codificação de cores para resistores de 4 faixas

Eletrônica Digital I
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
ELETRÔNICA DIGITAL
1 SISTEMAS NUMÉRICOS
2 SISTEMA NUMÉRICO BINÁRIO
3 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL
4 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO
4 SISTEMA NUMÉRICO OCTAL (BASE 8)
5 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA DECIMAL
6 CONVERSÃO DIRETA DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO
7 CONVERSÃO DIRETA DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA OCTAL
8 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA OCTAL
9 SISTEMA HEXADECIMAL DE NUMERAÇÃO
10 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA O DECIMAL
11 CONVERSÀO DIRETA DO SISTEMA HEXADECIMALPARA O BINÁRIO
12 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA HEXADECIMAL
13 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA HEXADECIMAL
14 OPERAÇÕES ARITMÉTICAS
15.1 ADIÇÀO
15.2 SUBTRAÇÃO
15.3 MULTIPLICAÇÃO
Atividades 1
15 CIRCUITOS, FUNÇÕES E PORTAS LÓGICAS
16.1
FUNÇÃO E (AND
16.2
FUNÇÃO OU (OR)
16.3
FUNÇÃO NÃO (NOT)
17. TEOREMAS FUNDAMENTAIS DA ÁLGEBRA DE BOOLE
18. TEOREMA DE MORGAN
18.1 PORTA NÃO E OU NE (NAND)
18.2 PORTA NÃO OU (NOR)
19. TEOREMA EXCLUSIVO
19.1 PORTA OU EXCLUSIVA (EXCLUSIVE OR)
19.2 PORTA NÃO OU EXCLUSIVA (EXCLUSIVE NOR)
Atividades 2
20. CONVERSÕES E MAPAS
20.1 TABELA VERDADE OBTIDA DE UMA EXPRESSÃO
20.2 A FORMA CONTRÁRIA (EXPRESSÕES GERADAS POR TABELAS VERDADES)
20.3 CIRCUITOS GERADOS POR EXPRESSÕES LÓGICAS
20.4 EXPRESSÕES LÓGICAS GERADAS POR CIRCUITOS
21. EQUIVALÊNCIA DE BLOCOS LÓGICOS
21.1 CONSEGUINDO INVERSORES
21.2 INVERSOR A PARTIR DA PORTA NÃO OU
21.3 INVERSOR A PARTIR DE UMA PORTA NÃO E
22. OUTRAS EQUIVALENTES
23. PROJETOS DE CIRCUITOS COMBINACIONAIS
Atividades 3
24. SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS COMBINACIONAIS ATRAVÉS DO DIAGRAMA DE VEITCHKARNAUGH
24.1 DIAGRAMA PARA DUAS VARIÁVEIS
2
Eletrônica Digital I
Atividades 4
24.2 DIAGRAMA DE TRÊS VARIÁVEIS
Atividades 5
24.3 DIAGRAMA DE QUATRO VARIÁVEIS
REFERENCIAIS
GABARITO
3
Eletrônica Digital I
MÓDULO III – ELETRÔNICA DIGITAL
1. SISTEMAS NUMÉRICOS
Existem vários sistemas numéricos dentre os quais se destacam: o sistema decimal, o
binário, o octal e hexadecimal.
Os computadores não trabalham com os sistema decimal; o motivo é que teriam que
processar uma quantidade muito grande de variáveis.
O sistema decimal que é utilizado por nós no dia-a-dia é assim chamado porque possui “dez”
símbolos (algarismos, dígitos) com os quais podemos formar qualquer número.
Os dígitos empregados no sistema decimal são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Um número
maior que 9 é representado através de uma convenção que atribui um significado ao lugar ou
posição ocupado pelo dígito dentro do número.
Exemplo: O número 1995.
Este número tem um significado numérico calculado como:
1995= 1 x 103 + 9 x 102 + 9 x 101 + 5 x 10
Observamos que o número é expresso como a soma de potências de dez, que é a base ou
raiz, multiplicados pelo coeficientes (posição que os dígitos se encontram dentro do número).
Do exemplos temos:
1 x 103
(posição)
= 1 x 1000 = 1000
dígito base
9 x 102 (posição) = 9 x 100
+
= 900
dígito base
9 x 101 (posição) = 9 x 10
=
dígito base
5 x 100 (posição) = 5 x 1
dígito base
+
90
+
=
5
1995
Observação:
A posição de um dígito dentro de um número inteiro é contada da direita para a
esquerda, começando pelo zero, que é a posição do dígito menos significativo, indo até a
posição do de maior significado.
4
Eletrônica Digital I
2 SISTEMA NUMÉRICO BINÁRIO
Em sistemas digitais, um sistema numérico com base dois (binário) é especialmente útil
porque utiliza apenas dois dígitos: 0 e 1.
A grande vantagem de se utilizar este sistema consiste no fato de só termos uma
correspondência entre os dígitos (números), 0 e 1, e os dois valores possíveis “verdadeiro” e falso.
Temos que, neste sistema, para representarmos a quantidade zero utilizarmos o algarismo “0”;
para representarmos a quantidade um utilizamos o algarismo “1”.
Para representarmos quantidades maiores que 1, lançamos mão dos mesmos artifícios
utilizados pelo sistema decimal, para representar quantidades maiores que 9.
No sistema decimal nós não possuímos o algarismo “dez” e nós representamos a quantidade
de uma dezena utilizando-nos do algarismo 1 (um) seguido do algarismo 0 (zero). Temos então, que
ao número 1 (um) representa um grupo de dezena e o algarismo 0 (zero) é representado por
nenhuma unidade.
Exemplo:
No sistema binário da mesma forma para representarmos a quantidade dois, utilizamos o
algarismo “1” seguido do algarismo “0”. O algarismo 1 terá peso (valor) de um grupo de 2 (dois)
elementos e o 0 (zero) um grupo de nenhuma unidade.
Exemplo:
Observações:
Daqui por diante, colocaremos como índice do número a base do sistema que estamos
trabalhando.
Este processo de conversão é utilizado para convertermos qualquer número, em qualquer
base, para a base 10.
5
Eletrônica Digital I
Exemplo:
3 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL
Exemplo:
O número (1101)2 corresponde a que número base 10?
1º Passo: Desmembrar os dígitos “zeros” e “uns” e multiplicá-los pela base “2” elevado a posição em
que cada dígito se encontra.
1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20
2º Passo: Executar as operações matemáticas
1 x 8 + 1 x 4 + 0 x2 + 1 x 1
Temos que:
(1101)2 = (13)10
4 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO
Para convertermos um número da base 10 para base 2, se faz n ecessário que dividamos o número
em questão por 2, até que encontremos um quociente menor que 2. Em seguida agrupamos o
último quociente encontrado e os respectivos restos como é mostrado nos exemplos abaixo:
6
Eletrônica Digital I
7
Eletrônica Digital I
Observação:
Para convertermos um número na base 10 para qualquer base (X) devemos agir da seguinte
maneira:
Sistema Numérico Octal (Base 8)
O sistema octal é um sistema que possui 8 dígitos – base 8. Dígitos da base 8: 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6 e 7.
Para a representação de oito unidades neste sistema, agimos da mesma forma que foi
empregada no sistema decimal para representar dez unidades e no binário para representar duas
unidades.
8
Eletrônica Digital I
Temos:
O algarismo um”1” seguido do algarismo zero “0”.
(10)8 = (8)10
1
0
(10) representa oito unidades na base 10.
representa um grupo de 8
representa nenhuma unidade
Observação:
Veremos nos próximos capítulos que esse sistema irá simplificar muito o mapa de memória
de máquinas digitais.
6 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA DECIMAL
Para convertermos um número da base 8 para a base 10 agimos de forma idêntica à
conversão da base 2 (dois) para a base 10 (dez).
Exemplo: (120)8 = (?)10
1º Passo: Desmembra-se o número, multiplicando-se cada dígito pela base 8 elevada a
posição em que o dígito se encontra dentro do número.
1 x 8
2
1
0
+ 2 x 8 + 0x 8
2º Passo: Executa-se as operações matemáticas.
1 x 64 + 2 x 8 + 0 x 1
Temos então: (120)8 = (80)10
7 CONVERSÃO DIRETA DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO
A conversão entre o sistema octal e o sistema binário é uma operação matemática
bastante s imples como é mostrado no exemplo abaixo:
Exemplo:
(35)8 = (?)2
1º Passo: Desmembra-se o número em dois algarismos.
3 e 5
9
Eletrônica Digital I
8 CONVERSÃO DIRETA DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA OCTAL
Para convertermos um número binário para o Octal, devemos arrumar os dígitos em grupos
de 3 algarismos, a partir da direita.
Exemplo:
(100101)2 = (?)8
3
1º Passo: Agrupar o número de 3 em 3 dígitos, pois 8 = 2 .
100
101
1º grupo
2º grupo
2º Passo: Convertermos esses grupos para a base 10 (dez).
100
101
4
5
3º Passo: Unimos os números convertidos.
2
8
(100101) = (45)
Observação:
Ocorrerão casos em que separando-se o número binário em grupos de três
algarismos a partir da direita, sobrará um grupo de dois ou de um algarismo. Nestes casos,
basta acrescentarmos zeros a esquerda até completarmos um grupo de três números.
10
Eletrônica Digital I
9 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA OCTAL
O processo de conversão é análogo a conversão do sistema decimal para o sistema
binário, sendo que neste caso utilizamos divisão por “8” (oito).
Exemplo:
10 SISTEMA HEXADECIMAL DE NUMERAÇÃO
O sistema hexadecimal é um sistema que possui dezesseis dígitos – base 16; estes dígitos
são mostrados a seguir:
Dígitos da base 16: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Observamos que a letra A
representa o algarismo A referente a dez unidades. A letra B representa o algarismo B
referente a onze unidades, e assim sucessivamente até a letra
F, que representa
o
algarismo
F, que representa quinze unidades.
Para representarmos dezesseis unidades procedemos como nas outras bases até
agora estudadas. Utilizamos o conceito básico de formação de um número.
Colocamos um “1” representando dezesseis unidades de “0” (zero), representando
zero unidades. (10)16 = dezesseis unidades.
Observação:
Este sistema é muito utilizado em computação e em mapeamento de memórias de
computadores digitais.
11
Eletrônica Digital I
11 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA O DECIMAL
É executado o mesmo procedimento de conversão utilizado nas outras bases (2 e 8).
Exemplo:
(4E)16 = (?)10
1º Passo: Desmembra-se o número e multiplica-se cada dígito pela base elevada a posição do
mesmo dentro do número.
4 x 161 + E x 160
2º Passo: Executa-se as operações matemáticas.
4 x 16 + 14 x 1
Temos que:
64
+
14 = 78
(4E)16 = (78)10
12 CONVERSÃO DIRETA DO SISTEMA HEXADECIMAL PAR O BINÁRIO
Como já foi visto na conversão direta entre o sistema octal e o binário onde para a conversão
direta agrupávamos os números em pacotes de 3 dígitos. Iremos agora agrupar pacotes de 4 dígitos,
pois 16 é igual a 2
4.
Exemplo:
(F23)16 = (?)2
1º Passo: Separar os dígitos do número e depois convertê-los para a base, agrupando-os em
pacotes de 4 dígitos.
12
Eletrônica Digital I
2º Passo: Juntar os grupos de 4 dígitos.
Temos então:
(F23)16 = (111100100011)2
13 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA HEXADECIMAL
Utilizando-se da mesma analogia com a conversão do sistema binário para o octal.
Temos: (10100011)2 = (?)16
Temos então que: (10100011)2 = (A3)16
14 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA HEXADECIMAL
Teremos como nos sistemas binário o octal e conversão pela divisão sucessiva deste pela
base do sistema, n este caso, dezesseis.
Exemplo:
13
Eletrônica Digital I
Temos então:
Último quociente
3
2º resto
14
1º resto
10
E
A
Temos que:
(1002)10 = (3EA)16
15 OPERAÇÕES ARITMÉTICAS
Este estudo irá facilitar a compreensão dos circuitos lógicos aritméticos, tais como: somadores,
subtratores, etc., que serão abordados com o decorrer do curso.
15.1 ADIÇÃO
A adição será executada neste sistema da mesma forma que é executada no sistema
decimal, lembrando apenas que, no sistema binário temos apenas dois algarismos.
Como no primeiro exemplo vamos executar uma adição na base 10 de um número menor que
a própria base.
(4)10 + (3)10 = (?)10
Operação:
4
+3
7
dígito da base 10
dígito da base 10
Resultado = 7 unidades
O resultado é um dígito da base 10.
Temos então que:
(4)10 + (3)10 = (7)10
Agora, vamos executar uma adição em que o resultado seja maior que a Base (10).
(6)10 + (5)10 = (?) 10
Operação:
Resultado = 11 unidade
6
+5
11
Este resultado não um dígito da Base 10.
O primeiro número “1” significa que o resultado passou uma vez da base (uma dezena),
acrescido de uma unidade que é o segundo número da composição. Ou apenas:
Convertendo o resultado para a base 10, onze unidades é igual a que símbolos na base 10?
14
Eletrônica Digital I
Resultado: Onze unidades são representadas pelo símbolos 11 na base 10.
Executando uma adição na base 2 com números menores que a base.
(1)2 + (0)2 = (?)2
Operação:
1
+0
1
O resultado é uma unidade.
Temos então que:
(1)2 + (0)2 = (1)2
Agora, vamos executar uma adição em que o resultado seja maior que a base.
(1)2 +(1)2 = (?)2
Operação:
1
+1
10
Resultado: 2 unidades
Estas unidades serão representadas por (10)2.
Onde:
1
Significa que passam uma vez da base (2).
2
Significa que não houve unidade.
Ou apenas:
Convertendo o resultado encontrado para a base (2), duas unidades é igual a que símbolos na
base 2?
15
Eletrônica Digital I
O resultado desta operação é que duas unidades são representadas pelos símbolos (10)2 na base
dois.
Outro exemplo:
(111)2 + (110)2 = (?)2
16
Eletrônica Digital I
15.2 SUBTRAÇÃO
A subtração é executada no sistema binário da mesma forma que executada no sistema
decimal, lembrando sempre que nesse sistema temos apenas dois algarismos. Podemos
exemplificar executando a subtração:
(111)2 – (100)2 = (?)2
Operação:
1ª operação
111
- 100 Operação = 1 - 0 = 1
1
1ª operação
111
- 100 Operação = 1 - 0 = 1
11
1ª operação
111
- 100 Operação = 1 - 1 = 0
1
Resultado: (111)2 – (100)2 = (011)2
A operação que pode surgir alguma dúvida será a que “pede emprestado” (0-1)
17
Eletrônica Digital I
Resultado (10)2 – (01) = (01)2
15.3 MULTIPLICAÇÃO
A multiplicação será executada neste sistema da mesma forma que é executada no sistema
decimal, lembrando-se apenas que, neste sistema temos dois algarismos.
Exemplo:
(100)2 x (10)2 = (?)2
Operação:
2ª parte:
18
Eletrônica Digital I
2ª parte:
Como na base 10, o resultado fica debaixo do 2º dígito da 1ª parte da operação.
19
Eletrônica Digital I
3ª parte:
A terceira parte desta operação consiste em somarmos os números encontrados, procedendo
como já explicado anteriormente (adição):
Resultado final:
(100)2 x (10)2 = (1000)2
NOTA:
A divisão binária é uma operação complexa que envolve ao mesmo tempo cálculo com multiplicação e
subtração binária. Não iremos abordar neste capítulo, pois não utilizaremos nessa parte do estudo
dos circuitos lógicos.
Atividades I
1) Um Microprocessador possui 10 linhas de endereçamento e trabalha em sistema binário de
numeração. Qual a capacidade máxima de memória este processador poderá acessar?
a) 16 M bit
b) 1024 K bit
c) 2048 bit
d) 1024 bit
2)
a)
b)
c)
d)
O nº 01110(2) equivale a que valor na base 10?
114
11
14
41
20
Eletrônica Digital I
3)
a)
b)
c)
d)
O nº 47(10) equivale a que valor em base 2?
101011
101111
011000
111110
4)
a)
b)
c)
d)
O nº 74(10) convertido em octal equivale a?
112
111
110
114
5)
a)
b)
c)
d)
Qual o valor em binário equivalente a 98(16)?
11100110
10011000
01100111
11100011
6)
a)
b)
c)
d)
Assinale a alternativa errada:
0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
1 + 1 + 1 = 110
7)
a)
b)
c)
d)
A operação 11001(2) + 1011(2) possui como resultado?
101010
110100
100100
100101
8)
a)
b)
c)
d)
Assinale a alternativa incorreta:
0 - 0= 0
0 – 1 = 0
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
9)
a)
b)
c)
d)
O valor 00001(2) equivale ao resultado de que operação aritmética?
10011 – 10001
11000 – 10001
10110 – 10001
10010 – 10001
21
Eletrônica Digital I
10)Qual operação abaixo está incorreta?
a) 1010(2) – 1000(2) = 0010(2)
b) 1000(2) x 1(2) = 1000(2)
c) 1100(2) x 011(2) = 100100(2)
d) 11010(2) x 10(2) = 11010(2)
16 CIRCUITOS, FUNÇÕES E PORTAS LÓGICAS
A eletrônica digital, como visto no capítulo anterior, opera com três sistemas numéricos básicos.
Adotou-se o sistema binário porque o mesmo simplifica os circuitos eletrônicos. Desta
forma criou-se uma álgebra baseada em dois estados distintos, ZERO (falso) e UM (verdadeiro).
Assim, adotou-se a álgebra desenvolvida por George Boole (1815 – 1854), recebendo desta
forma, o nome de Álgebra de Boole (Álgebra Boolena). Esta álgebra boolena é
representada
eletronicamente por dois estados distintos: chave aberta = 0 (zero binário) e chave fechada = 1 (um
binário). A figura a s e g u i r ilustra estas condições.
Chave aberta = nível lógico “0”
Chave fechada = nível lógico 1
Através destes dois estados convenientemente aplicados tornou-se possível criar um grupo de
circuitos lógicos ou portas lógicas, básicas, denominadas “E” (AND), “OU, (OR) e “NÃO” (NOT), que
iremos estudar a seguir.
Esta função “E” assume a saída igual a “1”, somente quando todas as variáveis de
entrada forem iguais a “1”, da mesma forma que a função “E” é igual a “0” somente quando
uma ou mais variáveis de entrada forem iguais a “0”.
Podemos representar essa função utilizando chaves, como mostra o circuito a b a i x o .
BT = Bateria
CH1 = Chave 1
CH2 = Chave 2
L = Lâmpada
22
Eletrônica Digital I
Tabela verdade:
Tabela verdade:
CH1
0
0
1
1
L=0
L=1
CH = 0
CH = 1
CH2
0
1
0
1
L
0
0
0
1
Lâmpada apagada
Lâmpada acesa
Chave aberta
Chave fechada
Obs.: A tabela verdade é a forma que podemos representar os circuitos digitais, ou seja, através de
símbolos numéricos.
Estado lógico ZERO – representa a condição: inoperante, chave aberta, lâmpada apaga, valor zero
de tensão, etc.
Estado lógico UM – representa a condição: ativada, chave fechada, lâmpada acesa, valor máximo
de tensão, etc.
Símbolo:
Expressão lógica: S= A.B
A saída “S” será igual ao produto lógico da entrada “A” e entrada “B”, deve-se ler (A e B) e nunca (A
vezes B).
16.2 FUNÇÃO “OU” (OR)
A função “OU” assume a saída “1” somente quando uma ou mais variáveis de entrada
forem iguais a “1”. Da mesma forma, a função “OU” é igual a “0” somente quando todas as variáveis
de entrada forem iguais a “0”.
23
Eletrônica Digital I
Podemos representar essa função utilizando chaves, como mostra o circuito a b a i x o .
BT = Bateria
CH1 = Chave 1
CH2 = Chave 2
L = Lâmpada
Tabela verdade:
CH1
0
0
1
1
CH2
0
1
0
1
L
0
1
1
1
Símbolo:
Expressão lógica: S = A + B
Observamos que a expressão lógica “OU” é representada pelo sinal “+” igual ao utilizado na
soma aritmética, porém não se deve confundir soma com lógica “OU”. Deve-se ler: A+ B (A ou B).
Observação:
As funções “E” e “OU” foram demonstradas somente com duas variáveis de entrada, porém estas
variáveis são teoricamente infinitas. A título de exemplo, vamos mostrar algumas portas com mais de
duas variáveis de entrada.
Exemplo 1:
S= L+ M + N
24
Eletrônica Digital I
Tabela verdade:
L
0
0
0
0
1
1
1
1
M
0
0
1
1
0
0
1
1
N
0
1
0
1
0
1
0
1
S
0
1
1
1
1
1
1
1
Exemplo 2:
X1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
X2
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
X3
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
X4
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
25
Eletrônica Digital I
16.3 FUNÇÃO “NÃO” (NOT)
A função “NÃO” (inversor) assume a saída igual a “1” somente quando a variável de
entrada for igual a “0”. Da mesma forma assume “0” na saída, somente quando a variável de
entrada for igual a “1”. Poderemos representar essa função utilizando uma chave como mostra o
circuito da figura abaixo.
BT = Bateria CH = Chave R = Resistor L = Lâmpada
Tabela verdade:
CH
0
1
L
1
0
Símbolo:
Expressão lógica: S= Â Observações:
1) A função do resistor R é proteger a bateria de um curto-circuito pleno através da chave
quando esta estiver em nível lógico “1” (fechada).
2) A barra sobre uma variável representa o “inverso” desta variável. Exemplos:
A= 0 Â= 1
A= 1 Â= 0
3) Podemos simbolizar uma inversão antes de uma porta qualquer usando apenas a
circunferência antes da mesma.
Exemplo:
S= A + B
26
Eletrônica Digital I
17 TEOREMAS FUNDAMENTAIS DA ÁLGEBRA DE BOOLE
Inicialmente demonstraremos as propriedades da álgebra ordinária que são válidas para a Álgebra
Booleana.
Propriedade associativa:
a) (A + B) + C = A + (B + C)
b) (A . B) . C = A . (B . C)
Propriedade comutativa:
a) A. B = B . A
b) A + B = B + A
Propriedade distributiva:
a) A . (B + C) = A . B + A . C
b) A + (B . C) = (A + B) . (A + C)
Teoremas:
1) A + 1 = 1
2) A + 0 = A
3) A . 1 = A
4) A . 0 = 0
5) A + Â = 1
6) A + A = A
7) A . Â = 0
8) A . A = A
9) (Â) = Â
10) (A) = A
11) A + A . B = A
12) A . (A + B) = A
13) A . B . C = A + B + C...
14) A + B + C = A . B . C...
15) A . B + Â . B = A  B
Teorema De
Morgan
Teorema Exclusivo
16) Â B + A . B = A  B
27
Eletrônica Digital I
Podemos exemplificar os teoremas através das tabelas verdades como no exemplo abaixo:
Teorema 11
18 TEOREMA DE DE MORGAN
Os teoremas 13 e 14 (Teorema de De Morgan) são muito importantes em minimização de
circuitos. São também derivadas deste teorema duas portas lógicas encontradas comercialmente:
portas “NÃO E” e “NÃO OU” (NOR).
18.1 PORTA “NÃO E” OU NE (NAND)
A porta “NÃO E” é implementada a partir das funções básicas “OU” e NÃO” com aplicação
do teorema de De Morgan como mostra a figura abaixo:
Â+B=A.B
28
Eletrônica Digital I
A função “NÃO E” assume a saída igual a “0” somente quando todas as variáveis de
entrada forem iguais a “UM”.
Podemos representar essa função utilizando chaves como mostra o circuito da figura
abaixo.
BT = Bateria
CH1 = Chave 1
CH2 = Chave 2
R = Resistor
L = Lâmpada
Tabela verdade:
CH1
0
0
1
1
CH2
0
1
0
1
L
1
1
1
0
Símbolo:
Expressão lógica:
S=A.B
Obs.: Para a porta “NÃO E” adotou-se o símbolo idêntico ao da porta “E” com um círculo na saída
que identifica a inversão.
18.2 PORTA “NÃO OU” (NOR)
A porta “NÃO OU” é implementada a partir das funções básicas “E” e “NÃO” com aplicação
do Teorema De Morgan, teorema 13, como mostra a figura abaixo:
29
Eletrônica Digital I
A função “NÃO OU” assume a saída “1” somente quando todas as variáveis de entrada
forem iguais a “0”. Da mesma forma a função “NÃO OU” é igual a “0” somente quando uma ou
mais variáveis de entrada forem iguais a “1”.
Podemos representar essa função utilizando chaves como mostra a figura a seguir:
BT = Bateria
CH1 = Chave 1
CH2 = Chave 2
R = Resistor
L = Lâmpada
Tabela verdade:
CH1
0
0
1
1
CH2
0
1
0
1
L
1
0
0
0
Símbolo:
Expressão Lógica:
S= A + B
Observação:
Para efeito de demonstração das portas “NÃO OU” e “NÃO E” empregamos símbolos e
tabelas com apenas duas variáveis. Porém, estas portas, teoricamente, poderão conter infinitas
variáveis de entrada.
19 TEOREMA EXCLUSIVO
Os teoremas 15 e16 (Teorema Exclusivo) são da mesma forma que os de De Morgan, muito
importantes em minimização de circuitos. São também derivadas deste teorema duas portas lógicas
encontradas comercialmente: porta “OU EXCLUSIVA” (OR EXCLUSIVA) e “NÃO OU EXCLUSIVA”
(NOR EXCLUSIVA).
30
Eletrônica Digital I
19.1 PORTA “OU EXCLUSIVA” (EXCLUSIVE OR)
A porta “OU EXCLUSIVA” é implementada a partir das funções básicas “E”, “OU” e
“NÃO” com aplicação no teorema exclusivo, teorema 15, como mostra a figura a seguir:
A função “OU EXCLUSIVA” é igual a “1” (um) somente quando o número de bits “1” (um)
das variáveis forem ímpares, e caso contrário, a função “OU EXCLUSIVA” SERÁ IGUAL A “0”
(zero).
Podemos representar essa função utilizando chaves, como mostra o circuito abaixo:
BT = Bateria
CH1 = Chave de posição oposta 1
CH2 = Chave de posição oposta 2
L = Lâmpada
Tabela verdade:
CH1
0
1
1
1
CH2
0
1
0
1
L
0
1
1
0
Símbolo:
31
Eletrônica Digital I
Expressão Lógica:
S= A
B
Lê-se A exclusivo B
19.2 PORTA “NÃO OU EXCLUSIVA” (EXCLUSIVE NOR)
A porta “NÃO OU EXCLUSIVA” é implementada a partir das funções básicas “E”, “OU”
e “NÃO” com aplicação do teorema exclusivo, Teorema 16, como mostra a figura a b a i x o .
A porta “NÃO OU EXCLUSIVA” é conhecida como circuito coincidência.
A função “NÃO OU EXCLUSIVA” é igual a “0” (zero) somente quando o número de bits “1”
(um) das variáveis forem ímpares, e caso contrário, a função “NÃO OU EXCLUSIVA” será igual a
“1” (um). Podemos representar essa função utilizando chaves, como mostra o circuito da figura a
seguir:
Tabela verdade:
CH1
0
0
1
1
CH2
0
1
0
1
L
1
0
0
1
32
Eletrônica Digital I
Símbolo:
Expressão Lógica:
S= A
B
Lê-se A NÃO EXCLUSIVO B
Atividades 2
1) Assinale a coluna da esquerda de acordo com a da direita:
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
Porta OU
S= A. B
Função Não
Porta NAND
Porta NOR
A)
B)
C)
D)
E)
Inverte a entrada
Basta uma entrada em 1 para S=1
Basta uma entrada em 0 para S=0
S=1 Somente se as entradas forem 0
S = 0 somente se as entradas forem 1
2) Assinale verdadeiro e falso:
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
+ 1 = 1
+ 0 = 0
. 1 = 1
. 0 = 0
+ A= 1
+ A= 0
. A= 0
. A= A
+ AB = 1
. ( A + B) = B
+ B = AB
(
)A . B = A+ B
3) Desenhe a simbologia, escreva o nome e monte a tabela verdade das portas lógicas que
são representadas pelas expressões abaixo:
a) S = A + B
33
Eletrônica Digital I
b) S = A . B
c) S = A  B
______
d) S = A  B
_______
e) S = A . B
34
Eletrônica Digital I
_____
f) S = A + B
20 CONVERSÕES E MAPAS
Como já vimos no capítulo anterior, os circuitos lógicos são dispositivos de tomadas de
decisões.
A saída de cada porta lógica ou de portas lógicas interligadas entre si, obedecem a uma
sistemática que tem como objetivo a realização de funções Booleanas.
A ferramenta utilizada para a visualização destas funções é a tabela verdade também
conhecida como “tabela certeza” ou “mapa”. Neste dispositivo vão constar todas as condições de saída
possíveis assumidas pelos circuitos. Esta tabela é muito útil porque mostra tanto o comportamento da
expressão Booleana, como também, o caminho total seguido pelo circuito (tomadas de decisões).
35
Eletrônica Digital I
20.1 TABELA VERDADE OBTIDA DE UMA EXPRESSÃO
Para ser executada a tabela, observa-se as seguintes regras:
1º) Analisa-se a expressão booleana;
2º) Monta-se o quadro de possibilidades, onde o número de possibilidades de combinação é dado
n
por 2 , sendo “n” o número de variáveis;
3º) Monta-se uma coluna para cada membro da expressão;
4º) Monta-se uma coluna para o resultado final;
5º) Preenche-se a tabela.
No exemplo abaixo, observamos a expressão booleana. S = (A + B). D. (A + B + C)
Análise da expressão:
Número de variáveis = 4 f (A, B, C, D)
-
n
Variáveis
A
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
B
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
4
Número de combinações possíveis = 2 = 2 = 16
Número de membros =
C
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
D
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1 Membro
2° Membro
3 ° Membro
Resultado Final
A+B
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
D
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
A+B+C
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
S = (A + B) . D . (A + B + c)
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
Em alguns casos podemos lançar mão de uma coluna auxiliar que não pertence a nenhum
membro da expressão lógica, ajudará a observar melhor um determinado membro.
Ex.: S = A . B + C + A . B . C
36
Eletrônica Digital I
3
Temos 3 variáveis, logo teremos 2 = 8 possibilidades
VARIÁVEIS
1º
membro
2º
membro
auxiliar
3º
membro
Resultado Final
A
B
C
A.B
B.C
B
A. B . C
S = (A + B) + (B . C) + (A + B + C)
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
20.2 A FORMA CONTRÁRIA (EXPRESSÕES GERADAS POR TABELAS VERDADES)
A forma contrária também pode ser obtida partindo de uma tabela verdade. Basta para isso
convencionarmos o tipo de implementação.
Exemplo:
Obter a expressão lógica com implementação positiva da tabela verdade abaixo:
Para obtermos a expressão lógica com implementação positiva de uma tabela v erdade,
devemos proceder da seguinte forma:
1º) Identifica-se na tabela verdade todas as linhas que estejam implementadas positivamente, ou
seja, todas as linhas onde a coluna de saída “S” for igual a “1”.
2º) As linhas implementadas positivamente terão seus níveis “0” (zero) e “1”
(um) substituídos pelos índices das colunas “A”, “B” e “C”, tendo o cuidado de barrar estes
índices, quando equivalerem a variável “0” (zero).
3º) O passo final é juntar a expressão, de modo que, as linhas horizontais gerem funções “E”.
Essas linhas serão intercaladas entre as demais implementações positivas com funções “OU”.
37
Eletrônica Digital I
Outro exemplo:
Obter a expressão lógica da tabela verdade:
A
B
C
D
S
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
Identificar as
saídas
implantadas
positivamente
Substituir os bits pelos
índices e colocar barras onde
os bits eram “0”
A. B. C.D
*
*
A. B. C. D
1
*
A. B .C .D
0
1
*
A . B. C. D
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
*
A .B .C. D
Por último, montamos a expressão da seguinte maneira:
Podemos também obter expressões lógicas de uma tabela verdade com implementação
negativa, bastando para isso, que tomemos somente as linhas que c ontiverem a saída “S” igual a “0”
(zero). Da mesma forma devemos empregar a função “OU” entre os índices da mesma linha e a função
“E” entre as funções obtidas nas linhas. Por exemplo, obter a expressão lógica com implementação
negativa da tabela verdade abaixo:
38
Eletrônica Digital I
Identificar as saídas
implementadas
negativamente
Tirar o barramento dos
índices
Negados e colocar
barramentos nos índices não
negados
A . B .C
A.B.C
0
A.B.C
A . B . C.
1
0
A.B.C
A.B.C
1
0
0
A .B.C
A .B . C
1
1
1
A
B
C
S
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
Por último, montamos a expressão da seguinte maneira:
S= A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C
20.3 CIRCUITOS GERADOS POR EXPRESSÕES LÓGICAS
A partir das expressões lógicas abaixo booleanas podemos obter um circuito combinacional.
Deverá ser seguido os passos determinados abaixo:
1) Em todo processo envolvendo funções lógicas observamos quantas variáveis existem na
expressão. Nesta expressão, por exemplo, existem quatro variáveis, a saber: “A”, “B”, “C” e “D”.
Isto se faz necessário para desenhar a fiação de dados (barramento de dados).
39
Eletrônica Digital I
2) O próximo passo será executar as portas de acordo com a função identificada pelos asteriscos.
40
Eletrônica Digital I
41
Eletrônica Digital I
Outro exemplo que poderá ser executado da mesma forma.
42
Eletrônica Digital I
20.4 EXPRESSÕES LÓGICAS GERADAS POR CIRCUITOS
Do mesmo modo que obtemos circuitos de expressões lógicas, podemos obter expressões
lógicas de circuitos. A obtenção da expressão de um circuito consiste em aplicar as variáveis em cada
porta lógica do circuito passo-a- passo.
Exemplo:
43
Eletrônica Digital I
Primeiro passo:
Segundo Passo:
A expressão lógica será então:
S = (A . B) + Â
21 EQUIVALÊNCIA DE BLOCOS LÓGICOS
Uma das grandes vantagens entre os blocos lógicos é a possibilidade de se fazer
equivalência entre si, utilizando um outro bloco qualquer e inversores, uma vez que a maior parte
de circuitos digitais é feita com portas “NÃO E” e “NÃO OU” (NAND e NOR) e mais, podemos
também obter inversores a partir dessas portas.
44
Eletrônica Digital I
21.1 CONSEGUINDO INVERSORES
Existem duas formas de se obter os inversores, ou seja, a partir de uma porta “NÃO E” ou
de uma porta “NÃO OU”. Nos dois casos, basta interligarmos todas as suas entradas e teremos
na saída o seu complemento. Analisaremos dois casos separadamente.
21.2 INVERSOR A PARTIR DA PORTA “NÃO OU”
Observamos que ao interligarmos as entradas “A” e “B” e aplicarmos os níveis lógicos, estes serão
nas duas entradas. A possibilidade de entradas diferentes entre si fica deste modo destacada. Com
base nesses fatos, montamos então a tabela verdade de um inversor:
X
S
0
1
1
0
45
Eletrônica Digital I
21.3 INVERSOR A PARTIR DE UMA PORTA “NÃO E”
Da mesma forma que fizemos para a porta “NÃO OU” podemos obter a tabela verdade igual a
um inversor a partir de uma porta “NÃO E”.
X
S
0
1
1
0
22 OUTRAS EQUIVALÊNCIAS

Porta “NÃO OU” a Partir de Porta “E” e “INVERSOR”
A melhor forma de se obter equivalência é usando o Teorema de De Morgan, visto
anteriormente (Teorema 13).
S=Â.B
S=A+B
46
Eletrônica Digital I

Porta “NÃO E” a Partir de Porta “OU” e “INVERSOR”
Teorema 14:

Porta “OU” a Partir de Portas “E” e “INVERSORES”
Basta colocarmos um inversor na saída e na entrada da porta “E”.
23 PROJETOS DE CIRCUITOS COMBINACIONAIS
A finalidade maior de todas essas portas lógicas já estudadas é de combinarmos de tal forma,
que executem uma tarefa idealizada para um fim útil e específico, seguindo uma sequência lógica que
depende das variáveis de entrada e de saída de uma determinada tabela verdade. Através dos
circuitos combinacionais podemos projetar vários tipos de blocos
lógicos que dependa
exclusivamente das variáveis de entrada em função de uma determinada saída.
Um circuito lógico combinacional pode ser projetado a partir de uma expressão Booleana que
identifique este circuito e, para obtermos isto, necessitamos da tabela verdade. E, finalmente, para
obtermos a tabela verdade, necessitamos da identificação das variáveis de entrada e das funções de
saída. O melhor meio de aprendermos a projetar um circuito lógico é analisando passo-a-passo um
projeto já executado, como mostraremos a seguir:
47
Eletrônica Digital I
Projeto 1
Projetar um circuito que acenda as lâmpadas L1, vermelha, e L2, amarela, toda vez que
pressionarmos as chaves “A” e “B” nas seguintes condições:
0 – Quando as chaves não forem pressionadas nenhuma lâmpada deve acender.
1 – Quando pressionamos somente a chave “A”, deverá acender somente a lâmpada L1,
vermelha.
2 – Quando pressionamos somente a chave “B”, deverá acender somente a lâmpada L2,
amarela.
3 – Quando pressionamos as chaves “A” e “B” deverão acender as lâmpadas L, vermelha, e L2,
amarela.
BT
=
Bateria A
= Chave A
B = Chave
B
L1 = Lâmpada 1
L2 = Lâmpada 2
O - projeto para este problema, como nos demais, devem seguir as seguintes etapas:
1 – Montagem da tabela verdade.
2 – Obtenção da expressão.
3 – Montagem do circuito.
1- Tabela verdade
A tabela verdade é montada baseada na quantidade de variáveis envolvidas no projeto. Neste
caso, são as chaves “A” e “B”. Portanto, temos 2 variáveis (colunas) e consequentemente, teremos
2
2 possibilidades de combinações ou quatro linhas.
Condição
0
1
2
3
Variáveis
A
0
0
1
1
Saída
B
0
1
0
1
L1
0
1
0
1
L2
0
0
1
1
Chave desligada = 0
Chave ligada
=1
Chave desligada = 0
Chave ligada
= 1
Assim, temos a tabela verdade completa e podemos obter a expressão Booleana do
circuito que será o passo seguinte:
2- Expressão
48
Eletrônica Digital I
No projeto proposto, temos duas saídas, desta forma, deveremos retirar duas expressões
em separado, utilizando a saída L1
e, posteriormente, utilizando a saída L2.

Expressão com saída L1
Faremos a tabela verdade apenas com as informações que iremos utilizar, tais como: “A”, “B” e
“L1”, conforme a tabela abaixo:
Variáveis
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Saída
L1
0
1
0
1
Neste passo identificamos as saídas que estejam com nível 1, pois estamos trabalhando com
implementação positiva e, ao mesmo tempo, identificar os índices e montar a expressão para a saída
L1.
L1 = Â . B + A . B

Expressão com saída L2
Será montado da mesmaforma que a anterior, somente com as informações: “A”, “B” e “L2”.
Variáveis
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Saída
L1
0
1
1
1
Temos no caso, as duas expressões Booleanas, respectivas às condições do projeto:
L1 = Â . B+ A . B e L2 = A . B + A . B
3 – Montagem
Da mesma forma que montamos circuito
através de expressões Booleanas, vista
anteriormente. Devendo ser observado que estamos trabalhando com duas expressões: L1 e L2.
49
Eletrônica Digital I
Este circuito pode ser simplificado um pouco mais, pois basta observarmos as
expressões para concluirmos que existe uma condição idêntica, como ilustrarmos abaixo:
duas
L2 = A . B + A . B
L1 = Â . B + A . B
Podemos então, simplificar usando apenas uma porta lógica às duas saídas:
Este circuito poderia ainda ser mais simplificado. Porém, será estudado nas lições seguintes.
Desta forma, o circuito definitivo tomaria o seguinte aspecto:
50
Eletrônica Digital I
Observamos que quando as chaves estiverem fechadas à terra, será igual a “0” (zero) e
quando estiverem abertas, será igual a “1” (um).
ATIVIDADES 3
1) Dados os circuitos abaixo levante a equação b o o l e a n a equivalente:
a)
b)
c)
51
Eletrônica Digital I
d)
2) Represente circuito lógico equivalente referente às expressões abaixo:
a) S = A + B
b) S = ( A + B ) . C . ( B + D )
c) S = A . B . C + ( A + B ) . C
52
Eletrônica Digital I
d) S = [ ( A . B )+( C . D )] . E+ [ ( A . D . E )+( C . D . E ) ] . A
3) Levante a expressão e represente o circuito lógico que as tabelas verdade abaixo caracterizam:
a)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
S
0
0
1
1
0
1
1
0
53
Eletrônica Digital I
b)
A
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
B
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
C
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
D
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
S
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
4) Represente a tabela verdade, levante a expressão e represente o circuito lógico do
problema abaixo:
Deseja-se utilizar um amplificador para ligar três aparelhos: Um Toca-Fitas, um Toca-discos e
um Rádio FM. Deve-se obedecer as seguintes prioridades:
1ª prioridade: Toca-discos
2ª prioridade: Toca-fitas
3ª prioridade: Rádio FM
Isto significa que quando não houver disco ou fita tocando, o amplificador, deverá
manter a entrada de rádio ligada. Caso outra entrada
esteja tocando, deve o amplificador
comutar automaticamente para a de maior prioridade.
Diagrama em blocos:
54
Eletrônica Digital I
Convenções utilizadas:
S A = 1ª prioridade
S B = 2ª prioridade S C = 3ª prioridade
Logo, se:
S A = 1 ; CH 1 fechada
S B = 1 ; CH 2 fechada
S C = 1 ; CH 3 Fechada
A
B
C
SA
SB
SC
24 SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS COMBINACIONAIS ATRAVÉS DO DIAGRAMA DE VEITCHKARNAUGH
Os diagramas de Veitch-Karnaugh permitem a simplificação de expressões características
com duas, três, quatro ou mais variáveis, sendo que para cada caso existe um tipo de diagrama mais
apropriado.
Este modelo de simplificação trabalha com padrão de função AND-OR ou OR-AND. Para
não complicarmos muito adotaremos o padrão AND-OR
Exemplo:
Desta forma, todos os padrões de funções lógicas, devem ser inicialmente transformados em
um dos dois padrões citados acima. Esta sistemática torna-se inviável em determinadas
simplificações, pois passamos a ter dois procedimentos complexos ao invés de um, para situações
assim, o melhor é utilizar somente o modelo de Boole para simplificações.
Exemplo:
1) S =
( A  B)  ( AB)  ( AB)
55
Eletrônica Digital I
Passando para o padrão AND-OR, temos:
A.B  A.B  A.B
Podemos observar que a transformação foi simples, portanto viável.
2) S =

 AC  B  D   C. ACD



Aplicando o 2º Teorema de De Morgan, temos:
ABC D  C.ACD 
Também podemos aplicar o 1º Teorema De Morgan:
( ABC D)  C.( A  C  D)
Aplicando a propriedade distributiva:
ABC D  AC  CC  C D
Se
C.C = 0, então, por fim:
ABC D  AC  C D
Este tipo de expressão exigiu uma complexibilidade de manobras para chegarmos a uma
expressão AND-OR, uma pessoa que consegue chegar com facilidade até este ponto, significa que a
mesma possui um bom domínio de álgebra de Boole, dispensando assim, a alteração do processo de
simplificação para o modelo de Veitch-Karnaugh.
24.1 DIAGRAMA PARA DUAS VARIÁVEIS
Vejamos inicialmente as possibilidades que duas variáveis podem fornecer:
ESTADO
A B
0
0 0
1
0 1
2
1 0
3
1 1
Estes estados deverão ser distribuídos racionalmente nas quadrículas do modelo geométrico
de Veitch-Karnaugh.
56
Eletrônica Digital I
Substituindo por seus valores lógicos, temos:
Através dos conceitos de transformação em MINTERMOS, podemos ainda substituir os
valores por expressões. Devemos ter consciência de que chegaríamos ao mesmo objetivo com
MAXTERMOS, porém para este assunto todas as transformações estarão baseadas em
MINTERMOS.
Logo:
Veja na figura a seguir, que para cada dupla de quadrículas possuímos uma variável em
comum.
Após todas as observações, notamos que cada linha da tabela da verdade possui sua região
própria no diagrama e essas regiões são, portanto, os locais onde devem ser colocados os valores de
saída (S) que a expressão assume nas diferentes possibilidades.
Para entendermos melhor o significado deste conceito, vamos observar o exemplo:
A tabela da verdade abaixo mostra o estudo de uma função de duas variáveis e ao lado sua
expressão não simplificada.
A B
S
0 0
0
0 1
1
1 0
1
1 1
1
S=
AB  AB  AB
Primeiramente vamos colocar no diagrama, o valor que a expressão assume em cada estado.
57
Eletrônica Digital I
Uma vez entendida a colocação dos valores no diagrama, assumidos pela expressão em
cada estado, vamos verificar como podemos efetuar a simplificação.
Para isto, utilizamos o seguinte método:
Tentamos agrupar as regiões onde "S" é igual a "1", no menor número possível de pares. As regiões
onde "S" é "1", que não puderem ser agrupadas em pares, serão consideradas isoladamente.
Assim, temos:
Notamos que um par é o conjunto de duas regiões onde "S" é "1", que tem um lado em
comum, ou seja, são vizinhos. O mesmo "1" pode pertencer a mais de um par.
Feito isto, escrevemos a expressão de cada par, ou seja, a região que o par ocupa no diagrama.
O "Par 1" ocupa a região A e sua expressão será: Par 1 = A
O "Par 2" ocupa a região B e sua expressão será: Par 2 = B
Agora basta unirmos as expressões ao operador OU, para obtermos a expressão simplificada "S", logo:
S = Par 1 + Par 2
S= A + B
Como podemos notar , esta é a expressão de uma porta OU, pois a tabela da verdade também é da
porta OU.
É evidente que a minimização da expressão, simplifica o circuito e consequentemente,
diminui o custo e a dificuldade de montagem.
ATIVIDADE 4
1) Simplifique o circuito que executa a tabela da verdade abaixo, através do diagrama de VeitchKarnaugh.
A B
S
0 0
1
0 1
1
1 0
1
1 1
0
58
Eletrônica Digital I
24.2 DIAGRAMA PARA TRÊS VARIÁVEIS
Para três variáveis temos o diagrama com a seguinte distribuição dos estados:
Podemos também substituir por seus valores lógicos:
E por expressões:
Notamos que para cada quadrupla de quadrículas existe uma variável em comum.
Como no estudo para duas variáveis, podemos agrupar as quadrículas formando duplas.
Porém, agora podemos também formar quádruplos de quadrículas adjacentes ou em sequência, e
ainda podemos utilizar as duplas laterais, pois estas se comunicam. Veja os exemplos de possíveis
quadras:
59
Eletrônica Digital I
Para melhor compreensão, vamos transpor para o diagrama, a tabela da verdade:
A B C
S
0 0 0
1
0 0 1
1
0 1 0
0
0 1 1
1
1 0 0
1
1 0 1
1
1 1 0
1
1 1 1
0
Expressão extraída da tabela sem simplificação:
S=
A.B.C  A.B.C  A.B.C  A.B.C  A.B.C  A.B.C
Transpondo para o diagrama.
Para efetuarmos a simplificação, primeiramente, localizamos as quadras e escrevemos suas
expressões, estas quadras podem ter quadrículas comuns. Feita a localização das quadras, agora
localizaremos os pares e também escrevemos suas expressões. Não devemos considerar os pares já
incluídos nas quadras, porém pode acontecer de termos um ou mais pares formados com um
elemento externo à quadra e um outro interno. Por fim, localizamos e escrevemos as expressões dos
termos isolados.
Sendo assim, destacamos os seguintes grupos:
60
Eletrônica Digital I
Escrevendo suas expressões temos:
Quadra = B
AC
Par 2 = AC
Par 1
=
A expressão final minimizada será a união das expressões encontradas através do operador OU:
S=
B  AC  AC
O circuito que executa a tabela será então desenhado na forma abaixo:
Atividades 4
1) Ache a expressão simplificada das tabelas da verdade abaixo, através dos diagramas de VeitchKarnaugh, a partir das saídas "1" das tabelas.
61
Eletrônica Digital I
a)
b)
c)
A
B
C
S
A
B
C
S
A
B
C
S
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2) Simplifique a expressão S = A.B.C  A.B.C 
Veitch-Karnaugh, utilizando o padrão AND - OR.
A.B.C  A.B.C  A.B.C através do diagrama de
62
Eletrônica Digital I
24.3 DIAGRAMA PARA QUATRO VARIÁVEIS
Para quatro variáveis, os estados são distribuídos no diagrama na forma abaixo:
Substituindo por seus valores lógicos, temos:
E por suas expressões:
Observamos que para cada grupo de oitavas, existe uma variável em comum.
63
Eletrônica Digital I
Além das duplas e quadras que podemos formar, para este número de variáveis podemos
também agrupar oitavas adjacentes horizontais e verticais utilizando até mesmo as quadras laterais e
superiores com as inferiores, pois as laterais e os extremos se comunicam. Vejamos os exemplos de
grupos de oitavas:
64
Eletrônica Digital I
Para elucidarmos melhor as regras acima, vamos transpor para o diagrama de Veitch-Karnaugh a
seguinte tabela da verdade:
A B C D
S
0 0 0 0
0
0 0 0 1
1
0 0 1 0
0
0 0 1 1
0
S=
0 1 0 0
1
0 1 0 1
1
A.B.C.D  A.B.C.D  A.B.C.D  A.B.C.D  A.B.C.D 
0 1 1 0
1
0 1 1 1
1
1 0 0 0
0
1 0 0 1
1
1 0 1 0
0
1 0 1 1
0
1 1 0 0
1
1 1 0 1
1
1 1 1 0
1
1 1 1 1
1
Expressão extraída da tabela sem simplificação:
A.B.C.D  A.B.C.D  A.B.C.D  A.B.C.D  A.B.C.D
Transpondo para o diagrama
65
Eletrônica Digital I
Para efetuarmos a simplificação, seguimos o mesmo procedimento dos diagramas de três
variáveis, a única observação é que para quatro variáveis o principal agrupamento será a oitava.
Devemos ressaltar, que neste diagrama, os lados e os extremos se comunicam, ou seja,
podemos formar oitavas, quadras e pares com as quadrículas localizadas nos lados e nos extremos.
Logo, destacamos os seguintes grupos:
Escrevendo suas expressões temos:
Oitava = B
Quadra =
C.D
A expressão final será:
S = Oitava + Quadra
S=B+
C.D
O circuito que executa a tabela será assim desenhado
66
Eletrônica Digital I
Atividade 5
1) Dadas às tabelas verdade abaixo, lançar no mapa de Karnaugh, realizar os agrupamentos,
retirar a expressão equivalente e representar o circuito.
a)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
S
1
1
0
1
0
1
0
1
b)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
S
0
0
0
1
1
0
1
0
67
Eletrônica Digital I
2) Simplifique direto do diagrama: (Lançar as respectivas variáveis da região do mapa conforme
o modelo a seguir, memorize as regiões).
a)
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
b)
c)
68
Eletrônica Digital I
d)
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
e)
3) Lançar
agrupamento:
_ _
as
_
expressões
_
abaixo no
___
a) S = ABC + ABC + ABC + A B C + ABC
69
mapa
e
simplificar
por
Eletrônica Digital I
_ _ _ _
_
b) S = A B C + A B C + A B
4) Simplifique
por
agrupamento
direto
do
Modelo
a)
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
b)
c)
70
mapa: ( Lançar as variáveis no mapa)
Eletrônica Digital I
5) A tabela verdade abaixo possui 4 variáveis de entrada e 4 saídas, lance as saídas no
mapa e simplifique por agrupamento.
71
Eletrônica Digital I
6)Dadas as expressões abaixo lançar no mapa, agrupar e simplificar:
_ _
__
_
__
_
_ _
_
a) S = A B C D + A B C D + ABCD + A B C D + A B C D + ABCD + ABCD
72
Eletrônica Digital I
____ __
_ __
_
_
b) S = A B C D + A B C D + A B C D + ABCD + A B C D + A B C D
7)Desejamos construir um painel de luzes para uma casa de festas que tenha a seqüência
descrita pela tabela verdade abaixo. Já possuímos um contador de quatro canais que efetua a
contagem em código BCD e gostaríamos de construir uma interface para a mudança da seqüência.
Desenvolva esta interface utilizando o mapa de karnaugh para cada saída.
73
Eletrônica Digital I
Diagrama em Blocos
Considerar: 1 = lâmpada acesa ; 0 = lâmpada apagada
74
Eletrônica Digital I
REFERENCAIS
a
BOYLESTAD, R.L.; NASHELSKY, L. – Dispositivos Eletrônicos e Teoria de Circuitos, 6 ed. - Rio
de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1999.
MALVINO. Albert Paul. Eletronica. Vol 1, 4º ed. São Paulo, Makron Books, 1997.
TORRES, Gabriel. Fundamentos de Eletrônica. Rio de Janeiro: Editora Axcel Books, 2002.
VETIN, Stefano E. Eletrônica Digital – Módulo I. Ed. 1. Sociedade Educacional de Santa Catarina.
75
Eletrônica Digital I
MÓDULO III – ELETRÔNICA DIGITAL
Atividades 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
D
C
B
A
B
D
C
B
D
D
Atividades 2
1. B,C,A,E,D
2 . V,F,F,V,V,F,V,V,F,F,V,V
3.
76
Eletrônica Digital I
Atividades 3
1)
A) S = {( A + B) . (C + D)}
B) S = {(A . B . C) + [(A + B) . C]}
C) S = (A . B) + (B . C) + (B + D)
D) S = {[(A . B) + (A . B) + C] . (C + D)}
2) a)
S=A+B
77
Eletrônica Digital I
b)
S = (A + B) . C . (B + D)
c)
S = A . B . C + (A + B) . C
78
Eletrônica Digital I
d)
S=
{[[ (A . B) + (C . D) ] . E ]+ [ (A . D . E) + (C . D . E)] . A }
79
Eletrônica Digital I
3) a)
S=ABC+ABC+ABC+ABC
80
Eletrônica Digital I
b)
S = {A B C D + A B C D + A B C D + AB C D + A B C D}
81
Eletrônica Digital I
4)
Atividades 4
1)
a)
82
Eletrônica Digital I
b)
c)
2)
83
Eletrônica Digital I
Atividades 5
1)a)
84
Eletrônica Digital I
85
Eletrônica Digital I
86
Eletrônica Digital I
87
Eletrônica Digital I
6)
a)
b)
7)
88
Eletrônica Digital I
89
Eletrônica Digital I
90