Aula 03 - ICEB-UFOP

Probabilidade
Vimos anteriormente como caracterizar uma massa de dados, como o objetivo
de organizar e resumir informações. Agora, apresentamos a teoria matemática que dá
base teórica para o desenvolvimento de técnicas estatísticas utilizadas nas tomadas de
decisões.
Os conceitos fundamentais em probabilidade são experimentos aleatórios,
espaço amostral e eventos.
Fenômeno aleatório (ou experimento aleatório) é a situação ou acontecimento
cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Ex: as condições climáticas para
o próximo domingo não podem ser estabelecidas com total acerto. (Modelos podem ser
estabelecidos para quantificar as incertezas das diversas ocorrências nessas situações).
Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis, de um
experimento aleatório. Ele será representado pela letra grega Ω (ômega).
Evento : Os subconjuntos de Ω são denominados eventos e podem ser
representados pelas letras maiúsculas A, B,.... .
O conjunto vazio será representado por Φ, como já é tradicional.
Podem-se ter operações entre eventos da mesma forma que com conjuntos,
como é mostrado a seguir.
Operações com Eventos
A união de dois conjuntos A e B, denotada por A U B, representa a ocorrência de pelo
menos um dos eventos, A ou B. É o evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B ou
ambos ocorrerem;
A interseção do evento A com o evento B, denotada por
A e B.
é a ocorrência simultânea de
Dois eventos são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em
comum. Isto é, A B = Φ
Dizemos que A e B são complementares se sua união é o espaço amostral e sua
interseção é vazia. O complementar de A será dado por Ac e temos que A U Ac = Ω e A
Ac = Φ.
Lançam-se duas moedas. Sejam os eventos:
A: saída de faces iguais.
B: saída de cara na primeira moeda.
Determinar os eventos:
,
, , ,
,
4.2 Definição axiomática de probabilidade
Uma função
é denominada probabilidade se satisfaz as condições:
Essas propriedades são conhecidas como axiomas de Kolmogorov. Os axiomas,
muitas vezes, se inspiram em resultados experimentais e que, assim, definem a
probabilidade de forma que possa ser confirmada experimentalmente.
A partir daí, pode-se mostrar que valem as seguintes relações:
1 – Se A e B são dois eventos quaisquer, então,
2- Para o evento complementar vale a seguinte relação:
3 – Se
Exercício: Sejam A e B dois eventos em um dado espaço amostral, tais que
;
. Determine o valor de p.
R: p = 0,4 regra da adição (1)
;
4.3 Probabilidade condicional
Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que B ocorreu é
representada por
:
Caso
,
.
pode ser definido arbitrariamente. Nesse curso, usaremos
4.4 Independência de eventos:
Dizemos que A e B são independentes se:
ou equivalentemente,
Esta última relação evidencia o significado de independência. O conhecimento de que B
ocorreu não influencia na probabilidade de que A ocorra.
Exemplo: Há apenas dois modos, mutuamente exclusivos, de Genésio ir para Genebra
participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de
navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar
ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de
chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%.
Foi dito quais são as probabilidades de o Genésio viajar de navio e de avião. Daí, já
podemos iniciar o desenho da árvore de probabilidades! Teremos:
Navio (40%)
Avião (60%)
Quer tenha o Genésio viajado de navio, quer tenha viajado de avião, ele poderá chegar
com atraso ao congresso. E se pode chegar com atraso, nós já somos capazes de deduzir
que, contrariamente, ele pode também chegar em tempo, ou seja, sem atraso.
Atrasado (8,5%)
Navio (40%)
Em tempo (91,5%)
Atrasado (1%)
Avião (60%)
Em tempo (99%)
Quantos caminhos de probabilidade nós temos nessa árvore de probabilidades?
Temos quatro caminhos:
1º) viajar de navio & chegar atrasado;
2º) viajar de navio & chegar em tempo;
3º) viajar de avião & chegar atrasado;
4º) viajar de avião & chegar em tempo.
Daí, analisemos esta árvore e esses caminhos, caso a questão fizesse uma dessas
seguintes perguntas:
a) Qual a probabilidade de Genésio ir de navio e de chegar atrasado?
Daí, multiplicando-se as probabilidades individuais desse caminho, teremos:
 (0,40)x(0,085)= 0,034 = 3,4%  Resposta!
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(navio e atrasado)=0,034
b) Qual a probabilidade de Genésio ir de avião e chegar atrasado?
Multiplicando-se as probabilidades individuais desse caminho, teremos:
 (0,60)x(0,01)= 0,006 = 0,6%  Resposta!
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(avião & atrasado)=0,006
c) Qual a probabilidade de Genésio chegar atrasado?
A pergunta aqui foi diferente! Só falou no evento “atraso”, sem estabelecer o
meio de transporte! Daí, fica claro que há dois caminhos que nos conduzem a esse
resultado “chegar atrasado”. E são justamente os seguintes:
Atrasado (8,5%)  3,4%
Navio (40%)
Em tempo (91,5%)
Atrasado (1%)  0,6%
Avião (60%)
Em tempo (99%)
Ora, como são dois os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado,
teremos portanto que somar essas duas probabilidades resultantes de ambos. Teremos,
pois, que:
 3,4% + 0,6% = 4%  Resposta!
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(atrasado)=0,04
d) Qual a probabilidade de Genésio chegar em tempo?
Aqui também não foi estabelecido qual seria o meio de transporte que levaria
Genésio a não se atrasar!
No item anterior, encontramos que a probabilidade de Genésio chegar atrasado
(independente do transporte utilizado) foi de 4%.
 P(atrasado) + P(em tempo) = 100%
 4% + P(em tempo) = 100%
 P(em tempo)=100% - 4%
 P(em tempo) = 96%  Resposta!
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(em tempo)=0,96
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra participar
de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de navio é de
40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao
congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de
chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que Genésio chegou com
dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A probabilidade de ele ter
ido de avião é:”
Esta é a pergunta da probabilidade condicional. Para respondê-la, teremos que
aplicar a seguinte fórmula:
 P(avião dado atrasado) = P(avião & atrasado) / P(atrasado)
Já concluímos anteriormente que: P(avião & atrasado)=0,006.
vimos ainda que P(atrasado)=0,04.
 P(avião dado atraso) = P(avião & atraso) / P(atraso)
 P(avião dado atraso) = 0,006 / 0,04 = 0,15 = 15%  Resposta!
Exercício: A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade
de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes:
a-
Qual a probabilidade, ao mesmo
tempo, de o cão estar vivo e de o gato estar vivo daqui a 5 anos?
b - qual a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos?
podemos começar a compor a nossa árvore de probabilidades (um desenho, que nos
ajudará a enxergar melhor a questão). Daí, até aqui, teremos que:
VIVO (3/5)
GATO
MORTO (2/5)
VIVO (4/5)
CÃO
MORTO (1/5)
Respostas:
a - Conforme o enunciado, devemos considerar os eventos independentes...
P(gato vivo & cão vivo)=(3/5)x(4/5)=12/25
b - podemos traduzir essa pergunta de outra forma: “Qual a probabilidade de o cão estar
vivo daqui a 5 anos e o gato estar morto?”
Olhemos de novo para a nossa árvore de probabilidades:
Daí, se procuramos a probabilidade de ocorrência desses dois eventos, faremos:
 P(cão vivo & gato morto)=(4/5)x(2/5)=8/25.
4.6 Partição de um espaço amostral
Os eventos
formam uma partição do espaço amostral, se eles nao tem
interseção entre si e sua uniao é igual ao espaço amostral. Isto é:
para
e
.
A figura 4.5 apresenta um exemplo de partição de 6 eventos
FIGURA 4.5 partição do espaço amostal (k=6)
Seja A um evento qualquer em . Entao, pela figura 4.6 temos
FIGURA 4.6 partição do espaço amostral (k=3) e um evento A em .
O evento A, neste caso, será dado entao, por:
Sendo assim, a probabilidade de A, P(A), é dada por
Mas,
,
Logo,
O qual denominamos teorema da probabilidade total.
4.7 Teorema de Bayes
Suponha que os eventos
formem uma partição de
tal que
,
Seja A qualquer evento tal que
. Entao, para
qualquer
temos:
Exemplo
Exercício:
Em um cinema três filmes A, B e C foram responsáveis por toda a clientela da última
semana, sendo 20% dos clientes assistiram ao filme A, 30% ao filme B e 50% assistiu
ao filme C. Uma pesquisa, realizada após cada apresentação dos filmes, mostrou que
20% dos clientes que assistiram ao filme A estavam insatisfeitos, e a proporção de
insatisfeitos com os filmes B e C era foi de 5% e 2%, respectivamente. Suponhamos que
nenhum cliente assistiu a mais de um filme naquela semana. Um cliente insatisfeito fez
uma reclamação via urna sem se lembrar de especificar a sala onde viu o filme.
Pergunta-se: Qual é a probabilidade deste cliente ter assistido ao filme A?
O interesse é calcular a probabilidade de um cliente ter assistido ao filme A dado
que ficou insatisfeito. Vamos primeiramente denotar os eventos de interesse:
A: “Cliente assistiu ao filme A”;
B: “Cliente assistiu ao filme B”;
C: “Cliente assistiu ao filme C”;
E: “O cliente ficou insatisfeito”
Deseja-se encontrar a seguinte probabilidade:
P( A | E ) 
P( A  E )
P( A) P( E | A)

P( E )
P( A  E )  P( B  E )  P(C  E )

P( A) P( E | A)
P( A) P( E | A)  P( B) P( E | B)  P(C ) P( E | C )

(0,2)(0,2)
 0,615.
(0,2)(0,2)  (0,3)(0,05)  (0,5)(0,02)
Exercicios
1 - Em um baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de obter uma carta de espadas ou
uma carta de paus? E a probabilidade de obter uma carta de paus ou uma carta de
número 8? E por último, qual é a probabilidade de uma carta selecionada deste baralho
não ser de espadas ou de paus?
Na primeira pergunta estamos interessados na probabilidade relacionada à união
de dois eventos disjuntos, pois se retirarmos uma carta do baralho ou ela será de espadas
ou será de paus, portanto:
P(AB)= P(A ) + P(B) =
= 13/52 + 13/52 = 1/2.
A segunda pergunta está outra vez relacionada à união de dois eventos, porém,
agora apresenta interseção, pois uma carta pode se ao mesmo tempo de paus e ser de
número 8, portanto:
P(AB)= P(A) + P(B) – P(
)=
–
13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52
Finalmente, na terceira pergunta estamos lidando com a probabilidade do
complementar de um evento para o qual já estamos de posse de sua probabilidade,
portanto:
P([AB]C) = 1 – P(AB) = 1 - 1/2 = ½.
2 - Suponhamos que no lançamento de um dado 2 vezes consecutivas gostaríamos de
saber qual é a probabilidade de ocorrer número par em ambos os lançamentos.
a probabilidade de ocorrer par no primeiro experimento é 1/2, assim como também é 1/2
a probabilidade de ocorrer par no segundo experimento, de onde obtemos que:
P( X  p, Y  p)  1 / 4  P( X  p) P(Y  p)  1 / 2 *1 / 2  1 / 4 ,
portanto, os eventos A e B são independentes.
3 - Qual é a probabilidade de se ter obtido um número par no lançamento de um dado
uma vez que se sabe que o resultado de tal lançamento gerou um número menor que 4?
Seja A o valor do número obtido no lançamento do dado, então:
P( A ser par | A  4) 
P( A ser par  A  4)
1/ 6
=
= 1/3.
3/ 6
P( A  4)