Tópico C Progressão Aritmetica

Tópico C – mtm B
PROGRESSÃO
ARITMÉTICA
Progressão Aritmética
Definição
Sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é
igual ao anterior somado com uma constante chamada razão da
progressão aritmética.
Exemplo 1: Uma fábrica de automóveis produziu 400 veículos em
janeiro e aumenta mensalmente sua produção de 30 veículos.
Quantos veículos produziu em junho?
Resolução:
Produção
Inicial
Janeiro
Após
1 mês
Fevereiro
Após
2 meses
Março
.....
Após
5 meses
Junho
400
430
460
.....
550
+ 30
+ 30
Progressão Aritmética
Classificação
PA crescente
Ex.: (2, 4, 6, 8...)
r>0
PA constante
Ex.: (2, 2, 2, 2...)
r=0
PA decrescente
Ex.: (8, 6, 4, 2...)
r<0
Progressão Aritmética
Classificação
Exemplo 2: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
( V ) Se uma PA tem r > 0, então essa PA é crescente.
( F ) (UFSC 2002) Se três números DISTINTOS formam uma
progressão aritmética, então eles não formam uma progressão
geométrica.
( V ) A PA (2a + 2, 2a + 5, 2a + 8) é crescente.
r=3
( F ) A PA (2b + 1, 3b + 1, 4b + 1) é crescente.
r = b, depende de b.
Progressão Aritmética
Classificação
Exemplo 3: (FUVEST) Classifique a progressão
( - x2 + 4x – 12, 7, x2 – 4x + 26)
Resolução:
( - x2 + 4x – 12, 7, x2 – 4x + 26)
_
_
7 – ( - x2 + 4x – 12) = 7 + x2 - 4x + 12 = x2 – 4x + 19
x2 – 4x + 26 – 7 = x2 – 4x + 19
É uma PA
Razão positiva ou negativa?
y = x2 – 4x + 19
∆ = b² - 4ac = 4² - 4(1)(+19) = 16 - 76 = - 60
Independente de x, a razão (função) é sempre positiva.
PA crescente
Progressão Aritmética
Classificação
Exemplo 3: (FUVEST) Classifique a progressão
( - x2 + 4x – 12, 7, x2 – 4x + 26)
Resolução:
E se ∆ fosse positivo?
x < 1 ou x > 3
⇒
r>0
⇒
r=0
⇒
r<0
PA crescente
x = 1 ou x = 3
+++ ---- +++
1
3
PA constante
1<x<3
PA decrescente
Progressão Aritmética
Notações Especiais
PA de 3 termos
(x – r, x, x + r)
PA de 4 termos
(x – 3r, x – r, x + r, x + 3r)
PA de 5 termos
(x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
Progressão Aritmética
Notações Especiais
Exemplo 4: (UFSC) Três lados de um triângulo retângulo estão em
PA. Sabendo que sua área vale 150 cm2, calcule o seu perímetro.
Resolução:
x3k
-r
x
5k+ r
x
4k
Pitágoras
(x + r)² = (x – r)² + x²
Área
x(x – r)/2 = 150
Todo triângulo retângulo com os lados em
PA, é um derivado ou o próprio 3, 4, 5.
(4k.3k)/2 = 150
k² = 25
3k 4k 5k
3(5) 4(5) 5(5)
15 20 25
k=5
2P = 15 + 20 + 25
12k² = 300
2P = 60 cm
Progressão Aritmética
Notações Especiais
Exemplo 4: (UFSC) Três lados de um triângulo retângulo estão em
PA. Sabendo que sua área vale 150 cm2, calcule o seu perímetro.
Resolução:
150/6 = k²
3
5
k² = 25
k=5
4
A = 4 . 3/2 = 6
2P = 3 + 4 + 5 = 12
2P = 12 . 5 = 60 cm
Progressão Aritmética
Termo Geral da PA
an = a1 + (n – 1).r
Exemplos:
an e-nésimo termo
a) a6 = a1 + 5r
a1 primeiro termo
b) a6 = a4 + 2r
n termo
c) a6 = a10 - 4r
r
razão
Progressão Aritmética
Termo Geral da PA
Exemplo 5: (UDESC) Sabendo que a3 + a7 = 36 e a5 + a10 = 46,
calcule :
a) A razão da PA
b) a5
Resolução:
a)
a5 + a10 = 46
a3 + 2r + a7 + 3r = 46
36 + 5r = 46
5r = 10
r=2
b)
a5 + a10 = 46
a5 + a5 + 5r = 46
2a5 + 5r = 46
2a5 + 5(2) = 46
2a5 + 10 = 46
2a5 = 36
a5 = 18
Progressão Aritmética
Termo Geral da PA
Exemplo 6: (IME) O cometa Halley visita a terra a cada 76 anos.
Sua última passagem por aqui foi em 1986. Quantas vezes ele
visitou a Terra desde o nascimento de CRISTO ? Em que ano foi
sua primeira passagem na era cristã ?
Resolução:
PA de razão – 76.
an = a1 + (n – 1).r
an = 1986 + (n – 1).(– 76)
an = 1986 – 76n + 76
an = 2062 – 76n
a1 é 1986.
an > 0
2062 – 76n > 0
76n < 2062
n < 27,13
n = 27
a27 = a1 + 26r
a27 = 1986 + 26.(– 76)
a27 = 1986 – 1976
a27 = 10
Progressão Aritmética
Termo Geral da PA
Exemplo 6: (IME) O cometa Halley visita a terra a cada 76 anos.
Sua última passagem por aqui foi em 1986. Quantas vezes ele
visitou a Terra desde o nascimento de CRISTO ? Em que ano foi
sua primeira passagem na era cristã ?
Resolução:
1986
- 1976
PA de razão – 76.
a1 é 1986.
76
26 + 1 = 27 - nº de vezes que visitou a Terra.
10 - ano da 1ª passagem.
Progressão Aritmética
Interpolação Aritmética
Em toda sequência finita (a1, a2,…, an - 1, an), os termos a1 e an são
chamados extremos e os demais são chamados meios.
Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre os números a e b,
significa obter uma PA de extremos a1 = a e an = b, com n = k + 2
termos.
Para determinar os meios dessa PA é necessário calcular a sua
razão.
Progressão Aritmética
Interpolação Aritmética
Exemplo 7: (Uepg 2010) Numa estrada existem dois telefones
instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 248. Entre
eles serão colocados mais 6 telefones, mantendo-se entre dois
telefones consecutivos sempre a mesma distância. Nessas
condições, assinale o que for correto.
01. A distância entre cada telefone será de 35 km.
02. Haverá um telefone no km 108.
04. Se um motorista está no km 165, a menor distância que ele
terá que percorrer para encontrar um telefone será de 13 km.
08. No km 73 não haverá telefone.
Progressão Aritmética
Interpolação Aritmética
Exemplo 7: (Uepg 2010) Numa estrada existem dois telefones
instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 248. Entre
eles serão colocados mais 6 telefones, mantendo-se entre dois
telefones consecutivos sempre a mesma distância. Nessas
condições, assinale o que for correto.
Resolução:
estrada
km
3
km
38
km
73
km
108
km
143
km
178
245 km
248 – 3 = 245 km
245/7 = 35 km
km
213
km
248
Progressão Aritmética
Interpolação Aritmética
Exemplo 7: (Uepg 2010) Numa estrada existem dois telefones
instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 248. Entre
eles serão colocados mais 6 telefones, mantendo-se entre dois
telefones consecutivos sempre a mesma distância. Nessas
condições, assinale o que for correto.
Resolução:
estrada
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
km
3
a8 = a1 + 7r
248 = 3 + 7r
245 = 7r
r = 35
km
38
km
73
km
108
km
143
km
178
km
213
a2 = a1 + r = 3 + 35 = 38
a3 = a1 + 2r = 3 + 2.35 = 3 + 70 = 73
a4 = 108
km
248
a5 = 143
a6 = 178
a7 = 213
Progressão Aritmética
Interpolação Aritmética
estrada
a1
a2
a3
a4
a5
a6
km
3
km
38
km
73
km
108
km km km
143 165 178
a7
a8
km
213
km
248
245 km
01. A distância entre cada telefone será de 35 km. verdadeiro
02. Haverá um telefone no km 108. verdadeiro
04. Se um motorista está no km 165, a menor distância que ele terá que
percorrer para encontrar um telefone será de 13 km. verdadeiro
08. No km 73 não haverá telefone. falso
04) 178 – 165 = 13 km
165 – 143 = 22 km
Gabarito: 07
Progressão Aritmética
Interpolação Aritmética
Exemplo 8: (UDESC) Quantos múltiplos de 7 existem entre 20 e
1000.
Resolução:
1000
7
-7
14 2
30
- 28
20
- 14
6
1000 – 6 = 994
a1 = 21
an = 994
razão 7
an = a1 + (n – 1)r
994 = 21 + (n – 1)7
973 = 7n – 7
980 = 7n
n = 140
São 140 múltiplos de 7 entre 20 e 1000.
Progressão Aritmética
Interpolação Aritmética
Exemplo 9: Quantos múltiplos de 7 e 5 existem entre 20 e 1000.
Resolução:
MMC (7, 5) = 35
Assim, deve-se verificar quantos múltiplos de 35 existem entre 20
e 1000.
Exemplo 10: Quantos múltiplos de 7 ou 5 existem entre 20 e 1000.
Resolução:
M (7) + M (5) - M (7 e 5) = M (7) + M (5) – M (35)
Progressão Aritmética
Média Aritmética
PA (a, b, c)
b= a+c
2
Exemplo 11: (FUVEST adaptada) Quais os números x1 e x2 que
devem ser somados aos números - 2, 5 e 8, para que os números
formem, respectivamente, uma PA e uma PG.
Resolução:
- 2, 5, 8
- 2, 5, 8
PA (- 2 + x1, 5 + x1, 8 + x1)
PG (- 2 + x2, 5 + x2, 8 + x2)
5 + x1 = -2 + x1 + 8 + x1
2
2(5 + x1) = 6 + 2x1 Não existe x, que
somado a - 2, 5 e 8,
10 + 2x1 = 6 + 2x1 formem uma PA.
Média de PG
(5 + x2)² = (- 2 + x2)(8 + x2)
.
.
.
Progressão Aritmética
Soma Equidistante
am + an = ax + ay ⇔ m + n = x + y
a3 + a7 = a4 + a6
Exemplo 12: (UFSC) Sabendo que a3 + a7 = 12 , calcule a soma
dos nove primeiros termos da PA.
Resolução:
Sn = (a1 + an )n
2
S9 = (a3 + a7 )9
2
S9 = (a1 + a9 )9
2
S9 = 12 . 9 = 54
2
Progressão Aritmética
Termo Médio
PA (a, b, c)
a e c são termos
equidistantes de b.
b= a+c
2
Exemplo 13: (FUVEST - 3600 ZEROS) Sabendo que a soma dos 9
primeiros termos de uma PA é 17874, calcule seu 5º termo.
Resolução:
a5 =
a1 + a9
2
Sn = (a1 + an )n
2
17874 = (a1 + a9 )9
2
S9 = (a1 + a9 )9
2
35748 = (a1 + a9 )9
a5 = 3972
2
3972 = a1 + a9
a5 = 1986
Progressão Aritmética
Soma de PA
Sn = (a1 + an )n
2
Exemplo 14: (Espm 2011) A soma dos n primeiros termos de
uma sequência numérica é dada pela expressão Sn = 8n² - 1.
Pode-se afirmar que seu 10º termo é:
Resolução:
Sn – Sn - 1 = an
S10 – S9 = a10
8(10)² - 1 – ( 8(9)² - 1 ) = a10
a10 = 8.100 – 1 – 8.81 + 1
a10 = 8(100 – 81)
a10 = 8(19)
a10 = 152
Progressão Aritmética
Soma de PA
Exemplo 15: (Fgv 2010) A soma dos 100 primeiros termos de
uma progressão aritmética é 100, e a soma dos 100 termos
seguintes dessa progressão é 200. A diferença entre o segundo e
o primeiro termos dessa progressão, nessa ordem, é
a) 10–4
b) 10–3
a101 + a200 = 4
(a1 + a100 )100
100
=
2
c) 10–2
a1 + 100r + a100 + 100r = 4
d) 10–1
a1 + a100 = 2
2 + 200r = 4
e) 1
200r = 2
200 = (a101 + a200 )100
Resolução:
2
-2
r
=
1/100
=
10
a
+
a
=
4
101
200
Sn = (a1 + an )n
2
Gabarito: c
razão
Progressão Aritmética
Soma de PA
Exemplo 16: (ACAFE) Um cálculo sobre o índice pluviométrico
divulgou a seguinte dosagem:
primeiro dia: 1,0 mv; segundo dia: 1,2 mv; terceiro dia: 1,4 mv;
... e assim sucessivamente.
Sabendo-se que o total acumulado será de 63 mv, até que as
chuvas cessem, o número de dias de duração deste prognóstico
será de:
(1; 1,2; 1,4; ...) razão 0,2
Resolução:
Sn = (a1 + an)n/2
an = a1 + (n - 1)r
n² + 9n – 630 = 0
an = 1 + (n - 1)0,2
Sn = (1 + 0,8 + 0,2n)n/2
an = 1 + 0,2n - 0,2
63 = (1,8n + 0,2n²)/2
an = 0,8 + 0,2n
63 = 0,9n + 0,1n² .(10)
n = 21
ou n = - 30
21 dias
Progressão Aritmética
Progressão Harmônica
A sequencia (an) é considerada uma PH se a sequência 1/an for
uma PA.
Exemplo 17: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
( V ) UFPR – A sequência 1/3, 1/5, 1/7 é uma progressão harmônica.
Exemplo 18: A sequência 3, 4 e 6 é uma progressão harmônica.
Calcule o 8º termo.
Resolução:
a8 = a1 + 7r
8º termo da PH
PH (3, 4, 6)
a8 = 1/3 + 7(-1/12)
PA (1/3, 1/4, 1/6)
-4
a8 = 1/3 - 7/12
razão
a8 = - 3/12
8º termo
1/4 - 1/3 = - 1/12
da PA
a8 = - 1/4
Progressão Aritmética
PA de Ordem Superior
A sequência (an) é considerada de ordem superior se a sequência
formada pelos números gerados á partir das diferenças entre
termos consecutivos formem uma PA ou uma PG.
Exemplo : 3, 5, 9, 15, 23, ...
3 5 9 15 23
- - - 2 4 6 8
PA de razão 2
15 = 2 + 4 + 6 + 3
an = Sn – 1 + a1
Progressão Aritmética
PA de Ordem Superior
Exemplo 15: Uma determinada cultura de bactérias aumenta ao
dia segundo a sequência abaixo, onde 6 bactérias representam a
quantidade inicial.
6, 8, 15, 27, 44 ...
Considerando que nenhuma bactéria morra, determine quantas
bactérias terão após 8 dias.
Resolução:
6 8 15 27 44
- - - 2 7 12 17
PA de razão 5
an = Sn – 1 + a1
a8 = S7 + a1
a8 = 119 + 6
a8 = 125
S7 = (a1 + a7 )7
2
S7 = (2 + 32)7
2
S7 = 119
125 bactérias após 8 dias.
a7 = a1 + 6r
a7 = 2 + 6(5)
a7 = 32
Progressão Aritmética
Relacionamento Juros X PA
Regime de capitalização simples, corresponde a uma progressão
aritmética, onde os montantes crescem de forma linear ao longo
do tempo.
Tópico C – mtm B
FIM