Cap.10 Energia

Cap.10 Energia
Do professor para o aluno ajudando na avaliação de compreensão do capítulo.
É fundamental que o aluno tenha lido o capítulo.
Produto Escalar
Define-se o produto escalar entre dois vetores como sendo o produto entre os seus módulos e o
cosseno do ângulo formado pelos vetores.
r r
A · B = A B cos(q )
.
O símbolo, , denota a operação produto escalar. O
resultado desta operação é um valor escalar.
rr rr
O produto escalar é comutativo: A · B = B · A
Exemplo: Alguns exemplos de produto escalar.
(a) Entre os vetores unitários:
iˆ.iˆ = ˆj. ˆj = kˆ.kˆ = 1; iˆ. ˆj = kˆ. ˆj = iˆ.kˆ = 0
(b) Projeção de um vetor sobre o eixo ( ou sobre o eixo y):
r
Ax = A · iˆ = ( A)(1) cos(q ) = A cos(q )
(c) Se A é perpendicular a B, q=90o, então A . B = 0. Essa igualdade também se mantém no
caso trivial, onde A ou B é zero.
(d) Se A for paralelo a B e os dois apontarem para mesma direção, q=0o, então A . B = AB.
(e) Se o vetor A for paralelo a B e os dois apontarem para direções opostas, q=180o, então
A.B = -AB.
(f) Operação geral entre os vetores A e B:
r
r
A = Axiˆ + Ay ˆj + Ak kˆ; B = Bxiˆ + By ˆj + Bk kˆ
Utilizando as operações fornecidas no item (a), resulta em
r r
A · B = Ax Bx + Ay By + Ak Bk
(g) No caso especial em que A = B,
rr
A · A = A2 = Ax 2 + Ay 2 + Ak 2
Este é o módulo do vetor A.
10.1 Trabalho, Energia Cinética
► As definições de posição, velocidade e aceleração e as leis de Newton permitem resover uma
variedade de problemas. No entanto, o estudo de interação entre os corpos é muito difícil de se
resolver somente utilizando as leis de Newton, por isso uma outra abordagem foi utilizada: as
definições de momento linear e impulso e a lei de conservação do momento linear.
►Continuaremos nessa nova abordagem, definindo novas quantidades, conhecidas ou não, mas de
significados mais específicos na Física, tais como, o trabalho, a energia cinética e a energia potencial.
► Na nossa análise de conservação de momento linear, concentramos a nossa atenção em um
sistema onde incluímos todas as partículas ou uma parte delas.
►Trataremos, com mais atenção, a noção de sistema.
► Sistemas
e ambientes
►Sistema: pequena porção do espaço de interesse e ignorando os detalhes fora do sistema.
►Não importa qual seja o sistema específico em um determinado problema, identificamos uma
fronteira do sistema- uma superfície imaginária que divide o espaço dentro so sistema- e o
ambiente no entorno dele.
►Exemplo: O sistema pode ser definido como a combinação da parede, da mola e do bloco.
A influência do ambiente inclui a força gravitacional no bloco, a força normal e de atrito no bloco. As
forças exercidas pela mola no bloco e na parede são internas ao sistema e, portanto, não são incluídas
como uma influência do ambiente.
► Há vários mecanismos pelos quais um sistema pode ser influenciado por seu ambiente. O primeiro
que devemos investigar é o trabalho.
► Trabalho
► Considere uma força aplicada, constante ou não, a um corpo, que identificamos como o sistema,
e o corpo desliza sobre uma superfície horizontal.
► Qual é a eficácia da força ao mover o corpo?
► Faremos o procedimento semelhante como foi realizado na formulação de conceitos de
momento linear e impulso.
Consideramos que a força resultante Fres sobre uma partícula envolvida na expressão da segunda lei
de Newton ser dependente de posição:
rr rrrrr dvrrr
dv
dr
Fres (r ) = m
Þ Fres (r ) · dr = mdr ·
= m · dv
dt
dt
dt
O produto escalar foi realizado entre o vetor dr e os membros da esquerda e da direita na expressão
acima. O dt foi deslocado para baixo de dr e utiliza-se a definição v = dr/dt. A integração é realizada,
fazendo a mudança de variáveis e usando a regra de cadeia no integrando:
ò
rf
ri
r rrrr
m vf
Fres (r ) · dr = ò mv · dv = ò d v 2
2 vi
( )
Note-se que foi utilizado o procedimento (g) apresentado no produto escalar.
► Resulta em
ò
rf
ri
r rr
mv f 2 mvi 2
Fres (r ) · dr =
2
2
onde vi é a velocidade escalar (rapidez) da partícula em ri e vf é sua velocidade escalar (rapidez) em
rf.
► Define-se trabalho a expressão apresentada no membro à esquerda da equação acima:
Wext = ò
rf
ri
r rr
Fres (r ) · dr
► O trabalho W realizado sobre um sistema por um agente externo que exerce uma força F(r)
sobre ele é a integral do produto escalar entre a força F e o deslocamento dr do ponto de aplicação
da força.
► Se a força for aplicada a uma partícula ou um corpo rígido, também considerado como partícula,
o deslocamento dr é o mesmo que o da partícula.
►Para um sistema deformável, como o balão, ao pressionar esse corpo com ambas as mãos, o
ponto aplicação, dr, se move, ou seja, as superfícies do balão se movem, mas o centro desse corpo
não se move e os deslocamentos não são iguais.
► O significado físico do trabalho é a transferência de energia.
Se Wext é o trabalho realizado sobre um sistema, e Wext é positivo, a energia é transferida para o
sistema; se Wext é negativo, a energia é transferida do sistema.
Uma vez que um sistema interage com seu ambiente, a transferência de energia ocorre através
da fronteira do sistema. O resultado é uma mudança na energia armazenada no sistema.
A mudança pode ser positiva ou negativa, como apresentado anteriormente.
► Unidade de trabalho: Joule- [J]
►Expressando o trabalho conforme a direção da força Fres com o deslocamento dr:
rf r
rf
rrr
Wext = ò Fres (r ) · dr = ò Fres (r ) cos(q )dr
ri
ri
(a ) Wext > 0; q < p / 2;
(b) Wext = 0; q = p / 2;
(c) Wext < 0; p / 2 < q £ p ;
► Pergunta: A força gravitacional exercida pelo Sol sobre a Terra a mantém em órbita em torno do
Sol. Considerando que a órbita é perfeitamente circular, o trabalho realizado por essa força
gravitacional durante um curto intervalo de tempo no qual a Terra se desloca em sua trajetória orbital
é (a) zero; (b) positivo; (c) negativo; (d) impossível de determinar.
►Importante: Calculamos o trabalho realizado por uma força sobre um corpo, mas a força não é
necessariamente a causa do seu deslocamento. Por exemplo, se levantar um corpo, um trabalho
negativo é realizado sobre ele pela força gravitacional, embora a gravidade não seja a causa do
movimento dele para cima.
Trabalho realizado por uma força constante
r
r
► W = F · Dr
ext
res
Exemplo: Uma partícula que se move no plano XY sofre um deslocamento dado por Dr = (2,0i +
3,0j)m, enquanto uma força F = (5,0i + 2,0j)N age sobre a partícula. Calcule o trabalho realizado por
F sobre a partícula.
Sugestão: No produto escalar F.Dr envolve as operações i.i = j.j = 1 e i.j = j.i = 0.
Resp. 16J
Trabalho realizado por uma força variável
► No caso unidimensional, direção X, a expressão integral se torna
Wext =
ò
xf
xi
Fx dx
onde substituímos dr cosq por dx.
► Problema: Uma bala de 100 g é disparada de um rifle com um cano de 0,600 m de
comprimento. A força exercida pelo gás expandindo sobre a bala é 15.000 +10.000 x – 25.000 x2,
onde x está dado em metros. (a) Faça o gráfico de força versus comprimento do cano. (b) Determine
o trabalho realizado pelo gás sobre a bala quando ela percorre o comprimento do cano.
Solução: (a) Gráfico:
Força
O gráfico mostra que a força de expansão
20 000
do gás não se anula em x=0,600m, mas em
x=1,00m. Significa que o cano do rifle
15 000
pode ser mais longo, no máximo, até 1,00m
par aproveitar a força expansiva do gás
10 000
sobre a bala.
5000
0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(b) O trabalho realizado pela força sobre a bala é calculado.
Wext = ò
0,600
0
(15.000 + 10.000 x - 25.000 x 2 )dx
0,600
æ
10.000 x 2 25.000 x3 ö
= ç15.000 x +
÷
2
3
è
ø0
Wext = 9, 00kJ
Energia Cinética
► Estudamos o trabalho e o identificamos como um mecanismo para transferir energia para um
sistema. Afirmamos que o trabalho é uma influência do ambiente sobre um sistema, mas ainda não
discutimos o resultado da influência sobre o sistema. Temos obtido que
Wext =
mv f 2
mvi 2
2
2
Um resultado possível de realizar trabalho sobre um sistema é que muda sua velocidade escalar
(rapidez). Essa energia é definida como energia cinética,
mv 2
Kº
2
► A energia cinética representa a energia associada com o movimento da partícula; é uma
quantidade escalar.
x
► Escrevemos
Wext = K f - Ki = DK
► O trabalho realizado sobre uma partícula por uma força resultante F que age sobre ela é igual à
variação na energia cinética da partícula. A expressão acima é um resultado importante denominado
como teorema do trabalho-energia cinética:
Quando o trabalho é realizado sobre um sistema e a única mudança nele acontece em sua
velocidade escalar (rapidez), o trabalho resultante sobre o sistema é igual a variação da energia
cinética do sistema.
► Obs. O teorema do trabalho-energia cinética é importante, mas limitado em sua aplicação. O
princípio mais geral que envolve a energia é a conservação de energia que será estudado
posteriormente.
►Obs. O teorema do trabalho-energia cinética relaciona trabalho a uma mudança na velocidade
escalar de um sistema, não uma mudança em sua velocidade vetorial. Por exemplo, um corpo em
movimento circular uniforme, sua velocidade escalar( rapidez) é constante. Embora sua velocidade
(vetor velocidade) esteja mudando, nenhum trabalho é realizado sobre o corpo pela força que causa o
movimento circular. O mesmo se aplicar em qualquer movimento circular, ou seja, a rapidez
constante ou não.
►Energia
cinética e momento linear
Podemos expressar a energia cinética de uma partícula em termos de seu momento linear e da massa.
Escrevemos a velocidade como p = mv Þ v =
p
m
Substituindo na energia cinética, obtemos
mv 2
p2
K=
ÞK=
2
2m
Comparação entre o momento linear e a energia cinética
Veremos a diferença fundamental entre o momento linear e energia cinética de uma partícula. O
teorema do impulso-momento linear J = pf - pi afirma que as variações do momento linear de uma
partícula são produzidas pelo impulso, que depende do tempo durante o qual a força resultante atua.
Por outro lado, o teorema do trabalho-energia cinética
Wext = K f - K i afirma que quando um trabalho é realizado sobre uma partícula ocorre uma
variação da sua energia cinética; o trabalho total depende da distância ao longo da qual a força
resultante atuou.
Por exemplo, considere uma partícula que parte do repouso no instante ti de modo que vi = 0.
Seu momento linear inicial é pi =0, e sua energia cinética inicial é Ki = 0. Suponha que uma força
resultante constante F atue sobre a partícula no intervalo entre os instantes ti e tf . Durante o
intervalo tempo, Dt= tf - ti , a partícula se desloca de uma distância Ds na direção da força. O
momento linear da partícula no instante tf é
p f = J = F Dt ,
onde J é o impulso que atua sobre a partícula. Logo, o momento linear de uma partícula é igual
ao impulso que a acelera do repouso à sua velocidade atual; o impulso, por sua vez, é igual ao
módulo da força resultante que acelerou a partícula multiplicado pelo tempo necessário para essa
aceleração.
Compare com a energia cinética da partícula que no instante tf é dada por
K f = Wext = F Ds
,
ou seja, é igual ao trabalho total realizado sobre a partícula para acelerá-la a partir do repouso. O
trabalho total realizado é igual ao módulo da força resultante que acelerou a partícula multiplicado
pela distância necessária para essa aceleração.
Exemplo: Agarrar qual entre a bola de m1 = 0,50kg que se desloca a 4,0 m/s ou uma bola de
m2=0,10kg que se desloca a 20 m/s?
Solução: Os momentos lineares das bolas são iguais: p1 =0,50x4,0 = 2,0 kg m/s e p2 = 0,10x20 = 2,0
kg m/s. A energia cinética da bola mais leve é maior do que a outra mais pesada:
K1 = 4,0 J e K2 = 20 J.
Como os momentos são iguais, logo ambas necessitam do mesmo impulso para fazê-las entrarem em
repouso: J1=J2 = 2,0 N s No entanto, K2 = 5K1, implica que o trabalho realizado por sua mão ao fazer
a bola mais leve parar é 5 vezes maior do que realizado para fazer a bola mais pesada parar. Para uma
dada força média exercida pela sua mão, leva o mesmo tempo para fazer as bolas pararem, porém o
deslocamento da sua mão e do seu braço é 5 vezes maior para agarrar a bola mais leve do que a bola
mais pesada.
Portanto é preferível escolher a agarrar a bola mais pesada para minimizar a deformação do seu
braço.
Problema: Uma bola de beisebol lançada com grande velocidade possui uma energia cinética
aproximadamente igual à energia cinética de uma bala de calibre 22 disparada por um rifle, e a bala
possui um momento linear menor do que o da bola de beisebol. Entretanto, você escolheria agarrar a
bola de beisebol em vez da bala do rifle. Por quê?
Problema: Dois barcos de vela construídos para deslizar no gelo está em repouso sobre uma
superfície horizontal sem atrito e eles apostam uma corrida. O barco A possui massa m e outro B,
massa 2m. As velas de ambos os barcos são idênticas, de modo que o vento exerce a mesma força
constante F sobre cada barco. Os dois barcos partem do repouso e a distância entre a partida e a linha
de chegada é igual a d.
(a) O barco A chegará ao final da linha com a energia cinética maior, menor ou igual a do barco
B?
(b) Na linha de chegada, qual deve ser a razão vA/vB entre as velocidade dos dois barcos?
(c) O barco A leva igual, menos ou mais tempo do que o barco B para chegar ao final da linha?
(d) Na linha final, qual deve ser a razão tA/tB entre os tempos dos dois barcos?
Resp. (a) igual; (b) vA/vB =
2 ; (c) tB > tA; (d) tA/tB =1/ 2 .
10.2 Energia Potencial Gravitacional
► Objetivo desta seção é apresentar o conceito da energia potencial gravitacional e para isso,
definimos um sistema bloco+Terra, figura, onde as forças gravitacionais são forças internas ao
sistema. A Terra tem muita massa que pode ser considerada parada durante a aplicação de uma força
externa, Fap.
► Sistema bloco+Terra
A força externa Fap é aplicada no bloco e realiza trabalha sobre o sistema ao levantar o bloco muito
lentamente partir do repouso
por um deslocamento vertical
Dy = yf – yi. O trabalho é uma
transferência de energia,
portanto, este trabalho realizado
sobre o sistema deve aparecer
como um aumento ( ou
diminuição) da energia do
sistema. Interpreta-se a
transferência de energia pelo
trabalho realizado sobre o
sistema como sendo a mudança
na configuração do sistema de
seu Estado inicial ao Estado
final, conforme apresentada nas
figuras ao lado.
O bloco parte do repouso e fica
em repouso após o trabalho realizado, logo, DK = 0 do sistema:
Wext = Fap Dy
DK =
mv f 2
mvi 2
=0
2
2
A partir da posição mais alta, yf, pode-se soltar o bloco e deixá-lo cair em direção à posição yi.
Observa-se que o bloco durante a queda possui energia cinética. A origem desta energia está no
trabalho realizado pela força Fap sobre o sistema ao levantar o bloco. Enquanto o bloco estava na
posição mais alta, dizemos que o sistema tinha o potencial de possuir energia cinética, que surge
quando o bloco é solto.
► Denominamos a energia armazenada de energia potencial.
► A energia potencial de um sistema só pode ser associada a tipos específicos de forças agindo
entre os membros de um sistema. Citando algumas: força gravitacional, força elástica e força
elétrica.
►Voltando ao exemplo do sistema bloco – Terra, na figura acima Fap + m g =0 , pois, a rapidez é
muito lenta e se considera constante:
Fap ˆj - mg ˆj = 0 Þ Fap = mg
A força aplicada possui a mesma intensidade da força gravitacional. O trabalho realizado pela Fap
sobre o sistema é
Wext = Fap Dy = mg ( y f - yi )
Wext = mgy f - mgyi
É o trabalho realizado sobre o sistema, pois a força aplicada, Fap, é a única do ambiente sobre o
sistema. Este trabalho é uma diferença entre os valores inicial e final de uma quantidade mgy
definida como a energia potencial gravitacional:
U g º mgy
Obs. Expressão é válida para corpos próximos da superfície terrestre. Não se diz energia potencial
do corpo, mas energia potencial do sistema (bloco (m) + Terra (g) )
► Escrevemos
Wext = DU g
onde DU g é a mudança na energia potencial do sistema (com nenhuma mudança na energia cinética
ou interna)
► O trabalho realizado pela força gravitacional (interna), mg, sobre um corpo (componente) do
sistema movendo-se entre dois pontos já descritos e ilustrados do sistema bloco+ Terra é
Wg = - mgjˆ · ( y f - yi ) ˆj = -(mgy f - mgyi )
Wg = -DU g
O trabalho realizado por essa força interna ao sistema causa uma redução ( sinal negativo) na
energia potencial do sistema.
► A partir do teorema trabalho-energia cinética, o trabalho realizado sobre o bloco é igual à
variação da energia cinética do bloco
Wbloco = DKbloco = K f - Ki
► Como o bloco é a única parte do sistema em movimento, então DK bloco = DK , onde K é a energia
cinética do sistema.
►Por sua vez o trabalho realizado sobre o bloco é igual a
Wbloco = -DU g = -(U gf - U gi )
onde Ug é a energia potencial gravitacional do sistema.
► Igualando as duas equações acima, escrevemos
DK + D U g = 0
ou
K f + U gf = Ki + U gi
► Dizemos que a soma K+Ug da energia cinética com a energia potencial gravitacional, permanece
invariável durante o movimento de componente do sistema.
► O lado esquerdo da expressão DK + DU g = 0 representa a soma das variações da energia
armazenada no sistema. O lado direito é nulo, porque não há transferência de energia através do
limite do sistema, ou seja, o sistema bloco+Terra é isolado do meio.
► Exemplo: Refaça o Exemplo 10.1 do livro texto, página 271, sem utilizar as equações
cinemáticas.
► Pergunta: Uma pedra de massa m é jogada ao chão de uma altura h. Uma segunda pedra, de
massa 2m, é jogada da mesma altura. Quando a segunda pedra atinge o chão, qual é sua energia
cinética em relação à primeira pedra? (a) o dobro, (b) quatro vezes, (c) a mesma, (d) metade, (e)
impossível determinar.
► Pergunta: Três bolas idênticas são jogadas do topo de um
edifício, todas com a mesma velocidade inicial. A primeira é
jogada horizontalmente, a segunda a um ângulo acima da linha
horizontal e a terceira a um ângulo abaixo da linha horizontal.
Desprezando a resistência do ar, classifique os módulos das
velocidades das bolas no instante em que cada uma atinge o chão.
► Responda a questão Pare E Pense 10.1
► O zero da energia potencial
► Escolher uma configuração de referência para a qual a energia potencial gravitacional do sistema
é nula. A escolha da configuração referencial é arbitrária, pois DU g é uma diferença e independe da
escolha da configuração referencial.
► Pergunta: A energia potencial gravitacional de um sistema (a) é sempre positiva, (b) é sempre
negativa, (c) pode ser positiva ou negativa?
► 10.3
Uma olhada de perto na energia potencial gravitacional
► Responda a questão Pare E Pense 10.2
► (a) Refaça o Exemplo 10.4. Acrescentar as perguntas: (b) Calcule a diferença de energias
cinéticas após e antes. (c) A energia que falta foi transferida para o ambiente de que forma?
► Conservação da energia mecânica
Foi concluído que
DK + D U g = 0
Definimos as energias cinética e potencial de um sistema como sua energia mecânica:
Emec = K + U
DEmec = 0
► Aqui U representa a energia total de todos os tipos de energia potencial, que será abordado
posteriormente. Como o sistema sob consideração é isolado, as equações acima nos dizem que a
energia mecânica é conservada; a soma das energias cinética e potencial permanece constante
►Veremos, posteriormente, que existe uma classe de força que define a energia potencial do sistema,
e consequentemente, em que condições a energia mecânica é conservada.
► Responda a questão Pare E Pense 10.3
►
10.4 Forças restauradoras e lei de Hooke
► O modelo físico, no qual a força varia com a posição, é um sistema composto de um bloco sobre
uma superfície horizontal sem atrito e conectado a uma mola, sem massa, cuja outra extremidade está
fixa a uma parede. Ver a figura. O sistema bloco+mola+parede se assemelha ao sistema bloco
+Terra, pois tanto a parede como a Terra estão parados. A interação entre o bloco e a parede é através
da mola. A mola esticada, x>0, ou comprimida, x<0, a uma pequena distância de sua posição de
equilíbrio, x=0, exercerá sobre o bloco uma força a retornar o sistema ao seu estado de equilíbrio.
Esta força é chamada de força restauradora.
► Força elástica na forma vetorial:
r
Fel = -kxiˆ
onde x é a posição do bloco
em relação à sua posição de
equilíbrio (x = 0), e k é uma
constante positiva chamada de
constante de força ou
constante elástica da mola
► Lei de Hooke:
A força necessária para esticar
ou comprimir uma mola é
proporcional à quantidade de
distensão ou compressão x.
► O valor de k é a medida da
rigidez da mola: molas
rígidas, k grandes, e flexíveis,
k pequenos.
► Responda a questão Pare E Pense 10.4
► Pergunta: Ao cortar a mola de constante elástica k pela metade, qual é a nova constante elástica?
Resp.: 2 k
► Trabalho realizado por uma mola
► Se o bloco sofrer um deslocamento de x = xi a x = xf, o trabalho realizado pela força elástica
sobre o bloco será
xf
xf
xi
xi
Wel = ò (- kxiˆ) · (dxiˆ) = ò
xf
kx 2 ù
(- kx) dx = ú
2 ûx
i
2
kxi 2 kx f
Wel =
2
2
► O trabalho realizado pela mola, numericamente, é área do triângulo que tem base x e altura kx,
mostrada na figura acima.
► 10.5
Energia potencial elástica
Agora descreveremos o trabalho realizado sobre o bloco
por um agente externo, quando ele aplica uma força Fap
sobre o bloco movendo-o muito lentamente de x=xi a x =
xf. Na condição de movimento muito lento pode-se
considerar que o bloco está em equilíbrio dinâmico,
Fap + Fel = 0,
então,
Fap = kx i.
O trabalho realizado por essa força aplicada (agente externo) sobre o sistema de bloco+mola+parede
é
xf
xf
xi
xi
Wext = ò (kxiˆ) · (dxiˆ) = ò
xf
kx 2 ù
(kx)dx =
ú
2 ûx
i
Wext
kx f
2
kxi 2
=
2
2
► Como no caso gravitacional, vemos que o trabalho realizado sobre o sistema por uma força
externa é igual a diferença entre os valores inicial e final de uma expressão relacionada à
configuração do sistema.
►Este trabalho é igual ao negativo daquele realizado pela força elástica:
Wext = -Wel
► A energia potencial elástica do sistema é definida por
kx 2
U el º
2
Associa a energia armazenada na mola deformada (configuração do sistema, que é mola comprimida
ou distendida) e é zero sempre que a mola não está deformada ( x = 0).
►Escrevemos
Wext = DU el = U elf - U eli
► Aplicando o teorema de trabalho-energia cinética, como foi realizado no caso gravitacional,
obtemos
K f + U elf = K i + U eli
► Dizemos que a soma K+Uel da energia cinética com a energia potencial elástica, permanece
invariável durante o movimento de componente do sistema.
► O lado esquerdo da expressão DK + DU el = 0 representa a soma das variações da energia
armazenada no sistema. O lado direito é nulo, porque não há transferência de energia através do
limite do sistema, ou seja, o sistema bloco+mola+parede é isolado do meio.
► A energia mecânica, Emec = K + U el
é conservada para um sistema bloco+mola+parede.
► Refazer os Exemplos 10.6, 10.7 e 10.8. No Exemplo 10.7, note que duas energias potenciais são
utilizadas. Exemplo 10.8 é semelhante ao problema 3 da lista 10. A resposta do item (d) deste
problema se encontra no primeiro parágrafo da Resolução do Exemplo 10.8.
► Responda a questão Pare E Pense 10.5
► 10.6 Colisões elásticas
►Numa colisão, estudamos que o momento linear do sistema se conserva:
rr
p f = pi
O momento linear definido como p = mv e a energia cinética
rrrr
mv 2 mv · v mv · mv
K=
=
=
2
2
2m
onde se aplicou a definição do produto escalar e no último termo multiplicou-se e dividiu-se por m.
Utilizando o vetor momento linear e a definição do produto escalar, obtemos
p2
K=
2m
A energia cinética é escrita como função do momento linear escalar.
Numa colisão inelástica, temos Kf < Ki. Uma parte da energia mecânica do sistema é transferida para
o ambiente. Se, na primeira metade de uma colisão, toda a energia cinética for transformada em
energia potencial elástica e, na fase final da colisão, toda esta for convertida de volta em energia
cinética, a colisão é denominada colisão elástica.
► Temos duas leis de conservação
rr
p f = pi
K f = Ki
a do momento linear e da energia cinética. A primeira expressão é vetorial e a segunda escalar.
► Deduzir: Considere duas partículas de massas diferentes movendo ao longo de uma reta como
mostra a figura. As duas partículas se colidem frontalmente e depois se movem cada uma com
velocidade diferente da que possuía. A colisão é elástica.
Equações das conservações de momento linear e energia
cinética são utilizadas
m1v1i - m2 v2i = m1v1 f + m2 v2 f
2
2
mv12i mv22i mv1 f mv2 f
+
=
+
2
2
2
2
Mostrar que as velocidades das partículas após a colisão são
v1 f =
m1 - m2
2m2
v1i +
v2i
m1 + m2
m1 + m2
v2 f =
2m1
m - m1
v1i + 2
v2i
m1 + m2
m1 + m2
No caso particular em que a partícula 2 está em repouso, as velocidades após a colisão são
apresentadas na Equação 10.43 do livro texto.
► Atenção: O problema 10.27 do livro-texto não se trata de uma colisão elástica.
► Resolver: Após deduzir as equações acima, resolver o problema 10.57 do livro –texto.
Recomendação de sempre: não decorar as expressões deduzidas!
► 10.7 Gráficos de Energia Cinética e Potencial
e Equilíbrio de um Sistema
► A energia mecânica de um sistema, onde os membros interagem por meio da força gravitacional,
é a soma das energias potencial gravitacional, Ug = m g y, e cinética, K = 0,5 m v2.
Emec = K + Ug.
A figura abaixo mostra o diagrama de energia
de um corpo de massa m= 2,0 kg lançado
verticalmente para cima e atingindo a altura
máxima yf = 3,0m. Usa-se g = 10 m/s2. A
energia mecânica do sistema é Emec = Ug =
mgyf = 60 J, pois, na altura máxima, a
energia cinética é nula. Inicialmente, y = 0,
a energia mecânica é somente cinética e a
velocidade escalar pode ser determinada,
0,5 m vi2 = 60 J. A curva da energia cinética
é determinada, em cada posição y, pela
diferença entre a energia mecânica e energia
potencial gravitacional, K = Emec – Ug. Na posição em que Emec = Ug, ou seja, onde K = 0, é um
ponto de retorno, em que o corpo inverte o sentido de movimento ( isto já foi visto em cinemática).
► A extremidade esquerda da mola de constante elástica igual a 1,25x103 N/m é presa na parede e
a outra, no bloco de massa 0,500 kg. Quando o bloco é empurrado contra a mola por um agente
externo, a energia potencial elástica e a energia total do sistema aumentam. Quando a mola é
comprimida em 5,00cm, posição à esquerda de x = 0, a energia potencial elástica armazenada na
mola é
E mec
kx 2 1, 25 ´103 ´ (-5, 0 ´10-2 ) 2
=
=
= 1, 56 J
2
2
Na posição de compressão máxima, x= -5,00cm, a energia cinética é nula. Quando o bloco é
liberado, a mola exerce uma força sobre ele e o empurra para a direita. A energia mecânica do
sistema, 1,56J, é transformada em
cinética do bloco, K, e potencial
elástica, U. Nessa mudança de
configuração do sistema, a mola
retorna a seu comprimento original,
isto é, na posição de equilíbrio, x=0, a
energia potencial elástica armazenada
é completamente transformada em
energia cinética. A energia potencial
mecânica é totalmente cinética. Como
a mola está presa ao bloco, ela é
distendida pelo movimento (inércia)
do bloco e continua a troca de energia
cinética do bloco em potencial elástica. A transferência é total quando a mola é esticada em x=xf =
5,00cm. Este é o ponto de retorno. Retoma o movimento para a esquerda repetindo o processo de
transformação da energia. Outro ponto de retorno é em x= -5,00cm.
A descrição está representada na figura.
► O movimento de um sistema pode ser entendido por meio de um gráfico de sua energia
potencial pela posição de um membro do sistema. A mudança na energia potencial é dada por
xf
DU = -W = - ò Fx dx
xi
Quando DU < 0 , a Fx e dx , estão na mesma direção. Por exemplo, quando o corpo é baixado em
um campo gravitacional ou quando uma mola empurra um corpo em direção ao equilíbrio. Temos
DU = U f - U i
Considerando Ui(xi) a configuração de referência do sistema, e medir todas as diferenças de energia
potencial em relação a ela. Escrevemos
xf
U f ( x) = - ò Fx dx + U i
xi
A variação infinitesimal na energia potencial do sistema, dU, será
dU = - Fx dx
A força conservativa é relacionada à função energia potencial por meio da relação
Fx = -
dU
dx
Ou seja, o componente x da força, atuando sobre um membro dentro de um sistema, é igual à
derivada negativa da energia potencial do sistema em relação a x.
Exemplos:
(a)
(b)
d (mgy )
dy
r
Fy = -mg Þ F = -mgjˆ
U g = mgy Þ Fy = -
kx 2
Ug =
Þ Fx = -kx
2
r
Þ F = - kxiˆ
► O gráfico abaixo ilustra a variação da energia potencial de uma partícula do sistema. As E1 e E2
são as energias mecânicas a uma dada configuração do sistema. Se uma partícula é solta em x1, U1
= E1, ela começa a se mover para direita. Acelera até x2 , pois Fx >0 , e desacelera até x3, pois Fx < 0.
Em x3, ela para, K = 0. Esta posição é posição de equilíbrio instável. Uma pequena perturbação que
a partícula sofra, ela pode se move para
direita ou para esquerda. Se ela for para
a esquerda, Fx < 0, retorna para x1 e se
for para a direita, Fx >0, ela para em x7.
Como nessa posição, Fx < 0, ela
retorna para x3. A x7 como a x1 são
posições de retorno para a partícula de
um sistema com energia total E1.
Outras posições de retorno são x4 e x6
para a partícula de um sistema com
energia total E2. Na posição x2, Fx = 0, a
partícula está em repouso, e qualquer
perturbação que a partícula sofra,
produz uma pequena oscilação em
torno desta posição, por isso, esta posição é conhecida como posição de equilíbrio estável.
►Pergunta: (a) Nas posições de retorno, x1, x4 , x6 e x7 ,citadas no texto acima, a força sobre a
partícula é positiva, negativa ou nula? Justificar. (b) As energias mecânicas E1 e E2 citadas no texto
acima podem ser positivas ou negativas? Explicar.
► Responda a questão Pare E Pense 10.6.