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Análise combinatória Árvore de possibilidades Se lançarmos uma moeda três vezes ao acaso, quais e quantos são os possíveis resultados? K K , K , K K K C K C C C K , K , C K K , C , K C K , C , C K C, K , K C C, K , C K C, C, K C C, C, C Se lançarmos um dado e uma moeda ao acaso, quais e quantos são os possíveis resultados? K,1 K 1 2 3 4 5 6 C 1 2 3 4 5 6 K, 2 K, 3 K, 4 K, 5 K, 6 C, 1 C, 2 C, 3 C, 4 C, 5 C, 6 Quantos casais heterossexuais podemos formar com os alunos desta sala ? 01. De quantas formas distintas podemos ir da cidade A para cidade D, passando pelos caminhos da figura que segue e passando obrigatoriamente por B e C? De quantas formas usando a mesma figura, podemos ir de A para D e voltar para A? E de quantas maneiras podemos ir de A para D e voltar para A, mas na volta não podemos usar os caminhos da ida? 3 . ___ 4 24 2 . ___ ___ 3 . ___ 4 . ___ 2 576 3 . ___ 2 . ___ 4 . ___ ___ 3 . ___ 3 . ___ 2 . ___ 1 144 4 . ___ 2 . ___ ___ 02. Observe o diagrama. O número de ligações distintas entre X e Z é a) 39 Para sair de X e chegar em Z podemos ir de: X, R e ou b) 41 X, S e ou c) 35 X,Y e ou d) 45 X , R, Y e ou Alternativa correta, letra B. X , S , Y e Z 3 Z 6 Z 2 Z 18 Z 12 41 03. De quantas formas distintas podemos colorir as listras da bandeira que segue usando apenas as cores ROXO, LARANJA e VERDE? De quantas formas podemos colorir a mesma bandeira com as mesmas cores, mas com uma restrição: não pode haver listras adjacentes com a mesma cor? 3 . ___ 3 . ___ 3 81 3 . ___ ___ 3 . ___ 2 . ___ 2 . ___ 2 24 ___ 04. (OBM-XXVI). O desenho ao lado mostra o mapa de um país (imaginário) constituído por cincos estados. Deseja-se colorir esse mapa com as cores verdes, azul e amarela, de modo que dois estados vizinhos não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode ser pintado? a) 6 b) 10 c) 12 3 2 1 . ___ 1 . ___ 1 6 ___ . ___ . ___ d) 24 e) 120 Alternativa correta, letra A. 05. O mapa abaixo representa a divisão do Brasil em suas regiões. O mapa deve ser colorido de maneira que regiões com uma fronteira em comum sejam coloridas com cores distintas. Determine o número (n) de maneiras de se colorir o mapa, usando-se 5 cores. Vamos usar as cinco cores abaixo e preencher o mapa de algumas maneiras como segue: verde vermelho roxo amarelo cinza Agora iremos preencher o mapa segundo as regras impostas pela questão e simultaneamente usar o principio fundamental da contagem: 5 . ___ 4 . ___ 3 . ___ 3 . ___ 3 540 ___ 06. Quantos números de 3 algarismos podemos formar usando os elementos do conjunto A 1, 6, 7, 8, 9 ? total: 5 . ___ 5 . ___ 5 125 ___ pares: 5 . ___ 5 . ___ 2 50 ___ ímpares: ___ 5 . ___ 5 . ___ 3 75 07. Quantos números de 3 algarismos podemos formar usando os elementos do conjunto B 0, 6, 7, 8, 9 ? total: 5 . ___ 5 100 4 . ___ ___ pares: 5 . ___ 3 60 4 . ___ ___ ímpares: ___ 5 . ___ 4 . ___ 2 40 08. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar usando os elementos do conjunto A 1, 6, 7, 8, 9 ? total: 5 . ___ 3 60 4 . ___ ___ pares: 3 . ___ 4 . ___ 2 24 ___ ímpares: ___ 3 . ___ 3 36 4 . ___ 09. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar usando os elementos do conjunto B 0, 6, 7, 8, 9 ? total: ___ 3 48 4 . ___ 4 . ___ pares terminados em 6 ou 8: 3 . ___ 3 . ___ 2 18 ___ pares terminados em 0: 3 . ___ 4 . ___ 1 12 ___ 30 pares ímpares: 3 . ___ 3 . ___ 2 18 ___ 18 ímpares Técnica de contagem na multiplicação Fatorial É o produto de n fatores naturais consecutivos de n até 1. n ! n n 1 n 2 n 33 2 1 Por definição temos que: 0! 1 e 1! 1 2! 1 2 2 3! 1 2 3 6 4! 1 2 3 4 24 5! 1 2 3 4 5 120 6! 1 2 3 4 5 6 720 7! 1 2 3 4 5 6 7 5.040 8! 1 2 3 4 5 6 7 8 40.320 19. Simplifique as expressões: 51 ! 51 50 ! 51 a) 50 ! 50 ! 1 26 ! 26 ! b) 27 ! 27 26 ! 27 10 ! 21 ! 10 9 ! 21 ! 10 5 c) 22 ! 9 ! 22 21 ! 9 ! 22 11 21 ! 20 ! 21 20 ! 20 ! 20 ! (21 1) 22 d) 20 ! 20 ! 20 ! 9 8! 9 8! 9 9 8! 9! e) 10 ! 8 ! 10 9 8 ! 8 ! 8 !(10 9 1) 8 ! 91 91 20. Simplifique a expressão n 2!n 1! n 2 n 1 n !n 1 n ! n! n! n 1 n ! n 2 1 n 1 n 1 n! n 1 2 21. Resolvas equações: a) n 2!n 1! 15 n! n 2 n 1 n ! n 1 n ! 15 n! n 1 n ! n 2 1 15 n! n 1 n 3 15 2 n 4n 12 0 a 1, b 4 e c 12 n 3n n 3 15 2 16 4 1 12 64 4 8 n1 2 n 2 n2 6 S 2 b) n 2!n 1! n! n 2 n 1 n !n 1 n ! n! n 1 n ! n 2 1 n! n 1 n 1 n 1 1 1 n 1 1 n 1 1 n1 0 n 1 1 S 0 n2 2 2 Arranjo simples É o tipo de agrupamento que não possui elementos repetidos e a ordem dos elementos difere nos agrupamentos. An , p n! n p n p ! 22. Em um campeonato de futebol com 10 times inscritos, de quantas formas pode terminar tal torneio em relação aos 3 primeiros lugares? 1 A10, 3 2 3 10! 10 ! 10 9 8 7 ! 720 10 3! 7 ! 7! 23. Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar usando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? 12 21 44 A5, 2 5! 5! 5 4 3 ! 20 5 2! 3! 3! Permutação simples É um arranjo simples onde n p. n! n p An, n Pn n ! n n! 24. De quantas formas podemos perfilar uma família com 5 membros (pai, mãe e três filhos) de modo que? a) Os pais fiquem sempre juntos em determinada ordem (o pai na esquerda e a mãe na direita; b) Os pais fiquem sempre juntos; c) Os pais fiquem sempre separados; d) Os filhos fiquem sempre juntos em ordem de nascimento; e) Os filhos fiquem sempre juntos; f) Os filhos fiquem sempre separados; Total 5 ! 120 a) 4 ! 24 b) 2 ! 4 ! 48 c) 120 48 72 d) 3! 6 e) 3 ! 3 ! 36 f) 3 2 . ___ 2 . ___ 1 . ___ 1 12 ___ . ___ 25. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra GIBRAN de modo que: a) As vogais fiquem sempre juntas em ordem alfabética; b) As vogais fiquem sempre juntas; c) As consoantes fiquem sempre juntas sempre em ordem alfabética; d) As consoantes fiquem sempre juntas; e) As letras G e I fiquem sempre juntas e as letras B e R fiquem sempre separadas. 3 . ___ 5 . ___ 6 . ___ 4 . ___ 2 . ___ 1 6 ! 720 Total : ___ a) B A I N R G 5 ! 120 b) G N A I R B 2 ! 5 ! 240 c ) I A B G N R 3 ! 6 d ) I A B G N R 4 ! 3 ! 144 e) B A G I R N 5 ! 2 ! 2 ! 2 ! 4 ! 240 96 144 Combinação simples São agrupamentos que não possuem elementos repetidos e a ordem dos elementos não difere os agrupamentos. n! Cn , p (n p) n p! p ! 26. Em uma sala com 10 alunos deseja-se escolher 4 para uma excursão em pleno carnaval em Salvador. De quantos modos pode-se realizar tal sorteio? 10 ! 10 ! 210 C10, 4 10 4 ! 4 ! 6 ! 4 ! 27. Quantos triângulos podemos formar com vértices nos pontos em cada figura abaixo: J ABC BCA A FFF B I C D H E G F 10 ! 120 C10, 3 7 ! 3! C10, 3 C4, 3 120 4 116 primeiro modo: C10, 3 C4, 3 C6, 3 120 4 20 96 segundo modo: C6, 2 4 C4, 2 6 15 4 6 6 96 Permutação com repetição São permutações com elementos repetidos. 1 , 2 , k Pn 1 2 k n Pn P1 P 2 P k 28. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra: A1 LA2 LA1 A2 a) ALA b) ARARA c) MACACO A1 A2 L A2 LA1 LA2 A1 A2 A1L P53, 2 5! 10 3! 2 ! P62, 2 6! 180 2 ! 2 ! P32 3! 3 2! 29. De quantas maneiras podemos ir de A para B usando os caminhos do mapa abaixo e realizando apenas dois tipos de movimentos: Esquerda para direita e de baixo para cima? 9! P 126 4 ! 5 ! 4, 5 9 2, 2 4 P P52, 3 60 03. (UESC BA/2007). O valor de ( x 2)!(2x 2)! 40 (2x 1)!( x 1) x! xN, tal que é: a) ( x 2)( x 1) x!(2 x 2)(2 x 1)! (x 2)!(2x 2)! 40 6 (2x 1)!(x 1)x! 40 (2 x 1)!( x 1) x! b) 3 c) 4 d) 5 a 1, b 3 e c 18 e) 2 3 9 x1 3 x 2 x2 6 IN ( x 2) (2 x 2) 40 ( x 2) ( x 1) 20 x x 2 x 2 20 x 3x 18 0 2 2 9 4 1 18 81 Alternativa correta, letra B. 09.(UFU MG/2008).Um programa de computador, utilizando apenas os algarismos 1, 2, 3 e 4, gera aleatoriamente senhas de exatamente dez dígitos. Dentre todas as senhas possíveis geradas por esse programa, a quantidade daquelas em que o algarismo 4 aparece exatamente uma vez é igual a: a) 410 – 39 b) 410 – 310 Como o algarismo 4 pode aparecer apenas uma e somente uma vez no número de 10 algarismos, vamos deixá-lo fixo de modo que ele apareça apenas no primeiro algarismo. Pelo princípio multiplicativo temos: 4 c) 10.39 3 . ___ 3 . ___ 3 . ___ 3 . ___ 3 . ___ 3 . ___ 3 . ___ 3 3 . ___ ___ . ___ d) 10.49 Como o algarismo 4 pode ficar em apenas uma das casas, basta multiplicar o resultado por 10. 9 10 3 Alternativa correta, letra C. Permutações circulares De quantos modos podemos colocar n objetos distintos em n lugares equiespaçados em torno de um círculo, se considerarmos equivalentes disposições que possam coincidir por rotação? A resposta desse problema será representado por ( PC) n , o número de permutações circulares de n objetos distintos. É fácil ver que ( PC) n é em geral, diferente de Pn . Por exemplo, no caso n=3 temos P3 3! 6 modos de colocar 3 objetos distintos em 3 lugares. 1 3 3 2 2 1 2 1 2 2 3 3 3 1 3 1 1 2 No entretanto as três primeiras disposições podem coincidir entre sim por rotação e o mesmo ocorre com as três últimas, de modo que ( PC )3 2 . Repare que nas permutações simples importam os lugares que os objetos ocupam ao passo que nas permutações circulares o que importa é a posição relativa dos objetos entre si. fórmula: ( PC ) n n 1 ! Quantas rodas de ciranda podem ser formadas com 7 crianças? Como a roda gira, o que importa não é o lugar relativo de cada criança e sim a posição relativa das crianças entre si. A resposta é: ( PC )7 7 1 ! 6 ! 720 13.(UFPA/2008).O número de possibilidades de colocar seis pessoas em círculo igualmente espaçadas, de modo que duas delas não possam ficar em posições opostas, é: A a) 96 F B b) 120 E C D D A D F D E B D C c) 24 d) 72 e) 60 PC 5 5 1 ! 4 ! 24 24 4 96 Alternativa correta, letra A. 14.(UNIMONTES MG/2008).De quantos modos podemos repartir 8 brinquedos diferentes entre 3 crianças, para que as duas mais velhas recebam, cada uma, 3 brinquedos e a mais nova, 2 brinquedos? a) 560. b) 1120. c) 280. d) 56. A primeira criança pode escolher de C8, 3 modos os três brinquedos. Após a escolha da primeira criança restam 5 brinquedos para a segunda criança escolher de C5, 3 modos. E por último restam 2 brinquedos para a terceira criança escolher de C2, 2 . Pelo princípio multiplicativo temos: 8! 5! 2! C8, 3 C5, 3 C2, 2 56 10 1 560 3! 5! 3! 2! 2! 0! Alternativa correta, letra A. 15. (FFFCMPA RS/2008). Um campeonato de futebol é disputado por 20 equipes, de acordo com o seguinte esquema: 1º- Formam-se 4 grupos de 5 equipes. Em cada grupo, as equipes jogam todas entre si, em turno e returno, saindo um campeão de cada grupo. 2º- Os quatro campeões dos grupos jogam entre si, também em dois turnos, para apontar o campeão. O número total de jogos disputados é a) 46 b) 89 c) 92 d) 94 e) 96 Vamos analisar o que acontece em um grupo. O que ocorrer em um grupo ocorrerá nos outros três: São 5 times que vão jogar todos entre si em turno e returno (jogos de ida e volta). Como a ordem não importa (o time A jogar com o time B é a mesma coisa que o time B jogar com o time A), então temos uma combinação de 5 elementos tomados 2 a 2 multiplicado por 2. 2 C5, 2 5! 2 20 2! 3! Como são 4 grupos, cada um com 20 jogos, contabilizamos 80 jogos na primeira fase. Sai um campeão de cada grupo, totalizando 4 times. Os 4 times jogarão entre si com turno e returno, contabilizamos uma combinação de 4 elementos tomados 2 a 2 multiplicado por 2. 2 C4 , 2 4! 2 12 2! 2! 80 12 92 Alternativa correta, letra C. 16. (FEI SP/2008). Num grupo com n pessoas é possível formar exatamente 66 pares distintos ou 66 grupos distintos de 2 pessoas. Então o valor de n é: a) 11 Temos um grupo com n pessoas: G p1 , p2 , p3 , , pn Se formarmos um par com as pessoas p1 e p2 é o mesmo par b) 10 formado pelas pessoas p2 e p1 , ou seja, uma combinação de n pessoas tomadas 2 a 2 sendo igual a 66 c) 12 n! 66 n n 1 132 Cn , 2 66 2 !n 2 ! d) 6 n n 132 0 2 e) 9 1 4 1 132 529 1 23 n 2 n1 12 12 n2 11 pessoas Alternativa correta, letra C. 20. (UFPel RS/2007). A boa e velha Loteria Federal é a que dá ao apostador as maiores chances de ganhar, mas por não pagar grandes fortunas não está entre as loterias que mais recebe apostas. As mais populares são Mega-Sena, Quina, Loto-fácil e Lotomania. Na Loto-fácil, o apostador marca 15 dos 25 números que constam na cartela e tem uma em 3.268.760 chances, de acertar. Super Interessante 229 –agosto 2006 [adapt.]. Se fosse criada uma nova loteria, em que o apostador marcasse 10 dos 16 números disponíveis numa cartela, a chance de acertar uma aposta passaria a ser de uma em Como em qualquer cartão da Mega, Quina e Loto a a)1600. ordem dos números sorteados não importa, temos que o b)6006. total de cartões que podem ser jogados é: c)8008. 16! d)8060. C 8008 16 , 10 e)6800. 10! 6! Alternativa correta, letra C. 22.(MACK SP/2008). Para se cadastrar em um site de compras, cada cliente digitava uma senha com quatro algarismos. Com o objetivo de aumentar a segurança, todos os clientes foram solicitados a adotar novas senhas com cinco algarismos. Se definirmos o nível de segurança com a quantidade possível de senhas, então a segurança nesse site aumentou em a) 10% b) 25% c) 125% d) 900% A quantidade de senhas com 4 algarismos é de: 10 . ___ 10 . ___ 10 . ___ 10 10 ___ 4 A quantidade de senhas com 5 algarismos é de: 10 10 10 . ___ 10 . ___ 10 . ___ 10 . ___ ___ 5 Aplicando uma regra de três simples, temos: e) 1.100% 104 100% 105 x x 1000% Alternativa correta, letra D. 23. (FGV /2008). O número de permutações da palavra ECONOMIA que não começam nem terminam com a letra O é A palavra ECONOMIA tem duas letras O e 6 restantes sem repetição. Existem 6 possibilidades para a primeira b) 9 600 casa e 5 para última. a) 9 400 2 6 . ___ . ___ . ___ P6 . ___ ___ c) 9 800 5 . ___ . ___. ___ Ficarão 6 letras restantes para permutar em seis lugares, d) 10 200 incluindo duas letras O. Logo podemos concluir que temos uma permutação de 6 elementos com um dos elementos e) 10 800 repetidos duas vezes: 6! 6 5 P 30 30 360 10.800 2! 2 6 Alternativa correta, letra E. 27. (FGV /2007). Colocando em ordem os números resultantes das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que posição ocupará o número 35 241? a) 55ª b) 70ª c) 56ª d) 69ª e) 72ª O número 35241 é precedido pelos números da forma: 1 II 2 III 3 IV 3 V 3 VI 3 VII 3 I ___ . ___ . ___ . ___ que são em número de P4 4! ___ . ___ . ___ . ___ que são em número de P4 4! que são em número de P3 3! 1 que são em número de P 3! ___ . ___ . ___ 2 que são em número de P 3! ___ . ___ . ___ 4 5 1 . ___ . ___ que são em número de P 2! 5 2 . ___ . ___ que são em número de P 2! ___ . ___ . ___ 3 3 2 2 Contabilizamos 4!+4!+3!+3!+3!+2!+2!=70 Alternativa correta, letra B. 30. (FGV /2006). José quer dispor 8 CDs numa disqueteira tipo torre de 8 lugares. São 5 CDs de diferentes bandas de rock, além de 3 outros de jazz, de bandas distintas. De quantos modos eles podem ser dispostos, de maneira que tanto os CDs de rock quanto os de jazz estejam numa determinada ordem, podendo estar misturados os CDs dos dois tipos de música? a) 336 b) 20160 c) 56 d) 6720 e) 40320 Observe algumas possibilidades de dispor os CDs na torre, segundo as regras do enunciado: Perceba que os CDs de rock e jazz não podem permutar entre sim. Vamos considerar que os CDs de rock e jazz são iguais. Veja o exemplo segue: R1R2 R3 R4 R5 J1 J 2 J 3 R R R R R J J J J1R1 J 2 R2 R3 R4 R5 J 3 J R J R R R R J R1 J1R2 R3 J 2 R4 J 3 R5 R J R R J R J R A questão está resumida em calcular todas as permutações de 8 elementos com 5 e 3 elementos repetidos: 5, 3 8 P 8! 56 5 ! 3! Alternativa correta, letra C. 34. (UFPI/2006). Sob as retas paralelas não-coincidentes r e s , marcamse 5 e 9 pontos distintos, respectivamente. O número de quadriláteros convexos com vértices nesses pontos é: a) 720 b) 360 c) 260 d) 148 e) 46 r r//s s Para formar um quadrilátero convexo na figura acima, basta tomar dois pontos aleatórios na reta de cima e dois na reta de baixo. Veja também que a ordem dos pontos não importa. Vamos usar as fórmulas de combinação em conjunto com o princípio multiplicativo: C9, 2 C5, 2 9! 5! 3610 360 7 ! 2 ! 3! 2 ! Alternativa correta, letra B. 35. (UEPB/2005). Com os números 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números da forma p/q diferente de 1 podemos escrever? a) 22 As frações iguais a 1 são quando p=q. Não esqueça que p/q é diferente de q/p. b) 20 Usando o princípio multiplicativo, temos: c) 26 d) 24 5 . ___ 4 20 ___ e) 18 Alternativa correta, letra B. 37. (CEFET PR/2008). A “FACULDADE HIPOTENUSA” dispõe de 13 professores de uma disciplina “X”, sendo que, desses, apenas 4 são doutores. Para poder lançar no mercado um novo curso, são necessários 5 professores dessa disciplina “X”, dos quais pelo menos um deve ser doutor. De quantas maneiras podemos dispor esses professores para que se cumpra essa exigência? a) 1161 b) 1287 c) 126 d) 154440 e) 139320 PRIMEIRO MODO: Calcular todas as maneiras uma a uma. Um doutor e quatro graduados: C4, 1 C9, 4 4126 504 Dois doutores e três graduados: C4, 2 C9, 3 6 84 504 Três doutores e dois graduados: C4, 3 C9, 2 4 36 144 Quatro doutores e um graduado: C4, 4 C9, 1 1 9 9 1.161 SEGUNDO MODO: Vamos calcular todos os grupos com cinco professores e tirar os grupos com cinco graduados. C13, 5 C9, 5 1287 126 1.161 Alternativa correta, letra A. 46. (MACK SP/2007). Em uma sala de aula há 25 alunos, quatro deles considerados gênios. O número de grupos, com três alunos, que pode ser formado, incluindo pelo menos um dos gênios, é a) 580 Vamos calcular todos os grupos com três alunos e tirar os grupos apenas com alunos não gênios. b) 1200 C25, 3 C21, 3 2.300 1.330 970 c) 970 d) 1050 e) 780 Alternativa correta, letra C. 48. (UFPA/2007). No cartão da mega-sena existe a opção de aposta em que o apostador marca oito números inteiros de 1 a 60. Suponha que o apostador conheça um pouco de Análise Combinatória e que ele percebeu que é mais vantajoso marcar um determinado número de cartões, usando apenas os oito números, de modo que, se os seis números sorteados estiverem entre os oito números escolhidos, ele ganha, além da sena, algumas quinas e algumas quadras. Supondo que cada aposta seja feita usando apenas seis números, a quantidade de cartões que o apostador deve apostar é a) 8 b) 25 c) 28 d) 19 e) 17 Um breve comentário sobre a Mega-Sena Vamos analisar os jogos com mais de 6 dezenas em um cartão, ou seja, com 7, 8, 9 ou 10. Para isto vamos primeiro ver como é o jogo da mega-sena pelo caixa econômica federal. Veja um volante da mega-sena. 08 23 26 42 50 55 58 08 23 26 42 50 55 08 23 26 42 50 58 08 23 26 42 55 58 08 23 26 50 55 58 08 23 42 50 55 58 08 26 42 50 55 58 23 26 42 50 55 58 7! C7 , 6 7 6! 1 ! 7 2 R$ 14 01 04 08 14 28 35 43 59 08 14 28 35 43 59 01 14 28 35 43 59 01 04 14 35 43 59 01 04 08 28 35 43 04 14 28 35 43 59 01 08 28 35 43 59 01 04 14 28 43 59 01 04 08 14 43 59 04 08 28 35 43 59 01 08 14 35 43 59 01 04 14 28 35 59 01 04 08 14 35 59 04 08 14 35 43 59 01 08 14 28 43 59 01 04 14 28 35 43 01 04 08 14 35 43 04 08 14 28 43 59 01 08 14 28 35 59 01 04 08 35 43 59 01 04 08 14 28 59 04 08 14 28 35 59 01 08 14 28 35 43 01 04 08 28 43 59 01 04 08 14 28 43 04 08 14 28 35 43 01 04 28 35 43 59 01 04 08 28 35 59 01 04 08 14 28 35 8! C8, 6 28 28 2 R$ 56 6! 2 ! Alternativa correta, letra C. 50. (UEPB/2006). Existem n maneiras distintas de marcar 6 círculos na figura ao lado, marcando exatamente 2 em cada coluna e 1 em cada linha. O valor de n é Vamos preencher os círculos de algumas a) 36 maneiras possíveis dentro das condições do problema. b) 120 De quantas formas podemos escolher 2 círculos na primeira coluna: 6! c) 45 C6 , 2 d) 90 e) 60 2 ! 4 ! 15 De quantas formas podemos escolher 2 círculos na segunda coluna: C4 , 2 4! 6 2 ! 2 ! De quantas formas podemos escolher 2 círculos na terceira coluna: PFC : 15 6 1 90 C2 , 2 2! 1 Alternativa correta, letra D. 2 ! 0 ! 01. (UFRN RN/2000). Em virtude de uma crise financeira, uma fábrica dispõe de apenas quatro vigilantes para ocuparem sete postos de vigilância. Considerando que, em cada posto, fica, no máximo, um vigilante e que o posto da entrada principal não pode ficar desguarnecido, indique a opção correspondente ao número de maneiras distintas de que o chefe de segurança pode dispor para distribuir os vigilantes. Obs.: Duas maneiras são ditas idênticas se, em ambas, os vigilantes ocupam os mesmos postos e cada posto é ocupado pelo mesmo vigilante; caso contrário, são ditas distintas. a) 35 b) 80 c) 480 d) 840 Lembrando que em cada posto fica no máximo, um vigilante e o posto da entrada principal não pode ficar vazio, logo temos: p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 Ora, para ocupar o portão principal (que necessariamente deve ser ocupado) temos 4 possibilidades (qualquer um dos 4 vigilantes). Agora resta escolher 3 dos 6 lugares restantes para colocar os 3 outros vigilantes e isto pode ser feito de 6x5x4=120 modos distintos. Assim pelo princípio fundamental da contagem temos 4x120=480 modos distintos de distribuir os vigilantes nos postos obedecendo as exigências impostas pelo enunciado. Alternativa correta, letra C. 03. (UFRN RN/2003). Um fenômeno raro em termos de data ocorreu às 20h02min de 20 de fevereiro de 2002. No caso, 20:02 20/02 2002 forma uma seqüência de algarismos que permanece inalterada se reescrita de trás para a frente. A isso denominamos capicua. Desconsiderando as capicuas começadas por zero, a quantidade de capicuas formadas com cinco algarismos não necessariamente diferentes é: a) 120 Os algarismos disponíveis são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Assim podemos formar as seguintes capicuas (palíndromos): b) 720 c) 900 9 . ___ 10 . ___ 10 . ___ 1 900 1 . ___ ___ d) 1000 Alternativa correta, letra C. 04. (UFRN RN/2005). Um painel eletrônico é constituído por 100100 pequenos retângulos, cada um deles com três minúsculos pontos luminosos das três cores fundamentais: vermelho, amarelo e azul, com, respectivamente, 100, 90 e 80 tonalidades. A combinação dessas tonalidades produz uma gama de novas cores, para formar as imagens no painel. Considerando-se que todas as distintas imagens no painel são formadas a partir da combinação de todas as possíveis tonalidades de cores de cada retângulo, pode-se provar que o número máximo das imagens produzidas no painel que não contêm tons de azul é: Como a tonalidade não deve conter azul podemos escolher 100 tons de vermelho e 90 tons de amarelo e além disto são 100x100=10.000 retângulos. Assim a quantidade b) 72106 de configurações possíveis é: a) 80106 c) 100106 100 100 100 90 90 10 6 d) 90106 Alternativa correta, letra D. 06. (UFRN RN/2008). Numa caixa, são colocadas dez bolas que têm a mesma dimensão. Três dessas bolas são brancas, e cada uma das outras sete é de uma cor diferente. O número total de maneiras de se escolher um subconjunto de três bolas, dentre essas dez, é: a) 32 b) 128 c) 64 d) 256 Temos as seguintes possibilidades: As três bolas serem brancas; Neste caso temos evidentemente apenas uma possibilidade de retirarmos três bolas brancas, visto que só existem três bolas brancas na caixa: C3, 3 1 Podemos retirar uma bola branca e duas outras de cores diferentes, o que pode ser feito de: C7 , 2 21 Outra possibilidade seria retirar duas bolas brancas e apenas uma de cor distinta, o que pode ser feito de 7 maneiras . Finalmente temos a possibilidade de não retirarmos nenhuma branca, o que pode ser feito de: C7 , 3 35 1 21 7 35 64 Alternativa correta, letra C. 01. (ITA). Uma escola possui 18 professores sendo 7 de Matemática, 3 de Física e 4 de Química. De quantas maneiras podemos formar comissões de 12 professores de modo que cada uma contenha exatamente 5 professores de Matemática, com no mínimo 2 de Física e no máximo 2 de Química ? a) 875 b) 1877 c) 1995 d) 2877 e) n.d.a. Vamos analisar todos os possíveis casos: C7, 5 C3, 2 C4, 0 C4, ? C7, 5 C3, 2 C4, 1 C4, 4 21 3 4 1 252 C7, 5 C3, 2 C4, 2 C4, 3 21 3 6 4 1.512 C7, 5 C3, 3 C4, 0 C4, 4 21111 21 C7, 5 C3, 3 C4, 1 C4, 3 211 4 4 336 C7, 5 C3, 3 C4, 2 C4, 2 211 6 6 756 252 1.521 21 336 756 2877 Alternativa correta, letra D. 02. (Espcex). Numa classe de 30 alunos da EsPCEx, 10 são oriundos de Colégios Militares (CM) e 20, de Colégios Civis (CC). Pretende-se formar grupos com três alunos, de tal forma que um seja oriundo de CM e dois de CC. O número de grupos distintos que podem ser constituídos dessa forma é: a) 200 b) 900 c) 1260 d) 1900 e) 4060 Como temos que escolher dois alunos oriundos colégios civis, temos uma combinação de 20 elementos tomados 2 a 2: C20, 2 190 Agora temos que escolher um aluno oriundo entre 10 dos colégios militares. Usando o principio multiplicativo, temos: 190 10 1.900 Alternativa correta, letra D. 05. (Espcex-2005). Uma prova de um concurso público engloba as disciplinas Matemática e Inglês, contendo dez questões de cada uma. Segundo o edital, para ser aprovado, o candidato precisa acertar, no mínimo, 70% das questões da prova, além de obter acerto maior do que ou igual a 60% em cada disciplina. Em relação às questões da prova, quantas possibilidades diferentes terá um candidato de alcançar, exatamente, o índice mínimo de aprovação? a) 18 900 b) 33 300 c) 38 760 d) 77 520 e) 125 970 São 20 questões, 10 de matemática e 10 de inglês. Mínimo de 70% das questões (14) e 60% em cada disciplina (6 de cada prova, ao todo 12). Primeiro caso: 6 de 10 em matemática e 8 de 10 em inglês: C10, 6 C10, 8 210 45 9.450 Segundo caso: 6 de 10 em inglês e 8 de 10 em matemática: C10, 6 C10, 8 210 45 9.450 Terceiro caso: 7 de 10 em inglês e 7 de 10 em matemática: C10, 7 C10, 7 120 120 14.400 9.450 9.450 14.400 33.300 Alternativa correta, letra B. 06. (ITA-2002) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 das letras a, b e c? a) 1692 b) 1572 c) 1520 Primeira parte: Temos que escolher duas letras entre a, b e c C3, 2 3 Segunda parte: Temos que escolher duas letras entre as 7 restantes. C7 , 2 21 d) 1512 Terceira parte: As 4 letras escolhidas pode permutar entre si. e) 1392 Pelo princípio multiplicativo, temos: C3, 2 C7, 2 4 ! 3 21 24 1.512 Alternativa correta, letra D.
