01 REVISÃO_POTENCIAÇÃO_RADICAIS completo

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U. E. PROFª HELENA CARVALHO
Obrigado pela preferência de nossa ESCOLA!
Prof. Ranildo Lopes
Pegue o material no http://uehelenacarvalho.wordpress.com
ESTUDANDO A POTENCIAÇÃO E SUAS PROPRIEDADES
POTENCIAÇÃO
Para indicar multiplicação com fatores iguais, o homem criou a potenciação. Considere:
a : um

b : um
número
int eiro
número
natural
O símbolo
an significa
maior
que
1
o produto de n fatores iguais a a :
n
a  a . a . a . a . ... . a
n : nº de fatores
I) 
Temos:
4 = 4 . 4 . 4 = 64
O fator repetido (no caso, o 4 ) chama-se base.
O número de fatores repetidos(no caso, o 3) chama-se expoente.
O resultado da operação (no caso, 43 ou 64) chama-se potência.
Assim por exemplo:
a) 34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81
b) (- 2)5 = (- 2) . (- 2) . (- 2) . (- 2) . (- 2) = - 32
3
1
 1  1  1  1
c) 
   . .   
216
 6   6  6  6 
e) 101 = 10
d) (- 1,4)2 = (- 1,4) . (- 1,4) = + 1,96
f) (-0,4)0 = 1
g) (-4,3)1 = - 4,3
 1 
(a 0)
n 
a 
1  1 
Exemplos:a) 5-3 =  3  = 

 5   125 
II) a-n = 
b) (-4)-1 =
1
4
 3º Exemplo: Representar os números abaixo em potências de base 10. a) 0,01 b) 0,0001
Resolução:
a) 0,01 =
1
1
1
1
=
= 10-2 b) 0,0001 =
=
= 10-4
2
100 10
10000 10 4
c) 0,01 = 10-2 d)0,0001 = 10-4
Exercícios
1 - Considere a igualdade 25 =
Como se chama o número 2 ?=
Como se chama o número 5 ?=
Como se chama a expressão 25 ?=
2 - Calcule :
a) 82 =
c) - 351 =
24560 =
3 - Determine :
2
1
a)   =
2
e) 75 =
0
4
c)   =
7
b)
(-2)-3
=
1
d)  
4
b) (-4)2 =
2
d) - (-2)3 =
f)
2
PROPRIEDADES DAS POTÊCIAS COM EXPOENTE INTEIRO
 1º O produto de potências de mesma base. Para multiplicar potências de mesma base, deve-se
conservar a base e adicionar os expoentes.
a m . a n  a m  n ( a  Rm  e n   
Exemplos: a) 510 . 58 = 510 + 8 = 518
b) (2/3)4 . (2/3)5 = (2/3)4+5 = (2/3)9
2º O quociente de potências de mesma base. Para dividir potências de mesma base, deve-se
conservar a base e subtrair os expoentes.
a m  a n  a m - n ( a  Rm  e n   
Exemplos:
a) 412 : 43 = 412 - 3 = 49
b) (-1/2)2 : (-1/2)6 = (-1/2)2-6 = (-1/2)-4 = 24
3º Potência de potência. Para elevar uma potência a um expoente, deve-se conservar a base e
multiplicar os expoentes.
a 
m n
 a m  n ( a  Rm  e n   
Exemplos:
a) (25)3 = 25. 3 = 215
b) [(1/2)-2}5 = (1/2)-10 = 210
4º Potência de um produto. Para elevar um produto a um expoente, eleva-se cada fator a esse
expoente.
a  b n  a n  b n ( a  R  b R  e
n  
Exemplos:
a) (2 . 3)4 = 24 . 34
b) (1/5 . 1/3)-7 = (1/5)-7 . (1/3)-7 = 57 . 37
5º Potência de um quociente. Para elevar um quociente a um expoente, eleva-se o numerador e o
denominador a esse expoente.
x
a a
  = x
b b
x
( a  R  b R  e n   
Exemplos:
2
a)  
5
2
2
2
25
5 5
=  =
=
 2  22 4
b) (3/2)2 = 32/22 = 9/4
Algumas vezes, usamos mais de uma propriedade das potências na simplificação de expressões. Veja
os exemplos seguintes.
210  2 4
1º Exemplo: Simplificar
e calcular o seu valor.
9
2
10
Resolução:
2 .2
2
9
4
10 4

2
9

214
9
 214 - 9  2 5  32
2
2
4
3
9 .27
2º Exemplo : Simplificar
 e calcular o seu valor.
2432
Exercícios
1) Transforme em uma só potência:
a) ax . a2-x = ax+2-x = a2
c) 10-3 . 10-2 . 10 = 10-3 -2+1 = 10-4
e)
7n
7
4
 7 n4
b) 4x +1 . 4x - 1 . 43 = 4x +1 + x - 1+3 = 42x + 3
d) 38 : 38 = 38 - 8 = 30 = 1
f) a-2 : a-3 = a-2 - (-3) = a-2+3 = a (a  0)
3
g) (42)3 = 46
i) (35)x - 2 = 35x - 10
h) [(34)2]5 = 34 . 2 . 5 = 340
2) Represente:
a) 95 em uma potência de base 3.

2x
3
b) 16
em uma potência de base 4.
3) Elimine os parênteses.
a) (32 . 5-2)3 = 36 . 5-6
c) (2x - 1 : 31 - x)2 = 22x - 2 : 32 - 2x
4) Simplifique as expressões abaixo.
2
a)
b)
4 3 .4
4 3

4 9.4
(4 )  4
5
9 3.27 2
(32 ) 3 .(33 ) 2
3
81

12
4
4
4 5
(3 )

5

4 91
125
4
36.36
4 3
(3 )


95 = (32)5 = 310
162x - 3 = (42)2x - 3 = 44x - 6
b) (34 : 25)3 = 312 : 215
d) (a2 . b2 . c3)4 = a8 b8 c12
410
4
7
312
12
 4107  4 7
 31212  31
3
ab
5)Qual o valor numérico da expressão
quando a = 311, b = 162, c = 2432 e d = 83?
cd
311.16 2
311.(2 4 ) 2
311.28
3
 5 2 3 3  10 9  31110.289  
3 3
2
243 .8
(3 ) .(2 )
3 .2
RAÍZES
x
Uma expressão do tipo a representa a raiz enésima do número real a, em que o número n é
chamado índice e o número real a é chamado radicando.
índice  x
a  Radicando
Lê-se: raiz enésima de a.
Exemplos:
1) 2 16 índice = 2; radicando = 16 Lê-se: raiz quadrada de 16.
Observação: No caso da raiz quadrada é costume representá-la omitindo o índice. Assim,
escrevemos simplesmente
16 .
2) 3 27 índice = 3; radicando = 27  Lê-se: raiz cúbica de 27.
3) 5 32 índice = 5; radicando = 32  Lê-se: raíz quinta de 32.
Para a determinação da raíz enésima de um número real a, temos dois casos a considerar.
1o CASO: RAÍZES COM ÍNDICE PAR
Sejam a um número real e n um número natural par:
 se a > 0, temos que x a é igual ao número real não-negativo b, tal que bn = a.
 se a < 0, a expressão x a não faz sentido no conjunto R .
Exemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
25 = 5, pois 5 é o número não-negativo cujo quadrado dá 25 (52 = 25).
4
81 = 3, pois 3 é o número não-negativo cuja quarta potência dá 81 (34 = 81).
6
64 = 2, pois 2 é o número não-negativo cuja a sexta potência dá 64 (26 = 64).
 4  R , pois não existe número real cujo quadrado dê -4.
4
 16  R , pois não existe número real cujo quarta potência dê -16.
4
2o CASO: RAÍZES COM ÍNDICE ÍMPAR
Se a é um número real n é um número natural ímpar maior que 1, a expressão x a é igual ao
único número real b, tal que bn = a.
Exemplos:
1) 3 8 = 2, pois 23 = 8.
2) 3  8 = -2, pois (-2)3 = -8.
3) 5 243 = 3, pois 35 = 243.
4) 5  243 = -3, pois (-3)5 = -243.
Observação: Sendo n um número natural diferente de zero, defini-se: x 0 = 0
Exercícios
1) Dê o índice e o radicando nos casos seguintes.
a) 3 20 índice = 3; radicando = 20
b) 11  23 índice = 11; radicando = -23
c) 20 42 índice = 30; radicando = 42
2) Calcule o valor da expressão abaixo.

3) Qual o valor numérico da expressão
10.5 3  4
6 2  82
2c
2

10.5  1 10.(1)

 1
10
100
quando a = 1, b = -4 e c = 4?
 b  b  4ac
2.4
8
8


2
 ( 4)  ( 4) 2  4.1.4 4  16  16 4  0
50 > 7. Essa afirmação é verdadeira ou falsa?
49  7; 50  49  50  7
4) Considere a afirmação
Verdadeira:
RADICAL ARITMÉTICO
1a propriedade
Acompanhe os exemplos abaixo:
1)
= 2, pois 24 = 16. Então,
=2
2)
= 3, pois 35 =
243.Então,
=3
Generalizando, para a  R + , n  N e n > 1, escrevemos:
Exemplos:
a)
2a propriedade
Considere as expressões
b)3 83 = 8
e
Pela primeira propriedade temos:
=2e
=2
Então,
=
Agora, observe que:
=
=
=
=
Generalizando, para a  R e considerando que os índices e os expoentes apresentados representam
números naturais maiores que 1:
ou
5
Exemplos:
2) 5 315 = 5:5 315:5 = 33 = 27
1)
3a propriedade
Considere as expressões
=
e
, Calculando, temos:
Então,
2 =2
Agora, observe que:
Generalizando, para a  R + e considerando que todos os índices apresentados representam números
naturais maiores que 1, escrevemos:
Exemplos :
2) 5 3  2 = 5 .3 .2 2 = 30 2
Exercícios
1) Considerando que as expressões dadas representam radicais aritméticos, aplique a 1a propriedade.
1)
a)
b)
2) Dividindo o índice do radical e o expoente do radicando por um fator comum inteiro positivo,
simplifique os radicais aritméticos abaixo.
a)
3) Escreva na forma de um único radical.
b)
a)
b)
4) Qual a forma mais simples de escrever o radical
?

5) Considere que as expressões são radicais aritméticos e descubra os valores desconhecidos.
a)
n=7
b)
4a propriedade
Consideremos as expressões
.
Calculando:
Temos, então :
Generalizando, para a  R + , b  R +, n  N e n > 1, escrevemos:
Exemplos:
1)
2)
5a propriedade
(a  R + e b  R +)
n=5
6
Consideremos as expressões
e
.Calculando:
=
e
=
Temos, então :
=
Generalizando, a  R + , b  R +*, n  N e n > 1, escrevemos:
EXTRAÇÃO DE FATORES DO RADICANDO
Observe os exemplos a seguir.
1)
=
=5.
-----------------------------------aplicamos a 1ª propriedade
2)
=
------------------------------------transformamos num produto de radicais
=
=
--------------------------transformamos num produto de radicais
. 3 . 7 ----------------------aplicamos a 1ª propriedade

.
21 21
De acordo com os exemplos dados, temos, em geral:
Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao índice do
radical, esses fatores podem ser extraídos do radical e escritos como
fatores externos (sem o expoente).
Nos casos em queo radicando apresenta o expoente de um fator maior que o índice do radical, esse
fator pode ser extraído através de sua transformação num conveniente produto de potências. Veja os
exemplos.
1)
2)
INTRODUÇÃO DE FATORES NO RADICANDO
Observe:
1) se
então
Propriedade simétrica das igualdades
2) se
então
De acordo com os exemplos dados, temos, em geral:
Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando: basta
escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical.
Exemplos:
1)
2) 2 3 =  22 . 3 =  4 . 3 =  12
Exercícios
1) Retirando fatores do radicando, simplifique:
7
a)
b)
c)
2) As letras apresentadas em cada item representam números reais positivos. Simpliflique retirando
fatores do radicando.
a)
b)
3) Decomponha o radicando em fatores primos e, retirando fatores do radicando, simplifique as
expressões abaixo.
a)
b)
4) Qual a forma mais simples de escrever
(a  0 e b  0) ?
5) Qual o valor da expressão  5 1 024x20 ? 10 210x20 = 10 210x10x10 = 2 . x . x = 2x2
REDUÇÃO DE RADICAIS AO MESMO ÍNDICE
Algumas situações que envolvem o cálculo com radicais exigem a presença de radicais com o
mesmo índice.
A transformação de dois ou mais radicais de índices diferentes em radicais de mesmo índice é feita
através da aplicação da 2a propriedade das potências, tomando-se para índice comum o m.m.c dos
índices dados. Veja os exemplos a seguir.
1o exemplo: Reduzir os radicais
Resolução:
m.m.c (3, 4) = 12  novo índice
a)
=
Assim temos:
a)
b)
e
ao mesmo índice.
b)
=
----------------------radicais com índices diferentes
----------------------radicais equivalentes de mesmo índice
2o exemplo: Reduzir os radicais
Resolução:
m.m.c (5, 4, 2) = 20  novo índice
(a  0 e b  0) ao mesmo índice.
a)
b)
c)
índices diferentes
d)
--------radicais com
e)
--------------------radicais equivalentes de mesmo índice
Uma das aplicações mais imediatas da redução de radicais ao mesmo índice está na comparação de
radicais.
8
A comparação de radicais é feita observando-se dois casos.
1o caso: Os radicais têm índices iguais.
Neste caso, a maior raiz é a que tem o maior radicando.
a)
b)
2o caso: Os radicais têm índices diferentes.
Neste caso, reduzimos os radicais ao mesmo índice e recaímos no caso anterior.
Qual é maior:
ou
?
m.m.c (2, 3) = 6  novo índice
a)
Como 125 > 49, temos que
b)
>
.
Exercícios
1) Reduza os radicais ao mesmo índice (as letras representam números reais maiores que zero).
a)

2) Usando o sinal > ou <, compare:
a)

b)

3) Reduza os radicais ao mesmo índice e, a seguir, usando o sinal >, < ou =, compare:
a)
9
b)
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE RADICAIS
Dois ou mais radicais têm o mesmo índice e o mesmo radicando são chamados de radicais semelhantes.
São exemplos de radicais semelhantes:

b)
c)
Se uma expressão apresenta radicais semelhantes, estes podem ser simplesmente através da aplicação da
propriedade distributiva da adição em relação à multiplicação.
1o exemplo: Simplificar a expressão
Resolução:
2o exemplo: Simplificar a expressão:
. Resolução:
Sobre o resultado
convém observar que:
ele representa um número irracional
representação decimal completa.
, o que torna impossível dar a sua
 ele não pode ser simplificado
.Logo,
representar a expressão dada. Consideremos agora outros exemplos.
é a forma mais conveniente de
3º exemplo: Calcular o valor de
e
Resolução:*

Então: *
4º exemplo: Calcular o valor de
Resolução:
*
Então:
Exercício
1) Associe V ou F.
a)
(F)
b)
(V)
2) Reduzindo os termos semelhantes, simplifique a
3) Calcule o valor da expressão
c)
(V)
expressão abaixo.

MULTIPLICAÇÃO
*Recordando a 4ª propriedade dos radicais aritméticos:
( com a  0 e b  0 )
10
*Pela propriedade simétrica das igualdades;
( com a  0 e b  0 )
Então: = O produto de dois ou mais radicais aritméticos de mesmo índice é um radical que tem o mesmo índice dos
fatores e cujo radicando é igual ao produto dos radicandos dos fatores.
Exemplos:
1.
2.
4 x2y . 4 xy = 4 x3y2 (como x  0 e y  )
3.
4.
 x + 2 .  x + 5 =  (x + 2) . (x + 5) =  x2 + 7x + 10
Para multiplicar dois ou mais radicais que têm índices diferentes, devemos, primeiro, reduzi-los ao mesmo índice.
Exemplos: 1)  3 . 3 2 = 6 33 . 6 22 = 6 33 . 22 = 6 108
2) 3 xy . 5 xy3 = 15 x5y5 . 15 x3y9 = 15 x5 . y5 . x3 . y9 = 15 x8y14 (com x  0 e y  0)
Em alguns casos, efetuamos o produto de expressões que envolvem radicais aplicando a propriedade distributiva da
adição em relação à multiplicação.
Exemplos:
1)  3 ( 2 + 1) =  3 .  2 +  3 . 1 =  6 +  3
2)  2 ( 5 -  2) =  2 .  5 -  2 .  2 =  10 -  4 =  10 - 2
Exercícios
1) Determine os produtos abaixo, simplificando o resultado quando possível.
a)  5 .  7 =  5 . 7 =  35
b)  3 .  24 =  3 . 24 =  72 = 6 2
c)  2 .  3 .  5 =  2 . 3 . 5 =  30
d 18 .  2 =  18 . 2 =  36 = 6
2 ) Qual o valor de x que satisfaz a igualdade 5 23 . 5 x = 2 ?
R: x = 4, pois 5 23 . 5 4 = 5 23 . 5 22 = 5 25 = 2
3) Dados x = 1 +  5 e y = 2 -  5 , qual o valor numérico da expressão x . y - x ?
x . y - x = (1 +  5) (2 - 5) - (1 +  5) = 2 -  5 + 2 5 -  5 .  5 - 1 -  5 =
= 2 -  5 + 2 5 - 5 - 1 -  5 = 2 - 5 - 1 -  5 + 2 5 -  5 = -4
4) Qual a forma mais simples de escrever a expressão
.
?
5 ) Qual o perímetro e a área de um retângulo cujos os lados medem respectivamente
cm ?
cm e
cm
a) perímetro = 2
b) área = (2 +
+2
)
= 2+
= 2 +
+
+4+2
= (2 +
+
DIVISÃO
 = [6 + 2
+
] cm
) cm2
Recordando a 5a propriedade das potências:
4 32  4 2 5  4 2 4  21  24 21 (com a  0 e b > 0)
E, pela propriedade simétrica das igualdades, temos a expressão que divide radicais de mesmo
índice:
(com a  0 e b > 0)
Exemplos:
1)
Então:
2)
O quociente de dois radicais de mesmo índice é um radical que tem o mesmo índice dos dois
termos e cujo radicando é igual ao quociente dos radicandos dos termos.
Exercícios
1) Determine:
a.
b.
11
2.
Determine os quocientes abaixo.
a.
b.
3.
a)
Simplifique as expressões seguintes:
c)
d)
c) Quanto vale a expressão
d)
5.
Qual a forma mais simples de escrever a expressão
?
=
POTENCIAÇÃO DE RADICAIS
Observe os cálculos com potência de radicais.
  Pela de definição de potência, temos:
Então:
2)
Pela de definição de potência, temos:
Então:
Assim, de acordo com os exemplos, se a > 0, n   + e m  Z, temos:
Exemplos: 1) ( 2)5 =  25 = 4 2
2) (3 11)4 = 3 114 = 113 11
3) (5 3)6 = 5 36 = 35 3
Vamos considerar, agora, algumas expressões em que aplicaremos as regras dos produtos notáveis.
 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Exemplo: ______
( 3 +  2)2 = ( 3) + 2 .  3 .  2 + ( 2)2 =  32 + 2 3 . 2 +  22 = 3 + 2 6 + 2 =  5 + 2 6
 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Exemplo:
(1 -  10)2 = 12 - 2 . 1 .  10 + ( 10)2 = 1 - 2 10 + 10 = 11 - 2 10
 (a + b) (a - b) = a2 - b2
Exemplo:
( 7 +  5) ( 7 -  5) = ( 7)2 - ( 5)2 =  72 -  52 = 7 - 5 = 2
Exercícios
1) Calcule: ______
a) ( 3)3 =  33 =  32 . 3 = 3 3
b) ( 7)2 =  72 ___________
c) ( 5)5 =  55 =  52 . 52 . 5 = 25 5
d) (2 5 9)7 = 27 . (5 32)7 = 27 . 5 314 = 27 . . 32 . 5 34 = 1 1525 34
2) Sendo x = 2 3 e y = 5, determine o valor da expressão x2 + 2xy + y2 .
(2 3)2 + 2 . 2 3 .  5 + ( 5)2 = 4 . ( 3)2 + 4 3 . 5 + ( 5)2 = 4 . 3 + 4 15 + 5 = 17 + 4 15
3) Usando o produto notável adequado, determine:
a)( 5 -  2)( 5 +  2) = ( 5)2 - ( 2)2 = 5 - 2 = 3
b)( 3 + 2)2 =( 3)2 + 2 3 . 2+22 = 3 + 4 3+4 = = 7 + 4 3
4)Determine, da forma mais simples possível, o quadrado, o cubo e a quarta potência de 12 a3 (a  0).
 o quadrado: (12 a3)2 : 12 a6 =  a
 o cubo: (12 a3)3 : 12 a9 = 4 a3
12
 a quarta potência: (12 a3)4 : 12 a12 = a
5) Verifique se x = 2 3 torna verdadeira a igualdade x2 - 12 = 0.
(2 3)2 - 12 = 22 .  32 - 12 = 4 . 3 - 12 = 12 - 12 . A igualdade é verdadeira para x = 2 3
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Considere as expressões abaixo e observe que elas representam um número irracional no denominador.
1;2;1;5.
 2  15  2 -  3 3 - 2
Em algumas situações, ao lidarmos com uma expressão desse tipo, é conveniente transformá-la em outra a ela
equivalente, mas que teenha um número racional no denominador. Quando fazemos isso, estamos racionalizando
o denominador da expressão. Analisaremos agora, alguns casos simples de denominadores.
  1o exemplo: Racionalizar o denominador da expressão 1 .
3
Resolução: 1 .
3
= 1 .  3 .  multiplicamos o numerador e o denominador por  3
3.3
=3.
 32
=  3 .  expressão com denominador racionalizado.
3
Neste caso,  3 é chamado de expressão fator racionalizante.
(3 +  5) . (3 -  5)
= (3 -  5)2
32 -  52
= 32 - 2 . 3 .  5 +  52 = 9 - 6 5 + 5 = 14 -6 5
9-544
= 2 (7 - 3 5) = 7 - 3 5  expressão com denominador racionalizado
42
Neste caso, a expressão 3 -  5 é denominada fator racionalizante.
Nos exemplos dados, observamos que a racionalização do denominador da expressão dada é feita multiplicando-se
o seu numerador e o seu denominador por expressão conveniente, chamada de fator racionalizante.
O fator racionalizante de alguns casos podem ser obtidos de acordo com a tabela abaixo:
Tipo de
denominador
Fator
racionalizante
n am
a
(com a  0) (com a > 0)
a
n an - m
a+b
(com a > 0 e b >
0)
 a - b
(com a > 0 e b >
0)
 a - b
a+b
Exercícios
1) Racionalize o denominador das expressões seguintes:
a) 1 = 1 .  33 = 5 33 = 5 27
 5  5 .  5  52 5
b) 4 = 4 .  5 = 4 5 = 4 5
 5  5 .  5  52 5
c) 10 = 10 .  10 = 10 10 =  10
3 10 3 10 .  10 3 . 10 3
d) 1 (com a > 0) = 1 .  a =  a
aa.aa
2) Calcule o valor de  0,4 , sabendo-se que  10 = 3,162 (aprximadamente).
 0,4 =  4/10 =  4 = 2 = 2 10
 10  10 10
3) Racionalize os denominadores das expressões seguintes:
a) 4 = 4 = 4 = 1 = 1 .  2 =  2
 32  25 4 2  2  2 .  2 2
b) 2a (com a > 0) = 2a = 2a = 1 = 1 .4 (2a)3 = 4 8a3 = 4 8a3
4 32a5 4 25a5 2a4 2a 4 2a  2a4 (2a)3 4 (2a)4 2a
4) Sabendo que  6 = 2,45 (aproximadamente), calcule o valor de  3 +  2 .
13
3-2
( 3 +  2) ( 3 +  2) = ( 3 +  2)2 = 3 + 2 3  2 + 2 = 5 + 2 6  5 + 2 . 2,45 = 9,9
( 3 -  2) ( 3 +  2) 3 - 2
5) Racionalize a expressão abaixo:
3 = 3(2 +  3 +  7) = 3(2 +  3 +  7) = 6 + 3 3 + 3 7 = 6 + 3 3 + 3 7=
2 +  3 -  7 (2 +  3 -  7) (2 +  3 +  7) (2 +  3)2 - ( 7)2 4 + 4 3 + 3 - 7 4 3
= (6 + 3 3 + 3 7)  3 = 6 3 + 9 + 3 21 = 3(2 3 + 3 +  21) = 3 + 2 3 +  21 .
4 3 3 12 12 4