Sequências (PA e PG)

Sequências (P.A. e P.G.)
Parte I
1. (Espcex (Aman) 2014) Os números naturais ímpares são
dispostos como mostra o quadro
1ª linha
2ª linha
3ª linha
4ª linha
5ª linha
...
1
3
7
13
21
...
5
9
15
23
...
11
17
25
...
19
27
...
29
...
...
O primeiro elemento da 43ª linha, na horizontal, é:
a) 807
b) 1007
c) 1307
d) 1507
e) 1807
2. (Unicamp 2014) O perímetro de um triângulo retângulo
é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão
aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a
2
a) 3,0 m .
2
b) 2,0 m .
2
c) 1,5 m .
2
d) 3,5 m .
3. (Unesp 2013) A soma dos n primeiros termos de uma
2
progressão aritmética é dada por 3n – 2n, onde n é um
número natural. Para essa progressão, o primeiro termo e a
razão são, respectivamente,
a) 7 e 1.
b) 1 e 6.
c) 6 e 1.
d) 1 e 7.
e) 6 e 7.
4. (Fgv 2013) Entre 2006 e 2010, foram cometidos em
média 30 crimes por ano em Kripton (entre roubos,
estelionatos e assassinatos). Em 2007, foram cometidos 40
crimes no total. Entre 2006 e 2010, o número de crimes
evoluiu em uma progressão aritmética.
a) Qual é a razão da progressão aritmética em que evoluiu
o número de crimes, entre 2006 e 2010?
b) Em 2010, houve duas vezes mais roubos que
assassinatos e igual número de roubos e estelionatos.
Quantos estelionatos ocorreram em 2010?
c) Em 2011, foram cometidos 30 crimes. Qual é o número
médio de crimes cometidos entre 2007 e 2011?
5. (Unifesp 2013) A sequência (12,a,b), denominada S1, e a
sequência (c,d,e), denominada S2, são progressões
aritméticas formadas por números reais.
a) Somando 1 ao segundo termo e 5 ao terceiro termo de
S1, a nova sequência de três números reais passa a ser
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uma progressão geométrica crescente. Calcule a razão
dessa PG.
b) Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos
de S2, a nova sequência que se forma tem soma dos três
termos igual a zero, e termo do meio diferente de zero.
Determine a razão r de S2, para o caso em que
π
< r < π.
2
6. (Unicamp 2013) A numeração dos calçados obedece a
padrões distintos, conforme o país. No Brasil, essa
numeração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para
adultos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio em
meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para
mulheres.
a) Considere a tabela abaixo.
Numeração brasileira (t)
35
42
Comprimento do calçado (x)
23,8 cm
27,3 cm
Suponha que as grandezas estão relacionadas por
funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira e
x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os
valores dos parâmetros a e b da expressão que permite
obter a numeração dos calçados brasileiros em termos
do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da
expressão que fornece o comprimento em termos da
numeração.
b) A numeração dos calçados femininos nos Estados Unidos
pode ser estabelecida de maneira aproximada pela
função real f definida por f(x) = 5(x – 20) / 3, em que x é
o comprimento do calçado em cm. Sabendo que a
numeração dos calçados nk forma uma progressão
aritmética de razão 0,5 e primeiro termo n1 = 5, em que
nk = f (ck), com k natural, calcule o comprimento c5.
7. (Fgv 2013) Observe a tabela com duas sequências.
Sequência
1
Sequência
2
1.º
termo
2.º
termo
3.º
termo
4.º
termo
...
3
7
11
15
...
-3
-82
-161
-240
...
Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da sequência 1, e
bn o n-ésimo termo da sequência 2, então, Sn =| bn | para
n igual a 1 ou
a) 26.
b) 29.
c) 38.
d) 43.
e) 46.
8. (Enem 2013) As projeções para a produção de arroz no
período de 2012–2021, em uma determinada região
produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento
Página 1
constante da produção anual. O quadro apresenta a
quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos
primeiros anos desse período, de acordo com essa
projeção.
Ano
Projeção da produção (t)
2012
50,25
2013
51,50
2014
52,75
2015
54,00
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser
produzida no período de 2012 a 2021 será de
a) 497,25.
b) 500,85.
c) 502,87.
d) 558,75.
e) 563,25.
9. (Fgv 2013) Um anfiteatro tem 12 fileiras de cadeiras. Na
1ª fileira há 10 lugares, na 2ª há 12, na 3ª há 14 e assim por
diante (isto é, cada fileira, a partir da segunda, tem duas
cadeiras a mais que a da frente).
O número total de cadeiras é
a) 250
b) 252
c) 254
d) 256
e) 258
10. (Fgv 2013) Uma mercadoria é vendida com entrada de
R$500,00 mais 2 parcelas fixas mensais de R$576,00.
Sabendo-se que as parcelas embutem uma taxa de juros
compostos de 20% ao mês, o preço à vista dessa
mercadoria, em reais, é igual a
a) 1.380,00.
b) 1.390,00.
c) 1.420,00.
d) 1.440,00.
e) 1.460,00.
11. (Unesp 2013) Uma partícula em movimento descreve
sua trajetória sobre semicircunferências traçadas a partir
de um ponto P0 , localizado em uma reta horizontal r, com
deslocamento sempre no sentido horário. A figura mostra a
trajetória da partícula, até o ponto P3 , em r. Na figura,
O, O1 e O2 são os centros das três primeiras
R R
semicircunferências traçadas e R, , seus respectivos
2 4
raios.
A trajetória resultante do movimento da partícula será
obtida repetindo-se esse comportamento indefinidamente,
sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência
R
dados por On e Rn =
, respectivamente, até o ponto
2n
Pn , também em r. Nessas condições, o comprimento da
trajetória descrita pela partícula, em função do raio R,
quando n tender ao infinito, será igual a
a) 22 ⋅ π ⋅ R.
b) 23 ⋅ π ⋅ R.
c) 2n ⋅ π ⋅ R.
7
d)   ⋅ π ⋅ R.
4
e) 2 ⋅ π ⋅ R.
12. (Fgv 2013) Se uma pessoa faz hoje uma aplicação
financeira a juros compostos, daqui a 10 anos o montante
M será o dobro do capital aplicado C.
Utilize a tabela abaixo.
x
2
x
0
1
0,1
1,0718
0,2
1,1487
0,3
1,2311
0,4
1,3195
Qual é a taxa anual de juros?
a) 6,88%
b) 6,98%
c) 7,08%
d) 7,18%
e) 7,28%
13. (Ita 2013) Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de bases
retangulares ABCD e EFGH, em que A, B, C e D são,
respectivamente, as projeções ortogonais de E, F, G e H. As
medidas das arestas distintas AB, AD e AE constituem uma
progressão aritmética cuja soma é 12 cm. Sabe-se que o
3
volume da pirâmide ABCF é igual a 10 cm . Calcule:
a) As medidas das arestas do paralelepípedo.
b) O volume e a área total da superfície do paralelepípedo.
14. (Insper 2012) Considere a sequência
π
2π
3π
nπ
999π
1000π 

 cos 14 ,cos 14 ,cos 14 ,...,cos 14 ,...,cos 14 ,cos 14 


O total de elementos dessa sequência que são números
inteiros é igual a
a) 0.
b) 35.
c) 71.
d) 105.
e) 142.
15. (Unicamp 2012) Uma curva em formato espiral,
composta por arcos de circunferência, pode ser construída
a partir de dois pontos A e B, que se alternam como centros
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Página 2
dos arcos. Esses arcos, por sua vez, são semicircunferências
que concordam sequencialmente nos pontos de transição,
como ilustra a figura abaixo, na qual supomos que a
distância entre A e B mede 1 cm.
e) o produto entre eles é igual a 2.
a) Determine a área da região destacada na figura.
b) Determine o comprimento da curva composta pelos
primeiros 20 arcos de circunferência.
5. (Ufjf 2006) Uma progressão aritmética e uma
geométrica têm o número 2 como primeiro termo. Seus
quintos termos também coincidem e a razão da PG é 2.
Sendo assim, a razão da PA é:
a) 8.
b) 6.
c) 32/5.
d) 4.
e) 15/2.
Parte II
1. (Ufjf 2012) Se a soma dos n primeiros termos de uma
progressão aritmética (PA) de termo geral an , com n ≥ 1, é
15n − n2
, então o vigésimo termo dessa PA
dada por Sn =
4
é:
a) –10.
b) –6.
c) 4.
d) 12.
e) 20.
2. (Ufjf 2011) Dados dois números reais, tais que a < b ,
definimos o comprimento do intervalo fechado [a,b] por
l ([a,b]) = b − a . Para cada número n natural, considere o
1 1
1 
 1
intervalo In =  − ,1 + + 2 + ... + n −1  . O valor de n
2 2
2 
 32
tal que l (In ) = 2 é:
a) 4 .
b) 5 .
c) 6 .
d) 7 .
e) 8 .
3. (Ufjf 2007) Os números log10 x, log10 (10x) e 2 formam,
nessa ordem, uma progressão aritmética, onde x é um
número real positivo. Sobre os termos dessa progressão, é
correto afirmar que:
a) são 3 números reais positivos.
b) o menor deles é um número real negativo.
c) a soma deles é igual a 2.
d) são 3 números inteiros.
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4. (Ufjf 2006) Uma pessoa compra um carro, devendo
pagá-lo, em prestações mensais, durante 5 anos. As
prestações pagas em um mesmo ano são iguais, sendo de
R$ 400,00 o valor da primeira prestação, paga em janeiro. A
cada ano, a prestação sofre um aumento de 10%, em
relação à do ano anterior. Sendo assim, o valor da
prestação mensal, no último ano será, aproximadamente,
de:
a) R$ 440,00.
b) R$ 480,00.
c) R$ 500,00.
d) R$ 580,00.
e) R$ 670,00.
6. (Ufjf 2003) Os comprimentos das circunferências de uma
sequência de círculos concêntricos formam uma progressão
geométrica de razão 3. As áreas desses círculos formam
uma:
a) progressão geométrica de razão 9.
b) progressão aritmética de razão 1/3.
c) progressão geométrica de razão 1/3.
d) progressão aritmética de razão 9.
e) progressão geométrica de razão 1/9.
7. (Ufjf 2002) Um aluno do curso de biologia estudou
durante nove semanas o crescimento de uma determinada
planta, a partir de sua germinação. Observou que, na
primeira semana, a planta havia crescido 16 mm. Constatou
ainda que, em cada uma das oito semanas seguintes, o
crescimento foi sempre a metade do crescimento da
semana anterior. Dentre os valores a seguir, o que MELHOR
aproxima o tamanho dessa planta, ao final dessas nove
semanas, em milímetros, é:
a) 48.
b) 36.
c) 32.
d) 30.
e) 24.
Página 3
Parte III
1. (Uerj 2014) Admita a realização de um campeonato de
futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são
representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões
são convertidos em multas, de acordo com os seguintes
critérios:
- os dois primeiros cartões recebidos não geram multas;
- o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00;
- os cartões seguintes geram multas cujos valores são
sempre acrescidos de R$ 500,00 em relação ao valor da
multa anterior.
Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco
primeiros cartões aplicados a um atleta.
Cartão amarelo
recebido
1º
2º
3º
4º
5º
Valor da multa (R$)
–
–
500
1.000
1.500
Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões
amarelos durante o campeonato.
O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses
cartões equivale a:
a) 30.000
b) 33.000
c) 36.000
d) 39.000
3. (Uerj 2014) Um feirante vende ovos brancos e
vermelhos. Em janeiro de um determinado ano, do total de
vendas realizadas, 50% foram de ovos brancos e os outros
50% de ovos vermelhos. Nos meses seguintes, o feirante
constatou que, a cada mês, as vendas de ovos brancos
reduziram-se 10% e as de ovos vermelhos aumentaram
20%, sempre em relação ao mês anterior.
Ao final do mês de março desse mesmo ano, o percentual
de vendas de ovos vermelhos, em relação ao número total
de ovos vendidos em março, foi igual a:
a) 64%
b) 68%
c) 72%
d) 75%
4. (Uerj 2014) Em um recipiente com a forma de um
paralelepípedo retângulo com 40cm de comprimento,
25cm de largura e 20cm de altura, foram depositadas,
em etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a
0,5 cm3 . Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na
segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente,
dobrando-se o número de esferas a cada etapa.
Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio
entre as esferas é desprezível.
Considerando 210 ≅ 1000, o menor número de etapas
necessárias para que o volume total de esferas seja maior
do que o volume do recipiente é:
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
5. (Uerj 2013) Na figura, está representada uma torre de
quatro andares construída com cubos congruentes
empilhados, sendo sua base formada por dez cubos.
2. (Uerj 2014) Uma farmácia recebeu 15 frascos de um
remédio. De acordo com os rótulos, cada frasco contém
200 comprimidos, e cada comprimido tem massa igual a
20mg.
Admita que um dos frascos contenha a quantidade indicada
de comprimidos, mas que cada um destes comprimidos
tenha 30mg. Para identificar esse frasco, cujo rótulo está
errado, são utilizados os seguintes procedimentos:
- numeram-se os frascos de 1 a 15;
- retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos
correspondente à sua numeração;
- verifica-se, usando uma balança, que a massa total dos
comprimidos retirados é igual a 2540mg.
Calcule o número de cubos que formam a base de outra
torre, com 100 andares, construída com cubos iguais e
procedimento idêntico.
A numeração do frasco que contém os comprimidos mais
pesados é:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
6. (Uerj 2012) Um cliente, ao chegar a uma agência
bancária, retirou a última senha de atendimento do dia,
com o número 49. Verificou que havia 12 pessoas à sua
frente na fila, cujas senhas representavam uma progressão
aritmética de números naturais consecutivos, começando
em 37.
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Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do
atendimento e saíram do banco. Com isso, os números das
senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a
formar uma nova progressão aritmética. Se os clientes com
ass senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, o
número máximo de pessoas que pode ter permanecido na
fila é:
a) 6
b) 7
c) 9
d) 12
plantaram em novembro de 2009. Nesse tempo, a árvore
cresceu – está com quase
ase 2,5 metros –, floresceu, frutificou
e lançou sementes que germinaram e formaram
descendentes [...] perto da árvore principal. O fumo-bravo
fumo
[...] é uma espécie de árvore pioneira, que cresce
rapidamente, fazendo sombra para as espécies de árvores
de crescimento
scimento mais lento, mas de vida mais longa.
(Pesquisa FAPESP, janeiro de 2012. Adaptado.)
Parte IV
1. (Insper 2012) Na sequência de quadrados representada
na figura abaixo, o lado do primeiro quadrado mede 1. A
partir do segundo, a medida do lado de cada quadrado
supera em 1 unidade a medida do lado do quadrado
anterior.
A distância do ponto O, vértice do primeiro quadrado, até o
ponto Vn , vértice do n-ésimo
imo quadrado, ambos indicados
na figura, é
n 2
a)
n + 2n + 5.
2
n 2
b)
n − 2n + 9.
2
n 2
c)
n + 4n + 3.
2
d) n n2 + 2n − 1.
e) n n2 + 2n + 2.
2. (Fuvest 2012) Considere uma progressão aritmética
cujos três primeiros termos são dados por
a1 = 1 + x, a2 = 6x, a3 = 2x 2 + 4 em que x é um número
real.
Considerando que a referida árvore foi plantada em 1º de
novembro de 2009 com uma altura de 1 dm e que em 31 de
outubro de 2011 sua altura era de 2,5 m e admitindo ainda
que suas alturas, ao final de cada ano de plantio, nesta fase
de crescimento, formem uma progressão geométrica, a
razão deste crescimento, no período de dois anos, foi de
a) 0,5.
–1/2
b) 5 × 10 .
c) 5.
1/2
d) 5 × 10 .
e) 50.
4. (Unicamp 2012) Para construir uma curva “floco de
neve”, divide-se
se um segmento de reta (Figura 1) em três
trê
partes iguais. Em seguida, o segmento central sofre uma
rotação de 60º, e acrescenta-se
acrescenta um novo segmento de
mesmo comprimento dos demais, como o que aparece
tracejado na Figura 2. Nas etapas seguintes, o mesmo
procedimento é aplicado a cada segmento da linha
l
poligonal, como está ilustrado nas Figuras 3 e 4.
a) Determine os possíveis valores de x.
b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão
aritmética correspondente ao menor valor de x
encontrado no item a).
3. (Unesp 2012) O artigo Uma estrada, muitas florestas
relata parte do trabalho de reflorestamento
o necessário
após a construção do trecho sul do Rodoanel da cidade de
São Paulo.
O engenheiro agrônomo Maycon de Oliveira mostra uma
das árvores, um fumo-bravo,
bravo, que ele e sua equipe
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Se o segmento inicial mede 1 cm, o comprimento da curva
obtida na sexta figura é igual a
 6! 
a) 
 cm
 4!3! 
 5! 
b) 
 cm
 4!3! 
5
4
c)   cm
3
6
4
d)   cm
3
5. (Unifesp 2011) Progressão aritmética é uma sequência
de números tal que a diferença entre cada um desses
termos (a partir do segundo) e o seu antecessor é
constante. Essa diferença constante é chamada “razão da
progressão aritmética” e usualmente indicada por r.
a) Considere uma PA genérica finita (a1, a2, a3, ..., an) de
razão r, na qual n é par. Determine a fórmula da soma
dos termos de índice par dessa PA, em função de a1, n e
r.
b) Qual a quantidade mínima de termos para que a soma
dos termos da PA (–224, –220, –216, ...) seja positiva?
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