capitulo 6 - UNEMAT Sinop

From the SelectedWorks of Sergio Da Silva
January 2010
Demanda
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Demanda
Hal R. Varian
Intermediate Microeconomics, 8th edition
Capítulo 6
A maximização da utilidade, levando em conta a restrição orçamentária, leva à escolha ótima.
Esta depende, portanto, da renda do consumidor e dos preços. Quando a renda e os preços dos
bens se alteram, a escolha ótima também deverá se alterar. As funções demanda do
consumidor expressam as quantidades ótimas de cada bem em função dessas possíveis
alterações da renda e dos preços:
x1 = x1 ( p1 , p2 , m)
x2 = x2 ( p1 , p2 , m) .
Podemos prosseguir com análises de “estática comparativa”, onde “comparativa” significa
que comparamos as situações de antes e de depois das mudanças ocorridas na renda e nos
preços. “Estática” significa que desconsideramos o que ocorre entre o equilíbrio inicial e o
final.
Bens normais e inferiores
Quando a renda aumenta, a reta orçamentária desloca-se para cima. E desloca-se
paralelamente, porque os preços não variam. Na Figura 1, vemos que isto provoca um
aumento da quantidade demandada. Se o bem 1 se encaixar nesse caso, ele será um “bem
*
normal” e ∆∆xm1 > 0 .
Porém, se o bem 1 for um produto de baixa qualidade ou um bem para o qual há
*
alternativas tecnologicamente melhores, pode ocorrer que ∆∆xm1 < 0 . Nesse caso, ele será um
“bem inferior” (Figura 2).
Curva renda-consumo e curva de Engel
Unindo os pontos de escolha ótima da Figura 1 obtemos o caminho de expansão da renda ou
curva renda-consumo. Se tanto o bem 1 como o bem 2 forem normais, a curva renda-consumo
terá inclinação positiva (Figura 3).
Para o bem 1, plotando as escolhas ótimas para diferentes níveis de renda, obtemos a curva de
Engel (Figura 4).
Como exemplo, para bens substitutos perfeitos, se p1 < p2 o consumidor consumirá
apenas o bem 1, como vimos no Capítulo 5. No ótimo de fronteira, quando a renda aumenta, o
consumo ótimo do bem 1 aumenta. Logo, a curva renda-consumo ficará sobre o eixo
horizontal (Figura 5). Além disso, como na escolha ótima x1* = mp1 , temos que m = p1 x1* . A
curva de Engel será então a linha reta que passa pela origem e possui inclinação p1 (Figura
6).
Para o caso de bens complementares perfeitos, como na escolha ótima x1* =
m
p1 + p2
,
então m = ( p1 + p2 ) x1* . A curva renda-consumo será a diagonal que passa pela origem, porque
x1* = x2* (Figura 7). Já a curva de Engel será a reta que passa pela origem de inclinação
p1 + p2 (Figura 8).
Para o caso de preferências Cobb-Douglas:
u ( x1 , x2 ) = x1c x2d ,
a escolha ótima do bem 1 será, como vimos,
x1* =
c m
.
c + d p1
Sendo c = a e d = 1 − a ,
u ( x1 , x2 ) = x1a x12− a
e
x1* =
a
m
a + (1 − a) p1
x1* =
am
.
p1
Dado p1 , a demanda pelo bem 1 será função linear de m .
A demanda pelo bem 2 será:
x2* =
d m
c + d p2
x2* =
1− a
m
a + (1 − a) p2
x2* =
(1 − a)m
,
p2
ou
que é também função linear da renda. Isso implica que a curva renda-consumo é a reta que
passa pela origem (Figura 9). Como
m=
p2 *
x2 ,
1− a
substituindo no m de x1* :
x1* =
a p2 *
x2 .
1 − a p1
Para qualquer m , dados os preços p1 e p2 , x1* será função linear de x2* ; se x2* = 0 , logo
x1* = 0 e a reta passará pela origem.
Para o bem 1, como
m=
p1 *
x1 ,
a
a curva de Engel será a reta de inclinação
p1
a
(Figura 10).
Preferências homotéticas
As preferências para substitutos perfeitos, complementares perfeitos e Cobb-Douglas são
homotéticas. Neste caso, as curvas renda-consumo e de Engel serão linhas retas que passam
pela origem. Além disso, se a renda aumentar ou diminuir no montante t > 0 , a cesta
demandada aumentará ou diminuirá na mesma proporção.
Preferências quase-lineares
Preferências quase-lineares são representadas por curvas de indiferença que são versões
deslocadas verticalmente de uma inicial (Figura 11).
Sua função utilidade é dada por:
u ( x1 , x2 ) = v( x1 ) + x2 .
No equilíbrio ( x1* , x2* ) , se aumentarmos a renda em m = k chegaremos ao novo equilíbrio em
que ( x1* , x2* + k ) . O aumento da renda não alterará o consumo de equilíbrio inicial do bem 1:
apenas aumentará o consumo do bem 2.
Para o bem 1, a curva de Engel fica vertical depois do equilíbrio inicial (Figura 12). Se
m variar, x1* permanecerá constante. Como exemplo, se o bem 1 for lápis e o bem 2 for
“dinheiro”, que pode ser usado para gastar com os outros bens, de início podemos gastar a
renda apenas em lápis; mas isto deixará de acontecer em seguida.
Bens de Giffen
Se p1 diminuir e p2 e m ficarem constantes, x1 aumentará, no caso de bens comuns. Na
Figura 13, p1 se reduzirá e a reta orçamentária rotará para a direita, ficando menos inclinada.
Porém, para os bens de Giffen, mesmo que as preferências sejam bem comportadas, se
p1 diminuir e p2 e m ficarem constantes, x1 diminuirá (Figura 14).
Sendo mingau o bem 1, digamos que seu consumo ótimo seja x1* = 7 tigelas. Sendo
leite o bem 2, o seu consumo ótimo é x2* = 7 copos. Caso p1 se reduza, o consumidor poderá
consumir as mesmas 7 tigelas e ainda ficar com dinheiro sobrando. Com o dinheiro que
sobrou, ele poderá aumentar o consumo de leite e até mesmo reduzir o de mingau. Embora
improvável, isto será possível.
Curva preço-consumo e curva de demanda
Com p2 e m fixos, se p1 cair, a reta orçamentária girará para a direita: unindo os pontos de
escolha ótima encontraremos a curva preço-consumo, que mostra as cestas demandadas a
diversos preços do bem 1 (Figura 15). A curva de demanda apresenta esta mesma informação.
Ela é o gráfico da função demanda x1 ( p1 , p2 , m) , onde p2 e m estão fixos. No exemplo da
Figura 15, inicialmente x1* = 2 e p1 = 40 . Se p1 ↓= 20 , x1* = 4 . Se p1 ↓= 10 , x1* = 6 .
Para a maioria dos bens (bens comuns), quando p1 se reduz, x1 aumenta e, portanto, a
curva de demanda apresenta inclinação negativa. Em termos de taxas de variação:
∆x1
< 0.
∆p1
Porém, para os bens de Giffen, como p1 ↓→ x1 ↓ , a curva de demanda apresenta inclinação
positiva.
Exemplos de curvas de demanda
Para bens substitutos perfeitos, como vimos no Capítulo 5:
0, se p1 > p2

x1 = qualquer número sobre a reta orçamentária, se p1 = p2
 m , se p < p
1
2
 p1
Na Figura 16, dado p2 = 5 , se p1 > p2 = 5 (por exemplo, p1 = 10 ), na cesta ótima,
x = 0 . Se p1 = p2 = 5 , todos os pontos sobre a reta orçamentária contêm cestas ótimas. Se
m
p1 < p2 = 5 (por exemplo, p1 = 2 ), então x1* = .
p1
*
1
Para bens complementares perfeitos, como vimos no Capítulo 5,
x1 =
m
p1 + p2
e a curva preço-consumo será uma diagonal (Figura 17), porque, a qualquer preço, o
consumidor demandará a mesma quantidade dos dois bens.
Para bens discretos, sendo o bem 1 discreto, r1 seu preço de reserva e o consumidor
for indiferente entre consumir ou não o bem, se p1 for alto de modo que p1 > r1 , o
consumidor não irá querer consumir o bem; e se p1 for baixo de modo que p1 < r1 , o
consumidor irá querer apenas uma unidade do bem.
Na Figura 18, inicialmente a reta orçamentária passa por dois pontos com consumo
ótimo x1* = 0 ou x1* = 1 , onde p1 = r1 . Se p1 ↓= r2 , a reta orçamentária girará e agora passará
pelos outros dois pontos com consumo ótimo x1* = 1 ou x1* = 2 . A “curva” de demanda será
descrita pela sequência de quedas desses preços de reserva, quando x1 aumenta em mais outra
unidade.
Observe que agora r1 satisfaz a equação
u ( x1 , x2 ) = u (0, m) = u (1, m − r1 )
(1)
e que r2 satisfaz a
u (1, m − r2 ) = u (2, m − 2r2 ) ,
(2)
onde u (1, m − r2 ) é a utilidade de se consumir uma unidade do bem discreto ao preço r2 , e
u (2, m − 2r2 ) é a utilidade de se consumir duas unidades do bem discreto, cada uma ao preço
r2 .
Para calibrar, podemos supor que a utilidade é quase-linear:
u ( x1 , x2 ) = v( x1 ) + x2 ,
sendo v(0) = 0 . Nesta forma funcional, os preços de reserva não dependerão da quantidade do
bem 2 possuída pelo consumidor (no caso, dada por m ). Assim, (1) fica sendo
v(0) + m = v(1) + m − r1
m = v(1) + m − r1
r1 = v(1) .
(3)
Analogamente, (2) fica sendo
v(1) + m − r2 = v(2) + m − 2r2
2r2 − r2 = v(2) − v(1)
r2 = v(2) − v(1) .
(4)
Podemos, então, inferir que o preço de reserva da terceira unidade será:
r3 = v(3) − v(2) ,
(5)
e assim por diante. O preço de reserva irá medir o aumento de utilidade necessário para
induzir o consumidor a escolher mais outra unidade do bem discreto. Os preços de reserva
medem então as utilidades marginais do consumo adicional do bem discreto. Como a
utilidade marginal é decrescente:
r1 > r2 > r3 ...
Dado um preço qualquer p , a questão é saber onde ele se situará na lista dos preços de
reserva. Se, por exemplo, p estiver entre r6 e r7 , sendo r6 > r7 , isto significa que o
consumidor estará disposto a abrir mão de p unidades monetárias para obter 6 unidades do
bem discreto (bem 1), pois p < r6 . Isto também significa que ele não estará disposto a abrir
mão de p unidades monetárias para obter a sétima unidade do bem 1, pois p > r7 .
Se o consumidor demandar 6 unidades do bem 1, isto gerará mais (ou a mesma)
utilidade que 5 unidades. Então (veja (2)):
u ( x1 , x2 ) = u (6, m − 6 p) ≥ u (5, m − 5 p) .
Na forma quase-linear
u ( x1 , x2 ) = v( x1 ) + x2 ,
temos:
v(6) + m − 6 p ≥ v(5) + m − 5 p
v(6) − v(5) ≥ 6 p − 5 p
v(6) − v(5) ≥ p .
Por (5):
r6 = v(6) − v(5) .
Substituindo, temos:
r6 ≥ p .
Por outro lado, se o consumidor demandar 6 unidades do bem 1, isto gerará mais (ou a
mesma) utilidade que 7 unidades:
u (6, m − 6 p) ≥ u (7, m − 7 p) .
Para a utilidade quase-linear:
v(6) + m − 6 p ≥ v(7) + m − 7 p
v(7) − v(6) ≤ 7 p − 6 p
v(7) − v(6) ≤ p
r7 ≤ p .
Portanto,
r7 ≤ p ≤ r6 .
Bens substitutos e complementares imperfeitos
Lápis vermelhos e lápis azul são substitutos perfeitos para o consumidor que não se importa
com cor. Lápis e caneta são substitutos – pode-se escrever com eles – mas somente até certo
ponto. Não se pode, por exemplo, assinar documentos com lápis.
Sapato e meia são bens complementares imperfeitos: são consumidos em conjunto,
embora não necessariamente.
Já que a função demanda
x1 ( p1 , p2 , m)
depende dos dois preços, além da renda, se x1 ↑ quando p2 ↑ , o bem 1 será substituto do
bem 2. Se o bem 2 ficar mais caro, o consumidor o substituirá pelo bem 1. Em termos de
taxas de variação, para bens substitutos brutos,
∆x1
>0.
∆p2
Se x1 ↓ quando p2 ↑ , o bem 1 será complementar ao bem 2. Se café ficar mais caro, isto
pode reduzir o consumo de açúcar. Então, para bens complementares brutos,
∆x1
< 0.
∆p2
Função demanda inversa
Para a curva de demanda de inclinação negativa podemos obter a função demanda inversa,
onde agora é preço que é função da quantidade. O gráfico é similar ao da função demanda
direta (Figura 19). Mudamos apenas o ponto de vista: para cada nível de demanda do bem 1, a
função demanda inversa informa qual deverá ser o preço para que o consumidor escolha esse
nível de consumo.
Considerando a função demanda (direta) Cobb-Douglas
x1 =
am
,
p1
a função demanda inversa será, apenas,
p1 =
am
.
x1
Vimos que, na escolha ótima interior,
TMS =
p1
p2
ou
p1 = p2 ⋅ TMS .
Portanto, no ótimo, o preço do bem 1 será proporcional à TMS entre o bem 1 e o bem
2. Para p2 = 1 ,
p1 = TMS .
Neste caso, o preço do bem 1 medirá em quanto o consumidor está disposto a abrir mão de
quantidades do bem 2 para obter mais do bem 1 (custo de oportunidade). Se o bem 2 for a
quantidade de dinheiro a ser gasta em todos os outros bens, a TMS passa a ser a quantidade de
dinheiro que o consumidor quer oferecer para consumir mais do bem 1: a TMS torna-se a
propensão marginal a pagar. Como p1 = TMS , então p1 passa a medir a propensão marginal
a pagar.
No caso de preferências quase-lineares, estas apresentam curvas de indiferenças
exatamente similares que podem ser representadas pela função utilidade
u ( x1 , x2 ) = v( x1 ) + x2 .
A restrição orçamentária
p1 x1 + p2 x2 = m
pode ser escrita como
p2 x2 = m − p1 x1
x2 =
m − p1 x1
p2
e substituída na função utilidade para maximizá-la:
max v( x1 ) + x2
x1 , x2
m p1
x1
−
p2 p2
max v( x1 ) +
x1
p
∂u
= v′( x1 ) − 1 = 0
∂x1
p2
v′( x1* ) =
p1
.
p2
Logo, a demanda quase-linear pelo bem 1 independe da renda ( m ), desde que m ≠ 0 .
A demanda inversa pode ser escrita como:
p1 = p2 v′( x1* ) .
Para a forma funcional específica de v( x1 ) dada por
u ( x1 , x2 ) = ln x1 + x2
podemos encontrar a função demanda direta pelo bem 1 como:
max ln x1 +
x1
1 p1
−
=0
x1 p2
1 p1
=
x1 p2
x1* =
p2
.
p1
m p1
x1
−
p2 p2
Logo, a função demanda inversa será:
p1 =
p2
.
x1*
A função demanda direta do bem 2 pode agora ser encontrada substituindo x1 de volta na
restrição orçamentária:
x2 =
m p1
x1
−
p2 p2
x2 =
m p1 p2
−
p2 p2 p1
x2* =
m
−1 .
p2
Assim, a demanda pelo bem 2 passa a depender da renda m . Se m < p2 →
m
p2
< 1 → x2* < 0 , o
que é impossível. Logo, a solução acima não se define para m < p2 . Na prática, x2* = 0 , já que
não pode ser negativo. Em suma,
se m ≤ p2
0,

x =m
 p − 1, se m > p2
 2
*
2
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