Anápolis, 14/11/2006

Disciplina: Estatística
4º Período
Professor: Wanderson
TEORIA DAS PROBABILIDADES
Introdução: Estuda a forma de estabelecer as possibilidades de ocorrência de cada experimento aleatório.
Considere os seguintes experimentos:
 Aquecimento da água contida em uma panela;
 Queda livre de um corpo.
Conhecidas certas condições, podemos prever a temperatura em que a água entrará em ebulição e a velocidade com que o corpo
atingirá o solo. Os experimentos cujos resultados podem ser previstos, isto é, podem ser determinados antes da sua realização, são
denominados experimentos determinísticos.
Consideramos também os experimentos:
 Lançamento de uma moeda e leitura da figura da face voltada para cima;
 Lançamento de um dado comum e leitura do número voltado para cima;
 Nascimento de uma criança
 Sorteio de uma carta de baralho.
Se esses experimentos forem repetidos várias vezes, nas mesmas condições, não poderemos prever o seu resultado. Experimentos
que, ao serem realizadas repetidas vezes, nas mesmas condições, apresentarem resultados variados, não sendo possível, portanto, a
previsão lógica dos resultados, é denominada experimentos aleatórios.
Um experimento aleatório apresenta as seguintes características fundamentais:
 Pode repetir-se várias vezes nas mesmas condições;
 É conhecido o conjunto de todos os resultados possíveis;
 Não se pode prever qual o resultado.
Os experimentos aleatórios estão sujeito à lei do acaso.
Elementos:
1º Espaço Amostral: O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço
amostral, o qual indicaremos por U.
Exemplo 1: Determinar o espaço amostral nos seguintes experimentos.
a) Joga-se uma moeda e lê-se a figura da face voltada para cima.
b) Joga-se um dado comum e lê-se o número voltado para cima.
c) Jogam-se duas moedas diferentes e lêem-se as figuras das faces voltadas para cima.
2º Evento: Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado evento.
Exemplo 2 : Uma urna contem 3 bolas vermelhas. Dessa urna são retiradas, sucessivamente 3 bolas, nessas condições
determine:
a) O espaço amostral
b) Determine o evento em que as três bolas tem a mesma cor.
c) Determine o evento em que duas bolas são pretas.
d) Determine o evento em que as três bolas são vermelhas.
e) Determine o evento em que o numero de bolas pretas é igual ao numero de bolas vermelhas.
Exemplo 3: Certo experimento probabilístico consiste em jogar uma moeda e então um dado com seis faces. Descreva o espaço
amostral, e escreva o evento em que temos uma face da moeda com um numero par.
Exercícios:
01) Dê o espaço amostral dos seguintes experimentos:
a) Lançamento simultâneo de 3 moedas. Faça: C = cara, K = coroa.
b) Lançamento simultâneo de um dado e uma moeda.
c) Distribuição dos quatro filhos de uma família, quanto ao sexo, por ordem de nascimento
d) Retirada de 4 bolas de uma urna contendo 2 bolas brancas e 5 bolas verdes.
02) Considere o experimento: lançamento de dois dados, um branco e outro verde, e observação da face superior; determine:
a) O espaço amostral.
b) O evento: ocorrência de números iguais nos dois lados;
c) O evento: ocorrência de números cuja a soma seja 5;
d) O evento: ocorrência de números cuja a soma seja 12;
e) O evento; ocorrência de números cuja a soma seja menor ou igual a 5.
03) Em uma caixa há 5 papeletas, numeradas de 1 a 5 . Retiram-se duas delas ao acaso e calcula-se a soma dos números
escritos. Determine os eventos:
a) Obter uma soma par e múltipla de 3
b) Obter uma soma múltipla de 7
c) Obter uma soma par e múltipla de 3.
d) Obter uma soma múltipla de 2.
PROBABILIDADE DE UM EVENTO
Se, num fenômeno aleatório, o número de elementos do espaço amostral é n(U) e o número de elementos do evento A é n(A),
então a probabilidade de ocorrer o evento A é o número P(A), tal que:
P(A) = n(A)
n(U)
Exemplo1: Num lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter:
a) O numero 2
b) Um número par
c) Um numero múltiplo de 3.
Exemplo 2 : De um baralho de 52 cartas tira-se ao acaso uma das cartas. Determine a probabilidade de que a carta seja:
a) Uma dama
b) Uma carta de paus
c) Uma carta de ouros ou espadas
Exercícios.
01) No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter:
a) O numero 1
b) Um numero menor que 5
c) Um numero maior que 6
d) Um numero divisível por 2
02) No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho determinem a probabilidade dos seguintes eventos.
a) Os números são iguais.
b) A soma dos números é igual a 9
c) A soma dos números serem pares
03) Você faz parte de um grupo de 10 pessoas, para três das quais serão distribuídos prêmios iguais. Qual a probabilidade de
que você seja um dos premiados?
04) De um baralho de 52 cartas tira-se uma ao acaso, determine a probabilidade de que a carta seja:
a) Uma carta de naipe vermelho
b) De copas , ouros ou espadas
c) Um rei
05) Uma sacola contem, 10 bolas brancas, 3 bolas azuis, 5 bolas amarelas e 8 bolas verdes. Retira-se ao acaso uma das bolas,
qual a probabilidade de que a bola retirada seja:
a) Branca
b) Amarela
c) Azul
d) Verde
e) Branca ou azul
f) Amarela ou verde
g) Branca, amarela ou verde
06) No lançamento simultâneo de dois dados iguais, qual a probabilidade de a soma dos pontos ser 8 e um dos dados
apresentar 6 pontos?
07) Observe a amostra das idades de 1000 funcionários de uma empresa.
Idade dos funcionários
Freqüência
15 – 24
54
25 – 34
366
35 – 44
233
45 – 54
180
55 – 64
125
65 ou amais
42
Σ
1000
Escolhendo um funcionário ao acaso, qual a probabilidade desse funcionário ter :
a) Menos de 35 anos
b) entre 45 e 64 anos
c) ter mais de 64 anos.