Conservação da Energia - Páginas Pessoais

Conservação da Energia
Prof. Oscar Rodrigues dos Santos
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Conservação da Energia | 1
Energia Potencial (U)
Energia = Propriedade de um sistema que lhe permite
realizar trabalho ...
Potencial = Virtual, possível.
Energia Potencial (U) é a
energia armazenada que
poderá ser convertida
em energia cinética e
portanto
realizar
trabalho. É a energia que
um corpo possui em
virtude de sua posição.
Conservação da Energia | 2
Energia Potencial Gravitacional
Em qual das situações ao lado o
haltere entra em movimento após ser
solto?
A Energia Potencial Gravitacional proporciona ao corpo a
capacidade de entrar em movimento, que depende de sua
altura h, distancia entre dois objetos que se atraem (Terra e
haltere).
U  mgh
Energia Potencial Gravitacinal
Conservação da Energia | 3
Energia Potencial e Trabalho
Quando o corpo sobe de uma altura y1 para
y2, o trabalho da força da gravidade é dado
por:
Wg  Fd  mg( y1  y2 )
W  mgh
• Tanto na subida quanto na descida, a
variação
da energia potencial
gravitacional é definida como sendo
igual a menos o trabalho realizado
pela força gravitacional sobre o
tomate.
U  W
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Energia Potencial e Trabalho
Exercício
1. Uma preguiça de 2,0 kg está
pendurada a 5,0 m acima do solo.
Qual é a energia potencial U do
sistema preguiça-Terra se tomarmos
o ponto de referência y = 0 com
sendo (1) no nível do solo, (2) no
nível da varanda que está à 3 metros
acima do solo, (3) no galho e (4), 1,0
m acima do galho? Considere a
energia potencial nula em y = 0.
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Energia Potencial e Trabalho
2. Uma pessoa, situada no alto de um prédio cuja altura é de 8,0m deixa
cair um vaso de concreto de 10,0 kg. Sendo A o ponto no alto do
edifício, hA = 8,0m e o ponto B um ponto a uma altura hB= 2,0m, qual
o trabalho realizado pela força peso do corpo no deslocamento de A
para B? (Resp.: 588J)
3. Um carro de montanha-russa de massa m=825 kg atinge o topo da
primeira elevação com uma velocidade vo = 17m/s a uma altura h =
42,0m. O atrito é desprezível. Qual o trabalho realizado sobre o carro
pela força gravitacional desse ponto para o (a) ponto A, (b) ponto B e
(c) ponto C? Se a energia potencial gravitacional do sistema carroTerra for tomada como nula em C, qual será seu valor quando o carro
estiver em (d) B e (e) A? Se a massa do carro fosse dobrada, a
variação da energia potencial do sistema ente os pontos A e B
aumentaria?
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Energia Potencial Elástica
Sistema massa-mola
1 2 1 2
W  kx i  kx f
2
2
1 2 1 2
U  kx f  kxi
2
2
Se xi = 0 e xf = x
1 2
W   kx
2
1 2
U  U  kx
2
Conservação da Energia | 7
Energia Potencial Elástica
5. Qual a constante elástica da mola que armazena 25 J de energia
potencial quando comprimida 7,5 cm a partir de seu comprimento
relaxado?
6. Suponha que para comprimir 30cm a mola da figura fosse
necessário exercer sobre ela uma F=15 N. (a) Qual a constante da
mola? (b) Considere xA=20cm e xB=10cm. Quais os valores da energia
potencial elástica do corpo em A e em B? (c) Qual o trabalho que a
mola realizou ao empurras o corpo de A para B? (Resp.: 50 N/m; 1J e
0,25J; 0,75J)
Conservação da Energia | 8
Conservação da Energia Mecânica
Sistema Terra-partícula desconsiderando forças dissipativas


(e)
(f)
(d)
v

0
v
0
(a)
(b)
(c)
 
v  v0

v0

v0

v

vf
• De (a) à (c) a energia cinética é transferida da bola
para o sistema bola-Terra onde é armazenada como
energia potencial (h cresce e v diminui).
U  mgh
1 2
K  mv
2
• De (c) a (e) a energia potencial diminui e se
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transforma em energia cinética (h diminui e v cresce)
Conservação da Energia Mecânica
Se não houver forças dissipativas a bola desceria e
subiria eternamente.
Temos que em qualquer estágio a soma da energia
potencial U e da energia cinética K é constante. Esta
constante é denominada energia mecânica Emec.
Emec  K  U
Temos que pelo teorema do trabalho-energia cinética:
Temos também que:
K  W
 U  W
K  U  0
Ki  U i  K f  U f
da Energia | 10
Conservação da energiaConservação
mecânica
Conservação da Energia Mecânica
Se não houver forças dissipativas a energia mecânica se
conserva e temos:
A soma de K e U para
qualquer estado de um
sistema
=
A soma de K e U para
qualquer outro estado de
um sistema
Em um dado sistema isolado onde apenas forças conservativas
causam variações da energia, a energia cinética e a energia
potencial podem variar, mas sua soma, a energia mecânica, Emec
do sistema, não pode variar.
1 2
mv  mgh  Emec
2
Sistema Terra-partícula
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Conservação da Energia Mecânica
Exemplo: Um corpo de massa m é abandonado a partir do
repouso de um ponto situado a uma altura h acima do
solo horizontal. Desprezando a resistência do ar,
determine a velocidade do corpo ao chegar no solo.
Conservação da Energia | 12
Conservação da Energia Mecânica
Exercícios
7. O pêndulo simples da figura é abandoado doA
ponto A. O fio é ideal e a resistência do ar é
desprezada. São dados: m=0,2, kg e L = 0,8m.
Determine, para o instante em que a massa
pendular estiver passando pelo ponto mais baixo
de sua trajetória, ponto B (a) a sua velocidade
escalar v e (b) a intensidade T da força que
traciona o fio na parte mais baixa da trajetória.
(Resp.: 4m/s; 5,96N)

v
B
8. No exercício 3 ( h=42m, m=825 kg, v0=17m/s), qual é a velocidade do
carro (a) no ponto A , (b) no ponto B e (c) no ponto C? (d) A que altura
chegará à última rampa, que é alta demais para ser ultrapassada? (Resp.:
17m/s; 26,5m/s; 33,4 m/s; 53,7 m)
Conservação da Energia | 13
Conservação da Energia Mecânica
9. Um bloco de massa 2 kg é abandonado, a partir do
repouso, no ponto A do trilho cujo perfil é representado na
figura ao lado. Despreze os atritos R=7,5m. Determine (a) o
valor mínimo da altura H para que o bloco não perca
contato com o trilho de apoio. (b) Nas condições do item
anterior, determine a intensidade da força que o trilho aplica
no corpo quando este estiver passando pelo ponto C.
(Res.: 18,75m; 60N)
10. Um bloco de massa 3 kg desliza sem atrito ao longo
de um plano horizontal, como mostra a figura, e atinge
uma mola de constante elástica k = 300 N/m.
comprimindo-a 20cm até parar. Determine a velocidade
do corpo no instante que atinge a mola (Res.: 2m/s).
11. Um bloco de massa 1kg, em repouso,
comprime a mola em 20 cm com constante
elástica k = 400N/m. A partir de determinado
instante o bloco é lançado pela mola e desliza
pelo plano horizontal e depois atinge o plano
superior de altura h=0,6m. Qual a velocidade do
bloco após subir a rampa? (Res.: 2m/s)
Conservação da Energia | 14
Conservação da Energia Mecânica
12. Uma criança de massa m parte no alto de um
toboágua, a uma altura h=8,5m acima da base do
brinquedo. Supondo que a presença da água torna o
atrito desprezível, encontre a velocidade da criança ao
chegar à base do toboágua.
13.Uma montanha-russa tem uma altura máxima de 30m. Considere um
carrinho de 200kg colocado inicialmente em repouso no topo da montanha. (a)
Qual energia potencial do carrinho, em relação ao solo, no instante inicial? (b)
Qual a energia cinética do carrinho no instante em que a altura, em relação ao
solo, é 15m?
Conservação da Energia | 15
Forças Conservativas e Não-Conservativas
Uma força que é capaz de converter energia cinética
em energia potencial e de fazer a conversão inversa
denomina-se Força Conservativa.
Exemplos: Força gravitacional, força elástica
A força é conservativa se o trabalho realizado sobre uma partícula
que percorre um circuito fechado é igual a zero, caso contrário é
não conservativa.
Ex: força gravitacional
Wtotal  Wsubida  Wdescida
Wtotal  mgh  mgh  0
Força Conservativa
Já a força de atrito é não-conservativa. O trabalho de volta não possui
sinal oposto ao de ida.
Wtotal  Wida  Wvolta  0
Força não-conservativa
Conservação da Energia | 16
Forças Conservativas e Não-Conservativas
Um resultado importante deste teste de circuito
fechado é que:
•  O trabalho realizado por uma força
conservativa sobre uma partícula em
movimento entre dois pontos independe de
percurso seguido pela partícula.
Wab1  Wab2
Conservação da Energia | 17
Forças Conservativas e Não-Conservativas
Exemplo: A figura mostra um pedaço de 2,0 kg de queijo que escorrega ao
longo de uma superfície curva sem atrito do ponto a para o ponto b. O queijo
percorre uma distância total de 2,0 m ao longo da superfície enquanto a
distancia vertical é de 0,8m. Qual o trabalho realizado sobre o queijo pela
força gravitacional durante o deslizamento?
Wh  mgd cos 90
0
W  Wh  Wv  16 J
Wv  mgd cos 0
0
O trabalho total é igual ao trabalho gravitacional de um corpo
no movimento de queda.Conservação da Energia | 18
Calculo da Força a Partir da Energia Potencial
O trabalho W realizado por uma força conservativa unidimensional
F(x) que age sobre uma partícula quando a partícula percorre uma
distância ∆x é dado por:
W  F ( x)x
Neste caso a variação da energia potencial é dada por:
U x   W   F x x
No limite que ∆x tende a zero:
dU x 
F x   
dx
U
F x   
x
U
F x    lim
x 0 x
Conservação da Energia | 19
Calculo da Força a Partir da Energia Potencial
Emec  K x   U x 
dU x 
F x   
dx
Conservação da Energia | 20
Trabalho realizado por força de atrito
Considere um bloco de massa m escorregando num piso horizontal e sujeito
a uma força de atrito cinético constante e uma força constante F.
Fres ,x  max
F  f c  ma
Se as forças são constantes a aceleração também é constante.

1 2 2
a
v  v0
2d
v  v  2ad
2
2
0

1 2 2
F  fc  m
v  v0
2d


1 2 1 2
Fd  f c d  mv  mv0
2
2
E  K
Fd  E  f c d
Conservação da Energia | 21
Trabalho realizado por força de atrito
O produto –fd, onde f é a força de atrito cinético, é igual à variação
ΔE de energia mecânica do sistema.
O que significa fcd?
Quando o bloco se move há aumento de temperatura e esta por sua
vez está relacionada à energia térmica Et,, associada ao
movimento aleatório dos átomos e moléculas do objeto.
Et  f c d  W f
Wf=trabalho da força de atrito
W  E  Et
Conservação da Energia | 22
Trabalho realizado por força de atrito
Se não existir força externa:
Et  E  K  U
Enegia Térmica na ausência de força externa
Conservação da Energia | 23
Trabalho realizado por uma força externa
sobre o sistema
Exemplo: Um operário empurra um engradado de repolhos ( massa
total m=14kg) sobre um piso de concreto com uma força horizontal
constante F de módulo 40N. Em um deslocamento retilíneo de
módulo d = 0,50m, a velocidade do engradado diminui de v0 =
0,6m/s para v = 0,2m/s.
a) Qual foi o trabalho realizado pela força F e sobre que sistema esse
trabalho foi realizado?
b) Qual é o aumento ΔEt da energia térmica do engradado e do piso?
Conservação da Energia | 24
Trabalho realizado por uma força externa sobre
o sistema
Trabalho é a energia transferida para um sistema ou de um
sistema através de uma força externa que age sobre o
sistema
 Quando mais de uma força age sobre o sistema o trabalho total dessas
forças é a energia transferida para o sistema ou retirada do sistema.
Esta transferência é governada pelo teorema trabalho-energia cinética.
K  W
Conservação da Energia | 25
Conservação de energia
a) Sistemas não isolados
W  K  U  Et  Eint
W  E  Et  Eint
Trabalho feito por uma força externa
ΔEint é a variação da energia interna do sistema.
W<0: O sistema realizou trabalho sobre corpos externos.
W>0: Forças externas realizaram trabalho sobre o sistema.
b) Sistemas isolados
W 0
E  Et  Eint  0
Sistema isolado
Em um sistema isolado, a energia pode ser transformada de uma forma
para outra, mas a energia total do sistema permanece constante.
E f  Ei  Et  Eint
Conservação da Energia | 26
Trabalho realizado por força de atrito
f
KE = energia cinética
Wf = trabalho da força de atrito
PE = energia potencial
TME = energia mecânica total
Conservação da Energia | 27
Conservação de Energia
Exemplo: Um pacote de 2,0kg de pamonha depois de deslizar ao longo
do piso com velocidade vi=4m/s, choca-se com uma mola, comprimindoa até ficar momentaneamente em repouso. Até o ponto em que o
pacote entra em contato com a mola inicialmente relaxada o piso não
possui atrito, mas enquanto o pacote está comprimindo a mola o piso
exerce atrito sobre o pacote com uma força de atrito cinético de 15N. Se
k=10 000N/m, qual é a variação d do comprimento da mola entre o
instante em que começa a ser comprimida e o instante em que o pacote
pára?
Conservação da Energia | 28
Conservação de Energia
14. O bloco de massa 2kg movimenta-se com velocidade de 10m/s e sobe a
rampa alcançando o plano horizontal superior a 3,2m. Durante a subida da rampa
AB, devido ao atrito , 20% da energia mecânica inicial do bloco é dissipada. Qual a
velocidade do bloco após atingir o plano superior?(4m/s)
15. Um corpo de massa 2kg desliza sobre uma superfície horizontal com velocidade
de 10m/s. A partir de determinado instante o corpo penetra numa região onde existe
atrito e, após deslizar por mais algum tempo, acaba parando. Determine a
quantidade de energia dissipada pelo atrito. (100J)
16. Um bloco desliza ao longo de uma pista indo de um certo nível para um nível
mais elevado, atravessando um vale intermediário. A pista possui atrito desprezível
até que o bloco atinja o nível mais alto. Daí por diante, uma força de atrito faz com
que o bloco pare em uma distancia d. Ache d sabendo que a velocidade inicial do
bloco é igual a 6m/s e a diferença de altura é de 1,1m e o coeficiente de atrito 0,6.
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