PÊNDULO SIMPLES

Física Geral I – MIEET
Protocolos das Aulas Práticas
Departamento de Física – Universidade do Algarve
PÊNDULO SIMPLES
1. Resumo
Um pêndulo é largado de uma determinada altura, medindo-se a sua velocidade linear
quando passa pela posição mais baixa. Este procedimento é repetido para diferentes alturas. Os
dados assim obtidos são processados de modo a verificar a conservação da energia mecânica
do sistema e a calcular o valor da aceleração gravítica.
2. Tópicos teóricos
Considere-se um pêndulo simples. Se desenharmos o diagrama de forças (ver fig. 1) que
lhe estão aplicadas, facilmente se observa que a resultante dessas forças não é constante no
tempo. Basta para tanto reparar que se o peso se mantém constante, a tensão varia consoante a
posição do pêndulo. Por este motivo, torna-se um pouco mais difícil recorrer ao formalismo
newtoniano para descrever o movimento do pêndulo. Assim, este sistema é, muitas vezes,
estudado com base no princípio da conservação da energia mecânica.
r
T
A
B
r
P
Fig. 1
Recorde-se que este princípio se traduz pela expressão:
E M = E C + E P = c te
(1)
onde as variáveis têm o seguinte significado:
PS - 21
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EM – energia mecânica
EC – energia cinética
EP – energia potencial
Se aplicarmos (1) às posições mais alta (A) e mais baixa (B) de um pêndulo simples, é
possível provar que:
mghA =
1
mvB2 ⇔ v B2 = 2 gh A
2
(2)
Deste modo, a expressão (2) relaciona a velocidade do pêndulo no ponto mais baixo com
a altura máxima do mesmo, chegando-se a este resultado através apenas da conservação da
energia mecânica do sistema.
3. Problemas propostos
Pretende-se estudar o movimento de um pêndulo no sentido de:
3.1.
verificar experimentalmente a conservação da energia mecânica;
3.2.
determinar o valor experimental da aceleração da gravidade.
4. Material
Pêndulo simples composto por um fio e uma esfera opaca.
Detector fotoeléctrico.
Relógio electrónico.
Régua graduada com cursores.
Disparador mecânico.
Craveira
Bases e suportes.
Fios de ligação.
5. Procedimento experimental
Tenha o cuidado de anotar os erros de leitura de escala associados a todos os aparelhos de
medida que usar.
PS - 22
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5.1.
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Verifique a montagem experimental:
Legenda:
3
1
6
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Régua graduada
Cursores
Pêndulo
Disparador mecânico
Detector fotoeléctrico
Relógio electrónico
2
5
4
Fig. 2
5.2.
Meça com a craveira o diâmetro da esfera constituinte do pêndulo e anote o valor.
5.3.
Fixe uma altura máxima para o pêndulo. Utilize os cursores da régua graduada para
a medir. Tenha em atenção os erros sistemáticos que pode cometer nessa
determinação.
5.4.
Largue o pêndulo 10 vezes. De cada vez o relógio medirá automaticamente o tempo
que a esfera demora a passar pelo detector fotoeléctrico.
5.5.
Registe numa tabela, para a altura escolhida, os 10 valores obtidos para o tempo de
passagem da esfera.
5.6.
Fixe uma nova altura de queda (menor que a anterior) e repita os passos anteriores.
5.7.
Proceda como indicado, realizando, pelo menos, 10 alturas diferentes.
6. Análise dos resultados obtidos
6.1.
A partir dos resultados obtidos calcule os valores médios e estime os erros
estatísticos associados às medidas de tempo correspondentes a cada altura. Anote
estes cálculos numa tabela.
6.2.
Anote numa outra tabela os valores de v, v2 e h (sem esquecer os erros associados a
cada uma das grandezas).
PS - 23
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6.3.
Construa, a partir da tabela anterior, um gráfico de v2 em função de h. Represente
também, se possível, as barras de erro associadas a cada ponto. Verifique a forma
do gráfico obtido. Como relaciona estes resultados com a expressão (2)?
6.4.
Calcule o declive e a ordenada na origem da recta que melhor se ajusta aos pontos
experimentais do gráfico anterior, utilizando o método dos mínimos quadrados.
6.5.
Represente a recta obtida sobre o mesmo gráfico.
6.6.
Estime o erro associado ao declive da recta e à ordenada na origem.
6.7.
Calcule, a partir da regressão linear, o valor experimental da aceleração da
gravidade.
6.8.
Tendo em conta o erro associado ao declive da recta, determine o erro experimental
associado à aceleração da gravidade.
PS - 24
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Apêndice
Estudo da conservação da energia mecânica de um pêndulo
Se definirmos energia mecânica (EM) como a soma da energia cinética (EC) com a
energia potencial (EP), então, é possível dizer que a energia mecânica de um corpo se mantém
constante, desde que sobre ele actuem apenas forças que não realizem trabalho ou cujo
trabalho seja independente da trajectória do corpo 1.
Concentremo-nos no pêndulo simples. Observe-se que sobre ele actuam duas forças: a
r
tensão do fio e o peso. Se recordarmos que o trabalho realizado por uma força F é dado pela
expressão:
r r
W = ∫ F .ds
(A.1)
r
onde ds é o elemento infinitesimal da trajectória do corpo, facilmente se verifica que a tensão
do fio não realiza trabalho, uma vez que é sempre perpendicular à trajectória. Quanto ao
trabalho da força gravítica virá dado por:
WFrg = mg∆h
(A.2)
Tomando as variáveis o seguinte significado:
m – massa do pêndulo
g – aceleração da gravidade
∆h – variação na altura do pêndulo
Ou seja, não depende da trajectória, mas apenas da posição inicial e final do corpo. De
onde se conclui que o peso é uma força conservativa. Nestas condições, é possível afirmar que
a energia mecânica de um pêndulo simples se mantém constante:
EM = EC + E P = c te
(A.3)
Atente-se no facto de a energia cinética de um corpo se poder escrever sob a forma:
EC =
1 2
mv
2
(A.4)
onde v é a velocidade linear do corpo (neste caso, será a velocidade do pêndulo). E
considere-se que a energia potencial é dada por:
E P = mgh
(A.5)
onde h é a altura do pêndulo. Substituindo (A.4) e (A.5) em (A.3), obtém-se:
1 2
mv + mgh = c te
2
1
(A.6)
Às forças cujo trabalho não depende da trajectória do corpo ao qual estão aplicadas, dá-se o nome de forças
conservativas.
PS - 25
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Aplique-se, então, o resultado (A.6) às alturas máxima (à qual corresponde o índice A) e
mínima (à qual corresponde o índice B) (ver fig. A.1):
1 2
1
mv A + mghA = mvB2 + mghB
2
2
r
ds
B
(A.7)
r
T
A
r
Fg
Fig. A.1
À direita da equação, em virtude da velocidade na altura máxima ser nula, desaparece o
termo respeitante à energia cinética. À esquerda da equação, se a origem de eixos for colocada
na posição mais baixa do pêndulo, desaparece o termo respeitante à energia potencial. Assim, é
possível escrever:
mghA =
1 2
1
mvB ⇔ ghA = v B2
2
2
(A.8)
Ou seja:
v B2 = 2ghA
que é a expressão (2) do protocolo.
PS - 26
(A.9)