6 - estgv - Instituto Politécnico de Viseu

INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU
Departamento Matemática
Disciplina Matemática I
Curso
Gestão de Empresas
Ano
1o
Ano Lectivo
2007/2008
Semestre
1o
Apontamentos Teóricos: Determinantes
Autores:
Maria Cristina Peixoto Matos
Nuno Conceição
Joana Fialho
Paula Sarabando
1
4. Determinantes
4.1. Definição e Propriedades
Definição 1
O determinate de uma matriz quadrada A de ordem 2 é, por
definição, a aplicação
det :
M2×2(IR)
→ IR
"
#
a a
a11 a12
11 12
A=
→ det(A) = a21 a22
a21 a22
= a11a22 − a21 a12
Exemplo 1:
A=
"
3
5
−2 −1
Definição 2
#
3 5
⇒ det(A) = −2 −1
= 3 × (−1) − (−2) × 5 = 7
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3 é
por definição a aplicação
det :
M (IR)
 3×3
a a a
 11 12 13
A=
 a21 a22 a23
a31 a32 a33
→ IR
a11 a12 a13

 → det(A) = a21 a22 a23

a31 a32 a33

a a
22 23
= +a11 a32 a33
=
a a
21 23
− a12 a31 a33
a a
21 22
+ a13 a31 a32
= a11 det (A11) − a12 det (A12) + a13 det (A13)
onde Aij é a matriz obtida de A por eliminação da linha i e da coluna j.
2
=
Exemplo 2:
2 1 0
1 4
1 4
1 1
1 1 4 = 2 −1 +0 =
2 5
−3 5
−3 2 −3 2 5 = 2(5 − 8) − (5 + 12) = −23
Definição 3 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é
por definição a aplicação
det : Mn×n (IR) → IR
A
→ det(A) = a11 det (A11) − a12 det (A12) + ... + (−1)n+1a1n det (A1n)
onde Aij é a matriz obtida de A por eliminação da linha i e da coluna j.
Exemplo
0 1 0
1 0 1
0 1 1
1 2 3
3:
1 1 0 1
1 1 0
0 0 1 0 −1 0 1 1 =
=
−1
0 1 2 3
1 3 4
4
1 0
= −1 × 1 3 4
1 1
−1 × 1 2 3
0 1
−1 × 1 2
=
= −(4 − 0) − (3 − 2) − (0 − 1) = 4 − 1 + 1 = −4
3
Exercı́cio 2: Calcule 2 0 −1 0
2 1 −1 0
0 3
0
1
0 3 −2 0
Propriedades dos Determinantes
• Se A é uma matriz quadrada com pelo menos uma coluna ou uma
linha nulas, então det(A) = 0.
• Para qualquer matriz quadrada A, temos que det(A) = det(AT ).
• O determinante de uma matriz triangular (inferior ou superior) é igual
ao produto dos elementos da diagonal principal.
• O determinante da matriz identidade é igual a 1.
• Se B é uma matriz quadrada obtida de A por meio de troca de duas
linha (ou duas colunas) entre si, então det(B) = −det(A).
• Se B é uma matriz quadrada que se obtém de A multiplicando-se uma
sua linha (ou coluna) por α ∈ IR, então det(B) = α det(A).
• Se B é uma matriz quadrada que se obtém de A substituindo-se uma
sua linha (ou coluna) pela que dela se obtém adicionando-lhe um
múltiplo escalar de outra, então det(B) = det(A).
• Se B é uma matriz quadrada que se obtém da soma da linha i (coluna j) da matriz A′ com a linha i (coluna j) da matriz A′′, sendo
as restantes linhas (colunas) das matrizes A′ , A′′ e B iguais, então
det(B) = det(A′ ) + det(A′′)
Nota: Em geral, para A, B ∈ Mn×n(IR), temos:
• det(A + B) 6= det(A) + det(B).
• det(αA) 6= αdet(A); de facto, det(αA) = αn det(A).
4
Exercı́cio 3:
Calcule os seguintes determinantes, utilizando apenas as propriedades:
a b c
3.1. c a b
b c a
3.2. Exercı́cio 4: Sem calcular
1 1
2 4
3 9
4 16
d a −b −c −d a b −c −d a b c −d a
b
c
o valor dos determinantes, demonstre a igualdade:
1 1 1 1
1 4 2 4 8 1
8 15 = 27 40 3 9 27 1 4 16 64 1 64 85 4.2. Técnicas para o cálculo de Determinantes
4.2.1. Regra de Sarrus
O determinante de uma matriz de terceira ordem pode ser calculado utilizando
uma regra conhecida por Regra de Sarrus.
Os “termos positivos” de uma matriz A de terceira ordem obtêm-se multiplicando os elementos da diagonal principal e multiplicando os vértices que se podem
construir de base paralela à diagonal principal:
5
Assim, segundo o esquema de cima, os “termos positivos” são:
a11 a22a33 , a12 a23 a31, a21a13 a32
Os “termos negativos” da matriz A obtêm-se multiplicando os elementos da
diagonal secundária e multiplicando os vértices dos triângulos que se podem construir de base paralela à diagonal secundária:
Assim, segundo o esquema de cima, os “termos negativos” são:
a13 a22a31 , a21 a12 a33, a11a23 a32
Subtraindo a soma dos “termos negativos” à soma dos “termos positivos”, obtemos o valor do determinante de A. Ou seja,
det(A) = a11 a22a33 + a12 a23a31 + a21 a13a32 − a13 a22a31 − a21 a12a33 − a11 a23a32
2 1 2
Exemplo 4: −1 0 1 =(0 + 1 + 2) − (0 − 2 − 1) = 6
1 −1 1 Exercı́cio 5: Calcule os
1
3.1. −2
1
seguintes determinantes, usando a regra de Sarrus:
−1 3 −2 1 3 3.2. 1 1 −2 4 2 0 0 −4 2 −3 6
4.2.2. Eliminação de Gauss
Consiste em transformar uma matriz quadrada de ordem n numa matriz triangular aplicando algumas das propriedades enunciadas anteriormente.
Exemplo 5:
2 3
0
1/3 2/3 1
4
5 6
=
L1 ↔L2
1/3 2/3 1 1 2 3
1
− 0
2 3 = − 0 2 3
L3 −4L1 3 4
0 −3 −6
5 6
3
1 2
1 =
− 0 2
3
3
3
L3 + L2
0 0 −3/2
2
Exercı́cio 6: Calcule 0 2 0 0 2
1 0 1 0 1
0 3 0 3 0
0 0 4 0 0
2 0 0 2 0
=
1
= − × 1 × 2 × −3 = 1
3
2
, usando a eliminação de Gauss.
4.2.3. Fórmula de Laplace
Por definição, o determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é calculado usando o desenvolvimento segundo a primeira linha. Este, no entanto, pode
ser calculado usando o desenvolvimento de qualquer linha i ou qualquer coluna j
do seguinte modo:
Fórmula de Laplace segundo a linha i:
det(A) = (−1)i+1ai1det(Ai1) + (−1)i+2ai2 det(Ai2) + ... + (−1)i+nain det(Ain)
7
Fórmula de Laplace segundo a coluna j:
det(A) = (−1)1+j a1j det(A1j ) + (−1)2+j a2j det(A2j ) + ... + (−1)n+j anj det(Anj )
onde Aij é a matriz de ordem n − 1 obtida por A por eliminação da linha i e da
coluna j e os sinais (−1)i+j podem ser obtidos da seguinte matriz de sinais:
2
66
66
64
+
−
+
...
−
+
−
...
+
..
.
−
+
...
Exercı́cio 7: Calcule o valor de 7.1. segundo a 4a linha;
3
77
77
75
0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
7.2. segundo a 2a coluna.
4.3. Menores, Menores Complementares e Complementos Algébricos
Definição 4
Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, chama-se sub-
matriz quadrada de A de ordem m à matriz formada pelos elementos comuns a
m linhas e m colunas (m ≤ n).
Chama-se menor de ordem m ao determinante de uma submatriz de ordem m.
Dois menores dizem-se complementares sempre que em cada um deles estão
representadas as linhas e as colunas que não figuram no outro.
Chama-se complemento algébrico de um menor ao produto do seu menor complementar por (−1)s, onde s é a soma das ordens das linhas e das colunas envolvidas no menor complementar.
Um menor de A diz-se principal se a sua diagonal é totalmente constituı́da por
elementos da diagonal principal de A.
8
Nota: Para a formação do expoente s podemos usar as colunas e as linhas
envolvidas no menor em vez do menor complementar.

a11

 a21
Exemplo 6: Para A = 
a
 31
a41
a a 11 13 • Menor: ;
a41 a43 Menor Complementar: a12 a13 a14


a22 a23 a24 
 temos
a32 a33 a34 

a42 a43 a44
a22 a24
a32 a34
;
a a
24
2+3+2+4 22
Complemento algébrico: (−1)
a32 a34
a a
11 12
• Menor: a21 a22
;
a a
33 34
Menor Complementar: a43 a44
;
a a
34
3+4+3+4 33
Complemento algébrico: (−1)
a43 a44
• Menor: |a32|;
a11 a13
Menor Complementar: a21 a23
a41 a43
Complemento algébrico: (−1)15 9
a14
a24
a44
;
a11 a13 a14
a21 a23 a24
a41 a43 a44
.
.
.
4.4. Inversa de uma Matriz
4.4.1. Definição e Propriedades
Definição 5 Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertı́vel se existir
uma matriz B de ordem n tal que AB = BA = I.
A matriz B chama-se inversa de A e representa-se por A−1, isto é, B = A−1.
Exemplo 7: Usando a definição, a inversa da matriz A =
AX = I ⇔
"
1 2
3 4
#"
x11 x12
x21 x22
#
=
"
1 0
0 1



1 0
x
+
2x
=
1
11
21




 x + 2x = 0
0 1
12
22
⇔
⇔
3 0

3x11 + 4x21 = 0





0 3
3x12 + 4x22 = 1
#
"
1 2


3 4
#
é tal que:
⇔
2 0

x11


0 2
  x12

4 0
  x21
x22
0 4
1

  
 0
= 
 0
  
1
Então, usando o algoritmo de Gauss, vem:

1 0

 0 1

 3 0

0 3
2 0
0 2
4 0
0 4


1


0 
−−−−−→ 
−
L3 − 3L1 

0 


1
1 0
0 1
0 0
0 3
2
0
0
2
−2 0
0 4


1


0 
−−−−−→ 
−
L4 − 3L2 

−3 


1
1
0
"
#
0
0
Ou seja,
A−1 =
−2
1
3/2 −1/2
10


1



0 
⇒


0 −2 0 −3 

0 0 −2 1
0
1
2
0
0
2
 
x11
−2
 

x12 
= 1

x21  
 3/2
x22
−1/2






Exemplo 8: A matriz A =
"
1 1
#
não é invertı́vel, pois não existe nenhuma
0 0
matriz X que verifique o sistema AX = I.
Teorema 1
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então A é invertı́vel
sse car(A)=n (sse A é não singular), isto é, após a eliminação de Gauss, a matriz
em escada de linhas não tem nenhum zero na diagonal principal.
Propriedades: Sejam A e B matrizes não singulares de ordem n. Então:
• A−1 é única.
• (A−1)−1 = A.
• (AT )−1 = (A−1)T .
• (AB)−1 = B −1A−1.
• Se A e B são matrizes quadradas tais que AB = I, então também
BA = I e, consequentemente, B = A−1.
• Se A e B são matrizes quadradas, então det(A×B) = det(A)×det(B).
Consequentemente, se A é invertı́vel então
1
.
det(A)
• Uma matriz quadrada A de ordem n é invertı́vel sse A é não singular,
det(A−1) = [det(A)]−1 =
isto é, sse car(A) = n, isto é, sse det(A) 6= 0.
Exercı́cio 8: Suponha B = P −1 AP sendo A, B e P matrizes quadradas de
ordem n. Prove que B m = P −1 Am P, ∀m ∈ Z.
Exercı́cio 9: Sejam A e B matrizes de ordem n invertı́veis. Mostre que
A−1 + B −1 = A−1(A + B)B −1.
11
4.4.2. Método da Adjunta para o Cálculo da Matriz Inversa
Chama-se adjunta de A à matriz que se obtém de AT por
Definição 6
substituição de cada elemento pelo respectivo complemento algébrico. A adjunta
de A denota-se por Adj(A).
Esta definição permite o cálculo da inversa de uma matriz do seguinte modo:
A → AT → Adj(A) → A−1 =
Adj(A)
det(A)
Nota: Só podemos calcular a inversa de A se det(A) 6= 0
Exercı́cio 10: Calcule a matriz adjunta das matrizes seguintes:
10.1. A =
"
1
3
−2 4
#


4 −1 0



10.2. A = 
 −1 4 −1 
0 −1 4
Exercı́cio 11: Calcule a inversa de cada uma das matrizes usando a matriz
adjunta:
11.1. A =
"
3 4
5 7
#


2 1 0



11.2. A = 
 3 4 −1 
−2 5 4
12
4.5. Resolução de Sistemas de Equações Lineares: Regra de Cramer
Consideremos o sistema de equações lineares:



 a11 x11 + a12 x12 + a13 x13 = b1
a21 x21 + a22 x22 + a23 x23 = b2


 a x +a x +a x =b
31 31
32 32
33 33
3





a11 a12 a13
x1
b1


  

  
⇔ 
 a21 a22 a23   x2  =  b2  ⇔
a31 a32 a33
x3
b3
⇔ Ax = b
Suponhamos que det 6= 0; então existe a inversa A−1 de A. Logo
Ax = b ⇔ A−1Ax = A−1b ⇔ Ix = A−1b ⇔ x = A−1b ⇔
⇔ x=

1
Adj(A)b ⇔
det(A)




x1
+det(A11) −det(A12) +det(A13)
b1


 

1


 
⇔ 
 x2  = det(A)  −det(A21) +det(A22) −det(A23)   b2  ⇔
x3
+det(A31) −det(A32) +det(A33)
b3

det(A11)b1 − det(A21)b2 + det(A31)b3


x
=

1


det(A)


det(A12)b1 − det(A22)b2 + det(A32)b3
x2 =
⇔

det(A)



det(A
)b
−
det(A
13 1
23 )b2 + det(A33 )b3


 x3 =
det(A)
onde Aij é a matriz de A por eliminação da linha i e da coluna j.
Daqui resulta:
13
x1 =
b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33
det(A)
; x2 =
a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33
det(A)
; x3 =
a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 det(A)
Esta propriedade pode ser generalizada através da seguinte regra:
Regra de Cramer: Seja A uma matriz quadrada de ordem n não singular
det(Cj )
Então, o sistema Ax = b tem uma única solução dada por xj =
, onde Cj
det(A)
é a matriz que se obtém de A substituindo a coluna j pela matriz coluna b.
Exercı́cio 12: Use a regra de Cramer para resolver os sistemas:
12.1.
(
2x + y = 8
−x + 2y = 7
12.2.



 2x + y − z = 1
−x + 5y − 4z = 0


 3x − y + 2z = 2
14
INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU
Departamento Matemática
Disciplina Matemática I
Curso
Gestão de Empresas
Ano
1o
Ano Lectivo
2007/2008
Semestre
1o
Caderno de Exercı́cios: Determinantes
Autores:
Maria Cristina Peixoto Matos
Nuno Conceição
Joana Fialho
Paula Sarabando
15
1. Calcule os seguintes determinantes:
1 3 (a) ;
−2 4 0 2 (b) ;
−1 4 1 −1 (c) .
−2
2 2. Calcule os seguintes determinantes, usando a regra de Sarrus:
1 −1
3
(a) −2
4
2
1
2 −3
;
2 1 3
(b) 1 0 2
1 4 2
0 −√2
5
√
√
(c) 2
2
2
√
1
2 − 2
;
3. Calcule o seguinte determinante, usando a eliminação de Gauss .
1
1
1
1
1
1
1
4
1
1
3
1
0
1
0
4
0
0
0
3
0
2
2
1
0
0
0
1
2
1
1
4. Calcule os seguinte determinantes,
.
(i) usando a eliminação de Gauss;
(ii) usando a fórmula de Laplace.
(a) 2 1 3 1 0 2 ; (b) 1 4 2 a
0
0
0
0
0
c
0
0
0
0
d
0
b
0
0
; (c) 0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
; (d) 0
1
0
0
2
2
0
3
0
0
1
2
−2
0
2
3
−4
1
.
; (e) −1 −2
0
2
0
2
5 3 5. Calcule, da forma que achar mais conveniente (pode evidentemente misturar as técnicas
aprendidas) os seguintes determinantes:
−2 1
3
(a) 1 1 −2
0 0 −4
1
2
2
3
2
1
3
2
1
3
0
−2
0
0
1
−2
;
; (c) ; (b) 3 −1
1
−2
1
−1
4
3
4 −3
2
0
2 2 −1 −1 6. Sendo A uma matriz de ordem n, calcule, em função de det A :
(a) det(2A)
(b) det(−A)
(c) det(A2 )
16
(d) 1
0 −1
0
1 2 2
1
0 −2
0 1 0
0
1
2 −1 2 .
3 −1
2
3
1 2 3
0
3
0
3 0 1
1
1
1
1 1 7. (Frequência, 2006-2007 )
a1 a2 a3 Sabendo que b1 b2 b3 = 3 e utilizando apenas propriedades dos determinantes, calcule:
c1 c2 c3 a1 a3 a2 (a) b1 b3 b2 .
c1 c3 c2 a1 − 5c1 a2 − 5c2 a3 − 5c3
(b) 10b1
10b2
10b3
−c1
−c2
−c3
(c) Enuncie as propriedades que utilizou nas alı́neas anteriores.
8. Se A é uma matriz invertı́vel de ordem n, mostre que det(A−1 ) =
1
.
det(A)
9. Relativamente a cada uma das matrizes seguintes, use determinantes para encontrar os valores
dos parâmetros para os quais a matriz é invertı́vel.






1 0 −1
0
1 0
−1
0




α β 0
2



1 λ
1
1 
1 α α +β
αβ 




.
(a)  1 α β  ; (b) 
 ; (c)  0 1

0
0
1
−1
α
β




β 0 0
2
1 λ
1
λ
1 α α + β α + αβ
10. Duas matrizes A e B dizem-se semelhantes se existir T invertı́vel tal que A = T BT −1 .
Prove que se A e B forem semelhantes então det A = det B.
11. Calcule o determinante
1
2
3
5
1
2
4
5
1
3
4
5
2
3
4
6
.
17


0 1
0


12. Mostre que a matriz A = 
−3 5
−1  é não singular, independentemente do valor
3a − 4 0 a + 1
de a.


1 1 1


13. considere a função f (x) = det  a b x , com a e b números reais distintos.
a2 b2 x2
(a) Mostre que f (x) é uma função quadrática, isto é, é dada por um polinómio de grau 2 em
x.
(b) Explique porque é que f (a) = f (b) = 0. Conclua que f (x) = k(x − a)(x − b) para uma
certa constante k. Calcule k.
(c) Para que valores de x é que esta matriz é invertı́vel?
14. Resolva as seguintes equações:
x −4 0 x x+1 =
0
(b)
(a) 1 −x 1 = 2
−4 x + 1 2 x 5 x+a
b
c
(c) c
x+b
a
a
b
x+c
=0
15. A matriz B foi obtida a partir da matriz A4×4 , através das seguintes operações elementares:
2L1 , L2 ↔ L3 e L4 = L4 + 2L1 .
(a) Sabendo que det(A) = 1, calcule det(B).



(b) Se C = 


3 10 13 π
1
0 −1 10
−5
√
0 0
2 −1
0 0
0 −1



, calcule det(B C −1 B T ).


16. Calcule a matriz adjunta de:


1 2 3


(a)  0 1 2 
0 0 0


1 2 3


(b)  0 1 2 
0 0 1



(c) 


18
5
1
0
1
0
1
0
0
0
0
2
0
2
2
1
1










−1 −2 −2
−4 −3 −3




17. Considere as matrizes A =  2
1 −2  e B =  1
0
1 .
2 −2 1
4
4
3
(a) Mostre que Adj(A) = 3AT .
(b) Verifique que Adj(B) = B.






4 −1 0
2 −3 1
1 1 1






18. Considere as matrizes A =  −1 4 −1 , B =  3 1 −1  e C =  1 2 2 .
0 −1 4
1 −1 −1
1 2 3
(a) Determine a adjunta de cada uma das matrizes.
(b) Calcule o determinante de cada uma das matrizes e a sua inversa.
19. Resolva os seguintes sistemas usando a regra de Cramer:
(a)
(


 x1 + 4x2 − x3 = 1
(b)
x1 + x2 + x3 = 0


2x1 + 3x3 = 0
x1 + 3x2 = 0
2x1 + 4x2 = 6
20. Considere a equação matricial AXB
−1
=
vertı́veis e I representa a matriz identidade.
1
I
4
−1


 2x1 − 5x2 + 2x3 = 7
(c)
x1 + 2x2 − 4x3 = 3


3x1 − 4x2 − 6x3 = 5
, onde A e B representam matrizes in-
(a) Explicite X.




1 −1 0
1 2 3




(b) Sabendo que A =  −1 3 2  e B =  0 2 2 , calcule:
2
2 5
3 0 0
(i) Adj(A)
(ii) X.
21. (Exame Época Especial, 2006-2007 )


x −1 0


Considere a matriz A =  −1 0 −1  , x 6= 0.
0 −1 x
(a) Diga o que entende por matriz simétrica e diga se A é simétrica.
(b) Calcule A−1 .
19


 
α 0 1
β


 
22. Considere as matrizes A =  2 α −1  e b =  1 , com α, β ∈ IR.
−1 0 1
0
(a) Discuta o sistema Ax = b em função dos parâmetros α e β.
(b) Determine os valores do parâmetro α para os quais a matriz é invertı́vel.
(c) Considere α = −2 e β = 2.
i. Determine, usando o método da adjunta, a matriz inversa de A.
−1 2 T (A ) A
ii. Calcule, usando as propriedades dos determinantes, det
.
2
iii. Resolva o sistema Ax = b, usando a regra de Cramer.
23. (Frequência, 2006-2007 )
Considere o conjunto M das matrizes da forma
"
a −b
b a
#
, com a e b ∈ IR. Prove que:
(a) A, B ∈ M ⇒ A.B ∈ M.
(b) Se A 6= 0 ∈ M ⇒ A é invertı́vel.
(c) Se A 6= 0 ∈ M ⇒ A−1 ∈ M.
24. (Exame Época Normal, 2006-2007 )

2
x 1 0

 −3x + 12x − 5, se x < 0;
√
Considere a função h(x) =
−5,
se x = 0; em que g(x) = x 0 3


2 1 x2
g(x),
se x > 0.
x
(a) Determine a expressão algébrica de g(x).
(b) Estude a continuidade de h(x).
(c) Verifique a existência de assı́mptotas da função h(x).
(d) Determine se possı́vel h′ (2), h′ (0) e h′ (−5).
20
.




1 1 1
1 1 1




25. Considere as matrizes reais A =  0 2 2  e B =  0 2 2 .
3 0 1
4 −1 0
(a) Determine, a matriz inversa de A.


 x + y + 3z + w = 3
(b) Utilize o resultado anterior para resolver o sistema
2y − z + 2w = 4


3x − 2z + w = 4
(c) Mostre, utilizando as propriedades dos determinantes que detB = detA.
26. Uma firma produz dois tipos de produtos A e B. Para a produção de uma unidade de A
usam-se 3 unidades de K (capital) e 2 unidades de L (força de trabalho) e para a produção
de 1 unidade de B usam-se 2 unidades de K e 3 unidades de L. Sabendo que se encontram
armazenadas 6 000 unidades de K e 6 000 unidades de L.
Determine as quantidades de A e B que se devem produzir, usando dois processos diferentes
da teoria dos determinantes.
27. Considere um conjunto de n indivı́duos, cada um dos quais é proprietário de m diferentes
mercadorias. Seja aij o número de unidades da i-ésima mercadoria que possui o j-ésimo
indivı́duo, onde i = 1, 2, ..., m, enquanto j = 1, 2, ..., n.
(a) O que representa o vector (a1j , a2j , ..., amj )?
(b) Explique por palavras o que expressam as seguintes expressões a11 + a12 + ... + a1n e
ai1 + ai2 + ... + ain .
(c) Denote por pi o preço por unidade de mercadoria i (i = 1, 2, ..., m). Qual é o valor total
de mercadorias que possui o j-ésimo indivı́duo?


5 8 6


(d) Considere agora que i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3 e seja A =  3 5 4 
2 3 1
a matriz que representa as quantidades das diferentes mercadorias que cada indivı́duo
possui.

7
 
Sabendo que o vector que representa o valor total das mercadorias é  5  , calcule,
2
usando a teoria dos determinantes, o preço por unidade de cada mercadoria.

21