Lista de exercícios

Lista de exercícios
1. Consideremos uma mola de comprimento natural l0 . Fixamos uma das
extremidades e puxamos a outra por uma força f . Seja l o comprimento
final da mola. Há um certo limite de distensão- que depende do material
que constitui a mola- até o qual vale a lei de Hook,
f = k (l − l0 ) ,
onde k é a constante da mola. Na expressão acima há informação
apenas da intensidade da força. Sejam rA e rB os vetores posição correspondentes aos pontos extremos da mola. A força que está aplicada
no ponto B é
fB = −k (l − l0 ) eAB ,
na qual eAB é o vetor unitário na direção do ponto A para o ponto B.
Temos,
1
eAB =
(rB − rA ) .
|rB − rA |
Já que
|rB − rA | = l,
temos
l − l0
fB = −k
(rB − rA ) .
l
(a) Considere 3 pontos fixos no plano, PA , PB e PC , cujos vetores
posição são rA , rB ,e rC ,respectivamente. Seja r o vetor posição
de um corpo Q, que está ligado aos três pontos PA , PB e PC por
molas de constantes k1 , k2 e k3 , e comprimentos naturais l10 , l20 e
l30 , respectivamente (veja a figura abaixo).
Q
PA
rA
r
rC
O
rB
PB
1
PC
Expresse a força f que está atuando no objeto Q em termos dos
vetores posição.
(b) Expresse a condição que o vetor posição r deve satisfazer para que
o corpo Q esteja em equilíbrio.
(c) Suponha todas as molas muito pequenas de tal forma que os comprimentos naturais sejam desprezíveis.Se todas as constantes de
mola são iguais, qual é a posição de equilíbrio?
(d) Ainda supondo os comprimentos naturais desprezíveis, que condição
as constantes de mola devem satisfazer para termos a posição de
equilíbrio no centro da massa do triângulo PA -PB -PC ?
2. Encontre a constante de mola equivalente nos casos abaixo. Em outras palavras, se desejássemos substituir em cada caso abaixo todas as
molas por uma única, qual deveria ser sua constante de mola para que
forças de mesma magnitude provoquem o mesmo deslocamento?
A)
k1
k2
k1
B)
k2
k1
k2
k3
C)
3. Obtenha a força f necessária para puxar o objeto O até a posição x,
como ilustrado na figura abaixo. As duas molas são idênticas e têm
constante de mola k e o comprimento natural l0.
2
l0
f
x
l0
4. Dois corpos de massas m1 e m2 estão ligados por uma mola (cuja massa
é desprezível) de comprimento natural nulo e constante de mola k (veja
a figura abaixo). Não existe nenhuma outra força atuando.
m2
m1
r2
r1
O
(a) Sejam r1 e r2 os vetores posição dos corpos m1 e m2 , respectivamente. Escreva as equações diferenciais (equação de movimento)
para os vetores r1 e r2 .
(b) Definimos o vetor momento do centro de massa por
P = m1v1 + m2v2 ,
3
onde
dr1
,
dt
dr2
=
.
dt
v1 =
v2
Mostre que este é um vetor constante no tempo.
(c) Discuta o movimento do vetor posição do centro de massa do
sistema definido por
= m1r1 + m2r2 .
R
m1 + m2
5. Considere um problema análogo ao anterior mas, agora, com 3 corpos
ligado por 3 molas de constantes de mola k12 , k23 , e k31 .
z
m2
k12
m1
r2
r1
k23
k13
r3
m3
y
O
x
(a) Sejam r1 , r2 e r3 os vetores posição dos corpos m1 , m2 e m3 , respectivamente. Escreva as equações diferenciais (equação de movimento) para os vetores r1 , r2 e r3 .
(b) Definimos o vetor momento de centro de massa por
P = m1v1 + m2v2 + m3v3
4
onde
dr1
,
dt
dr2
=
,
dt
dr3
,
=
dt
v1 =
v2
v3
Mostre que este é um vetor constante no tempo.
(c) Discuta o movimento do vetor posição do centro de massa do
sistema definido por
= m1r1 + m2r2 + m3r3 .
R
m1 + m2 + m3
6. Considere o problema acima no caso de N massas.
(a) Quantas molas são necessárias para ligar todas as massas entre si.
(b) Escreva as equações de movimentos para cada uma das massas.
(c) Mostre que o vetor momento de centro de massa é um vetor constante.
(d) Discuta o movimento do vetor posição do centro de massa do
sistema.
7. A constância do vetor momento de centro de massa não é exclusiva
de forças tipo mola. Por exemplo, para forças eletrostáticas, podemos
mostrar também que o vetor momento de centro de massa se conserva
no tempo. Qual é a propriedade mais geral qua as forças precisam
satisfazer para que haja a conservação do vetor momento de centro
de massa em um sistema formado por N corpos interagindo entre si,
e na ausência de qualquer força externa? Expresse sua afirmação em
linguagem matemática e demonstre que de fato o vetor momento de
centro de massa se conserva no tempo.
8. Vamos estudar o movimento de uma massa puntiforme deslizando num
plano inclinado.
(a) Sejam x (t) e y (t) as coordenadas X e Y da massa no instante
t. Supondo que não haja nenhum atrito, escreva a equação de
movimento para cada coordenada (Não esqueça que além da força
gravitacional existe uma de contato da partícula com o plano).
5
(b) A força normal da superfície é uma incógnita. Assim, não podemos
diretamente resolver as equações diferenciais. Por outro lado, o
fato de que a massa sempre está na superfície em contato, impõe
uma relação entre as coordenadas x e y. Expresse esta relação.
(c) Usando a relação do item b) nas equação do item a)obtenha a
força normal exercida pela superfície. Calcule o módulo da força
normal, T .
(d) Utilizando o valor de T obtido acima em uma das equações do
item a), obtenha a equação de movimento e resolva-a.
(e) Calcule o tempo que a massa leva para chegar ao térreo (y = 0),
tendo ela sido largada no ponto (0, y0 ). Este tempo varia quando
a massa do objeto é diferente?
(f) Calcule a energia cinética que a massa possui ao alcançar o térreo.
(g) Refaça todos os itens acima quando existe um atrito na superfície
do plano proporcional à velocidade de deslizamento.
9. Considere uma montanha russa cuja altura y seja função da distância
horizontal x, digamos y = f (x) (veja a figura abaixo).Suponha que o
vagão parta da posição (0, y0 ) com velocidade inicial nula e se mova
sempre ao longo do trilho sem atrito.
(a) No ponto (x, y = f (x)) , obtenha o vetor unitário normal ao trilho.
(b) Escreva as equações de movimento para as coordenadas x e y.
(c) Qual é a energia cinética do vagão no ponto (x, y) ?
(d) A coordenada y é sempre determinada a partir de x,
y = f (x) .
Derivando temporalmente a relação acima, expresse a componente
y da velocidade em termos de x e dx/dt.
(e) Expresse a componente y da aceleração em termos de x, dx/dt e
d2 x/dt2 .
(f) Expresse o módulo da força normal do trilho no vagão como função
de x.
10. Calcule a integral de linha no plano X − Y
f · dr
C
6
y
M
y=f(x)
y0
x
O
xf
Figure 1:
7
y
(0,1)
(1,1)
(1,0)
(0,0)
x
Figure 2: Caso A
quando
f =
=
fx
fy
x2 + y 2
xy
para os seguintes caminhos ilustrados abaixo. Todos os caminhos partem
da origem (0, 0) e chegam ao ponto (0, 1).
(dica: Use a expressão paramétrica, x = cos θ, y = sin θ para o último
caso)
12. Se o potencial V é uma função apenas do módulo de r, ou seja
11.
V = V (|r|) ,
prove que a força correspondente sempre está na direção radial, ou seja,
f // r.
13. Calcule o potencial gravitacional da Terra devido à força gravitacional
do Sol,
M⊙ M⊕
er .
fSol→T erra = −G
r2
8
y
(0,1)
(0,0)
(1,1)
(1,0)
x
Figure 3: Caso B
y
(0,1)
x2+y2=1
(0,0)
(1,0)
Figure 4: Caso C
9
x
Exercício: Expresse a energia potencial do sistema composto pelo Sol, pela Terra
e por Marte como função dos vetores posição do sol r⊙ , da terra r⊕ e
de Marte, rM .
(f )
(a) Escreva as 3 equações de conservação para as 3 incógnitas, p1 ,
(f )
p2 e ψ, em termos de m1 , m2 , v0 e θ.
(b) Usando as 2 equações de conservação de momento, elimine a incógnita ψ (dica: use sin2 ψ + cos2 ψ = 1) e obtenha uma relação
(f )
(f )
entre p1 , p2 e θ.
(c) Usando o resultado acima e a equação de conservação de energia,
(f )
elimine a incógnita p2 e mostre que vale a equação
1 (f ) 2
2 (f )
1
1
1
+
−
p1 P0 cos θ +
−
p1
P02 = 0,
m1 m2
m2
m2 m1
(d)
(e)
(f)
(g)
onde P0 = m1 v0 .
(f )
A equação acima é uma equação de segundo grau em p1 . Para
(f )
corresponder a um processo de colisão real, p1 deve ser um número
real. Ou seja, as raíses desta equação de segundo grau devem ser
reais. Usando isto, demostre que o valor de cos θ deve satisfazer
uma desigualdade.
Do resultado acima, demonstre que existe um ângulo máximo de
espalhamento quando m1 > m2 , e expresse este ângulo máximo
em termos de m2 , m1 .
Demonstre que para m1 ≤ m2 , não há restrição para o ângulo de
espalhamento θ.
Para m1 ≪ m2 , mostre que
(f )
p1 → P0 ,
e interprete seu resultado.
(f )
(h) Para m1 ≫ m2 , discuta os valores de θ e de p1 .
(1)
(i) Para m1 = m2 , obtenha pf como função de θ e discuta o seu
resultado.
(j) Para m1 = m2 , obtenha o ângulo ψ como função de θ e comente.
14. Mostre que quando duas esferas rígidas de mesma massa se chocam
frontalmente, elas trocam seus momentos completamente. Ou seja, se
inicialmente uma dela estava em repouso (o alvo), após a colisão frontal,
o projétil pára e o alvo sai com momento exatamente igual ao inicial
do projétil.
10
z
m2
k12
m1
r2
r1
k23
k13
r3
m3
y
O
x
Figure 5:
15. No referêncial do laboratório, duas partículas de massa m1 e m2 têm
velocidades v1 e v2 , respectivamente. Os vetores posição são r1 e r2 .
Vamos introduzir a mudança de variáveis,
1
(m1r1 + m2r2 ) ,
m1 + m2
r = r1 − r2 .
=
R
e r.
(a) Inverta a relação acima e expresse r1 e r2 em termos de R
, r e suas
(b) Expresse as seguintes quantidades em termos de R
derivadas.
2
2
1
dr1
1
dr2
T =
m1
+ m2
,
2
dt
2
dt
dr1
dr2
P = m1
+ m2
.
dt
dt
16. Considere 3 corpos interagindo entre si via molas.A partir das equações
de movimento para cada massa, prove que o momento linear total
P = p1 + p2 + p3
e o momento angular total,
=L
1 + L
2 + L
3
L
11
l
Figure 6:
são constantes do movimento.
17. Um menino está girando com velocidade angular ω uma pedra de massa
m, amarrada por uma corda de comprimento ℓ (veja a figura abaixo).
(a) Qual é a velocidade linear da pedra?
(b) Qual é a força centrífuga que o menino sente em seu dedo?
(c) A força que atua na pedra é central? Por que?
(d) Se ele reduz o comprimento da corda pela metade, qual é a nova
velocidade angular da pedra? E quanto à velocidade linear?
18. Quando um objeto se move num plano, o vetor r varre uma área no
plano do movimento. Seja S (t) a área varrida pelo vetor r (t) de certo
instante t0 à t (Veja a figura abaixo).
(a) Mostre que
dS
1
=
Lz .
dt
2m
A quantidade
dS
dt
é chamada de velocidade areolar.
12
y
r(t)
r(t0)
S(t)
O
x
Figure 7:
(b) Mostre que, para um movimento sob a ação de uma força central, a
velocidade areolar é constante. A constância da velocidade areolar
do movimento dos planetas foi descoberto por Kepler em 1608 e é
conhecida como segunda lei de Kepler.
19. Calcule o momento de inércia em torno do eixo z nos seguintes casos.
Denote a massa do objeto por M.
(a) Um disco no plano x − y de raio R com centro de massa na origem
e densidade de massa homogênea .
(b) Um quadrado de aresta R no plano x − y com centro de massa na
origem e densidade de massa homogênea .
(c) Um triangulo equilátero de aresta a no plano x − y com centro de
massa na origem e densidade de massa homogênea.
(d) Um anel fino de raio R no plano x − y com centro de massa na
origem e densidade de massa homogênea.
(e) Uma barra no plano x − y, com comprimento ℓ, centro de massa
na origem e densidade de massa homogênea.
(f) Uma barra igual a de cima, mas sem massa, e com uma massa M
presa em sua extremidade.
(g) Uma casca esférica homogênea fina e de raio R com centro na
origem.
13
20. Considere o rolamento sem deslizamento de uma bola de raio R numa
ladeira conforme mostrado na figura abaixo,
Etrans
Erot
(a) A velocidade angular ω e a velocidade do movimento do centro
de massa estão relacionados quando não há deslizamento entre a
bola e a ladeira. Obtenha a relação.
(b) Estabeleça a conservação de energia e obtenha a velocidade do
movimento translacional como função da coodenada y (altura) da
bola.
(c) Se duas bolas de raios diferentes são largadas simultaneamente,
qual chega ao solo primeiro?
(d) Obtenha a razão entre a energia translacional e a energia rotacional. Verifique que esta razão é independente do tempo.
(a) Considere duas massas iguais M ligadas por uma mola cuja massa
e cujo comprimento natural são despre’iveis (veja a figura abaixo).
A constante da mola é k. O sistema está girando em torno do centro da barra, O, com velocidade angular ω.
14
M
l
O
l
M
i.
ii.
iii.
iv.
Calcule a energia total do sistema.
Calcule o momento angular do sistema.
Determine o comprimento da mola.
Quando a constante da mola é dobrada, o que acontece com
o sistema?
(b) Um patinador roda, com seus braços esticados, no gelo com velocidade angular ω. Sua energia de rotação é
1
Erot = I0 ω 2 ,
2
e seu momento angular é
L = I0 ω,
na qual I0 é o momento de inércia do patinador com seus braços
esticados. Suponha que o patinador encolha os braços enquanto
roda e que, com isso, seu momento de inércia se reduza para I ∗ .
I ∗ < I0 .
Consequentemente, a velocidade angular mudará para ω ∗ . Ao
usarmos a conservação de momento angular, temos
I0 ω = I ∗ ω ∗ ,
donde
ω∗ =
15
I0
ω.
I∗
(1)
Por outro lado, se impusessemos a conservação da energia rotational, teríamos
1
1
I0 ω 2 = I ∗ ω ∗2 ,
2
2
e consequentemente
I0
∗
ω =
.
(2)
I∗
Naturalmente, as Eqs.(1) e (2) fornecem diferentes valores para
ω ∗ . Qual é a resposta correta? Por que?
(c) Considere o movimento de um objeto em torno da origem, sob a
ação de uma força central f.
i. Mostre que o momento angular se conserva.
ii. Quais são as consequências importantes da conservação do
momento angular para o movimento de uma planeta em torno
do Sol?
(d) Considere o processo de colisão entre duas bolas de bilhar, A e
B. Suponha que a colisão seja elástica e que não haja atrito das
bolas com a mesa. Despreze, ainda, efeitos de rotação das bolas.
As duas bolas têm mesma massa, M , e raio, R. A bola A, inicialmente com velocidade V0 , colide com a bola B, inicialmente em
repouso. A distância entre os centros das duas bolas perpendicular à direção da velocidade inicial V0 é b (b < 2R), como ilustrado
no desenho esquerdo da Fig. abaixo.
Sejam VA e VB os vetores de velocidades após a colisão das bolas
16
Figure 8:
A e B. θ e ϕ são seus ângulos com relação à velocidade incidente
(desenho da direita).
i. Escreva as leis de conservação do momento e de energia do
sistema em termos de vetores, V0 , VA e VB , e deduza o valor
da soma dos ângulos, θ + ϕ (dica: calcule o produto escalar
entre VA e VB usando as leis de conservação).
ii. A figura abaixo ilustra a configuração das duas bolas no instante da colisão no referencial do centro de massa (CM).Expresse
o ângulo de espalhamento da bola A no sistema de centro de
massa, θcm em termos de b e R.
iii. Expresse os módulos das velocidades inicial e final, VAcm e
VA′cm da bola A em termos de V0 e obtenha a relação entre os
ângulos, θcm e θ.
(e) Um ioiô está sendo puxado por um fio enrolado nele, em cima
de uma superfície horizontal, sem deslizar, conforme mostrado na
figura abaixo
17
Calcule a aceleração translacional do centro de massa do ioiô e a
força de atrito F que atua nele em função da tensão, T.
(f) Explique o mecanismo de precessão de um pião sob a ação de um
campo gravitacional constante.
18