V - Centro de Estudos Espaço

ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
1
Corrente e Densidade de corrente
elétrica.
Começamos agora a estudar o movimento de
cargas elétricas. Exemplo de corrente elétrica: as pequenas
correntes nervosas que regulam nossas atividades
musculares, correntes nas casas, como a que passa pelo
bulbo de uma lâmpada, em um tubo evacuado de TV,
fluem elétrons. Partículas carregadas de ambos os sinais
fluem nos gases ionizados de lâmpadas fluorescentes, nas
baterias de rádios transistores e nas baterias de automóveis.
Correntes elétricas atravessam as baterias de calculadoras e
em chips de aparelhos elétricos (Microcomputadores, forno
de microondas, etc.).
Em escalas globais, partículas carregadas são
presas nos cinturões de radiação de Van Allen existentes na
atmosfera entre os pólos norte e sul. Em termos do sistema
planetário, enormes correntes de prótons, elétrons e íons
voam na direção oposta do Sol, conhecido como vento
solar. Em escala galáctica, raios cósmicos, que são prótons
altamente energéticos, fluem através da Via-Láctea.
Como a corrente consiste num movimento de
cargas, nem todo movimento de carga constitui uma
corrente elétrica. Referimos a uma corrente elétrica
passando através de uma superfície, quando cargas fluem
através dessa superfície. Exemplifiquemos dois exemplos:
1) Os elétrons de condução de um fio de cobre
isolado estão em movimento randômico a uma velocidade
da ordem de 106 m . Se passarmos um hipotético plano
s
através do fio, os elétrons de condução passam através dele
em ambas as direções, a razão de alguns bilhões por
segundo. Então não há um transporte de carga e
conseqüentemente não há corrente. Porém se conectar as
extremidades do fio em uma bateria, o movimento das
cargas se dará em uma direção, havendo assim corrente
elétrica.
2) O fluxo de água através de uma mangueira de
jardim representam a direção do fluxo das cargas positivas,
(os prótons na molécula de água) a razão de alguns milhões
de Coulomb por segundo. Não há transporte de cargas, pois
há um movimento paralelo de cargas elétricas negativas
(elétrons na molécula de água) de exata quantidade na
mesma direção.
Figura 1 – Sentido convencional da corrente elétrica
num circuito elétrico. O sentido real é o oposto, o do movimento
dos elétrons.
∆q
dq
;i =
dt
∆t
Sobre condições de regime estacionário, a
corrente elétrica é a mesma em um fio condutor,
analisando diferentes seções transversais do fio. Isto
garante que a carga é conservada. A unidade do SI
para corrente elétrica é o Coulomb por segundo ou
Ampére (A):
1 A = 1C
i=
1s
A direção da corrente elétrica: Na figura
acima demos a direção da corrente elétrica como
sendo o movimento de cargas positivas, repelidas
pelo terminal positivo da bateria elétrica e atraídas
pelo seu terminal negativo. Este é o sentido
convencional histórico; o sentido real é o do
movimento das partículas negativas (elétrons), que é
contrário ao sentido convencional.
™ Densidade de corrente elétrica – J
Na teoria de campos, estamos interessados
em eventos que ocorrem em um ponto e não em uma
região extensa. Então, devemos conceituar a
densidade de corrente J , medida em ampéres por
metro quadrado (A/m2).
O incremento de corrente ∆I que atravessa
uma superfície incremental ∆S, normal à densidade
de corrente é:
∆I = J N ∆S
G G
∆I = J ⋅ ∆S
G G
I = ∫∫ J ⋅ dS
™ Definição de Corrente Elétrica:
S
Imagine um fio condutor isolado, em forma de
curva, como ilustrado abaixo. Não há campo elétrico
aplicado ao fio, conseqüentemente não há força elétrica
atuando nos elétrons de condução. Se inserimos uma
bateria, conectada às extremidades do fio, estabelecemos
um campo elétrico no interior do fio, exercendo força sobre
os elétrons de condução, estabelecendo assim uma corrente
elétrica.
A densidade de corrente pode ser comparada
à velocidade de uma densidade de carga volumétrica:
I=
∆Q ρ v ∆V
∆x
=
= ρ v ∆S
∆t
∆t
∆t
I = ρv ∆Svx
Como vx representa a componente da
velocidade v, teremos:
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J x = ρ v vx
metro quadrado: A
Generalizando, teremos:
2
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m2
. Para qualquer superfície, a
densidade de corrente se relaciona com a corrente
através da equação:
G
G
J = ρv v
Observe que a carga em movimento constitui a
corrente, que também chamamos de J como densidade de
corrente de convecção.
G G
i = ∫ J . dA
Aqui o elemento de área dA é perpendicular
ao elemento de superfície de área dA.
Cálculo da velocidade: Os elétrons de
condução em um condutor de cobre possuem um
movimento randômico com velocidade da ordem de
106 m s . A direção do fluxo ou a velocidade da
correnteza (drift speed) dos elétrons de condução é
muito menor. A velocidade de correnteza da corrente
em um fio de casa, por exemplo, é caracterizada por
uma velocidade da ordem de 10 −3 m s . Estimaremos a
Figura 2 – Ilustração do movimento dos portadores de carga
positivo (sentido convencional (a)) e sentido real (b). Observe que J e E
possuem o mesmo sentido.
Assim, algumas vezes estamos interessados na
corrente i de um determinado condutor. Outras vezes
necessitamos determinar o movimento localizado de cargas
em algum ponto do condutor. Uma carga positiva
movimenta-se na direção do campo elétrico em um dado
ponto do condutor, originando um fluxo. Para descrever
esse fluxo, introduzimos o conceito de densidade de
corrente J, um vetor que possui o mesmo sentido do campo
elétrico.
i
-
+
v
d
Substituindo
elétrica, teremos:
i=
na
d
v
d
definição
de
corrente
∆q nALe
= L
= nAev d
∆t
vd
Resolvendo para vd e usando a definição de
densidade de corrente J teremos:
vd = i = J
nAe
+
E
velocidade de correnteza de um fio com cargas
móveis. Na figura anterior denotamos esta velocidade
por vd. Assumimos por convenção que o movimento
das cargas é o movimento das cargas (portadores)
positivas. O número de portadores em um
comprimento L de um fio é n A L, onde n é o número
de portadores por unidade de volume e A área da
seção transversal do fio. A carga é dada por:
∆q = ( nAL ) e
Esta carga passa pelo volume V em um
intervalo de tempo dado por:
∆t = L v
ne
Estendendo para
vetorial, teremos:
G a forma
G
J = ( ne ) vd
O produto ne possui unidade no SI de
coulomb por metro cúbico C 3 . Observe que os
m
vetores J e v possuem a mesma direção.
J
Vemos que as cargas positivas possuem
velocidade na direção do campo elétrico e as cargas
negativas no sentido oposto. Se possuirmos uma corrente
elétrica distribuída uniformemente sobre a seção
transversal de um fio condutor, a densidade de corrente J é
uma constante para todos os pontos deste fio condutor e
vale:
J= i
A
Aqui, A é a área da seção reta do condutor. A
unidade SI da densidade de corrente J é o ampére por
Exemplo - O fim de um fio de alumínio com
diâmetro de 2,5 mm está conectado a um fio de cobre
cujo diâmetro é de 1,8 mm. O fio formado carrega
uma corrente estacionária de 1,3 A. Qual a densidade
de corrente em cada fio?
Para isso calculemos a área da seção
transversal dos fios de alumínio e cobre e apliquemos
a definição da densidade de corrente:
2
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A Al = 1 πd 2 = 1 π ( 2 , 5.10 −3 ) 2 = 4 , 91.10 −6 m2
4
4
1,3
J Al = i =
= 2 , 6.105 A 2 = 26 A 2
m
cm
AAl
4,9110
. −6
3
2
6
2
−
−
1
1
ACu = πd = π (1, 8.10 ) = 2 , 54.10 m2
4
4
1,3
i
J Cu =
=
= 5, 1.105 A 2 = 51 A 2
m
cm
ACu
2,54.10−6
Exemplo No exemplo anterior, qual a velocidade
de correnteza dos elétrons de condução no fio de cobre?
O número de elétrons por unidade de volume n é o
mesmo que o número de átomo por unidade de volume e é
encontrado por:
n = ρ ⇒ ( atomos/ m3 = massa / m3 ) . Aqui, ρ é
NA
M
atomos/ mol massa / mol
a densidade do cobre e NA o número de avogadro. M é a
massa molar do cobre.
n=
. 23mol−1)(9,010
. 3 kgm3)
NAρ (6,0210
=
= 8, 47.1028 eletrons 3
−3 kg
m
M
6410
.
mol
vd = i = J =
nAe
ne
,. 5
5110
= 3,8.10−5 ms = 14 cm
28
h
(8,4710
. )(1610
, . −19 )
Você pode perguntar: "Os elétrons se movem tão
vagarosamente, como a luz se acende logo que
imediatamente que acionamos o interruptor?". Esta
confusão é de não distinguirmos a velocidade da correnteza
dos elétrons e a velocidade a qual muda a configuração do
campo elétrico no fio. Esta velocidade é próxima a da luz.
Similarmente, quando você abre a torneira em uma
mangueira de jardim, se esta contiver água, imediatamente
sairá água na outra extremidade, devido à pressão, porém a
velocidade da correnteza é pequena.
™ Continuidade de corrente
É importante relacionar o conceito de corrente
com a conservação da carga e a equação da continuidade.
O princípio da conservação da carga informa que as cargas
não podem ser criadas nem destruídas, embora quantidades
iguais de cargas positivas e negativas possam ser
simultaneamente criadas (por separação), perdidas ou
destruídas (pela recombinação).
A equação da continuidade segue este princípio
quando consideramos qualquer região limitada por uma
superfície fechada. A corrente através dessa superfície
fechada é:
G G
I = ∫∫ J ⋅ dS
S
Este fluxo para fora das cargas positivas e
negativas pode ser equilibrado pela diminuição das cargas
positivas (ou talvez, um aumento das cargas negativas)
dentro da superfície fechada. Se a carga dentro da
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superfície fechada é representada por Qi, então a taxa
de decaimento é dQi/dt e o princípio da conservação
de cargas requer que:
G G
dQ
I = ∫∫ J ⋅ dS = − i
dt
S
O sinal negativo indica que a corrente está
fluindo para fora. Aplicando o Teorema de Gauss:
G G
G G
J
⋅
d
S
=
∇
∫∫
∫∫∫ ⋅ J dV
S
V
Como:
∂Qi ∂
∂ρ
= ∫∫∫ ρ v dV = ∫∫∫ v dV
∂t
∂t
∂t v
v
Comparando as relações, teremos:
G G
∂ρ v
∫∫∫∇ ⋅ J dV = − ∫∫∫ ∂t dV
V
V
Então:
G G
∂ρ
∇⋅J = − v
∂t
Recordando a interpretação física da
divergência, esta equação indica que a corrente, ou
variação de carga com o tempo, que diverge de um
pequeno volume por unidade de volume, é igual à
taxa de diminuição de carga por unidade de volume
em cada ponto.
™ Condutores
Os físicos hoje descrevem o comportamento
dos elétrons ao redor do núcleo atômico positivo em
termos da energia total do elétron em relação ao nível
zero de referência para um elétron a uma distância
infinita do núcleo. A energia total é dada pela soma
das energias cinética e potencial, e como energia deve
ser dada ao elétron para que este se afaste do núcleo,
a energia de cada elétron no átomo é uma quantidade
negativa. Embora este modelo possua algumas
limitações, é conveniente associarmos estes valores
de energia com as órbitas ao redor do núcleo; as
energias mais negativas correspondem às órbitas de
menor raio. De acordo com a teoria quântica, somente
certos níveis discretos de energia, ou estados de
energia, são permitidos em um dado átomo, e um
elétron deve, portanto, absorver ou emitir quantidades
discretas de energia, ou quanta, ao passar de um nível
a outro. Um átomo normal na temperatura de zero
absoluto possui um elétron ocupando cada um dos
níveis de energia mais baixos, começando a partir do
núcleo e continuando até que o suprimento de
elétrons se esgote.
Em um sólido cristalino, como um metal ou
um diamante, os átomos estão dispostos muito mais
próximos, muito mais elétrons estão presentes e
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muito mais níveis de energia permissíveis estão disponíveis
por causa das forças de interação entre os átomos.
Verificamos que os níveis de energia que podem ser
atribuídos aos elétrons são agrupados em largas faixas, ou
bandas, cada banda composta de inúmeros níveis discretos
extremamente próximos.
Na temperatura de zero absoluto, o sólido normal
também possui cada nível ocupado, começando com o
menor e continuando até que todos os elétrons estejam
situados. Os elétrons com os maiores (menos negativos)
níveis de energia, os elétrons de valência, estão situados na
banda de valência. Se forem permitidos maiores níveis de
energia na banda de valência, ou se a banda de valência se
une suavemente com a banda de condução, então uma
energia cinética adicional pode ser dada aos elétrons de
valência por um campo externo, resultando em um fluxo de
elétrons. O sólido é chamado um condutor metálico. A
banda de valência preenchida e a banda de condução não
preenchida para um condutor a O K estão esboçadas na
figura 3 (a).
Se, contudo, o elétron com o maior nível de
energia ocupar o nível do topo da banda de valência e
existir uma banda proibida (gap) entre a banda de valência
e a banda de condução, então o elétron não pode receber
energia adicional em pequenas quantidades e o material é
um isolante. Esta estrutura de bandas está indicada na
figura 3 (b). Note que, se uma quantidade de energia
relativamente grande puder ser transferida para o elétron,
ele pode ser suficientemente excitado para saltar a banda
proibida até a próxima banda onde a condução pode
facilmente ocorrer. Aqui o isolante é rompido.
Ocorre uma condição intermediária quando
somente uma pequena região proibida separa as duas
bandas, como ilustrado na figura 3 (c). Pequenas
quantidades de energia na forma de calor, luz ou um campo
elétrico podem aumentar a energia dos elétrons do topo da
banda preenchida e fornecer a base para condução. Estes
materiais são isolantes que dispõem de muitas propriedades
dos condutores e são chamados semicondutores.
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Considerando um condutor, os elétrons livres
se movem pela atuação de um campo elétrico E,
Assim, um elétron de carga –e experimentará uma
força dada por:
G
G
F = −eE
No espaço livre, o elétron aceleraria e
continuamente aumentaria sua velocidade (e energia);
no material cristalino, o progresso do elétron é
impedido pelas colisões contínuas com a rede de
estruturas cristalinas termicamente excitadas e uma
velocidade média constante é logo atingida. Esta
velocidade v, é denominada velocidade de deriva (do
inglês, drift) e é linearmente relacionada com a
intensidade de campo elétrico pela mobilidade do
elétron em um dado material. Designamos mobilidade
pelo símbolo m, tal que:
G
G
vd = − µe E
onde me é a mobilidade de um elétron e positiva por
definição. Note que a velocidade do elétron está em
uma direção oposta à direção de E. A equação
anterior também mostra que a mobilidade é medida
em unidades de metros quadrados por segundo por
volt; os valores típicos são 0,0012 para o alumínio,
0,0032 para o cobre e 0,0056 para a prata.
Para estes bons condutores, uma velocidade
de deriva de poucas polegadas por segundo é
suficiente para produzir um aumento de temperatura
apreciável e pode causar o derretimento do fio se o
calor não for rapidamente removido por condução
térmica ou radiação.
Podemos obter a relação
G
G
J = − ρ e µe E
onde re é a densidade de carga do elétron livre, um
valor negativo. A densidade de carga total rv, é zero,
pois quantidades iguais de cargas positivas e
negativas estão presentes no material neutro. O valor
negativo de re, e o sinal de menos levam a uma
densidade de corrente J que está na mesma direção da
intensidade de campo elétrico E.
Contudo, a relação entre J e E para um condutor
metálico é também especificada pela condutividade
s (sigma), onde s é medido em siemens por metro
(S/m).
G
G
J = σE
Figura 3 – Ilustração das bandas de energia em três diferentes
materiais a oK. (a) O condutor não possui banda proibida entre as bandas
de valência e de condução. (b) O isolante possui uma grande banda
proibida. (c) o semicondutor possui uma pequena banda proibida.
Um siemens (l S) é a unidade básica de
condutância no SI e é definido como um ampére por
volt. Antigamente, a unidade de condutância era
chamada mho e simbolizada por um Ω invertido.
Assim como o siemens reverencia os irmãos
4
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Siemens&, a unidade inversa de resistência, que chamamos
de ohm (l Ohm é um volt por ampere), reverencia Georg
Simon Ohm, o físico alemão que primeiro descreveu a
relação tensão-corrente implícita. Chamamos esta equação
deforma pontual da lei de Ohm; em breve veremos uma
forma mais comum da lei de Ohm.
Primeiramente, contudo, é interessante observar a
condutividade de diversos condutores metálicos; os valores
típicos (em siemens por metro) são 3,82.107 para o
alumínio, 5,80.107 para o cobre e 6,17 107 para a prata.
Dados de outros condutores podem ser encontrados no
Apêndice C. Ao observarmos valores como estes, é apenas
natural considerarmos que estamos sendo apresentados a
valores constantes; isto é essencialmente verdade. Os
condutores metálicos obedecem à lei de Ohm muito
fielmente, e esta é uma relação linear; a condutividade é
constante sobre largas faixas de densidade de corrente e
intensidade de campo elétrico. A lei de Ohm e os
condutores metálicos são também descritos como
isotrópicos, ou tendo as mesmas propriedades em todas as
direções. Um material não isotrópico é chamado
anisotrópico. Mencionaremos tal material dentro de poucas
páginas.
Entretanto, a condutividade é uma função da temperatura.
A resistividade, que é o inverso da condutividade:
ρ Re sistividade =
varia quase linearmente com a temperatura na região da
temperatura ambiente, e para o alumínio, o cobre e a prata
ela aumenta cerca de 0,4 por cento para um aumento de l K
na temperatura. Para diversos metais, a resistividade cai
abruptamente a zero na temperatura de poucos Kelvin; esta
propriedade é denominada supercondutividade. O cobre e a
prata não são supercondutores, embora o alumínio o seja
(para temperaturas abaixo de 1,14 K).
Se agora combinarmos (7) e (8), a condutividade
podem ser expressa em termos da densidade de carga e da
mobilidade do elétron por:
σ = − ρ e µe
Pela definição de mobilidade, é agora interessante
notar que uma temperatura mais elevada implica uma
maior vibração da rede cristalina, maior impedimento de
progresso dos elétrons para uma dada intensidade do
campo elétrico, menor velocidade de deriva, menor
mobilidade, menor condutividade, maior resistividade.
Supondo uniformidade no campo, podemos
escrever:
&
Este é o nome de família de dois irmãos alemães, KarI Wilhelm e
Wemer von Siemens, famosos inventores do século XIX. Kari se tomou
cidadão britânico e foi nomeado cavaleiro, tomando-se Sir William
Siemens.
5
Figura 4 – Uniformidade de E e J num condutor.
a
G G
G a G
G G
Vab = − ∫ E ⋅ dl = − E ⋅ ∫ dl = − E ⋅ lba
b
b
G G
Vab = E ⋅ lab
Vab = El
G G
I = ∫∫ J ⋅ dS = JS
1
σ
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S
Como
I
I
V
= σE ⇒ = σ ab
S
S
l
l
Vab
=
σS
I
J=
Chamamos de resistência R:
R=
l
σS
R = ρR
l
S
™ Propriedades dos condutores e
Condições de Fronteira
Mais uma vez, devemos temporariamente nos
afastar das condições estáticas assumidas e variar o
tempo por alguns microssegundos para vermos o que
acontece quando uma distribuição de cargas é
repentinamente desbalanceada dentro de um material
condutor. Suponhamos, para efeito de argumento, que
repentinamente apareça um número de elétrons no
interior de um condutor. Os campos elétricos
estabelecidos por estes elétrons não são anulados por
quaisquer cargas positivas, e os elétrons, portanto,
começam a acelerar para longe um do outro. Isto
5
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
continua até que os elétrons atinjam a superfície do
condutor ou até que um número igual de elétrons seja
injetado na superfície.
Aqui o progresso dos elétrons para fora é interrompido,
já que o material que envolve o condutor é um isolante que
não possui uma banda de condução conveniente. Nenhuma
carga pode permanecer dentro do condutor. Se isto
acontecesse, o campo elétrico resultante forçaria as cargas
para a superfície.
Assim, o resultado final dentro do condutor é uma
densidade de carga zero e uma densidade superficial de
carga que permanece na superfície externa. Esta é uma das
duas características de um bom condutor.
As outras características, estabelecidas para condições
estáticas nas qual nenhuma corrente deve fluir, seguem a
partir da lei de Ohm: a intensidade de campo elétrico
dentro do condutor é igual a zero. Fisicamente, vemos que
se um campo elétrico estivesse presente os elétrons de
condução se deslocariam e produziria uma corrente,
acarretando, assim, uma condição não-estática.
Resumindo para a eletrostática, nenhuma carga e
nenhum campo elétrico podem existir em qualquer ponto
dentro de um material condutor. Entretanto, a carga pode
aparecer na superfície como uma densidade superficial de
carga. Nossa próxima investigação diz respeito aos campos
externos ao condutor.
Desejamos relacionar estes campos externos à carga na
superfície do condutor. Este problema é um problema
simples e podemos tratar de sua solução primeiro com um
pouco de matemática.
Se a intensidade do campo elétrico externo for
decomposta em duas componentes, uma tangencial e outra
normal à superfície do condutor, a componente tangencial
é zero. Se não fosse, uma força tangencial seria aplicada
aos elementos de carga da superfície, resultando no seu
deslocamento e em condições não-estáticas. Como são
consideradas condições estáticas, a intensidade de campo
elétrico e a densidade de fluxo elétrico tangenciais são
zero.
A lei de Gauss responde nossas perguntas que dizem
respeito à componente normal. O fluxo elétrico que deixa
um pequeno incremento de superfície deve ser igual à
carga contida nesta superfície incremental. O fluxo não
pode penetrar no condutor, pois o campo total ali é zero.
Ele
deve
deixar
a
superfície
normalmente.
Quantitativamente, podemos dizer que a densidade de
fluxo elétrico em coulombs por metro quadrado que deixa
a superfície normalmente é igual à densidade superficial
de carga em coulombs por metro quadrado, ou:
DN = rS.
Se
utilizarmos
alguns
dos
resultados
anteriormente obtidos para fazermos uma análise mais
cuidadosa (e incidentalmente introduzindo um método
geral que será usado mais tarde), podemos estabelecer a
fronteira condutor-espaço livre mostrando as componentes
tangencial e normal de D e E no lado do espaço livre da
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6
fronteira. Ambos os campos são zero no condutor. O
campo tangencial pode ser determinado aplicando-se:
G G
E
∫ ⋅ dl = 0 sobre o pequeno caminho fechado
abcda. A integral deve ser dividida em quatro partes.
Desenvolvendo, chegamos as condições de
Fronteira:
∗ Componentes tangenciais:
Dt = Et = 0
∗
Componentes Normais:
DN = ε 0 E N = ρ S
Resumindo os princípios que aplicamos aos
condutores em campos eletrostáticos:
1. A intensidade do campo elétrico estático
dentro de um condutor é zero.
2. A intensidade do campo elétrico estático
na superfície de um condutor é, em qualquer ponto,
normal à superfície.
3. A superfície de um condutor é uma
superfície eqüipotencial.
Figura 5 – Um condutor, onde o campo elétrico é nulo
em seu interior,e normal em cada ponto de sua superfície.
6
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
Materiais dielétricos
Embora tenhamos mencionado materiais isolantes
e dielétricos, ainda não fornecemos quaisquer relações
quantitativas nas quais eles estão envolvidos. Contudo, em
breve veremos que um dielétrico em um campo elétrico
pode ser visto como um arranjo de dipolos elétricos
microscópicos no espaço livre que são compostos por
cargas positivas e negativas cujos centros não são
coincidentes.
Estas não são cargas livres e não contribuem para o
processo de condução. Ao contrário, elas são ligadas por
forças atômicas e moleculares e podem apenas mudar
ligeiramente de posição em resposta aos campos externos.
Elas são chamadas cargas ligadas, em contraste com as
cargas livres que determinam condutividade. As cargas
ligadas podem ser tratadas como quaisquer outras fontes de
campo eletrostático. Se não desejarmos, portanto, não
precisamos introduzir a constante dielétrica como um novo
parâmetro ou lidar com permissividades diferentes da
permissividade do espaço livre; entretanto, a alternativa
seria considerar cada carga dentro de um pedaço de
material dielétrico. Este é um preço muito alto a ser pago
por usar nossas equações anteriores sem modificá-las, e
devemos, portanto, despender algum tempo estudando a
respeito de dielétricos de maneira qualitativa, introduzindo
a polarização P, a permissividade e e a permissividade
relativa eR e desenvolvendo algumas relações quantitativas
envolvendo estas novas quantidades.
A característica comum de todos os dielétricos, sejam
eles sólidos, líquidos ou gasosos, em forma cristalina ou
não, é sua capacidade de armazenar energia elétrica. Este
armazenamento faz-se por um deslocamento das posições
relativas das cargas ligadas positivas e negativas internas
contra as forças normais atômicas e moleculares.
Este deslocamento contra a força restauradora é análogo
ao levantamento de um peso ou à compressão de uma mola
e representa a energia potencial. A fonte de energia é o
campo externo, e o movimento das cargas deslocadas
resulta talvez em uma corrente transitória através da bateria
que está produzindo o campo.
O mecanismo atual de deslocamento das cargas difere
em diversos materiais dielétricos. Algumas moléculas,
denominadas moléculas polares, têm um deslocamento
permanente entre os centros de gravidade das cargas
positivas e negativas, e cada par de cargas age com um
dipolo. Normalmente, os dipolos estão orientados de
maneira aleatória no interior do material e a ação do campo
externo alinha estas moléculas, até certo ponto, na mesma
direção. Um campo suficientemente forte pode até produzir
um deslocamento adicional entre as cargas positivas e
negativas.
Uma molécula apolar não possui arranjos de dipolo
mesmo depois que o campo é aplicado. As cargas positivas
e negativas deslocam-se em direções opostas contra sua
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atração mútua e produzem um dipolo alinhado com o
campo elétrico.
Figura 6 – Moléculas com um momento de dipolo permanente,
mostrando sua orientação randômica na ausência de campo elétrico
externo (a) e orientando-se na presença deste em (b).
Figura 7 – Em um átomo, os centros da densidade de carga
positiva e negativa coincidem (a). Porém na presença de um campo
elétrico externo, não (b). Assim há a presença de um momento de
dipolo induzido.
Figura 8 – Em (a), num dielétrico, os círculos
representam átomos neutros. Em (b), na presença de um campo
elétrico externo E0. A orientação dos dipolos causam um campo
interno no material dielétrico E’ que no seu interior dará um campo
resultante E , soma dos vetores E0 e E’ (c).
Figura 9 – Orientação das moléculas polares (7.1) e
apolares (7,2).
(7.1)
(7.2)
7
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Definimos como momento de dipolo o valor:
G
G
p = Qd
Aqui, Q é a carga positiva das duas cargas ligadas
compondo o dipolo e d o vetor da carga negativa para a
carga positiva. A unidade é o Coulomb vezes o metro
(C.m).
Definimos a polarização P como sendo o
momento de dipolo por unidade de volume:
G
1 n∆v G
P = lim ∑ pi
∆v → 0 ∆v
i =1
A unidades da polarização P é o coulomb por
metro quadrado (C/m2).
Sendo QT a carga total envolvida por uma
superfície S, como sendo a soma das cargas ligadas (Qb) e
cargas livres Q:
QT = Qb + Q
Onde:
G G
Qb = − ∫∫ P ⋅ dS ; Qb = ∫∫∫ ρb dV
S
V
e
G G
QT = ∫∫ ε 0 E ⋅ dS ; QT = ∫∫∫ ρT dV
S
V
Como
G
G G
Q = QT − Qb = ∫∫ ε 0 E + P ⋅ dS
(
)
S
Onde Q =
∫∫∫ ρ dV
v
V
Definimos o vetor D, agora, quando um material
polarizável está presente, como:
G
G G
D = ε0E + P
Com o auxílio do teorema da divergência,
teremos:
G G
∇ ⋅ P = − ρb
G
G
∇ ⋅ ε 0 E = − ρT
G G
∇ ⋅ D = ρv
Figura 10 – Cargas ligadas em um dielétrico, devido à
polarização deste em um campo elétrico.
8
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Tabela I – Permissividade relativa e constante dielétrica
para alguns materiais.
Material
água (deionizada)
água (destilada )
Água (do mar)
Âmbar
Álcool etílico
Ar
Baquelita
Borracha
NaCl
CO2
TiO2
Esteatite
Ferrita (NiZn)
Gelo
Ge
Madeira (Seca)
Mica
Náylon
Neopreno
Neve
Óxido de Alumínio
Papel
Piranol
Plexiglas
Poliestireno
Polietileno
Polipropileno
Porcelana
Quartzo
SiO2
Si
Styrofoam
Teflon
Terra
TiBa
Vidro
Pyrex
eR
1
80
2,7
25
1,0005
4,74
2,5 – 3
5,9
1,001
100
5,8
12,4
4,2
16
1,5 – 4
5,4
3,5
6,6
3,3
8,8
3
4,4
3,45
2,56
2,26
2,25
6
3,8
3,8
11,8
1,03
2,1
2,8
1200
4-7
4
e’’/e’
0
0,04
4
0,002
0,1
0,022
0,002
0,0001
0,0015
0,003
0,00025
0,05
0,01
0,0006
0,02
0,011
0,5
0,0006
0,008
0,0005
0,03
0,00005
0,0002
0,0003
0,014
0,00075
0,00075
0,0001
0,0003
0,05
0,013
0,002
0,0006
Tabela II – Condutividade para uma série de
condutores metálicos.
Material
Ag
Cu
Au
Al
W
Zi
Latão
Ni
Fe
Bronze
Solda
Aço carbono
Prata Germânica
Mn
Constantan
Ge
Aço sem estanho
Nicromo
s (S/m)
6,17.107
5,80.107
4,10.107
3,82.107
1,82.107
1,67.107
1,5.107
1,45.107
1,03.107
1.107
0,7.107
0,6.107
0,3.107
0,227.107
0,226.107
0,22.107
0,11.107
0,1.107
Material
Grafite
Si
Ferrita
H2O (mar)
Calcário
Argila
H2O
H2O(dest.)
Terra (areia)
Granito
Mármore
Baquelita
Porcelana
Diamante
Poliestireno
Quartzo
s (S/m)
7.104
2300
100
5
10-2
5.10-3
10-3
10-4
10-5
10-6
10-8
10-9
10-10
2.10-13
10-16
10-17
8
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
Em materiais isotrópicos, os vetores E e P são
sempre paralelos, independentemente da orientação do
campo. Já em materiais anisotrópicos, como cristais
simples, a natureza periódica dos materiais cristalinos
fazem com que os momentos de dipolo estejam mais
facilmente ligados ao longo do eixo do cristal e não
necessariamente na direção do campo aplicado.
Em materiais ferroelétricos, a relação entre E e P
não é linear e apresenta efeitos de histerese; isto é, a
polarização produzida por uma dada intensidade do campo
elétrico depende do passado da amostra. São exemplos
deste tipo de dielétrico o titanato de bário, usado em
capacitores de cerâmica e o sal de Rochelle.
A relação linear entre E e P é dada por:
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
9
G G
E
∫ ⋅ dl = 0 ⇔ Et1 = Et 2
C
Dt1
Dt 2
=
ε1
ε2
• Relações entre as componentes normais dos
meios (1) e (2):
G G
D
∫∫ ⋅ dS = 0 ⇔
S
DN1 − DN 2 = ρ S
G
G
P = χ eε 0 E
Como nenhuma carga livre está disponível
no interior de dielétricos perfeitos, somente cargas
ligadas:
Aqui, ce é uma grandeza adimensional denominada
susceptibilidade elétrica do material.
DN1 = DN 2
G
G
G
Como: D = ε 0 E + P , teremos:
• Relações entre os ângulos q1 e q2:
Pode-se mostrar que:
G
G
D = (χ e + 1)ε 0 E
Definimos outra grandeza adimensional, a
permissividade relativa ou constante dielétrica do material
como:
eR = ce +1
Assim:
G
G
D = ε Rε 0 E
Sendo e a permissividade:
e = eR e0
Teremos:
Fronteira
Dt1
Dt 2
=
D1senθ1 ε1
=
D2 senθ 2 ε 2
ε 2 D1senθ1 = ε1D2 senθ 2
G
G
D = εE
™ Condições de
dielétricos perfeitos:
DN1 = D1 cosθ1 = D2 cosθ 2 = DN 2
Dividindo as duas relações:
para
tgθ1 ε1
=
tgθ 2 ε 2
materiais
As magnitudes dos
Observe a
campos são dadas por:
Figura 11 – Ilustração da fronteira ente dois meios com constantes
dielétricas e1 e2.
q1
Meio dielétrico 1
DN2
∆S
2
⎛ε ⎞
D2 = D1 cos θ1 + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ sen 2θ1
⎝ ε1 ⎠
2
C
e1
Et2
2
Et2
Meio dielétrico 2
DN2
q2
E2 = E1
⎛ε ⎞
sen θ1 + ⎜⎜ 1 ⎟⎟ cos 2 θ1
⎝ ε2 ⎠
2
e2
• Relações entre as componentes tangenciais dos
meios (1) e (2):
9
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
Ampére, famoso físico francês, nasceu a 22 de
janeiro de 1775 e morreu a 10 de junho de 1836. Tornou-se
célebre, particularmente pelo contribuiu que deu para a
descoberta de Öersted (unidade de intensidade do campo
magnético), sobre o eletromagnetismo. Generalizando esta
descoberta reconheceu, em1820, que sem a intervenção de
magneto dois fios percorridos pela eletricidade atuam um
sobre o outro, e indicou, em 1822, o emprego da pilha para
transmissão dos despachos, descobrindo assim, o princípio
da telegrafia elétrica.
Os trabalhos desenvolvidos no campo da
matemática também lhe granjearam grande reputação.
G
G
J = ρvv
ρv =
(
)
(a) Determine a densidade de corrente em
P(r = 3, f = 300, z = 2);
(b) Determine a corrente total que flui para fora da
faixa circular r = 3, 0 < f < 2π, 2 < z < 2,8.
(
(a) J = 10 ⋅ 3 ⋅ 2aˆ ρ − 4 ⋅ 3 cos 30 aˆφ A m
2
2
G
J = 180aˆ ρ − 9aˆφ (A m 2 )
G G
(b) I = ∫∫ J ⋅ dS
0
2
)
G
G
J = ρvv
v=
I = ∫∫ (10 ρ 2 zaˆ ρ − 4 ρ cos 2 φaˆφ ) ⋅ ρdφdzaˆ ρ
I=
∫
2
z2
10
ρ
z
d
φ
dz
=
10
⋅
3
∫0
2
2.8
2π = 3257,2 A
2
G
J = −106 z1,5aˆ z A m 2 na região 0 § r § 20
G G
2
µm; para r ¥ 20 µm, J = 0 A m .
)
(
)
(a) Determine a corrente total que atravessa a
superfície z = 0,1 m na direção az.
G G
I = ∫∫ J ⋅ dS
S
I = ∫∫ − 106 z1,5aˆ z ⋅ ρdρdφaˆ z
S
I = −10 z
6 1, 5
20
2π
0
0
∫ ρ dρ ∫ dφ
20 µ
⎡ρ2 ⎤
I = −10 0,1 ⎢ ⎥ 2π = −39,7mA
⎣ 2 ⎦0
6
1, 5
− 106 ⋅ 0,151,5
= 29.047 ms
− 2000
G
G
J = ρvv
σ = − ρ e µe ⇒ ρ e = −
6,17 ⋅ 107
σ
=−
= 1,102 ⋅ 1010
0,0056
µe
(b) A intensidade do campo elétrico é
1mV/m.
J = σE ⇒ J = 6,17 ⋅ 107 ⋅ 10−3 = 61,7 mkA2
(c) a amostra é um cubo de 2,5 mm de lado
tendo uma tensão de 0,4 mV entre as faces opostas.
J =σ
Exemplo 2 – Uma densidade de corrente é dada
em coordenadas cilíndricas por:
(
ρv
=
Exemplo 3 – Determine a magnitude da
densidade de corrente de uma amostra de prata para a
qual s = 6,17.107 S/m e µe = 0,0056m2/V se:
(a) a velocidade de deriva é 1,5µm/s.
S
3
J
J = 1,102 ⋅ 10101,5 ⋅ 10−6 = 16,52 kA m 2
S
3
J − 106 ⋅ 0,11,5
= −15,81kC m 2
=
6
v
2 ⋅ 10
(c) Se a densidade volumétrica de carga em z
= 0,15 m é 2000 C/m3, determine a velocidade da
carga nesse ponto.
Exemplo 1 – Dado o vetor densidade de corrente:
G
J = 10 ρ 2 zaˆ ρ − 4 ρ cos 2 φaˆφ A m 2 :
2.82π
10
(b) Se a velocidade da carga é 2.106 m/s em z
= 0,1 m, determine rv nesse ponto.
André Marie AMPÉRE
G
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
V
0,4 ⋅ 10 −3
= 6,17 ⋅ 107
= 9,87 MA
−3
m2
2,5 ⋅ 10
l
(d) A amostra é um cubo de 2,5 mm de lado
conduzindo uma corrente total de 0,5 A.
J=
I
0,5
=
S
2,5 ⋅ 10− 3
(
)
2
= 80 mkA2
Exemplo 4 – Um condutor de cobre de 0,6 in
de diâmetro e comprimento 1200 ft. Suponha que ele
conduz uma corrente total de 50 A.
(a) Determine a resistência total do condutor.
R=
l
1200 ⋅ 0,3048
=
= 0,03Ω
σS 5,8 ⋅ 107 π4 (0,6 ⋅ 0,0254 )2
(b) Que densidade de corrente existe nele?
50
I
J= =
= 2,74 ⋅ 105 mA2
S 1,824 ⋅ 10− 4
10
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
11
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
(c) Qual a diferença de tensão entre os terminais
do condutor?
J =σ
V
lJ 1200 ⋅ 0,3048 ⋅ 2,74 ⋅ 105
⇒V = =
= 1,729V
σ
l
5,8 ⋅ 107
5
(d) Quanta potência é dissipada no fio?
P = RI
2
rL = -40nC/m
z
Exemplo 5 – Dado o campo Potencial no espaço
livre:
V = 100 senh5 xsen5 y (V )
-1
E um ponto P(0,1; 0,2; 0,3), determine em P:
(a) V.
V (0,1;0,2;0,3) = 100senh(5.0,1) sen(5.0,2)
V (0,1;0,2;0,3) = 43,84(V )
3
y
rL = 40nC/m
2
(2, 3, z)
(b) E.
G
G
E = −∇ V
G
⎛ ∂V
∂V ⎞
aˆ y ⎟
aˆ x +
E = −⎜⎜
∂y ⎟⎠
⎝ ∂x
G
E = −100(5 cosh 5 xsen5 yaˆ x + 5senh5 x cos 5 yaˆ y )
G
E = −500(cosh 5 xsen5 yaˆ x + senh5 x cos 5 yaˆ y )
G
E = −500(0,948aˆ x + 0,2815aˆ y )
G
E = −474aˆ x − 140,8aˆ y
x = 4 (V =0)
6
7
(6, 3, z)
x
P(x, y, z)
Cálculo do campo:
G
G
G
EP = E1P + E2 P
G
ρ aˆ
E1P = L ρ1
2πε 0 ρ1
(c) |E|,
G
E =
(− 474)2 + (− 140,8)2
= 495V m
(d) |rs|, se é sabido que P pertence à superfície do
condutor.
aˆ ρ1 =
ρ S = DN = ε 0 E = 4.38 nC m 2
Exemplo 5 – Um plano perfeitamente condutor
está localizado no espaço livre em x = 4 e uma linha de
cargas uniforme de 40 nC/m está situada ao longo da linha
x = 6, y = 3. Seja V = 0 no plano condutor. Em P(7, -1, 5),
determine:
(x − 6)
(x − 6)2 + ( y − 3)2
ρ1 =
G
ρ
E1 = L
2πε 0
aˆ x +
( y − 3)2
(x − 6)2 + ( y − 3)2
(x − 6)2 + ( y − 3)2
⎛
⎞
(x − 6)
( y − 3)2
⎜
ˆ
ˆ ⎟
+
a
⎜ (x − 6)2 + ( y − 3)2 x ( x − 6)2 + ( y − 3)2 a y ⎟
⎝
⎠
•
Potencial:
P
G G
V1P − V1x = − ∫ E1 ⋅ dl
(a) V.
(b) E.
x=4
G G
V1P − V1x = − ∫ E1 ⋅ dl
P
(
x =4
ρ
2
2
V1 − 0 = − L ln ( x − 6) + ( y − 3)
2πε 0
P
aˆ y
)
( 7 , −1, 5 )
( 4, y , z )
11
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
V1P = −
G
ρ
E1 (7,−1,5) = L
2πε 0
[
(
ρL
2
ln17 − ln 4 + ( y − 3)
2πε 0
)]
41
17
VP = 633,85V
⎛
⎞
(7 − 6)
(− 1 − 3)2
⎜
ˆx +
a
aˆ y ⎟⎟
2
2
2
2
⎜ (7 − 6 ) + (− 1 − 3)
7
6
1
3
−
+
−
−
(
)
(
)
⎝
⎠
G
ρ ⎛
(7 − 2)
E2 (7,−1,5) = L ⎜
2
⎜
2πε0 ⎝ (7 − 2) + (−1− 3)2
[
aˆ y
2
⎞
G
( x − 2)
( y − 3)
ρ ⎛
ˆ
E2 = L ⎜
a
aˆ ⎟
+
2
2 x
2
2 y
2πε 0 ⎜⎝ ( x − 2 ) + ( y − 3)
( x − 2 ) + ( y − 3) ⎟⎠
• Potencial:
G
G
V2 P − V2 x = − ∫ E2 ⋅ dl
P
x=4
V2 P − V2 x = −
(
− ρL
2
2
ln ( x − 2 ) + ( y − 3)
2πε 0
[
)
( 7 , −1, 5 )
( 4, y , z )
(
ρL
2
ln 41 − ln 4 + ( y − 3)
2πε 0
ρ
2
V2 = L ln 41 − ln 4 + ( y − 3)
2πε 0
ρ
2
V2 = L ln 41 − ln 4 + ( y − 3)
2πε 0
V2 P − 0 =
P
[
(
)]
P
[
(
)]
)]
VP = V1P + V2 P
[
[
)]
(
(
aˆ x +
⎞
(−1− 3)2
aˆ y
3
2
[(7 − 2)2 + (−1− 3)2 ] ⎠
G
G
G
EP = E1P + E2 P
G
16 ⎞
16 ⎞
⎛1
⎛1
E P = 720⎜ aˆ x + aˆ y ⎟ + − 720⎜ aˆ x + aˆ y ⎟
17 ⎠
41 ⎠
⎝ 41
⎝ 17
G
1
1
16
16
⎞
⎞
⎛
⎛
E P = 720⎜ − ⎟aˆ x + 720⎜ − ⎟aˆ y
⎝ 17 41 ⎠
⎝ 17 41 ⎠
G
E P = 24,79aˆ x + 396,67aˆ y ( CN )
Exemplo 6 – Usando os valores para as
mobilidades do elétron (0,12) e da lacuna (0,025)
para o silício a 300K, e assumindo que as densidades
de carga dos elétrons e das lacunas são 0,0029 C/m3 e
-0,0029 C/m3, respectivamente, determine:
(a) A componente da condutividade devida
às lacunas.
σ h = ρ h µ h ⇒ σ h = −0,0029 ⋅ 0,025 = −7,25 ⋅10 −5 S m
(b) A componente da condutividade devida
aos elétrons.
σ e = − ρ e µ e ⇒ σ e = −0,0029 ⋅ 0,12 = −3,48 ⋅10 −4 S m
(c) a condutividade.
ρL
2
ln 17 − ln 4 + ( y − 3) +
2πε 0
ρL
2
ln 41 − ln 4 + ( y − 3)
2πε 0
ρ
VP = L [ln 41 − ln17]
2πε 0
ρ
41
VP = L ln
2πε 0 17
VP = −
]
32
G
− ρL ⎛ 1
16 ⎞
E2 (7,−1,5) =
⎜ aˆ x + aˆ y ⎟
2πε 0 ⎝ 41
41 ⎠
G
16 ⎞
− 40n ⎛ 1
E 2 (7,−1,5) =
⎜ aˆ x + aˆ y ⎟
2πε 0 ⎝ 41
41 ⎠
G
16 ⎞
⎛1
E2 (7,−1,5) = −720⎜ aˆ x + aˆ y ⎟
41 ⎠
⎝ 41
G
ρ aˆ
E2 P = L ρ 2
2πε 0 ρ 2
(x − 2)
( y − 3)2
aˆ x +
(x − 2)2 + ( y − 3)2
(x − 2)2 + ( y − 3)2
ρ 2 = ( x − 2 )2 + ( y − 3)2
12
VP = 720 ln
G
ρ ⎛1
16 ⎞
E1 (7,−1,5) = L ⎜ aˆ x + aˆ y ⎟
2πε 0 ⎝ 17
17 ⎠
G
40n ⎛ 1
16 ⎞
E1 (7,−1,5) =
⎜ aˆ x + aˆ y ⎟
2πε 0 ⎝ 17
17 ⎠
G
16 ⎞
⎛1
E1 (7,−1,5) = 720⎜ aˆ x + aˆ y ⎟
17
17
⎝
⎠
aˆ ρ2 =
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
)]
σ = σ h + σ e = −7,25 ⋅ 10 −5 − 3,48 ⋅ 10 −4 = −4,205 ⋅ 10 −4 S m
Exemplo 7 – Uma lâmina de um material
dielétrico tem uma constante dielétrica relativa de 3,8
e contém uma densidade de fluxo elétrico uniforme
de 8 nC/m2. Se o material é sem perdas, determine:
(a) E;
12
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
G
G
D
D
D = εE ⇒ E = =
=
ε
ε 0ε R
8n
8,85 ⋅ 10−12 ⋅ 3,8
G
D1 =
E = 237,88V m
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
13
(− 30)2 + (50)2 + 702
G
D1 = 91,1(nC m 2 )
(e) q1;
θ1 = arcsen
(b) P;
G
G G
D = ε0E + P
G G
G
P = D − ε0E
G
G
P = χ eε 0 E
ε R = χe + 1 ⇒ χe = ε R − 1
G
G
P = (ε R − 1)ε 0 E
P = (ε R − 1)ε 0 E
P = (3,8 − 1)8,85 ⋅ 10−12 238
P = 5,89 mnC2
D1
58,3
θ1 = arcsen
91,1
θ1 = 39,80
(f) P1.
1
1
∆V
∑p
i
(
teremos:
G
ε G
P1 = ε R1 − 1 0 D1
(
1
G 3,2 − 1 G
P1 =
D1
3,2
G
G
P1 = 0,6875D1
G
P1 = −20,6aˆ x + 34,4aˆ y + 48,1aˆ z (nC m 2 )
Exemplo 8– Continue o exercício anterior,
determinando:
DN1 = 70(nC m 2 )
(b) Dt2;
(c) D t1;
G
2
2
Dt1 = (− 30 ) + (50)
G
Dt1 = 58,3 nC m 2
(
(d) D1;
)
1
εR
(a) DN2;
G
Dt1 = −30aˆ x + 50aˆ y (nC m 2 )
)ε
G ε −1 G
P1 = R1
D1
(a) DN1;
Como a componente normal no plano z = 0 é a z,
(b) Dt1;
Como as componentes tangenciais no plano z = 0
são as x e y, teremos:
)
ε1
1
= 5,89 ⋅ 1020 m − 3
∆V
G
D1 = −30aˆ x + 50aˆ y + 70aˆ z (nC m 2 ) e determine:
ε1
ε
G
G
P1 = ε R1 − 1 ε 0 E1
G
G
G
1 G
D1 = ε1E1 ⇔ E1 = D1
=
Exemplo 7– Considere a região z < 0 composta
por um material dielétrico uniforme para o qual eR = 3,2,
enquanto que a região z > 0 é caracterizada por eR = 2,0.
Seja:
=
R1
1
1
pi
∆V
i =1
1
1
5,89n
P
≅
⇒
= − 29
pi
∆V
∆V 10
P≅
G
G
P1 = χ e1 ε 0 E1
χe = ε R − 1 ; ε
(c) o número médio de dipolos por metro cúbico
se o momento de dipolo médio é de 10-29C.m.
N
Dt1
G
DN1 = DN 2 ⇒ DN 2 = 70aˆ z (nC m 2 )
Dt1
Dt 2
Dt 2 =
=
ε1
ε2
ε2
D
ε1 t
1
G
ε G
Dt 2 = R2 Dt1
εR
G
ε G
Dt = R Dt
εR
1
2
2
1
1
13
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
G
2
(− 30aˆx + 50aˆ y )
Dt 2 =
3,2
G
Dt 2 = −18,75aˆ x + 31,25aˆ y nC m 2
(
Componentes Eletrônicos:
)
(c) D2;
Podemos
eletrônicos como:
classificar
os
G
G
G
D2 = Dt 2 + DN 2
1. Componentes Passivos.
(d) P2;
1. Componentes Eletrônicos Passivos.
Subdividem-se em:
G
D2 = −18,75aˆ x + 31,25aˆ y + 70aˆ z (nC m 2 )
G ε −1 G
P2 = R2
D2
εR
2
G 2 −1 G
P2 =
D2
2
G
P2 = −9,38aˆ x + 15,63aˆ y + 35aˆ z (nC m 2 )
(e) q2.
θ 2 = arccos
DN 2
D2
70
θ 2 = arccos
78,91
θ 2 = 27,50
14
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
componentes
2. Componentes Ativos.
1.1 – Lineares: Capacitores, Resistores e
Indutores
1.2 – Não Lineares: Diodos.
2. Componentes Ativos.
A tensão de saída depende da de entrada e de
parâmetros internos do componente.
Citamos os transistores e as válvulas.
Capacitores:
Podemos armazenar energia potencial de
diversas formas: comprimindo um gás, em uma
mola comprimida, etc. Podemos também armazenar
energia potencial elétrica em um campo elétrico, e
um capacitor é um dispositivo para tal fim.
O capacitor é uma bateria portátil, operando
com uma determinada energia, que leva um grande
tempo para acumular energia, porém descarrega
rapidamente.
Capacitores são muito utilizados em
eletrônica e microeletrônica, atuando como
armazenadores de energia potencial. Eles são
elementos vitais em circuitos (transmissores e
receptores de aparelhos de rádio e TV).
(a)
(b)
Figura 10 – (a) Capacitores. (b) Definição de capacitor.
14
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
• Capacitância:
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
15
11.2 - (a) Capacitor plano e ligado a uma bateria.
Diagrama representativo do circuito (b).
Capacitores são encontrados em muitas formas e
tamanhos diferentes. Os mais comuns são os capacitores
de placas paralelas, consistidos de duas placas paralelas
condutoras de área A separadas por uma distância d. O
símbolo utilizado para o capacitor ⎯||⎯ é baseado na
estrutura do capacitor de placas paralelas e é usado para
capacitores de quaisquer simetrias. Na região entre as
placas do capacitor, é preenchido por um dielétrico, um
material isolante como o óleo ou plástico. Quando não há
o preenchimento de material entre as placas, a
permissividade dielétrica é a mesma do vácuo:
ε = ε 0 = 8, 85.10 −12 ( SI )
Em 1837 Michael Faraday descobriu que quando
um capacitor é preenchido por um dielétrico, sua
capacitância aumenta por um fator k, chamado constante
dielétrica.
Quando um capacitor é carregado, suas placas
possuem sinais +Q e -Q, respectivamente. Referimos
então a um capacitor de carga elétrica Q. Devido as placas
serem condutoras, elas são superfícies equipotenciais:
Todos pontos sobre a placa estão em um mesmo
potencial. Há uma diferença de potencial elétrico entre as
duas placas. Simbolizamos esta diferença por V.
A carga Q e a diferença de potencial V em um
capacitor são proporcionais, onde a constante de
proporcionalidade é chamada de capacitância eletrostática
C:
Q = C .V
A unidade SI da capacitância é o faraday (F) :
1 farad = 1 F = 1 coulomb por volt = 1 C/ V
Para se carregar um capacitor, precisamos
conectá-lo com uma bateria, conforme mostra o esquema
abaixo:
O capacitor permanece descarregado até conectá-lo
com a bateria B ligando a chave S, o que completa o
circuito. Com o passar do tempo as placas do
capacitor terão uma carga +Q e -Q, e estarão a uma
diferença de potencial V. Uma vez que esta
diferença de potencial é estabelecida entre as placas
do capacitor, a corrente cessa e o capacitor estará
completamente carregado.
• Cálculos de capacitância:
a) Capacitor de placas paralelas:
Figura 12 – Capacitor de Placas Paralelas (a) e linhas
de força do campo elétrico (b).
Figura 11 – 11.1 - (a) Capacitor plano e efeitos de borda (b).
A diferença de potencial entre as placas
∫
G
G
é: V = E ⋅ dl = E.L
C=
Q
; E. dA =
V ∫
Q
ε0
⇒ Q = ε 0 EA
C = ε0 A
d
Se preenchido com um dielétrico de permissividade e:
C = ε dA
C = ε Rε 0 dA
15
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
16
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
capacitores por um capacitor equivalente que é um
capacitor que possui a mesma capacitância que o
circuito equivalente.
b) Capacitor cilíndrico:
Figura 13 – Capacitor cilíndrico.
1) Capacitores em paralelo:
Nesse esquema vemos um conjunto de
capacitores associados em paralelo a uma bateria.
Figura 15 – Associação de capacitores em paralelo.
Q
Q
ρ r
E= S a
ρε 0
ρr r
Vab = s a ln r
ε0
C = 2πε 0 ln(L )
b
V
1
Q
+Q
-Q
C
2
eq
C
V
3
C
1
V
2
V
C
3
-
+
a
rb
ra
Preenchido com dielétrico de permissividade e:
:
C = 2πε
L
r
ln( rb )
V
Os terminais da bateria são ligados
diretamente às placas dos três capacitores. Como a
bateria mantém a diferença de potencial V entre os
terminais, ela aplica a mesma diferença de potencial
entre os terminais dos capacitores.Vemos que:
a
Q1 = C1V ; Q2 = C2V ; Q3 = C3V ⇒ Q = Q1 + Q2 + Q3
c) Capacitor Esférico:
Figura 14 – Capacitor esférico
n
Q
⇒ Ceq = C1 + C2 + C3 ⇔ Ceq = ∑ C j
V
j =1
Ceq =
Ou seja, em uma associação de capacitores
em paralelo, a capacitância equivalente é a soma das
capacitâncias. A carga total é a soma das cargas e a
ddp se mantém constante.
2) Capacitores em série.
ρ S ra2
E=
ε 0r 2
ρ r ⎡ rb − ra ⎤
Vab =
ε 0 ⎢⎣ rb ra ⎥⎦
A figura abaixo mostra 3 capacitores
conectados em série a uma bateria:
Figura 16 – Associação de capacitores em série.
V
2
s a
C = 4πε
V
1
C
1
2
-Q +Q
-Q +Q
ra rb
0 rb − ra
-
Com dielétrico de permissividade e:
C = 4πε
ra rb
rb − ra
• Associação de capacitores:
Podemos ter em um circuito associação de
capacitores distinta, em algumas vezes pode substituir os
V
C
2
3
V
C
3
C
eq
-Q +Q
-Q +Q
+
V
V
Observamos
que:V1 =
1
C eq
Q
Q
Q
;V = ;V =
⇒ V = V1 + V2 + V3
C1 2 C2 3 C3
=
1
C1
+ C12 + C13 ⇔
= ∑ (C j )
n
1
C eq
−1
j =1
16
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
Veja que, a carga total é a mesma em cada
capacitor e a ddp no capacitor equivalente é a soma de cada
ddp em cada capacitor de uma associação em série.
• Energia Armazenada em um campo elétrico.
Imagine um capacitor descarregado e que devemos
transferir elétrons de uma placa à outra. O campo
elétrico na região entre as placas tende a se opor à esta
transferência. Devemos realizar trabalho para que
possamos acumular carga no capacitor. Este trabalho
para carregar um capacitor está na forma de energia
potencial elétrica U no campo entre as placas.
O trabalho requerido para deixar o capacitor
carregado a uma carga Q é dado por:
Q
dW = VdQ = C dQ;W = ∫ dW = C1 ∫ qdQ ⇒W = 2C
Q
0
Pode-se encontrar as seguintes relações para a
energia potencial armazenada entre as placas de um
capacitor:
Q2
= 1 CV 2
2C 2
Também podemos encontrar a densidade de
energia u entre as placas do capacitor, dada pela razão da
energia armazenada e o volume:
2
u = U = CV
Ad
2 Ad
Lembrando que para um capacitor de placas
paralelas, C =
ε0 A
d
17
Exemplo 10 - No exemplo anterior, qual será
a energia potencial do sistema de 2 capacitores antes
e depois da chave S fechar ?
Inicialmente o capacitor C1está carregado e
possui uma energia potencial. Sua ddp é V0= 6,3 V.
A energia potencial inicial é:
2 1
Ui = 1 CV
. −6)(6,32 ) = 7,0410
. −5 J = 704
, µJ
1 0 = (3,5510
2
2
Depois da chave S fechar, os capacitores
terão a mesma ddp: V=1,79 V. A energia potencial
final será de:
U f = 1 C1V 2 + 1 C2V 2 = 1 ( 3, 55.10 −6 .1, 79 2 + 8, 95.10 −6 .1, 79 2 ) = 2.10 −5 J = 20µJ
2
2
2
2
Q
U=
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e o campo E é dado por: E=V/d,
teremos:
u = 1 ε 0 E 2 (Densidade de Energia)
2
Exemplo 9 - Um capacitor C1 de capacitância
3,55 mF é carregado com uma ddp de V0=6,3 V usando
uma bateria de 6,3 V. A bateria é removida e o capacitor é
conectado a um capacitor C2 descarregado de
capacitância C2 = 8,95 mF como mostra a figura abaixo.
Quando a chave S é fechada, a carga de C1 flui para C2
até que ambos os capacitores estejam a mesma diferença
de potencial V. Qual será esta ddp?
S
Q
0
Observe que Ui > Uf , cerca de 72 %. Isto
não é uma violação ao princípio da consevação da
energia. A energia perdida aparece da forma de
energia térmica perdida pelos fios que fazem a
conexão dos capacitores.
Lembramos que quando um capacitor está
preenchido com um dielétrico, sua capacitância
aumenta de um fator k, denominado constante
dielétrica do material introduzido. Pode-se escrever:
C = κC0
Onde C0 é a capacitância medida quando o
dispositivo (capacitor) não está preenchido por
nenhum dielétrico. A tabela a seguir ilustra valores
da constante dielétrica para alguns materiais:
Tabela III – Constante dielétrica relativa de alguns
materiais.
Material
Constante
dielétrica k = eR
Ar (1 atm )
Papel
Óleo transformado
Porcelana
Silício
Água (20 C)
Germânio
1,00054
3,5
4,5
6,5
12
80,4
16
Para o vácuo, k=1,0
C
1
C
2
A carga original q0 é agora parte dos 2
capacitores:
Q0 = Q1 + Q2 Mas q=CV. Então:
C1
3,55µ
C1V0 = C1V + C2V ⇒ V = V0
= 6, 3
= 1, 79V
C1 +C2
3,55µ +8,95µ
Exemplo 11 – Determine a permissividade
relativa do material dielétrico presente em um
capacitor de placas paralelas se:
(a) S = 0,12 m2, d = 80 µm, V0 = 12 V e o
capacitor contêm 1µJ de energia.
C =ε
A
d
17
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
εR =
80 ⋅ 10 1,3888 ⋅ 10
8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 0,12
−8
(c) duas placas retangulares condutoras, 1
cm por 4 cm, de espessura desprezível, entre as quais
há três camadas de dielétricos de 1cm por 4 cm cada,
de 0,1 mm de espessura, tendo constantes dielétricas
de 1,5, 2,5 e 6.
1
1
1
1
=
+
+
C C1 C2 C3
C1C2C3
C=
C1C2 + C1C3 + C3C2
= 1,046
(b) A densidade de energia armazenada é de 100
J/m2, V0 = 200 V, d = 45 µm.
WE =
ε=
CV02
A
2W
⇔ C = 2E = ε
V0
d
2
2dWE 2 ⋅ 45 ⋅ 10−6100
=
= 2,25 ⋅ 10− 7
2
2
200
V0 A
εR =
C=
F
m
ε 2,25 ⋅ 10−7
=
= 25423,7
ε 0 8,85 ⋅ 10−12
(c) E = 200kV/m, rS = 20µC/m2 e
d = 100 µm
E=
εR =
18
C = 0,9 pF
2W
2 ⋅ 10−6
CV02
⇔ C = 2E =
2
122
V0
C = 13888,88 pF
A
dC
C = ε Rε 0 ⇔ ε R =
d
ε0 A
WE =
−6
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
20 ⋅ 10−6
ρs
ρ
⇒ε = s =
= 10−10 mF
ε
E 200 ⋅ 103
10−10
ε
=
= 11,29
ε 0 8,85 ⋅ 10−12
Exemplo 12 – Determine a capacitância de:
C=
ε1ε 2ε 3
ε0 A
ε1ε 2 + ε1ε 3 + ε 3ε 2 d
1,5 ⋅ 2,5 ⋅ 6
8,85 ⋅10 −1210 −2 ⋅ 4 ⋅10 −2
1,5 ⋅ 2,5 + 1,5 ⋅ 6 + 6 ⋅ 2,5
0,1 ⋅10 −3
C = 0,8108 ⋅ 3,54 ⋅ 10 −11
C = 28,7 pF
Exemplo 13 – Um cilindro condutor com 1
cm de raio e no potencial de 20V é paralelo a um
plano condutor que tem potencial zero. O plano está 5
cm distante do eixo do cilindro. Se os condutores
estão mergulhados em um dielétrico perfeito para o
qual eR = 4,5, determine:
(a) a capacitância por unidade de
comprimento entre o cilindro e o plano.
(b) rSmax no cilindro.
(a) um cabo coaxial de 1 ft de comprimento de 35
B/U, que possui um condutor interno de 0,1045 in de
diâmetro, um dielétrico de polietileno ( eR = 2,26) e um
condutor externo de 0,680 de diâmetro interno.
C = 2πε
L
ln( b a )
C = 2πε Rε 0 ln(Lb a )
C = 2π 2,26 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 ln( 0,680,300,1045)
C = 20,13 pF
(b) uma esfera condutora de raio 2,5 mm coberta
com uma camada de polietileno de 2mm de espessura,
envolvida por uma esfera condutora de 4,5 mm de raio.
C = 4πε
ra rb
rb − ra
C = 4πε Rε 0 rb a− bra
r r
C = 4π 2,26 ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 44,,55−⋅22 ⋅ 10−3
18
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
• Resistência Elétrica:
Se aplicarmos a mesma diferença de potencial em
extremidades de um pedaço de cobre e em vidro,
verificamos diferentes correntes. Essa característica do
condutor é denominada de resistência elétrica.
Determinamos a resistência elétrica de um condutor entre
dois pontos aplicando uma diferença de potencial V entre
esses pontos e medimos a corrente i resultante. A
resistência R é dada por:
R=V
I
A unidade SI de resistência elétrica é dada pelo
Volt por Ampére, denominada Ohm (Ω).
1Ω = 1V .
1A
Um condutor cuja função em um circuito é
fornecer certa resistência à passagem de corrente é
denominado de resistor. Representamos um resistor em
um diagrama pelo símbolo O.
Definimos a resistividade ρ de um condutor como
a razão entre o campo elétrico aplicado ao condutor e a
densidade de corrente J:
ρ= E
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Tabela IV – Resistividade de alguns materiais.
Material
Resistividade
ρR(Ω.m).
geral é escolhida T0= 293K, α é o chamado coeficiente de
resistividade.
A tabela abaixo ilustra alguns valores de
resistividade a temperatura ambiente (20 C) para alguns
materiais.
Coeficiente
de
resistividade
α( K −1 )
Metais Típicos
Cobre
1, 69.10 −8
4 , 3.10 −3
Alumínio
2 , 75.10 −8
4 , 4.10 −3
Tungstênio
5, 25.10 −8
4 , 5.10 −3
Ferro
9 , 68.10 −8
6, 5.10 −3
Platina
10, 6.10 −8
Semicondutores
típicos
3, 9.10 −3
Silício puro
2 , 5.103
−70.10 −3
Silício tipo p
8, 7.10 −4
Silício tipo n
2 , 8.10 −3
Isolantes
Típicos
Vidro
Quartzo
1010 − 1014
≈ 1016
J
A unidade de resistividade no SI é o volt por
metro (V/m) e também o Ohm vezes metro (Ω.m).
Propriedades físicas de alguns materiais variam
com a temperatura, e a resistividade também se comporta
dessa maneira. Para o cobre e alguns metais em geral, a
resistividade possui o seguinte comportamento com a
temperatura:
ρ − ρ0 = ρ0α ( T − T0 )
Aqui, T0 é uma temperatura de referência, em
19
Podemos escreGver também
a relação:
G
E = ρ. J
para um material dito isotrópico, ou seja, que não
varia suas propriedades elétricas com as diversas
direções.
Se nós conhecemos a resistividade de uma
substância, podemos encontrar sua resistência. Seja A
área da seção reta de um condutor e L seu
comprimento. Podemos encontrar as seguintes
relações entre o campo elétrico e a densidade de
corrente neste condutor:
E = V ;J = i ⇒ρ= E =
L
A
J
V
L
i
A
Lembrando que V/I é a resistência do
material, teremos:
R=ρL
A
Vemos que a resistência em um condutor é
inversamente proporcional à sua área de seção reta e
diretamente proporcional à resistividade e ao seu
comprimento.
• A Lei de Ohm:
Dissemos que um resistor é um condutor
com uma específica resistência. Isto significa que ele
tem a mesma resistência se a magnitude e direção
(polaridade) de uma diferença de potencial aplicada
19
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
forem mudadas. Alguns resistores dependem dessa
diferença de potencial aplicada. Quando um resistor não
depende da ddp aplicada em seus terminais e o
comportamento gráfico de V em função da corrente for
uma reta, como mostra a figura abaixo, dizemos que ele
obedece à Lei de Ohm V=RI.
Observe que quanto maior a inclinação da reta,
tanto maior a resistência elétrica, pois R= tg α.
Figura 17 –Comportamento Ôhmico (a) e resistência em um
condutor (b).
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
20
Quando aplicamos um campo elétrico em um
metal, os elétrons modificam seu movimento
randômico e iniciam um movimento ordenado na
direção oposta à do campo elétrico aplicado, com
uma velocidade de correnteza vd . O movimento dos
elétrons é uma combinação entre as colisões com os
átomos no metal e à aceleração devido ao campo
elétrico E. Quando consideramos os elétrons livres, a
única contribuição para a velocidade de correnteza é
devido ao campo elétrico aplicado no metal.
Chamando de m a massa do elétron colocado
em um campo elétrico E, de acordo com a segunda lei
de Newton, ele terá aceleração dada por:
a=F/m=eE/m . Chamando o tempo entre duas
colisões sucessivas de τ o elétron possuirá uma
velocidade de correnteza dada por:
vd = aτ = eEτ
m
Combinando com a
densidade de corrente, teremos:
vd =
J
ne
=
eEτ
m
equação
⇒E=
para
a
( )J
m
e2 nτ
Comparando com E=ρJ, teremos:
ρ = 2m
e nτ
Observe que a resistividade em um metal
não depende do campo elétrico aplicado, obedecendo
à Lei de Ohm.
Exemplo 14 - Determine o tempo t entre as
colisões de um elétron e os átomos de cobre em um
fio de cobre.
Temos que: τ = 2m
e nρ
Um dispositivo condutor obedece à Lei de Ohm
quando sua resistência é independente da magnitude e
polaridade do potencial elétrico aplicado. Um material
condutor obedece à Lei de Ohm quando sua resistividade é
independente da magnitude e direção do campo elétrico
aplicado.
O modelo utilizado para analisar o processo de
condução nos materiais condutores é o modelo do elétron
livre, no qual elétrons de condução são livres para se
mover no volume do material condutor. Assume-se que
durante esse movimento, os elétrons não se colidem com os
outros elétrons, mas só entre os átomos do metal
condutor.Os elétrons, de acordo com a física clássica,
possuem uma distribuição Maxwelliana de velocidades,
como as moléculas em um gás. Nessa distribuição, a
velocidade média do elétrons é proporcional à raiz
quadrada da temperatura absoluta . O movimento dos
elétrons é regido pelas leis da física clássica, e não pelas
leis da física quântica, cujo modelo é o mais adequado
atualmente.
Tomando o valor de ρ da tabela teremos:
τ=
. −31 kg
9,110
= 2 , 5.10 −14 s
(8,47.10 m )(1,6.10−19 C ) 2 (1,69.10−8 Ω.m)
−28
−3
Exemplo 15 - Determine o caminho livre
médio l do elétron entre duas colisões.
Sabemos
que
λ = vd τ = (1, 6.106 m s )( 2 , 5.10 −14 s ) = 40nm
:
20
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
Energia e Potência em circuitos elétricos:
n
1 = 1 + 1 + 1 ⇔ 1 =
Req
R1 R2 R3
Req
Na figura abaixo ilustramos um dispositivo
qualquer (resistor, capacitor, etc.) conectado a uma bateria
que mantém uma ddp V em seus terminais, causando um
maior potencial no terminal a e um menor no terminal b.
21
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
∑
j =1
1
Rj
V = R1i1 = R2i2 = R3i3
i = i1 + i2 + i3 (Lei dos nós).
i
i
Figura 18 –Circuito envolvendo resistor.
i
1
R
1
2
R
2
R
eq
R
3
3
V
i
V
Mantida a ddp nos terminais da bateria, haverá um
fluxo de corrente i no circuito e entre os terminais a e b.
Uma quantidade de carga dq se moverá de a para b, sob
uma ddp V. A energia potencial decresce de uma
quantidade: (de a para b V diminui):
dU = dq .V = iVdt
Como definimos potência por:
P = dU
b) Associação em série: Nesta associação, a
corrente que atravessa cada resistor é a mesma, e a
ddp em cada resistor, quando somadas, dá a ddp total
V sobre a resistencia equivalente Req.
V = V1 + V2 + V3
Req = R1 + R2 + R3 ⇔ Req =
V
1
R
1
V
2
3
R
2
n
∑ Rj
j =1
V
R
eq
R
3
i
i
dt
Então:
V
V
P = V .i
O princípio da conservação da energia nos diz que
o decréscimo de energia potencial é acompanhado pela
transferência de energia em alguma outra forma. Essa é a
potência associada a essa transferência.
Podemos ainda encontrar as seguintes relações:
P = R.i 2 = V
2
R
Em um resistor, a passagem dos elétrons se dá a
velocidade de correnteza constante, mantendo sua energia
cinética média constante, aparecendo uma perda de energia
potencial elétrica como energia térmica. Em escala
microscópica há uma transferência de energia devido a
colisões entre os elétrons e os átomos que formam a
estrutura do resistor, aumentando sua temperatura. A
energia mecânica transferida na forma de energia térmica é
dita dissipada.
Em ambos os casos temos: V = i . Req
Potenciômetros:
As resistências variáveis são denominadas de
potenciômetros ou reostatos.
A
seguir
ilustramos
alguns
tipos
encontrados:
Figura 19 –Potenciômetros.
• Associação de Resistores:
Podemos associar resistores de duas maneiras: em
série e em paralelo. Em cada associação, podemos
encontrar a resistência equivalente da associação, como
ilustramos na figura abaixo:
a) Associação em paralelo: Nesse tipo de
associação, a ddp em cada resistor se mantém constante,
pois todo está conectado no mesmo fio. As correntes
somadas darão a corrente total i e a resistência equivalente
Req encontramos através de:
21
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
22
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
• Processo de carga:
Coloca-se as chaves nas posições (1) e (3):
a) Uma vez ligada a chave, então teremos:
Q
dI 1 dQ dE
= E⇒R +
=
C
dt C dt dt
dQ
dI 1 dQ
⇒ (I = ; E = cte) ⇒ +
=0
dt
dt RC dt
RI +
⇒
dI
1
=−
dt
RC
I
t
dI
I
t
1
⇒
=−
dt ⇒ ln = −
I
RC
I0
RC
0
I0
I
∫
∫
−
I (t) = I0e
t
RC
(Equação da Corrente)
A tensão no resistor no processo de
carga será dada por:
™ Carga e descarga no Capacitor:
No circuito da figura:
Podemos utilizar para carregar ou descarregar o
capacitor, conforme as posições das chaves (1) e (2).
VR (t ) = RI (t ) ⇔ VR (t ) = Ee
−
t
RC
Equação da carga:
dQ E −t RC
= e
⇒
dt R
⇒ Q(t) =
Q
∫
t
E −t RC
dQ =
e
dt
R
Q=0
∫
0
E −t RC t
e
t =0
R
Q(t) = EC (1- e-t/RC)
A tensão no capacitor, no processo
de carga, será dada por:
t
−
Q(t )
VC =
⇔ VC (t ) = E (1 − e RC )
C
•
Na descarga: Dedução da
corrente:
Colocam-se as chaves nas posições (2) e (4).
Teremos:
UC +UR = 0 ⇒
Q
dI
1 dQ
= −RI ⇒
= −R
C
C dt
dt
I
∫
t
∫
dI dI
dI
1
1
1
I =−R ⇒ =− dt⇒
=−
dt
C
dt I
RC
I
RC
I0
Figura 20 – Circuito utilizado para experimento de carga e
descarga num capacitor.
I
I0
Então: ln =−
0
1
t ⇒I = I0e−t / RC
RC
22
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
Q
t
∫ ∫
dQ
⇒dQ= I(t)dt⇒ dQ= I0e−t / RCdt;
dt
Q0
0
Q(t) − Q0 = −RCI0(e−t / RC −1) ⇒ I0 = −
E
R
−
t
RC
Q(t) = ECe
(Equação da carga no capacitor)
Observe que a tensão no Capacitor é dada por:
t
VC (t ) =
23
• Efeitos da Corrente Elétrica:
Equação da carga:
I=
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
−
Q(t )
⇒ VC (t ) = Ee RC
C
A tensão no resistor será dada por:
VR (t ) = RI (t ) ⇒ VR (t ) = Ee
−
t
RC
No gráfico a seguir indicamos a curva de carga e
descarga. Note o comportamento assintótico quando t→∞.
A
(a) Corrente na carga e descarga do capacitor.
(b) Tensão na resistência e no Capacitor durante o processo de
carga.
Figura 21- Carga e descarga num capacitor.
Em laboratório, foram utilizados um capacitor de capacitância
C = 47µF e um resistor de resistência 238 k Ω. O valor de tempo ao qual a
carga cai a 1/e de seu valor inicial Q0 é denominado constante de tempo τ
(τ = RC = 11.19s).
A passagem de corrente elétrica através de
condutores acarreta diferentes efeitos, dependendo
da natureza do condutor e da intensidade de
corrente. É comum dizer-se que a corrente elétrica
tem quatro efeitos principais: fisiológico, térmico
(ou Joule), químico e magnético.
O efeito fisiológico corresponde à passagem
de corrente elétrica por organismos vivos. A
corrente elétrica age diretamente no sistema nervoso,
provocando contrações musculares; quando isto
ocorre, dizemos que houve um choque elétrico. O
pior caso de choque é aquele que se origina quando
uma corrente elétrica entra pela mão de uma pessoa
e sai pela outra. Nesse caso, atravessando o tórax de
ponta a ponta ela tem grande chance de afetar o
coração e a respiração. O valor mínimo de
intensidade de corrente que se pode perceber pela
sensação de cócegas ou formigamento leve é 1mA.
Entretanto, com uma corrente de intensidade 10 mA,
a pessoa já perde o controle dos músculos, sendo
difícil abrir a mão e livrar-se do contato. O valor
mortal está compreendido entre 10 mA até 3 A,
aproximadamente.
Nestes valores, a corrente,
atravessando o tórax, atinge o coração com
intensidade suficiente para modificar seu ritmo.
Modificando o ritmo o coração para de bombear
sangue através do corpo e a morte pode ocorrer em
frações de minutos. Se a intensidade for ainda mais
alta, a corrente pode paralisar completamente o
coração. Este se contrai o mais possível e mantém-se
assim enquanto passar a corrente. Interrompida a
corrente, geralmente o coração relaxo e pode
começar a bater novamente, como se nada tivesse
acontecido. Todavia, paralisando o coração,
paralisa-se também a corrente sanguínea, e uma
pequena interrupção dessa circulação pode provocar
danos cerebrais irreversíveis.
Os efeitos térmicos, conhecidos como efeito
Joule, é causado pelo choque de elétrons livres
contra os átomos dos condutores. Ao receberem
energia, os átomos vibram mais intensamente.
Quanto maior for a vibração dos átomos, maior será
a temperatura do condutor. Nestas condições
observa-se, externamente, o aquecimento do
condutor. Esse efeito é muito aplicado nos
aquecedores em geral, como o secador de cabelos.
O efeito químico corresponde a certas
reações químicas que ocorrem quando a corrente
elétrica atravessa as soluções eletrolíticas. É muito
aplicado, por exemplo, no recobrimento de metais,
(niquelação, cromação, prateação, etc.).
O efeito magnético é aquele que origina um
campo magnético na região em torno da corrente. A
constatação de um campo magnético, em
23
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
determinada região, é feita pelo desvio da agulha
magnética (ímã), de um aparelho denominada bússola.
Em 1820, um fato importante conectou os fenômenos
magnéticos e elétricos. Hans Christian Oersted (17771851), físico dinamarquês, realizou experiências sobre a
ação da corrente elétrica sobre uma agulha magnética: a
primeira observação do efeito magnético da corrente
elétrica. Os fenômenos magnéticos não constituem,
portanto, fenômenos isolados; eles têm relação íntima
com os fenômenos elétricos.
Georg Simon Ohm veio de uma família
protestante. Seu pai, Johann Wolfgang Ohm, era um
serralheiro enquanto sua mãe, Maria Elizabeth Beck, era a
filha de um alfaiate. Embora seus pais não tinham sido
formalmente educados, o pai de Ohm era um homem
bastante notável que tinha se educado para um nível alto e
pode dar aos filhos uma educação excelente pelos seus
próprios ensinos. Das sete crianças nascidas a Johann e
Maria Ohm sobreviveram só três, Georg Simon, o irmão
Martin que tornou-se um matemático famoso, e a monja
Elizabeth Barbara.
Quando eles eram as crianças, Georg Simon e
Martin foram ensinados pelo pai que os trouxe para um
padrão alto em matemática, físicas, química e filosofia. Isto
estava em contraste totalmente à educação escolar deles.
Georg Simon entrou em Ginásio de Erlangen aos onze anos
e lá recebeu pouco de treinamento científico.
A realização notável de Johann Wolfgang Ohm,
um homem completamente autodidáta, pode dar para seus
filhos uma educação matemática e científica.
Em 1805 Ohm entrou na Universidade de
Erlangen. Ohm foi (ou mais com precisão, foi enviado)
para a Suíça onde, ele levou um posto como um professor
de matemática em uma escola em Gottstadt em 1806.
Karl Christian von Langsdorf deixou a
Universidade de Erlangen em cedo 1809 levar um posto na
Universidade de Heidelberg e Ohm teria gostado de ter ido
com ele para Heidelberg reiniciar seus estudos
matemáticos. Porém, Langsdorf aconselhou Ohm para
continuar os estudos de matemática, aconselhando Ohm a
ler os trabalhos de Euler, Laplace e Lacroix. Bastante
relutantemente Ohm levou o conselho dele mas ele deixou
o posto de ensino dele em Gottstadt Nydau em março de
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
24
1809 ao se tornar um tutor privado em Neuchâtel.
Durante dois anos ele levou a cabo seus deveres como
um tutor enquanto seguiu o conselho de Langsdorf e
continuou o estudo privado em matemática. Então em
abril de 1811 ele voltou para a Universidade de
Erlangen.
Por seus estudos privados recebeu um
doutorado de Erlangen em 25 de outubro de 1811 e
imediatamente uniu o pessoal como um conferencista
de matemática. O governo Bávaro lhe ofereceu um
posto como professor de matemáticas e físicas em
Bamberg e ocupou lá o posto em janeiro de 1813.
Esta não era a carreira próspera enfrentada
por Ohm e ele decidiu que ele teria que mostrar que
ele era preço muito mais que um professor em uma
escola pobre. Trabalhou em um livro elementar no
ensino de geometria enquanto permanecia
desesperadamente infeliz em seu trabalho. O governo
Bávaro o enviou então para uma escola em Bamberg
para ajudar com o ensino de matemática.
Em 11 de setembro de 1817 Ohm recebeu
uma oferta do posto de professor de matemáticas e
físicas no Ginásio Jesuítico de Cologne. Esta era uma
escola melhor que qualquer aquele Ohm tinha
ensinado previamente e teve um laboratório de física
equipado. Como ele tinha feito tanto para da vida
dele, Ohm continuou os estudos privados lendo os
textos dos matemáticos franceses Lagrange,
Legendre, Laplace, Biot e Poisson. Ele passou a ler os
trabalhos de Fourier e Fresnel começou o próprio
trabalho experimental dele no laboratório de físicas
escolar depois que ele tivesse aprendido a descoberta
de Oersted do eletromagnetismo em 1820. No
princípio as experiências foram administradas para o
próprio benefício educacional.
Depois de um tempo, mudou a atitude para o
trabalho experimental e começou a trabalhar
sistematicamente para a publicação dos seus
resultados.
De fato ele já tinha se convencido da verdade
do que nós chamamos hoje " isto é a lei " de Ohm a
relação que a corrente pela maioria dos materiais é
diretamente proporcional à diferença potencial
aplicou pelo material.
Em dois documentos importantes em 1826,
Ohm deu uma descrição matemática de condução em
modelo de circuitos no estudo de Fourier de condução
de calor. Estes documentos continuam a dedução de
Ohm de resultados de evidência experimental e,
particularmente pelo segundo, ele pôde propor leis
que foram um modo longo para explicar resultados de
outros que trabalham em eletricidade. O segundo
papel é certamente o primeiro passo em uma teoria
inclusiva que Ohm pôde ceder o livro famoso
publicado no ano seguinte.
24
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
O que é agora conhecido como a lei de Ohm aparece no
livro famoso Kette, bearbeitet de mathematisch (1827) em
qual ele deu a teoria completa de eletricidade. O livro
começa com o fundo matemático necessário para uma
compreensão do resto do trabalho.
Embora o trabalho de Ohm influenciou a teoria
fortemente, foi recebido com pouco entusiasmo. Ohm está
sentindo estava ferido, ele decidiu permanecer em Berlim
e, em 1828 de março, ele formalmente resignado a posição
dele em Cologne. Trabalhou temporariamente como
matemático em escolas de Berlim.
Em 1845 ele se tornou um sócio da Academia
Bávara.
Eletricidade não era o único tópico no qual Ohm
empreendeu pesquisa, e não o único tópico no qual ele
terminou em controvérsia. Em 1843 ele declarou o
princípio fundamental de acústica fisiológica, teve a ver
com o modo em qual ouve tons de combinação. Porém
totalmente não foram justificadas as suposições que ele fez
na derivação matemática dele e isto resultou em uma
disputa amarga com o físico August Seebeck. Ele teve
sucesso desacreditando a hipótese de Ohm e Ohm teve que
reconhecer o erro dele. Veja [10] para detalhes da disputa
entre Ohm e Seebeck.
Em 1849 Ohm levou um posto em Munich como
curador do gabinete físico da Academia Bávara e começou
a dissertar na Universidade de Munich. Só em 1852, dois
anos antes da morte dele, fez Ohm alcance a ambição
vitalícia dele de ser designada à cadeira de físicas na
Universidade de Munich.
Adaptado de Artigo por: J J O'Connor e E F Robertson
Conte Alessandro Volta nasceu em Como, Itália,
em uma família nobre. O físico italiano Alessandro
Giuseppe Antônio Anastasio Volta era o inventor da pilha
de voltaic, a primeira bateria elétrica. Em 1775 ele
inventou o electrophorus, um dispositivo que, uma vez
eletricamente carregado por tido sido esfregado, poderia
transferir carga elétrica para outros objetos. Entre 1776 e
1778, descobriu Volta o gás de metano isolado.
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
25
Luigi Galvani (1737-1798)
O anatomista italiano e médico Luigi
Galvani foi o primeiro a investigar o fenômeno do
que veio ser chamado "bioelectrogenesis"
experimentalmente. Em uma série de experiências
iniciadas por volta de 1780, Galvani trabalhou na
Universidade de Bolonha e achou que a corrente
elétrica gerada por uma garrafa de Leyden ou um
gerador de eletricidade estático giratório causaria a
contração dos músculos na perna de uma rã e muitos
outros animais, ou aplicando a carga elétrica para o
músculo ou para o nervo.
As experiências notáveis de Galvani ajudaram
estabelecer a base para o estudo biológico de
neurofisiologia e neurologia. A troca de paradigma
estava completa: nervos não eram tubos de água ou
canais, como Descartes e os contemporâneos dele
haviam pensado, mas condutores elétricos.
Informação dentro do sistema nervoso é
levada por eletricidade gerada diretamente pelo tecido
orgânico. Como o resultado das demonstrações
experimentais de Luigi Galvani e seus seguidores, foi
desvelada a natureza elétrica da função nervomúsculo. Porém, uma prova direta só poderia ser feita
quando os cientistas poderiam medir ou descobrir as
correntes elétricas naturais geradas nas celas nervosas
e musculares. Galvani não teve a tecnologia para
medir estas correntes, porque elas eram muito
pequenas.
Luigi Galvani foi designado em Anatomia na
Universidade em 1762. A habilidade dele como um
cirurgião o ganhou a Cadeira de Obstetrícias logo no
Instituto de Ciências das quais ele era se tornar o
presidente em 1772. As investigações na estrutura
orgânicas animal o estabeleceram como um dos
fundadores de eletro-tecnologia moderno ao término
do décimo oitavo século, ao lado de seus
contemporâneos dele Henry Cavendish, Benjamim
Franklin e Alessandro Volta. Ele foi o primeiro a
descobrir a ação fisiológica da eletricidade. As
experiências subseqüentes fazendo os músculos
expostos e nervos de um contrato de rã quando
conectou a um condutor bimetálico, demonstrou a
existência de forças bioelétricas em tecido animal.
Isto deu lugar a uma discordância entre
Galvani e Volta em cima da explicação do fenômeno
sobre o qual cada era em parte certa. O trabalho não
obstante instrumental em Volta principal gerou a
invenção da primeira bateria elétrica. Galvani segurou
a Cadeira durante 33 anos, mas foi despedido em
1797 seguindo a ocupação do país pelo exército
25
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
napoleônico. Sendo um homem de integridade, ele recusou
levar o juramento de submissão requerido pelo invasor. Ele
morreu o ano seguinte.
Galvanização é o nome derivado de Luigi
Galvani, e era uma vez usado como o nome para a
administração de choques elétricos, originada da indução
de Galvani do estremeção nas pernas de rã cortada, pela
geração acidental de eletricidade. Agora sensação arcaica é
a origem do significado de galvanizou quando descrevia
alguém que se mexe sob ação súbita, abrupta.
Em 20 de março de 1800, ocorreu uma das maiores
inovações nas experiências de eletricidade. Uma
discordância profissional, em cima dos resultados de uma
experiência entre Luigi Galvani e Alessandro Volta. Volta
foi conduzido a provar que quando certos metais e
substâncias químicas entram em contato entre si podem
produzir uma corrente elétrica. Arranjou vários pares de
discos de prata e de zinco separados por papel empapado
em água de sal e uma corrente elétrica foram produzida.
Volta tinha produzido a primeira bateria.
26
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
• Aparelhos de medições:
Amperímetros, Ohmímetros e Voltímetros.
São aparelhos para medir corrente,
resistência elétrica e diferença de potencial,
respectivamente.
™ Amperímetro:
Para medir corrente elétrica que passa por
um resistor (R2 na figura abaixo), liga-se o
amperímetro (entre os pontos a e b da figura abaixo)
em série com o resistor. A resistência interna do
amperímetro deve ser pequena, para que não altere a
grandeza da medida. Um amperímetro ideal tem
resistência interna nula.
™ Voltímetro:
Para medir a diferença de potencial em um
resistor (R1, na figura abaixo), usa-se um voltímetro
ligado em paralelo com o resistor, entre os pontos c e
d indicados na figura. Um voltímetro ideal deve
possuir resistência infinita para que não perturbe a
medida no circuito.
Figura 22 – Circuito
amperímetro (a) e aparelhos (b).
(a)
utilizando
voltímetro
e
(b) Alguns multímetros analógicos e digitais:
26
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
1. Galvanômetro:
O galvanômetro é o componente principal de um
voltímetro ou amperímetro. Esse instrumento possui
sensibilidade a pequenas correntes que o atravessam.
Um galvanômetro típico de um laboratório de
ensino possui uma bobina móvel em torno de um eixo, no
campo magnético de um ímã permanente. Quando a bobina
é atravessada pela corrente, o campo magnético exerce
sobre ela um torque que provoca sua rotação. Como há um
ponteiro acoplado à bobina indicando sua rotação sobre
uma escala,. A figura abaixo ilustra a estrutura interna de
um galvanômetro.
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
27
Figura 25 – Circuito que utiliza um galvanômetro e
resistência multiplicadora..
G rg
ig
Rm
Vg
Vm
Assim: U = Vg + Vm = (Rm + rg )⋅ ig
Pode-se usar um galvanômetro em série com
uma bateria e um resistor Rs para termos um
ohmímetro simples:
Figura 26 – Circuito que utiliza um galvanômetro e
resistência shunt.
ε
Rs
a
G rg
Figura 23 – Esquema de um galvanômetro.
Dependendo o que queremos medir, podemos
utilizar o galvanômetro como um amperímetro ou
voltímetro.
Para utilizarmos o galvanômetro como um
amperímetro, devemos ligá-lo em paralelo com uma
resistência de pequeno valor, denominada shunt (Rs) , onde
a maior parte da corrente passa por essa derivação.
Figura 24 – Circuito que utiliza um galvanômetro.
G rg
i
is
ig
Rs
rg ⋅ Rs
rg + Rs
⋅i ⇒ i =
rg + Rs
Rs
b
Quando a e b estão em curto, Rs é
determinada de modo que a corrente que passa pelo
galvanômetro proporciona uma deflexão no ponteiro
que cobre a escala completa. Deflexão nula indica
uma resistência infinita entre os terminais. Quando os
terminais estiverem ligados por uma resistência
desconhecida R, a corrente que passa pelo
galvanômetro depende dessa resistência e pode ser
ajustada de modo a dar a leitura direta de R.
Deve-se tomar cuidado pois não podemos
medir a resistência de um amperímetro sensível
usando um ohmímetro, pois este proporciona uma
corrente que passa por uma resistência desconhecida.
™ Ponte de Wheatstone:
Assim:
Rs ⋅ is = rg ⋅ ig =
ig
⎛ rg
⎞
⋅ ig i = ⎜⎜ + 1⎟⎟ ⋅ ig
⎝ Rs ⎠
Para utilizarmos o galvanômetro como um
voltímetro, devemos ligá-lo em paralelo com uma
resistência de grande valor, denominada de resistência
multiplicadora (Rm).
Na figura, ajusta-se o valor da resistência Rs
de maneira que os potenciais nos pontos a e b sejam
os mesmos. Assim, não há diferença de potencial
entre os pontos a e b. Portanto, pode-se determinar
uma resistência desconhecida Rx por:
Figura 27 – Circuito que utiliza uma montagem de
ponte de Wheatstone.
Rx ⋅ R2 = Rs ⋅ R1 ⇒ Rx =
R2
⋅ Rs
R1
™ Osciloscópios:
27
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
Osciloscópios são instrumentos de medidas de
tensão pela aplicação das diferenças de potencial em suas
entradas verticais ou horizontais. A tensão é proporcional
ao deslocamento na tela do osciloscópio. O princípio de
funcionamento consiste na interação de um feixe de
elétrons com campo elétrico no interior de um tubo de raios
catódicos. Uma grade (3) é colocada a um potencial
superior do potencial do filamento (Ug > Uf). Assim há a
extração de elétrons do filamento (1). A figura abaixo
ilustra a estrutura interna de um osciloscópio.
28
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Exemplo de um resistor não Ôhmico é um
diodo semicondutor de junção pn, que consiste de
dois materiais semicondutores, tipo p e tipo n, como
descrevemos na seção anterior.
Esse material possui as seguintes
características, onde representamos os átomos
receptores, imóveis no lado p por : e as lacunas ou
buracos por
. Já os átomos doadores, tipo n, com
facilidade em doar elétrons, representamos por ⊕ e
os elétrons próximos por .
Figura 29 – Junção p-n.
Figura 28 – Esquema interno de um osciloscópio.
e- TIPO P
b
Potencial -
+ da Junção TIPO N
JUNÇÂO PN
0
doadores ionizados +
(1)
- Receptores ionizados
DISTRIBUIÇÃO DE LACUNAS E ELÉTRONS LIVRES
+ Lacuunas
0
elétrons (2)
ρ (densidade de carga)
(1)+(2)
carga líquida
+
-
Componentes:
(1) Filamento.
Cilindro de Venelt: Controle do número
(2)
de elétrons incidentes pelo ajuste da polaridade.
(3) Grade.
(4) Ajuste.
(5) Placa horizontal.
(6) Placa vertical.
(7) Brilho.
(8) Focalização.
(9) Ajuste do potenciômetro.
(10) Ajuste do potenciômetro.
(11) Sistema de varredura.
(12) Amplificação e Atenuação horizontal.
(13) Amplificação e atenuação vertical.
(14) Entrada horizontal.
(15) Entrada Vertical.
x
G G ρ
G G ρ
E
⋅
d
S
=
⇔
∇
⋅E =
∫∫
ε
S
ε
E (Campo Elétrico)
x
G
G
ρ
E = ∫ dx ⇔ E = −∇V
ε
V ( Potencial)
G G
V = − ∫ E ⋅ dl
x
™ Diodos
28
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
Quando forma-se a junção, os elétrons livres na
região tipo N se difundem através da junção e preenchem
as lacunas próximas à junção, na região P. As lacunas
difundem-se através da junção desde a região P até a
região N e capturam elétrons livres próximo à junção na
região N.
Quando um elétron abandona o átomo doador na
região N e se move dentro da região P, os átomos
possuem menos elétrons que os necessários à
neutralização da carga positiva de um núcleo e se carrega
(ioniza-se). Tem uma carga positiva extra igual à carga
negativa do elétron que perdeu.
Similarmente quando uma lacuna abandona o
átomo receptor na região P, o átomo toma uma carga
negativa, porque a lacuna foi preenchida com um elétron,
e o átomo possui um elétron a mais que o necessário para
neutralizar a carga do seu núcleo.
Esses átomos carregados, ou íons são fixos na
rede cristalina não podem se mover. Então se forma uma
região de carga fixa em ambos os lados da junção. Sobre o
lado N da junção existe uma região de íons carregados
negativamente e sobre o lado p da junção há uma camada
de íons com cargas negativas. Observe que (na figura
anterior) aparece uma barreira de íons negativos no lado p
da junção Essa barreira negativa repele os elétrons na
vizinhança da junção e evita a infiltração de maior
número de elétrons do lado n até o lado p do cristal.
Similarmente, no lado N há a formação de íons positivos e
evita a difusão de lacunas adicionais através da junção, do
material P ao material N.
As duas zonas de átomos ionizados formam uma
barreira para qualquer outra difusão através da junção,
pois as cargas na junção forçam os portadores majoritários
a afastar-se dela. Esta barreira é conhecida como zona de
depleção ou zona de barreira, ou potencial de barreira.
A carga dos átomos de impureza é distribuída na
junção PN como ilustramos na figura anterior, curva (1).
Na região P, os receptores ionizados têm carga negativa e
na região N, os átomos doadores ionizados têm carga
positiva. Na junção PN a carga é zero. Porém, na região P
há lacunas que contém carga positiva e na região N há
elétrons que contém carga negativa. Essa distribuição é
mostrada na curva (2). O potencial da junção atua nas
lacunas, separando-as da mesma, na região P, e aos
elétrons, afastando-os da junção na região N, de modo que
as cargas na região P e N se separam. Então a inclinação
da curva (2) é mais gradual que a da curva (1). A carga na
junção é zero, porém o aumento de cada lado é mais suave
que na curva (1). Penetrando mais na região P as cargas
tornam-se positivas devido às lacunas e penetrando no
interior do lado N co cristal as cargas tornam-se negativas
devido aos elétrons.
A carga sobre o cristal na região P é igual à
diferença entre a carga dos átomos receptores ionizados e
a carga das lacunas. A carga no cristal na região N é igual
a diferença entre a carga dos átomos doadores ionizados e
29
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
elétrons. Essas cargas se anulam, exceto na região
circunvizinha à junção, Indicamos na figura
correspondente à carga líquida ((1)+(2)).
Na área próxima à da junção, há carga
negativa na região P e carga positiva na região N.
Como estabelecemos anteriormente, estas atuam
como uma barreira para evitar a posterior difusão de
lacunas da região P à região N e a difusão de
elétrons da região N à região P. Este potencial de
barreira constitui uma diferença de potencial através
da junção e é da ordem de poucos décimos de volts e
é denominado de potencial aparente e é representado
por uma pequena bateria como ilustra a figura, com
o terminal negativo conectado ao material P e o
terminal positivo conectado ao material N. Tal
potencial de barreira é semelhante à placa cátodo de
um diodo de vácuo. Se a placa torna-se positiva em
relação ao cátodo aquecido o diodo conduzirá
corrente. Se aplaca é negativa em relação ao cátodo
o diodo bloqueiará a circulação da corrente.
Assim, quando conectamos um diodo
retificador a uma bateria, a corrente para uma
polaridade da bateria é muito pequena, enquanto que
para outra, a corrente é grande, conforme indicamos
no comportamento da corrente em função da ddp a
seguir.
Figura 30 – Corrente em um diodo.
A equação da corrente é dada, no caso mais
geral, por:
⎞
⎛ qV
I = I 0 ⎜⎜ e kT − 1⎟⎟
⎠
⎝
Onde: k: Constante de Boltzmann.
k = 1,38 ⋅ 10 −23
J
K
ou k = 8,62 ⋅ 10
−5 eV
K
T: Temperatura Absoluta (em Kelvin).
29
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
Abaixo ilustramos para T1 = 100K (Vermelho), T2
= 300K (Azul), e T3 = 500K (Verde).
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
30
a) Polarização Reversa na junção:
(Reverse Bias)
b) Polarização direta na junção:
(Foward Bias)
Figura 31 – Corrente em um diodo para diferentes
temperaturas.
I
I0
€€€€€€
1000
800
600
400
200
0
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
a) Polarização reversa na junção: (Backbias)
Variação da corrente I 0 → µA ↔ nA
Lembrando que pode-se controlar o número de
elétrons livres n ou de buracos p, inserindo-se átomos
dopantes na rede cristalina do material semicondutor, como
mostramos anteriormente:
Tipo
Doadores
n
Aceitadores
p
Dopantes
Átomos
Com 5 elétrons na
última
camada:
P,As, Sb
Com 3 elétrons na
última
camada:
B,Ga, In
Função
Aumenta n e
reduz p
Há extração de elétrons do lado n e buracos do
lado p, fazendo com que a região de carga espacial
alargue-se e a corrente circulante seja nula.
eb+
p
n
- V +
Aumenta p e
reduz n
Na região próxima à da junção pn, há a difusão de
elétrons para o lado p e buracos para o lado n, originando
uma região de carga espacial.
O lado n acumula carga líquida positiva e o lado p
acumula carga líquida negativa, produzindo um campo
elétrico através da junção pn, balanceando o efeito da
difusão e impedindo que mais elétrons ou buracos
atravessem a junção.
A região de carga espacial da qual os elétrons
escapam depende da profundidade de penetração do campo
no semicondutor e é chamada camada de depleção.
b) Polarização direta na junção:
Nesse caso, os elétrons são extraídos do lado
p, aumentando a concentração de buraco e se
difundem através da junção se recombinando com
elétrons do lado n. O Campo aplicado favorece a
condução pela junção.
30
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
e-
b+
p
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
31
™ Retificador de onda completa:
n
+V -
Uma importante aplicação desta propriedade do
um diodo é em circuitos retificadores, onde se obtém a
partir de um sinal alternado (AC) que tem média nula, um
sinal de corrente contínua (DC).
™Retificador de meia onda: ilustrado abaixo:
A tensão de saída no osciloscópio será a
indicada acima:
31
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
™ Retificador com filtro:
Podemos utilizar também uma ponte de diodos
para retificar o sinal:
No semi-ciclo positivo os diodos D2 e D4
conduzem e D1 e D3 cortam. No semi-ciclo negativo os
diodos D2 e D4 cortam e D1 e D3 conduzem. (Observação:
D1 , D2 (acima) e D3 D4 (abaixo) no sentido horário).
A tensão medida no osciloscópio fornecerá:
32
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Quando o diodo conduz, o capacitor se
carrega até V0 e quando o diodo corta o sinal o
capacitor se descarregará com uma constante de
tempo: τ = R.C, mantendo a corrente fluindo na carga
até que o diodo conduza novamente.
V
∆V
V0
t
A carga perdida será dada por:
∆q = I L ⋅ T
No capacitor, a variação de voltagem é dada
por:
∆V =
∆q I L ⋅ T
=
(Para meia onda).
C
C
IL ⋅T
(Para onda completa).
2⋅C
V
Como I L = DC , substituindo na equação
R
∆V =
acima:
32
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
∆V =
VDC ⋅ T VDC ⋅ T
∆V T
=
⇒
= A
R⋅C
VDC τ
τ
ondulação de saída é denominada de “ripple” e é dada por:
∆V T
r=
= (Meia onda).
VDC τ
∆V
T
=
(Onda completa).
r=
VDC 2τ
V = V0 cos(2πft ) e f = 60Hz
Como para
teremos T = 1/f ≅ 0.0166s
Se utilizarmos C = 1µ F e R = 100 k Ω teremos:
τ = R ⋅ C = 105 ⋅ 10 −6 = 10 −1
⇒r=
T
τ
=
0.0166
= 0.166 = 16,67%
10−1
™ LED – Light Emission diode
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
λ=
33
c hc
=
f Eg
Em um LED típico, que consiste de uma
junção pn de As-Ga-P possui Eg=1,9 eV. O
comprimento de onda da luz emitida será:
λ=
−34
8
hc 6.61 ⋅ 10 Js3,0 ⋅ 10
=
Eg
1,9eV ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 eVJ
m
s
= 650nm
Esse comprimento de onda corresponde à cor
vermelha, maioria dos LEDs comerciais.
Outra aplicação do LED consiste em
conectar o final da junção pn em um cristal
devidamente polido, em um determinado plano de
junção que atua como um Laser Esse dispositivo é
denominado de diodo laser. A figura abaixo ilustra
esse componente, desenvolvido na AT&T Bell
Laboratories.
O diodo emissor de luz opera pelo princípio da
junção pn descrita anteriormente. A figura abaixo ilustra
um circuito que utiliza um LED.
™ O Efeito Piezelétrico:
Quando o elétron na base da banda de condução
cai para um buraco no topo da banda de valência em um
semicondutor, uma energia Eg, denominada gap
característica do semicondutor, é liberada. Esta energia
pode ser transformada em vibração na rede do material
semicondutor (comum em semicondutores de silício) ou
liberada na forma de radiação eletromagnética, na região
do visível, o que acontece em materiais semicondutores de
Arseneto de Gálio e fósforo.
A energia Eg se relaciona com o comprimento de
onda λ da radiação liberada pela equação:
Em alguns cristais, como as moléculas
polares (quartzo, topázio), uma tensão mecânica
aplicada a eles provoca a polarização das moléculas.
O efeito denomina-se efeito piezelétrico. A
polarização do cristal sob tensão provoca uma
diferença de potencial entre suas faces que pode ser
aproveitada para gerar corrente elétrica. Os cristais
piezelétricos são utilizados em transdutores como
microfones, captadores fonográficos e dispositivos
detetores de vibrações, que convertem deformações
mecânicas em sinais elétricos. O efeito piezelétrico
invertido: uma tensão aplicada em certos materiais
provoca deformação mecânica, é utilizado em fones
de ouvido, microscópios de varredura e em muitos
outros dispositivos.
Como a freqüência natural de vibração do
quartzo está compreendida na região das
radiofreqüências, e sua curva de ressonância é muito
aguda, o cristal de quartzo é muito utilizado para
estabilizar osciladores de radiofreqüência e controlar
relógios muito exatos.
O efeito piezoelétrico foi descoberto por
Pierre e Jacques Curie em 1880 e consiste na
variação das dimensões físicas de certos materiais
sujeitos a campos elétricos.
33
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
O contrário também ocorre, ou seja, a aplicação de
pressões. Por exemplo, pressões acústicas que causam
variações nas dimensões de materiais piezoelétricos
provocam o aparecimento de campos elétricos neles. Um
outro método de gerar movimentos ultra-sônicos é pela
passagem de eletricidade sobre metais especiais, criando
vibrações e produzindo calor intenso durante o uso. Este
efeito é chamado de magnetoestritivo
O efeito piezoelétrico poderá ser utilizado em
atuadores
(converte eletricidade em energia mecânica) e em
transdutores (converte energia mecânica em energia
elétrica). Isto permite a construção de chaves e controles,
indicadores diretos de voltagens e uma série de outros
sensores. A conversão direta de eletricidade em energia
mecânica pode ser utilizada para a criação de "músculos
metálicos" que darão movimento a pequenos robôs ou
mesmo a próteses humanas. Mas as aplicações possíveis do
material passam ainda por válvulas microscópicas, ótica
adptativa e materiais inteligentes capazes de alterar seu
formato conforme a necessidade. O efeito de transdução
pode ser utilizado, por exemplo, em sensores que disparam
o "air-bag" dos automóveis.
™ Transístores
Transistores são elementos de circuito de três
terminais, onde se aplica um sinal de baixa potência entre
dois desses para controlar outro sinal de alta potência
entre os outros dois terminais. A figura abaixo mostra a
corrente que passa pelos terminais DS controlada pelo
potencial em G.
34
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Há vários tipos de transistores de acordo
com sua construção e características para cada
aplicação existente.
Classificamos como:
• Transistor de junção bipolar:
(BJJ)
São construídos com semicondutores Ge ou Si,
da forma npn ou pnp.
Transistor pnp
emissor
p
base
coletor
p
ie
ib
n
e c
ic
b
Transistor npn
n
n
p
ie
ib
e c
ic
b
Com o aparecimento da difusão de
portadores nas junções, produzem-se barreiras de
potencial entre emissor e base e base e coletor.
• Transistor de efeito de campo:
(MOSFET)
(Metal-Oxide-Semiconductor
Field-Effect Transistor)
O dispositivo é controlado por um campo
elétrico, diferentemente do modelo anterior que é
controlado pela difusão de portadores.
John Bardeen e Walter Houser Brattain receberam
o prêmio Nobel de Física em 1950 pela descoberta do
efeito transístor. A figura abaixo ilustra o primeiro
construído.
Observe que a fonte S e a base G são
aterradas e o potencial VD é aplicado no terminal de
dreno D. A magnitude do ganho da corrente é
controlada pelo potencial VGs.
34
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
™ Circuitos Integrados:
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35
Código de cores em resistências:
Um circuito integrado (o microchip) é um
aparelhinho com um circuito eletrônico completo,
funcionando com transistores, resistências e suas
interconexões, fabricado em uma peça de material
semicondutor, como o silício, germânio ou arseneto de
gálio, folheados em wafers de 8 ou 12 camadas. Alguns
circuitos integrados são usados como memória (as RAMs,
ROMs, EPROMs); outros são utilizados como
processadores - realizando funções lógicas e matemáticas
em um computador.
Alguns CIs, transistores, diodos e LED (Light
emission diode).
35
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
Exercícios:
1) Um eletrômetro é um aparelho que é usado para
medir carga estática. Um a carga desconhecida é colocada
nas placas de um capacitor e a diferença de potencial é
medida. Qual o mínimo de carga que pode ser medida por
um eletrômetro de capacitância 50 pF e voltagem 0,15 V ?
2) Dois objetos metálicos, de cargas +70pC e 70pC estão sobre uma diferença de potencial de +20V.
a) Qual a capacitância do sistema?
b) Qual a ddp se as cargas forem de +200 pC e 200pC sem a capacitância mudar?
36
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
8) Suponha que as duas superfícies esféricas
de um capacitor esférico possua uma o dobro da área
da outra. Encontrar sua capacitância.
9) Quantos capacitores de 1,00 mF devem
ser conectados em paralelo para armazenar uma carga
de 1,00 C com uma ddp de 110 V sob os capacitores?
10) Na figura, encontre a capacitância
equivalente da associação. Assuma que
C1=10,0 µF,
C2= 5,0µF e C3= 4,0µF
C
2
C
1
V
3) O capacitor da figura têm capacitância de 25 m
F e está inicialmente descarregado. A bateria o mantém a
uma ddp de 120 V. Depois da chave se fechar por um
grande tempo, qual a carga no capacitor?
11) Cada um dos capacitores na figura
abaixo possuem uma capacitância de 25,0 µF. Uma
diferença de potencial de 4200 V é aplicada quando a
chave é conectada. Quantos coulombs de carga
atravessam o medidor A?
C
+
C
3
1)
Se a ddp V for de 120 V, qual a carga em
cada capacitor ?
S
-
A
S
4200 V
C
C
C
V
4) Um capacitor de placas paralelas circulares
possui 8,2 cm de raio e separação 1,3 mm.
a) Calcule sua capacitância.
b) Qual a carga que aparece nas placas quando
uma ddp de 120 V é aplicada no capacitor?
5) Dispomos de duas placas de metal de 1m2 de
área e fabricamos com elas um capacitor plano de 1,00 F.
Qual deve ser a separação entre as placas?
6) As placas do catodo de um tubo de diodo a
vácuo sào da forma de dois cilíndros concêntricos com o
catodo sendo o cilindro central. O diâmetro do catodo é de
1,6 mm e o cilindro externo possui diâmetro de 18 mm.
Ambos possuem o comprimento de 2,4cm. Calcule a
capacitância do diodo.
7) Uma gota esférica de mercúrio de raio R tem
capacitância dada por C = 4 πε 0 R Se duas destas gotas
combinam para formar uma terceira gota maior, qual a
capacitância da terceira gota?
12) Quanto de energia é armazenada em 1
metro cúbico de ar devido a um campo elétrico de
intensidade 150 V/m ?
13) Que capacitância é necessária para
armazenar uma energia de 10 kW-h a uma ddp de
1000V?
14) Dois capacitores de 2 µF e 4µ F de
capacitância são conectados em paralelo sob uma ddp
de 300 V. Calcule a energia total armazenada nos
capacitores.
15) Um capacitor de placas paralelas possui
capacitância de 7,4 pF quando há ar em seu interior.
Preenchido por um dielétrico, sua capacitância vai
para 7,4 mF. Encontre o valor da constante dielétrica.
16) Uma corrente de 5 A existe em um
resistor de 10 Ω por 10 min.
a) Qual a carga elétrica nesse intervalo de
tempo ?
36
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
b) Quantos elétrons passam pela seção transversal
desse resistor nesse intervalo de tempo?
c) Encontre a ddp.
17) A corrente elétrica típica em um terminal de
vídeo é de 200 µA. Quantos elétrons atravessam a cada
segundo?
18) A cinta de um gerador de Van de Graaff
possui 50 cm de largura e velocidade de 30 m/s. A cinta
carrega carga para a esfera a uma razão correspondente a
100 µA. Encontre a densidade superficial de carga na cinta.
19) Uma corrente é estabelecida em um tubo de
descarga de gás quando uma suficiente e alta voltagem são
aplicadas através dos dois eletrodos do tubo. O gás ionizase e elétrons se movem para o terminal positivo enquanto
os íons positivos vão em direção ao terminal negativo.
Qual a magnitude e direção da corrente em um tubo de
descarga de hidrogênio no qual há 3,1.1018 elétrons e
1, 1.1018 prótons se movendo em uma seção de área
transversal do tubo ?
20) Uma junção pn é formada quando dois
diferentes materiais semicondutores na forma de cilindros
idênticos de raio 0,165 mm são conectados. Cerca de
3, 5.1015 elétrons por segundo atravessam a junção do lado
n para o lado p, enquanto 2 , 25.1015 buracos (um buraco
atua como se fosse uma partícula de carga +e) atravessam
do lado p para o lado n.
n
p
Qual a corrente total e a densidade de corrente?
21) Um resistor possui área de seção transversal
corrente
de
J = 1, 4.103 A2 .
Encontre
m
25) Um bloco retangular de área de seção
transversal 3, 50cm2 possui comprimento de 15,8 cm
e resistência 935 Ω O material pelo qual o bloco é
(elétrons de
constituído possui 5, 33.1022 eletrons
3
m
condução). Uma diferença de potencial de 35,8 V é
aplicada entre seus terminais.
a) Qual a corrente sobre o bloco?
b) Se a densidade de corrente é uniforme,
qual seu valor?
c) Qual a velocidade de escoamento
(correnteza) dos elétrons de condução?
d) Qual o campo elétrico no bloco?
26) Um estudante possui um rádio de 9,0 V e
7,0 W. Ligado das 9:00 PM às 2:00 AM, quanta
carga atravessou-o?
27) Um certo tubo de raio X opera a uma
corrente de 7,0 mA e uma ddp de 80 kV. Qual a
potência dissipada, em watts?
28) Energia térmica é produzida por um
resistor a uma razão de 100 W quando uma corrente
de 3,00 A o atravessa. Qual sua resistência ?
29) Um resistor desconhecido é conectado
aos terminais de uma bateria de 3,00 V. A potência
dissipada pelo resistor é 0,540 W. Quando o resistor é
conectado entre os terminais de uma bateria de 1,5 V
, qual a potência dissipada por ele?
30) Encontre a resistência equivalente entre
os pontos A e B nos casos abaixo.
a)
3, 00.10 −7 Ω. m .
180 >
A
100 >
50
>
B
90 >
23) Um fio de uma liga níquel-cromo-ferro, possui
comprimento 1 m e área de seção transversal de 1, 0mm 2 .
Se uma corrente de 4 A o atravessa quando submetido a
uma diferença de potencial de 2V, encontre a
condutividade σ do fio. (Obs.: σ=1/ρ).
24) Quando aplicamos uma ddp de 115 V em um
fio de raio 0,3 mm e comprimento 10 m, a densidade de
a
resistividade do fio.
igual a 56, 0cm2 . Qual a resistência se este resistor for um
fio de 10 km de comprimento? A resistividade deste fio é
22) Um fio condutor possui diâmetro de 1 mm, 2
m de comprimento e resistência elétrica de 50 mW.
Encontre sua resistividade.
é
37
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
b)
A
50 >
150
>
B
37
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
38
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
c)
>
40 >
A
200 >
80
>
B
50 >
80 >
40 >
220 V
120>
d)
+5q
d
d
-2q
40 >
A
300 >
>
680
B
80 >
160>
d
P
d
120>
+3q
e)
300>
A
300 >
40 >
>
680
B
160>
d
d
-2q
21) Se a Terra possui uma densidade de
carga superficial de 1,0 elétrons por metro quadrado,
(assumindo aproximação) qual seria o potencial
elétrico da Terra? E o campo elétrico da Terra na sua
superfície?
80 >
22) Os elétrons tendem a se mover em
regiões de alto ou baixo potencial?
120>
31) No circuito abaixo determine:
a) A corrente que atravessa os resistores.
b) A ddp em cada resistor:
A)
150 >
50>
120 V
B)
38
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
Exercícios – Hayt -6 ª Edição.
1.
Dada a densidade de corrente:
G
J = −10 4 (sen2 xe −2 y aˆ x + cos 2 xe −2 y aˆ y )kA m 2 :
(a) Determine a corrente total que cruza o plano y = 1
na direção â y na região 0 < x < 1, 0 < z < 2
(b) Determine a corrente total que deixa a região
0 < x, y < 1, 2 < z < 3 através da integração de
G G
J ⋅ dS sobre uma superfície do cubo.
39
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
dS = dxdy
⎧
⎪ G
S 2 : ⎨dS = dSaˆ n = dS (− aˆ z )
⎪ 0 < x, y < 1; z = 2
⎩
dS = dydz
⎧
⎪ G
S 3 : ⎨ dS = dSaˆ n = dS (− aˆ y )
⎪0 < y < 1;2 < z < 3; x = 0
⎩
dS = dydz
⎧
G
⎪
S 4 : ⎨ dS = dSaˆ n = dSaˆ y
⎪0 < y < 1;2 < z < 3; x = 1
⎩
(c) do emprego do teorema da divergência.
Solução:
A corrente será:
G G
I = ∫∫ J ⋅ dS
dS = dxdz
⎧
⎪ G
S 5 : ⎨ dS = dSaˆ n = dS (−aˆ x )
⎪0 < x < 1;2 < z < 3; y = 0
⎩
S
dS = dxdz
⎧
G
⎪
Teremos: ⎨ dS = dSaˆ n = dSaˆ y
⎪ y = 1;0 < x < 1;0 < z < 2
⎩
dS = dxdz
⎧
G
⎪
S 6 : ⎨ dS = dSaˆ n = dSaˆ x
1 2
⎪0 < x < 1;2 < z < 3; y = 1
⎩
I = ∫ ∫ − 10 4 sen2 xe − 2 y aˆ x + cos 2 xe − 2 y aˆ y 10 3 aˆ y dxdz
G G
0 0
I = ∫∫ J ⋅ dS
(
)
1 2
S
I = −10 7 e − 2 ∫ ∫ cos 2 xdxdz
G G
G G
I = ∫∫ J ⋅ dS1 + ∫∫ J ⋅ dS 2
1
2
0
0
1
2
G G
G G
G G
G G
J
⋅
d
S
+
J
⋅
d
S
+
J
⋅
d
S
+
J
3
4
5
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫ ⋅ dS 6
0 0
I = −10 e
7
−2
S
∫ cos 2 xdx ∫ dz
1
I
I
I
I
⎡ sen2 x ⎤
2
= −10 7 e − 2 ⎢−
⎥ [z ]0
2
⎣
⎦0
sen
2
= 10 7 e − 2
2
2
= 10 7 e −2 sen2
= 1.23MA
(b) Corrente total
Região: 0 < x, y < 1, 2 < z < 3
G G
I = ∫∫ J ⋅ dS
S
Teremos, explicitando a superfície fechada S do
cubo como as 6 faces :
dS = dxdy
⎧
⎪ G
S1 : ⎨dS = dSaˆ n = dSaˆ z
⎪ 0 < x, y < 1; z = 3
⎩
S3
S
S4
S5
S6
I = ∫∫10 cos 2 xe
7
−2 y
dydz +
S3
∫∫ − 10
S4
7
cos 2 xe −2 y dydz + ∫∫10 7 sen2 xe −2 y dxdz
S5
+ ∫∫ − 10 7 sen2 xe −2 y dxdz
S6
Desenvolvendo, chega-se a I = 0.
(c) Teorema da divergência:
G G
G G
∂Q
I = ∫∫ J ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ J dV = −
∂t
S
V
−
∂ρ
∂Q
= ∫∫∫ − v dV
∂t
∂t
V
Comparando, chegamos a:
G G
∂ρ
∇⋅J = − v
∂t
G G ∂J x ∂J y ∂J z
+
∇⋅J =
+
∂y
∂z
∂x
39
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
(
) (
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
)
G
I
J m = aˆ r
A
2
A = ∫∫ r senθdθdφaˆ r
G G ∂ − 10 7 sen2 xe −2 y
∂ − 10 7 cos 2 xe −2 y
∂0
∇⋅J =
+
+
∂x
∂y
∂z
G G
7
−2 y
7
−2 y
∇ ⋅ J = −10 2 cos 2 xe + −10 ⋅ −2 cos 2 xe
G G
∇⋅J =0
2.
S
0.3π
Seja a densidade de corrente:
A = r2
G
⎛ A ⎞
J = 2 ρ cos 2 φaˆ ρ − ρsen2φaˆφ ⎜ 2 ⎟
⎝m ⎠
Dentro da região 2,1 < r < 2,5
0 < f < 0,1 rad; 6 < z < 6,1. Determine a corrente total
I cruzando a superfície:
(a) r = 2,2; 0 < f 0,1; 6 < z < 6,1 na direção ar.
(b) f = 0,05; 2,2 < r < 2,5; 6 < z < 6,1 na direção af.
G G
(c) Calcule ∇ ⋅ J em P(r = 2,4; f = 0,08; z = 6,05).
G
3.
Seja: J =
400senθ ⎛ A ⎞
aˆ r ⎜ 2 ⎟
r2 + 4
⎝m ⎠
(a) Determine a corrente total que flui através da
porção da superfície esférica r = 0,8 limitada por θ = 0,1π;
θ = 0,3π, 0 < f < 2π.
(b) Determine o valor médio de J sobre a área
definida.
Solução:
Região:
⎧
dS = r 2 senθdθdφ
G
⎪
S :⎨
dS = dSaˆ n = dSaˆ r
⎪0.1π ≤ θ ≤ 0.3π ;0 ≤ φ ≤ 2π ; r = 0.8
⎩
G G
I = ∫∫ J ⋅ dS
S
I = ∫∫
S
400 senθ
aˆ r ⋅ (r 2 senθdθdφ )aˆ r
2
r +4
I=
2 0.3π
2π
400r
sen 2θ dθ ∫ dφ
2
∫
r + 4 0.1π
0
0.3π
I=
2π
400r 2
1 − cos 2θ
dθ ∫ dφ
2
∫
2
r + 4 0.1π
0
40
2π
∫ senθ dθ ∫ dφ
0.1π
A = − r cos θ
2
0
0.3π
0.1π
φ 02π
A = −0.8 2 (cos[0.3π ] − cos[0.1π ])2π
A = 1.4602
G
77.423
Jm =
â r
1.4602
G
J m = 53.00â r
4. O catodo de um tubo de vácuo plano está
em z = 0. Seja E = -4,0.106 az V/m para z > 0. Um
elétron (e = 1,062.10-19 C, m = 9,11.10-31kg) é emitido
do catodo com velocidade inicial zero em t = 0.
(a) Determine v(t).
(b) Determine z(t), a localização do elétron como
função do tempo.
(c) Determine v (z).
(d) Suponha que elétrons são emitidos
continuamente como raios de luz com 0,25 mm de
raio e uma corrente total de 60 µA. Determine J(z) e
rv(z).
5. Seja:
G 25
J=
aˆ ρ −
ρ
20
⎛ A ⎞
aˆ z ⎜ 2 ⎟ e
ρ + 0.01 ⎝ m ⎠
2
(a) determine a corrente total que atravessa o
plano z = 0,2 na direção a- para r < 0,4.
(b) Calcule
∂ρ v
.
∂t
(c) Determine a corrente total que deixa a
superfície fechada definida por
r = 0,01, r = 0,4, z = 0 e z = 0,2.
(d) Mostre que o teorema da divergência é
satisfeito para J e a superfície escolhida.
θ = 0.3π
400r 2 ⎡θ sen2θ ⎤
I= 2
−
[φ ]φφ ==02π
4 ⎥⎦ θ =0.1π
r + 4 ⎢⎣ 2
I = 2π
400 ⋅ 0.8 2 ⎡ 0.3π sen(2 ⋅ 0.3π ) ⎛ 0.1π sen(2 ⋅ 0.1π ) ⎞⎤
−
−⎜
−
⎟⎥
⎢
4
4
0 .8 2 + 4 ⎣ 2
⎝ 2
⎠⎦
I = 77.423 A
Solução:
G 25
J=
aˆ ρ −
ρ
20
⎛ A ⎞
aˆ z ⎜ 2 ⎟
ρ + 0.01 ⎝ m ⎠
2
(b) Valor médio de J sobre a área definida.
40
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
Observando a figura:
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
41
(c) Corrente total que deixa a superfície
fechada definida por
r = 0,01, r = 0,4, z = 0 e z = 0,2.
As superfícies estão indicadas nas figuras a
seguir:
G
dS = ρdρdφaˆ z
G
dS1 = ρdφdzaˆ ρ
G
dS 2 = − ρdφdzaˆ ρ
S2
Assim: I =
S1
G G
J
∫∫ ⋅ dS
S
0.42π
I=
⎛ 25
∫ ∫ ⎜⎜⎝ ρ
0 0
aˆ ρ −
⎞
20
aˆ z ⎟⎟ ⋅ ρdφdρ aˆ z
ρ + 0.01 ⎠
2
2π
I = −20 ∫ dφ ∫
0
I = −20φφφ==02π
[ (
ρ
0.4
0
ρ 2 + 0.01
(
dS = ρdφdz
⎧
G 1
⎪
S1 : ⎨
dS1 = dSaˆ n = dSaˆ ρ
⎪0 ≤ z ≤ 0.2;0 ≤ φ ≤ 2π ; ρ = 0.01
⎩
dρ
)
ρ = 0.4
1
ln ρ 2 + 0.01 ρ =0
2
)
(
)]
1
I = −20(2π ) ln 0.4 2 + 0.01 − ln 0 2 + 0.01
2
I = −20π [ln 0.17 − ln(0.01)]
I = −20π ln 17
I = −178.02 A
(b)
dS 2 = ρdφdz
⎧
G
⎪
S2 : ⎨
dS 2 = dSaˆ n = − dSaˆ ρ
⎪0 ≤ z ≤ 0.2;0 ≤ φ ≤ 2π ; ρ = 0.4
⎩
G
dS 3 = ρdρdφaˆ z
G G
∂ρ v
= −∇ ⋅ J
∂t
G G 1 ∂ (ρJ ρ ) 1 ∂J φ ∂J z
+
∇⋅J =
+
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
25
− 20
; Jz = 2
Jρ =
ρ
ρ + 0.01
⎛ 25 ⎞
∂⎜⎜ ρ ⎟⎟
G G 1 ⎝ ρ ⎠ 1 ∂ (0) ∂ ⎛ − 20 ⎞
⎟
+
+ ⎜
∇⋅J =
ρ ∂ρ
ρ ∂φ ∂z ⎜⎝ ρ 2 + 0.01 ⎟⎠
G G 1 ∂ (25) 1
∇⋅J =
+ 0+0
ρ ∂ρ
ρ
G G
∂ρ v
=0
∇ ⋅ J = 0 . Portanto:
∂t
G
dS 4 = − ρdρdφaˆ z
dS = ρdρdφ
⎧
G 3
⎪
S3 : ⎨
dS 3 = dSaˆ n = dSaˆ z
⎪0.01 ≤ ρ ≤ 0.4;0 ≤ φ ≤ 2π ; z = 0.2
⎩
41
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
G G
G G
I = ∫∫ J ⋅ dS1 + ∫∫ J ⋅ dS 2
S1
S2
G G
G G
J
⋅
d
S
+
J
3
∫∫
∫∫ ⋅ dS 4
S3
2π 0.2
I=
S4
2π 0.2
25
∫ ∫ ρ ρdzdφ + ∫ ∫
0 0
0 0
2π 0.2
+
∫
0
− 25
− 20 ρ
∫0 ρ 2 + 0.01dρdφ +
2π 0.2
ρ
ρdzdφ
− (−20 ρ )
dρdφ
2
+ 0.01
∫∫ρ
0 0
Logo, I = 0
(d) Teorema da divergência é satisfeito para J pois
G G
∇ ⋅ J = 0 e I=0; portanto:
G G
G G
I = 0 = ∫∫ J ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ J dV = 0
S
V
6. Seja e = e0 e V = 90z4/3 na região z = 0.
(a) Obtenha expressões para E, D e rv, como
funções de z.
(b) Se a velocidade da densidade de carga é dada
por vx = 5.106z2/3 m/s, determine Jz em z = 0 e em z = 0,l m.
7. Considerando que não há transformação de
massa para energia ou vice-versa, é possível escrever uma
equação de continuidade de massa,
(a) Se usarmos a equação da continuidade de
carga como nosso modelo, que quantidades correspondem
a J e rv?
(b) Dado um cubo de l cm de lado, dados
experimentais mostram que as taxas pelas qual a massa
está deixando cada uma das seis faces são 10,25, -9,85,
1,75, -2,00, -4,05 e 4,45 mg/s. Se considerarmos que o
cubo é um elemento de volume incremental, determine um
valor aproximado para a taxa de variação da densidade em
seu centro.
Solução:
(a) Equação da continuidade:
G G
G G
∂Q
I = ∫∫ J ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ J dV = −
∂t
S
V
−
42
J :Densidade de fluxo de massa:
kg/(m2s)
rv :Densidade de massa:
kg/m3
dS 4 = ρdρdz
G
dS 4 = dSaˆ n = − dSaˆ z
⎧
⎪
S4 : ⎨
⎪0.01 ≤ ρ ≤ 0.4;0 ≤ φ ≤ 2π ; z = 0
⎩
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(b)
G G
∫∫ J ⋅ dS = 10.25 − 9.85 + 1.75 − 2 − 4.05 + 4.46
S
0.55
mg
s
∫∫∫ −
V
∂ρ
∂ρ v
dV ≅ v V = 0.55 mg s
∂t
∂t
∂ρ v 0.55 ⋅ 10 −3 g s
=
V
∂t
∂ρ v 0.55 ⋅ 10 −3 g s
=
∂t
(10 −2 m)3
∂ρ v
g
= 550 3
∂t
m s
8. A equação da continuidade da massa
relaciona a divergência da variação do fluxo de massa
(massa por segundo por metro quadrado) ao negativo
da densidade (massa por metro cúbico). Após
estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas
dentro de uma estrela, o Capitão Kirk e sua intrépida
tripulação fizeram medidas nas faces de um cubo
centrado na origem com 40 km de lado, paralelos aos
eixos coordenados. Eles encontraram a variação do
fluxo de massa do material para fora das seis faces
como sendo -1112, 1183,201, -196, 1989 e -1920
kg/km2-s.
(a) Estime a divergência da variação do
fluxo de massa na origem,
(b) Estime a variação da carga da densidade
na origem.
9. (a) Usando os dados tabulados no
Apêndice C, calcule o diâmetro necessário para um
fio de nicromo de 2 m de comprimento que dissipa
uma potência média de 450 W quando 120 Vrms em
60 Hz é aplicado a ele.
(b) Calcule a densidade de corrente rms no
fio.
Solução:
(a) Usando:
σ Ni = 0.1 ⋅ 10 7
S
m
∂ρ
∂Q
= ∫∫∫ − v dV
∂t
∂t
V
42
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
l
πD 2
σ
4
2
2
V
l
V
4l
4lP
=
⇔
=
⇒D=
R=
2
P σA
P σπD
πσV 2
P = RI 2 ⇔ R =
D=
43
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Solução:
l
⇔R=
σA
J
2 lP
2 2 ⋅ 450
=
= 2.82 ⋅ 10 − 4 m = 0.282mm
V πσ 120 π ⋅ 10 6
(b) Densidade de corrente rms no fio.
J=
I
P
=
=
A VA
J=
P
4P
=
2
VπD 2
πD
V
4
4 ⋅ 450
(
120π 2.82 ⋅ 10 − 4
J = 6.00 ⋅ 10
7
)
2
A
m2
2π L
G G
I = ∫∫ J ⋅ dS1 ⇒ 3 = ∫ ∫ J ρ ρdzdφ
0 0
S1
3 1
2πL ρ
G
G
3 aˆ ρ
1 G
J=
⇒E =
J
2πL ρ
σ
G
3 aˆ ρ V
( )
E=
2πσL ρ m
3 = J ρ ρ 2πL ⇒ J ρ =
10. Um fio de aço tem 2 mm de raio e
condutividade de 6 106 S/m. O fio de aço possui cobertura
de alumínio (s = 3,8 X IO7 S/m) de 2 mm de espessura.
Seja de 80 A de a corrente total conduzida por este
condutor híbrido. Determine:
(a) Jaço;
(b) JAl;
(c) Eaço
(d) EAl;
(e) a tensão entre as extremidades do condutor, se
ele tem l milha de comprimento.
11. Duas superfícies cilíndricas perfeitamente
condutoras estão localizadas r=3 e r=5 cm. A corrente
total que passa radialmente para fora pelo meio entre os
cilindros é 3 A dc.
(a) Determine a tensão e a resistência entre os
cilindros e E na região entre os cilindros, se um material
condutor com s = 0,05 S/m está presente em 3 < r < 5 cm.
(b) Mostre que a integração da potência dissipada
por unidade de volume sobre o volume fornece a potência
total dissipada.
f
∫
G
G
Diferença de potencial: U f − U i = − E ⋅ dl
i
ρ =5 cm
U f −Ui = −
∫
ρ
=3cm
3aˆ ρ
2πσρL
U f −Ui = −
⋅ (dρaˆ ρ + ρdφaˆφ + dzaˆ z )
3
ρ = 5 cm
2πσL ρ ∫
= 3cm
dρ
ρ
Como s = 0.05S/m
9.549
[ln ρ ]ρρ ==53
L
9.549
(ln 5 − ln 3)
U f −Ui = −
L
9.549 5
U f −Ui = −
ln
L
3
4.878
(V )
U f −Ui = −
L
U f −Ui = −
Resistência: R =
U 4.878
=
I
3L
43
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
R=
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
44
A = 0.14(2.54 ⋅ 10 −2 )
A = 0.903224 ⋅ 10 −4 m 2
1.625
(Ω )
L
2
(b) Potência
Queda de tensão:
1.625 2 14.625
P = RI =
3 =
(W )
L
L
2
12. As superfícies esféricas r = 3 e r = 5 cm são
condutores perfeitos e a corrente total que passa
radialmente para fora pelo meio entre as superfícies é 3 A
dc.
(a) Determine a tensão e a resistência entre as
esferas e E na região entre elas, se um material condutor
com s = 0,05 S/m está presente em 3 < r < 5 cm.
(b) Repita, se s = 0,0005/r para 3 < r < 5 cm.
(c) Mostre que a integração da potência dissipada
por unidade de volume do item b sobre o volume fornece a
potência total dissipada.
13. Um tubo cilíndrico oco com seção transversa
retangular possui dimensões externas de 0,5 in por l in e
uma espessura de 0,05 in. Suponha que o material é o latão,
para o qual s =1.5 107 S/m. Uma corrente de 200 A está
fluindo pelo tubo.
(a) Que queda de tensão está presente sobre o
comprimento de l m do tubo?
(b) Determine a queda de tensão se o interior do
tubo é preenchido com um material condutor para o qual
s= l ,5105 S/m.
Solução:
Visualizando o tubo cilíndrico oco com seção
retangular:
U = RI =
R=
l
I
σA
l
1
=
= 7.3890 ⋅ 10 − 4 Ω
7
σA 1.5 ⋅ 10 ⋅ 0.903224 ⋅ 10 − 4
U = RI =
1
200
1.5 ⋅ 10 ⋅ 0.903224 ⋅ 10 − 4
U = 0.147V
7
(b) Queda de tensão se o interior do tubo é
preenchido com um material condutor de:
s= l ,5105 S/m.
Ai = (0.5 − 2 ⋅ 0.05)(1 − 2 ⋅ 0.05) = 0.36in 2
(
)
2
Ai = 0.36 ⋅ 2.54 ⋅ 10 −2 = 2.3225 ⋅ 10 −4 m 2
l
1
Ri =
=
= 0.02870Ω
5
σA 1.5 ⋅ 10 ⋅ 2.3225 ⋅ 10 − 4
Teremos uma associação em paralelo.
Portanto:
Rp =
Ri R
Ri + R
0.02870 ⋅ 7.3890 ⋅ 10 −4
Rp =
= 7.20354 ⋅ 10 − 4 Ω
−4
0.02870 + 7.3890 ⋅ 10
U = R p I = 7.20354 ⋅ 10 −4 200 = 0.144V
14. Determine a magnitude da intensidade de
campo elétrico em um condutor se:
(a) a densidade de corrente é 5 MA/m2, a
mobilidade do elétron é 3 10-3 m2/Vs e a densidade
volumétrica de carga é rv=-2,4 1010 C/m3.
(b) J =3 MA/m2 e a resistividade é 3.10-8 Ω-m.
1 in
e =0.05in
0.5 in
Área da seção onde passa a corrente:
A = AM − Am
A = (0.5 ⋅ 1) − (0.5 − 2 ⋅ 0.05)(1 − 2 ⋅ 0.05)
A = 0.14in 2
15. Seja V = 10(r + l )z2 cosf V no espaço livre,
(a) Considere a superfície equipotencial V = 20
definindo uma superfície condutora. Determine a
equação da superfície condutora,
(b) Determine r e E no ponto da superfície
condutora onde f = 0,2π e z = 1,5.
(c) Determine |rs| naquele ponto.
Solução:
(a) V = 20 ⇔ 10 ( ρ + 1) z cos φ = 20
2
( ρ + 1) z 2 cos φ = 2
44
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
G
(b) E = −∇V = − ∂V aˆρ − 1 ∂V aˆφ − ∂V aˆ z
ρ ∂φ
∂ρ
∂z
(c) Admita que a superfície z = 0 é um condutor e
determine a carga total na porção do condutor
definida por 0 < x < 2, -3 < y < 0.
G
∂ ⎡10 ( ρ + 1) z 2 cos φ ⎤⎦
E = −∇V = − ⎣
aˆρ
∂ρ
−
Solução:
(a) D
2
1 ∂ ⎡⎣10 ( ρ + 1) z cos φ ⎤⎦
aˆφ
∂φ
ρ
∂ ⎡10 ( ρ + 1) z cos φ ⎤⎦
− ⎣
aˆz
∂z
G
1
E = −10 z 2 cos φ aˆρ + 10 ( ρ + 1) z 2 senφ aˆφ − 20 ( ρ + 1) z cos φ aˆz
( ρ + 1) z
ρ
cos φ = 2 ⇔ ( ρ + 1)1,52 cos ( 0, 2π ) = 2
2
− 1 ⇔ ρ = 0, 0987 m
1,5 cos ( 0, 2π )
ρ = 0, 0987m
G
2
E = −10 (1,5 ) cos ( 0, 2π ) aˆρ +
ρ=
G
⎛ 100 ⋅ 0( x + 4) − 100 x02 x
100 x ⎞⎟
aˆ z
D(z = 0 ) = −ε 0 ⎜
aˆ x + 2
2
2
⎜
+ 4 ⎟⎠
x
x +4
⎝
(
)
G
100 xε
D ( z = 0 ) = − 2 0 aˆ z
x +4
(b) Superfície z = 0
equipotencial.
Se z = 0 ï V = 0 = cte.
G
ρ s = ε 0 EP
2
)
2
G
G
(c) ρ s = DN = DP = ε 0 EP
2
G
∂ 100 xz ⎞
⎛ ∂ 100 xz
aˆ z ⎟
aˆ x + 0aˆ y +
D = −ε 0 ⎜
2
∂z x 2 + 4 ⎠
⎝ ∂x x + 4
(
1
10 ( 0,0987 + 1)1,52 sen ( 0, 2π ) aˆφ −
0,0987
20 ( 0,0987 + 1)1,5cos ( 0, 2π ) aˆz
G
E = −18, 20aˆρ + 147, 219aˆφ − 26,666aˆz
( −18, 20 ) + (147, 219 ) + ( −26, 66 )
G
⎛ ∂V
∂V
∂V ⎞
D = −ε 0 ⎜⎜
aˆ x +
aˆ y +
aˆ z ⎟
∂y
∂z ⎟⎠
⎝ ∂x
⎛ 100 z ( x 2 + 4) − 100 xz 2 x
⎞
G
100 x
⎟
ˆ
ˆ
+
D = −ε 0 ⎜
a
a
x
z
2
2
2
⎜
⎟
+
x
4
x +4
⎝
⎠
2
ρ s = 8,854 ⋅10−12
G
G
D = −ε 0∇V
Como:
2
2
45
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
2
ρ s = 1,334 ⋅10−9
ρ s = 1,334 ⋅ nC
m2
16. Um campo potencial no espaço livre é dado por V =
(80 cos qsenf)/r3 V. O ponto P(r =2, q =π/3, f= π/2)
pertence à superfície condutora,
(a) Escreva a equação da superfície condutora,
(b) Determine uma normal unitária dirigida para fora da
superfície, considerando que a origem está dentro da
superfície,
(c) Determine E em P.
100 xz
V no
17. Dado o campo potencial V = 2
x +4
espaço livre:
(a) determine D na superfície z = 0.
(b) Mostre que a superfície z = 0 é uma superfície
equipotencial.
é
uma
superfície
(c) Admita que a superfície z = 0 é um condutor e
a carga total na porção do condutor definida por:
0 < x < 2, -3 < y < 0.
Q = ∫∫∫ ρ v dV
v
G G
ρv = ∇ ⋅ D
ρv =
∂D x ∂D y ∂D z
+
+
∂y
∂z
∂x
Dx = −ε 0
Dz = −ε 0
ρv =
400 z − 100 x 2 z
(x
2
+4
)
2
100 x
x2 + 4
400 z − 100 x 2 z ⎞⎟
∂ ⎛⎜
−ε0
∂x ⎜⎝
(x 2 + 4)2 ⎟⎠
45
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
ρ v = −ε 0
ρ v = −ε 0
(
− 200 xz − (400 z − 100 x 2 z )2 ⋅ 2 x x 2 + 4
(x
2
+4
)
(
(x
+4
)
2 ⋅ 22 ⋅ 1 − z =
)
4
z=
18.Vamos considerar o campo
K
E = 3 y 2 z 3 aˆ x + 6 xyz 3 aˆ y + 9 xy 2 z 2 aˆ z V m
no espaço livre e também que o ponto P(2, l, 0) pertence a
uma superfície condutora.
(a) Determine rv, adjacente à superfície em P.
(a) Determine rS, em P
(c) Mostre que V = -3xy2z3 V.
(d) Determine VPQ dado Q(l, l, l).
19. Seja V = 20 x2yz – 10z2 V no espaço livre.
(a) Determine as equações das superfícies
eqüipotenciais nas quais V = 0 e 60 V,
(b) Suponha que estas são superfícies condutoras e
determine a densidade superficial de carga no ponto da
superfície V =• 60 V onde x = 2 e y = 1. É sabido que 0 < V
< 60 V é a região que contém o campo.
(c) Dê um vetor unitário no ponto que seja normal
à superfície condutora e dirigida para fora da superfície V
= 0V.
Solução:
(a) Equações das superfícies eqüipotenciais nas
quais:
V = 0V
20 x 2 yz − 10 z 2 = 0 ⇒ z = 2 x 2 y
V =60 V,
20 x 2 yz − 10 z 2 = 60 ⇒ 2 x 2 y − z =
6
z
(b) Densidade superficial de carga no ponto da
superfície V =• 60 V onde x = 2 e y = 1.
A densidade superficial de carga é dada por:
ρ s = DN
46
Para o ponto P(2,1,z):
4
− 200 xz − (400 z − 100 x 2 z ) 4 x 3 + 16 x
2
)
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
6
⇔ z 2 − 8z + 6 = 0
z
⎧ z = 4 + 10 ≅ 7.162
8 ± 40
⇒⎨ 1
2
⎩ z2 = 4 − 10 ≅ 0.8377
G
⎛ 40 ⋅ 2 ⋅1⋅ 0.8377aˆx +
⎞
D(2,1,0.8377) = −ε0 ⎜
⎜ 20 ⋅ 22 ⋅ 0.8377aˆ + (20 ⋅ 22 ⋅1− 20 ⋅ 0.8377aˆ ⎟⎟
y
z⎠
⎝
G
D ( 2,1,0.8377 ) = −ε 0 (67 .016 aˆ x + 67 .016 aˆ y + 63 .246 aˆ z )
G
D ( 2,1,0.8377 ) = ε 0 67 .016 2 + 67 .016 2 + 63 .246 2
G
D ( 2,1,0.8377 ) = ε 0 113 .9400
G
D ( 2,1,0.8377 ) = 1.008 nC m 2
ρ s = DN
ρ s = 1.008 mnC
2
(c) Vetor unitário no ponto que seja normal à
superfície condutora e dirigida para fora da superfície
V = 0V.
G
− ∇V
nˆ = G
∇V
20. Um plano condutor está situado em z = 0
no espaço livre e uma carga pontual de 20 nC está
presente em Q (2, 4, 6).
(a) Se V =0 em z = 0 determine r em P(5, 3,
l).
(b) Determine E em P.
(c) Determine rS em A(5, 3, 0).
21. Considere a superfície y = 0 um condutor
perfeito no espaço livre. Duas linhas de cargas
uniformes infinitas de 30 nC/m cada estão localizadas
em .x = 0, y = 1 e x = 0 e y = 2.
(a) Seja V = 0 no plano y = 0 e determine V
em P( l, 2, 0).
(b) Determine E em P.
G
G
D = −ε 0∇V
∂
⎛ ∂
⎞
20 x 2 yz − 10 z 2 aˆ x +
20 x 2 yz − 10 z 2 aˆ y ⎟
⎜
G
∂
∂
x
y
⎟
D = −ε 0 ⎜
⎜ ∂
⎟
2
2
20 x yz − 10 z aˆ z
⎜+
⎟
⎝ ∂z
⎠
(
(
)
(
)
)
G
D = −ε 0 40 xyz aˆ x + 20 x 2 zaˆ y + ( 20 x 2 y − 20 zaˆ z
(
Como: 20 x yz − 10 z = 60 ⇒ 2 x y − z =
2
2
2
)
6
z
46
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
(1)
(2)
rs=+30nC/m
Calculando no ponto P(1, 2, 0) os campos,
teremos:
z
(0,-2,0)
-2
V=0V
G
1 ⎞
ρ ⎛1
E1 = L ⎜ aˆ x + aˆ y ⎟
2πε 0 ⎝ 2
2 ⎠
(0, -1, 0)
-1
(0, 1, 0)
0
1
G
ρ
E2 = L (1aˆ x + 0aˆ y )
2πε 0
(0, 2, 0)
2
y
G
4 ⎞
− ρL ⎛ 1
E3 =
⎜ aˆ x + aˆ y ⎟
2πε 0 ⎝ 17
17 ⎠
G
− ρL ⎛ 1
3 ⎞
E4 =
⎜ aˆ x + aˆ y ⎟
2πε 0 ⎝ 10
10 ⎠
G
G G
G
G
ER P = E1 + E2 + E3 + E4
P(x, y,0)
P(1,2,0)
y=0
x
Cálculo do Campo elétrico de um fio:
™
G
ρ aˆ
E= L ρ
2πε 0 ρ
•
Fio (1):
G
1
1⎞
4 3⎞ ⎤
ρ ⎡⎛ 1
⎛1
ERP = L ⎢⎜ + 1 − − ⎟aˆ x + ⎜ + 0 − − ⎟aˆ y ⎥
2πε 0 ⎣⎝ 2
17 10 ⎠
2
17
10 ⎠ ⎦
⎝
G
ρ ⎡⎛ 170 + 340 − 20 − 34 ⎞
⎛ 170 − 80 − 102 ⎞ ⎤
E R = L ⎢⎜
⎟aˆ x + ⎜
⎟aˆ y ⎥
2πε 0 ⎣⎝
340
340
⎠
⎝
⎠ ⎦
G
ρ ⎡⎛ 456 ⎞
⎛ 12 ⎞ ⎤
ER = L ⎢⎜
⎟aˆ x − ⎜
⎟aˆ y ⎥
2πε 0 ⎣⎝ 340 ⎠
⎝ 340 ⎠ ⎦
P
aˆ ρ = xaˆ x + ( y − 1)aˆ y
ρ = x 2 + ( y − 1) 2
G
⎞
x
y −1
ρ ⎛
E1 = L ⎜⎜ 2
aˆ + 2
aˆ ⎟
2 x
2 y⎟
2πε 0 ⎝ x + ( y − 1)
x + ( y − 1)
⎠
•
Fio (2):
aˆ ρ = xaˆ x + ( y − 2)aˆ y
P
G
⎡⎛ 456 ⎞
⎛ 12 ⎞ ⎤
E RP = 2 ⋅ 30n ⋅ 9 ⋅ 109 ⎢⎜
⎟aˆ x − ⎜
⎟aˆ y ⎥
340
⎠
⎝ 340 ⎠ ⎦
⎣⎝
G
ERP = 724.23aˆ x − 19.05aˆ y (Vm )
™ Potencial:
G
ρ (r ′)dL′
V (r ) = ∫ L G G
4πε 0 r − r ′
L′
ρ = x 2 + ( y − 2) 2
G
⎞
ρ ⎛
x
y−2
E2 = L ⎜⎜ 2
aˆ + 2
aˆ ⎟
2 x
2 y⎟
2πε 0 ⎝ x + ( y − 2 )
x + ( y − 2)
⎠
• Fio (3): (imagem do fio (2))
Ou
G G
V f − Vi = − ∫ E ⋅ dl
Pf
aˆ ρ = xaˆ x + ( y + 2)aˆ y
ρ = x 2 + ( y + 2) 2
G
⎞
y+2
− ρL ⎛
x
⎜⎜ 2
aˆ ⎟
aˆ + 2
E3 =
2 x
2 y⎟
2πε 0 ⎝ x + ( y + 2 )
x + ( y + 2)
⎠
•
47
G
⎞
− ρL ⎛
x
y +1
⎜⎜ 2
E4 =
aˆ + 2
aˆ ⎟
2 x
2 y⎟
2πε 0 ⎝ x + ( y + 1)
x + ( y + 1)
⎠
Solução:
(a,b) V = 0 em y = 0 e V e E em P( l, 2, 0).
Método das imagens:
(imagens dos fios (1) e (2))
Fios (3)
(4)
rs=-30nC/m
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Pi
™ Fio (1):
G G
V f1 − Vi1 = − ∫ E1 ⋅ dl
Pf
Pi
Fio (4): (imagem do fio (1))
aˆ ρ = xaˆ x + ( y + 1)aˆ y
ρ = x 2 + ( y + 1) 2
47
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
V f1 − Vi1 = −
( y − 1)dy ⎞⎟
ρ L ⎛⎜
xdx
+
2
2
∫ 2
⎟
2πε 0 ⎜⎝ P∫ x 2 + ( y − 1)
P x + ( y − 1) ⎠
(
(
Pf
Pf
i
i
ρL 1
2
2
2
2
1
2 ln x + ( y − 1) + 2 ln x + ( y − 1)
2πε 0
ρ
2 P
V f − Vi = − L ln x 2 + ( y − 1)
P
2πε 0
V f1 − Vi1 = −
1
1
)
)
Pi
f
Fazendo o mesmo tipo de cálculo para os fios (2),
(3) e (4) teremos:
G
G
V f 2 − Vi2 = − ∫ E2 ⋅ dl
Pf
(
ρL
2
ln x 2 + ( y − 2 )
2πε 0
22. Considere o plano x = 0 um condutor
perfeito no espaço livre. Situe uma carga pontual de 4
nC em P1(7, l, 2) e uma carga pontual de -3nC em
P2(4, 2, l).
(a) Determine E em P(5, 0, 0).
(b) Determinei |rS| em B(0, 0, 0).
23. Um dipolo com p = 0.1 az µCm está
localizado em A(l, 0, 0) no espaço livre e o plano.x =
0 é um condutor perfeito.
(a) Determine V em P(2, 0, l).
(b) Determine a equação da superfície
equipotencial de 200 V em coordenadas cartesianas.
™ Fio (2):
V f 2 − Vi2 = −
⎛ 2 ⎞
V f = −2 ⋅ 30n ⋅ 9 ⋅ 109 ln⎜
⎟
⎝ 170 ⎠
V f = 2,399kV
Pf
i
Pi
48
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
)
Pf
Pi
Solução:
™ Fio (3):
Pi
V f3 − Vi3 =
A´(-1, 0, 0)
(
ρL
2
ln x 2 + ( y + 2 )
2πε 0
)
Pf
2
Pi
Potencial de um dipolo:
G
G
V f 4 − Vi4 = − ∫ E4 ⋅ dl
Pf
(
(
ρ
2
V f − Vi = L ln x 2 + ( y + 1)
2πε 0
ρ
2
V f − 0 = − L ln x 2 + ( y − 1)
2πε 0
ρ
2 P
− L ln x 2 + ( y − 2 )
P
2πε 0
ρ
2 P
+ L ln x 2 + ( y + 2 )
P
2πε 0
ρ
2 P
+ L ln x 2 + ( y + 1)
P
2πε 0
4
4
(
(
(
)
)
)
Pf
G G
G r − r′
1
Vd =
G G 2 p ⋅ rG − rG′
4πε 0 r − r ′
Pi
(a) Potencial em P(2,0,1)
)
)
G
r ′ = aˆ x
G
r = 2aˆ x + aˆ z
G G
r − r ′ = aˆ x + aˆ z
G G
r − r′ = 2
Pf
Pi
f
i
f
Vd =
i
f
i
Como Pf(1, 2, 0) e Pi(x, 0, 0):
Vf − 0 = −
(
ρL
(ln 2 + ln 1 − ln 17 − ln 10 )
2πε 0
ρ
− − L ln x 2 + 1 + ln x 2 + 4 − ln x 2 + 4 − ln x 2 + 1
2πε 0
Vf = −
ρL
2πε 0
⎛ 2 ⎞
ln⎜
⎟
⎝ 170 ⎠
y
x=0
A(1,0,0)
x
™ Fio (4):
Pi
imagem
z
G G
V f 3 − Vi3 = − ∫ E3 ⋅ dl
Pf
)
1
0.1µaˆ z ⋅
4πε 0 2
1
Vd =
0.1µ
4πε 0 2 2
(aˆ x + aˆ z )
2
Potencial da imagem do dipolo:
p = −0.1µaˆ z
G G
G r − r′
1
Vi =
G G 2 p ⋅ rG − rG′
4πε 0 r − r ′
G
r ′ = −aˆ x
48
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
G
r = 2aˆ x + aˆ z
G G
r − r ′ = 3aˆ x + aˆ z
G G
r − r ′ = 10
Vi =
4πε 010
− 1 0.1µ
Vi =
4πε 010 10
25. As concentrações de elétrons e lacunas
aumentam com .a temperatura. Para o silício puro.
expressões
adequadas
são
10
ρ h = − ρ e = 6200T 1.5e −7000 / T C/m3.
0.1µ ⎛ 1
1 ⎞
V = Vd + Vi =
−
⎜
⎟=
4πε 0 ⎝ 2 2 10 10 ⎠
V = 289.73V
(b) Equipotenciais:
G
r = xaˆ x + yaˆ y + zaˆ z
•
•
(
µe = 2,1 ⋅ 105 T −2,5 m 2 Vs
Determine s em:
(a) 0°C.
(b) 40°C.
(c) 80°C.
(a) 0°C. T = 273 + θ ⇒ T = 273K
σ = 6200 ⋅10 5 e −7000 / 273 (2,3 ⋅ 273−1, 2 + 2,1 ⋅ 273 −1 )
σ = 4,73 ⋅10 −5 mS
(b) 40°C. T = 273 + 40 ⇒ T = 313K
σ = 6200 ⋅ 10 5 e −7000 / 313 (2,3 ⋅ 313−1, 2 + 2,1 ⋅ 313−1 )
σ = 1,0859 ⋅10 −3 mS
(c) 80°C. T = 273 + 80 ⇒ T = 353K
σ = 6200 ⋅ 10 5 e −7000 / 353 (2,3 ⋅ 353−1, 2 + 2,1 ⋅ 353−1 )
σ = 1,2 ⋅10 −2 mS
26. Uma pequena impureza doadora, como o
arsênio.é adicionada ao silício puro de forma que a
concentração dos elétrons é 2.1017 elétrons
condutores por metro cúbico, enquanto o número de
lacunas por metro cúbico é somente 1,1.1015. Se me
=0,15 m2/Vs para esta amostra e ml = 0.045 m2/Vs.
determine a condutividade e a resistividade.
)
32
Vd + Vi = 200
0.1µz ⎡
1
⎢
4πε 0 ⎢⎣ ( x − 1) 2 + y 2 + z 2
)
e
µ h = 2,3 ⋅ 105 T −2,7 m 2 Vs
σ = µ h ρ h − µe ρ e
Para a imagem do dipolo:
p = −0.1µaˆ z
− 0.1µ
z
Vd =
4πε 0 ( x + 1) 2 + y 2 + z 2
(
temperatura é dada por
σ = 2,3 ⋅ 105 T −2, 7 6200T 1.5e −7000 / T + 2,1 ⋅ 105 T −2,5 6200T 1.5e −7000 / T
σ = 6200 ⋅10 5 e −7000 / T (2,3T −1, 2 + 2,1T −1 )
G
r ′ = −aˆ x
G G
r − r ′ = ( x + 1)aˆ x + yaˆ y + zaˆ z
G G
r − r ′ = ( x + 1) 2 + y 2 + z 2
G G
G r − r′
1
Vi =
G G 2 p ⋅ rG − rG′
4πε 0 r − r ′
32
dependência funcional das mobilidades com a
Solução:
p = 0.1µaˆ z
z
0.1µ
Vd =
2
4πε 0 (( x − 1) + y 2 + z 2 )3 2
⎡
z
⎢
2
2
2
⎣⎢ ( x − 1) + y + z
A
Para o dipolo:
G
r ′ = aˆ x
G G
r − r ′ = ( x − 1)aˆ x + yaˆ y + zaˆ z
G G
r − r ′ = ( x − 1) 2 + y 2 + z 2
G G
G r − r′
1
⋅
Vd =
p
G G
G G2
r − r′
4πε 0 r − r ′
(
49
24.• As mobilidades para o silício puro em
uma certa temperatura são µe = 0,14 m2Vs e ml
=0,035 m2Vs. A concentração de elétrons e lacunas é
2,2.1016m-3. Determine a condutividade e a
resistividade para esta amostra de silício.
(− 0.1µaˆ z ) ⋅ (3aˆ x + aˆ z )
1
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
)
−
32
−
(( x + 1)
(( x + 1)
1
2
+ y2 + z
z
2
+ y2 + z
)
2 32
)
2 32
⎤
⎥ = 200
⎥⎦
27. O hidrogênio contém 5,5.1025 átomos/m3
numa certa temperatura e pressão. Quando um campo
elétrico de 4 kV/m e aplicado, cada dipolo formado
pelos elétrons e pelo núcleo positivo possui um
comprimento efetivo de 7,1 10-19 m. Determine:
(a) P.
(b) eR.
⎤
⎥ = 0.222
⎦⎥
49
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
(b) eR.
G
G
P = χ eε 0 E
ε R = χe + 1 ⇔ χe = ε R − 1
G
G
P
P = (ε R − 1)ε 0 E ⇔ ε R = 1 +
ε0E
6,25 ⋅ 10−12
⇔ ε R = 1,00076
8,85 ⋅ 10−12 4 ⋅ 103
28. Em certa região onde a permissividade relativa é
G
2
2,4, D = 2aˆ x − 4aˆ y + 5aˆ z (nC m )
Determine:
(a) E.
(b) P.
(c) |“V|.
29. Um condutor coaxial tem raios a = 0,8mm e b = 3
mm e um dielétrico de poliestireno para o qual eR = 2,56.
G
2
ρ
aˆ ρ nC m 2 no dielétrico determine:
(a) D e E como funções de r.
(b) Vab e ce.
(c) Se há 4.1019 moléculas por metro cúbico no
dielétrico, determine p(r).
Solução:
(a) D e E como funções de r.
G
E=
G
1
P
(ε R − 1)ε 0
G
1
2
E=
aˆ
−12
(2,56 − 1)8,85 ⋅10 ρ ρ
G 144,86
E=
aˆ ρ mC2
ρ
G
G
D = εE
G
G
D = ε 0ε R E
G 3,28
D=
aˆ ρ
ρ
G G
Vab = Va − Vb = − ∫ E ⋅ dl
a
G
G n G
1 n∆v G
p
P = lim ∑ pi ⇔ P =
∆v→0 ∆v
∆v
i =1
n
ed ⇔ P = 5,5 ⋅ 10251,6 ⋅ 10−19 ⋅ 7,1 ⋅ 10−19
P=
∆v
P = 6,248 ⋅ 10−12 C m 2 ⇔ P = 6,248 pC m 2
Se P =
50
(b) Vab e ce.
Solução:
(a) P.
εR = 1+
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
( )
b
a
Vab = − ∫
144,86
b
ρ
dρ
ρ =a
Vab = −144,86 ln ρ ρ = b = −144,86 ln ba = 144,86 ln ba
Vab = 144,86 ln 03,8 = 191,46V
(c) Se há 4.1019 moléculas por metro cúbico no
dielétrico, determine p(r).
G n G
G ∆v G
1 G
P=
P
p⇔ p=
P=
∆v
n
n ∆v
G
G
1 G
1 2 ⋅ 10−9
p=
P⇒ p=
aˆ ρ
4 ⋅ 1019 ρ
n ∆v
G 5 ⋅ 10 −29
p=
aˆ ρ (Cm )
ρ
30. Dado o campo potencial V = 200 – 50x +20y
V em um material dielétrico para o qual eR = 2,1,
determine:
(a) E.
(b) D.
(c) P.
(d) rv.
(e) rb.
(f) rT.
31. A superfície x= 0 separa dois dielétricos
perfeitos. Para x > G0 seja eR = eR1 = 3 enquanto eR2 = 5,
ˆ
ˆ
ˆ
onde x < 0. Se E = 80a x − 60a y − 30a z (V m ) ,
determine:
(a) EN1.
(b) Et1.
(c) E1.
(d) E1.
(e) o ângulo q1 entre E e a normal a superfície.
(f) DN2.
(g) Dt2.
(h) D2.
(i) P2.
(j) o ângulo q2 entre E2 e a normal à superfície.
Solução:
( )
nC
m2
(a) EGN1.
EN1 = 80aˆ x (V m )
50
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
G
E N1 = 80aˆ x (V m )
(b) EGt1.
Et1 = −60aˆ y − 30aˆ z (V m )
G
Et1 =
(− 60)2 + (− 30)2
= 67,08(V m )
G
2
2
E1 = 80 2 + (− 60 ) + (− 30 ) = 104,4(V m )
(e) o ângulo q1 entre E e a normal a superfície.
θ1 = arccos
E N1
E1
80
θ1 = arccos
= 400
104,4
DN 2 = ε1E N1 = ε R1 ε 0 E N1 = 3 ⋅ 8,85 ⋅ 10 80
−12
DN 2 = 2,12
( )
nC
m2
)
)
ε2
G
G
D2
P2 = ε R2 − 1 ε 0
(
G (ε
P =
R2
) ε
− 1) G
D
εR
R2
ε0
2
2
G (5 − 1)
P2 =
(2,12aˆ x − 2,66aˆ y − 1,33aˆ z )
5
G
P2 = 1,69aˆ x − 2,13aˆ y − 1,06aˆ z mnC2
ε
ε
= 1 = R
ε2 εR
ε
= R Dt
εR
= ε1Et ⇔ Dt = ε R ε 0 Et
ε
= R ε R ε 0 Et ⇒ Dt = ε R ε 0 Et
εR
(j) o ângulo q2 entre E2 e a normal à superfície.
θ 2 = arccos
(g) Dt2.
Dt 2
(
(
( )
DN 2 = DN1 = ε1EN1 = ε R1 ε 0 EN1
Dt 2
G
G
P2 = ε R2 − 1 ε 0 E2
G
G
D2
P2 = ε R2 − 1 ε 0
2
(f) DN2.
( )
( )
(i) P2.
(d) E1.
Dt1
G
Dt 2 = 5 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 (− 60aˆ y − 30aˆ z )
G
Dt 2 = −2,655aˆ y − 1,3275aˆ z mnC2
G
G
DN 2 = DN1 = 2,12aˆ x mnC2
G
G
G
D2 = Dt 2 + DN 2
G
D2 = 2,12aˆ x − 2,655aˆ y − 1,3275aˆ z mnC2
( )
(c) Et1.
51
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
1
θ 2 = arccos
2
EN 2
E2
DN 2
D2
G
D2 = 2,12 2 + (−2,655) 2 + (−1,3275) 2 = 3,65
2
1
( )
1
Dt1
Dt 2
1
1
1
1
θ 2 = arccos
2
1
1
2
2
2,12
= 54,60
3,65
1
1
Dt 2 = ε R2 ε 0 Et1 = 5 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 ⋅ 67,08
Dt 2 = 2,97
( )
nC
m2
32.
G Na Figura 5.18 seja
(h) D2.
G
G
G
D2 = Dt 2 + DN 2
G
G
G
G
Dt1 = ε1Et1 ⇒ Dt1 = ε R1 ε 0 Et1
G
G
G
ε G
ε
Dt 2 = R2 Dt1 ⇔ Dt 2 = R2 ε 0ε R1 Et1
εR
1
G
G
Dt 2 = ε R2 ε 0 Et1
εR
1
(
)
D1 = 3aˆ x − 4aˆ y + 5aˆ z nC m 2 e determine:
(a) D2;
(b) DN2.
(c) Dt2.
(d) A densidade de energia em cada região.
(e) o ângulo que D2 faz com az.
(f) D2/D1.
(g) P2/P1.
51
nC
m2
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
33. Dois dielétricos perfeitos têm permissividades
relativas eR1 = 2 e eR2 = 8. A interface planar entre eles e a
superfície
x – y+ 2z = 5. A origem esta situadaG na região l.
G
E
=
aˆ x + 200aˆ y − 50aˆ z (V m ) determine E2 .
100
1
Se
G
Et1 = 100aˆ x + 200aˆ y − 50aˆ z − (− 33.324aˆ x + 33,324aˆ y − 66,648aˆ z )
G
Et1 = 133,324aˆx +166,676aˆ y +16,648aˆz
•
Solução:
Vetor normal ao plano: x −
nˆ =
52
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Campo En2:
G
G
G
ε1En = ε 2 En ⇔ En =
y + 2z = 5
1
1
1
2
aˆ x −
aˆ y +
aˆ z
6
6
6
2
2
ε1 G
E
ε2 n
1
G
ε G
En2 = R1 En1
εR
2
G
2
En2 = (− 33.324aˆ x + 33,324aˆ y − 66,648aˆ z )
8
G
En2 = −8,331aˆ x + 8,331aˆ y − 16,662aˆ z ( Vm )
n
q E
• Campo Et2:
Da condição de contorno:
G
G
Et1 = Et 2
G
Et2 = 133,324aˆx +166,676aˆ y +16,648aˆz (Vm )
•
Ângulo entre o vetor n e E1:
G
E1 ⋅ nˆ
cosθ = G
E1 ⋅ nˆ
G
2
200
1
−1
E1 ⋅ nˆ = 100
+ 200
− 50
=−
6
6
6
6
G
2
2
2
V
E1 = 100 + 200 + (−50) = 229,128 m
200
6 = −0,3563
cosθ =
229,128
θ = arccos(−0,3563) = 110,87 0
−
•
Cálculo do vetor Campo elétrico normal no meio
1:
G
G
En1 = E1 cosθnˆ
G
1
2
⎛ 1
⎞
En1 = 229,128 cos110,870 ⎜
aˆ x −
aˆ y +
aˆ z ⎟
6
6 ⎠
⎝ 6
G
En1 = −33.324aˆ x + 33,324aˆ y − 66,648aˆ z
•
Campo E2:
G
G
G
E2 = En2 + Et 2
G
E2 = −8,331aˆ x + 8,331aˆ y − 16,662aˆ z +
133,324aˆx +166,676aˆ y +16,648aˆz
G
E2 = 124,99aˆ x + 175aˆ y (Vm )
34. Considere as superfícies esféricas; r = 4 cm
e r = 9 cm separadas por duas cascas dielétricas. eR1 =
2 para
4 ¸r < 6 cm e eR2 = 5. 2 para 6 < r < 9 cm.
G 2000
Se E1 = 2 aˆ r (V m ) determine:
r
(a) E2.
(b) A energia eletrostática total armazenada em
cada região.
35. Considere as duas superfícies cilíndricas r =
4 cm e r = 9 envolvendo duas cunhas de dielétricos
perfeitos eR1G = 2 para 0 < f < π/2 e eR2 = 5 para π/2 <
2000
aˆ (V m ) , determine:
f < 2π. Se E1 =
ρ ρ
(a) E2;
(b) a energia eletrostática total armazenada em l
m de comprimento cm cada região.
Cálculo do vetor Campo elétrico tangencial no
meio 1:
G
G
G
E1 = En1 + Et1
G
G G
Et1 = E1 − En1
52
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
53
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G G 9 2000
9
V1 = − ∫ E1 ⋅ dl = ∫
dρ = 2000 ln
ρ
4
9
4
4
Solução:
(a) E2;
Superfícies cilíndricas: r = 4 cm e r = 9
WE1 = 12 Q1V1 = 12 1000ε 0ε R1 π 2000 ln
WE1 = ε 0ε R1 106 π ln
9
4
9
4
WE1 = 8,85 ⋅10−12 2106 π ln
9
4
WE1 = 4,509 ⋅ 10 −5 J
WE1 = 45,09µJ
WE 2 = 12 Q2V2
G
G
Q2 = ε 2 ∫∫ E2 ⋅ dS
Cunhas de dielétricos:
eR1 = 2 para 0 < f < π/2 e
eR2 = 5 para π/2 < f < 2π.
s
1 2π
Q2 = ε 0ε R2 ∫ ∫
0
2000
ρ
π
2
aˆ ρ ⋅ ρdφdzaˆ ρ
1
2π
0
π
Q2 = 2000ε 0ε R2 ∫ dz ∫ dφ
2
π⎞
⎛
Q2 = 2000ε 0ε R2 ⎜ 2π − ⎟
2⎠
⎝
3π
Q2 = 2000ε 0ε R2
2
G 2000
E1 =
aˆ ρ (V m )
4
G 9 2000
G
9
V2 = − ∫ E2 ⋅ dl = ∫
dρ = 2000 ln
4
ρ
9
4
ρ
•
Campo Et2:
G
G
Et1 = Et 2
WE 2 = 12 Q2V2 = 12 2000ε 0ε R2
G
2000
E2 =
aˆ ρ
WE2 = ε 0ε R2 1063π ln
ρ
(b) WE1 = Q1V1
1
2
G G
Q1 = ε 1 ∫∫ E1 ⋅ dS
π
2
Q1 = ε 0ε R1 ∫ ∫
0 0
2000
ρ
1
Q1 = 1000ε 0ε R1 π
WE 2 = 8,85 ⋅ 10−1251063π ln
9
4
WE 2 = 338,1955µJ
aˆ ρ ⋅ ρdφdzaˆ ρ
π
2
Q1 = 2000ε 0ε R1 ∫ dz ∫ dφ
0
9
4
WE 2 = 3,381955 ⋅ 10 −4 J
s
1
9
3π
2000 ln
4
2
0
36. Considere .S = 120 cm2, d= 4 mm e eR = 12
para um capacitor de placas paralelas.
(a) Calcule a capacitância.
(b) Após ter-se conectado uma bateria de 40 V
ao capacitor, determine E. R. Q e a energia
eletrostática total armazenada.
53
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
(c) A fonte é agora retirada e o dielétrico
cuidadosamente removido de entre as placas. Calcule
novamente E. D. Q e a energia.
(d) Qual é a tensão entre as placas?
37. Capacitores tendem a ser mais caros à medida que
sua capacitância e tensão máxima Vmax aumentam. A tensão
Vmax é limitada pela intensidade do campo no qual o
dielétrico se rompe, EBD* Qual destes dielétricos irá possuir
o maior produto CVmax para áreas de placas iguais:
(a) ar: eR = 1, EBD= 3 MV/m;
(b) titanato de bário: eR = 1200, EBD= 3 MV/m;
(c) dióxido de silício: eR = 3.78, EBD= 16 MV/m;
(d) polietileno: eR = 2,26, EBD= 4.7 MV/m.
Solução:
39. Um capacitor de placas paralelas é
preenchido com um dielétrico não-uniforme
caracterizado por eR = 2 + 2.106x2, onde x é a
distancia a uma das placas. Se .S = 0,02 m2 e d = l
mm. determine C.
Solução:
C=
ρs
dydz
ε 0ε R
0 0
C=
0
ρ
− ∫ s dx
εε
1 0 R
ρs S
C = 10
ρs
− ∫
dx
ε 0 (2 + 2 ⋅ 106 x 2 )
0
2ε 0 S
1 0 , 02
ε Rε 0 ∫
C = 10 −3
∫
0
6
CV = 2,26 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 4,7 ⋅ 106 S
CV = 9,4 ⋅ 10−5 S
Logo, o maior CV é do titanato de bário.
38. Um cilindro circular dielétrico usado entre as
placas de um capacitor tem espessura de 0,2 mm e raio de
l,4 cm. As propriedades são eR == 400 e s = 10-5 S/m.
(a) Calcule C.
(b) Determine o fator de qualidade Q(Q =ωRC) do
capacitor em 10 kHz.
∫
−3
CV = ε Rε 0 ES
CV = ε Rε 0 ES
G G
− ∫ E ⋅ dl
S = 0,02m 2 ⇔ d = 1mm = 10−3 m
CV = ε Rε 0 ES
(d) polietileno: eR = 2,26, EBD= 4.7 MV/m.
s
+
ε
(b) titanato de bário: eR = 1200, EBD= 3 MV/m;
CV = 3,78 ⋅ 8,85 ⋅ 10 16 ⋅ 10 S
CV = 5,352 ⋅ 10−4 S
Q
ñC =
V0
G
G
G ρ
E = S aˆ z ñ dS = dxdyaˆ z
Q = ε Rε 0 ES = 1 ⋅ 8,85 ⋅ 10−123 ⋅ 106 S
S
S
Q = 2,655 ⋅ 10−5 S ; C = ε ⋅ = ε Rε 0
d
d
S
CV = ε Rε 0 V = ε Rε 0 ES
d
CV = 1 ⋅ 8,85 ⋅ 10−123 ⋅ 106 S
CV = 2,655 ⋅ 10−5 S
−12
G
ε ∫∫ E ⋅ dS
−
s
(a) ar: eR = 1, EBD= 3 MV/m;
(c) dióxido de silício: eR = 3.78, EBD= 16 MV/m;
54
(c) Se a máxima intensidade de campo permitida
no dielétrico é 2 MV/m, qual ó a máxima tensão
permissível sobre o capacitor?
(d) Que energia é armazenada quando esta
tensão é aplicada?
G G
Q = ε ∫∫ E ⋅ dS
CV = 1200 ⋅ 8,85 ⋅ 10−123 ⋅ 106 S
CV = 0,03186S
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C=
1
dx
(1 + 106 x 2 )
ï
2 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 ⋅ 0.02
π
4000
C = 450,726 pC
Observação:
⎧ 2
⎡ 2ax + b ⎤
arctg ⎢
⎪
⎥ + C , se ∆ < 0
⎣ −∆ ⎦
⎪ −∆
⎪⎪
1
dx
∫ ax 2 + bx + c = ⎨ − a ( x − x1 ) + C , se ∆ = 0
⎪
⎪ −2
⎡ 2ax + b ⎤
⎪
+ C , se ∆ > 0
arctgh ⎢
∆ ⎥⎦
⎣
⎩⎪ ∆
Onde:
54
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
⎧
⎪ ∆ = b 2 − 4ac
⎪
−b± ∆
⎪
⎨ x0 =
2a
⎪
1
⎪arctghz = ln 1 + z
⎪⎩
2 1− z
C=
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55
Aε 0ε R1 ε R2 ε R3
d1ε R2 ε R3 + d 2ε R1 ε R3 + d 3ε R1 ε R2
ε 0ε R1 ε R2 ε R3
C
=
A d1ε R2 ε R3 + d 2ε R1 ε R3 + d 3ε R1 ε R2
(a) eR3 é ar;
C
8,85 ⋅ 10−12 2,5 ⋅ 4 ⋅ 1
= −3
A 10 4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 10− 32,5 ⋅ 1 + 2 ⋅ 10− 32,5 ⋅ 4
( )
C
= 3,05
A
nF
m2
(b) eR3 = eR1;
ε 0ε R1 ε R2 ε R3
C
=
A d1ε R2 ε R3 + d 2ε R1 ε R3 + d 3ε R1 ε R2
( )
C
= 5,21 mnF2
A
Fig. 5.19 Problema 40.
40. (a) A largura de região que contem eR1 na Fig.
5.19 é 1,2. Determine eR1 se eR2 = 2.5 e a capacitância total
é 60 nF.
(b) Determine a largura de cada região (contendo
eR1 e eR2) se Ctotal = 80 nF. E eR2= 3eR1 e C1 = 2C2.
41. Seja eR1 = 2.5 para 0 < y < l mm e eR2 = 4 para l <
y < 3 mm e eR3 para 3 < y < 5 mm. Superfícies condutoras
estão presentes em y = 0 e y = 5 mm. Calcule a
capacitância por metro quadrado da área superficial se:
(a) eR3 é ar;
(b) eR3 = eR1;
(c) eR3 = eR2;
(d) eR3 é prata.
Solução:
C =ε
A
A
⇒ C = ε 0ε R
d
d
Para a associação em série, teremos:
1
1
1
1
=
+
+
C C1 C2 C3
1
d1
d2
d3
=
+
+
C ε 0ε R1 A ε 0ε R2 A ε 0ε R3 A
Aε 0 d1
d
d
=
+ 2 + 3
C
ε R1 ε R2 ε R3
Aε 0 d1ε R2 ε R3 + d 2ε R1 ε R3 + d 3ε R1 ε R2
=
C
ε R1 ε R2 ε R3
(c) eR3 = eR2;
ε 0ε R1 ε R2 ε R3
C
=
A d1ε R2 ε R3 + d 2ε R1 ε R3 + d 3ε R1 ε R2
C
= 6,32
A
( )
nF
m2
(d) eR3 é prata.
ε 0ε R1 ε R2 ε R3
C
=
A d1ε R2 ε R3 + d 2ε R1 ε R3 + d 3ε R1 ε R2
( )
C
= 9,83
A
nF
m2
42. Duas superfícies condutoras cilíndricas estão
localizadas em r = 0.8 cm e 3.6 em. A região 0.8 < r
< a contém um dielétrico para o qual eR = 4, enquanto
que eR = 2 para a < r < 3.6 cm.
(a) Determine a de forma que a tensão sobre cada
camada dielétrica seja a mesma.
(b) Determine a capacitância total por metro.
43. Dois cilindros condutores coaxiais de raios 2
cm e 4 cm têm l m de comprimento. A região entre os
cilindros contém uma camada dielétrica de r = c até r
= d com eR = 4. Determine a capacitância se:
(a) c = 2 cm, d= 3 cm;
(b) d = 4cm e o volume do dielétrico é o mesmo
que o do item (a).
55
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
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56
rc′ = 11cm
Solução:
C1 = 2πε
Capacitor cilíndrico.
L
r
ln( rd′ )
c
C1 = 2π 4 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 ln( 14
11
C1 = 1187,2( pF )
C2 = 2πε 0 ln(Lrc′ )
)
ra
C2 = 2π ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 ln( 111 )
2
Preenchido com dielétrico de permissividade e:
:
C1 = 2πε
L
r
ln( rd )
c
C2 = 2πε
L
0 ln( rb )
r
d
Teremos em (a) dois cilindros concêntricos em
série:
C1C2
C1 + C2
C1 = 2πε Rε 0 ln(Lrd )
C=
rc
C1 = 2π 4 ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ln(13 )
2
C1 = 548,56( pF )
C2 = 2πε 0 ln(Lrb )
rd
C2 = 2π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ln(14 )
3
C2 = 193,29( pF )
CC
C= 1 2
C1 + C2
548,56 ⋅ 193,29
( pF )
C=
548,56 + 193,29
C = 142,93( pF )
(b) d = 4cm e o volume do dielétrico é o mesmo que o
do item (a).
Volume do dielétrico em (a):
(
V = π (3
C2 = 109,94( pF )
CC
C= 1 2
C1 + C2
1187,2 ⋅ 109,94
( pF )
C=
1187,2 + 109,94
C = 100,62( pF )
44. Dois condutores cilíndricos estão situados em
r = 3 e 12 mm: ambos se estendem de z =0 até z = l
m. Dielétricos perfeitos ocupam a região interna:
eR =1 para 3 < r < 6 mm e
eR =4 para 6 < r < 9 mm e
eR =8 para 9 < r < 12 mm.
(a) Calcule C.
(b) Se a tensão entre os cilindros é 100 V. esboce
|Er| versus r.
45. Duas conchas esféricas condutoras têm raios
a = 3 cm e b = 6 cm. O interior é um dielétrico
perfeito para o qual eR = 8.
(a) Determine C,
(b) Uma porção do dielétrico é agora removida
de forma que eR = l para 0 < f<π/2 e eR = 8 para π/2
< f<2π. Novamente determine C.
Solução:
(a) Cálculo de C:
a = 3 cm e b = 6 cm
Capacitor esférico
)
− 2 )1
V = π rd2 − rc2 L
2
V = 5π
2
Novo volume:
(
)
V ′ = π (4 − r )1
V ′ = π (16 − r ) = 5π
V ′ = π rd2′ − rc2′ L
2
2
c′
2
c′
16 − rc2′ = 5 ⇒ rc2′ = 16 − 5
E=
ρ S ra2
ε 0r 2
56
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
Vab =
ρ s ra2 ⎡ rb − ra ⎤
ε 0 ⎢⎣ rb ra ⎥⎦
C1 = πε R1 ε 0
C = 4πε 0 rb a− bra
r r
ra rb
rb − ra
3 ⋅ 10−26 ⋅ 10−2
6 ⋅ 10− 2 − 3 ⋅ 10− 2
C1 = 1,668 pF
G
G
ε 2 ∫∫ E2 ⋅ dS
C2 = +s
G
G
− ∫ E 2 ⋅ dl
C1 = π ⋅ 1 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12
Com dielétrico de permissividade e:
C = 4πε
57
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ra rb
rb − ra
C = 4πε Rε 0 rb a− bra
r r
C = 4π ⋅ 8 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 63⋅10⋅10−2 −63⋅10⋅10 −2
−2
−2
C = 53,38 pF
−
(b) Uma porção do dielétrico em:
eR = l para 0 < f<π/2
eR = 8 para π/2 < f<2π. C:
G
C1 =
π 2π
G
G
Q 1
ε 2 ∫∫ E2 ⋅ dS = ε 2 ∫ ∫ A 2 aˆr ⋅ r 2 senθdφdθaˆr
4πε 2 r
0 π
s
G
2
ε1 ∫∫ E1 ⋅ dS
G
G
s
+
ε 2 ∫∫ E2 ⋅ dS =
G G
− ∫ E1 ⋅ dl
s
2
−
G
π
π 2
G
G
Q 1
ε1 ∫∫ E1 ⋅ dS = ε1 ∫ ∫ A 2 aˆr ⋅ r 2 senθdφdθaˆr
4πε1 r
0 0
s
π
G εQ π2
G
ε1 ∫∫ E1 ⋅ dS = 1 A ∫ ∫ dφsenθ dθ
4πε1 0 0
s
π
2
G G Q π
ε1 ∫∫ E1 ⋅ dS = A ∫ senθ dθ ∫ dφ
4π 0
s
0
G Q π
G
ε1 ∫∫ E1 ⋅ dS = A 2
4π 2
s
G Q
G
ε1 ∫∫ E1 ⋅ dS = A
4
s
rb
+ G
G
1 QA
− ∫ E1 ⋅ dl = − ∫
dr
2
4
πε
r
1
−
ra
+ G
G Q ⎛r −r ⎞
− ∫ E1 ⋅ dl = A ⎜⎜ a b ⎟⎟
4πε1 ⎝ ra rb ⎠
−
QA
4π
C1 =
QA ⎛ rb − ra ⎞
⎟
⎜
4πε1 ⎜⎝ ra rb ⎟⎠
rr
C1 = πε1 a b
rb − ra
ε 2 Q A π 2π
dφsenθ dθ
4πε 2 ∫0 ∫π
G
ε 2 ∫∫ E2 ⋅ dS =
s
π
2π
QA
senθ dθ ∫ dφ
4π ∫0
π
G Q 3π
G
ε 2 ∫∫ E2 ⋅ dS = A 2
4π 2
s
G 3Q
G
ε 2 ∫∫ E2 ⋅ dS = A
4
s
2
rb
+ G
G
1 QA
− ∫ E2 ⋅ dl = − ∫
dr
2
4
πε
r
2
−
ra
+ G
G Q ⎛r −r ⎞
− ∫ E2 ⋅ dl = A ⎜⎜ a b ⎟⎟
4πε 2 ⎝ ra rb ⎠
−
3QA
4π
C2 =
QA ⎛ rb − ra ⎞
⎟
⎜
4πε 2 ⎜⎝ ra rb ⎟⎠
rr
C2 = 3πε 2 a b
rb − ra
rr
C2 = 3πε R2 ε 0 a b
rb − ra
3 ⋅ 10−26 ⋅ 10−2
6 ⋅ 10− 2 − 3 ⋅ 10− 2
C2 = 40,036 pF
C2 = 3π ⋅ 8 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12
57
ELETROMAGNETISMO I – Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULOV
Como as regiões (1) e (2) estão no mesmo
potencial, ocorre associação em paralelo dos capacitores.
Logo, a capacitância equivalente será:
Ceq = C1 + C2 = 1,668 pF + 40,036 pF
Ceq = 41,7 pF
46. Tendo a Fig. 5.17 como referência, seja b = 6 m, h
= 15 m e o potencial do condutor 250 V. Considere e = e0
Determine valores para K1, rl, a e C.
Solução:
a = h 2 − b 2 = 152 − 62 = 13,75m
h + a 15 + 13,7
K +1
= 23
=
⇔ K1 =
h=a 1
h − a 15 − 13,7
K1 − 1
4πε V 0 4π ⋅ 8 ,85 ⋅ 10 − 12 250
ρL =
=
= 8 ,86 nC
ln K 1
ln 23
C=
ρL L
V0
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Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
2
(
5 + y) + x2
V = −20 + 10 ln
(5 − y )2 + x 2
2
(
5 + y ) + x2
= 30
10 ln
(5 − y )2 + x 2
(5 + y )2 + x 2 = 3
ln
(5 − y )2 + x 2
(5 + y )2 + x 2 = e3
(5 − y )2 + x 2
= 10
48. Um condutor de 2 cm de diâmetro está
suspenso no ar com seu eixo a 5 cm de um plano
condutor. Considere o potencial do cilindro como
sendo 100 V e que o do plano é 0 V. Determine a
densidade superficial de carga:
(a) no cilindro no ponto mais próximo do plano;
(b) no plano no ponto mais próximo do cilindro.
= 35 pF
47. Uma função potencial no espaço livre é dada por:
2
(
5 + y ) + x2
V. Descreva:
V = −20 + 10 ln
(5 − y )2 + x 2
(a) a superfície equipotencial de 0 V.
(b) a superfície equipotencial de 10 V.
Solução:
(a) a superfície equipotencial de 0 V.
V = −20 + 10 ln
(5 + y )2 + x 2
(5 − y )2 + x 2
=0
(5 + y )2 + x 2 = 20
(5 − y )2 + x 2
2
(
5 + y ) + x2
=2
ln
(5 − y )2 + x 2
(5 + y )2 + x 2 = e2
(5 − y )2 + x 2
(5 + y )2 + x 2 = e2 [(5 − y )2 + x 2 ]
(5 + y )2 + x 2 = e 2 (5 − y )2 + e2 x 2
2
2
x 2 (1 − e 2 ) = e 2 (5 − y ) − (5 + y )
10 ln
(b) a superfície equipotencial de 10 V.
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