Apontamentos de Probabilidades

Colecção
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Probabilidades
Volume I
Cálculo de Probabilidades de Acontecimentos
Resumo Teórico e Exercícios Resolvidos
Índice
Prefácio ......................................................................................................................................................................3
1 Introdução. Definições: Experiência Aleatória e Acontecimentos Aleatórios ........................................................4
2 Cálculo de Probabilidades em espaços de resultados igualmente prováveis: Lei de Laplace .................6
3 Noção de probabilidade: axiomas e teoremas. ...............................................................................................7
Axiomática das Probabilidades ..............................................................................................................................7
4 Probabilidade Condicionada .............................................................................................................................9
Axiomática das Probabilidades Condicionadas ................................................................................................... 10
5 Teorema da Multiplicação de Probabilidades .............................................................................................. 10
6 Teorema da Probabilidade Total .................................................................................................................... 11
7 Teorema de Bayes ............................................................................................................................................ 11
8 Acontecimentos Independentes ...................................................................................................................... 12
9 Exercícios Resolvidos ...................................................................................................................................... 15
10 Exercícios Propostos ....................................................................................................................................... 20
11 Exercícios de Auto-Avaliação ....................................................................................................................... 22
I Escolha Múltipla .............................................................................................................................................. 22
II Verdadeiro/Falso ............................................................................................................................................. 23
12 Referências Bibliográficas ............................................................................................................................. 24
Anexo 1 Revisão sobre o Cálculo Combinatório ............................................................................................ 25
Introdução ............................................................................................................................................................ 25
Estratégicas básicas de Contagem: Regras Básicas ............................................................................................. 25
Arranjos com e sem repetição .............................................................................................................................. 26
Permutações ......................................................................................................................................................... 27
Factorial de um número inteiro não negativo ...................................................................................................... 27
Combinações ....................................................................................................................................................... 28
Propriedades das Combinações ........................................................................................................................... 29
O Triângulo de Pascal .......................................................................................................................................... 29
Binómio de Newton ............................................................................................................................................. 30
Exercícios Resolvidos sobre o Binómio de Newton ............................................................................................ 31
Exercícios Propostos sobre o Binómio de Newton .............................................................................................. 32
Exercícios Propostos sobre Cálculo Combinatório. ............................................................................................. 32
Anexo 2 Revisão da Teoria dos Conjuntos: Operacões entre conjuntos. .................................................... 34
Exercícios Propostos sobre Teoria dos Conjuntos. .............................................................................................. 36
Anexo 3 Linguagem usada em Medicina ......................................................................................................... 37
Soluções dos Exercícios Propostos ...................................................................................................................... 39
Soluções da Escolha Múltipla .................................................................................................................................. 42
Soluções do Verdadeiro/Falso ................................................................................................................................. 42
Soluções dos Exercícios Propostos sobre o Binómio de Newton ............................................................................ 42
Soluções dos Exercícios Propostos sobre Cálculo Combinatório. ........................................................................... 43
Soluções dos Exercícios Propostos sobre Teoria dos Conjuntos ............................................................................. 43
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Estatística, Probabilidades ou Matemática 11º/12º: telemóvel: 96 545 94 13
www.explicacoes.com\estatistica
Prefácio
O leitor está a ler uma versão parcial e preliminar de um texto em elaboração, mais precisamente a
versão de 17 de Abril de 2000. O autor agradece todas e quaisquer indicações de gralhas e/ou erros,
sugestões, críticas,... para [email protected] Se desejar ser notificado sempre que se verifiquem
alterações de fundo neste texto peça por e-mail um formulário para o efeito.
Este texto tem vários objectivos cuja fronteira não está muito bem definida. É certo que há vários anos
que existem manuais sobre este tema, em várias línguas, nomeadamente na nossa. Então o que tem de
novo? Bem qualquer coisa que só saberá se confiar e começar agora mesmo a verificar, lendo como se
tivesse um exame amanhã, sobre este tema. Desde já demonstro a minha disponibilidade para dúvidas, no
sentido usual das mesmas, pelo e-mail indicado. Em troca espero que colabore para que este texto fique
sem gralhas e mais acessível a qualquer leitor. A sua colaboração é essencial. A sua opinião é necessária.
Este é um aspecto verdadeiramente inovador, um texto escrito em colaboração com alguém que sente as
dificuldades. Esta é a minha verdadeira aposta.
Actualmente apenas se trata do tema Cálculo de Probabilidades de Acontecimentos, com a promessa
de que os restantes temas da Teoria das Probabilidades serão tratados em outros volumes. E quem sabe
outros tópicos...
Os pré-requisitos existem. Quase que pode dizer-se que um conhecimento sólido do secundário é
suficiente, no entanto noções básicas de Cálculo Diferencial e Integral são também necessárias em pontos
muito reduzidos da matéria. Por isso este tema é em geral estudado no 2ºano das várias licenciaturas e
bacharelatos. Se o seu conhecimento a montante não é muito satisfatório, lembre-se que tudo apenas
depende da sua força de vontade.
Os agradecimentos por enquanto são poucos, esperamos que o seu nome possa aparecer aqui. Por
enquanto agradeço ao Eng. Jorge Gomes e ao Daniel Dias da Costa.
Bom trabalho!
O autor,
J.G.
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1 Introdução. Definições: Experiência Aleatória e Acontecimentos Aleatórios
Pode-se dizer que a Probabilidade nasceu no século XVII por interesse comum de Pascal e Fermat.
Blaise Pascal (1623-1662)
Pierre de Fermat (1601-1665)
Definição 1:
“Uma experiência, E, diz-se aleatória se:
i) for um procedimento que se pode repetir um grande número de vezes mas mesmas condições ou pelo
menos em condições semelhantes;
ii) todos os resultados possíveis são conhecidos à priori;
iii) o resultado exacto não é conhecido antes da realização da experiência, i.e.1 é imprevisível.”
Exemplos de Experiências Aleatórias:
E1: lançamento de um dado e registo do número de pontos que sai;
E2: lançamento de duas moedas2;
E3: lançamento de um dado e de uma moeda;
E4: lançamento de uma moeda até aparecer face;
E5: uma lâmpada é fabricada e ensaiada quanto à sua duração;
E6: é registada a idade de uma pessoa3;
E7: extracção de 2 peças (com ou sem reposição) de um lote de 100 peças das quais 20 são defeituosas.
Em oposição aos fenómenos aleatórios, alvo do nosso estudo, existem os fenómenos determinísticos,
que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.
Definição 2:
“Designa-se por Espaço Amostral e representa-se por , o conjunto de todos os resultados possíveis
associados a uma experiência aleatória.”
Definição 3:
“Designa-se por Espaço de Acontecimentos e representa-se por IP(), o conjunto de todas as partes ou
subconjuntos de .”
1
i.e., id est, que significa isto é, é uma expressão que usaremos muito.
Designaremos face por F e coroa por C, naturalmente.
3
Em anos como habitualmente.
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Exemplos de Espaços Amostrais:
1= 1,2,3,4,5,6 ;
2= CC , FC , FF , CF   (C , C ), ( F , C ), ( F , F ), (C , F );
3= 1C ,1F ,2C ,2 F ,...,6 C ,6 F  ;
4= F , CF , CCF , CCCF ,...;
5= IR  ; 6= IN .
A partir destes exemplos inicíais observamos que um espaço amostral pode ser discreto finito (1) ou
discreto infinito (6) ou contínuo (5). Nas experiências em que se considere mais do que uma v.a. o
mais rigoroso é apresentar os resultados obtidos sobre a forma de vector, e.g.4 2, no entanto nesta fase
inicial não queremos desviar a nossa atenção do que é realmente importante: uma introdução intuitiva
destas noções.
Definição 4:
“Qualquer subconjunto do espaço amostral designa-se por acontecimento aleatório.”
Os exemplos são óbvios mas interessa destacar os seguintes casos:
i) Acontecimento Elementar: quando o acontecimento é constituído por um único elemento;
ii) Acontecimento Certo: é outra designação para o espaço amostral ;
iii)Acontecimento Impossível: quando o acontecimento não contém nenhum elemento, i.e., na realidade
“não aconteceu”.
Diz-se então que um acontecimento se realiza sempre que o resultado de uma experiência aleatória é um
elemento que pertence ao acontecimento.
Do que ficou dito verifica-se que há uma “equivalência” entre a noção de acontecimento e a noção de
conjunto. Verifica-se então um paralelismo entre a álgebra de conjuntos e a álgebra de acontecimentos5.
Operações entre acontecimentos:
i) se A1, …, An são acontecimentos aleatórios, então o acontecimento in1 Ai ocorrerá sempre que pelo
menos um dos acontecimentos Ai ocorrer;
ii) se A1, …, An são acontecimentos aleatórios, então o acontecimento in1 Ai ocorrerá sempre que todos
os acontecimentos Ai ocorrerem;
iii) o produto cartesiano pode-se aplicar a acontecimentos com o parelelismo para os conjuntos6.
Exemplo:
“Não se realizar nenhum dos dois acontecimentos”, corresponde em linguagem de conjuntos a A  B .
Definição 5:
“Dois acontecimentos aleatórios, A e B, designam-se mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer
simultaneamente, em linguagem de conjuntos, A  B   .”
4
e.g. exempli gratia, que significa por exemplo, expressão que também usaremos muito.
Ver anexo 2.
6
Ver nota anterior.
5
5
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Definição 6:
“Dois acontecimentos aleatórios, A e B, dizem-se contrários se A  B    e A  B   , e representa-se
o conjunto contrário de A por A .”
Sabemos que a cada experiência aleatória podemos associar  acontecimentos aleatórios. Para
distinguirmos os vários acontecimentos, torna-se necessário associar a cada acontecimento aleatório A,
um número que de alguma maneira medirá o quanto verosímil é que o acontecimento A venha a ocorrer.
Este número necessário é a probabilidade do acontecimento A, P(A).
Consideremos uma urna que contem 49 bolas azuis e 1 bola branca. Se efectuarmos uma inspecção,
teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será muito mais
frequente obtermos numa inspecção, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o
acontecimento "sair bola azul" tem maior Probabilidade de ocorrer do que o acontecimento "sair bola
branca".
2 Cálculo de Probabilidades em espaços de resultados igualmente prováveis: Lei de Laplace
A primeira definição de probabilidade conhecida deve-se a Laplace no início do séc. XIX, para a
hipótese de casos igualmente prováveis ou o chamado princípio da simetria.
Definição 6:
“Seja A um acontecimento aleatório de , a probabilidade de A, i.e.,
n º de casos favoráveis
P( A) 
”.
n º de casos possíveis
O que a definição de Laplace nos diz é que se todos os k resultados7, forem igualmente verosímeis, a
probabilidade de cada resultado, i.e., a probabilidade de cada acontecimento elementar Ai, será:
1
P( Ai )  , i=1,…,k.
k
Exemplos:
1. Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:
a. sair o número 3.
Temos = {1, 2, 3, 4, 5, 6} pelo que # = 6. Seja A = {3} pelo que #A= 1. Portanto, a probabilidade
procurada será igual a P(A) = 1/6.
b. sair um número par.
Agora o acontecimento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada será P(A) =
3/6 = 1/2.
c. sair um múltiplo de 3:
O acontecimento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada será P(A) = 2/6 = 1/3.
d. sair um número menor do que 3.
Agora, o acontecimento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto, P(A) = 2/6 = 1/3.
e. sair um quadrado perfeito.
O acontecimento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, P(A) = 2/6 = 1/3.
7
i.e., se o cardinal de  for k.
6
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2. Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:
a. sair a soma 8.
Observe que neste caso, o espaço amostral  é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número
no dado 1 e j = número no dado 2. É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde
i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo ocorrendo com j. As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (2,6) , (3,5) ,
(4,4) , (5,3) e (6,2). Portanto, o acontecimento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade
procurada será igual a P(A) = 5/36. 
b. sair a soma 12.
Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada será igual a P(A) =
1/36. 
A interpretação clássica de Laplace manteve-se até ao início do séc. XX, altura em que começaram a
surgir as críticas quer no que dizia respeito ao cálculo das probabilidades quando o princípio da simetria
não se verificava, quer, e principalmente, quando o número de casos possíveis não era finito nem sequer
numerável.
3 Noção de probabilidade: axiomas e teoremas.
O nosso objectivo é encontrar um meio de obter o tal número, sem recorrer à experiência. E a
característica que lhe exigimos e que tenha o valor que encontraríamos se realizássemos a experiência em
causa um grande número de vezes. Este aspecto está na base de uma outra teoria a Teoria Frequencista
das Probabilidades. Esta surgiu no início do séc. XX e segundo ela a probabilidade de um acontecimento
pode ser determinada observando a frequência relativa desse acontecimento numa sucessão numerosa de
experiências aleatórias.
No início do séc. XX começou a sentir-se a necessidade de uma axiomatização da teoria de
probabilidades que foi feita em 1933 pelo matemático russo A. N. Kolmogorov.
Andrey Kolmogorov (1903-1987)
Axiomática das Probabilidades
Sob um ponto de vista puramente matemático, suporemos que para cada acontecimento A, pertencente
ao conjunto de todos os acontecimentos possíveis, existe um número, que designaremos por P(A),
satisfazendo:
A1: 0  P( A)  1 ;
A2: P()  1 em que  é o acontecimento certo;
A3: Se Ai  A j   com i  j então P(in1 Ai )  in1 P( Ai ) .
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Com estes três axiomas mesmo sem sabermos8 ainda calcular P(A) sabemos já as suas características,
com as quais se demonstram todas as propriedades seguintes. Note que pode-se recorrer, apenas para
melhor visualização, a Diagramas de Venn.
Propriedades:
P1: “Se  for o conjunto vazio então P()  0 ”.
P2: “Se A é o acontecimento complementar de A então P( A)  1  P( A) ”.
P3:“Se A é um acontecimento qualquer então P( A)  1 ”.
P4:“Se A e B forem acontecimentos quaisquer então P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) ”.
P5:“Se A, B e C forem acontecimentos quaisquer então
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( A  B)  P( A  C )  P( B  C )  P( A  B  C ) ”.
P6: “Se A  B  P( A)  P( B) ”.
Estas propriedades são portanto consequências imediatas dos axiomas referidos.
Exemplo:
Em uma certa comunidade existem apenas dois jornais disponíveis, o Jornal de Notícias e o Público.
Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do Jornal de Notícias, 4000 são assinantes do Público, 1200 são
assinantes de ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso
seja assinante de ambos os jornais?
Sabemos que não é necessário mas dado que é uma boa ferramenta pois permite a “visualização”,
representemos os conjuntos num Diagrama de Venn.

J
P
A resolução destes problemas, correcta e metódica, começa com a definição dos acontecimentos
necessários a uma adequada resolução do problema.
Definição dos acontecimentos:
- J  " Ler o jornal Jornal de Noticias" 
- P  " Ler o jornal Público" 
Note que não sabemos qual o número total de pessoas do nosso espaço amostral, , que designaremos
por n(). Teremos:
nΩ   n(J  P)  n( J  P )
Em que:
J  P  " Ler pelo menos um dos jornais"  ,
8
Sabemos apenas se a lei de Laplace for aplicável.
8
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J  P  " Ler ambos os jornais"  e J  P  " Não ler nenhumdos dois jornais",
pelo que e.g., n(J  P) representa o número de pessoas da comunidade em estudo, que não lêem jornais.
Dividindo a igualdade nΩ   n(J  P)  n( J  P ) por n Ω  obtemos 1  P(J  P)  P( J  P ) ,
usando a Lei de Laplace. Agora usando a propriedade P4 temos: P(J  P)  P(J)  P(P)  P(J  P) . É
agora possível escrever uma expressão em função dos valores do enunciado:
1  P(J)  P(P) - P(J  P)  P( J  P )
Estas probabilidades são facilmente calculáveis a partir dos dados do problema, basta escrever em função
de n Ω  .
Dados do problema:
n(J)  5000 ; n(P)  4000 ; n(J  P)  1200 e n( J  P )  800 .
1
n(J)  n(P) - n(J  P)  n( J  P )  n(  )  n(J)  n(P) - n(J  P)  n( J  P )  5000  4000 - 1200  800  8600
n(  )
Pelo que a comunidade em estudo tem 8600 pessoas. Agora é simples responder ao pedido:
n(J  P) 1200

 0.1395  13.95% 
n Ω 
8600
A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, a
probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de aproximadamente 14%(contra 86% de
probabilidade de não ser).
P(J  P) 
4 Probabilidade Condicionada
A diferença que existe entre um esquema sem reposição e outro com reposição está na base de uma
nova definição.
Definição 7:
“Sejam A e B dois acontecimentos aleatórios associados à mesma experiência aleatória. Denotaremos por
P( A | B) a probabilidade condicionada do acontecimento A quando B tiver ocorrido. Se P( B)  0 então
P( A  B )
P( A | B ) 
”.
P( B )
Esta última expressão lê-se: probabilidade de A dado B ou probabilidade de A condicionada a B.
Note que se  for finito e com resultados igualmente possíveis podemos calcular uma probabilidade
Card( A  B ) 9
condicionada, além da definição anterior, usando a expressão: P( A | B ) 
.
Card( B )
9
Em que Card(A) designa o cardinal do conjunto A.
9
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Exemplo:
De um baralho de 52 cartas retirou-se ao acaso uma carta, sabendo que é de “Copas”, qual a
probabilidade de ser um “Ás”?
Note que o facto de se explicitar que a escolha foi feita ao acaso significa que cada uma das cartas ter
igual probabilidade de ser retirada.
i) definir os acontecimentos necessários à resolução:
A  "52 Cartas ", B  " Carta de Copas " e C  " Carta ser um Ás" ;


ii) calcular P(C | B)
P(C  B) 1 52

 1 / 13
P( B )
13 52
# (C  B)
2º processo: calculando directamente, P(C | B) 
 1 / 13 .
#B
1º processo: pela definição temos P(C | B) 


Note que C  B  " Ás de Copas" e que cada naipe tem 13 cartas. 
A probabilidade condicionada contínua a ser uma probabilidade e como tal verifica os três axiomas.
Axiomática das Probabilidades Condicionadas
Sob um ponto de vista puramente matemático, suporemos que para dois acontecimento A e B,
pertencentes ao conjunto de todos os acontecimentos possíveis, IP(),existe um número, que
designaremos por P( A | B) ,satisfazendo:
A1: 0  P( A | B)  1 ;
A2: P( | B)  1 em que  é o acontecimento certo;
A3: Se Ai  A j   com i  j então P(in1 Ai | B)  in1 P( Ai | B) .
Além dos axiomas a probabilidade condicionada verifica todas as propriedades referidas para a
probabilidade simples, e.g.:
“Se A é o acontecimento complementar de A então P( A | B)  1  P( A | B) ”.
Exercício: Mostre que P( A | B)  1  P( A | B) .
5 Teorema da Multiplicação de Probabilidades10
Teorema:
“Se P(A)>0, P(B)>0, então tem-se que P( A  B)  P( B).P( A | B)  P( A).P( B | A) ”.
10
ou Lei das Probabilidades Compostas.
10
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Note que directamente a partir da última definição introduzida temos:
P( A  B)  P( B).P( A | B)
pelo que uma generalização natural conduz a:
P( A1  A2 ...  An )  P( A1 ).P( A2 | A1  A2 )....P( An | A1  ...  An 1 ) .
Definição 8:
“Dizemos que os acontecimentos A1, A2, …,An representam uma partição de  se:
i) Ai  A j   , se i  j , i.e. os conjuntos são disjuntos dois a dois;
ii) in1 Ai   ;
iii) P( Ai )  0, i 1,..., n .”
Exercício: Construa um Diagrama de Venn onde represente todos os conjuntos referidos.
6 Teorema da Probabilidade Total
Teorema:
“Seja B um acontecimento qualquer de  e A1, A2, …,An representam uma partição de IP(), então
P( B)  in1 P( Ai ).P( B | Ai ) .”
Exercício: Contrua um Diagrama de Venn onde represente todos os conjuntos referidos e demonstre o
resultado indicado. Dê especial atenção para os casos n=2 e n=3, mais frequentes nos exercícios e nas
avaliações.
Este teorema permite calcular a probabilidade de um acontecimento qualquer a partir do conhecimento
da probabilidade de cada acontecimento que forma a partição e da respectiva probabilidade condicionada.
7 Teorema de Bayes11
Thomas Bayes (1702-1761)
Recorrendo ao teorema anterior deduzimos um dos mais importantes teoremas em probabilidades.
11
Alguns autores designam por fórmula de Bayes e outros, por Teorema das Causas, pois é um método de calcular a probabilidade da causa, este
mesmo resultado.
11
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Teorema:
“Seja B um acontecimento qualquer de  e A1, A2, …,An representam uma partição de  , onde
P( Ai )  0 e P( B )  0 então para j=1,...,n tem-se
P( A j ).P( B | A j ) 12
.”
P( A j | B )  n
i 1 P( Ai ).P( B | Ai )
8 Acontecimentos Independentes
Definição 9:
“Diz-se que dois acontecimentos aleatórios quaisquer são independentes se: P( A  B)  P( A).P( B) .”
Exercício: Mostre que todos os acontecimentos são independentes de  e de  .
Exercício: Mostre que se dois acontecimentos são independentes eles não pode ser mutuamente
exclusivos. É importante que o aluno não confunda estes dois conceitos bem diferentes!
Exemplo:
Qual a probabilidade de em dois lançamentos de um dado, se obter número par no primeiro lançamento e
número ímpar no segundo lançamento? Ora, os acontecimentos são obviamente independentes, pois a
ocorrência de um não influência a ocorrência do outro. Logo, teremos: P(A  B)=P(A).P(B) = 3/6 . 3/6 =
1/2.1/2 = 1/4 = 0,25 = 25%.
Exemplo:
Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de:
a. em duas extracções, sem reposição da primeira bola extraída, sair uma bola vermelha e depois uma bola
branca.
b. em duas extracções, com reposição da primeira bola extraída, sair uma bola vermelha e depois uma bola
branca.
a. P(V  B)=P(V).P(B|V). P(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7). Supondo que saiu bola
vermelha na primeira extracção, ficaram 6 bolas na urna. Logo: P(B|V)=2/6=1/3. Da lei das
probabilidades compostas, vem finalmente que: P(V  B) = 5/7.1/3 =5/21 = 0,2380 = 23,8% 
b. Com a reposição da primeira bola extraída, os acontecimentos ficam independentes. Neste caso, a
probabilidade pedida poderá ser calculada como: P(V  B) = P(V).P(B) =5/7.2/7=10/49=0,2041 = 20.41%
< 23.8% ! 
Observe atentamente a diferença entre as soluções das alíneas a. e b. acima, para um entendimento
perfeito daquilo que procuramos transmitir. Lembre-se que foi exactamente esta a motivação da
introdução da noção de probabilidade condicionada.
Definição 10:
“Os acontecimentos aleatórios A, B e C são independentes se:
P( A  B  C )  P( A).P( B).P(C ) ,
P( A  B)  P( A).P( B) , P( A  C )  P( A).P(C ) , e P( B  C )  P( B).P(C ) .”
12
Note que o j é um índice livre ao passo que o i é um índice mudo.
12
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Teorema:
“Se A e B são acontecimentos independentes então também são independentes os acontecimentos:
i) A e B , ii) A e B , e iii) A e B .”
Dem.: P( A  B)  P( A  B)  1  P( A  B)  1  P( A)  P( B)  P( A  B)
Lei
Morgan
Por hipótese

A e B são independentes
Teo .
Teo .
1  P( A)  P( B)  P( A).P( B)  1  P( A)
. 1  P( B)  P( A).P( B)
Q.E.D.
Teo .
13
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14
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9 Exercícios Resolvidos
1. Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com
reposição, calcule a probabilidade se sair bola:
a. azul; b. vermelha; c. amarela.
Resolução:
a. sair bola azul P(A)=6/20=3/10=0,30=30% 
b. sair bola vermelha P(A)=10/20=1/2=0,50= 50% 
c. sair bola amarela P(A) = 4/20=1/5 =0,2 =20% 
Observamos neste exercício que as probabilidades podem ser expressas como percentagem. Esta forma
é conveniente, pois permite a estimativa do número de ocorrências para um número elevado de
experiências aleatórias. Por exemplo, se a e.a. acima for repetida diversas vezes, podemos afirmar que em
aproximadamente 30% dos casos, sairá bola azul, 50% dos casos sairá bola vermelha e 20% dos casos
sairá bola amarela. Quanto maior a quantidade das experiências aleatórias., tanto mais a distribuição do
número de ocorrências se aproximará das percentagens indicadas.
2. Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra caixa possui uma bola preta e
três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira caixa para a segunda, e retira-se uma bola da segunda
caixa. Qual a probabilidade de que a bola extraída da segunda caixa seja verde?
Resolução:
Este problema envolve dois acontecimentos mutuamente exclusivos: ou a bola transferida é verde ou a
bola transferida é preta. Teremos:
1ª Possibilidade: a bola transferida é verde :
Probabilidade de que a bola transferida seja verde = P(V)=4/6=2/3 (4 bolas verdes em 6). Portanto, a
probabilidade que saia BOLA VERDE na 2ª caixa, supondo-se que a bola transferida é de cor VERDE,
será igual a: P(V|V’) = 4/5 (a segunda caixa possui agora, 3 bolas verdes + 1 bola verde transferida + 1
bola preta, portanto, 4 bolas verdes em 5). Pela regra da probabilidade condicionada, vem:
P(V  V’)=P(V).P(V|V’) =2/3.4/5=8/15. 
2ª Possibilidade: a bola transferida é preta :
Probabilidade de que a bola transferida seja preta =P(P)=2/6=1/3 (2 bolas pretas e 4 verdes, num total de
6). Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a bola transferida é de cor PRETA,
será igual a: P(V|P)=3/5 (observe que a segunda caixa possui agora, 1 bola preta + 3 bolas verdes + 1 bola
preta transferida= 5 bolas). Daí, vem: P(V  P)=P(P).P(V|P)=1/3.3/5=1/5. 
Finalmente vem: P[(V  V’)  (V  P)]=P(V  V’)+P(V  P)= 8/15 + 1/5 = 8/15 + 3/15 = 11/15, que é
a resposta do problem a. Mas 11/15 = 0,7333 = 73,33%. Portanto, a probabilidade de que saia uma bola
verde é de 73,33%. Uma interpretação válida para o problema acima é que se a e.a. descrita for repetida
100 vezes, em aproximadamente 73 vezes será obtido bola verde. Se a e.a. for repetida 1000 vezes, em
aproximadamente 733 vezes será obtido bola verde.
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3. Considere uma experiência aleatória e um13 espaço de resultados associado a esta,  . Sejam A, B e C
acontecimentos tais que :
. A e C são independentes; A  B =  ; P(A)=0.6 ; P(B)=0.7 ; P(C)=0.2
a. Calcule P(A  B).
b. Calcule P(A|B).
c. Calcule P(A  C).
d. Os acontecimentos A, B e C são independentes ?
Resolução:
Comecemos por explicitar as hipóteses do problema:
H1: A e C independentes  P( A  C )  P( A).P(C ) ;
H2: A  B    P( A  B)  1 ;
H3: P(A)=0.6 ; H4: P(B)=0.7 ; H5: P(C)=0.2.
a. P( A  B)  ?
 P( A)  P( B)  P( A  B)  0.6  0.7  1  0.3 
Teo.
H 2 , 3, 4
Sempre que pretendemos calcular a probabilidade de uma intersecção de acontecimentos a primeira
coisa a (tentar!) verificar é se os acontecimentos em causa são independentes, ver alínea c.. Se essa
hipótese não se verificar, ou os dados do problema não permitirem concluir nada sobre a independência,
devemos tentar usar o teorema que relaciona a probabilidade da intersecção, com a probabilidade da
reunião e as probabilidades elementares.
b. P( A | B)  ?
 P ( A  B ) a . 0.3


 3 / 7  0.43 
P( B ) H 4 0.7
Apenas foi necessário usar a definição de probabilidade condicionada e recorreu-se ao cálculo da
alínea anterior.
c. P( A  C )  ?
 P( A).P(C )  0.6  0.2  0.12 
H1
H 3, 5
d. Para responder à pergunta basta dar um contra-exemplo:
alínea
P( A  B )  0.3  0.42  0.6  0.7  P( A).P( B ) . Logo os acontecimentos não são independentes.
a.
4. Se A, B e C são acontecimentos globalmente independentes14, mostre que:
a. A e B  C são independentes.
b. A e B  C são independentes.
c. Que pode concluir a partir de a..
13
14
um dos infinitos espaços de resultados que é possível associar a esta experiência aleatória, como a qualquer outra experiência aleatória.
independentes dois a dois e três a três.
16
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Resolução:
Comecemos por explicitar as hipóteses do problema:
H1:
H2:
H3:
H4:
P( A  B)  P( A).P( B) ;
P( A  C )  P( A).P(C ) ;
P( B  C )  P( B).P(C ) ;
P( A  B  C )  P( A).P( B).P(C ) .
a. Tese15: PA  ( B  C )  P( A).P( B  C )
Vamos fazer a demonstração "pegando" no primeiro membro da tese e através de manipulações
simbólicas adequadamente justificadas "chegar" ao segundo membro da mesma tese. Assim:
Dem.: PA  ( B  C )
Pr opriedade

Associativa
P( A  B  C )  P( A).P( B).P(C )  P( A).P( B  C )
H4
c.q.m.
H3
b. Tese: PA  ( B  C )  P( A).P( B  C )
Dem.: PA  ( B  C )
Pr opriedade

Distributiva
P( A  B )  ( A  C )  P( A  B )  P( A  C ))  P( A  B  C ) 
Teo .
 P( A).P( B)  P( A).P(C )  P( A).P( B).P(C )  P( A)P( B)  P(C )  P( B).P(C ) 
H 1, 2 , 3
 P( A)P( B )  P(C )  P( B  C )  P( A).P( B  C )
H3
c.q.m.
Lei
c. da alínea a. podemos concluir directamente, da aplicação de um teorema, que A e B  C  B  C ,
Morgan
são também acontecimentos independentes, no entanto pode-se mostrar de uma forma análoga às duas
alíneas anteriores. Podem aínda concluir-se outros resultados análogos.
5. Um camponês comprou na feira um lote de cebolas novas, a um preço exorbitante, porque lhe
garantiram que a probabilidade de cada uma delas germinar era (independentemente das outras16) 0.9.
Quando chegou a casa a mulher ficou furiosa e atirou-lhe com uma cebola velha que tinha à mão. Devido
à sua má pontaria, esta misturou-se com o lote de cebolas novas, e não foi possível distingui-la das outras.
Assim o camponês plantou as 51 cebolas; destas, 50 germinaram. Sendo 0.4 a probabilidade da cebola
velha germinar, qual é a probabilidade da cebola que não germinou ter sido uma das cebolas novas.17
Resolução:
Como já foi referido a resolução destes problemas, correcta e metódica, começa com a definição dos
acontecimentos necessários a uma adequada resolução do problema. Numa fase inícial o leitor poderá
fazer uma “pequena batota”, caso tenha dúvidas da definição dos acontecimentos. Basta para isso
observar com cuidado as probabilidades que são dadas e as que são pedidas no enunciado do exercício.
15
o que pretendemos mostrar.
o que deve ser necessariamente intuítivo.
17
começar por definir os acontecimentos necessários à resolução do exercício, expressando em seguida as probabilidades fornecidas e a calcular
em função destes.
16
17
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Definição dos acontecimentos18:
- N  " Cebola Nova"  V  " CebolaVelha"
- G  " Cebola Germinar "
Na realidade apenas uma das letras N ou V era necessária para a resolução, dado que são
acontecimentos complementares. No entanto optámos por resolver desta forma.
Dados do exercício:
P(G | N )  0.9 ; P(G | V )  0.4 ; P( N )  50 / 51 e P(V )  P( N )  1 / 51
Pretendemos saber: P( N | G )  ? 19
def .

P( N  G ) P(G | N ).P( N ) (1  P(G | N )).P( N ) (1  0.9 ).50 / 51



 50 / 56  0.893 
1  P (G )
1  P (G )
1  454 / 510
P (G )
 Na realidade a probabilidade pedida é imediatamente dada pela Fórmula de Bayes, na qual no
denominador aparece a expressão da probabilidade total. No entanto vamos tentar resolver as coisas sem
memorizar nada, ou pelo menos, reduzir ao mínimo o número de coisas a memorizar. Por isso a
probabilidade (total!) calculada no denominador é facilmente deduzida com o auxilio do Diagrama de
Venn correspondente a este exercício:

N
G
V
Por simples observação sabemos que podemos escrever:
G  (G  N )  (G V )
“Aplicando probabilidades” a ambos os membros desta igualdade e usando o facto de os acontecimentos
do segundo membro serem, naturalmente, mutuamente exclusívos podemos escrever:
P(G)  P(G  N )  P(G  V )
definição

prob.cond .
P(G | N ).P( N )  P(G | V ).P(V )  0.9  50 / 51  0.4  1 / 51  454 / 510

Que foi o resultado utilizado para responder ao pedido no enunciado.
6. Relativamente a uma dada população sabe-se que : 40% dos indivíduos se vacinam contra a gripe; de
entre os indivíduos vacinados 30% tiveram gripe; e de entre os indivíduos não vacinados 35% não
tiveram gripe. Escolhido um indivíduo ao acaso, calcule a probabilidade de :
a. Ter tido gripe .
b. Ter sido vacinado, sabendo que teve gripe .
18
Na qual devemos usar letras maiúsculas que sugiram o acontecimento...
19
O leitor deve perceber porque não é P( N | G ) a probabilidade pedida. Lembre-se que o que é conhecido é sempre o condicionante que neste
exercício é não germinar.
18
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Resolução:
Exercício análogo ao anterior, só que o problema está agora dividido em duas alíneas.
Definição dos acontecimentos:
- G  "Um Indivíduo ter Gripe "
- V  "Um Indivíduo ter sido Vacinado "
Dados do exercício:
P(G | V )  0.35 ; P(G | V )  0.30 e P(V )  0.40
a. Novamente a aplicação imediata do Teorema da Probabilidade Total permite resolver o problema. No
entanto vamos tentar resolver novamente com o auxilio do Diagrama de Venn correspondente a este
exercício:

V
G
V
Por simples observação, , sabemos que podemos escrever:
G  (G  V )  (G  V )
Aplicando probabilidade a ambos os membros desta igualdade e usando o facto de os acontecimentos do
segundo membro serem mutuamente exclusívos podemos escrever:
P(G)  P(G  V )  P(G  V )
definição

prob.cond .
P(G | V ).P(V )  P(G | V ).P(V )  0.65  0.6  0.3  0.4  0.51 
b. Pretendemos saber: P(V | G )  ?
def .
P(V  G ) P(G | V ).P(V ) 0.30  0.40



 0.235  23.5% 
P (G )
P (G )
0.51
Na realidade a probabilidade pedida é imediatamente dada pela Fórmula de Bayes, na qual no
denominador aparece a expressão da probabilidade total.
19
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10 Exercícios Propostos
1. Uma urna possui três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas
nessa urna, de modo que retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade dela ser azul seja igual a 2/3?
2. Considere uma urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas e x bolas azuis. Uma bola é
extraída ao acaso dessa urna, a sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retira-se
novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Para que valores de x a probabilidade de que as bolas sejam da
mesma cor vale 1/2?
3. Uma máquina produziu 60 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Escolhendo-se ao acaso dois
parafusos dessa
amostra, qual a probabilidade de que os dois sejam perfeitos?
4. Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-se ao acaso, 3 parafusos
dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3 parafusos sejam defeituosos.
5. Em relação à questão anterior, determine a probabilidade de numa amostra de 3 parafusos ao acaso,
termos pelo menos dois parafusos defeituosos.
6. Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas sem reposição.
probabilidade de as duas primeiras serem pretas e a terceira vermelha?
Qual é a
7. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são extraídas duas bolas, uma após a outra, sem
reposição; a primeira bola extraída é de cor preta. Qual a probabilidade de que a segunda bola extraída
seja vermelha?
8. Sejam A e B acontecimentos tais que P(A)+P(B) = x e P(A  B)= y.
Determine em função de x e y a probabilidade de 20:
a. não se realizar nenhum dos dois acontecimentos.
b. que se realize pelo menos um dos dois acontecimentos.
c. que se realize quanto muito um único acontecimento.
d. que se realize um e um só dos dois acontecimentos.
9. Considere uma experiência aleatória e dois acontecimentos A e B :
a. Mostre que a probabilidade de se realizar apenas um dos acontecimentos é: P(A)+P(B)-2 P(A  B).
b. Mostre que se P(A)=0.7 e P(B)=0.4 então P(A  B)  0.1. Nestas condições a probabilidade destes dois
acontecimentos serem independentes é nula?
10. Sejam três acontecimentos tais que P(A)=P(B)=0.9 e P(C)=0 .
a. prove que P(A  B)  0.8 e que P( A B )  0.1.
b. diga, justificando, se A e B poderão ser mutuamente exclusivos.
c. poder-se-á afirmar que A e C são independentes ? Justifique.
20
Neste tipo de exercício, envolvendo acontecimentos, deve recorrer-se sistematicamente à representação por diagramas de Venn, apenas para
ajudar a visualizar, antes de equacionar, pois a justificação analítica é sempre necessária .
20
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11. A probabilidade de ocorrência de infecção pelo HIV em uma dada comunidade é de 0,5%. A
probabilidade de que esta mesma comunidade tenha alto consumo de sal (acima de 6 g/dia) é de 30%.
Qual a probabilidade de que um indivíduo tomado ao acaso desta comunidade tenha alto consumo de sal e
seja HIV positivo?
12. Em uma população de 1.000.000 de habitantes, 40.000 têm doença hipertensiva, 10.000 têm diabetes,
1.000 têm tuberculose activa e 500 têm infecção pelo HIV. Calcule as prevalências21 de cada uma destas
infecções.
13. Na tabela abaixo:
Com anticorpos
1960
40
Infecção pelo HIV
Sem anticorpos
7984
990.016
ELISA positivos
ELISA negativos
Calcule:
 a prevalência do HIV;
 a prevalência dos ELISA positivos;
 a prevalência dos ELISA negativos;
 a sensibilidade do ELISA;
 a especificidade do ELISA;
 o valor preditivo positivo do ELISA;
 o valor preditivo negativo do ELISA;
 a razão de verosimilhança positiva do ELISA e
 a razão de verosimilhança negativa do ELISA.
14. Num centro comercial está instalado um sistema de dez máquinas para utilização de cartão
multibanco. Diz-se que o sistema está em funcionamento se pelo menos uma das máquinas funciona.
Suponha que cada máquina funciona independentemente das outras e a probabilidade de funcionamento
de cada máquina é 0.85. Calcule a probabilidade do sistema estar em funcionamento.
15. Um sistema electrónico é constituído por duas componentes A e B de forma que a avaria de qualquer
delas inviabiliza o funcionamento do sistema. Sabe-se que a fiabilidade22 do sistema é de 0.10 e que a
probabilidade de falhar apenas uma componente é de 0.15 para A e 0.30 para B.
a. diga se as componentes funcionam independentemente uma da outra.
b. com a montagem em paralelo das componentes23, a substituição de B por uma nova componente mais
fiável (funcionando independentemente de A) levou à obtenção de uma fiabilidade de 90% . Qual a
fiabilidade da nova componente?
16. A produção de uma dada empresa é resultado da laboração de três máquinas A, B e C. As máquinas A
e B produzem 90% e 4% , respectivamente, dos produtos que satisfazem os critérios de qualidade. Dos
restantes produtos, que terão de ser reciclados, 88% vêm da máquina B e 9% da máquina C. Os produtos
de boa qualidade constituem 70% da produção global. Calcule a percentagem:
a. De produtos produzidos por A.
b. De produtos a reciclar que sejam produzidos por A.
c. De produção de C que é de boa qualidade.
21
veja o anexo 3, em que são esclarecidas estas noções de medicina.
probabilidade de não avariar durante um período de tempo fixo .
23
a falha deste sistema só ocorre com a avaria de ambas as componentes .
22
21
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11 Exercícios de Auto-Avaliação
I Escolha Múltipla
1. Quantos números de quatro algarismos podem ser formados com os dez algarismos usuais, sem haver
repetições?
a. 34 ; b. 210 ; c. 4536 ; d. 5040 ; e. outro valor.
2. De quantas maneiras dez pessoas podem sentar-se num banco que tem apenas quatro lugares?
a. 24 ; b. 210 ; c. 4536 ; d. 5040 ; e. outro valor.
3. Uma estante contem seis livros de matemática e quatro de física. Determine aproximadamente 24 a
probabilidade de três livros de matemática, em particular, estarem juntos.
a. 0.002 ; b. 0.011 ; c. 0.067 ; d. 0.3 ; e. outro valor.
4. Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui duas bolas vermelhas e
três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é transferida da primeira caixa para a segunda, e que
uma bola é extraída da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola extraída seja da
cor branca é:
a. 18/75 : b. 19/45 ; c. 19/48 ; d. 18/45 ; e. 19/75
5. A quantidade de números inteiros positivos menores que 400 que podemos formar, utilizando somente
os algarismos 1,2,3,4 e 5, de modo que não figurem algarismos repetidos, é:
a. 36 ; b. 56 ; c. 61; d. 85; e. 65.
6. Seja M um conjunto com 20 elementos. O número de subconjuntos de M que possuem exactamente 18
elementos é: a. 360 ; b. 190 ; c. 180 ; d. 120 ; e. 18
7. Seis pessoas A,B,C,D,E,F ficam em pé uma ao lado da outra, para uma fotografia. Se A e B se
recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, o número de
possibilidades distintas para as 6 pessoas se disporem é:
a. 120; b.72; c. 144; d. 156; e.192..
8. Dispõe-se de 6 jogadores de voleibol, entre os quais o jogador A. Quantas duplas diferentes podemos
formar nas quais não apareça o jogador A?
a. 8; b. 5; c. 10; d. 6 ; e. 16.
9. Considere os números inteiros maiores que 64000 que possuem 5 algarismos, todos distintos, e que não
contém os dígitos 3 e 8. A quantidade desses números é:
a. 2160 ; b. 1320 ; c. 1440 ; d. 2280 ; e. 2400.
10. Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando os algarismos
3,5,7,9, o número 7.953 ocupa a n-ésima posição. O valor de n é:
a. 18 ; b. 16 ; c. 17 ; d. 19 ; e. 20
24
às milésimas.
22
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11. A quantidade de números inteiros positivos menores que 400 que podemos formar, utilizando
somente os algarismos 1,2,3,4 e 5, de modo que não figurem algarismos repetidos, é:
a. 36 ; b. 56 ; c. 61 ; d. 85 ; e. 65
12. Seja M um conjunto com 20 elementos. O número de subconjuntos de M que possuem exactamente
18 elementos é: a. 360 ; b. 190 ; c. 180 ; d. 120 ; e. 18.
II Verdadeiro/Falso
Para cada uma das perguntas indique se cada opção é correcta ou falsa. A pergunta só estará
correctamente respondida se responder correctamente a todas as opções.
1. Considere uma experiência aleatória e dois acontecimentos A e B tais que o Diagrama de Venn
correspondente é:

A
B
Indique o valor lógico das seguintes afirmações:
a. A e B são acontecimentos mutuamente exclusivos.
b. A e B podem ser acontecimentos independentes.
c. A probabilidade de se realizar apenas um dos acontecimentos é: P(A)+P(B)-2 P(A  B).
d. A região sombreada corresponde a realizar-se um e um só dos dois acontecimentos.
2. Considere uma experiência aleatória e dois acontecimentos A e B tais que o Diagrama de Venn
correspondente é:

A
B
Indique o valor lógico das seguintes afirmações:
a. A região sombreada corresponde a não se realizar nenhum dos dois acontecimentos.
b. A e B são acontecimentos independentes.
c. A região sombreada corresponde a que se realize pelo menos um dos dois acontecimentos.
d. A região sombreada corresponde a que se realize quanto muito um único acontecimento.
23
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12 Referências Bibliográficas
Montgomery, D.C. e Runger, G. C., Applied Statistics and Probability forEngineers. John Wiley & Sons,
New York, 2ª Edição, 1999.
Ross, Sheldon M., Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists.John Wiley &
Sons, 1987.
Meyer, P. L., Probabilidades. Aplicações à Estatística. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de
Janeiro, 1981.
Murteira, Bento J., Probabilidades e Estatística. Vol. I e Vol. II, 2ª Edição, McGraw-Hill de Portugal Lda,
Lisboa, 1990.
24
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Anexo 1 Revisão sobre o Cálculo Combinatório
Introdução
Com vista a desenvolver o estudo em Probabilidades são necessárias algumas noções de cálculo
combinatório.
A origem de dois dos actuais ramos da matemática, a Análise Combinatória e a Teoria das
Probabilidades, foram os jogos de azar, ainda no século XVII, e.g., os jogos de cartas e de dados.
De uma forma muito geral, a Análise ou Cálculo Combinatório ocupa-se dos problemas de contagem de
organizações de objectos sujeitos a restrições diversas. As técnicas do Cálculo Combinatório foram
evoluindo e têm hoje grande importância na Teoria das Probabilidades, bem como em outros ramos da
matemática.
Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (15001557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise
Pascal (1623-1662). J. Bernoulli, Leibnitz e Euler são também apontados como fundadores desta teoria.
Estratégicas básicas de Contagem: Regras Básicas
Muitos problemas de contagem resolvem-se por aplicação, directa ou indirecta do seguinte princípio:
Regra fundamental
Se uma primeira escolha pode ser realizada de n1 maneiras, uma segunda escolha de n2 maneiras,...,etc.,
então o número total de possibilidades para o conjunto das escolhas possíveis é n1n2...
Nesta regra estamos a supor que temos vários procedimentos que podem ser executados de n 1,n2,…
maneiras, respectivamente, e que qualquer maneira de executar um dado procedimento pode ser seguida
(ou antecedida) por qualquer das maneiras dos outros procedimentos.
Exemplo:
O menino José foi jantar com os pais a um restaurante. A ementa consta de três variedades de sopa, dois
pratos de carne e dois de peixe e ainda cinco sobremesas possíveis. Quantas refeições distintas (uma sopa,
um segundo prato e uma sobremesa) podem ser servidas?
Com este exemplo pretende-se concomitantemente exemplificar a regra anterior e mostrar que a
simplicidade que encerra não a impede de ser capaz de resolver problemas do nosso quotidiano. A
aplicação da regra anterior é possível porque estamos na presença de uma sequência de três escolhas que
podem ser realizadas de três, quatro e cinco maneiras, respectivamente. Assim 345=60 refeições
distintas que podem ser servidas.
Este princípio é ainda, naturalmente, conhecido pela regra do produto como analogia com a próxima
regra.
Exercício: Um aluno submete-se à avaliação de 10 professores, cada um dá-lhe uma nota de 0 a 20,
somadas as notas das 10 avaliações, quantas notas diferentes pode o aluno ter?
Regra do soma
Se uma primeira escolha A pode ser realizada de n1 maneiras, uma segunda escolha B de n2
maneiras,...,etc., então a escolha de A ou B ou ... pode ser feita de n1+n2+...maneiras.
25
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Nesta regra estamos a supor que cada uma das maneiras de realizar cada procedimento não pode ser
seguido (ou antecedido) por nenhuma maneira de executar qualquer dos outros procedimentos.
Exemplo:
Num grupo de pessoas 30 são ingleses, 18 franceses e os restantes portugueses. Quantas pessoas deste
grupo são ingleses ou franceses ?
A resposta parece muito natural no entanto ela deve ser entendida como uma aplicação desta última
regra. Note-se no aspecto mais importante da regra anterior, as escolhas não se podem interceptar, i.e.,
não podem existir possibilidades comuns às duas ou mais escolhas realizadas. Neste exemplo a regra da
soma só é aplicável porque uma dada pessoa do grupo, não pode ser inglês e francês simultaneamente.
Este aspecto é de importância capital neste contexto. Logo a resposta pedida é 30+19=48 pessoas são
ingleses ou franceses.
Com estes resultados resolvem-se muitos problemas de contagem, nomeadamente com a aplicação
sucessiva ou simultânea das duas regras anteriores.
Arranjos com e sem repetição
Arranjos com repetição
Definição:
“Designaremos por arranjo com repetição ou arranjo completo a uma qualquer sequência formada por
elementos de um conjunto dado. Se o conjunto tiver n elementos, designaremos por Apn o número total de
arranjos com repetição que é possível formar com p elementos escolhidos entre os dados. Apn lê-se
arranjos com repetição de n, p a p. Atendendo à regra fundamental, tem-se:
Apn  n p .”
Exemplo:
Pretende-se formar palavras-chave, com ou sem sentido, com as habituais 23 letras. Quantas palavraschave distintas poder-se-iam construir?
Trata-se de um exemplo clássico de arranjos com repetição pois podem existir palavras-chave com as três
letras iguais. Assim temos arranjos com repetição de 23 letras, 3 a 3, A323  233  12167.
Arranjos (sem repetição)
Definição:
“Designaremos por arranjo sem repetição ou simplesmente arranjo a uma qualquer sequência formada
por elementos, todos diferentes, de um dado conjunto. Se o conjunto tiver n elementos, designaremos por
Apn o número total de arranjos sem repetição que é possível formar com p elementos escolhidos entre os n
dados. Apn lê-se arranjos de n, p a p. É evidente que p  n. A dedução de uma fórmula para esta situção é
menos evidente do que no caso anterior, no entanto recorre-se novamente à regra fundamental. Seja
( x1 , x 2 ,..., x p ) um dos arranjos de p elementos, todos distintos, escolhidos de entre n elementos de um
dado conjunto. Existem então n maneiras de escolher x1, que depois de este escolhido, existem n-1
maneiras de escolher x2, e assim sucessivamente até xp.
Logo temos:
Apn  n(n  1)(n  2)  ...  (n  p  1) .”
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Portanto um produto de p factores. Note-se que durante este capítulo apresentar-se-à uma outra fórmula
para os arranjos.
Exemplo:
Na final de uma dada prova olímpica temos 8 atletas. De quantas maneiras diferentes pode vir a ser feita
a distribuição das três medalhas (ouro, prata e bronze)?
Uma vez que um dado atleta não pode ocupar duas posições distintas do pódio, estamos na presença de
um exemplo de arranjos sem repetição. Existem assim 8 possibilidades para o 1º lugar 25, 7 para o 2º lugar
e 6 para o 3º lugar. Formalizando a resposta temos A38  8  7  6  336 possibilidades.
Permutações
Exemplo:
Imaginemos uma situção baseada no exemplo anterior em que existiam apenas três atletas. De quantas
maneiras diferentes pode vir a ser feita a distribuição das três medalhas?
Existem assim 3 possibilidades para o 1º lugar, 2 para o 2º lugar e 1 para o 3º lugar. Formalizando a
resposta temos A33  3  2  1  6 possibilidades. A situação e então um caso muito particular de arranjos,
pois todos os elementos do conjunto em causa figuram em cada um dos arranjos considerados., i.e., tratase de calcular Apn na situação de ser p=n, o que nos conduz à expressão Ann  n(n  1)(n  2)  ...  1 . No
entanto esta situação embora seja um caso particular da definição anterior, tem no contexto do cálculo
combinatório, um tratamento especial, que motiva a próxima definição.
Permutações
Definição:
“Chama-se permutação de elementos de um conjunto a um qualquer arranjo em que todos os elementos
desse conjunto figurem. Designaremos por Pn o número total de permutações de n elementos, lendo-se
permutações de n.
Pn  n(n  1)(n  2)  ...  2  1 .”
Pelo que no exemplo anterior a solução é dada por P3 .
Factorial de um número inteiro não negativo
Uma possível apresentação mais sintética para as duas expressões e por consequência mais simples, é
badeada na próxima definição.
Factorial de um número inteiro não negativo
Definição:
“Sendo n  IN 0 , dá-se o nome de factorial de n ou n-factorial, e representa-se simbolicamente por n! , ao
produto dos n números naturais que são menores ou iguais a n, i.e.:
n1
n  ( n  1)  ...  2  1 se
n!  
1
se n  0  n  1

25
.”
ou qualquer um dos outros dois lugares.
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Os factoriais de 0 e de 1 são obtidos por definição e serão necessários no ponto seguinte. Esta definição
pode ainda aparecer numa forma recursiva:
n1
n  ( n  1)! se
n!  
1
se n  0  n  1

Com esta nova definição podemos então reescrever as fórmulas anteriores26:
Permutações: Pn  n! Arranjos:
Apn 
n!
( n  p )!
Exemplos:
a. 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b. 4! = 4.3.2.1 = 24
c. observe que 6! = 6.5.4!
d. 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
e. 10! = 10.9.8.7.6.5!
f. 10! = 10.9.8!
Combinações
Em termos de definições do Cálculo Combinatório falta apenas uma definição que possibilite fazer
arranjos mas em que a ordem não seja relevante. Este aspecto esta na base da próxima definição.
Definição:
“Chamamos combinação a um qualquer subconjunto formado por elementos escolhidos de entre os de
um dado conjunto. Se o conjunto tem n elementos, designaremos por combinações de n elementos, p a p,
n
e representaremos simbolicamente por C pn ou   . Atendendo à definição anterior:
 p
n
n!
  
.”
 p  p! ( n  p )!
Evidentemente, n e p são, como habitualmente, números naturais. Além disso, deve ser p  n. Note que
n
  é o número de subconjuntos com p elementos de um conjunto de cardinal n.
 p
Exemplo:
Oito jogadores disputam um torneio de xadrez, pelo que cada um deles deve jogar com todos os outros,
mas apenas uma vez. Quantos jogos haverá neste torneio?
Este exemplo ilustra a definição anterior porque cada dois jogadores só se encontram uma única vez.
8
8!
8  7  6! 8  7


 28 jogos. 
Assim este torneio terá :   
2!6!
2
 2  2! (8  2)!
26
em que a expressão para os arranjos foi obtida multiplicando o numerador e o denominador por (n-p)!.
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Propriedades das Combinações
Dada a importância desta definição apresentam-se agora duas propriedades das combinações cuja
utilização adequada em determinadas situações pode facilitar muito os cálculos.
n  n 
 n   n   n  1
     


P1:    
P2: 
 p  1  p   p 
 p n  p
A demonstração destas propriedades é um bom exercício e voltaremos a estas expressões novamente,
quando falarmos do triângulo de Pascal, no próximo ponto.
Observe-se que em particular, tem-se:
n
.   =1 - um conjunto com n elementos tem um subconjunto com 0 elementos, o conjunto vazio.
0 
n
.   =1 - um conjunto com n elementos tem um subconjunto com n elementos, o próprio conjunto.
n
O Triângulo de Pascal
Trata-se de um triângulo aritmético que pode ser aumentado indefinidamente e que apresenta a seguinte
disposição:
1
11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
...
Este triângulo é conhecido pelo nome de triângulo de Pascal ou triângulo de Tartaglia, em virtude de
terem sido dois dos matemáticos que mais o utilizaram e estudaram no início do Cálculo Combinatório. É
fácil verificar que os números do triângulo podem facilmente ser escritos à custa de combinações,
nomeadamente atendendo às duas observações do ponto anterior, na forma:
0 
 
0 
 1   1
   
 0   1
 2  2  2
     
0   1  2
 3   3  3   3
       
 0   1  2   3
…
A observação e estudo deste importante triângulo sugerem-nos diversas propriedades das combinações,
entre as quais destacaremos as seguintes:
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n  n 
 , propriedade das
i) em cada linha, os números equidistantes dos extremos são iguais, i.e.,    
 p n  p
combinações já referida;
ii) a soma de dois números adjacentes numa linha é igual ao número que, na linha seguinte, figura entre
eles. Esta propriedade (conhecida por regra de Stiefel) já tinha sido referida na forma
 n   n   n  1

     
 ;
 p  1  p   p 
iii) a soma de todos os elementos da n-ésima linha é igual a 2 n . Esta propriedade é muito importante pois
n n
 n  n
     2 n , conduz ao facto , já referido, de um conjunto A, com n
na forma:       ...  
0
1
n

1
   

 n
elementos, ter exactamente 2n subconjuntos. Note que n é o cardinal de A.
Binómio de Newton
Denomina-se binómio de Newton27 , a todo binómio da forma (a + b)n , sendo n um número natural,
e.g., (3x - 2y)4 . ( onde a = 3x, b = -2y e n = 428). Exemplos de desenvolvimento de binómios de Newton:
a. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b. (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
c. (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4
d. (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5
O que se pretende agora é verificar que não é necessário “decorar” as fórmulas acima, já que elas
possuem uma lei de formação bem definida. Vamos tomar por exemplo, a alínea d. acima; observe que o
expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binómio, ou seja : 5. A partir do
segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização:
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O
resultado será o coeficiente do próximo termo.
Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo da alínea d. acima teríamos: 5.4 = 20;
agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o
coeficiente do terceiro termo procurado.
Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n.
Assim o terceiro termo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1
para 2).
Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binómio de Newton (a + b)7 será:
(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7
Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a2b5) ? Pela regra: coeficiente do termo
anterior = 35, multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do
termo que é 5. Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5(ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que é o
coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.
27
Isaac Newton - físico e matemático inglês(1642 - 1727). Suas contribuições à Matemática, estão reunidas na monumental obra Principia
Mathematica, escrita em 1687.
28
grau do binómio.
30
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Observações:
i) o desenvolvimento do binómio (a + b)n é um polinómio;
ii) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos;
iii) os coeficientes dos termos equidistantes29 dos extremos, no desenvolvimento de (a + b)n são iguais;
iv) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .
Em termos formais, a fórmula do Binómio de Newton30 pode apresentar-se na forma:
n
( a  b) n  np 0  a n  p b p
 p
Observacões:
i) os coeficientes do desenvolvimento são exactamente os números da linha n do triângulo de Pascal;
ii) a soma dos expoentes da parte literal de cada um dos termos do desenvolvimento é sempre n.
Exercícios Resolvidos sobre o Binómio de Newton
1. Determine o 7º termo do binómio (2x + 1)9 , desenvolvido segundo as potências decrescentes de x .
Resolução: Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n , onde a = 2x , b = 1 e n = 9. Como
queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efectuamos os cálculos indicados.
Temos então: T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9-6 . (1)6 = 9! /[(9-6)! . 6!] . (2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3
= 672x3. Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.
2. Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ?
Resolução:Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do binómio terá 9 termos,
porque n=8. Ora sendo T1T2T3T4T5T6T7T8T9 os termos do desenvolvimento do binómio, o termo do meio
(termo médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5 . Para isto,
basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efectuar os cálculos decorrentes. Teremos: T 4+1= T5=
C8,4.(2x)8-4.(3y)4 = 8!/[(8-4)!.4!].(2x)4.(3y)4 = 8.7.6.5.4! / (4!.4.3.2.1).16x4.81y4. Fazendo os cálculos vem:
T5=70.16.81.x4.y4 = 90720x4y4 , que é o termo médio procurado.
3. Desenvolvendo o binómio (2x - 3y)3n , obtemos um polinómio de 16 termos . Qual o valor de n?
Resolução: Ora, se o desenvolvimento do binómio possui 16 termos, então o expoente do binómio é igual
a 15. Logo, 3n =15 de onde conclui-se que n=5.
4. Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de :
a. (2x - 3y)12 ? ;
b. (x - y)50 ?
Resolução:
a. basta fazer x=1 e y=1. Logo, a soma S procurada será: S = (2.1 -3.1)12 = (-1)12 = 1
b. analogamente, fazendo x=1 e y=1, vem: S = (1 - 1)50 = 050 = 0.
29
30
mesma distância.
Ou fórmula binomial.
31
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Exercícios Propostos sobre o Binómio de Newton
1. Qual é o termo em x5 no desenvolvimento de (x + 3)8 ?
2. Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x - 3y)7 .
3. Qual é o valor do produto dos coeficientes do 2o e do penúltimo termo do desenvolvimento de (x - 1)80 ?
4. Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x).(x - 1/x)]6 , obtém-se como termo independente de x o valor:
a. 10 ; b. -10 ; c. 20 ; d. -20 ; e. 36.
5. A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é:
a. 5 ; b. 6 ; c. 10 ; d. 3 ; e. 4.
6. Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x2 + 1/(2x))n estão em progressão aritmética.
O valor de n é:
a. 4 ; b. 6 ; c. 8 ; d. 10 ; e. 12.
7. No desenvolvimento de (3x + 13)n há 13 termos. A soma dos coeficientes destes termos é igual a:
8. Sabendo-se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binómio (a + b)m é igual a 256, calcule
(m/2)!
9. Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (x2 + 1/x)9.
10. Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binómio (3x - 1)10.
11. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x )6 .
Exercícios Propostos sobre Cálculo Combinatório.
1. Mostrar que 2.4.6.8. ... .(2n – 2).2n = n! . 2n
2. Qual a soma dos números de cinco algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos
1,2,3,4 e 5?
3. Um cocktail é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos
cocktails diferentes podem ser preparados?
4. Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantos triângulos podem ser
construídos com vértices nos 9 pontos marcados?
5. Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo apenas 2 pessoas sabem
dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem?
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6. As rectas r e s são distintas e paralelas entre si. São dados 5 pontos distintos na recta r e 4 pontos
distintos sobre a recta s. Quantos são os triângulos determinados pelos pontos dados?
7. Quantas diagonais contém o hexaedro constituído por 6 faces triangulares obtido pela união de duas
pirâmides triangulares?
8. Provenientes das permutações dos algarismos 1,2,2,2,3,4, quantos números pares de 6 algarismos
existem?
9. De quantos modos podemos dispor em linha e alternadamente, 5 rapazes e 6 raparigas?
10. Quantos são os números de 5 algarismos distintos, menores que 30.000, formados com os algarismos
1,2,3,4,5?
11. Sabe-se que os números de telefone de uma cidade têm seis dígitos, onde o primeiro nunca é zero.
Supondo-se que os números dos telefones passem a ter sete dígitos, determine o aumento possível na
quantidade de telefones dessa cidade.
12. Dois grupos de excursionistas, um deles com 20 pessoas e o outro com 15, encontram-se em um certo
local de um país distante. Se todas as pessoas de um grupo cumprimentarem todas as pessoas do outro
grupo, qual o número total de cumprimentos?
13. Uma prova compõe-se de 6 questões de escolha múltipla com 5 alternativas cada. De quantos modos
um aluno pode preencher o quadro de respostas, escolhendo as alternativas ao acaso?
14. Em uma cidade, as placas dos automóveis são formadas por duas das 26 letras do alfabeto, seguidas
de 4 algarismos. Placas com letras iguais são proibidas, mas não há qualquer restrição quanto aos
algarismos. Quantas placas diferentes são possíveis?
15. Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?
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Anexo 2 Revisão da Teoria dos Conjuntos: Operacões entre conjuntos.
O que se pretende é fazer o análogo entre alguns resultados desta teoria e o que se passa com os
acontecimentos. Note-se que a linguagem de conjuntos é diferente da linguagem de acontecimentos, no
entanto há um certo paralelismo que faz com que em termos práticos, sejam teorias análogas. Vejamos
um exemplo de como estas linguagens são diferentes. Considere-se a expressão A  B :
i) linguagem de conjuntos: A e B são conjuntos e a expressão anterior lê-se intersecção dos conjuntos A e
B;
ii)linguagem de acontecimentos: A e B são acontecimentos e a expressão anterior designa a realização
simultânea dos dois acontecimentos referidos.
Uma representação gráfica dos conjuntos e das operações sobre conjuntos é usualmente designada por
Diagramas de Venn.
Observação:
i) podemos definir operações de união e intersecção, para qualquer número finito de conjuntos;
ii) dois (ou mais) conjuntos são equivalentes (são o mesmo conjunto) sempre que eles contenham os
mesmos elementos.
1. Reunião
Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto reunião A  B={x; x  A ou x  B}.
Exemplo: {0,1,3}  { 3,4,5}={0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto reunião contempla todos
os elementos do conjunto A ou B.
Propriedades imediatas:
i) A  A=A;
ii) A   = A;
iii) A  B=B  A31;
iv) A   =  , onde  é o conjunto universo.
2. Intersecção
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto intersecção A  B ={x; x  A e x  B}.
Exemplo: {0,2,4,5}  {4,6,7}={4}. Percebe-se facilmente que o conjunto intersecção contempla os
elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
Propriedades imediatas:
i) A  A=A;
ii) A   =  ;
iii) A  B=B  A32;
iv) A   =A onde  é o conjunto universo.
31
32
a união de conjuntos é uma operação comutativa.
a intersecção é uma operação comutativa
34
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São importantes também as seguintes propriedades:
i) A  (B  C)=(A  B)  (A  C) (propriedade distributiva);
ii) A  (B  C)=(A  B)  (A  C) (propriedade distributiva);
iii) A  (A  B)=A (lei da absorção);
iv) A  (A  B)=A (lei da absorção).
3. “Diferença”
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto “Diferença” A|B={x ; x  A e x  B}. Observe que os
elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos: {0,5,7}|{0,7,3}={5}; {1,2,3,4,5}|{1,2,3}={4,5}.
Propriedades imediatas:
i) A|  = A
ii)  |A = 
iii) A|A = 
iv) A|B  B|A ( i.e., a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).
4. Complementar de um conjunto
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A
e B, com a condição de que B  A , a diferença A|B chama-se, neste caso, complementar de B em relação
a A . Símbolo: CAB = A|B. Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo  , ou
seja ,  |B ,é indicado pelo símbolo B . Observe que o conjunto B é formado por todos os elementos que
não pertencem ao conjunto B, ou seja: B = {x; x  B}. É óbvio, então, que :
i) B  B =  ;
ii) B  B =  ;
iii)  =  ;
iv)  =  .
5. Número de elementos da Reunião de dois conjuntos.
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A (cardinal de A) seja n(A) e o número
de elementos de B (cardinal de B) seja n(B). Representando o número de elementos da intersecção A  B
por n(A  B) e o número de elementos da reunião A  B por n(A  B) , podemos escrever a seguinte
fórmula: n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B)
Resumo das Propriedades mais importantes referidas:
i) Leis Comutativas: A  B  B  A e A  B  B  A
ii)Leis Associativas: A  ( B  C )  ( A  B)  C e A  ( B  C )  ( A  B )  C
iii)Leis Distributivas: A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) e A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
iv) Elemento neutro33: A    A
Observe a analogia entre o  , conjunto vazio, e o 0, número real, em relação às operações de  e  , e as operações aritméticas x e +,
respectivamente.
33
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v) Elemento “absorvente”: A    
vi) Leis de Morgan:a) A  B  A  B ; b) A  B  A  B ; c) A  A
vii) A \ B  A  B
Existe ainda uma importante operação entre os conjuntos que tem interesse considerar num
contexto de acontecimenmtos aleatórios.
Definição:
“Sejam A1, …, An n conjuntos. Denominaremos produto cartesiano de A1, …, An ,denotando-o por
A1  A2  ...  An , o conjunto ( a1 , a 2 ,...,a n ), ai  Ai , i  1,...,n .”
Note que em geral o produto cartesiano não é comutativo pois os elementos do novo conjunto são
vectores tais que a componente j desse vector é um elemento do conjunto j no produto cartesiano, e não
de outro qualquer.
Exercícios Propostos sobre Teoria dos Conjuntos.
1. Numa universidade são lidos apenas dois jornais, X e Y. 80% dos alunos da mesma lêem o jornal X e
60%, o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa
que corresponde ao percentual de alunos que lêem ambos:
a. 80% ; b.14% ; c. 40% ; d. 60% ; e. 48%.
2. Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a:
a. 5 ; b. 6 ; c.7 ; d. 9 ; e. 10.
3. Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram
a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma das
sobremesas?
a. 1 ; b. 2 ; c. 3 ; d. 4 ; e. 0 .
4. Dados os conjuntos A, B e C, tais que: n(B  C) = 20 ; n(A  B) = 5 , n(A  C) = 4 , n(A  B  C) = 1 e
n(A  B  C) = 22. Nestas condições, o número de elementos de A|( B  C) é igual a:
a. 0 ; b. 1 ; c. 4 ; d. 9 ; e. 12.
5. Se A =  e B = {  }, então :
a. A  B ; b. A  B =  ; c. A = B ; d. A  B = B ; e. B  A.
6. Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A  B é 30, o número de elementos de
A  C é 20 e o número de elementos de A  B  C é 15. Então o número de elementos de A  (B  C) é
igual a:
a. 35 ; b. 15 ; c. 50 ; d. 45 ; e. 20.
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Anexo 3 Linguagem usada em Medicina
Interessa aplicar os conceitos aprendidos a vários áreas do conhecimento. Uma das principais é a
Medicina na qual alguns termos devem estar bem interiorizados para que a resolução de alguns problemas
seja possível. Este é o propósito deste anexo, tornar claro alguns dos termos desta ciência.
- Prevalência  Probabilidade de ser doente.
- Sensibilidade  Capacidade de identificar os positivos (doentes) entre os verdadeiramente doentes,
i.e., probabilidade de ter exame positivo, dado que é doente.
- Especificidade  Capacidade de identificar os negativos (não-doentes) entre os verdadeiramente
negativos, i.e., probabilidade de ter exame negativo, dado que não é doente.
- Valor Preditivo Positivo - VPP  Probabilidade de o indivíduo ser portador da doença dado que o teste
é positivo.
- Valor Preditivo Negativo - VPN  Probabilidade de o indivíduo não ser portador da doença dado que
o teste é negativo.
- Razão de Verosimilhança Positiva - RVP  Probabilidade de que dado resultado de teste fosse
esperado em um paciente portador da doença, comparado com a probabilidade de que o mesmo resultado
fosse esperado em um paciente sem a doença.
sensibilidade
RVP 
1  especificidade
- Razão de Verosimilhança Negativa- RVN  Probabilidade de que dado resultado de teste fosse
esperado em um paciente não portador da doença, comparado com a probabilidade de que o mesmo
resultado fosse esperado em um paciente com a doença.
1  sensibilidade
RVN 
especificidade
Vejamos um exemplo em que aplicamos estas definições e os conhecimentos aprendidos até este ponto.
Exemplo:
Sabendo-se que a prevalência do HIV na população geral é de 0,5% (0,005) e que a sua prevalência em
consumidores de droga é de 60% (0,6), e que a sensibilidade do ELISA é de 0,995 e a especificidade de
0,98, calcule a probabilidade de um indivíduo em cada população, sendo positivo ao ELISA, ser e não ser
portador de HIV.
Definem-se os acontecimentos: D  " Ser doente " , S  " Exame Ser Positivo "
São dados:
- A Prevalência (probabilidade de ser doente): P(D)
- A Sensibilidade (probabilidade de ter exame positivo, dado que é doente): P( S | D )
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- A Especificidade (probabilidade de ter exame negativo, dado que não é doente): P( S | D )
- O Valor Preditivo Positivo (probabilidade de ser doente, dado que o exame é positivo) é dado por:
def .
P( D ).P( S | D ) Teo .
P( D ).P( S | D )


Pr ob.Cond .
Pr ob.Total P ( D ).P ( S | D )  P ( D ).P ( S | D )
P( S )
1
P( D ).P( S | D )
1
P( D ).P( S | D )
- Valor Preditivo Negativo (probabilidade de não ser doente, dado que o exame é negativo) é dado por:
VPP  P( D | S )
VPN  P( D | S )

def .
P( D).P( S | D) Teo.
P( D).P( S | D)


Pr ob.Cond .
Pr ob.Total P( D ).P( S | D ))  P( D ).P( S | D )
P( S )

1
P( D).P( S | D)
1
P( D).P( S | D
Como:
- a probabilidade de ser positivo, dado que não é doente (falso positivo) é o complemento da
especificidade: P( S | D)  1  P( S | D)
- a probabilidade de ser negativo, dado que é doente (falso negativo) é o complemento da sensibilidade:
P( S | D )  1  P( S | D )
- a probabilidade de não ser doente é o complemento da prevalência: P( D)  1  P( D)
Então:
Para
população geral
0,005
0,995
0,995
0,98
0,005
0,02
VPP=
0,2
VPN=
0,999974
Para consumidores
de droga
0,6
0,4
0,995
0,98
0,005
0,02
0,986777
0,992405
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Soluções dos Exercícios Propostos
1. Seja x o número de bolas azuis a serem colocadas na urna. O espaço amostral possuirá, neste caso,
3+5+x = x+8 bolas. Pela definição de probabilidade, a probabilidade de que uma bola extraída ao acaso
seja azul será dada por: x/(x+8). Mas, o problema diz que a probabilidade deve ser igual a 2/3. Logo,
vem: x/(x+8) = 2/3, resolvendo a equação do 1º grau: 3x=2(x+8) , donde 3x =2x+16 e, finalmente vem
que x=16.
2. O espaço amostral da e.a. possui n() = 1+4+x = x+5 bolas. Vamos considerar três situações distintas:
A. as bolas extraídas são ambas da cor preta.
Como existe reposição da bola extraída, os acontecimentos são independentes. Logo, a probabilidade de
que saia uma bola preta (P) e em seguida outra bola preta (P’) será dada por: P(P  P’)=P(P).P(P’)
=[1/(x+5)].[1/(x+5)]=1/(x+5)2
B. as bolas extraídas são ambas da cor branca.
Usando o mesmo raciocínio usado em A. e considerando-se que os acontecimentos são independentes
(pois ocorre a reposição da bola extraída), teremos: P(B  B’)=P(B).P(B’)=[4/(x+5)].[4/(x+5)]= 16/(x+5)2
C. as bolas extraídas são ambas da cor azul.
Analogamente, vem: P(A  A’ =P(A).P(A’) =[x/(x+5)].[x/(x+5)] = x2/(x+5)2.
Estes três acontecimentos são mutuamente exclusívos, pelo que a probabilidade da união desses três
acontecimentos, será igual a soma das probabilidades individuais. Daí, pelos dados do problema, vem
que:[1/(x+5)2]+[16/(x+5)2]+[x2/(x+5)2]=1/2. Vamos resolver esta equação do 2º grau: (1+16+x2)/(x+5)2 =
1 /2 2(17+x2) = 1. (x+5)2 34 + 2x2 = x2 + 10x + 25, x2 – 10x + 9 = 0, de onde concluímos x=1 ou x=9.
3. Existem problemas de Probabilidades nos quais a contagem do número de elementos do espaço
amostral  não pode ser feita directamente. Teremos que recorrer à Análise Combinatória, para facilitar a
solução. Para determinar o número de elementos do nosso espaço amostral , teremos que calcular
quantos grupos de 2 parafusos poderemos obter com os 60 parafusos da amostra. Trata-se de um típico
problema de Combinações simples. Teremos então: n() = C60,2 = 60!/(58!.2!) = 60.59.58!/58!.1.2 =
30.59. Considerando-se o acontecimento E: os dois parafusos retirados são perfeitos, vem que: 60
parafusos – 5 defeituosos = 55 parafusos perfeitos. Teremos então que o número de possibilidades desse
acontecimento será dado por: n(E) = C55,2 = 55!/53!.2! = 55.54.53!/53!.1.2 = 55.27. Logo, a probabilidade
de ocorrência do acontecimento E será igual a: P(E) = n(E)/n() = 55.27/30.59 = 1485/1770 =
0,838983=83,8983%.
Resposta: aproximadamente 84%. A interpretação deste resultado é que se a e.a. for repetida 100 vezes,
obteremos aproximadamente em 84 vezes, dois parafusos perfeitos.
4. aproximadamente 0,005%.
5. aproximadamente 2,30% . Observação: pelo menos 2 defeituosos = 2 defeituosos ou 3 defeituosos.
6. 5/34 ou aproximadamente 14,7%
7. 5/8 ou 62,5%.
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8. a. 1-x+y

A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
b. x-y

c. 1-y

d. x-2y.

9. a.

40
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10. a.

A
B
11. Consumo e positividade para o HIV são, por definição, acontecimentos independentes. A
probabilidade de ocorrência simultânea é, então, o produto das probabilidades dadas: 0,005x0,3=0,0015
12. Prevalência de uma doença é a proporção de portadores desta em relação à população total, e coincide
numericamente com a probabilidade de ocorrência da doença. Neste exercício:
prevalências:
1.000.000
40.000
10.000
1.000
500
população
HAS
Diabetes
Tbc
HIV+
0,04
0,01
0,001
0,0005
13.
E+
E-
Gold standard
Genericamente:
c/Ab
s/Ab
c/Ab
s/Ab
1960
7984
9944
E+
a
b
40
990016 990056 Ec
d
2000
998000 1000000
a+c
b+d
P(HIV+)
P(HIV-)
P(E+)
P(E-)
a+b
c+d
a+b+c+d
0,002
0,998
0,009944
0,990056
Sen=0,98; Esp= 0,992 ; VPP=0,197104 ; VPN=0,99996 ; RVP=122,5 ; RVN=0,020161.
14. 1.0 .
15. a. Sim.
A
B

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b. 83%.
16.

B
A
Q
C
a. 63.9% ; b. 1.4% ; c. 60.9% .
Soluções da Escolha Múltipla
1. c.
2. d.
3. c.
4. c. 19/48 = 39,58%.
5. c.
6.
7. e.
8. c.
9. a.
10. a.
11. c.
12. b.
b.
Soluções do Verdadeiro/Falso
1. a. F; b. F; c. V; d. F
2. a. F; b. F; c. F; d. V
Soluções dos Exercícios Propostos sobre o Binómio de Newton
1. T4 = 1512.x5
2. 128
3. 6400
4. D
5. E
6. 8
7. 248
8. 24
9. O termo independente de x é o sétimo e é igual a 84.
10. 1024
11. 20.
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Soluções dos Exercícios Propostos sobre Cálculo Combinatório.
1. O primeiro membro da igualdade pode ser escrito como: 2.1 . 2.2 . 2.3 . 2.4 . ... . 2.(n – 1) . 2.n.
Observe que no produto acima, o factor 2 se repete n vezes; portanto, o produto de 2 por ele mesmo, n
vezes, resulta na potência 2n. Logo, o primeiro membro da igualdade fica: 2n(1 . 2 . 3 . 4 . ... . n). Observe
que entre parênteses, temos exactamente o factorial de n ou seja: n! Substituindo, vem finalmente : 2n . n!.
Assim, mostramos que: 2.4.6.8. ... .2(n – 1). 2n = n! . 2n . Então, podemos dizer que: o produto dos n
primeiros números pares positivos é igual ao factorial de n multiplicado pela n-ésima potência de 2.
2. Seja XYZWK a forma genérica de um número de 5 algarismos. Podemos observar que o algarismo 1
aparecerá: 4! (factorial de 4) vezes na forma 1YZWK. 4! vezes na forma X1ZWK . 4! vezes na forma
XY1WK. 4! vezes na forma XYZ1K. 4! vezes na forma XYZW1. O mesmo ocorrerá com os algarismos
2, 3, 4 e 5.. Para entender a passagem seguinte, é necessário relembrar o que significa VALOR
POSICIONAL de um algarismo. Vejamos através de exemplos: 132: o valor posicional de 1 é 100, o
valor posicional de 3 é 30 e o valor posicional de 2 é 2, o que resulta no número cento e trinta e dois =
132. 2456: o valor posicional de 2 é 2000, o valor posicional de 4 é 400, o valor posicional de 5 é 500 e o
valor posicional de 6 é 6, resultando no número dois mil quatrocentos e cinquenta e seis = 2456. Voltando
à solução do problema: Usando o conceito de VALOR POSICIONAL de um algarismo, teremos então as
seguintes somas:
1 – Para o algarismo 1 nas cinco posições possíveis:
S1 = 4!.1.10000 + 4!.1.1000 + 4!.1.100 + 4!.1.10 + 4!.1.1
2 – Para o algarismo 2 nas cinco posições possíveis:
S2 = 4!.2.10000 + 4!.2.1000 + 4!.2.100 + 4!.2.10 + 4!.2.1
3 – Para o algarismo 3 nas cinco posições possíveis:
S3 = 4!.3.10000 + 4!.3.1000 + 4!.3.100 + 4!.3.10 + 4!.3.1
4 – Para o algarismo 4 nas cinco posições possíveis:
S4 = 4!.4.10000 + 4!.4.1000 + 4!.4.100 + 4!.4.10 + 4!.4.1
5 – Finalmente, para o algarismo 5 nas cinco posições possíveis, teremos:
S5 = 4!.5.10000 + 4!.5.1000 + 4!.5.100 + 4!.5.10 + 4!.5.1
A soma procurada será então igual a S = S1+S2+S3+S4+S5
Vamos reescrever as expressões obtidas acima:
4!.1.10000 + 4!.1.1000 + 4!.1.100 + 4!.1.10 + 4!.1.1
4!.2.10000 + 4!.2.1000 + 4!.2.100 + 4!.2.10 + 4!.2.1
4!.3.10000 + 4!.3.1000 + 4!.3.100 + 4!.3.10 + 4!.3.1
4!.4.10000 + 4!.4.1000 + 4!.4.100 + 4!.4.10 + 4!.4.1
4!.5.10000 + 4!.5.1000 + 4!.5.100 + 4!.5.10 + 4!.5.1
Somando as expressões acima, observando que 10000, 1000, 100, 10 e 1, são termos comuns, vem: S =
4!(1+2+3+4+5).104+4!(1+2+3+4+5).103+4!(1+2+3+4+5).102+4!.(1+2+3+4+5).101+4!.(1+2+3+4+5).100.
Então, a soma S ficará igual a: S = 4!.(1+2+3+4+5).(10000+1000+100+10+1). Como 4! = 4.3.2.1 = 24,
vem: S = 24.(1+2+3+4+5).11111 = 24.15.11111. Finalmente, concluímos que S = 3.999.960, que é a
resposta do problema.
3. 120.; 4. 84.; 5. 48.; 6. 70.; 7. 01.; 8. 80.; 9. 86400.; 10. 48.; 11. 8.100.000.
12. 300.; 13. 15625.; 14. 6.500.000.;
15. 63 . Não pense que são 64 modos! Lembre-se de retirar a opção de todas as portas fechadas!
Soluções dos Exercícios Propostos sobre Teoria dos Conjuntos
1. c.; 2. e.; 3. a.; 4. d.; 5. a.; 6. a..
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