1 - cloudfront.net

CPV O cursinho que mais aprova na GV
FGV – ADM – Discursiva – 24/outubro/2010
matemática aplicada
01. O gráfico no plano cartesiano expressa a alta dos preços médios
de televisores de tela plana e alta definição, do modelo “LCD,
full HD, 32 polegadas”, antes da Copa do Mundo na África
do Sul e sua queda após o início. Os pontos A, A’ e C são
colineares.
Demonstre que o preço médio desse modelo em agosto de
2010 foi 8,3% menor, aproximadamente, que o preço médio
do mesmo modelo em maio de 2010.
02. Nos últimos anos, o salário-mínimo tem crescido mais
rapidamente que o valor da cesta básica, contribuindo para o
aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico abaixo
ilustra o crescimento do salário-mínimo e do valor da cesta
básica na região Nordeste, a partir de 2005.
Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos
valores do salário-mínimo e dos preços da cesta básica, na
região Nordeste, possam ser aproximados mediante funções
polinomiais do 1º grau, f (x) = ax + b , em que x representa o
número de anos transcorridos após 2005.
Resolução:
Resolução:
↔
A equação da reta AA´ é dada por y = mx + n
m=
Substituindo o ponto A, temos:
2500 = – 150 . 1 + n \ n = 2650 Þ y = – 150x + 2650
Assim, no mês de agosto o preço será:
yC = – 150 . 3 + 2650 \ yC = 2200
Sendo p a porcentagem de redução, temos:
2400 . (1 – p) = 2200 \ p @ 8,3%
∆y
2500 − 2350
=
∆x
1− 2
a) Determine as funções que expressam os crescimentos
anuais dos valores do salário-mínimo e dos preços da
cesta básica, na região Nordeste.
\ m = – 150 Þ y = – 150x + n
Para o salário-mínimo (f (x)), o coeficiente angular da reta é
∆y
510 − 300
dado por
= 42 .
=
∆
x
5− 0
O coeficiente linear da reta é 300.
Assim, f (x) = 42x + 300
Para a cesta básica (g(x)), o coeficiente angular da reta é dado
∆y 184 − 154
= 6.
por
=
∆x
5− 0
O coeficiente linear da reta é 154. Assim, g(x) = 6x + 154.
b) Em que ano, aproximadamente, um salário-mínimo poderá
adquirir cerca de três cestas básicas, na região Nordeste?
Dê a resposta aproximando o número de anos, após 2005,
ao inteiro mais próximo.
Resolução:
CPV
fgv10outadm
Queremos: f (x) = 3 . g(x) Þ 42x + 300 = 3 . (6x + 154)
24x = 162 Þ x = 6,75 @ 7 anos
Portanto, o salário será suficiente para comprar aproximadamente
3 cestas básicas no ano de 2012.
1
2
FGV – 24/10/2010
CPV o cursinho que mais aprova na GV
03. a) Por volta de 1650 a.C., o escriba Ahmes resolvia
equações como x + 0,5x = 30 , por meio de uma regra
de três, que chamava de “regra do falso”. Atribuía um
valor falso à variável, por exemplo, x = 10 , 10 + 0,5 .
10 = 15 e montava a regra de três:
Valor falso 10 15 Valor verdadeiro
x
30
10
x
=
→ x = 20
15
30
Resolva este problema do Papiro Ahmes pelo método
acima:
“Uma quantidade, sua metade, seus dois terços, todos
juntos somam 26. Qual é a quantidade?
04. Ao tentar encontrar a intersecção do gráfico de uma função
quadrática com o eixo x, um aluno encontrou as soluções:
2 + i e 2 – i . Quais são as coordenadas do vértice da
parábola? Sabe-se que a curva intercepta o eixo y no ponto
(0,5).
Resolução:
Como temos suas raízes, podemos expressar f (x) na forma
f (x) = a (x – (2 + i)) . (x – (2 – i)) Þ f (x) = a . (x 2 – 4x + 5).
Como f (0) = 5, temos: 5 = a . (02 – 4 . 0 + 5) Þ a = 1.
Logo f (x) = x 2 – 4x + 5; xV =
Desta forma, V = (2; 1).
−(−4)
2 . 1 = 2 e yV = f (2) = 1.
Resolução:
Do enunciado temos a seguinte equação:
2x
x
x+ +
= 26
2
3
E utilizando a regra do falso com x = 6, 6 + 3 + 4 = 13:
Valor falso Valor verdadeiro
6 x
13 26
6
x
Û x = 12
\
=
13
26
b) O matemático italiano Leonardo de Pisa (1170-1240), mais
conhecido hoje como Fibonacci, propunha e resolvia, pela
regra do falso, interessantes problemas como este:
1
“Um leão cai em um poço de 50 7 pés de profundidade.
Pé é uma unidade de medida de comprimento. Ele sobe
um sétimo de um pé durante o dia e cai um nono de um
pé durante a noite. Quanto tempo levará para conseguir
sair do poço?”
Resolva o problema pela regra do falso ou do modo que
julgar mais conveniente. Observe que, quando o leão
chegar a um sétimo de pé da boca do poço, no dia seguinte
ele consegue sair.
Resolução:
Considerando que ao subir 50 pés, no próximo dia o leão sairá
do poço, temos a equação:
1
1
I. x - x = 50 Û x = 1575 dias
7
9
Portanto, o leão levará 1576 dias para sair do poço.
Outra forma:
Pela regra do falso e utilizando x = 63 na equação I:
Valor falso Valor verdadeiro
63 x
2 50
63
x
=
Û x = 1575 dias.
2
50
CPV
Portanto, o leão levará 1576 dias para sair do poço.
fgv10outadm
05. Considere três trabalhadores. O segundo e o terceiro, juntos,
podem completar um trabalho em 10 dias. O primeiro e
o terceiro, juntos, podem fazê-lo em 12 dias, enquanto o
primeiro e o segundo, juntos, podem fazê-lo em 15 dias.
Em quantos dias, os três juntos podem fazer o trabalho?
Resolução:
Tempo que cada um dos trabalhadores completam a obra:
1o trabalhador – x dias
2o trabalhador – y dias
3o trabalhador – z dias
Definindo: rendimento =
trabalho
tempo
T
Þ R = t
Quando os trabalhadores produzem em dupla, podemos somar os
rendimentos:
T
T
T
R1 + R2 = Rtotal Û
Û
+
=
t1
t2
t total
1
1
1
+
=
t1
t2
t total
 1
 + 1 = 1
 y
z 10

1 + 1 = 1
Assim: 
 x
z 12
 1
 + 1 = 1
 x
y 15

Somando todas as equações membro a membro, temos:
2
2
2
1
1
1
+
+
+ + =
x
y
z 10 12 15
1
1  15
1
1
1
1
15
2  + +  =
\
+ + =
 x
y
z  60
x
y
z 120
1
1
1 1
\ x + y+z=8
\ juntos, os três completam o trabalho em 8 dias.
CPV o cursinho que mais aprova na GV
06. a) Em um laboratório, uma caixa contém pequenas peças
de mesma forma, tamanho e massa. As peças são
numeradas, e seus números formam uma progressão
aritmética: 5, 10, 15, ..., 500
Se retirarmos ao acaso uma peça da caixa, qual é a
probabilidade, expressa em porcentagem, de obtermos
um número maior que 101?
FGV – 24/10/2010
3
07. O serviço de compras via internet tem aumentado cada
vez mais. O gráfico ilustra a venda anual de ebooks, livros
digitais, em milhões de dólares nos Estados Unidos.
Resolução:
Temos a P.A. (5, 10, 15, 20, ... , 500):
an = a1 + (n – 1) . r
500 = 5 + (n – 1) . 5 \ n = 100 termos
e uma parte dela, outra P.A. (105, 110, ... , 500):
ak = a1 + (k – 1) . r
500 = 105 + (k – 1) . 5 \ k = 80 termos
Portanto, a probabilidade será:
P (an > 101) =
Suponha que as vendas anuais em US$ milhões, possa ser
estimada por uma função como y = a . ekx, em que x = 0
representa o ano 2002, x = 1, o ano 2003, e assim por diante;
e é o número de Euler.
Assim, por exemplo, em 2002 a venda foi de 7 milhões de
dólares.
A partir de que ano a venda de livros digitais nos Estados
Unidos vai superar 840 milhões de dólares?
Use as seguintes aproximações para estes logaritmos neperianos:
ln 2 = 0,7; ln 3 = 1,1; ln 5 = 1,6
Resolução:
Se x = 0, y = 7 \ 7 = a . ek(0) \ a = 7 então y = 7 . ekx
Em 2009 (x = 7), temos que:
315 = 7 . ek . 7 \ 45 = e7k
ln e7k = ln 45
7k . ln e = ln (32 . 5)
3, 8
7k = 2ln 3 + ln 5 \ k =
7
Para que y > 840 devemos ter
7 . ekx > 840 ekx > 120
ln ekx > ln (23 . 3 . 5) \ kx ln e > 3ln2 + ln3 + ln5
kx > 4,8 \ x >
isto é, a venda irá exceder 840 milhões de dólares a partir de
2011.
80
\ P (an > 101) = 80%
100
b) Explique por que podemos afirmar que 101! + 19 não
é um número primo.
Resolução:
101! = 1 . 2 . 3 ... 19 . 20 ... 101 = 19k, isto é, múltiplo de 19.
Então 101! = 19k e 101! + 19 = 19k + 19 = 19 (k + 1) que é múltiplo de 19, portanto não é um número primo.
CPV
fgv10outadm
4, 8
4, 8
\ x >
3, 8
k
7
\ x > 8,84, 4
FGV – 24/10/2010
CPV o cursinho que mais aprova na GV
08. a) Determine o quarto termo da sequência (a1, a2, a3,... an...) dada por: an = 2an–1 + 1 e a1 = 1, com n > 1.
Resolução:
an = 2 . an–1 + 1 e a1 = 1
a2 = 2 . a1 + 1 = 2 . 1 + 1 = 3
a3 = 2 . a2 + 1 = 2 . 3 + 1 = 7
a4 = 2 . a3 + 1 = 2 . 7 + 1 = 15 \ a4 = 15
b) O jogo “A torre de Hanói” tem sido jogado desde o século dezenove. É formado por três hastes de plástico, metal ou
madeira, diversos anéis de tamanhos diferentes e consiste em transferir e reconstruir a torre em torno de uma das duas
hastes vazias, mas seguindo as regras:
1a Somente um anel pode ser movido de cada vez.
2a Nenhum anel pode ficar sobre um anel menor.
Para uma torre com dois anéis, o menor número de movimentos necessários para transferi-la é 3.
Use o desenho abaixo e mostre como transferir uma torre
de 3 anéis no menor número possível de movimentos.
Resolução:
1
2
3
4
5
6
7
CPV
fgv10outadm
CPV o cursinho que mais aprova na GV
c) O menor número de movimentos an para transferir uma
torre de n anéis, n > 1, satisfaz a relação:
an + 1 = 2 (an–1 + 1). Qual é o menor número de
movimentos necessários para transferir uma torre com
6 anéis?
Resolução:
FGV – 24/10/2010
c) Expresse o problema mediante um sistema de duas
equações com duas variáveis.
Resolva o sistema de equações usando, se julgar
conveniente, as identidades do item A.
Resolução:
Como a menor quantidade de movimentos an para transferir
uma torre de ndiscos satisfaz a relação:
an + 1 = 2 . (an–1 + 1)
an + 1 = 2 an–1 + 2
an = 2 an–1 + 1 (I)
E como o menor número de movimentos para transferir uma
torre com um único disco é 1, temos: a1 = 1 (II)
Por (I) e (II) temos que o menor número de movimentos
segue a sequência apresentada no item a.
x + y = 8
(x + y) + (x + y)2 – 2 xy + (x + y) [(x + y)2 – 3xy] = 194
Portanto, a4 = 15 e, a partir daí:
a5 = 2 . 15 + 1 = 31
a6 = 2 . 31 + 1 = 63 Þ 63 movimentos
x + y = 8
8 + 82 – 2x . (8 – x) + 8 . (82 – 3x . (8 – x)) = 194
09. a) Demonstre que as duas equações abaixo são identidades.
1a (x + y)2 – 2xy = x2 + y2
2a (x + y) . [(x + y)2 – 3xy] = x3 + y3
Resolução:
1a (x + y)2 – 2xy = x2 + 2xy + y2 – 2xy = x2 + y2
2a (x + y) . [(x + y)2 – 3xy] = (x + y) . (x 2 + 2xy + y2 – 3xy)
= (x + y) . (x2 – xy + y2) = x3 – x2y + xy2 +
+ x2y – xy2 + y3 = x3 + y3
b) Um cavalheiro, tentando pôr à prova a inteligência de
um aritmético muito falante, propôs-lhe o seguinte
problema: “Eu tenho, em ambas as mãos, 8 moedas
no total. Mas, se eu conto o que tenho em cada mão,
os quadrados do que tenho em cada mão, os cubos do
que tenho em cada mão, a soma disso tudo é o número
194. Quantas moedas tenho em cada mão?”
Mesmo que você resolva o problema por substituição
e tentativa, faça o que é pedido no item C.
Resolução:
Temos: x: número de moedas em uma das mãos.
8 – x: número de moedas na outra mão.
Assim
x + 8 – x + x2 + (8 – x)2 + x3 + (8 – x)3 = 194
8 + (x + 8 – x)2 – 2 . x (8 – x) + (x + 8 – x) . [(x + 8 – x)2 –
– 3 . x (8 – x)] = 194
8 + 64 – 16 x + 2x2 + 8 . (64 – 24 x + 3x 2) = 194
72 – 16 x + 2 x2 + 512 – 192 x + 24 x2 = 194
26 x2 – 208 x + 390 = 0 Þ x2 – 8x + 15 = 0
x = 3 ou x = 5
Logo, ele tem 3 moedas em uma mão e 5 moedas na outra
mão.
CPV
fgv10outadm
5
Sendo
x: número de moedas em uma das mãos
y: número de moedas na outra mão
temos:
x + y = 8
(x + y) + (x2 + y2) + (x3 + y3) = 194
x + y = 8
x2 – 8x + 15 = 0
x + y = 8
x = 3 ou x = 5
x = 3 e y = 5
ou
x = 5 e y = 3
S = {(3; 5), (5; 3)}
6
CPV o cursinho que mais aprova na GV
FGV – 24/10/2010
10.
a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices são
os afixos dos números complexos: 3, 6i , –3 e –6i,
respectivamente.
b) Quais são as coordenadas dos vértices do losango
A’B’C’D’ que se obtém girando 90º o losango ABCD,
em torno da origem do plano cartesiano, no sentido
anti-horário?
c) Por qual número devemos multiplicar o número
complexo cujo afixo é o ponto B para obter o número
complexo cujo afixo é o ponto B’?
Resolução:
y
B (0;6)
A'
B'
C (–3;0)
0
A (3;0)
D'
x
C'
D (0;–6)
a) A figura acima, consolida que:
AC = 6 e BD = 12
Assim, a área do losango ABCD é dada por
AC . BD 6 . 12
= 36
=
2
2
b) Ao rotacionarmos o losango ABCD de 90º no sentido antihorário, obtemos o losango A'B'C'D', cujas coordenadas são
A' (0; 3), B' (–6; 0), C' (0;–3) e D' (6;0) ou seja, são os afixos
dos números complexos 3i, –6, –3i e 6.
c) Sendo z = x + yi o número complexo procurado, temos:
z . 6 i = –6 Þ (x + yi) . 6 i = – 6 Þ –6 y + 6 xi = –6 Þ
6x = 0 –6y = – 6
CPV
fgv10outadm
Þ
x = 0 y = 1 \ z=i