Mat Ensino - Notacao Cientifica 2010-2

IFSC / Matemática Básica
Prof. Júlio César Tomio
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
O que é uma notação científica?
É apenas uma forma de escrever números que representam quantidades (ou valores) muito grandes ou muito pequenas.
Veja os números:
• 5.973.600.000.000.000.000.000.000 kg
→ Massa do Planeta Terra
• 0,0000000000000000001602176487 C
→ Carga elementar aproximada de um elétron [em módulo]
• 1.099.511.627.776 bytes = 1 Terabyte
→ Capacidade de armazenamento de memória [equivalente a 1024 GB]
• 0,00000000000000000000000000167 kg
→ Massa aproximada de um próton
Na vida cotidiana, poucas vezes temos contato direto com números de tal magnitude, entretanto, quando estamos
envolvidos com algumas áreas do conhecimento como a física, a química, a informática, entre outras, faz-se necessário a
utilização da notação científica para simplificar a forma de escrever e calcular alguns números (como os exemplificados
acima).
Utilizando a notação científica, os exemplos dados acima ficariam assim:
• 5,9736 ⋅ 1024 kg
→ Massa do Planeta Terra
• 1,602176487 ⋅ 10
–19
C
→ Carga elementar de um elétron [em módulo]
• aprox. 10
bytes
→ Capacidade de armazenamento de memória [equivalente a 1024 GB]
• 1,67 ⋅ 10
kg
→ Massa aproximada de um próton
12
–27
Nota:
No caso de capacidade de armazenamento de memória [veja acima], o valor 1012 é uma aproximação para 240 [pois a base
para valores de armazenamento de memória é binária]. Interessou? Procure saber mais!!
Formalizando, temos:
Um número
n
X escrito em notação científica terá sempre a forma: X = m ⋅ 10
m → é um número que varia [em módulo] de 1 até 9,99... , ou seja, 1 ≤ | m | < 10 , chamado mantissa.
Onde:
n → é um número inteiro positivo ou negativo, ou seja, n ∈ Z ∗ , chamado ordem de grandeza.
Exemplos:
♦ 6,02 ⋅ 1023
→ A constante de Avogadro (aprox.)
♦ 9,1093822 ⋅ 10
–31
→ A massa de um elétron
kg
♦ 4 ⋅ 10 m
→ A circunferência do planeta Terra
7
♦ 4,5 ⋅ 10–23 g
♦ 6,67428 ⋅ 10
–11
→ A massa aprox. do átomo de alumínio [em gramas]
3
–1 –2
m kg s
♦ 2,998 ⋅ 10 m/s
8
→ Melhor valor estimado para a constante de gravitação universal
→ Velocidade da Luz [aproximada, em metros por segundo]
Inicialmente, vamos relembrar algumas regras para as Potências de 10.
Veja:
101 = 10
10−1 =
1
1
=
= 0,1
101 10
102 = 10 ⋅ 10 = 100
10−2 =
1
1
= 0,01
2 =
10
100
103 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000
10−3 =
1
1
= 0,001
3 =
10
1000
104 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 10.000
10−4 =
1
1
= 0,0001
4 =
10
10.000
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Observação:
Consideramos que 10 = 1 .
0
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Como transformar um número qualquer para a notação científica:
• Se o número
X representa uma grande quantidade: | X | ≫ 1
5749
=
5,749
136.000
=
1,36
43.000.000
=
4,3
100.000.000
=
1
⋅ 103
⋅ 105
⋅ 107
⋅ 108
108
=
O expoente da potência de base 10 na notação científica corresponde ao número de casas decimais que deslocamos a
vírgula [para a esquerda] até que tenhamos um número m tal que 1 ≤ | m | < 10
• Se o número
X representa uma pequena quantidade: | X | ≪ 1
⋅ 10–7
0,0000004123
=
4,123
0,000805
=
8,05
0,007
=
0,01
=
⋅ 10–3
1 ⋅ 10–2
⋅ 10–4
7
10–2
=
O expoente da potência de base 10 na notação científica corresponde ao número [NEGATIVO] de casas decimais que
deslocamos a vírgula [para a direita] até que tenhamos um número m tal que 1 ≤ | m | < 10
Veja agora duas transformações realizadas passo a passo:
Exemplo 1:
253 716, 42
253 716, 42
=
25371,642 ⋅ 101
=
2537,1642 ⋅ 102
=
253,71642 ⋅ 103
=
25,371642 ⋅ 104
=
2,5371642 ⋅ 105
Informação:
As formas intermediárias apresentadas ao lado,
como
2537,1642 ⋅ 102 e 0,00714 ⋅ 10−5 NÃO
são notações científicas. Estes números estão
num “formato” que chamamos de Notação
Exemplo 2:
0,0000000714 =
m ⋅ 10n o valor de m deve pertencer ao
intervalo 1 ≤ | m | < 10 , o que não acontece
−2
=
0,00000714 ⋅ 10
=
0,0000714 ⋅ 10−3
nos casos citados acima.
−4
=
0,000714 ⋅ 10
=
0,00714 ⋅ 10−5
=
0,0714 ⋅ 10−6
=
0,714 ⋅ 10−7
0,0000000714 =
Exponencial. Lembre-se que na notação científica
0,000000714 ⋅ 10−1
7,14 ⋅ 10−8
Perceba nas transformações apresentadas acima que, quando a vírgula “pula” uma casa decimal de posição, o expoente da
potência de base 10 [ordem de grandeza] varia em uma unidade.
Observações:
♦ Caso um número qualquer X seja negativo e seja necessário representá-lo em notação científica, o procedimento é
análogo ao visto até agora, bastando apenas colocar o sinal negativo na mantissa da notação científica.
Veja o exemplo:
− 12.000.000.000.000 = − 1,2 ⋅ 1013
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♦ A maioria das calculadoras científicas “trabalha” com a notação científica de alguma forma. Alguns modelos possuem a
tecla Exp para escrever números em notação científica. Em outros modelos, devemos acessar essa função através da tecla
MODE ou outra tecla específica. Caso você tenha uma calculadora científica – ATENÇÃO, procure saber como ela funciona,
para melhor aproveitar seu equipamento [consulte o manual, se necessário].
♦ Um número escrito em notação científica também pode aparecer com pequenas variações na sua representação. Isso
pode ocorrer nas calculadoras ou até mesmo em algumas literaturas matemáticas. Veja:
1,23 ⋅ 1015
1,23 × 1015
=
=
1,23 E15
1, 23 Exp15
=
Algumas Propriedades Operatórias com Potências de 10:
Em aplicações que envolvem números em notação científica [como aqueles exemplificados no início deste material] é comum
operar tais números com outros, em notação científica ou não, em fórmulas específicas. Assim, é importante saber que:
10m ⋅ 10n = 10m+ n
10m ÷ 10n =
10m
= 10m−n
10n
( 10m)n = 10m ⋅n
( m ⋅ 10 )n = mn ⋅ 10n
NOTA: Vale lembrar que as propriedades mencionadas acima também valem para números (não nulos) diferentes de 10.
Exemplos:
• Determine o resultado das expressões em notação científica:
a)
b)
1011
3
10
c)
d)
e)
108 ⋅ 105 = 108+5 = 1013
108 ⋅ 105 = ?
1011
=?
104 ⋅ 107
1015
3
10
= 1011−3 = 108
104 ⋅ 107
=?
1015
( 2,3 ⋅ 109) ⋅ ( 4,05 ⋅ 106) = ?
( 1,2 ⋅ 104) ⋅ ( 2,3 ⋅ 106)
4,1 ⋅ 10
3
=
104+7
1011
=
1015
1015
= 1011−15 = 10−4
( 2,3 ⋅ 109) ⋅ ( 4,05 ⋅ 106) = 2,3 ⋅ 109 ⋅ 4,05 ⋅ 106 = 2,3 ⋅ 4,05 ⋅ 109 ⋅ 106 = 9,315 ⋅ 1015
1,2 ⋅ 104 ⋅ 2,3 ⋅ 106
=?
4,1 ⋅ 10
3
=
1,2 ⋅ 2,3 ⋅ 104 ⋅ 106
4,1 ⋅ 10
3
=
2,76 ⋅ 1010
4,1 ⋅ 10
3
≅ 0,673 ⋅ 107 ≅ 6,73 ⋅ 106
Atenção: Observe que, nos exemplos [d] e [e], operamos as mantissas entre si e as potências de 10 entre si.
EXERCÍCIOS – Notação Científica
1) Escreva em notação científica os números dados a seguir.
a)
123
b)
1230
c)
12.300
d)
470.000.000
g)
71,9
h)
281,5
i)
− 90,1
j)
− 15,07
e)
11.460.000.000
f)
10.000.000.000
e)
0,0000000000052
f)
− 0,00000001
0,0911 ⋅ 10−21
f)
− 18000 × 103
2) Escreva em notação científica os números dados abaixo.
a)
0,14
b)
0,014
c)
0,0014
d)
− 0,000000749
3) Escreva em notação científica os números dados em notação exponencial.
a)
13 ⋅ 107
b)
0,28 ⋅ 10−5
c)
8000 × 10−6
d)
0,0560 ⋅ 1014
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e)
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4) Determine o valor das expressões dadas, apresentando o resultado em notação científica.
a)
( 2,5 ⋅ 105) ⋅ ( 3 ⋅ 1011)
b)
( 3,4 ⋅ 10−5) ⋅ ( 2 ⋅ 1011)
c)
2,5 ×109 ⋅ 4 ×10−3
d)
1,5 × 10−6 ⋅ 100
e)
7,2 ⋅ 105 ⋅ 5 ⋅ 10−11 ⋅ 7,3
f)
2 ⋅ 10−11 × 8 ⋅ 1011 × 1000
g)
j)
107
h)
102
( 9,2 ⋅ 104) ⋅ ( 4,15 ⋅ 1016)
3, 22 ⋅ 103
k)
10−1 ⋅ 108
i)
1022
1, 2 ⋅ 1025 × 2,3 ⋅ 106
l)
4,1 ⋅ 1000
2,4 × 1012
3,0 × 1010
10−12 × ( − 8 ⋅ 104) × 2 ⋅ 107
2 ⋅ [ 8 ⋅ 105]
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a)
1, 23 ⋅ 102
1b)
1, 23 ⋅ 103
1c)
1, 23 ⋅ 104
1d)
4,7 ⋅ 108
1e)
1,146 ⋅ 1010
1f)
1 ⋅ 1010
1g)
7,19 ⋅ 101
1h)
2,815 ⋅ 102
1i)
− 9,01 ⋅ 101
1j)
− 1,507 ⋅ 101
2a)
1,4 ⋅ 10−1
2b)
1,4 ⋅ 10−2
2c)
1,4 ⋅ 10−3
2d)
− 7,49 ⋅ 10−7
2e)
5, 2 ⋅ 10−12
2f)
− 1 ⋅ 10−8
3a)
1,3 ⋅ 108
3b)
2,8 ⋅ 10−6
3c)
8 × 10−3
3d)
5,60 ⋅ 1012
3e)
9,11 ⋅ 10−23
3f)
− 1,8 × 107
4a)
7,5 ⋅ 1016
4b)
6,8 ⋅ 106
4c)
107
4d)
1,5 ⋅ 10−4
4e)
2,628 ⋅ 10−4
4f)
1,6 ⋅ 104
4g)
105
4h)
1 ⋅ 10−15
4i)
8 ⋅ 101
4j) ≅ 1,1857 ⋅ 10
4l)
− 1 ⋅ 10−6
18
4k) ≅
6,7317 ⋅ 1027
REFERÊNCIAS
• Wikipédia, a enciclopédia livre. http://pt.wikipedia.org
Para refletir: O fracasso quebra as almas pequenas e engrandece as grandes, assim como o vento apaga a vela e atiça o fogo da floresta. (Benjamim Franklin)
ANOTAÇÕES:
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