ao infinito e além!

ao infinito e além!
{
prof. alexandre kirilov, dmat–ufpr

{
ao infinito e além
um pouco de história
• acredita-se que a ideia de infinito tenha surgido na grécia antiga
por volta do século v a.c.
• o conceito era tão bizarro e contrário a intuição humana que
confundiu filósofos e matemáticos por vários séculos e teve
efeitos profundos no desenvolvimento da ciência, da filosofia
e da religião
• as primeiras referências notáveis ao infinito são associadas aos
gregos:
• zenão de eleia (495 – 435 a.C.)
• paradoxos de zenão
• pitágoras de samos (~570 - ~495 a.C.)
• descoberta dos irracionais
aquiles e a tartaruga
• esse famoso paradoxo se refere a uma competição entre aquiles
(o maior corredor da época) e uma pobre tartaruga
• como aquiles é claramente mais veloz que a tartaruga, é dada
uma vantagem inicial para a tartaruga de certa distância
• iniciada a corrida:
•
•
•
•
assim que aquiles atingir o ponto de partida t1 da tartaruga ela
estará um pouco a frente, num ponto t2
quando aquiles chegar ao ponto t2, a tartaruga já estará um pouco
a frente, num ponto t3
Chegando em t3, aquiles verá a tartaruga um pouco a frente, num
ponto t4
...
• conclusão: aquiles nunca alcançará a tartaruga!
como justificar a inexistência desse paradoxo?
• é claro que aquiles alcançará a tartaruga, concordam?
• raciocine primeiro com um exemplo
•
•
•
•
suponha que aquiles é 2 vezes mais rápido que a tartaruga
suponha que aquiles e a tartaruga vão correr sobre uma linha reta
suponha que aquiles percorre os 8m em 1s, logo a tartaruga
percorrerá 4m em 1s
dê 8m de vantagem para a tartaruga
• passado 1s, aquiles estará 8m a frente de seu ponto de partida e
a tartaruga 4m a frente de aquiles
• como aquiles corre a 8m/s, percorrerá os 4m seguintes em 1 2 𝑠,
e nesse tempo a tartaruga percorrerá 2m
• para percorrer o 2m seguintes, aquiles gastará 1 4 𝑠, e nesse
tempo a tartaruga percorrerá 1m
• para percorrer o 1m seguinte, aquiles gastará 1 8 𝑠, e nesse
tempo a tartaruga percorrerá ½ m
• ...
justificando o paradoxo
•
•
distância percorrida por aquiles
1
1
1
1
1
1
8 + 4 + 2 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + ⋯ =
tempo gasto por aquiles para percorrer os 16m
1
1
1
1
1
1
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + ⋯ =
1
1
1−2
8
1
2
1−
= 2𝑠
= 16
Paradoxo da dicotomia
ninguém pode sair dessa sala
• o segundo paradoxo famoso de aquiles afirma que ninguém é
capaz de sair dessa sala, pois:
•
•
•
•
para sair daqui você precisa primeiro andar metade da distância
entre sua cadeira e a porta, chegando no ponto médio p1
a seguir precisa andar metade da distância restante entre p1 e
porta, chegando em p2
depois disso, precisa andar metade da distância entre p2 e a porta,
chegando em p3
e assim ad infinitum
• dessa forma ninguém mais pode sair dessa sala
Paradoxo da dicotomia
Estamos todos paralisados
• pois:
•
•
•
•
•
para sair daqui da sala você precisa primeiro andar metade da
distância entre sua cadeira e a porta
porém, antes de chegar a metade da distância você deve chegar a
um quarto da distância entre sua cadeira e e porta
antes disso, precisa chegar a 1/8 da distância
por sua vez, deve chegar a 1/16 da distância
e assim por diante ...
• dessa forma ninguém mais pode sair de sua cadeira
• conclusão de zenão
•
o movimento é impossível quando se pressupõe que o tempo e
espaço podem ser divididos infinitamente
convergência
• por trás desses paradoxos, se esconde um conceito
fundamental para compreensão do infinito
“um número infinito de etapas pode ser cumprido num tempo finito”
1
1
1
1
1
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ⋯ =
1
1
1−2
=2
• o conceito de “infinitas etapas podem ter uma soma finita é
chamado convergência.
fendas da desrazão
“Admitamos o que todos os idealistas admitem: o
caráter alucinatório do mundo
…(…)…
Nós o sonhamos como firme, misterioso, visível,
ubíquo no espaço e duradouro no tempo, mas em sua
arquitetura nos são concedidas tênues e eternas
fendas de desrazão que nos dizem que ele é falso.”
Jorge Luiz Borges
“Avatares da Tartaruga”.
pitágoras
• fundou em crótona (na bota italiana) uma escola de filosofia
• na juventude viajou pela babilônia e egito, onde estudou
geometria e aritmética
• sua escola introduziu na matemática a noção de teorema e
demonstração a partir de conceitos mais elementares
(definições, postulados e axiomas)
• descobriu que era possível construir um sistema lógico completo
no qual elementos da geometria e números eram equivalentes
• os pitagóricos acreditavam inicialmente que os números naturais
e suas razões seriam suficientes para explicar qualquer
fenômeno da natureza (deus é número)
pitagóricos
• deduziram vários teoremas, sendo o mais famoso
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2
• problema: ao aplicar esse teorema ao triângulo retângulo cujos
dois catetos tem lado 1, chegasse a
𝑎2 = 12 + 12 = 2, ou seja, 𝑎 = 2
• e usando um argumento geométrico que se estende ad infinitum
concluíram que 2 não poderia ser escrito como razão de dois
números naturais
• a ideia de divindade dos inteiros foi substituída pela ideia mais
rica de continuum
• hipaso, membro da ordem pitagórica, cometeu o crime de ao
mundo exterior a existência dos irracionais.
platão (427 – 348 a.c.)
‘o fazedor de matemáticos’
• contribuiu muito para a compreensão das
“magnitudes incomensuráveis” como 2 e 5
• ajudou a difundir a ideia que números irracionais são habitantes
desse mundo e que precisamos aceitá-los e tentar compreendêlos para o bem da ciência
• os pitagóricos representavam as magnitudes usando pedrinhas
(calculi), que originaram as palavras cálculo e calcular
• a partir de platão e euclides (autor de ‘os elementos’) as
magnitudes passaram a ser associadas a comprimentos
(segmentos de reta) e a aritmetização da geometria substituiu
definitivamente os calculi.
outros matemáticos
• eudóxio de cnido (390 – 338 a.c.)
• o livro V dos elementos de euclides traz a maior realização
de eudóxio: ‘o método da exaustão’
• eudóxio foi o primeiro a compreender que não é necessário
pressupor a existência de quantidades infinitamente
pequenas; basta presumir que existem quantidades ‘tão
pequenas quanto desejarmos’ (infinito potencial)
• arquimedes de siracusa (287 – 212 a.c.)
• ajudou a difundir a ideia de infinito potencial e usou o
método da exaustão para calcular volumes e áreas de
corpos redondos
dois mil anos sem novidades
• santo agostinho (354 – 430) escreveu:
‘...os números são finitos, mas como classe são infinitos. isso significa que deus não
conhece todos os números por causa de sua infinidade? o conhecimento de deus
estende-se até certa soma? ninguém é insano de afirmar isso’
•
são tomás de aquino (1224 – 1274) escreveu sobre o conceito de infinito
tentando provar a existência de deus
•
nicolau de cusa (1401 – 1464) cardeal e matemático,
•
•
•
•
dedicou-se ao estudo do círculo e tentou resolver o problema da quadratura
do círculo
comparou o conhecimento de deus a um círculo e o conhecimento humano
a polígonos regulares inscritos no círculo
construiu um argumento limite no qual a medida que o conhecimento
humano aumentava, mais lados o polígono possuía e mais se aproximava
de deus
Infelizmente concluiu que o crescimento do conhecimento humano não tinha
importância, pois jamais alcançaria o conhecimento divino
galileu
• galileu galilei (1564 – 1642)
• um dos maiores cientistas da história;
• nasceu na itália renascentista: época em que os ventos da
mudança começavam a soprar e a criatividade humana
começava a desabrochar, apesar das fogueiras da santa
inquisição... que teimavam em queimar tudo que não estava
de acordo com a igreja
• Fez grandes descobertas na física: hidrodinâmica e
movimento do pêndulo [isocronismo], estudos com planos
inclinados e queda de corpos (que inspiraram a primeira lei
de newton)
• inventou telescópios mais poderosos, porém cometeu o erro
de apontá-los para o céu.
Galileu e a astronomia
• ao apontar um telescópio mais potente para o céu e fazer suas
próprias observações, galileu pode confirmar a teoria
heliocêntrica de copérnico, contrariando a igreja.
• em 1629 escreveu o livro “diálogos sobre dois grandes sistemas
do mundo”, no qual três pessoas discutiam a validade da teoria
heliocêntrica; uma dessas pessoas, chamada ‘simplício’
defendia a posição da igreja
• a inquisição convenceu o papa que o livro ridicularizava a igreja
e que o tal simplício era o próprio papa
• em 1632 todos os livros foram recolhidos e galileu recebeu a
ordem de ir para roma defender-se dessas acusações
galileu é condenado pela inquisição
• galileu foi julgado culpado e, devido a sua idade avançada
(quase 70 anos) foi condenado a prisão domiciliar perpétua
• em 1992, o papa joão paulo ii retirou as acusações contra
galileu, o inocentou e reconheceu que o tratamento dado a
galileu pela inquisição foi inadequado
• porém, para a matemática, a prisão domiciliar de galileu foi uma
benção
• em 1638 galileu publicou um novo livro: ‘diálogo sobre as duas
novas ciências’, no qual salvati e simplício discutiam os diversos
aspectos do infinito potencial e o primeiro passo em direção ao
infinito real é dado
a ideia de galileu
1 →1
2 →4
3 →9
4 → 16
5 → 25
6 → 36
7 → 49
8 → 64
9 → 81
10 → 100
...
𝑛 → 𝑛2
conclusão: a quantidade de números
naturais é a mesma de quadrados
perfeitos, apesar do conjunto de
quadrados perfeitos ser um subconjunto
próprio dos naturais
pausa: o que significa “contar” ?
pausa 2: por que isso foi tão significativo
para galileu?
o hotel hilbert
• o hotel hilbert é o maior hotel do mundo, possui infinitos quartos
e ostenta a fama de poder hospedar qualquer quantidade de
hóspedes
• porém, num certo dia, todos os infinitos quartos estavam
ocupados e um novo cliente chegou a recepção, o que fez o
gerente para que seu hotel não perdesse a fama?
• no dia seguinte um ônibus com 40 estudantes de matemática da
ufpr chegou nesse hotel; eles estavam indo para um congresso
no rio de janeiro (colóquio de matemática?) e o hotel estava
cheio, qual foi a solução do gerente?
• uma excursão infinita...
bolzano
• bernardo bolzano (1781–1848) padre e matemático em praga;
após ser afastado da igreja (por causa de ideias revolucionárias
em relação a teologia, dedicou-se somente a matemática
• em 1850, dois anos após sua morte, foi publicado o livro
“paradoxos sobre o Infinito”.
• bolzano descobre que a ideia de galileu poderia ser estendida
para o continuum, mostrando que os intervalos [0,1] e [0,2] são
equipotentes.
• fez várias contribuições para matemática, a mais famosa é
conhecida por teorema de bolzano-weierstass.
cantor
• george ferdinand ludwig cantor
(1845 – 1918)
• nasceu na russia e a partir dos 10 anos
sua família mudou-se para alemanha
• começou a estudar matemática em
zurique, mas logo foi para a universidade
de berlin, onde estudou com weierstrass,
kummer, kronecker e outros
• após o doutorado começou a dar aula na
univ. de hale, onde começou a estudar
funções usando os métodos inovadores
de weierstrass
a densidade dos racionais em Q
• dados dois racionais r e s, sempre existe outro racional entre
eles
r+𝑠
2
r
s
a densidade dos racionais em R–Q
• Dados dois irracionais 𝛼 ≠ 𝛽, sempre existe um racional r entre
𝛼e𝛽
r
𝛼
𝛽
a enumerabilidade dos racionais
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
...
...
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
...
...
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3
7
3
8
...
...
4
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
4
7
4
8
...
...
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
6
5
7
5
8
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
...
...
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
...
...
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3
7
3
8
...
...
4
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
4
7
4
8
...
...
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
6
5
7
5
8
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
não enumerabilidade da reta real
• Suponha, por absurdo, que o intervalo aberto (0,1) da reta é
enumerável, então podemos listar todos os seus elementos:
x1 = 0, x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17...
x2 = 0, x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27...
x3 = 0, x31 x32 x33 x34 x35 x36 x37...
x4 = 0, x41 x42 x43 x44 x45 x46 x47...
...
xk = 0, xk1 xk2 xk3 xk4 xk5 xk6 xk7 ... xkk ...
...
diagonal de cantor
x1 = 0, x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17...
x2 = 0, x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27...
x3 = 0, x31 x32 x33 x34 x35 x36 x37...
x4 = 0, x41 x43 x43 x44 x45 x46 x47...
...
xk = 0, xk1 xk2 xk3 xk4 xk5 xk6 ...xkk ...
...
x’ = 0,x’11 x’22 x’33 x’44 x’55 x’66 x’77.....x’kk ...
descobertas de cantor
• o conjunto dos números racionais tem a mesma quantidade de
elementos que o conjunto dos números racionais.
𝑐𝑎𝑟𝑑 𝑄 = card(𝑁)
• o infinito da reta é maior que o infinito dos naturais, ou seja,
existem infinitos de tamanhos diferentes!!!
𝑐𝑎𝑟𝑑 𝑅 > card(𝑁)
• o infinito dos números racionais é o “menor dos infinitos
• cantor chamou o infinito enumerável de “alef zero”
ℵ0
• e postulou a existência de uma sequência de “alefs”
ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , ℵ3 , ⋯ , ℵ𝑛 , ⋯
hipótese do continuum
• cantor chamou de c o infinito da reta (do contínuum) e
passou muito tempo tentando verificar a validade da
proposição
ℵ0
2
=𝑐
Sugestões de leitura
• aczel, amir o.: o mistério do alef: a matemática, a cabala e
a procura do infinito – sp: ed. globo, 2003.
• morris, richard: uma breve história do infinito. dos
paradoxos de zenão ao universo quântico, rj: ed. jorge
zahar, 1998.
• davis, philip j. e hersh reuben: a experiência matemática rj:
ed. francisco alves, 1985.
• eves, howard: introdução à história da matemática –
campinas: editora da unicamp, 2002.