Circuitos Elétrico

2012
Prof.
Graça
Circuitos
elétricos CC
Circuitos elétricos de CC
Conteúdo
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Circuitos Equivalentes
Princípio da Superposição
Elementos Lineares
Regras de Kirchoff
Divisor de tensão
Circuito de várias malhas (regra de Cramer)
Carga e Descarga de capacitores
Circuitos Indutivos
Corrente elétrica
Para aparecer uma corrente através de um resistor, devemos ter uma diferença de potencial
entre as suas pontas, o que é equivalente à existência de um campo elétrico:
E
V+
I
V_
O dispositivo capaz de manter essa diferença de potencial é uma fonte de força eletromotriz
fem. A fem é capaz de realizar continuamente um trabalho capaz de manter a diferença de
potencial V+ - VExemplos de fem
Trabalho energia e fem
Analisando o circuito:
a) Em um intervalo dt, uma carga dq passa através
da seção transversal aa´
b) A fem deve realizar um trabalho dW para levar a
carga dq do potencial menor para o maior.
A fem representa o trabalho por unidade de carga para levar a carga do potencial mais
baixo para o mais alto.
Unidade ():
[]=[W]/[q]
Joule/Coulomb
Volt
Fem ideal e real
Fonte Ideal
1. Possui resistência interna nula
2. A ddp entre os seus terminais é igual à fem da fonte:
Fonte Real
1. Possui resistência interna
2. A ddp entre os seus terminais é igual à fem só quando a fonte está
aberta, ou seja sem carga:
3. Quando há corrente através da fonte ddp entre os seus terminais é
diferente da fem.
Circuito elétrico: Fontes e cargas
Em resumo:
Cálculo da corrente
Dois métodos básicos:
1º Baseando-se na conservação de energia
2º Baseando-se na conservação de carga.
Método da Energia
•
A energia produzida pela fonte aparece no resistor sob a forma de calor, sendo a potência:
Como se trata de uma fonte
Ideal, o balanço de energia mostra:
Cálculo da corrente
Método do Potencial- regra das malhas:
Partindo de um ponto qualquer do circuito, em
qualquer sentido, podemos somar as
ddp...aplicando a conservação de energia.
• Vamos aplicar o método partindo do ponto ´a´ no sentido horário:
então
Cálculo da corrente
Método do Potencial- regra das malhas:
Partindo de um ponto qualquer do circuito, em
qualquer sentido, podemos somar as ddp
aplicando a conservação de energia.
A regra das malhas de Kirchoff, aplicação do método
do potencial ou conservação de energia pode ser
resumido assim:
A soma algébrica das variações de potencial
ao longo de uma malha fechada deve ser nula:
Cálculo da corrente: fonte real
A fonte real possui uma resistência interna r,
Aplicando a regra das malhas teremos:
Cálculo da corrente
Diferença de Potencial Entre Dois Pontos Quaisquer do circuito
Muitas vezes queremos calcular a d. d. p. entre dois pontos de um circuito, o método dos
potenciais pode ser útil neste momento.
Problema: Considere o mesmo circuito anterior onde os pontos que vamos
considerar são os pontos a e b.
Cálculo da corrente
b) Usando o mesmo valor da corrente do 1º caso
Obs.: não importa o sentido que percorremos o circuito, devemos encontrar a mesma
ddp entre os pontos a e b, pois esta ddp independe da trajetória.
Resistores em série
Problema: dadas as resistências de uma combinação em série, devemos encontrar
o resistor equivalente, que para a mesma bateria, substitui os demais resistores da
combinação.
Divisor de tensão
R1
v1  R1i 
v total
R1  R2  R3
R2
v2  R2i 
v total
R1  R2  R3
R3
v3  R3i 
v total
R1  R2  R3
Rk
vk  Rk i 
v total
R1  R2  R3
Aplicação do divisor de tensão
R1
v1 
v total
R1  R2  R3  R4
1000

 15
1000  1000  2000  6000
 1.5V
Na bateria, lembrando que dq=Idt, a Energia será dada por:
dW

; dW  dq  Idt
dt
Resistores em paralelo
Circuitos de Malhas Múltiplas
O sentido das correntes é sempre escolhido arbitrariamente
pois o resultado indicará o sentido verdadeiro
Ferramentas básicas para resolver o circuito de várias malhas:
1. Regra das malhas
método dos potenciais (conservação da energia)
2. Regra dos nós
conservação da carga
Circuitos de Malhas Múltiplas
O sentido das correntes é sempre escolhido arbitrariamente
pois o resultado indicará o sentido verdadeiro
Ferramentas básicas para resolver o circuito de várias malhas:
1. Regra das malhas
método dos potenciais (conservação da energia)
2. Regra dos nós
conservação da carga
Malha abda
−𝜖1 − 𝐼2 𝑅2 + 𝐼1 𝑅1 = 0
Malha bcda
𝜖2 +𝐼2 𝑅2 + 𝐼3 𝑅3 = 0
Nó b
−𝐼1 − 𝐼2 + 𝐼3 = 0
Circuitos de Malhas Múltiplas
Temos três equações, envolvendo as três correntes. Resolvendo para as três incógnitas (I1,
I2 e I3):
R1 I1 - R2 I2 + 0 I3 = ε1
0 I1 + R2 I2 + R3 I3 = - ε2
- I1 − I2+ I3 = 0
O método de solução mais agradável é o matricial:
A solução deste sistema envolve a
inversão da matriz de coeficientes e a sua
multiplicação pelo vetor de termos
independentes
A inversão e a multiplicação de matrizes numéricas pode ser feita no EXCEL
Circuitos de Malhas Múltiplas
Vamos dar como exemplo:
R1= 1; R2= 2; R3= 3; 1=12volts; 2=6volts
1 -2 0
0 2 3 x
-1 -1 1
12
= -6
0
0,454545
-0,27273
0,181818
=
=
12
0,181818 -0,54545
0,090909 -0,27273 x -6
0
0,272727 0,181818
4,363636
-3,81818
0,545455
Em vez da inversão de matrizes pode ser utilizada a regra de Cramer
que se encontra no livro
Circuítos
Capacitivos
Prof. Graça
Circuito RC :Carga e Descarga de Capacitores
Antes: tratamos até aqui com correntes elétricas que
não variam no tempo.
Agora: vamos tratar com correntes elétricas variáveis no
tempo.
1º Carregando um Capacitor
O capacitor está inicialmente descarregado. Movendo-se
a chave S para a temos um circuito RC em série e a fem,
ε, em série com a resistência R e a capacitor C.
Como a corrente varia no tempo? Para responder isso, vamos aplicar a Regra das Malhas no
circuito (com chave S em a), no sentido horário e começando do ponto x:
ε − VR − VC = 0 ou VR+VC = ε .
Usando VR = R I e q = C VC, então, , tanto q quanto I variarão com o tempo, logo
esta é uma equação com duas variáveis (q, I), precisamos de mais uma equação : I=dq/dt
Então temos a equação de carga:
Circuito RC :Carga e Descarga de Capacitores
Devemos achar uma condição inicial que satisfaça a exigência de que o capacitor esteja
inicialmente descarregado. Condição de contorno = condição inicial = para t = 0 s, q0 = 0 C.
Felizmente a equação diferencial é de variáveis separáveis dt
Solução:
Carga
Corrente
ddp no capacitor
ddp no resistor
Descarga do Capacitor
Suponha agora que o capacitor está plenamente carregado
(VC = ε e q = ε C), e para t = 0 s, giramos a chave S para o
ponto b, para que o capacitor C possa descarregar na
resistência R.
Como a corrente de descarga do capacitor varia no tempo?
A equação anterior continua sendo válida, exceto que agora não temos a bateria no
circuito (ε = 0 V).
Então, a equação de descarga será
VR +VC = 0
A condição inicial agora é que o capacitor esteja inicialmente totalmente carregado:
q(t=0)=q0 = ε C.
Descarga do Capacitor
Da mesma maneira que na carga, esta equação também é de
variáveis separáveis, então podemos escrever:
derivando
Portanto
corrente em direção oposta
A equação de descarga RC
q  qmax e

t
RC
qmax
Carga
37% of qmax
qmax/e
tempo = RC (constante de
tempo)
2
4
6
8
10 tempo
26
6
corrente
Corrente de descarga
2
4
6
8
10
tempo
37% de Imax
Imax
27
Exemplos
R
C
T
10k
1M
1k
10nF
10pF
10pF
1s
1s
?
1M
10F
?
Mostrar que a dimensão RC = T
28
Circuito Integrador
T
R
Vi
C
Vc
Vi
Vc
1
Vc 
Vi dt

RC

T/10
5T
29
Circuito Diferenciador
T
C
Vi
R
VR
Vi
VR
T/10
dVi
V R  RC
dt
30
Sumário
•
Capacitância é uma constante de proporcionalidade
relacionando q e V
• Capacitância depende de fatores geométricos
• Capacitores podem armazenar energia elétrica
• Circuitos gráficos e equações C - R (V, q e I)
•
Transientes ajudam a explicar o comportamento de
circuitos AC
• Como os capacitores se somam quando em paralelo e
em série
• Leia os capítulos 4 e 11 das notas de aula
31
Tipos de Capacitores....
eletrolítico
cerâmica
tântalo
Para motores
ajustávei
s
poliéster
epoxi
p/
sintonia
super
capacitor
32
Circuitos
Indutivos
Prof. Graça
2012
Circuito RL
• Quando a chave S é fechada a
corrente não atinge imediatamente
o seu valor máximo.
• A Lei de Faraday pode ser usada
par explicar o fato
fem auto induzida
 Uma corrente na bobina produz um campo B para a esquerda (a).
 Se a corrente cresce, o fluxo aumenta e a fem induzida tem o sinal indicado,
criando um campo induzido contrário ao crescimento da corrente (b)

A fem tem polaridade inversa ao (b) quando a corrente decresce (c)
Auto Indutância
B  o nI
d  o nIA 
d B
dI
NBA dI
  N
 N
  No nA  
dt
dt
dt
I dt
N B dI
dI

 L
I dt
dt
Definição: Auto Indutância
N B
L
I
Indutância de um Solenoide
• O fluxo magnético através de cada espira será:
 N 
B  BA   μo I  A


• Portanto a indutância será:
N B μo N 2 A
L

I
• Isto demonstra que a indutância é dependente da
geometria do solenoide
Unidades de Indutância
dI
  L
dt
N B
L
I
 V 
L
   s   Henry   H 

A /s
Circuíto RL
Carga
Lei das malhas:
dI
Vo  RI  L  0
dt
Solução:
I
Vo
1  e t /  

R
L

R
Circuíto RL
Descarga
Lei das malhas:
dI
RI  L  0
dt
Solução:
I  Io e t / 
L

R
Energia na bobina
 dI 
P  VI   L  I
 dt 
PE no Indutor
1 2
U  LI
2
PE no Capacitor
1
U  CV 2
2
Densidade de energia na bobina
1 2
U  LI
2
PE no indutor
N B NBA N  o NI /
L


I
I
I
A
B
I
o N
1  N  o N  A  B 
1 2
U 
B A

 
2
  o N  2o
2
1 2
u
B
2o

1
u  o E 2
2
Exemplo: Cabo Coaxial
• Calculo de L para o cabo
• O fluxo total flux é
 B   B dA  
b
a
μo I
μo I
b
dr 
ln  
2πr
2π
a
• Portanto, L é
 B μo  b 
L

ln  
I
2π  a 
• A energia total será
1 2 μo I 2  b 
U  LI 
ln  
2
4π
a
Circuíto LC
Equação das malhas:
Q
dI
L  0
C
dt
2
dQ Q

0
2
dt
LC
Solução:
Q  Qmax cos  t  
1

LC
I  t  0  0
Q(t  0)  Qmax
Energia em um circuito LC
Q  Qmax cos  t 
I
dQ
 Qmax  sin  t 
dt
1

LC
1 Q2 Q2max
UE 

cos2  t   
2 C
2C
2
Q
1 2 L2Q2max
U B  LI 
sin 2  t   max sin 2  t 
2
2
2C
2
2
Q2max
Q
Q
UE  UB 
cos 2  t   max sin 2  t   max
2C
2C
2C
Circuitos RLC
Equação das malhas:
Q
dI
 RI  L  0
C
dt
d 2Q
dQ Q
L 2 R
 0
dt
dt C
Solução:
Q  Qmax et cos  d t  
R
 
2L
1
R2
d 
 2
LC 4L
Circuito RLC amortecido
• O máximo valor de Q
decresce após cada
oscilação
– R < RC
• Isto é análogo ao
sistema massa-mola
amortecedor
Circuitos RLC
Q  Qo e

R
t
2L
cos   ' t   
1
R2
' 
 2
LC 4L
A. Subamortecido
B. Amortecimento critico
C. sobramortecido
1
R2
 2
LC 4L
1
R2
 2
LC 4L
4L
 R2
C
4L
 R2
C
1
R2
 2
LC 4L
4L
 R2
C
Analogias entre sistemas elétricos e mecânicos
Circuito Elétrico
Variáveis
Sistema Mecânico Unidimensional
Carga elétrica
Qx
Posição
Corrente
I  vx
Velocidade
Diferença de Potencial
V  F x
Resistência
Rb
Capacitância
C  1/k
Indutância
Lm
Força
Coeficiente de Amortecimento
Constante elástica
Massa
Corrente
Velocidade
Derivada da corrente
Aceleração
Energia no indutor
Energia Cinética
Energia no capacitor
Energia potencial armazenada em mola
Energia perdida na
resistência
Circuito RLC
Perda de Energia por atrito
Sistema massa-mola-amortecedor