[IA] - Minimax e Alfa-Beta

27-03-2008
Inteligência Artificial
Algoritmo MiniMax com cortes Alfa-Beta
Ana Saraiva – 050509087
Ana Barbosa – 050509089
Marco Cunha – 050509048
Tiago Fernandes – 050509081
FEUP - MIEIC
3ºAno/2ºSemestre
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Introdução
O algoritmo Minimax é um método da Teoria da
Decisão utilizado para minimizar a maior perda
possível.
Alternativamente pode ser pensado como uma
forma de maximizar o minimo ganho possível.
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Introdução
Von Neumann era um brilhante matemático
nascido em Budapeste em 1903.
Devido à demonstração do teorema minimax, Von
Neumann foi considerado o pai da teoria de jogos
em 1926.
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Introdução
Este algoritmo surgiu a partir da Zero-Sum Game
Theory.
O teorema Minimax:
“Para qualquer jogo para dois jogadores que respeite a teoria
zero-sum, existe uma estratégia mista para cada jogador tal que
o resultado esperado para os dois é o mesmo valor V quando os
jogadores usam esta estratégia.V é o melhor valor que cada um
pode esperar de uma jogada. Isto é, estas estratégias mistas são
as estratégias óptimas para os dois jogadores.”
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2
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Mas o que é o ZeroZero-Sum?
(Para além de um episódio dos X-Files e de uma série Anime)
Na teoria dos jogos, Zero-Sum é uma situação onde
o ganho de um jogador é exactamente igual à perda
de outro.
Jogos perfeitamente
equilibrados como o
Xadrez ou o Go.
Apenas um jogador pode ganhar
(ou existe um empate).
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Porquê apenas em jogos lógicos?
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3
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Minimax
Qual o exemplo mais simples
para ilustrar o minimax?
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Minimax
Xadrez?
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Minimax
Damas?
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Minimax
Go?
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Minimax
Jogo do Galo?
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Minimax
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Procedimento básico
Determinar
SE
profundidade limite atingida
OU Nivel é Minimizador
OU Nivel é Maximizador
ENTÃO
SE profundidade limite
Calcular valor do estado corrente
Retornar resultado
SE Nivel Minimizador
Aplicar minimax aos sucessores
Retornar Mínimo
SE Nivel Maximizador
Aplicar minimax aos sucessores
Retornar Máximo
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Representação do Minimax
findCompMove
findHumanMove
findHumanMove
...
Tabuleiro
preenchido
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int TicTacToe: :findCompMove(int & bestMove)
{
int i, responseValue;
int dc;
int value;
if (fullBoard())
value = DRAW;
else if (immediateCompWin(bestMove))
return COMP_WIN;
else {
value = COMP_LOSS;
bestMove = 1;
for (i = 1; i <= 9; i++) {
if (isEmpty(i))
{
place(i, COMP);
responseValue = findHumanMove(dc);
unplace(i);
if (responseValue > value) {
value = responseValue;
bestMove = i;
}
}
}
}
return value;
}
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int TicTacToe: :findHumanMove(int & bestMove)
{
int i, responseValue;
int dc;
int value;
if (fullBoard())
value = DRAW;
else if (immediateCompWin(bestMove))
return COMP_WIN;
else {
value = COMP_LOSS;
bestMove = 1;
for (i = 1; i <= 9; i++) {
if (isEmpty(i))
{
place(i, COMP);
responseValue = findCompMove(dc);
unplace(i);
if (responseValue < value) {
value = responseValue;
bestMove = i;
}
}
}
}
return value;
}
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Árvore de pesquisa – Jogo do Galo
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X
O
O
O
X
X
X
X
O
1
2
3
4
1
2
3
1
5
6
7
8
9
4
6
7
8
9
2
4
6
7
8
9
2
4
6
7
8
9
2
4
6
7
8
2
4
7
8
2
7
8
2
7
7
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Minimax – Jogo do Galo
46 nós considerando só uma alternativa de
ramificação em cada momento.
Uma pesquisa completa visitaria 97162 posições.
Para um jogo tão simples
quanto o jogo do galo!
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Minimax
E para jogos mais complexos como o Xadrez ou o
Go?
Estima-se que no Xadrez só para a primeira jogada,
100
10 posições seriam avaliadas.
Para jogos mais complexos são necessárias
optimizações.
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Optimizações ao Minimax
Optimizar o algoritmo parece uma boa solução…
…mas é preciso ter cuidado…
Uma má optimização pode gerar uma má IA… O
que poderia tornar preferível usar jogadas
aleatórias…
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Optimizações ao Minimax
Optimização em profundidade
Cortes Alfa-Beta
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Optimização em Profundidade
Em vez de analisar toda a árvore de pesquisa,
estuda-se apenas até um determinado nível.
Ideal para jogos longos com um factor de
ramificação muito grande. Ex: Xadrez
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Optimização em Profundidade
Esta redução obviamente compromete a selecção
da melhor jogada possível…
… mas em muitos casos é
tolerável tendo em conta o
tempo de espera.
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Optimizações ao Minimax
Será que o minimax em alguma altura realiza
trabalho “inútil”?
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Optimizações ao Minimax
Max
3
Min
2
3
10
2
?
?
Será importante saber o valor destes dois nós?
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Optimizações ao Minimax
Max
3
Min
2
3
10
2
?
?
O primeiro nível irá escolher o valor máximo dos
sucessores.
O segundo nível irá escolher o valor mínimo dos
sucessores.
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Optimizações ao Minimax
Max
3
Min
2
3
10
2
?
?
O valor do ramo do meio nunca será maior que 2…
Logo quaisquer que seja o valor dos filhos, ele nunca
será escolhido…
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Cortes AlfaAlfa-Beta
São estabelecidos dois valores: Alfa e Beta
Alfa é o valor mais alto do jogador Max
Beta é o valor mais baixo do jogador Min
O processamento dos filhos de um nó termina
quando a condição Alfa < Beta não se verificar.
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Cortes AlfaAlfa-Beta - Algoritmo
int minimaxAB(state, player, depth, alpha, beta)
if (depth == limit or state is terminal)
return the static evaluation of state
if (player is min)
until all successors, s, are examined or alpha >= beta
val=minimaxAB(s, max, depth+1, alpha, beta)
if (val < beta)
beta = val
return beta
if (player is max)
until all successors, s, are examined or alpha >= beta
val=minimaxAB(s, min, depth+1, alpha, beta)
if (val > alpha)
alpha = val
return alpha
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Cortes AlfaAlfa-Beta - Exemplo
Max
A
Min
B
C
D
Max
E
F
G
H
I
J
K
Min
L
7
M
6
N
8
O
5
P
2
Q
3
R
0
S
-2
T
6
U
2
V
5
X
9
W
8
Y
2
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Cortes AlfaAlfa-Beta – trace
Max
First call (assume depth limit is 3):
minimaxAB(A,max,0,-inf,+inf)
successors B,C,D
A
Min
B
minimaxAB(B,min,1,-inf,+inf)
successors E,F,G
E
minimaxAB(E,max,2,-inf,+inf)
successors L,M
minimaxAB(L,min,3,-inf,+inf)
returns 7
alpha = 7
minimaxAB(M,min,3,7,+inf)
returns 6
returns 7
beta = 7
C
B
D
Max
E
F
G
…
…
Min
L
7
M
6
…
…
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Cortes AlfaAlfa-Beta – trace
F
minimaxAB(F,max,2,-inf,7)
successors N,O
minimaxAB(N,min,3,-inf,7)
returns 8
alpha = 8
*** CUTOFF alpha>beta ***
returns 8
G
minimaxAB(G,max,2,-inf,7)
successors P,Q
minimaxAB(P,min,3,-inf,7)
returns 2
alpha = 2
minimaxAB(Q,min,3,2,7)
returns 3
alpha = 3
returns 3
beta = 3
returns 3
alpha = 3
Max
A
Min
B
C
D
Max
E
F
G
…
…
Min
…
N
8
O
5
P
2
Q
3
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Cortes AlfaAlfa-Beta – trace
Max
C
minimaxAB(C,min,1,3,+inf)
successors H,I
H
minimaxAB(H,max,2,3,+inf)
successors R,S
minimaxAB(R,min,3,+inf)
returns 0
minimaxAB(S,min,3,3,+inf)
returns -2
returns 3
beta = 3
*** CUTOFF alpha>=beta ***
A
Min
B
C
Max
…
H
I
returns 3
D
...
D
…
Min
R
0
S
-2
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Cortes AlfaAlfa-Beta
Apesar de tudo o que foi referido, os cortes
Alfa-Beta podem não trazer melhorias.
Na prática, se as opções surgirem de uma
determinada ordem (crescente no maximizador e
decrescente no minimizador), os cortes Alfa-Beta
não trazem melhorias.
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Cortes AlfaAlfa-Beta
Max
3
Min
2
3
10
2
4
7
Max
…
3
Min
2
3
10
7
4
…
2
No entanto se a ordem for a oposta a diferença na
eficiência é enorme…
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Ordem de complexidade
Se a profundidade máxima da árvore for m e em
cada ponto houver b lances possíveis (factor de
ramificação):
Complexidade
Minimax
Temporal
Espacial
O(bm)
O(bm)
Cortes
Alfa-Beta
O(bm/2)
O(bm)
(*)
(*)
com uma ordenação perfeita
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Resumo - Minimax
• Baseia-se na suposição de que o adversário
escolherá sempre o movimento ideal, e nunca
incorrerá ao erro;
• Gera toda a árvore de busca, dentro do limite
permitido;
• O Algoritmo é completo apenas no caso de a
árvore for finita (ex.: Jogo do Galo);
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20
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Resumo - Minimax
• O tempo gasto para determinar a decisão
óptima é totalmente impraticável para qualquer
jogo minimamente complexo, pois gera caminhos
cuja possibilidade de serem seguidos é
praticamente nula.
• Serve de base a outros métodos mais realistas, bem
como de suporte à análise matemática de jogos.
41
Resumo - Corte AlfaAlfa-Beta
• Eficiente para determinar quais os ramos que não
devem ser explorados;
• Uma boa ordenação dos nós aumenta ainda mais a
sua eficiência, no entanto se isso não acontecer este
algoritmo pode não trazer qualquer vantagem;
• Não afecta o resultado final.
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Conclusões
Segundo o teorema do Minimax há sempre
uma solução racional para um conflito bem
definido entre dois indivíduos.
43
QUESTÕES ??
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22