Física básic - AgronomiaUFS

Física Básica
Frederico Guilherme de Carvalho Cunha
São Cristóvão/SE
2009
Física Básica
Elaboração de Conteúdo
Frederico Guilherme de Carvalho Cunha
Copidesque
Christianne de Menezes Gally
Projeto Gráfico e Capa
Hermeson Alves de Menezes
Diagramação
Lucílio do Nascimento Freitas
Ilustração
Gerri Sherlock Araújo
Copyright © 2009, Universidade Federal de Sergipe / CESAD.
Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a
prévia autorização por escrito da UFS.
FICHA CATALOGRÁFICA PRODUZIDA PELA BIBLIOTECA CENTRAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
C972f
Cunha, Frederico
Física básica / Frederico Cunha -- São Cristóvão:
Universidade Federal de Sergipe, CESAD, 2009.
1. Física quântica. 2. Leis da física. 3. Dilatação volumétrica.
I. Título.
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Sumário
AULA 1
Introdução à Mecânica ...................................................................... 07
AULA 2
Cinemática em uma dimensão ......................................................... 27
AULA 3
Velocidade Instantânea ..................................................................... 47
AULA 4
Queda livre ........................................................................................ 71
AULA 5
Cinemática em duas dimensões ....................................................... 89
AULA 6
Movimento de projéteis ................................................................... 109
AULA 7
Movimento circular uniforme ........................................................... 125
AULA 8
Primeira e segunda Lei de Newton .................................................. 143
AULA 9
Terceira Lei de Newton .................................................................... 157
AULA 10
Velocidade terminal ......................................................................... 173
Aula
INTRODUÇÃO À MECÂNICA
META
Introduzir os princípios básicos de notação científica.
OBJETIVOS
Ao final desta aula o aluno deverá:
reconhecer os padrões de comprimento, massa e tempo;
utilizar corretamente os prefixos que indicam potências positivas e negativas de dez;
realizar uma análise dimensional;
proceder à conversão de unidades entre os diversos sistemas;
PRÉ-REQUISITOS
Conhecimentos básicos de física adquiridos no ensino médio.
(Fonte: http://bp2.blogger.com).
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Física Básica
INTRODUÇÃO
Nesta aula, faremos a introdução do material fundamental para estabelecer a linguagem utilizada durante o curso de física básica. Por se tratar de uma disciplina da área das ciências exatas, torna-se necessário que
se definam muito claramente quais serão os termos utilizados durante
todo o curso. Muitos conceitos físicos têm uma nomenclatura que facilmente nos induz ao erro, uma vez que a mesma palavra que designa uma
série de eventos no dia a dia, na física tem apenas um significado muito
bem definido. Levando estas premissas em consideração, trataremos dos
sistemas de medidas e unidades mais comuns no mundo; aprenderemos
como realizar conversões entre sistemas diferentes e veremos como uma
análise dimensional bem feita nos indica o caminho certo.
(Fonte: http://www.planetaeducacao.com.br)
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Introdução à Mecânica
Nós vamos começar este curso discutindo como é que faremos para
nos comunicar. O problema parece simples quando a nossa linguagem é
coloquial, mas estamos agora falando de ciência, e queremos que nossa
voz seja ouvida em todos os lugares, e compreendida! Todos os dias,
ouvimos na televisão qual é a cotação do Dólar e do Euro em relação ao
nosso Real. Esta informação é muito útil para aquelas pessoas que pretendem viajar para outras partes do mundo ou que pretendem fazer investimentos financeiros. Neste nosso cantinho, esta informação serve para
ilustrar as diferenças entre os países: nos Estados Unidos, usa-se o dólar
como “padrão monetário” (ou seja, a moeda); na Europa usa-se o Euro, e
aqui usamos o Real. Talvez alguns de vocês saibam que há apenas alguns
anos, atrás não existia o Euro! Cada país europeu tinha a sua própria
moeda local, tais como o Marco alemão, a Lira italiana, o Franco francês
, e etc. As razões que levaram estes países a unificar suas moedas não são
agora relevantes, mas esta variedade de moedas nos ajuda a entender
como funcionava o sistema de unidades físicas há algum tempo...
Aula
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HISTÓRIA DO METRO
Por volta de 1780, os pesos e medidas franceses estavam uma bagunça, com dúzias de unidades, sendo que cada uma tinha dúzias ou mesmo
centenas de variedades locais. Nenhuma outra nação sofria com tal
disparidade entre as demandas de uma economia em industrialização e a
variedade de seus sistemas de unidades. Muito antes da Revolução Francesa, os mais variados atores políticos estavam clamando por uma reforma “metrológica” (no sistema de pesos e medidas). Havia também um
sentimento generalizado (graças à influência de Jean-Jaques Rousseau)
de que as unidades deveriam ser, de algum modo, “naturais”.
Jean Picard, Olaus Rømer e outros astrônomos famosos na época
sugeriram que a unidade de comprimento fosse definida como sendo o
comprimento de um pêndulo cujo período durasse exatamente um segundo (o período de um pêndulo é o tempo que ele leva para dar um balanço
completo). Mas já se sabia a esta época que pêndulos idênticos, instalados em locais diferentes têm períodos diferentes, de tal modo que esta
definição exigiria especificar o local onde se encontraria tal pêndulo.
Em 1790, Talleyrand, bispo de Autun àquela época, sugeriu que fosse utilizado o período do pêndulo localizado em Paris, na latitude 45º N.
Ele também sugeriu que a Academia de Ciências em Paris colaborasse
com a Sociedade Real de Londres para a definição da nova unidade.
Ao final de 1790, a Academia entregou o problema para uma ilustre
comissão formada por: Lagrange, Laplace, Borda, Monge, e Condorcet.
No seu relatório para a Academia de 19 de março de 1791, a comissão
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Física Básica
recomendou que se esquecesse o pêndulo. Ao invés disso, sugeriram que
a nova unidade de comprimento fosse o correspondente a um décimo milionésimo da distância, ao nível do mar, entre o pólo e o Equador.
De um ponto de vista puramente metrológico, tomar tal distância
como padrão não faz nenhum sentido. Quaisquer duas medidas de tal
distância fatalmente terão uma diferença extremamente elevada. Também não existia qualquer relação entre uma milha náutica utilizada pelos
navegadores e as distâncias interestelares utilizadas pelos astrônomos.
Apesar distso, a idéia de que a unidade básica deveria ser uma fração do
tamanho da Terra era muito atraente para o espírito renascentista de buscar um padrão na natureza.
A assembléia aprovou a unidade em 26 de março de 1791 e foram
iniciados os trabalhos para determinar tal distância. Obviamente (por quê?)
seria impossível medir a distância total. Ninguém jamais tivera visitado o
Pólo Norte! Mas se alguém pudesse medir com uma razoável precisão
uma boa parcela de um meridiano, então se poderia calcular o restante.
Os dois extremos desta linha deveriam estar ao nível do mar e em algum
lugar no meio da distância entre o pólo e o Equador. Por acaso só existe
um lugar assim: a partir de Dunquerque até Barcelona, que cobre mais ou
menos um décimo da distância entre o pólo e o Equador. A distância se
encontra praticamente toda em território francês, o que não escapou aos
olhos dos franceses.
A pesquisa foi iniciada por P. F. A. Méchain e J. B. J. Delambre. No
verão de 1792, Delambre começou seu trabalho em direção ao sul, a partir da costa, próximo a Dunquerque, enquanto Méchain foi para o norte a
partir do mar Mediterrâneo. Em setembro foi declarada a república. A
revolução francesa estava a todo vapor. Em apenas alguns meses a França entrou em guerra com a Inglaterra, Áustria, Prússia, Holanda e Espanha;
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Introdução à Mecânica
Luis XVI já havia sido executado e a violência se disseminava pelo país.
Em tal clima os pesquisadores eram presos regularmente.
Em oito de agosto de 1793, a Convenção Nacional destituiu a Academia
de Ciências por não considerá-la republicana! O comitê de Segurança Pública, no entanto, continuava com seus trabalhos e precisava da ajuda dos membros da Academia, e, por istso, convenceram a Convenção a criar uma comissão nova e temporária (Commission temporaire des poids et mesures
républicains) com os mesmos membros. Em novembro, Lavoisier foi preso,
a comissão pediu a sua libertação, o Comitê respondeu expulsando mais cinco membros da comissão, incluindo aí Delambre. Notando para onde soprava o vento, a comissão passou a fazer denúncias revolucionárias dos antigos
pesos e medidas. Delambre achava que eles deveriam abandonar o projeto
completo de medir um meridiano e apenas aceitar o metro provisório.
Mas a guerra exige o uso de mapas. Um cartógrafo militar que também era Jacobino foi designado para fazer os mapas. Como precisava de
pessoal treinado, ele trouxe Delambre e Méchain de volta a Paris.
Em sete de abril de 1795 foi dada a ordem estabelecendo os nomes
que conhecemos hoje (metro, litro e grama) e também restabelecendo a
comissão (exceto Lavoisier que havia sido guilhotinado no ano anterior...) para reiniciar as medidas para o metro.
Delambre terminou sua parte no segundo semestre de 1797, mas
Méchain ainda precisava chegar a Rodes, o que só foi possível, devido à
sua saúde, em setembro de 1798.
Neste ponto, excetuando-se pelos lados de dois triângulos, apenas
ângulos haviam sido medidos: os ângulos de triângulos contíguos que iam
desde Dunquerque até Barcelona. Se qualquer um dos lados destes triângulos fosse conhecido, então as dimensões de todos os outros poderiam
ser calculados, e, a partir deles, a distância ao longo do meridiano.
Em 28 de novembro de 1798, os franceses organizaram um painel internacional de especialistas de vários países. Um dos comitês consistiu de quatro pessoas, onde cada um deles calculou o comprimento do metro a partir
das medidas de Delambre e Méchain. Seus cálculos tiveram resultados idênticos. O metro foi estabelecido como sendo uma parcela desta distância.
Hoje em dia o quadrante da terra pode ser calculado com relativa
facilidade utilizando satélites. Estas medidas indicam que o metro é na
realidade algo em torno de 0,2 mm menor que um décimo milionésimo do
quadrante da terra. O fato realmente impressionante deste fato não é que
o metro não corresponde à sua concepção original, mas que dois pesquisadores do século 18 pudessem chegar tão perto!
Desde 1795 o joalheiro real produzia barras de platina de quatro mm
de espessura, 25.3 mm de largura e aproximadamente um metro provisório de comprimento, com extremidades paralelas. O comprimento destas
barras foi comparado com o comprimento do metro determinado pela
Aula
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Física Básica
pesquisa. Aquela barra que mais se aproximava do metro medido (a 0o C)
foi depositada nos Arquivos Nacionais em 22 de junho de 1799 e desde
então tem sido conhecido como “Mètre des Archives”. O sistema métrico foi legalizado em 10 de dezembro de 1799.
O interesse internacional levou à realização de duas conferências
internacionais (Commission Internationale du Mètre) em 1870 e 1872
para discutir a padronização do metro. Os participantes resolveram trocar o padrão até então utilizado por outro, feito de uma liga de platina e
irídio (90% Pt e 10% Ir) por ser mais dura.
Em 1875, vinte países participaram da terceira conferência. Dezoito
deles assinaram um acordo (Convention du Mètre) que estabeleceu o
“Bureau International des Poids et Mésures”. Finalmente em 1889 o protótipo final foi acondicionado no “Bureau International des Poids et
Mésures” sendo até hoje preservado.
O METRO DEFINIDO PELA LUZ
A idéia de definir a unidade de distância em termos do comprimento
de onda da luz foi ventilada no início do século XIX (J. Babinet, 1827). A
luz “branca” na verdade é uma mistura de feixes de luz de diferentes
comprimentos de onda. Para definir uma unidade de comprimento em
função do comprimento de onda só precisamos de luz de um único comprimento de onda. Tal tipo de luz é chamado de monocromático. A obtenção deste tipo de luz não é muito difícil, bastando, por exemplo, colocar em combustão um material puro. Por exemplo, ao atirarmos sal de
cozinha nas chamas de um fogão obtemos uma chama amarela, ou seja,
recebemos feixes de luz monocromáticos. Estes feixes são provenientes
da excitação eletrônica dos átomos de sódio. Esta luz é a mesma que
vemos hoje em dia nas lâmpadas de vapor de sódio encontradas nas ruas.
Em 1892 Michelson e Benoit tiveram sucesso nas medidas do metro
em termos do comprimento de onda da luz vermelha emitida por átomos
de Cádmio. Benoit e outros aprimoraram suas medidas e em 1907 a
“International Solar Union” definiu o Angstrom internacional, uma unidade de medida utilizada para medir comprimentos de onda e que iguala
o comprimento de onda da linha vermelha do Cádmio a 6438.4696
Angstroms internacionais.
Infelizmente se percebeu que a linha vermelha do Cádmio não era
clara o suficiente para a padronização do metro. Intensas pesquisas foram
realizadas e finalmente o Kriptônio 86 foi escolhido em 1960 para o padrão, redefinindo o metro como sendo “o comprimento equivalente a
1 650 763.73 comprimentos de onda no vácuo da radiação correspondente à transição entre os níveis 2p10 e 5d5 do átomo de Kriptônio 86.”
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Introdução à Mecânica
Aula
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P. F. A. Méchain and J. B. J. Delambre.
Base du système métrique decimal, ou Mesure de l’arc du méridien compris entre les parallèles de
Dunkerque et Barcelone.
Paris: Baudoin, 1806–1810. 3 vols.
H. Barrell.
The Metre.
Contemporary Physics 3:415 (1962).
Do texto anterior, fica claro que a definição de unidades para medir
distância, tempo, massa e etc., não é muito fácil e muito menos consensoual.
Existem muitos sistemas de unidades físicas no mundo. O sistema metroquilograma-segundo (MKS), também chamado de sistema internacional (S.I.)
é o preferido pelos físicos. O sistema centímetro-grama-segundo (CGS) é menos utilizado, e o sistema pé-libra-segundo (fps), também conhecido como
sistema inglês é raramente utilizado em ciência, apesar de ser muito usado em países de língua inglesa. Cada sistema tem várias unidades fundamentais, ou de base, a partir das quais as outras são derivadas.
O SISTEMA INTERNACIONAL
As unidades básicas do SI quantificam: comprimento, massa, tempo, temperatura, corrente elétrica, intensidade luminosa e quantidade de matéria.
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Física Básica
METRO
O metro definido no quadro acima foi substituído por uma unidade de
tempo: o segundo. Para issto, foram feitas medidas extremamente precisas
da velocidade da luz, e a nova definição do metro consiste na distância
percorrida pela luz, no vácuo, em 3,33564095 bilionésimos de segundo!
QUILOGRAMA
Originalmente, o Quilograma era definido como sendo a massa de
0.001 metro cúbico (ou um litro) de água líquida pura. Esta ainda é uma
excelente definição, mas existe um padrão ainda mais exato que consiste
de uma amostra de uma liga de platina-irídio localizada no “Bureau
International des Poids et Mésures”. É importante notar que a massa não
se confunde com o peso. A massa desta amostra de platina-irídio tem a
mesma massa, esteja ela em Aracaju ou no espaço sideral. O peso, por
outro lado, depende de todos os corpos massivos que se encontram em
sua proximidade.
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Introdução à Mecânica
SEGUNDO
Aula
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O segundo foi originariamente definido como sendo 1 minuto dividido por 60, que corresponde a 1/60 de uma hora, o que corresponde a 1/
24 de um dia solar médio. O segundo foi então definido como 1/86400
de um dia solar médio. E ainda é uma excelente definição, mas hoje em
dia definiu-se que 1 segundo é o tempo exato que um átomo de césio leva
para sofrer 9.192631770x109 ciclos completos. Confuso com o número
que acabamos de ver? Não se preocupe, explicaremos mais a à frente o seu
significado. Mas, já que estamos aqui, podemos também definir o segundo
como sendo o tempo que um raio luminoso leva para percorrer uma distância de 2.9979258x108 metros. Isto corresponde a, aproximadamente, ¾ da
distância entre a Terra e a Lua, o que significa que um feixe luminoso leva
mais que um segundo para sair da Terra e chegar à Lua! De certo modo, o
tempo é uma forma de expressão da dimensão linear e vice-versa. Estes
dois aspectos da natureza estão intimamente relacionados pela velocidade de Luz, a qual Albert Einstein definiu como absoluta.
KELVIN
A unidade SI de temperatura é o Kelvin. Trata-se de uma medida de
quanto calor existe quando comparado ao zero absoluto, o que representa a
ausência completa de todo o calor e, portanto, é o maior frio possível. Formalmente, o Kelvin é definido como 1/273.16 da temperatura termodinâmica
do ponto triplo da água (0.01°C), que estudaremos nos próximos capítulos.
AMPÈRE
O ampère é a unidade de corrente elétrica e a sua unidade representa
um fluxo de cerca de 6.241506x1018 elétrons atravessando a seção reta de
um condutor por segundo. A definição formal do ampère é um pouco
difícil de imaginar, mas podemos tentar: 1 A (lê-se um ampère) é o fluxo
de carga que atravessa dois fios perfeitamente condutores, infinitamente
finos, retos e paralelos, colocados a uma distância de 1 metro e no vácuo
e que resulta em uma força entre os condutores igual a 2x17 N/m! Seria
interessante aqui adiantar que N corresponde à unidade derivada conhecida como Newton, utilizada para quantificar força.
CANDELA
A Candela (cd) é a unidade de intensidade luminosa. Ele equivale a 1/
683 de um wWatt de energia radiante emitida a uma freqüência de 5.4x1014
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Física Básica
Hertz em um ângulo sólido de um estereoradiano. Sim, isto parece extremamente confuso, mas com certeza chegaremos a uma visão mais simples:
quer ver?. Uma idéia um pouco mais palatável é a de que uma única vela
emite uma quantidade de luz mais ou menos equivalente a uma candela.
MOLE
O mole, ou mol, é a unidade padrão de quantidade de matéria. Ele
também é conhecido como número de Avogadro e trata-se de um número
fabuloso!: 6.022169x1023! Este é precisamente o número de átomos em
0.012 Kg de Carbono 12, o isótopo mais comum do carbono consistindo
de seis prótons e seis nêutrons. Na atividade abaixo, verificaremos se você
compreendeu os conceitos apresentados.
ATIVIDADES
I. Até aqui nós discutimos como a rotação da Terra ao redor de seu eixo
foi utilizada para definir a unidade básica de tempo. Que outros tipos de
fenômenos naturais poderiam ser usados como padrão alternativo?
II. Suponha que os três padrões fundamentais do sistema métrico fossem
comprimento, densidade e tempo, ou seja, trocando a massa pela densidade. O padrão de densidade deste sistema seria definido como sendo aquele
da água. Que tipo de considerações deveriam ser feitas para se assegurar
que o padrão de densidade da água seria o mais preciso possível?
COMENTÁRIOS
I. Quaisquer fenômenos periódicos: as fases da Lua, as marés, os
solstícios de inverno e verão, etc.
II. Como sabemos (ou saberemos em breve), a densidade dos líquidos
depende fortemente da temperatura e da pressão, portanto a massa e
o volume teriam que ser medidos com a maior precisão possível,
estabelecendo-se condições constante de temperatura e pressão.
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Introdução à Mecânica
POTÊNCIAS DE DEZ
Aula
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Como vimos anteriormente, as grandezas físicas não podem ser expressas apenas com números; precisamos utilizar as unidades corretas.
Por exemplo, não faz nenhum sentido dizer à patroa que chegará tarde em
a casa, que pois ainda vai demorar duas candelas. Ou ainda, que a massa
do seu sobrinho seja espantosa: 14 ampères.... Algum cuidado deve ser
tomado, no entanto, quando comparamos tempo e espaço: pode-se calcular distâncias em unidades de tempo, e vice versa?????
Após este preâmbulo, podemos iniciar o que se chama notação científica, ou de potência de 10. Aqui simplesmente nos rendemos ao
fato de que o universo é grande demais, quer olhemos para as estrelas,
quer olhemos para os átomos. Como já vimos anteriormente, algumas
das constantes físicas mais importantes são: ou números muito grandes
(milhões de bilhões, etc.) ou muito pequenos (milionésimos de
bilionésimos). Para escrever estes números é então necessária a utilização de um número pavoroso de zeros! Por exemplo: a distância entre
Aracaju e Salvador é de apenas (aproximadamente) 350 quilômetros,
certo? Mas, ao utilizarmos o SI precisamos utilizar metros, que
correspondem a um milésimo do quilômetro.
Deste modo, dizemos que a distância entre Aracaju e Salvador é de
350.000 metros! A distância média da Terra à Lua por sua vez é de
380.000.000 metros! Para poder dar fim a esta quantidade absurda de
zeros utilizamos as potências de dez. Estas potências aparecem da seguinte maneira: os algarismos significativos (cuja definição veremos logo
mais) aparecem com uma única casa antes da vírgula. Os zeros que apareceriam à sua esquerda ou à sua direita são substituídos por potências de
10, lembrando que:
Fica fácil ver então que a distância da Terra à Lua pode ser definida
da seguinte maneira:
Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10
positiva, queremos dizer que iremos “aumentar” o número de zeros à direita ou “movimentar” para direita a vírgula tantas casas quanto indicar o
expoente da base 10. Veja alguns exemplos:
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Física Básica
Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10
negativa, indica que iremos “diminuir” o número de zeros à direita ou “movimentar” a vírgula para esquerda tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:
Quando queremos nos referir a números muito grandes ou muito pequenos,
também podemos utilizar prefixos. Estes
prefixos, em conjunto com as unidades,
permitem que nos livremos da potência
de dez. Como exemplo, naturalmente, podemos usar o caso da distância da Terra à
Lua: 380.000.000 metros equivalem a
380.000 quilômetros . Já simplificou o
nosso problema, mas podemos fazer ainda melhor se soubermos que esta mesma
distância pode ser chamada de 380
megametros. Este nomezinho estranho
lembra alguma coisa, não é verdade? Nesta época de computadores estamos sempre ouvindo coisas como megahertz,
megabytes, etc. Em alguns casos, já temos até mesmo gigahertz e mesmo
terabytes! Com isto estamos apenas mostrando que estes prefixos são universalmente utilizados e é muito importante
que os conheçamos. Para isto, preparamos
uma bela tabelinha que será muito importante a você:
18
Introdução à Mecânica
O processo de conversão de um tipo de unidade para outro é bastante simples. O número original, digamos 1200 metros deve ser convertido
em quilômetros. Para proceder a conversão, multiplicamos e dividimos
este número por 1 quilômetro:
Aula
1
Usamos então nosso conhecimento de que 1 quilômetro equivale a
1000 metros para fazer a seguinte alteração:
Em seguida rearranjamos esta equação da seguinte forma:
Fazemos agora a conta de dividir entre números de mesma unidade e
“cortamos” a unidade:
É simples assim, mas antes de prosseguirmos seria interessante que
você fizesse um teste para verificar se realmente compreendeu. Desenvolva a seguinte atividade. Não olhe a resposta comentada até que tenha
tentado o melhor possível.
ATIVIDADES
Cada uma das conversões abaixo tem um erro. Em cada caso explique
qual é o erro:
I.
II.
III. Nano é o prefixo de 10-9, portanto um metro contém 10-9 nanômetros;
IV. Micro é o prefixo de 10-6, portanto um quilograma contém 106
microgramas (mg)
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Física Básica
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
I. O fator original, 1000 kg precisa ser convertido em gramas. É
abundantemente claro que 1000 quilogramas não correspondem a
um grama, mas onde está o erro? O procedimento de multiplicação e
divisão por quantias iguais, mas de unidades diferentes foi correto,
mas as unidades não podem ser cortadas! O resultado na verdade é 1
kg2/g! A maneira correta de fazer exige que as unidades no numerador
e denominador sejam idênticas para que se possa cortar:
II. Neste caso as unidades foram colocadas nos locais corretos, mas
1 m corresponde a 100 cm, e não o contrário!
III. Este é um erro comum. Um nanômetro corresponde a 10-9 metros,
ou seja, é um número extremamente pequeno. Isto significa que em
um metro existirão muitos nanômetros, mais exatamente 109!
IV. O erro aqui é um pouco mais básico: de fato micro é prefixo
de 10-6. Isto significa que um micrograma é uma quantidade muito
pequena de matéria, e que em uma quantidade mensurável de
matéria teremos muitos microgramas. O problema é que a unidade
básica de massa é o grama, e não o quilograma! Teremos 106
microgramas em um grama de matéria. Como temos 103 gramas
em um quilograma, teremos 103X106 = 109 microgramas em um
quilograma.
ANÁLISE DIMENSIONAL
Em um futuro muito próximo, nós começaremos a resolver problemas de física. Em muitas circunstâncias, você precisará determinar um valor numérico e também a unidade utilizada. Geralmente o
valor numérico não é difícil de obter, mas a unidade geralmente dá
algum trabalho. A Análise dimensional o ajudará a determinar a unidade de uma dada variável em uma equação e pode até mesmo ajudálo a determinar se uma equação que você derivou está correta. Até
mesmo um pequeno erro de álgebra poderá ser detectado porque ele
geralmente leva a uma equação que é dimensionalmente errada. Ao
trabalho: a maioria das quantidades pode ser expressa como combinações de cinco dimensões básicas:
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Introdução à Mecânica
· Massa – M;
· Comprimento – L;
· Tempo – T;
· Corrente Elétrica – I;
· Temperatura - θ.
Estas dimensões foram escolhidas porque são facilmente mensuráveis.
Note que dimensão não é o mesmo que unidade! Por exemplo, a quantidade física conhecida por velocidade pode ser medida em unidades de
metros por segundo, milhas por hora etc., mas independentemente das
unidades utilizadas, a velocidade corresponde sempre a um comprimento
dividido por um tempo. Por issto, dizemos que as dimensões da velocidade são comprimento dividido por tempo, ou simplesmente L/T. De maneira análoga, podemos dizer que a área tem dimensões de L2, uma vez
que a área sempre pode ser calculada como sendo um comprimento vezes
outro comprimento. Antes de prosseguirmos, é importante que tomemos
conhecimento de algumas grandezas físicas e suas unidades padrão, assim como suas relações com as unidades fundamentais.
Aula
1
Você pode estar se perguntando quando deve usar Joule, J ou kg.m2/
s2 como unidade de energia. A convenção do SI indica que se não existe
um número em frente à unidade, então a unidade é usada como uma
palavra completa. Por exemplo, você escreveria “energia expressa em
joules”. Se, por outro lado, há um número, então se usa apenas a abreviação: 6.4 J (ou raramente kgm2/s2).
Algumas quantidades, no entanto, não têm dimensões. É o caso, por
exemplo, do seno de um ângulo. O seno de um ângulo é definido como a
razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa em um triângulo.
Temos então a razão entre dois comprimentos que se anulam! Portanto,
as dimensões do seno são L/L = 1. Dizemos, então, que o seno é
21
Física Básica
adimensional. Há uma série de outras grandezas (incluindo todas as
trigonométricas) adimensionais. Note que algumas grandezas
“adimensionais” têm unidades! Ângulos, por exemplo, podem ser medidos em graus ou radianos, mas ainda são adimensionais. Outro exemplo
familiar é “ciclos por segundo”, ou hertz. A unidade de tempo, segundo,
naturalmente que é uma dimensão, mas ciclo é apenas um número.
Apesar de ser tudo muito simples, é bom que olhemos alguns pontos
mais delicados. Primeiro, o argumento de uma função trigonométrica é
sempre um ângulo, e, portanto, adimensional. O expoente de uma função
exponencial também o é, assim como o logaritmo da mesma! Estes fatos,
muitas vezes, nos ajudam a determinar a dimensão de certa quantia. Por
exemplo, se analisarmos a função:
, onde t designa o tempo, nós
podemos afirmar, com segurança, que k deve ter dimensões de T-1 para
que o expoente seja adimensional.
Em uma expressão algébrica, todos os termos que são somados ou
subtraídos devem ter as mesmas dimensões. Isto implica que cada termo
do lado esquerdo de uma equação deve ter as mesmas dimensões do lado
direito da equação. Por exemplo, na equação
, a deve ter
as mesmas dimensões do produto bc, e o produto 1/2xy também deve ter
as mesmas dimensões.
Uma equação, onde cada termo tem as mesmas dimensões, é chamada de dimensionalmente correta. Já estamos agora preparados para testar
os seus conhecimentos!
ATIVIDADES
I. A lei de Newton da gravitação universal é representada por:
Onde F é a magnitude da força exercida por um objeto de massa M em
outro de massa m. Sendo r a distância entre as duas massas e levando em
consideração que no SI a força term unidades de kgm/s2, determine as
unidades SI da constante de proporcionalidade G.
I. Um elemento geométrico desconhecido tem expressões bem definidas
para o comprimento de suas arestas, seu volume e a área das faces. Identifique estes elementos na coluna da esquerda com suas equações na coluna da direita.
a) Aresta
b) Área
c) Volume
22
( )
( )
( )
Introdução à Mecânica
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
Aula
1
I. A análise deve ser feita colocando as unidades nos dois lados da
equação:
Vemos que podemos cortar um dos kg presente em cada lado, e passar
as outras unidades para o lado esquerdo da equação, obtendo:
II. Para completar corretamente esta tabela, basta fazer a análise
dimensional. A primeira equação mostra uma dimensão de
comprimento, h multiplicada por dimensões de comprimento ao
quadrado, r2. Isto resulta em uma dimensão de comprimento ao cubo,
ou seja, um volume. O segundo caso é direto, apenas uma dimensão
de comprimento, portanto trata-se de uma aresta. O último deles é
um pouco menos imediato. Para simplificar, notemos que h e r1 e r2
que aparecem entre colchetes estão elevados ao quadrado, portanto,
trata-se de uma unidade de comprimento ao quadrado. Mas o colchete
está dentro de uma raiz quadrada, o que leva a dimensão de volta
àquela de comprimento simples, a qual, multiplicada pela dimensão
de comprimento das unidades que aparecem entre parênteses, dá a
dimensão de comprimento ao quadrado: uma área.
CONVERSÃO DE UNIDADES
Terminaremos esta nossa primeira aula aprendendo a converter unidades entre diferentes sistemas. Algumas vezes, é necessário converter unidades de um sistema para outro, ou mesmo dentro de um mesmo sistema,
como por exemplo, de quilômetros para metros. Existem igualdades entre
valores de distância do SI e aqueles utilizados nos países de língua inglesa:
23
Física Básica
As unidades podem ser tratadas como quantidades algébricas que
podem ser canceladas. Por exemplo: suponha que queiramos converter
15 polegadas (inch, ou in. em inglês) para centímetros. Como a polegada
é definida exatamente como 2.54 cm, podemos fazer o seguinte:
onde a razão entre parênteses é igual a 1. Note que escolhemos colocar a
unidade de polegadas no denominador, e a mesma se cancela com a do numerador. Existem as mais variadas relações entre as grandezas nos diversos
sistemas. Abaixo introduzimos uma pequena amostra de tabela de conversão
de distâncias (disponível de forma integral na página da Wikipédia: http://
pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_convers%C3%A3o_de_unidades).
24
Introdução à Mecânica
CONCLUSÃO
Aula
1
Nossos antepassados tiveram muito trabalho para conseguir estabelecer parâmetros de comparação para medir tempo, massa e comprimento. Não foi um processo único, iniciado por algum iluminado, mas um
trabalho realizado por várias pessoas em diversos países e com diversos
graus de sucesso. Vários motivos, tais como orgulho nacional e costumes
arraigados, impediram que até os dias de hoje ocorresse uma unificação
dos sistemas de medida. Mesmo dentro de um mesmo sistema de medidas, existem variações que representam as diversas facetas da física: um
tipo de unidade muito útil em explorações galácticas naturalmente não
serve para estudos do átomo, e vice-versa. Para poder vencer esses obstáculos, aprendemos a converter unidades neste módulo. O ponto mais
importante, no entanto, foi o da análise dimensional. Através da análise
dimensional é possível aprender muito sobre um experimento, assim como
determinar se uma equação está correta e se as unidades são específicas
para aquele resultado.
RESUMO
Esta aula tratou dos conceitos iniciais necessários para o estudo de
física no ensino superior. Inicialmente, foi abordado o reconhecimento
dos padrões de comprimento, massa e tempo. Um breve histórico mostrou como foi difícil o estabelecimento destes padrões, mas nos mostrou como eles são importantes e como utilizá-los nos dias de hoje.
Verificamos que, na maior parte do mundo, e principalmente na ciência,
se usa o Sistema Internacional de Unidades (S.I.), também conhecido
como MKS (metro-quilometro-segundo). O segundo tópico de estudo
foi a utilização dos prefixos que substituem as potências de dez. Vimos
como prefixos, tais como mega, quilo, mili e etc. facilitam a nossa vida.
O aprendizado da análise dimensional constituiu o terceiro tópico. Vimos como ela pode ser utilizada para determinar se uma equação está
correta e se as unidades advindas desta equação estão corretas. Passamos então ao estudo da conversão de unidades. Aprendemos como determinar grandezas físicas em um sistema de unidades quando sabíamos este mesmo valor em outro sistema de unidades. Aprendemos a
converter distâncias, massas, velocidades etc.
25
Física Básica
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, faremos uma introdução ao estudo de erros e incertezas
experimentais. Em seguida, iniciaremos o curso de física básica, com o
estudo da cinemática dos pontos materiais, ou seja, aqueles que têm massa, mas não tem volume! Estudaremos as equações de movimento e tentaremos prever a trajetória de objetos que se movem sem aceleração.
REFERÊNCIAS
Douglas C. Giancoli. Physics for Scientists and Engineers. 3ed. New
Jersey: Editora Prentice Hall, 2000.2.
Hugh D. Young e Roger A.
Freedman. Física I – Mecânica. 10ed. São Paulo: Editora Addison Wesley,
2003. Tradução de Adir Moysés Luiz.3. Frederick J. Keller, W. Edward
Gettys e Malcolm J. Skove. Física, São Paulo: Editora Makron Books,
1997.Vol 1. Tradução de Alfredo Alves de Farias4. Robert Resnick,
David Halliday e Kenneth S. Krane. Física 1. 5ed. Rio de Janeiro:LTC
Editora, 2003. Tradução de Pedro M. C. L. Pacheco, Marcelo A. Savi,
Leydervan S. Xavier, Fernando R. Silva.
26
Aula
CINEMÁTICA EM UMA DIMENSÃO
2
META
Iniciar os estudos de cinemática com o caso unidimensional.
OBJETIVOS
Ao final desta aula o aluno deverá:
realizar cálculos levando em consideração o número de figuras significativas em acordo com a
incerteza experimental;
reconhecer pontos de referência e aplicá-los para determinar grandezas físicas;
determinar a posição de objetos em relação aos pontos de referência; e
calcular a velocidade média de objetos que se deslocam em uma dimensão.
PRÉ-REQUISITOS
Sistemas de Unidades; fatores de conversão; trigonometria básica
(Fonte: http://www.unicam.org.br)
Física Básica
INTRODUÇÃO
Nesta aula serão abordados alguns assuntos que, provavelmente,
nunca foram vistos por você. Uma avaliação estatística da distribuição de
resultados em torno de uma média é o principal deles. Você verificará que
as medidas experimentais nunca são exatas, pois dependem de condições
em que são realizadas. Perceberá, também, que estas condições experimentais podem levar a resultados muito acurados, mas pouco precisos, e
vice-versa. Aprenderá como tratar dados de uma amostragem relativamente grande de resultados e aplicar regras de avaliação de confiabilidade.
O conceito de ponto de referência e de sistema de referência será
aprofundado e profusamente exemplificado para que você se prepare para
análises mais sofisticadas de sistemas físicos através do uso de vetores
nas aulas posteriores. O conceito de velocidade média, já estudado no
ensino médio, será revisitado em uma linguagem mais avançada tomando
o cuidado de estabelecer a arbitrariedade e liberdade de escolha de pontos e sistemas de referência.
28
Cinemática em uma dimensão
Bem vindo à segunda aula do seu curso de física básica. Com certeza
tudo aquilo que aprendeu na primeira aula será de muita importância daqui para frente. Hoje começaremos com um estudo fundamental para se
compreender como analisar erros experimentais.
Aula
2
ERROS – ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Um fato da vida que provavelmente você já percebeu é o de que os
resultados de qualquer medição que você faça nunca estarão absolutamente iguais! Eles são vítimas de erros de medidas; erros estes causados
por uma série de motivos. Nestas linhas, discutiremos os principais culpados desta situação.
Erros sistemáticos: são erros cometidos sempre e somente no mesmo
sentido; se forem descobertos, podem ser corrigidos ou eliminados. Ex: Balança mal calibrada, deficiência de funcionamento, erros de operação etc.
Erros fortuitos ou aleatórios: são aqueles erros que aparecem sem
qualquer regularidade; inevitáveis; estimativas que dependem de pessoa
para pessoa e de medição para medição; tendem a anular-se num elevado
número de medições. Ex: variações no ambiente do laboratório, limitações dos instrumentos de medida etc.
Parece confuso? Dê uma boa olhada na figura abaixo:
Nessa figura mostramos quatro casos distintos de medidas repetidas e a distribuição dos resultados. Não colocamos valores nos eixos,
mas podemos assumir que o resultado “correto” se localiza no centro
dos eixos.
Caso A: é visualmente óbvia a fraca precisão. Existe uma grande dispersão de resultados, mas eles se concentram em torno do valor verdadeiro. Isto indica que existem erros aleatórios em abundância. Por outro lado,
não se verifica a existência de erros sistemáticos. Isto indica que temos
um resultado “acurado” (exato), mas pouco preciso.
Caso B: este é um resultado perigoso. A precisão é boa, o que nos
levaria a acreditar que foi uma medida de boa qualidade, pois há baixa
dispersão de resultados, o que indica um bom controle dos erros aleatóri-
29
Física Básica
os. Por outro lado, a medida não é acurada, indicando claramente a existência de uma fonte de erros sistemáticos.
Caso C: o pior dos mundos: baixa precisão (grande dispersão de resultados) e baixa acurácia (resultado errado). Encontramos erros aleatórios e erros sistemáticos.
Caso D: o melhor dos mundos: boa precisão e acurácia. Um experimento científico que se preze, começa com o Caso C e, através de MUITO trabalho, chega ao Caso D!
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Quando uma série de medidas repetitivas é realizada, independentemente da acurácia, teremos uma distribuição dos resultados em
torno do valor real. Se pegarmos, por exemplo, 10 caixas de fósforos
(com quarenta palitos em cada uma), e medirmos o comprimento de
cada palito, chegaremos a uma grande distribuição que pode ser
esquematizado da seguinte maneira:
Este gráfico, conhecido como, um histograma, nos diz o seguinte:
temos muitos palitos com o comprimento em torno de 2,9 cm. Temos
também alguns palitos com 2,4 cm e até com 3,1 cm! Mas podemos ver
um pouco mais que isso. Podemos ver que as discrepâncias tendem a ser
pequenas e a se distribuir simetricamente em torno de um dado valor
médio do comprimento dos palitos. Para calcular esta média, é muito
simples: basta utilizarmos a seguinte equação (ou fórmula):
30
Cinemática em uma dimensão
onde quer dizer: valor médio de x. Para quem não conhece esta letra da
fórmula ( Σ ), ela é uma letra grega que corresponde ao nosso “S” maiúsculo, indicando que faremos uma soma de todos os valores de x. Mais
abaixo, isso ficará mais claro.
Em nosso caso, é apenas o comprimento de cada palito. Para calcular
este valor médio, no entanto, precisamos dos dados verdadeiros, e os
mesmos (inventados, naturalmente) foram colocados na tabela abaixo:
Aula
2
A conta fica então muito fácil:
Note que colocamos aqui todos os 400 valores medidos! Contamos
o valor 2,4 cm dezoito vezes, o valor 2,5 cm 32 vezes e assim por diante. Parece uma perda de tempo, e realmente é. Uma maneira muito mais
adequada de fazer esta conta é aquela que utiliza a freqüência de ocorrência dos comprimentos dos palitos. A freqüência corresponde ao número de vezes que um dado valor é obtido. Olhando a tabela, podemos
ver que a freqüência de 2,4 cm é 18! Simples não? Se nós chamarmos
estes números de fi podemos definir o número total de medidas (ou eventos) como sendo:
31
Física Básica
Note que agora não especificamos o número total de itens que serão
somados, porque geralmente não sabemos isto. Neste nosso exemplo, são
apenas 8. Podemos verificar a validade desta equação:
N =18+32+46+68+70+102+36+28=400!
Utilizando o conceito então de freqüência, o valor médio pode ser
calculado de forma muito mais simples:
Com esta equação, obtemos a média de maneira muito fácil:
Então, o comprimento médio do palito é matematicamente igual a 2,7825
cm. Isto não nos diz muita coisa a respeito da qualidade do processo de
produção dos palitos. A pergunta que temos a fazer é: existe muita variação
no comprimento dos palitos? Pode parecer uma dúvida sem sentido para
o caso dos palitos – quem se importa com o comprimento dos palitos? Só
queremos que eles acendam – , mas, e se o problema fosse outro?
Você resolve fazer uma compra de sapatos maluca: quer comprar 400
pares de sapatos, todos de tamanho 38, iguais – eu disse que era maluca. O
fabricante manda entregar na sua casa e você, que é bastante desconfiado,
pega um par de sapatos confortáveis, número 38, e começa a comparar com
cada um dos pares novos recebidos. O que você acha que vai acontecer? Você
espera que todos os pares sejam realmente iguais! Para sua grande irritação,
nota que existe uma grande distribuição, e que existem pares de números desde 34 até 42! Agora sim, dá para decidir se brigar vale, ou não, à pena.
Quantos pares estão fora de especificação? Qual é a sua tolerância a
um sapato apertado e a um sapato largo? Qual a razão entre o número de
sapatos de tamanho certo e de tamanho errado? Estas perguntas aparecem todos os dias em todos os ramos industriais do mundo. Por exemplo:
os fabricantes de automóveis compram os pneus de outros fabricantes. Se
uma leva de pneus tem uma grande porcentagem de pneus fora de
especificação (apertados...) então o mundo vem abaixo! Vemos então que
além da média, precisamos de um número que nos dê uma noção de como
os valores se distribuem em torno da média. Este número tem um nome:
desvio padrão. O seu cálculo também é muito fácil:
32
Cinemática em uma dimensão
Como você agora já está acostumado com esses cálculos, vou deixar
você verificar que o desvio padrão (representado pela letra grega σ) é
igual a 0,181777 cm. Então, agora nós temos um valor médio para os
palitos e um desvio padrão. Mas o que isto significa? O desvio padrão nos
dá uma idéia da dispersão dos resultados: este número nos diz que 68%
das medidas encontram-se no intervalo:
Aula
2
ou, em nosso caso, 68% das medidas encontram-se no intervalo: 2,600568
2,963024447cm. Também devemos ficar sabendo que 95% das
medidas encontram-se no intervalo
Podemos agora dizer que essa análise estatística mostra o que é conhecido como distribuição Normal.
Este exemplo foi muito bom para indicar o método de tratar resultados experimentais de uma série de medidas. No entanto, obtivemos alguns números bastante misteriosos, tais como 2,963024447 cm. Nós podemos agora fazer uso daquela nossa tabela de prefixos para saber o que
este número significa:
Este número nos diz que sabemos o valor do comprimento do palito
de fósforo com precisão de até décimos de Angstrom! Estas são dimensões atômicas! Isto faz sentido? Que máquina maluca foi utilizada para
determinar o comprimento de um palito de fósforo com tal precisão? Você
não acha que há algo errado? Pois há! A nossa precisão experimental foi
determinada pelo equipamento que usamos.
Como os valores que medimos são do tipo x,y cm, concluímos que
nossa precisão é de milímetros e que devemos ter usado algo como uma
fita métrica. Então, este número enorme não deve fazer sentido e precisamos acabar com algumas daquelas casas decimais. Mas este processo,
chamado de arredondamento, não pode ser feito de qualquer maneira;
existem algumas regrinhas básicas.
33
Física Básica
Quando se quer diminuir o número de casas decimais em uma unidade,
como por exemplo, de 123,789 para 123,7X, diminuímos o número de casas
decimais de três para dois. A pergunta que se faz é: quem é X? Nosso primeiro reflexo seria manter o número 8, simplesmente cortando o número 9. Isto
seria simples, mas errado. A decisão de quem será X depende de quem vem
depois do X. Neste caso, o 9! O raciocínio que determina a escolha é bastante
simples: uma pessoa pergunta a você qual a distância entre sua casa e sua
escola. Você já sabe que é algo em torno de 1,9 km. Qual será sua resposta?
Um ou dois quilômetros? Naturalmente que dois representa melhor a distância real. No nosso exemplo acima, utilizamos o mesmo raciocínio. Sabendo agora por que estamos fazendo isto, podemos ditar as regras:
· Se o número seguinte é menor que 5, mantemos o número inalterado;
· Se o número seguinte é maior ou igual a 5, adicionamos uma unidade ao número.
Neste nosso exemplo, o número imediatamente após o X é nove,
então o número X original (oito) precisa receber uma unidade, perfazendo: 123,79. Se quisermos baixar ainda um pouco o número de casas decimais, procedemos da mesma maneira: 123,X9 vai para 123,(X+1), ou
seja, 123,8. Novamente: 12X,8 vai para 12(X+1), ou seja, 124. E para
terminar, 1X4 x10 vai para 1X x 10, ou seja, 12 x10.
Este processo de arredondamento é necessário quando queremos expressar uma grandeza física de maneira adequada, ou seja, utilizando os Algarismos Significativos. Estes algarismos são aqueles que expressam um significado físico real. No exemplo anterior, calculamos o comprimento médio dos
palitos com precisão atômica. Isso é claramente absurdo, pois não temos
instrumentos para isto! Quem determina o número de algarismos significativos então é o instrumento de medidas, assunto que será visto em seu curso
de Laboratório de Física Básica. No entanto, é importante, desde já, aprender a determinar quantos algarismos significativos estão presentes em uma
dada cifra. A maneira de se escrever o valor numérico em trabalhos científicos é preferencialmente a notação científica. Nesta notação, escreve-se o
número referindo-se à potência de dez, com a particularidade de se conservar, à esquerda da vírgula, apenas um dígito, diferente de zero.
Exemplos:
34
Cinemática em uma dimensão
A razão de se preferir a notação científica a qualquer outra é que ela
permite a rápida visualização da grandeza (a potência de 10) e do número
de algarismos significativos. Aqui iremos nos concentrar em operações
com algarismos significativos que, também, seguem regras bem definidas.
Na adição e subtração - faz-se a operação normalmente e, no final,
reduz-se o resultado, usando o critério de arredondamento para o número
de casas decimais da grandeza menos precisa. Exemplos:
Adição - (12.441 + 57,91 + 1,987 + 0,0031 + 119,20) = 12.620,1001
= 12.620
Subtração - (12.441,2 - 7.856,32) = 4.584,88 = 4.584,9
Na multiplicação e divisão - o resultado deverá ter igual número de
algarismos (ou um algarismo a mais) que a grandeza com menor quantidade de algarismos significativos que participa da operação. Exemplos:
Multiplicação - (12,46 x 39,83) = 496.2818 = 496,28
Divisão - (803,407 / 13,1) = 61,328 = 61,33
Na potenciação e radiciação, o resultado deverá ter o mesmo número de
algarismos significativos da base (potenciação) ou do radicando (radiciação):
Potenciação - (1,52 x 103)2 = 2,31 x 106
Radiciação - (0,75 x 104)1/2 = 0,87 x 102
Uma regra prática para a operação com algarismos significativos é adicionar aos valores um x à direita do último algarismo, realizar a operação e
tomar como resultado os algarismos não afetados pelo x. Por exemplo:
a) 2,041 + 0,0498 + 98,00
Aula
2
Quando duas ou mais quantidades são multiplicadas ou dividas, o número de algarismos significativos resultante deve ser igual ao menor número de algarismos significativos de qualquer um dos multiplicadores ou
divisores. Se o cálculo inicial viola esta regra, ele deve ser arredondado para
reduzir o número de algarismos significativos ao valor máximo permitido.
Assim, se várias operações são realizadas em seqüência, é desejável manter
todos os dígitos nos valores intermediários e arredondar somente o valor
final. O truque de se adicionar um x ao final dos cálculos também é válido:
a) 8,248 x 3,1
25,8
35
Física Básica
Terminaremos esta aula com um breve contato com o mundo real
dos laboratórios. Tratamos de algarismos significativos, precisão, acurácia
e outros conceitos, mas nos mantivemos no plano teórico. Quando tratamos de cifras reais, precisamos não apenas de magnitudes, mas também
de incertezas. Todas as medidas que são feitas experimentalmente são
afetadas, até certo ponto, por erros experimentais devido às imperfeições
inevitáveis de todos os instrumentos de medida.
Todos os resultados experimentais, então, devem ser acompanhados
de uma estimativa de sua incerteza, ou erro. A maneira correta de estimar
estes erros será discutida no curso de física básica experimental. Por exemplo, ao fazermos uma medida do comprimento de uma cortina, obtivemos o seguinte resultado: 297±2 mm. Com isto, entendemos que a tal
cortina mede alguma coisa entre 295 mm e 299 mm. É importante destacar que os erros SEMPRE devem ser utilizados com apenas um algarismo
significativo. Quando efetuamos operações com quantias (e suas respectivas incertezas), precisamos respeitar, como sempre, algumas regras, mas
elas já estão fora do conteúdo deste curso.
Colchão de ar para experimentos de colisão (Fonte: http://www.unerj.br)
36
Cinemática em uma dimensão
Aula
ATIVIDADES
2
I. Calcule: (a) a soma dos seguintes valores: 756+37,2+0,83+2,5; (b) o
produto dos seguintes valores: 0,0032X356,3 e (c) o produto dos seguintes valores: pX5,620
II. Um fazendeiro quer atualizar a escritura de sua fazenda retangular e
verifica que ela mede 38,44 m de comprimento e 19,5 m de largura. Determine seu perímetro e sua área.
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
I. (a) O resultado da soma é 796,53, mas a regra da adição diz que
devemos arredondar para o número de casas decimais da grandeza
menos precisa, que, neste caso, corresponde a nenhuma casa decimal.
Devemos então arredondar 796,53 para 796,5 e depois para 797.
(b) o resultado algébrico é 1,14016, mas utilizando a regra do produto,
devemos manter o mesmo número de algarismos significativos
daquela parcela com menor número de algarismos significativos.
Neste caso só podemos utilizar dois algarismos significativos, e,
portanto, o resultado é 1,1. (c) Sendo p um número puro, ele tem
infinitos algarismos significativos, e o resultado do produto é
determinado pelo número de algarismos significativos da outra cifra:
quatro! E o resultado é: 17,71.
II. Este é um caso muito parecido com o anterior. O comprimento
tem quatro algarismos significativos e duas casas decimais; a largura
tem três algarismos significativos e apenas uma casa decimal. O
perímetro, que corresponde à soma de todos os lados deverá então
ter apenas uma casa decimal e a área, por se tratar de um produto,
só poderá ter três algarismos significativos:
SISTEMAS DE REFERÊNCIA
Como veremos nas próximas aulas, a cinemática clássica descreve a
maneira pela qual um objeto se move. Uma pergunta básica que se apresenta é: move-se em relação a que (ou a quem)? Nosso objetivo é desenvolver um entendimento do movimento, que é muito sutil.
Você já teve a sensação, dentro de um carro ou avião ou barco, de não
saber se você está parado ou em movimento? Quase todas as pessoas já
37
Física Básica
tiveram este tipo de sensação. Isto ocorre quando a visão exterior é restrita
de tal modo que perdemos a referência. Este fenômeno é particularmente
intenso quando olhamos através de uma pequena janela de avião que permite uma visão muito restrita do mundo exterior. Se você observa outro
avião próximo se mover é difícil de dizer se ele realmente está se movendo
ou se é o seu avião que está se movendo enquanto o outro está parado.
Nestes casos você precisa de um objeto estacionário (como por exemplo, o
terminal) para poder se certificar sobre quem está se movendo.
O movimento é relativo e ele depende da escolha de um sistema de
referência (ou referencial). O problema é, portanto, realmente sutil e, por
isso, vamos olhar um pouquinho mais a fundo. Imagine que você está em
um barco dentro de um lago, mas sem remos ou motor e visualiza um
segundo barco. Sem qualquer instrumento de navegação, como você pode
descrever o seu movimento em relação a este outro barco? O seu barco
está parado? O outro barco está se movendo? Ou o seu barco está se
movendo e o outro parado? Ou estão ambos os barcos em movimento?
Se você se define como o observador, você pode chegar à conclusão de
que você está parado e que o outro barco está se movendo por ter aparecido em seu campo visual. Por outro lado, se as pessoas no outro barco
são os observadores, eles podem concluir que estão parados e que você
está se aproximando.
O movimento é relativo e é necessário que se defina “relativo a que”.
Imagine agora que uma pessoa chuta uma bola em sua direção, e ela viaja
a 100 km/h. Se você é o observador, a bola está andando em sua direção
a uma velocidade de 100 km/h. Por outro lado, para uma formiga infeliz,
sentada sobre a bola, ela está parada, e você está se aproximando a uma
velocidade de 100 km/h!
Indo um pouco mais longe, em uma viagem aérea para o Rio de Janeiro, uma grande turbulência fez com que você derrubasse uma xícara de
café. Como podemos descrever o movimento da xícara? Devemos descrever a partir do ponto de vista de nosso colega dentro do avião (que
veria a xícara caindo em linha reta)? Ou devemos utilizar o ponto de vista
de um cidadão de Salvador (com super poderes) que podia ver o movimento combinado de queda da xícara com o movimento horizontal do
avião? Ou isto não faz a menor diferença? E se, por acaso, esta xícara
caísse dentro da estação espacial orbital, deveríamos calcular o seu movimento em relação à estação ou em relação à Terra? Ou talvez em relação
ao Sol, ao redor do qual a Terra se move a uma velocidade muito maior
(29,8 km/s)? Ou mesmo em relação à nossa galáxia, a Via Láctea?
Cada uma destas escolhas representa um ponto de referência. O ponto de referência ideal na Astrofísica é aquele formado pelas estrelas mais
distantes, as chamadas “estrelas fixas”. Em nosso cotidiano, porém, ele
raramente é o mais conveniente. Para uma pessoa que está dentro de um
38
Cinemática em uma dimensão
meio de transporte, é muito mais fácil descrever o movimento de um
objeto em relação ao seu ambiente que em relação às galáxias distantes.
Uma vez esclarecido o conceito de sistema de referência, podemos
ver agora a sua formulação matemática para os problemas de cinemática
em uma dimensão.
Em uma dimensão, esse problema resume-se em definir um ponto
inicial. Imagine, por exemplo, que você se encontra em uma esquina de
uma quadra comum. No meio desta quadra, existe uma papelaria e, na
outra esquina, existe uma padaria. Tanto a papelaria quanto a padaria
podem servir como ponto de referência da sua localização. Se esta quadra tem 100 metros de comprimento, você se encontra a aproximadamente 50 metros da papelaria e a 100 metros da padaria. Se você começa a caminhar em direção a estes dois estabelecimentos, a sua distância
em relação a eles diminui com o tempo, não é verdade? Depois de alguns minutos você pode dizer que se encontra a 10 metros da papelaria
e a 60 metros da padaria, ou seja, você caminhou 40 metros. Após mais
alguns minutos, no entanto, você se encontra novamente a uma distância de 10 metros da papelaria, mas sua distância até a padaria diminuiu
para apenas 40 metros. Isto indica que você passou em frente à papelaria e se afastou novamente.
Determinar a distância entre dois pontos não é suficiente para que saibamos onde você se encontra. Na figura abaixo, ilustramos um sistema adequado de coordenadas para um sistema de referência. Podemos dizer que o ponto zero corresponde à localização da papelaria e, a partir daí, determinar a
todo instante onde uma pessoa se encontra. No início, por exemplo, você se
encontrava à esquerda do ponto de referência, a uma distância de 50 metros.
Sua posição, então, era dada por
. No segundo instante, você
ainda se encontrava à esquerda do ponto de referência, mas sua distância
era de apenas 10 metros. Sua posição seria então dada por
. E,
na sua última posição, depois de passar em frente à papelaria e andar mais 10
metros chegaria ao ponto
. Pronto, você aprendeu o que é um
sistema de referência.
Aula
2
39
Física Básica
Nosso próximo passo é definir como podemos mudar de um sistema
de referência para outro. Poderíamos, por exemplo, definir que o nosso
ponto de referência é a padaria, e não a papelaria. Para facilitar a
visualização do problema, considere a tabela abaixo.
Apesar de não termos dito qual o tempo exato, estabelecemos três
momentos distintos correspondendo ao início, à primeira parada antes de
chegar à papelaria e ao último momento depois de passar a papelaria.
Para cada um destes momentos, sabemos qual é a posição x, ou seja, a
sua localização em relação à papelaria. E se escolhêssemos a padaria como
ponto de referência? Como ficaríamos? Veja a tabela abaixo:
Agora temos uma situação em que todas as posições são negativas e
recebem o nome de x’. Usamos x’ para não confundir com x, mas poderíamos ter usado qualquer símbolo que quiséssemos, pois é apenas uma
variável. Podemos dizer, com segurança, onde estamos, a cada momento,
dando o valor de x ou de x’. Qualquer dos dois valores serve para identificar a posição da pessoa em dado momento. Na figura abaixo, temos os
dois referenciais juntos.
40
Cinemática em uma dimensão
E, por inspeção, podemos determinar qual é a relação matemática
entre x e x’:
ou
. Você achou muito fácil? Então vamos fazer uma atividade.
Aula
2
ATIVIDADES
I. A figura acima mostra a distribuição de vértebras na coluna dos seres
humanos. Podemos ver no topo da coluna o símbolo C1, que corresponde à
primeira vértebra cervical. As letras T, L e S, por sua vez, significam torácica,
lombar e sacral. Se estabelecermos que cada vértebra se mantém a uma
distância fixa de 2.5 cm de distância de sua vizinha imediata, estabeleça
três sistemas de referência distintos que sejam alternativos a este.
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
I. Podemos escolher qualquer vértebra para fixar como ponto de
referência. Escolheremos a primeira vértebra lombar como sendo o
nosso zero. Sendo assim, assumindo um eixo positivo para cima,
podemos construir a seguinte tabela:
41
Física Básica
VELOCIDADE MÉDIA
Você já tem uma percepção intuitiva sobre o que é o movimento: é a
mudança da localização de um dado objeto em certo intervalo de tempo.
E o aspecto mais óbvio deste movimento é quão rapidamente ele está
acontecendo – a sua velocidade.
O termo velocidade, no entanto, pode ser um pouco enganoso e, por
isso, iremos tratá-lo com o devido respeito. Imagine, por exemplo, que
você sai da sua casa para um passeio a pé. Caminha três quilômetros até
a praia, caminha dois quilômetros pela areia, dá meia volta e se dirige a
sua casa. A distância total percorrida por você foi de dez quilômetros. Se
você gastou exatamente uma hora para fazer este trajeto, a sua velocidade média é simplesmente calculada através da seguinte equação:
ou seja, a sua velocidade média foi de dez quilômetros por hora. Esta é a
definição padrão da velocidade – que poderia também ser chamada de “rapidez”. Ela é sempre positiva e não depende de um ponto de referência. Em
física, no entanto, a velocidade média pode ser determinada de outra maneira. Nesta definição, a distância percorrida é substituída pela diferença entre o
ponto inicial e o ponto final em relação a um sistema de referência:
Esta “pequena” diferença faz “toda” a diferença. Se o movimento é
sempre na mesma direção, então as duas definições de velocidade média
dão o mesmo valor. Mas, o exemplo que demos acima já mostra que isto
nem sempre é o caso. Se você saiu de sua casa e voltou depois de uma
hora, seu ponto inicial é igual ao seu ponto final e, portanto a sua velocidade média é zero! Como veremos nas próximas aulas, esta diferenciação
será muito importante quando trabalharmos com vetores.
42
Cinemática em uma dimensão
Para discutir o movimento unidimensional de um objeto em geral,
suponha que, em certo momento t1 (que pode muito bem ser às16 horas
de amanhã, é apenas um tempo qualquer), o objeto esteja em certa posição x1 (que pode ser simplesmente 10 metros afastado da padaria que
vimos anteriormente), e que, em um momento t2 o objeto esteja na posição x2. O tempo gasto é certamente t2-t1 e o deslocamento que o objeto
teve durante este tempo foi x2-x1. A velocidade média então fica agora
definitivamente definida para nossos estudos:
Aula
2
onde v corresponde à velocidade, e a barra sobre ela é o símbolo padrão
para designar um valor médio.
Para o caso habitual do eixo x para a direita, note que se x2 é menor
que x1, ou seja, o objeto está se movendo para a esquerda e, por isso, ∆x
é menor que zero. O sinal do deslocamento e, portanto, o da velocidade, indica a direção: a velocidade média é positiva quando um objeto
se move para a direita ao longo do eixo x, e negativa quando se move
para a esquerda.
ATIVIDADES
I. A posição de um corredor em função do tempo é colocada na figura
abaixo:
I. Em um intervalo de 4 segundos, o corredor se desloca da posição distante 90 metros do centro de referência para a posição distante cinqüenta
metros do centro de referência. Qual é a velocidade média?
II. Se você está em uma cidade localizada a 150 quilômetros da sua e precisa chegar a casa, de qualquer jeito, em 90 minutos, responda: respeitando
os limites de velocidade mais comuns, será possível chegar a tempo?
43
Física Básica
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
I. Para a resolução deste problema só precisamos utilizar a equação
da velocidade média. Claramente temos que o ponto x1 é 90 m e o
ponto x2 é 50 m. Portanto,
. O tempo
decorrido foi fornecido no lugar do tempo inicial e do tempo final,
temos então que simplesmente:
Encontramos então,
finalmente que
.
II. Neste segundo caso, precisaremos fazer algumas suposições. A
primeira delas é a de que teremos uma velocidade constante durante
todo o trajeto, e a segunda, de que o limite de velocidade em todo
o trajeto é de 80 quilômetros por hora. Se o nosso limite de
velocidade, que aqui será igual à velocidade média, é de 80 km/h, e
a distância a ser percorrida é de 150 km, podemos obter o tempo
mínimo gasto usando a equação da velocidade:
Para podermos agora
comparar este tempo com aquele que nos foi imposto, precisamos
mudar as unidades de um deles. O que parece mais fácil é perceber
que 90 minutos corresponde a 1,5 horas. Concluímos, então, que,
sem levar uma multa, será impossível chegar a tempo.
(Fonte: http://www.ciclobr.com.br)
CONCLUSÃO
O conceito de velocidade média foi introduzido de uma maneira um pouco
mais sofisticada que aquela definida no ensino médio. Através de exemplos
e exercícios ficou evidente a simplicidade do conceito e a facilidade de sua
aplicação para o caso unidimensional. Sua conjugação com o conceito de
sistemas de referência será fundamental no estudo posterior de vetores.
44
Cinemática em uma dimensão
RESUMO
Nesta aula, aprofundamos um conceito fundamental que é a incerteza
associada a qualquer medida. No campo das incertezas, discutimos os conceitos de erro que podem ser aleatórios ou sistemáticos. Verificamos como
podemos realizar uma série de medidas idênticas, uma vez que os resultados não são sempre iguais, mas se distribuem em torno de um valor médio.
Desta distribuição foram extraídos parâmetros estatísticos tais como a média e o desvio padrão, sendo que este último fornece uma indicação dos
limites de confiabilidade dos resultados experimentais. Revisitamos o conceito de velocidade média e verificamos que a posição de um objeto pode
ser descrita utilizando qualquer ponto e sistema de referência. No campo
dos Sistemas de Referência, por sua vez, verificou-se a possibilidade de
transferência de informação desde um ponto de referência para outro através de uma simples transformação de coordenadas.
Aula
2
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, continuaremos a estudar a cinemática em uma dimensão. O conceito de velocidade instantânea aparecerá naturalmente da
definição de derivada. Faremos uma breve introdução ao cálculo diferencial para permitir a utilização de uma ferramenta matemática muito útil: a
derivada. Os conceitos de velocidade e aceleração variáveis serão explorados, assim como a descrição gráfica dos movimentos unidimensionais.
REFERÊNCIAS
DOUGLAS C. Giancoli. Physics for Scientists and Engineers. 3ed.
New Jersey: Editora Prentice Hall, 2000.
HUGH D. Young e Roger A. Freedman. Física I – Mecânica.10ed. São
Paulo: Editora Addison Wesley, 2003. Tradução de Adir Moysés Luiz.
FREDERICK J. Keller, W. Edward Gettys e Malcolm J. Skove. Física.
São Paulo: Editora Makron Books, 1997. Vol.1. Tradução de Alfredo
Alves de Farias.
ROBERT RESNICK, David Halliday e Kenneth S. Krane. Física 1. 5ed.
Rio de Janeiro: LTC Editora, 2003. Tradução de Pedro M. C. L. Pacheco,
Marcelo A. Savi, Leydervan S. Xavier, Fernando R. Silva.
45
Aula
VELOCIDADE INSTANTÂNEA
3
META
Expandir o estudo de cinemática para o caso onde existe aceleração e orientar sobre a utilização
de gráficos para estudar os movimentos.
OBJETIVOS
Ao final desta aula o aluno deverá:
determinar a diferença entre velocidade média e velocidade instantânea;
calcular a velocidade instantânea de objetos acelerados;
construir gráficos que mostram a evolução temporal da posição e da velocidade de objetos que
estão acelerados.
PRÉ-REQUISITOS
Conceituação de Sistemas de Referência, conceitos básicos de cinemática e álgebra básica.
(Fonte: http://www.moderna.com.br)
(Fonte: http://goluck.files.wordpress.com)
Física Básica
INTRODUÇÃO
Bem vindo à primeira aula de nosso segundo módulo. À medida que
vamos entendendo os conceitos da física, vamos também aumentando,
gradativamente, o uso de ferramentas matemáticas. Nesta aula, estudaremos os movimentos em uma dimensão que não têm velocidade constante. Estes são os movimentos que realmente observamos no dia-a-dia.
Todos os corpos, geralmente, estão sofrendo algum tipo de aceleração.
Quando chegarmos ao estudo das leis de Newton, teremos um entendimento maior sobre as causas, mas hoje observaremos os efeitos de uma
aceleração sobre o movimento dos corpos. Para que possamos apreciar
toda a beleza da teoria, faremos uma pequena introdução ao uso da derivada. Veremos que a derivada é um conceito simples e que, na maioria
dos casos, é muito fácil de utilizar. Ao final desta aula, veremos que a
utilização de gráficos é de grande valia para que possamos visualizar a
trajetória de um corpo e, de maneira bastante natural, apreciar o conceito
geométrico da derivada. Nesta aula, ainda, expandiremos o estudo da
cinemática para os corpos acelerados. Não serão discutidos os causadores de tais acelerações, mas apenas como tais acelerações podem alterar o
movimento dos corpos. Manteremos também a utilização de corpos
idealmente sem massa e sem volume: “pontos materiais”. Divirta-se!
(Fonte: http://www.oesteinforma.com.br)
48
Cinemática em uma dimensão
O estudo do movimento engloba a aplicação das equações de movimento em diversas situações, assim como o seu estudo mais detalhado se
faz através do uso de gráficos que descrevem a posição, velocidade e
aceleração em função do tempo.
O conceito de velocidade instantânea, em contraposição à velocidade média, por sua vez, vai requerer uma introdução ao cálculo diferencial, apesar de não fazermos aqui um estudo sistemático e elaborado sobre
esse assunto como seria de se esperar em um curso de cálculo I. É necessário, porém, que façamos uma explanação breve para que lhe desperte
uma visão intuitiva sobre o que é uma diferencial e para que você compreenda algumas técnicas básicas de diferenciação em uma dimensão.
Além disso, é importante fazer a correlação entre a interpretação da diferencial como uma função e a sua representação em um gráfico e relacionar a derivada de uma função em um ponto com a tangente que passa por
uma curva naquele ponto.
A aplicação desta relação em diversos pontos de uma curva de velocidade em função do tempo possibilitará a você perceber que, de fato, a
derivada da velocidade em cada ponto corresponde à aceleração naquele
ponto, da mesma maneira que, em um gráfico de posição em relação ao
tempo, a derivada, em um ponto, corresponde à velocidade naquele ponto e pode ser visualizada como sendo a tangente naquele ponto.
Aula
2
VELOCIDADE INSTANTÂNEA
Em nossa aula passada, estudamos o conceito de velocidade média e
vimos que a velocidade média é a distância percorrida, dividida pelo tempo gasto para percorrer esta distância. Se viajarmos de uma cidade para
outra, distantes 80 quilômetros, e gastarmos uma hora, teremos uma velocidade média de 80 km/h.
Agora, vamos atravessar uma cidade do início ao fim. A distância
percorrida é de 30 quilômetros e gastamos uma hora para percorrê-la.
Você vê algum sentido na velocidade média? Não! Passamos por grandes
avenidas onde o limite de velocidade é de 80 km/h. Tivemos que parar
em diversos semáforos e em cruzamentos perigosos. Para que pudéssemos fazer isso, tivemos que usar os freios e o acelerador do carro, ou seja,
mudamos a nossa velocidade a cada instante. Assim, da mesma maneira
que poderíamos dizer, com precisão, qual a nossa posição (instantânea)
em um dado momento, gostaríamos agora de poder dizer qual era a nossa
velocidade instantânea neste mesmo momento.
Se você pensou em olhar no velocímetro do carro, acertou. Sim, é
exatamente isto que nos informa o velocímetro: qual a velocidade instantânea. E aquele ponteirinho está sempre se mexendo, não é mesmo? E
49
Física Básica
agora, como faremos para calcular esta velocidade? É fácil. Em primeiro
lugar, usaremos a expressão matemática que relaciona a velocidade média, o deslocamento e o tempo:
Por que esta equação não pode ser usada para a velocidade instantânea? A razão é muito simples: verifique a figura abaixo:
Figura 1
Esta figura mostra uma linha de trem, onde a diferença entre dois
dormentes é sempre de um metro, mas que o tempo que o limpa-trilhos
(aquela parte pontuda na frente do trem) leva para atravessar esta distância varia! No trecho 1, leva 10 segundos; no trecho 2, leva vinte
segundos; e, no 3, ele leva quarenta segundos. Podemos calcular aqui a
velocidade média:
Podemos também determinar a velocidade média em cada trecho:
Em três trechos distintos, portanto, obtivemos três velocidades diferentes porque o tempo gasto para percorrer o trecho mudou. Outra maneira de visualizar isto seria manter os tempos iguais e variar a distância
percorrida! Temos três trechos que serão percorridos no espaço de 10
segundos, mas com as velocidades que acabamos de calcular. O comprimento de cada um destes trechos é obtido facilmente ao modificarmos a
equação da velocidade média:
50
Velocidade instantânea
Obtemos, assim, os seguintes deslocamentos:
Aula
3
Quando utilizamos intervalos de tempo iguais, a velocidade determina qual a distância percorrida. A distância total percorrida seria então
1,75 metros, que, dividida por 30 segundos, dá uma velocidade média de
0.058m/s. Mas, estes valores não se correspondem! Parece haver algo
errado; e, de fato, há. Nós criamos uma divisão arbitrária entre três momentos quando o trem passava pelos trechos 1, 2 e 3! Não levamos em
consideração que, para passar do trecho 1 para o trecho 2, houve uma
diminuição da velocidade que não foi instantânea!
A velocidade diminuiu desde um valor inicial até um valor final de
maneira gradual. Dividir, então, o movimento em três trechos não foi
suficiente para que pudéssemos obter o valor da velocidade instantânea
em cada um dos pontos. Precisaríamos dividi-lo em muitos mais trechos!
Com o aumento do número de trechos, porém, diminui o espaço de tempo que o trem gasta para percorrê-lo. Assim, podemos, formalmente, definir a velocidade instantânea:
Esta equação informa-nos que a velocidade instantânea de um objeto é dada pela divisão da distância percorrida (∆x) dividida pelo tempo
gasto para percorrê-la (∆t), quando este intervalo de tempo é muitíssimo
pequeno, na verdade quase igual a zero. Em linguagem matemática, dizemos: “no limite de ∆t tendendo a zero”. Neste limite, o denominador
chega perigosamente perto do zero, mas o numerador também, e o quociente ainda existe! Esta é a definição da derivada!
onde lemos que “a velocidade instantânea é dada pela derivada da
posição em relação ao tempo”, ou que “a velocidade instantânea é dada
pela taxa de variação da distância em relação ao tempo”.
São inúmeras as maneiras de descrever esta definição. Para isso, vamos iniciar o nosso estudo de gráficos. O primeiro gráfico é o da posição
em função do tempo. Utilizaremos os dados do exemplo trabalhado acima: uma partícula sai de um ponto 1 e depois de 10 segundos chega a um
ponto 2 que dista 1 metro do ponto 1. Após mais 10 segundos, chega a
51
Física Básica
um ponto 3 que dista 0,5 metros do ponto 2. Finalmente, após mais 10
segundos, chega ao ponto 4 que dista 0.25 metros do ponto 3. A figura
abaixo ilustra a situação.
O tempo gasto para ir de 1 a 2 é o mesmo que o tempo gasto para
percorrer qualquer um dos outros trechos.
Figura 2
Para podermos fazer um gráfico agora da posição em relação ao tempo, teremos que estabelecer um ponto de referência. Vamos começar dizendo que o nosso sistema de referência e de coordenadas está colocado
sobre o ponto 1. Nesse caso, podemos fazer uma tabela que mostra a
posição x do objeto a cada instante em relação à origem:
A partir desta tabela, podemos obter o seguinte gráfico:
Figura 3
52
Velocidade instantânea
Vejamos agora como faremos para obter as velocidades médias nos
trechos 1, 2 e 3, conforme a figura da linha de trem. Podemos ver, inicialmente, que o trecho 1 é aquele que parte do ponto 1 e vai até o ponto 2,
ou seja, sai da origem e vai até uma distância de um metro em dez segundos. A velocidade média pode então ser calculada:
Aula
3
Esses resultados já eram previsíveis, mas o ponto interessante pode
ser visto na figura abaixo, onde a última figura está ligeiramente alterada:
Figura 4
Nós podemos ver agora as três regiões distintas I, II e III. Cada uma
destas três regiões tem uma velocidade média constante. Quando passamos entre as regiões nos pontos 2 e 3, a velocidade muda. Como podemos então interpretar as retas a e b? Por inspeção da figura, notamos que
as retas que unem os pontos 1 e 2, 2 e 3, 3 e 4 e as retas a e b correspondem
à tangente da curva em cada um dos pontos! Isto significa que a tangente
que obtemos em um gráfico corresponde à derivada da variável em y em
relação à variável em x.
53
Física Básica
Em cada ponto da curva que vai de 1 até 4, se tomarmos a tangente
à curva naquele ponto, obteremos a derivada da distância em relação ao
tempo, ou seja, a velocidade instantânea! Note que, entre os pontos 1 e 2,
qualquer ponto que seja escolhido terá a mesma tangente, o que significa
que terá a mesma velocidade instantânea, ou seja, em todos estes pontos,
a velocidade instantânea será igual à velocidade média. Quando passarmos de uma região para outra, a tangente será diferente e, portanto, a
velocidade instantânea será diferente.
Vejamos um exemplo para esclarecer um pouco mais estes conceitos.
Considere a figura abaixo:
Figura 5
Nós temos agora um movimento sensivelmente mais realista: um
objeto sai de um ponto A que corresponde à origem do sistema de coordenadas e anda para a esquerda (ou seja, para valores negativos de x).
Depois de um segundo, chega ao ponto B e inverte a direção de movimento. Passa novamente pela origem e percorre na direção dos pontos C
e D. Podemos extrair diversas informações a respeito desse movimento.
A primeira delas é que, em nenhum lugar, o gráfico corresponde a uma
reta. Isto significa que, em nenhum lugar, a velocidade média é igual à
velocidade instantânea. Considere, por exemplo, o trecho entre A e B. O
corpo vai da posição x=0 m até a posição x=-2m em apenas 1 segundo.
Podemos calcular a sua velocidade média facilmente:
54
Velocidade instantânea
Mas, esta velocidade corresponde à velocidade instantânea? A resposta é não! Essa igualdade só ocorre em um único ponto da trajetória
que corresponde ao tempo de 0,5 segundos! Neste ponto, uma reta tangente à curva tem a exata inclinação da reta que une os pontos A e B. Em
todos os outros pontos, a inclinação é diferente. Vamos ver o que acontece exatamente no ponto B. Se traçarmos uma tangente à curva no ponto
B, ela será parecida com a seguinte:
Aula
3
Figura 6
A reta corresponde à tangente no ponto B. Mas, qual o valor desta
tangente? Ou ainda, qual é a variação ∆x? É zero! A tangente também é
zero, e então a velocidade instantânea (apenas em B) é zero. O que isto
quer dizer? Isto significa simplesmente que o corpo parou. Notamos que
precisava mesmo ter parado, uma vez que estava indo para uma direção e
neste ponto inverteu a direção de movimento!
Agora que já compreendemos como interpretar um gráfico, verificaremos como equacionar um movimento. A equação que descreve a
velocidade média é a divisão da distância percorrida pelo tempo gasto. A velocidade instantânea é dada pela derivada da posição em relação ao tempo. Como nós podemos, agora, trabalhar matematicamente? É muito fácil.
Inicialmente, notemos que a posição de um corpo em relação a um
sistema de referência é dada pela sua distância até este ponto em função
do tempo:
Isto nos diz que a posição depende do tempo. Observemos novamente a figura 4: a região I está limitada por uma reta. Isto
significa que a velocidade média é a mesma em todos os pontos desta
região. Sendo assim, há uma maneira simples de se determinar a posição
do corpo em relação ao tempo:
55
Física Básica
Mas, como a velocidade é constante, podemos escolher um ponto
qualquer x (t) que corresponde ao tempo t. A figura 7 ilustra o caso:
Figura 7
A cada t, teremos um x(t). Levando isso em consideração, voltamos à
equação da velocidade média (lembrando que x1 =0 e t1 = 0):
Finalmente, rearranjando esta equação obtemos a função horária do
movimento nesta região:
Como o expoente de t é 1, dizemos que a distância varia linearmente
com o tempo. Isto somente ocorre quando temos uma reta. Quando há
uma curva, podemos ter quaisquer expoentes e mesmo algumas funções
matemáticas. O importante a ressaltar é que, geralmente, partimos de
uma função horária e, a partir dela, obtemos informações sobre o movimento. Antes de continuar com nosso estudo, vamos dar uma “parada” a
fim de verificar como resolveremos alguns probleminhas...
56
Velocidade instantânea
ATIVIDADES
Aula
3
I. A posição de um automóvel foi observada em vários momentos cujos
resultados estão colocados na tabela abaixo. Encontre a velocidade do carro
para (a) o primeiro segundo; (b) os últimos três segundos e (c) todo o período
de observação.
II. O gráfico abaixo mostra o movimento de um carro preso em um
congestionamento. Sua velocidade muda o tempo todo. (a) Se a sua única
informação fosse a distância percorrida durante o tempo disponível, qual seria
a velocidade média que você obteria? (b) Conhecendo o gráfico, qual foi a
velocidade mais alta alcançada pelo carro?
57
Física Básica
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
I. Para resolvermos a parte (a) deste problema, precisaremos apenas
verificar, na tabela, que, durante o primeiro segundo, o carro percorreu
2.3 metros. A sua velocidade, portanto, foi de
. Para
a parte (b), notamos que, nos últimos três segundos, o carro percorreu
uma distância total de (57.5-20.7) 20.7 metros, o que leva a uma
velocidade média de
. Para o último item, (c), tudo
que temos a fazer é dividir a distância total pelo tempo total:
. Como podemos observar, a velocidade média
em todo o percurso é sensivelmente diferente da velocidade média
no primeiro trecho e no último terço do trajeto. Note que, na realidade,
em nenhum dos casos, medimos a velocidade instantânea, apenas a
velocidade média em intervalos bem definidos de tempo.
Calcularemos a velocidade instantânea nas próximas páginas.
II. A primeira pergunta deste exercício pode ser facilmente
respondida quando percebemos que a distância total percorrida foi
de 90 metros em 14 segundos, ou seja, uma velocidade média de 6.4
metros por segundo. A segunda, no entanto, nos leva a uma pequena
reflexão: cada um dos trechos de a até h está simbolizado por uma
reta; a velocidade em cada um dos pontos desta reta é a mesma? A
resposta é sim. Em cada um dos pontos da reta a, por exemplo, uma
tangente a este ponto será paralelo à própria reta a. Então, a velocidade
instantânea está definida em todos os pontos de todas retas e
corresponde ao coeficiente angular da mesma, ou seja, Dx/Dt! Para
escolher então qual das retas corresponde à maior velocidade só
precisamos inspecionar e verificar aquela que tem o maior coeficiente
angular, ou seja, qual é a mais inclinada! A inspeção então nos indica
que a mais inclinada é a reta h, e seu coeficiente angular pode ser
obtido, dividindo a sua altura pela sua base: altura = (90-60) = 30
metros; base = (14-12.5) = 1.5 segundos. Obtemos, assim, a nossa
velocidade máxima:
. Preste bastante atenção agora
à diferença entre estes dois problemas: no primeiro, você dispunha
apenas de uma tabela com os valores de distância e tempo. Por isso,
podia calcular a velocidade média em alguns trechos, não tinha
qualquer informação sobre a velocidade instantânea. No segundo
problema, é diferente: ao invés de uns poucos pontos, o que temos é
um gráfico com infinitos pontos. Como ele é formado de segmentos
de retas, podemos concluir que, nestes segmentos de reta, a
velocidade média é igual à velocidade instantânea, só ocorrendo
mudança nestes valores quando passamos de um trecho para outro.
58
Velocidade instantânea
ACELERAÇÃO
Nos parágrafos anteriores, vimos que o conceito de velocidade instantânea é diferente da velocidade média. Vimos também alguns gráficos que mostravam trechos percorridos com velocidades diferentes. Particularmente, discutimos o caso daquele pobre coitado que está preso
em um grande congestionamento. Vamos prestar um pouco mais de atenção a este problema. Vamos imaginar uma grande auto-estrada que tem
um trecho de cerca de 10 km em linha reta e com limite de velocidade
de 120 km/h.
Imaginemos também que este trecho da estrada está localizado nas
imediações de uma grande metrópole. Qual vai ser a diferença entre a
velocidade média e a velocidade instantânea em cada ponto de um motorista transitando por esta estrada? Depende. Sim, depende. Depende
do horário. Se este motorista está chegando à cidade às três horas da
manhã encontrará uma estrada vazia e poderá manter uma velocidade
constante de 120 km/h por todo o trajeto, fazendo com que a velocidade média seja igual à velocidade instantânea em cada ponto do trajeto.
Imagine agora que este infeliz cidadão resolva chegar às 7.30 da manhã.
A estrada estará totalmente congestionada e o motorista ficará preso
naquele anda-pára-anda-pára sem fim.
A cada ponto do trajeto, a velocidade instantânea será muito diferente da velocidade média. Para que isto ocorra, o motorista deverá utilizar
algum mecanismo que lhe permita alterar a velocidade do automóvel: o
freio ou o acelerador! Em qualquer um dos casos, ele deverá aplicar uma
força que resultará em uma aceleração do automóvel, seja ela para aumentar ou para diminuir a velocidade. A aceleração, portanto, está intimamente ligada à variação da velocidade, que, por sua vez, é medida em
relação ao tempo.
Uma grande variação de velocidade em um curto espaço de tempo é
obtida com uma grande aceleração e uma pequena variação de velocidade em um grande espaço de tempo corresponde a uma pequena aceleração. Voltamos, assim, ao ponto que discutimos anteriormente nesta aula:
assim como a velocidade instantânea está relacionada à taxa de variação
da posição em relação ao tempo, a aceleração de um corpo está relacionada à taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Assim como no
caso da velocidade, podemos trabalhar com dois tipos de aceleração:
média e instantânea:
Aula
3
59
Física Básica
Antes de podermos apreciar as implicações desta relação, será necessário fazer uma pausa para introduzir algumas noções elementares de como
se calcula a derivada de uma função.
Um estudo formal de Cálculo apenas é indicado para aqueles estudantes que dele precisarão em cursos mais adiantados de física. Para
o propósito deste nosso curso de física básica, apenas algumas regras
gerais, acompanhadas de alguns exemplos serão suficientes para a compreensão de toda a física do curso. Sendo assim, vamos iniciar definindo uma função f(x). O que é uma função? Uma função é apenas
uma informação sobre como um objeto se relaciona com outro. Imagine que temos uma variável independente, como por exemplo, o tempo. O tempo passa independentemente de nossa vontade. O nosso dia
é dividido em uma infindável série de tarefas, mas todas elas dependem, de uma maneira ou de outra, do tempo. Temos horário para acordar, almoçar, sair do trabalho, etc. Por isto dizemos que vivemos em
função do tempo. Nosso dia é uma função do tempo. Nós podemos
dizer então o seguinte:
Esta equação simplesmente nos diz que nosso dia depende do
tempo, mas não nos dá qualquer informação sobre como nós dividimos o nosso tempo. Outro exemplo pode ser extraído de nossa
discussão anterior. A posição do trem também depende do tempo!
Se ele parte da origem (ou seja, colocamos nosso sistema de coordenadas no ponto inicial da trajetória) e disparamos um cronômetro para acompanhar o seu movimento em relação ao tempo, então
podemos dizer:
Novamente, esta equação nos diz que a posição do trem depende do
tempo, mas não nos diz como é essa dependência. Neste caso, no entanto,
nós sabemos como a posição do trem varia com o tempo, porque nós sabemos a velocidade! Podemos escrever então, como já vimos anteriormente:
Agora sim. Esta é uma função completa. Ela nos diz que a posição
do trem depende do tempo, e nos diz também como é essa dependência.
É este tipo de função que nós iremos agora aprender a derivar. Comecemos com as regras gerais de derivação:
60
Velocidade instantânea
Aula
3
Estas regras serão utilizadas em exemplos mais tarde. Precisamos agora
das derivadas de algumas funções mais comuns:
Agora sim estamos prontos para algum aprofundamento sobre a
aceleração dos corpos. Lembremos, inicialmente, que a aceleração
tanto pode aumentar a velocidade como pode diminuí-la. Uma aceleração positiva aumenta a velocidade de um corpo (pisa no acelerador); uma aceleração negativa diminui a velocidade de um corpo (pisa
no freio).
A inspeção da equação que relaciona a velocidade e o tempo com a
aceleração (utilizando a análise dimensional que vimos na aula 1-1) nos
indica que a sua unidade no SI é m/s2. Para que possamos aprender como
utilizar estes conceitos, vamos resolver alguns problemas.
61
Física Básica
ATIVIDADES
I. Um automóvel parte do repouso sofrendo uma aceleração. Após um
segundo, a sua velocidade é de 20.0 m/s e após 2 segundos a sua velocidade é de 60 m/s. Queremos saber:
a. A aceleração é constante?
b. Um bom carro de passeio acelera de 0 a 100 km/h em cinco segundos.
Este automóvel do exercício é real ou fictício?
II. Considere o gráfico abaixo:
Este gráfico mostra a velocidade de um objeto em função do tempo.
Assumindo que ele se move em apenas uma dimensão (eixo x), e que este
eixo tem o seu lado positivo para a direita, responda:
a. Para qual direção este objeto se move em cada trecho?
b. Qual o valor da aceleração em cada trecho?
c. Qual o valor da aceleração média durante todo o trajeto?
I. O movimento de um corpo é definido por sua função horária que é
dada por:
onde x é dado em metros e t em segundos. Determine:
a. A posição deste corpo quando t é igual a zero e 10 segundos.
b. Em que momento ele passa pela origem.
c. Qual a velocidade deste corpo quando t é igual a zero e 10 segundos.
d.Em que momento este corpo inverte o seu sentido de movimento.
e. Qual a aceleração deste corpo quando t é igual a zero e 10 segundos.
62
Velocidade instantânea
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
Aula
3
I. Vamos por partes:
a. Como estamos lidando com dois trechos distintos, podemos
assumir que a aceleração medida em cada um deles é a aceleração
média. Sendo assim:
Portanto, a aceleração variou durante o tempo.
b. A segunda pergunta é mais complicada, mas nada que não possa
ser resolvido. O primeiro problema é que estamos usando unidades
diferentes. Para podermos comparar as acelerações, vamos
converter a velocidade final do carro de passeio de km/h para m/
s. Precisamos, assim, consultar uma tabela de conversão. Facilmente
obteremos a relação:
Fazemos uma regra de três então para converter:
Levando a:
Concluímos, então, que, em cinco segundos, o carro de passeio passou
de 0 a 27,78m/s. Comparando agora com o nosso carro que chegou
a 60 m/s em apenas dois segundos podemos facilmente concluir que
63
Física Básica
o carro é fictício. Apenas por diversão, podemos calcular a velocidade
deste carro depois de cinco segundos, assumindo que a aceleração
média dele se mantém em 30 m/s2.
Usando agora a mesma relação de conversão, conclui-se que a velocidade
deste carro após 5 segundos é de aproximadamente 540 km/h.
II. Este problema se parece muito com o primeiro, a única diferença
está relacionada com a maneira de mostrar os dados; ao invés de
uma tabela, temos um gráfico. Passemos, então, à sua solução:
a. Independentemente de onde o carro parte, nos trechos A e B, ele
tem uma velocidade negativa, o que indica que ele se move para a
esquerda. Pelo mesmo raciocínio, concluímos que, nos trechos C e
D, ele se move para a direita. Note que entre os trechos B e C ele
pára e inverte sua direção de movimento, como deveria ser.
b. O cálculo das acelerações em cada um dos trechos pode ser
efetuado utilizando a equação da aceleração média:
c. O mesmo método utilizado no item anterior pode ser usado aqui:
III. A equação horária apresentada descreve a posição do corpo em
função do tempo. Se nós a derivamos uma vez, obtemos a equação
da velocidade em relação ao tempo. Se voltarmos a derivar, obtemos
a equação da aceleração em função do tempo.
a. Para o cálculo da posição do corpo nestes instantes, só
necessitamos substituir os valores do tempo na equação:
64
Velocidade instantânea
Isto indica que no tempo t=0, ou seja, quando o cronômetro foi
disparado, o corpo se encontrava a 20 metros de distância da origem.
Aula
3
Podemos ver então que, após 10 segundos, o corpo já passou pela
origem e se encontra a 500 metros de distância da origem, mas agora
para a sua esquerda!
b. A resposta a esta indagação aparece ao nos perguntarmos em
qual instante t, nós temos x(t)=0:
Utilizando a fórmula de Báskara e alguns arredondamentos, obtemos:
Como vemos, existem duas respostas, uma positiva e uma negativa. A
primeira vista pode parecer estranho, mas não é. A resposta positiva, 3,4
segundos, é facilmente visível: quando o cronômetro foi disparado o objeto
se encontrava à direita da origem, a uma distância de 20 m. Depois de 3,4
segundos, ele passou pela origem e se enveredou no lado esquerdo do eixo
x. Mas, e no caso negativo? O tempo negativo simplesmente nos informa
que o movimento do objeto já existia antes de o cronômetro ser disparado!
E este objeto passou pela origem 0,9 segundos antes de que o cronômetro
começasse a marcar o tempo. Todos estes dados ficarão mais claros se
olharmos um gráfico que mostra a posição do corpo em função do tempo.
65
Física Básica
Neste gráfico fica claro que o corpo está quase sempre no lado
negativo do eixo x! Ele vem se aproximando pela esquerda, passa
pela origem quando t = -0.9s, chega a uma distância de 20 metros da
origem quando é disparado o cronômetro, continua indo para a direita,
pára e volta, passando novamente pela origem quando t = 3,4 s.
a. Para determinar as velocidades deste corpo em alguns instantes,
ou seja, suas velocidades instantâneas, precisaremos determinar a
derivada de x(t):
Para obtermos então o valor destas velocidades, basta substituir os
valores:
Encontramos-nos novamente com valores positivos e negativos
da velocidade. No primeiro caso, lembramos que o corpo se
encontra a uma distância de 20 metros da origem, e no lado
positivo do eixo x. Como o valor da velocidade é positivo,
concluímos que ele continua se movendo para a direita. Quando
se passaram 10 segundos, no entanto, o corpo se encontra a -500
metros e com velocidade de -22 m/s! ou seja, se afastando da
origem (como podíamos ver no gráfico).
b. Esta pergunta se parece muito com aquela encontrada no item b.
Para sabermos quando o corpo inverte o sentido de movimento só
precisamos saber quando ele pára! Pois não é possível deixar de ir
para frente e começar a ir para trás sem uma parada. Parar significa
ter velocidade zero:
Concluímos, então, que o corpo inverte o sentido de movimento
quando t = 4,5 s. Novamente achamos adequado mostrar um gráfico
da velocidade em função do tempo.
66
Velocidade instantânea
Aula
3
Este gráfico mostra que a velocidade era positiva até 4,5 segundos
após o disparo do cronômetro, quando ela se tornou zero e passou a
ser negativa. Notemos também que a velocidade está continuamente
mudando. Isto só pode significar que o corpo está sofrendo uma
aceleração. Podemos calculá-la se utilizarmos a definição de
aceleração média:
a. Finalmente, apenas para confirmar o que vimos no item anterior,
a aceleração pode ser obtida pela derivada da velocidade em relação
ao tempo:
67
Física Básica
CONCLUSÃO
A utilização do cálculo diferencial nos permitiu apreciar a beleza da
descrição dada pela cinemática ao movimento dos corpos. As equações
horárias assumiram uma nova face onde uma deriva da outra naturalmente. Equações horárias que não são lineares no tempo foram discutidas
sem levar em consideração o que causava o movimento, e, apesar disto,
foram suficientes para se descrever o mesmo movimento com riqueza de
detalhes.A diferença entre a velocidade média e a velocidade instantânea
foi bem estabelecida, assim como os casos onde uma é igual à outra. A
partir desta percepção, foi possível observar que, para que a velocidade
instantânea seja diferente da média, é necessário que algum novo fenômeno tenha influência neste movimento. Isto é o assunto da próxima aula:
a aceleração.
RESUMO
O estudo do movimento de um objeto real nos mostra que o conceito
de velocidade média não é o mais adequado para descrevê-lo. Um carro
que passa por uma avenida de grande movimento durante o dia e durante
a noite terá velocidades médias bastante diferentes. Esta diferença pode
ser vista naturalmente pela presença de outros carros durante o dia. Por
esta razão a velocidade instantânea do carro é muito parecida com a
velocidade média durante a noite, mas muito diferente durante o dia.
Para descrever a velocidade instantânea utilizamos um novo conceito
onde os intervalos de tempo e espaço se tornam infinitesimais. Quando
isto acontece, utilizamos o cálculo diferencial. O cálculo diferencial é
uma ferramenta matemática utilizada por todas as ciências para descrever a taxa de variação de uma grandeza em relação à outra. Aqui ela é
utilizada para calcular a taxa de variação do espaço em relação ao tempo para definir a velocidade em cada ponto da trajetória. Por não ser parte
deste curso, não é feito nenhum estudo sistemático e rigoroso de cálculo
diferencial, apenas apresentamos a sua mecânica de uso, ou seja, as suas
regras básicas. A aplicação do mesmo conceito para a derivação da velocidade nos induz a pensar qual o significado de tal derivada. O conceito
de aceleração fica implícito, sendo guardada a sua apresentação formal
para a próxima aula. O movimento dos corpos e sua velocidade em função do tempo podem ser descritos através de gráficos, onde a relação de
tangente com derivada foi explorada.
68
Velocidade instantânea
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula será apresentado o conceito de aceleração, com
ênfase na aceleração da gravidade. O movimento dos corpos quando
acelerados será estudado em detalhe, com uma maior ênfase no movimento de queda livre.
Aula
3
REFERÊNCIAS
DOUGLAS C. Giancoli. Physics for Scientists and Engineers. 3ed.
New Jersey: Editora Prentice Hall, 2000.
HUGH D. Young e Roger A. Freedman. Física I – Mecânica.10ed. São
Paulo: Editora Addison Wesley, 2003. Tradução de Adir Moysés Luiz.
FREDERICK J. Keller, W. Edward Gettys e Malcolm J. Skove. Física.
São Paulo: Editora Makron Books, 1997. Vol.1. Tradução de Alfredo
Alves de Farias.
ROBERT RESNICK, David Halliday e Kenneth S. Krane. Física 1. 5ed.
Rio de Janeiro: LTC Editora, 2003. Tradução de Pedro M. C. L. Pacheco,
Marcelo A. Savi, Leydervan S. Xavier, Fernando R. Silva.
69
Aula
QUEDA LIVRE
4
META
Aprofundar o estudo de corpos sujeitos à aceleração no caso específico da queda livre.
OBJETIVOS
Ao final desta aula o aluno deverá:
discernir entre objetos que sobem e que descem;
verificar quando a gravidade aumenta a velocidade e quando ela diminui a velocidade de um objeto;
equacionar o movimento de queda livre sob ação da gravidade; e
resolver problemas simples de movimento uniformemente variado.
PRÉ-REQUISITOS
Conhecimentos sobre cálculo diferencial básico, cinemática básica e sobre sistemas de referência.
(Fonte: http://upload.wikimedia.org)
Física Básica
INTRODUÇÃO
Bem-vindos à nossa quarta aula! O tempo parece que voa, não é
mesmo? Mas não voa. Algumas outras coisas, no entanto, voam: aviões, pássaros e o super-homem… Entre os exemplos existentes e não
existentes que citamos, existe uma coisa em comum: a habilidade de
vencer a atração que a Terra exerce sobre nós e nos mantém bem firmes sobre o chão. Nós, humanos, não temos esta habilidade, e se resolvermos pular do galho de uma frondosa árvore, estaremos em grandes apuros. O terrível movimento que experimentaremos é chamado
de “queda livre”. Se não nos preocuparmos muito com as conseqüências de tal insanidade podemos até nos divertir com loucuras do tipo:
salto de pára-quedas ou “bungee-jumping”. A fotografia abaixo mostra ao que me refiro.
Colocando de lado as nossas preocupações com bem estar físico, passemos ao estudo desta classe de movimento chamado queda livre.
72
Queda livre
Todos nós sabemos que um objeto, deixado à sua própria sorte, sem
um apoio, cairá ao chão. Este comportamento acontece devido à atração
que a Terra exerce sobre todos os corpos, comunicando-lhes uma aceleração, chamada de atração gravitacional.
Nesta aula, aplicaremos todos os conceitos discutidos até agora a
respeito da cinemática para entendermos a queda livre, que, como já dissemos, corresponde ao movimento de um objeto que está sujeito apenas
à aceleração da gravidade. Entretanto, este estudo exige que façamos algumas aproximações:
· Não consideraremos a resistência do ar;
· Todos os movimentos estudados serão realizados com pouca variação de altitude, o que garantirá que a aceleração da gravidade se mantenha constante;
· A localização geográfica não será levada em consideração, e o valor
da gravidade será aproximado para 9.81 m/s2.
Trabalharemos sempre em uma dimensão, utilizando as equações
horárias do movimento retilíneo uniformemente acelerado. O conceito
de derivada será utilizado brevemente. Um dos pontos mais importantes,
nesta aula, relaciona-se não só com a escolha dos pontos de referência –
pois a escolha adequada de um ponto de referência, ou seja, a posição de
nossa origem pode ajudar ou dificultar a solução de problemas –, como
também com a escolha da direção da gravidade – se a altura aumenta na
mesma direção, ou ao contrário.
Uma pergunta muito importante que podemos nos fazer é a seguinte:
todos os corpos são acelerados com a mesma intensidade? Colocado de
outra forma: se você, que é magro, e seu primo gordinho caírem de uma
árvore, quem chegará primeiramente ao solo?
Esta pergunta foi respondida por um grande filósofo grego: Aristóteles.
Ele viveu alguns séculos antes de Cristo e concluiu, por observação, que
os corpos mais pesados são mais acelerados que os mais leves... e estava
errado! O século XVII nos trouxe a correta compreensão de que, na ausência da resistência do ar, todos os objetos sofrem a mesma aceleração,
idealizado e provado por Galileu Galilei. Para seus experimentos, Galileu
lançou mão de algumas estratégias para contornar a falta de instrumentos
de medidas de tempo de alta precisão. O objetivo era comparar o tempo
de queda de vários objetos quando lançados de alturas conhecidas. Para
aumentar a sua precisão, Galileu necessitava aumentar o tempo de queda
e, para isso, usou planos inclinados onde esferas rodavam enquanto o
tempo era medido.
Devemos aqui ressaltar que o movimento de queda livre não necessariamente é aquele experimentado por um objeto solto em repouso. Um
objeto em queda livre corresponde a qualquer objeto que se move livremente sob a ação exclusiva da atração gravitacional. Quaisquer objetos
jogados para cima, para baixo ou simplesmente soltos estão em um movi-
Aula
4
73
Física Básica
mento de queda livre, independentemente de seu movimento inicial.
Qualquer objeto lançado em qualquer direção, e que esteja em queda
livre, vai sentir apenas a aceleração da gravidade em direção ao solo.
A aceleração da gravidade é simbolizada pela letra g. O valor de g
varia com a distância entre o objeto e o solo e também varia ligeiramente com a posição no planeta, mas geralmente aceitamos um valor
fixo de g = 9,8 m/s².
As equações de movimento que vimos na aula passada podem ser
aqui usadas livremente, levando em consideração dois aspectos:
I. Ao invés de usarmos como variável de coordenada
usaremos
a coordenada
. Esta troca é importante para que nos acostumemos com a convenção de que a coordenada x é horizontal e a coordenada
y é vertical.
II. Todos os problemas com as quais iremos trabalhar utilizarão para a
aceleração o valor
. O sinal negativo vem da escolha do
sistema de coordenadas como mostrado abaixo.
Diferentemente do que fizemos nas aulas anteriores, trabalharemos
diretamente com as atividades práticas para que possamos compreender
melhor este ponto. Antes disso, no entanto, vamos relembrar aquelas equações horárias que nos foram ensinadas no ensino médio.
74
Queda livre
ATIVIDADES
I. Uma maçã se desprende do galho de uma árvore, sendo a sua altura
igual a 20.0 metros. Quanto tempo ela levará para chegar ao chão?
II. Resolva o mesmo problema, mas colocando o seu sistema de referência
com o zero correspondendo a uma altura de 10 metros em relação ao solo e
com o cronômetro sendo disparado quando a maçã passa pela origem.
III. Uma bola é lançada para cima com uma velocidade inicial de 15.0
m/s (não se preocupe com o mecanismo de lançamento, estude apenas o movimento da bola depois do lançamento). Qual é a altura máxima alcançada pela bola? Quanto tempo ela leva para voltar à mão de
quem arremessou?
IV. A altura de um helicóptero em relação ao solo é dada pela equação:
y(t) = 3.00t3, onde y é dado em metros e t em segundos. Após dois segundos de trajeto vertical, o helicóptero libera um pacote. Quanto tempo
após a liberação, o pacote chegará ao solo?
Aula
4
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
I - Na árvore da esquerda, a nossa maçã sai da origem e viaja em direção
ao solo, na posição onde
. Em nossa árvore da direita, nossa
maçã cai da posição
e chega à origem. As duas escolhas de sistemas de referência são absolutamente idênticas. Escolhemos sempre
aquela que deixa as contas mais fáceis. Neste caso, faremos as duas. Comecemos com a árvore à esquerda. Aqui a maçã sai da origem, o que nos
diz que a posição original, y0, é zero. Como a maçã parte do repouso,
então a sua velocidade inicial, v0, também é nula. Sendo assim,
75
Física Básica
Antes de colocarmos os valores e obtermos os resultados, vamos
prestar bastante atenção aos sinais: a maçã sai de um instante zero e de
uma posição zero. A força gravitacional aponta para baixo, ou seja, para
valores negativos de y, e, portanto, tem um sinal negativo. Depois de um
tempo t, que queremos calcular, a maçã estará no pé da árvore, cuja posição corresponde a y(t) = -20 metros. Esta atenção com sinais será o ponto mais importante desta aula. Veja como a correta escolha dos sinais
leva a uma resposta adequada:
Novamente obtemos uma resposta ambígua: mais ou menos 2.02 segundos. A resposta para o problema físico proposto só pode ser o valor
positivo, afinal de contas o nosso cronômetro não anda para trás, mas, e o
sinal negativo? Na verdade, ele indica que, se a maçã saísse do chão com
tal velocidade inicial que subisse apenas vinte metros e parasse, levaria
exatamente 2.02 segundos, ou seja, a resposta matemática inclui uma
situação física inexistente.
A solução para a árvore da direita novamente exige a escolha dos
sinais com cuidado. Agora nós colocamos a posição da maçã a uma altura
de vinte metros quando ela começa a cair. Por isso, a sua posição inicial,
y0, não é mais nula, mas vale +20 metros. A posição final da maçã quando
usamos este sistema de referência corresponde à origem, o que quer dizer
que, quando o tempo t passou, y(t) =0. Na equação:
O que nos dá exatamente o mesmo resultado, como esperávamos.
II. Agora o problema ficou razoavelmente mais interessante. Agora precisaremos definir muito claramente quem são as variáveis.Vejamos novamente a equação de movimento:
A aceleração não muda, naturalmente, será sempre de -9.80 m/s2.
Vamos então reescrever a equação:
76
Queda livre
Para completar esta equação seria interessante saber quem é y0. Mas
isto é muito fácil. Tudo que temos que fazer é nos perguntar: onde está a
maçã quando o cronômetro é disparado? Na origem! Está no enunciado
do problema. Então podemos reescrever a equação novamente:
Aula
4
Mas e quem é v0? Uma análise apressada diria que a velocidade inicial é
nula, afinal a maçã sai do repouso. No entanto, v-0 é definida como sendo a
velocidade da maçã quando o cronômetro é disparado! Ou seja, a maçã já
está na metade do caminho em direção ao solo e, com certeza, não tem
velocidade nula quando passa pela origem. Precisamos, então, calcular quem
é esta velocidade. Para isto, usaremos a equação de Torricelli:
Como de costume, precisaremos tomar muito cuidado com os sinais e
com a correta definição dos termos. Esta equação nos diz que a velocidade
que a maçã desenvolve quando passa pela origem, v, depende da velocidade
da mesma quando começa a queda da árvore, v0. A primeira coisa a notar é
que o termo v0, que aparece nesta equação, não é o mesmo que aparece na
anterior. A velocidade final v desta equação corresponde à velocidade inicial v0 da outra. Para que estas mudanças não transformem um problema
simples em uma grande confusão, é sempre necessário ter muito claro quem
são as variáveis. Sendo assim, nesta última equação, lemos que a maçã
parte do repouso (v0=0), adquire certa velocidade (v) depois de percorrer
certa distância (Dy) acelerada pela gravidade (-9.8 m/s2). Na equação:
Temos, como sempre, a velocidade com dois sinais. Apenas um deles nos interessa, qual será? Voltemos ao problema original. A maçã
sai do repouso em certo tempo anterior ao disparo do cronômetro, ou
seja, um tempo negativo. Nesse instante, a maçã encontra-se em uma
posição que equivale a y=10 m. Talvez fique mais simples se olharmos
uma nova figura:
77
Física Básica
Quando a maçã passa pela origem, sua velocidade é negativa! É negativa porque o eixo y foi escolhido de tal modo que um movimento descendente tem velocidade negativa, assim como a aceleração é negativa.
Portanto, a velocidade v0, quando a maçã passa pela origem é de -14m/s,
e nossa equação passa a ser:
Agora estamos prontos para resolver esta equação. Tudo que precisamos fazer é compreender qual a pergunta: quanto tempo passará entre a
passagem da maçã pela origem e a sua chegada ao solo. A chegada ao solo
corresponde a y(t) = -10 m. Vamos, então, fazer o cálculo.
Obteremos, assim: t1=0.63 s e t2=-3.70 s. Esse resultado pode parecer estranho. Sem levar em consideração a opção de tempo negativo, o
tempo de 0.63 segundos pode parecer curto quando comparado com
aquele obtido na primeira questão, 2.02 s. Se você esperava que estes
tempos fossem iguais é porque cometeu um engano muito comum. A
diferença entre os dois problemas não é apenas em relação ao ponto de
referência; o instante em que o cronômetro é disparado também muda.
No primeiro caso, medimos todo o tempo de queda; no segundo, medimos apenas o tempo de queda da segunda metade do movimento. Isto
nos diz que a primeira metade da queda tomou (2.02-0.63) = 1.34 segundos. E isto, é surpreendente!
I. Para facilitar a visualização do problema, considere a figura abaixo:
78
Queda livre
Vamos escolher, como origem de nosso sistema de coordenadas, o ponto
de lançamento. Poderia ser qualquer outro, mas este facilita muito as contas. Vamos também escolher o sentido para cima como sendo o sentido de
y positivo. Através desta escolha, vemos que a velocidade da bola é positiva quando está subindo e negativa quando está descendo (setas verdes).
Vemos também que a aceleração da gravidade é sempre negativa (setas
vermelhas). Note que, à medida que a bola sobe, a sua velocidade diminui
até chegar a zero no ponto mais alto. Em seguida, ela começa a crescer (em
módulo apenas). Para determinar a altura máxima, nós calculamos a sua
posição quando a velocidade é igual a zero. Poderemos utilizar uma das
equações de movimento, mas a equação de Torricelli nos serve melhor:
Aula
4
fornecendo-nos: y=11.5m. Para calcular o tempo total de subida e descida, poderíamos calcular os dois separadamente, mas consideramos mais
simples calcular os dois ao mesmo tempo. Fazendo o cálculo desta maneira, obteremos um resultado também bastante interessante. Vamos utilizar a equação horária como sempre:
Notemos, em primeiro lugar, que queremos saber quanto tempo levará a bola para voltar à origem, ou seja: y(t)=0. Em segundo lugar, notemos que a partícula sai da própria origem, ou seja: y0=0. Notemos também que a velocidade inicial é positiva, e a aceleração é sempre negativa.
Sendo assim, e colocando o tempo em evidência:
dois resultados são possíveis: t=0 s e t=3.06 s. Fica aqui cristalino que o
tempo nulo corresponde ao momento do lançamento e que o tempo 3.06
segundos corresponde ao tempo decorrido para que a bola passasse novamente pela origem.
I. Este problema adiciona um pouco de sofisticação a um assunto que já
está bem assimilado. Temos aqui uma equação horária que descreve o movimento de um helicóptero em movimento para cima. Com certeza, ele
está acelerado por seus motores. Vemos que a sua altura, y, varia com o
cubo do tempo! Antes de nos preocuparmos em resolver o problema, vamos tentar compreender melhor o que esta equação está dizendo: a altura
79
Física Básica
alcançada pelo helicóptero após t segundos será 3t3 metros. A primeira coisa
estranha é esta: como pode acontecer de uma variável de tempo, t, elevada
ao cubo e multiplicada por uma constante, ter unidades de distância em
metros? A única explicação possível é de que a constante que multiplica o
tempo e tem um valor igual a três não é adimensional. Isto quer dizer que
não se trata apenas de um número. Devemos ler então aquele número como
sendo 3.00 m/s3. Não devemos mais nos preocupar com ele, passemos ao
estudo do movimento em si.
Notamos que a aceleração da
gravidade não aparece na equação horária. Isto poderia parecer estranho, mas, na realidade,
estamos equacionando o movimento do helicóptero sob ação
de diversas forças, e a resultante nos levou àquela equação
horária. A partir dela podemos
tirar várias conclusões e, portanto, vamos trabalhar cuidadosamente com ela. Iniciamos
fazendo um gráfico da posição em relação ao tempo: y(t).
Para isto, construiremos uma
tabela de valores que vão de 1
a 10 segundos.
80
Queda livre
Podemos ver, pelo gráfico, que o helicóptero ganha altura muito rapidamente. Em apenas dez segundos, já se encontra a uma altura de 3000
metros! De acordo com nossa tabela, vemos também que, após dois segundos, o helicóptero encontra-se a uma altura de 24 m. Neste instante, o
pacote é liberado. Para podermos calcular o tempo que este pacote levará
para chegar novamente ao chão, precisamos saber em que condições ele
foi liberado. Ao sair do helicóptero, ele estava em repouso? Pensando
bem, não. Quando ele é largado do helicóptero, ele se encontra na velocidade do mesmo. Vamos, então, calcular as velocidades deste helicóptero
em função do tempo da mesma maneira que fizemos com a sua posição.
Para começar, obteremos a derivada da equação horária do helicóptero
para saber como varia a sua velocidade com o tempo.
Aula
4
Utilizando novamente aqueles valores para o tempo, chegamos à seguinte tabela:
81
Física Básica
E com esses valores, construímos um segundo gráfico:
Note que a velocidade também cresce com o tempo, mas não tão
rapidamente quanto a altura! Isto já era esperado, uma vez que a altura varia com o cubo do tempo, enquanto a velocidade varia com o
quadrado do tempo. Prestando atenção à tabela, você pode ver que,
depois de dois segundos, o helicóptero subia a uma velocidade de 36
m/s e que, depois de 10 segundos, ele alcançava a velocidade de 900
m/s. Esse tipo de movimento não é possível na realidade, pois, para
um tempo infinito, teríamos uma velocidade infinita. Certamente existem limites reais para a velocidade alcançada (o mesmo acontece com
os automóveis).
Por fim, vamos ver o que acontece com a aceleração desse helicóptero:
A aceleração, portanto, aumenta linearmente com o tempo. Desta
vez, iremos omitir a tabela com os valores, mostrando apenas o gráfico da
aceleração em função do tempo.
82
Queda livre
Aula
4
Como um bônus especial deste problema, você pode ver, em primeira mão, o que queremos dizer com uma relação linear: o gráfico é uma
reta! Vemos também que a aceleração não é constante! Se a aceleração
fosse constante, esta reta seria horizontal.
Depois de todos estes cálculos e gráficos, poderemos voltar ao problema em questão: quanto tempo o pacote levará para alcançar o chão
novamente? Agora não dispomos mais de um helicóptero para acelerar o
pacote e, por isso, a única aceleração que o pacote sofre é a da gravidade.
Mas esta é exatamente a condição para a queda livre. Podemos, então,
usar a equação horária:
Apesar de bastante simples, esta equação pode nos complicar se não
prestarmos atenção aos sinais. Vamos utilizar a mesma convenção do
problema anterior. Sendo assim, y0 é positivo e, para dois segundos, tem o
valor de 24 metros. Nesse momento, a velocidade inicial, v0 também é
positiva com o valor de 36 m/s. A aceleração, no entanto, é negativa com
o seu valor habitual, ou seja:
83
Física Básica
Nosso problema está agora adequadamente equacionado. Uma última fonte de dúvidas é: quem é y(t) e o próprio t. Veja que o helicóptero
continua se movendo para cima. O pacote, no entanto, tem um destino
diferente. A posição y(t) descreve onde se encontra o pacote depois de ter
sido largado. Isto nos diz que o tempo foi zerado! Esqueceremos o helicóptero (como esquecemos a mão que atirou a bola no problema anterior) e vamos estudar apenas o pacote. A pergunta fica então muito simples: para qual valor de t, y(t)=0?
Trata-se de uma equação do segundo grau que tem duas raízes, sendo
que apenas a positiva nos importa: t = 7.96 segundos. Vemos que, enquanto o pacote levou apenas 2 segundos para subir, levou quase oito
segundos para descer. O problema está terminado, mas será instrutivo
estudar graficamente este movimento do pacote após ser lançado.
Podemos ver, neste gráfico, em preto, a posição do pacote em função
do tempo. Ele continua subindo nos instantes iniciais e, entre 3 e 4 segundos, inverte a trajetória, chegando ao chão próximo aos oito segundos. Após
esse tempo, o deslocamento negativo não faz sentido (a não ser que o pacote seja de chumbo, e o chão de algodão...). A forma desta curva também é
quadrática, como se poderia inferir da equação de movimento.
Em vermelho vemos que a velocidade varia linearmente com o tempo! É uma reta! No trecho mais à esquerda, ela é positiva, o que significa
que o pacote está subindo. Não por acaso, entre três e quatro segundos,
ela se anula e passa a ser negativa. Isto nos diz que o pacote parou de
subir e começou a descer.
A aceleração, em verde, é constantemente negativa.
84
Queda livre
CONCLUSÃO
A ação da gravidade determina a trajetória dos corpos, quando os
mesmos não se encontram apoiados em algum suporte. A direção inicial
do movimento de um corpo pode estar na mesma direção da gravidade
ou na direção contrária, isto não faz diferença na solução de problemas,
desde que o devido cuidado seja tomado com os sinais. Através de gráficos de posição, velocidade e aceleração em função do tempo, verificamos que, enquanto a primeira varia com o quadrado do tempo, a segunda varia linearmente e a última é constante. Este resultado naturalmente
já era esperado pela simples inspeção das equações horárias, mas a
visualização dos mesmos trouxe um melhor entendimento do relacionamento entre estas grandezas.
Aula
4
RESUMO
Para o estudo da queda livre, é necessário que seja esclarecida a
importância dos sistemas e pontos de referência como discutidos em
aulas anteriores. Nesta aula, estudamos o movimento de objetos na vertical, sendo que a gravidade sempre aponta para baixo, enquanto a posição e a velocidade podem ser positivas ou negativas: depende do ponto
de referência e escolha de qual a direção de crescimento da coordenada
e da velocidade. Uma vez definidas estas convenções podemos aplicar
as equações horárias do movimento retilíneo uniformemente acelerado
para estudar o movimento de objetos, sejam eles soltos à própria sorte
ou lançados com uma velocidade inicial. Um ponto de interesse que
aparece naturalmente na resolução dos problemas está associado à presença de sinais negativos nos tempos. Eles são interpretados caso a
caso, pois estão associados a elementos de simetria. Na maioria dos
casos, no entanto, eles correspondem ao movimento destes corpos nos
instantes anteriores ao disparo do cronômetro e assumem que não há
nenhuma intervenção na trajetória.
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, iniciaremos com o estudo dos vetores em duas dimensões e imediatamente passaremos ao estudo da cinemática em duas
dimensões, mas sem aceleração.
85
Física Básica
REFERÊNCIAS
DOUGLAS C. Giancoli. Physics for Scientists and Engineers. 3ed.
New Jersey: Editora Prentice Hall, 2000.
HUGH D. Young e Roger A. Freedman. Física I – Mecânica.10ed. São
Paulo: Editora Addison Wesley, 2003. Tradução de Adir Moysés Luiz.
FREDERICK J. Keller, W. Edward Gettys e Malcolm J. Skove. Física.
São Paulo: Editora Makron Books, 1997. Vol.1. Tradução de Alfredo
Alves de Farias.
ROBERT RESNICK, David Halliday e Kenneth S. Krane. Física 1. 5ed.
Rio de Janeiro: LTC Editora, 2003. Tradução de Pedro M. C. L. Pacheco,
Marcelo A. Savi, Leydervan S. Xavier, Fernando R. Silva.
86
Aula
CINEMÁTICA EM
DUAS DIMENSÕES
5
META
Revisar o conceito de vetor e aplicá-lo para descrever o movimento de objetos em duas
dimensões.
OBJETIVOS
Ao final desta aula o aluno deverá:
somar e subtrair vetores; multiplicar vetores por escalares; e descrever o movimento de
projéteis em duas dimensões sem aceleração, utilizando vetores.
PRÉ-REQUISITOS
Conhecimentos de trigonometria básica e de álgebra básica.
Existem módulos de criação de planos 2D que permitem representar vistas e secções,
introduzir detalhes, cortar o desenho etc. (Fonte: http://www.deltacad.es).
Física Básica
INTRODUÇÃO
Bem-vindo, caro aluno. Hoje iniciamos uma nova fase de nossos estudos. Sairemos do movimento unidimensional para alcançar as estrelas, ou, de uma maneira mais floreada, estudar o movimento de objetos em duas e três dimensões (no plano e no espaço
respectivamente). Para que esta transição seja feita suavemente,
faremos uma introdução ao estudo de vetores. Expandiremos,
nesta aula, os conceitos básicos de cinemática de uma dimensão
para duas dimensões. Na primeira parte, lidaremos com conceitos de vetores e escalares e suas propriedades principais. Apesar
de uma extensão para três dimensões ser trivial, ela será evitada. Essa extensão sobrecarregaria demais a notação e não adicionaria qualquer novidade para você, neste momento. Na segunda parte, aplicaremos os conceitos e propriedades estudados de
vetores para o caso do movimento em duas dimensões sem aceleração. Esta escolha deriva da própria sistemática do curso onde
a cinemática sem aceleração precede àquela com aceleração que
será estudada na próxima aula.
(Fonte: http://www.fag.edu.br).
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Cinemática em duas dimensões
Muitas das grandezas físicas que conhecemos têm, não apenas
um valor numérico, mas também uma indicação de direção. Imagine, por exemplo, como você responderia à seguinte pergunta: qual
a velocidade daquele carro (um que você esteja vendo)? Para responder, seria necessário dizer que ele tem uma velocidade de 80
km/h (magnitude) e está indo em direção à praia. Entendeu? Esta
e muitas outras grandezas físicas só podem ser definidas quando
lhes atribuímos uma magnitude e uma direção e, nestes casos, a
grandeza é representada por um vetor. Graficamente falando, um
vetor é apenas uma flecha, como a mostrada abaixo que liga um
ponto O a um ponto P.
Aula
5
O comprimento da flecha está relacionado à sua magnitude, e
a sua direção indica a própria direção. Note que, além da direção, a
seta indica um sentido. Esta particularidade se tornará mais transparente logo à frente. Veja a figura abaixo, simbolizando um coelho e
uma tartaruga apostando uma corrida:
As setas indicam a velocidade dos dois animais. Pode-se ver
claramente que eles partem em direções distintas e têm diferentes
velocidades. O método gráfico de mostrar os vetores é muito útil
quando queremos visualizar operações entre eles, mas, na maioria
dos casos, queremos apenas fazer operações com eles. Para isso,
89
Física Básica
precisamos utilizar alguma simbologia que os diferencie de números apenas. Na figura do vetor, por exemplo, a seta sai de certa
origem O e chega até o ponto P. A maneira mais simples de descrever este vetor poderia ser: . Este símbolo, no entanto, é utilizado
com maior freqüência para designar um segmento de reta. Os símbolos mais usados para descrever um vetor assumem que a origem
é conhecida, ou seja, eles indicam uma magnitude, uma direção e
um sentido com relação a uma dada origem. Neste caso estes símbolos são ou simplesmente P (em negrito).
A primeira informação que pode ser obtida de um vetor é a sua
magnitude, ou “módulo”:
. Nas próximas páginas, quando
definirmos uma base, ou sistema de coordenadas, teremos uma
visualização melhor sobre como calcular o módulo.
As operações que são comuns com os números comuns também podem ser estendidas para os vetores, mas algumas regras são
diferentes, como veremos mais adiantes. Para introduzi-las, no entanto, vamos apresentar duas definições simples, mas importantes.
Dois vetores e serão idênticos se eles tiverem a mesma
magnitude, mesma direção e mesmo sentido (não importando de
onde saem e aonde chegam).
Neste caso, dizemos que
, ou, que A=B. Para facilitar a
leitura, daqui para frente deixaremos de utilizar a simbologia que
emprega uma flecha sobre a letra para indicar um vetor. Usaremos
apenas caracteres em negrito.
Quando nos depararmos com uma expressão do tipo A=B, o
que estamos dizendo é que |A|=|B|. Esta afirmação é distinta do
primeiro caso. Ela não nos diz que os dois vetores são iguais, mas
apenas que eles têm a mesma magnitude.
Se dois vetores têm o mesmo módulo e direção, mas sentidos
inversos, então A=-B.
90
Cinemática em duas dimensões
Com estas definições, podemos passar para a adição de vetores:
a soma de dois vetores A e B tem como resultado um terceiro vetor
C. Graficamente falando, a soma destes vetores corresponderá ao
ponto inicial de B colocado no ponto final de A, ou vice versa!
Veja: A+B=B+A=C.
Aula
5
A subtração de vetores é a soma quando invertemos o sentido
do vetor, ou seja, B-A=B+(-A). E, graficamente:
Quando tratamos da multiplicação de vetores, precisamos tomar um cuidado extra. Todos os números (que podem significar
quantidades, ou não, mas que não têm associados direção e sentido) são conhecidos como escalares. Números, como 3, π, e quantidades, tais como temperatura, massa e etc. são escalares.
A multiplicação de um vetor A por um escalar k dá outro vetor
B, de tal modo que B=kA. Os vetores B e A têm a mesma direção
e o mesmo sentido, mas a magnitude mudou, de tal modo que
|B|=k|A|. Na figura abaixo, mostramos um exemplo onde k=2.
91
Física Básica
É importante saber que, muitas leis que valem na álgebra, também valem na álgebra vetorial. Já vimos que a propriedade
comutativa pode ser aplicada A+B=B+A.
A propriedade associativa também pode ser aplicada:
ou, graficamente:
Para finalizar esta discussão sobre as propriedades, vamos apenas mencionar algumas relacionadas à multiplicação (onde usamos
a notação de variáveis em negritos corresponderem a vetores, e as
outras a escalares):
• Comutativa: kA=Ak;
• Associativa: (k1+k2)A=k1A+k2A;
• Distributiva: k(A+B)=kA+kB.
Agora que já vimos as propriedades dos vetores de uma forma
gráfica, vamos agora associar esses vetores a um ponto de referência, ou a uma base. Como nós vimos no estudo em uma dimensão,
as distâncias são sempre referenciadas a uma origem. Dizíamos então
“...no instante t=3.0 segundos, o automóvel se encontrava a 7 km
da origem...”. Agora em duas e depois, em três dimensões, precisaremos de uma definição mais sofisticada de origem.
Definiremos a origem
a partir de um sistema de
coordenadas retangular
(ou cartesiano) como sendo um ponto associado a
dois vetores unitários e
perpendiculares entre si.
Esses vetores recebem um
nome especial: versores e
são designados por uma
letra com um acento circunflexo:
, etc. A figura abaixo representa um
sistema cartesiano:
92
Cinemática em duas dimensões
Nesta figura, devemos destacar, em primeiro lugar, os eixos
cartesianos X e Y. Eles são perpendiculares entre si e determinam
a escala usada. Vemos também os versores âx e ây (ou
) que
têm módulo igual a um e são paralelas às direções dos eixos
cartesianos. Temos representado também um vetor A e as suas
“componentes” Ax e Ay. Nós podemos ver que esses componentes são escalares: são distâncias. Se nós as multiplicarmos pelos
versores correspondentes, elas se tornarão vetores.
Aula
5
O mesmo vale para o eixo y. Note agora que, se utilizarmos
as propriedades discutidas anteriormente, chegaremos à seguinte situação:
Temos agora os vetores Ax e Ay. O segundo deles ou o primeiro
pode ser livremente movido, de tal modo que o colocamos onde termina o primeiro. Chegamos, então, a um resultado muito importante:
Isto significa que os vetores podem ser decompostos entre as
suas componentes!
93
Física Básica
A primeira conseqüência disso é que podemos facilmente calcular o módulo dos vetores aplicando o teorema de Pitágoras:
.
A separação de um vetor em suas componentes também facilita as operações até aqui definidas. Veja:
• Adição:
Se
e
Então Cx=Ax+Bx e Cy=Ay+By.
Fica mais fácil se olharmos para uma figura como a colocada abaixo:
94
Cinemática em duas dimensões
Muito simples? Não muito, mas com os exercícios à frente conseguiremos uma melhor visualização. Para encerrar o assunto de
vetores, vamos apenas relembrar algumas relações trigonométricas
adaptadas à linguagem vetorial. Isto é necessário porque, algumas
vezes, nos depararemos com situações em que sabemos qual é o
módulo de um vetor e também qual é o ângulo que ele faz com
algum eixo da base e, a partir deles, teremos que obter as componentes. Considere a figura abaixo:
Aula
5
O vetor A pode ser definido por suas componentes Ax e Ay, ou
pelo seu modulo |A| e seu ângulo θ com a horizontal. As relações
entre estas grandezas são dadas pelas equações abaixo, provenientes da trigonometria básica:
E estas relações levam a novas relações:
Vamos agora fazer alguns exercícios para que os vetores tornem-se um pouco mais “amigáveis”.
95
Física Básica
ATIVIDADES
I. Um vetor que sai da origem tem componentes Ax = 12 metros e
Ay = 15 metros. Determine o seu módulo e o ângulo que o mesmo
faz com o eixo y.
II. Dados os vetores: A=1.5âx -1.7ây; B=3.2âx+0.5ây;C=0.1âx.
Calcule: D=2A-B+3C. Determine o módulo de D e o ângulo que
o mesmo faz com a horizontal.
II. Para procurar um mapa do tesouro saindo de uma árvore, algumas
crianças receberam as seguintes indicações: caminhem 23 passos diretamente para o norte; caminhem agora 14 passos em uma direção
que faz um ângulo de 25º do norte para o oeste; finalmente caminhem
10 passos em uma direção que faz um ângulo de 77º do sul para o leste.
Qual é a posição do tesouro em relação a esta árvore?
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
I. Como de costume, será uma boa idéia prepararmos um
desenho para identificar o que sabemos e o que não sabemos.
Este é o desenho padrão de um vetor em um eixo cartesiano.
Utilizando as equações citadas no texto, ou mesmo o teorema
de Pitágoras podemos facilmente obter o módulo de A.
96
Cinemática em duas dimensões
O cálculo do ângulo também é muito simples quando prestamos
atenção para perceber que θ é o ângulo formado entre o vetor
e o eixo x, sendo que o pedido é o ângulo entre o vetor e o eixo
y. Para calcular θ precisamos apenas das equações anteriores:
Aula
5
Mas, como mencionamos anteriormente, este não é o ângulo
pedido, é o seu complementar. Isto significa que a soma deste
ângulo com aquele que foi pedido deve resultar em 90º.
II. A solução deste problema passa pela utilização das regras
da aritmética de vetores. Multiplicaremos os vetores por
constantes quando for o caso e, depois, faremos as adições/
subtrações:
2A=3.0 âx -3.4 ây;
-B=-3.2 âx -0.5 ây;
3C=0.3âx
D=2A-B+3C=0.1 âx -3.9 ây
O cálculo do módulo de D e do ângulo que o mesmo faz com
a horizontal fica então muito simples, bastando aplicar as
equações do texto:
O aparecimento deste ângulo
negativo pede uma explicação. Note
que a componente horizontal de D é
positiva, mas que a componente
vertical é negativa. Isto faz com que
o vetor esteja no quarto quadrante, e
seu ângulo com relação à horizontal
seja negativo.
97
Física Básica
III. Para resolver este problema só precisamos de álgebra: cada
um dos deslocamentos pode ser definido como um vetor e tudo
que temos a fazer é somá-los. Como estamos tratando de pontos
cardeais, é uma boa idéia apresentar uma figura:
Você pode estranhar à primeira vista por ver que os vetores
saem todos da origem, quando na verdade um deveria sair do
final do outro. Mas, como vimos no início desta aula, tudo que
um vetor tem é módulo, direção e sentido, não importando
onde é colocado. Isto nos facilita muito as contas. Já sabemos
o módulo dos vetores e os ângulos que os mesmos fazem com
os eixos cartesianos. Para determinar as componentes dos
mesmos, só precisaremos agora de um pouco de visualização e
de trigonometria. Vamos usar a notação mais comum:
corresponde ao versor que aponta para o leste e ao versor
que aponta para o leste. Sendo assim podemos escrever os três
vetores da seguinte forma:
Com o auxílio de uma calculadora, chegamos aos valores:
98
Cinemática em duas dimensões
Obteremos o resultado final, somando as componentes e
chamando o vetor resultante de R:
Aula
5
Para podermos melhor apreciar o resultado, colocamos na figura
abaixo os vetores da maneira que estariam em um mapa e com
o vetor resultante. Note que, de fato, o vetor resultante tem
componentes positivas. Para dizer às crianças como ir
diretamente ao tesouro, poderíamos ter lhes dado diretamente
o módulo de R e o ângulo que o mesmo faz com algum ponto
cardeal. O módulo é facilmente calculado:
Quanto ao ângulo, precisamos determinar qual queremos: do
norte para leste, ou leste para norte. Pessoalmente, prefiro de
leste para norte. Assim,
Olhe agora a figura. Estes valores de módulo e ângulo não lhe
parecem corretos?
Agora que já estamos bem encaminhados no estudo de vetores,
vamos analisar o movimento de objetos em duas dimensões, mas
sem a aceleração. Este tipo de movimento pode ser descrito em um
lugar sem gravidade ou sobre um suporte horizontal, como por exemplo, uma mesa. Para isto, será necessário que ampliemos a
aplicabilidade de nossas equações horárias de escalares para vetores.
Visualize, abaixo, o movimento de uma partícula no plano x-y:
99
Física Básica
Esta trajetória não é especial em nada. Pode ser, por exemplo, a
trajetória de um peão que foi lançado e está prestes a cair. As forças
envolvidas não são importantes para nós, neste momento, pois só
estamos interessados na sua trajetória. Observe, agora, a sua descrição: em um momento t1 a partícula se encontra em um ponto P1 e em
um tempo t2 a partícula se encontra em um ponto P2. O vetor r1 é o
“vetor posição” da partícula no momento t1 e corresponde a um vetor
que sai da origem e termina no ponto P1. Analogamente, r2 representa o vetor posição da partícula no instante t2. Lembre-se de que, no
caso unidimensional, nós definimos o deslocamento como sendo a
diferença entre a posição inicial e a posição final. Aqui ocorre a mesma coisa, mas, ao invés de usarmos escalares, usamos vetores:
Este vetor ∆r é chamado de vetor deslocamento, em analogia
ao deslocamento unidimensional. Não se esqueça de que este deslocamento ocorre em um intervalo de tempo definido: ∆t=t2-t1. Se
nós colocamos agora os vetores-posição decompostos em suas coordenadas, podemos facilmente obter o vetor deslocamento.Veja:
Perceba que, quando o movimento é apenas no eixo x
(unidimensional), voltamos à antiga definição ∆x=x2-x1.
Agora que já definimos os vetores posição, podemos passar,
sem problemas, para a definição das outras grandezas estudadas
até agora. Começamos com a velocidade média:
Muito simples? Com certeza! Mas, além disso, precisamos notar que
(1/∆t) é um escalar e quando o multiplicamos por um vetor obtemos
outro vetor na mesma direção, mas com módulo diferente. Nós já vimos
isso anteriormente. Aqui vemos que a sua aplicação leva à conclusão de
que o vetor velocidade tem a mesma direção do vetor deslocamento!
Aplicando o mesmo raciocínio do movimento unidimensional,
definimos o vetor velocidade instantânea:
A mesma discussão do parágrafo anterior aplica-se à velocidade
instantânea. Como esta velocidade é definida em intervalos de tempo
100
Cinemática em duas dimensões
muito pequenos, os vetores velocidade correspondem às tangentes à
trajetória em cada ponto da mesma. A figura abaixo ilustra este ponto:
Aula
5
Assim como o vetor posição, o vetor velocidade instantânea
também pode ser decomposto em suas componentes:
De uma maneira absolutamente análoga, definimos a aceleração
média e a aceleração instantânea como sendo, respectivamente:
Depois de todas estas considerações, podemos agora enunciar
as equações horárias em suas formas vetoriais:
Concordo que estas equações parecem assustadoras, mas você
verá que nós sempre trabalharemos unicamente com as componentes! Todos os nossos dados serão separados em componentes e então trabalharemos independentemente, será ótimo! Para isto, construímos a tabela abaixo:
101
Física Básica
Podemos, então, agora, resolver alguns problemas para ganhar
um pouco mais de intimidade com a matéria.
ATIVIDADES
I. Uma partícula parte da origem no momento que um cronômetro
é disparado. Ela se move no plano x-y com velocidade constante
dada pelo vetor:
. Determine o vetor posição desta
partícula nos instantes t=10 segundos e t=20 segundos. Determine
a distância percorrida entre estes dois instantes.
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
I. Para este tipo de problema, nem é necessário um desenho,
e já é hora de começarmos a trabalhar com a matemática na
certeza de que chegaremos ao resultado correto. Vamos, então,
à interpretação da questão. É dado um valor constante para a
velocidade e a mesma está dividida entre duas componentes.
vx = 4.2 m/s e vy = 1.8 m/s. Isto nos diz que a partícula moverse-á muito mais rapidamente para a direita do que para cima.
Para obter as posições nos devidos instantes, tudo que temos
a fazer é escrever as equações horárias. Como a partícula parte
da origem e tem aceleração nula:
Então podemos construir uma tabelaonde colocamos os tempos
em questão e as coordenadas correspondentes:
Podemos então agora extrair os vetores posição
correspondendo aos instantes iguais a dez e vinte segundos:
e
. A distância entre estes dois
pontos é apenas o módulo do vetor deslocamento, que é dado
por: ∆r=r20-r10=(84-48)i+(36-18)j
102
Cinemática em duas dimensões
CONCLUSÃO
A utilização da notação vetorial permite e facilita o estudo da
física em mais de uma dimensão. A maneira de descrever os vetores
varia muito. Existem as mais variadas notações para se simbolizar
matematicamente uma entidade que tem módulo, direção e sentido. O conceito de ponto de referência, porém, está intimamente
ligado aos sistemas de referência que servem como origem dos
vetores. Mesmo sem o ferramental da álgebra vetorial, é possível a
solução de problemas, através de simplificações.
Aula
5
RESUMO
Certas grandezas físicas podem ser definidas apenas através de
um número. A única informação pertinente é a magnitude dessa
grandeza. Estas grandezas são chamadas de escalares. Existem
outras, no entanto, que necessitam de mais informações, tais como
a velocidade, a força, etc. Neste segundo caso, precisamos de mais
informações, nomeadamente a direção e o sentido. Assim, utilizamos
os vetores cujas propriedades se assemelham muito àquelas dos
escalares. Eles podem ser manipulados graficamente ou matematicamente. No primeiro caso, é possível uma visualização de suas
propriedades, mas é muito pouco prático. A sua manipulação matemática permite a obtenção de informações sobre sua magnitude e
direcionamento de maneira muito simples e direta. Os vetores podem ser definidos matematicamente de duas maneiras: a) a partir
de seu módulo e do ângulo que este vetor faz com algum eixo do
sistema de referência; e b) a partir das componentes do mesmo. A
divisão em componentes permite separar o movimento completo
do objeto em dois, cada um deles paralelo a um dos eixos do sistema de referência. Quando isto é feito, torna-se possível tratar um
movimento em duas dimensões como dois movimentos
unidimensionais, permitindo-nos, assim, utilizar o que já foi estudado sobre cinemática em uma dimensão.
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, estudaremos o movimento de projéteis,
ou seja, o movimento de corpos sob a ação da gravidade em
duas dimensões. O movimento deste tipo é conhecido como
parabólico.
103
Física Básica
REFERÊNCIAS
DOUGLAS C. Giancoli. Physics for Scientists and Engineers.
3ed. New Jersey: Editora Prentice Hall, 2000.
HUGH D. Young e Roger A. Freedman. Física I – Mecânica.10ed. São
Paulo: Editora Addison Wesley, 2003. Tradução de Adir Moysés Luiz.
FREDERICK J. Keller, W. Edward Gettys e Malcolm J. Skove.
Física. São Paulo: Editora Makron Books, 1997. Vol.1. Tradução
de Alfredo Alves de Farias.
ROBERT RESNICK, David Halliday e Kenneth S. Krane. Física 1.
5ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2003. Tradução de Pedro M. C. L.
Pacheco, Marcelo A. Savi, Leydervan S. Xavier, Fernando R. Silva.
104
Aula
MOVIMENTO DE PROJÉTEIS
6
META
Expandir o estudo do movimento em duas dimensões para o caso de aceleração constante;
descrever o movimento de projéteis.
OBJETIVOS
Ao final desta aula o aluno deverá:
Utilizar equações vetoriais para descrever o movimento em duas dimensões;
reconhecer a aceleração da gravidade como um vetor; e
descrever o movimento de projéteis sob a ação da gravidade.
PRÉ-REQUISITOS
Conhecimento básico de vetores e de cinemática unidimensional.
(Fonte: http://geek42.org).
Física Básica
INTRODUÇÃO
Bem vindos à nossa sexta aula. Acabamos de terminar nosso
primeiro quarto de curso. O restante será tão interessante quanto
este. Hoje nos libertamos dos exemplos pouco convincentes sobre
a sua aplicabilidade e trataremos diretamente do problema geral do
lançamento de projéteis. O Homem descobriu, desde sua infância
antropológica, a utilidade das armas como elemento de subjugação
da natureza e de seus pares. Na falta de um arsenal mais sofisticado, uma pedra ou pedaço de madeira apareciam como elementos
bastante interessantes para a consecução de seus objetivos. O cálculo de risco já fazia parte de seu mecanismo de defesa, o que o
levava a decidir qual atitude tomar diante de algumas circunstâncias. Verdade ou não, nasceu, a partir de preocupações semelhantes,
o estudo do movimento de projéteis. Na Idade Média, porém, foi
criada uma arma formidável no ataque a fortificações: a catapulta!
Seu mecanismo de cálculo de alcance dependia das tentativas e
erros: se aumentasse a força de lançamento, poderia ir mais longe
ou mais perto; dependia do ângulo de lançamento. De qualquer
forma, estes dois exemplos indicam a necessidade de um estudo
científico do lançamento de projéteis. Ele se enquadra na cinemática
em duas dimensões e é o objeto desta aula.
(Fonte: http://upload.wikimedia.org).
106
Movimento de projéteis
O lançamento de projéteis também é conhecido como lançamento parabólico (como mostraremos mais à frente). O movimento de projéteis estudado em nosso curso utiliza duas premissas simples, mas necessárias:
1. A aceleração da gravidade é sempre perfeitamente vertical e
tem sempre o mesmo valor, independentemente da altura e posição
no globo;
2. A resistência do ar pode ser ignorada.
Em todas as nossas discussões, dependeremos da escolha
de sistemas de referência para descrever os movimentos. Isto
equivale a determinar onde se encontra a origem, a partir da
qual definiremos os vetores que descrevem o movimento. Na
figura abaixo, indicamos um exemplo daquilo a que estamos
nos referindo.
Aula
6
Em certo instante no tempo, um objeto foi lançado com certa
velocidade. Depois de outro espaço de tempo, nós o localizamos e
verificamos algumas de suas características. Neste tempo t, podemos definir:
• r = r(t) é o vetor posição do objeto no instante t;
• v = v(t) é o vetor velocidade quando o objeto está no instante t;
• g = g(t) é o vetor aceleração da gravidade quando o objeto está
no instante t.
Note alguns aspectos importantes destas definições: o tempo
aparece como uma variável independente: seja qual for o tempo,
temos alguns vetores que dependem deste tempo. Os vetores posição e velocidade mudam a cada instante. O vetor aceleração da
gravidade, no entanto, nunca muda. Poderia se argumentar que o
seu início varia com o tempo. Se este ponto o angustia, sugiro que
releia o texto sobre vetores das aulas anteriores. Se imaginarmos
107
Física Básica
como estes vetores variam com o tempo, podemos chegar a algumas conclusões bem interessantes. Veja a figura abaixo:
Aqui nós podemos ver o objeto em cinco instantes diferentes,
desde o seu lançamento até o seu impacto com o chão. Os vetores,
em linha pontilhada, correspondem à aceleração da gravidade. Todos eles têm a mesma magnitude, direção e sentido. Os vetores em
linha tracejada, que correspondem à velocidade, variam em todos
os parâmetros, assim como os vetores em linha contínua, que
correspondem ao vetor posição. Como se trata, de qualquer modo,
de um movimento em duas dimensões, podemos equacioná-lo com
muita simplicidade:
Esta equação pode parecer difícil de solucionar, mas, na verdade, é bem simples quando trabalhamos com componentes como
discutido na aula passada. Para isso, basta lembrar que cada um dos
vetores pode ser decomposto. Para tornar este conceito visualmente reconhecível, examine cuidadosamente a figura abaixo:
108
Movimento de projéteis
Trata-se da mesma figura apresentada antes, com a diferença
que agora os vetores têm ângulos definidos com a horizontal (e
conseqüentemente com a vertical). Podemos, então, decompor agora
todos estes vetores nas componentes x e y:
• Componente x (horizontal):
Aula
6
• Componente y (vertical):
Devemos atentar para o fato de que as equações acima tratam
de valores em módulo. O sinal destas grandezas sempre dependerá
dos ângulos e dos sistemas de referência escolhidos.
O grande mérito desta separação em componentes é o de que
agora já podemos trabalhar com as duas componentes individualmente, ou seja, aplicamos as equações de movimento para cada
uma delas:
Os valores de r0x e r0y dependem apenas da escolha da origem.
Os valores da aceleração já estão definidos com apenas uma componente vertical e, por isso, já podemos escrever as equações finais
de movimento em suas componentes (assumindo que o eixo y é
vertical e cresce no sentido inverso ao da gravidade).
É fácil reconhecer estas equações como as do movimento
retilíneo uniforme da componente x e do movimento retilíneo uniformemente variado da componente y.
Então, temos de fato um movimento único que pode ser tratado pela superposição de dois outros. Passamos de um problema
bidimensional para dois unidimensionais. Apesar de parecerem independentes, estes problemas estão indexados, ou parametrizados,
109
Física Básica
pelo tempo. Isto quer dizer que o tempo que aparece em uma equação é o mesmo tempo que aparece na segunda. Sendo assim, podemos isolar o tempo na primeira equação e substituí-lo na segunda:
Uma boa simplificação desta equação leva a algo parecido com:
E esta é a equação de uma parábola, explicando o nome de
movimento parabólico. Agora já temos uma boa ferramenta para
iniciar os exercícios.
ATIVIDADES
I. Uma bola é lançada de tal modo que as componentes vertical e
horizontal são 20 m/s e 40 m/s, respectivamente. Determine o
tempo total de vôo e a distância alcançada.
II. Utilizando os dados do problema anterior, assuma que uma camada de névoa de 3 metros de altura cobre todo o campo visual.
Determine o instante em que a bola sai da névoa e o instante que
ela volta a entrar na mesma. Determine, também, a distância horizontal percorrida pela bola em cada um destes instantes.
III. Passamos agora a um problema mais perigoso: um aluno de
física decide fazer um teste de seus cálculos da seguinte maneira:
vai tentar voar sobre um vão de 20 metros com a sua motocicleta.
Usará para isto uma plataforma de lançamento de cerca de três
metros de altura que faz um ângulo de 30º com a horizontal. Sua
aterrissagem deve ocorrer em uma segunda rampa que tem seis
metros de altura e o mesmo ângulo com a horizontal. Qual deve ser
a sua velocidade de lançamento para que ele não se arrebente?
IV. Um jogador de futebol chuta uma bola horizontalmente da beirada de um abismo de 40 metros de altura. Se este jogador escuta o
som da bola batendo no chão cerca de três segundos depois, qual
era a velocidade inicial da bola? Assuma que a velocidade do som
no ar seja igual a 343 m/s.
V. Um arqueiro atira uma flecha a uma velocidade de 45 m/s fazendo um ângulo de 50º com a horizontal; um assistente que se encontra a uma distância de 150 m do local de lançamento atira para
cima uma maçã com a mínima velocidade necessária para que al110
Movimento de projéteis
cance a trajetória da flecha. Determine qual é a velocidade inicial
da maçã e quanto tempo depois do lançamento da flecha ele deve
lançar a maçã para que elas se encontrem.
Aula
6
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
I. Este é o problema padrão do movimento parabólico. Ele
claramente não traz informações completas sobre o evento real.
Por exemplo, não sabemos a partir de qual altura do solo ela é
atirada. Neste caso vamos assumir que a bola é lançada a partir
do chão (não importa como isto é feito, mas pode ser uma
tacada de golfe, por exemplo). Nossa primeira informação
indica o valor das componentes da velocidade inicial: v0x = 20
m/s e v0y = 40 m/s. Nós podemos imediatamente obter o valor
do módulo da velocidade e o ângulo que esta velocidade faz
com a horizontal.
111
Física Básica
Obtivemos, assim, o módulo e o ângulo de lançamento. Isso
nos ajuda em algo? Não, mas serve para nos dar uma idéia um
pouco melhor de como foi o lançamento. Para resolver o
problema em si, não precisávamos disso. Como discutimos no
texto, vamos dividir o problema em dois. Vamos tratar
primeiramente do movimento vertical. A razão para esta escolha
ficará mais clara mais para a frente. Vamos também definir
que o eixo y tem valores positivos para cima e negativos para
baixo. Sendo assim, a equação deste movimento é:
Tudo que precisamos saber está nesta equação: dado o tempo
sabemos exatamente onde a bola está. Neste problema, em
particular, queremos saber quando a bola atinge o chão. Nós
não sabemos onde ela estará, mas isso não é importante. Só
precisamos notar que, quando a bola cair ao chão novamente,
y(t) = 0. Resolvemos, então, a equação acima:
Essa equação tem duas raízes: uma é trivial:
, e
corresponde ao instante de lançamento da bola. A outra também
é simples:
. A bola fica, portanto,
apenas 8,2 segundos no ar. Agora chegou a vez de calcular a
distância percorrida pela bola neste intervalo de tempo. Nada
mais fácil:
Esta distância percorrida pelo lançamento até a queda é
chamada de alcance. Incidentalmente, podemos também calcular
a altura máxima alcançada pela bola. Isto pode ser feito de
várias maneiras. A mais simples leva em consideração que esta
altura máxima será alcançada na metade da trajetória, que
equivale à metade do tempo: 4,1 segundos. A altura máxima,
então, é dada por:
II. A solução deste segundo problema passa novamente pela
112
Movimento de projéteis
aplicação direta das fórmulas. Precisamos apenas refazer as
perguntas pensando em duas dimensões: queremos saber
quanto tempo a bola leva para alcançar três metros de altura.
Podemos desprezar o movimento horizontal e, assim, voltarmos
ao clássico problema de queda livre:
Aula
6
Esta é uma simples equação do segundo grau com raízes iguais
a 0,08 segundos e 8,08 segundos. Estes tempos claramente
referem-se à saída da região de neblina e à sua re-entrada,
respectivamente. De posse destes tempos, fica muito simples
determinar as distâncias percorridas na horizontal,
simplesmente utilizando a equação horária:
Vejamos em detalhes o tamanho do desafio:
Agora, sim, temos um problema interessante. Não fazemos
menção ao tempo em nenhum momento, mas ele é,
naturalmente, de suma importância. O sistema de coordenadas
foi colocado arbitrariamente no ponto de lançamento, mas isto
absolutamente não importa (como veremos a seguir). Nós
apenas precisamos equacionar os movimentos em suas
componentes e refazer a pergunta de uma maneira que
possamos responder. Comecemos com o movimento vertical
uma vez que, como no problema anterior, a componente
horizontal não nos interessa agora. Nós temos um problema
clássico de queda livre, apesar de termos uma velocidade inicial
para cima. Vamos chamar esta quantidade vetorial de v-0. Ela
faz um ângulo de trinta graus com a horizontal; então, podemos
concluir (por trigonometria) que suas componentes horizontal
e vertical são, respectivamente;
113
Física Básica
Conhecendo nossa componente vertical da velocidade e
notando que o sentido da velocidade inicial é para cima
(positivo) e o sentido da gravidade é para baixo (negativo),
podemos escrever a equação horária:
Podemos, agora, determinar quando o motoqueiro alcançará a
altura de seis metros (que corresponde a um ponto três metros
abaixo do centro de coordenadas). Matematicamente falando:
Vimos, então, que este tempo já depende da velocidade
inicial, ou seja, que a velocidade inicial depende do tempo.
Mas qual é o fator limitante deste tempo? Por que ele não
pode ser um tempo qualquer? A resposta é dada pelo senso
de auto-preservação do motoqueiro: seu alcance deve ser
precisamente de 20 metros. Mas, esta equação horária
também é simples, pois a componente horizontal da
velocidade já é conhecida...
Podemos agora isolar o tempo e substituir na equação anterior:
Resolvendo esta simples equação do segundo grau, temos:
. Note que esta é a mínima velocidade necessária
para chegar ao limite esquerdo da rampa. Existe, no entanto,
outro limite: o máximo. Se a velocidade for maior que certo
valor, o motociclista ultrapassará o limite da rampa e cairá
diretamente no solo. O cálculo é exatamente o mesmo,
trocando apenas os limites de x e y.
III. Vamos observar como o problema pode ser estudado:
114
Movimento de projéteis
Aula
6
O problema nos diz que a bola é chutada na horizontal,
portanto, a velocidade inicial na direção y é zero. Se assumirmos
as direções dos eixos coordenados como sendo as usuais,
podemos equacionar o movimento horizontal como sendo:
Podemos, então, calcular o tempo necessário para a bola chegar
ao chão, ou seja, quando y=0:
.
Mas, o tempo que o jogador precisou esperar foi de três
segundos,
o
que
dá
uma
diferença
de
. Este tempo corresponde ao tempo
necessário para o som do impacto chegar (em linha reta) aos
ouvidos do jogador. Isto quer dizer que podemos calcular a
distância percorrida pelo som, uma vez que sabemos qual é a
sua velocidade:
Temos então, finalmente, a distância em linha reta (hipotenusa)
que é de 49 metros e a distância vertical, de 40 metros.
Utilizando Pitágoras, determinamos, então, qual é a distância
horizontal: x.
Concluímos que a distância horizontal percorrida em 2,86
segundos foi de 28,3 metros, e podemos, a partir daí, obter a
velocidade inicial na direção x, que se mantém constante
durante o movimento.
115
Física Básica
IV. Este problema também é muito interessante e, para a sua
solução, será dividido em dois. No primeiro deles,
determinaremos qual é a trajetória da flecha dada a velocidade
inicial e o ângulo de tiro. Para chegar a este objetivo,
dividiremos esta velocidade inicial entre as suas componentes
vertical e horizontal.
As componentes são dadas por:
Os movimentos da flecha podem ser equacionados
(considerando o ponto de lançamento como sendo a origem
do sistema de coordenadas):
Podemos, agora, determinar quanto tempo a flecha levará para
chegar à distância horizontal de 150m:
116
Movimento de projéteis
Depois de decorrido este tempo, determinaremos qual é a altura
da flecha (acima da cabeça do ajudante):
Aula
6
Nosso problema com a flecha está resolvido. Estudemos agora
a maçã. Nossa primeira questão é: qual a menor velocidade inicial
para que a maçã chegue à altura de 47 metros? Esta pergunta
pode ser facilmente respondida através da equação de Torricelli:
Agora o que nos resta é garantir que a flecha e a maçã chegarão
a este ponto ao mesmo tempo. O tempo que a flecha levará já
foi calculado: 5,19 segundos. Precisamos, agora, perguntar qual
é o tempo que a maçã leva para chegar àquela altura de 47
metros quando é lançada a uma velocidade de 30,3 m/s. Para
isto, só precisamos aplicar a equação horária da velocidade:
t=3,10 segundos
Como os tempos de vôo da flecha e da maçã são distintos,
então precisaremos determinar a sua diferença para saber
quanto o ajudante deverá esperar antes que possa lançar a maçã:
t=5,19-3,10=2,09 segundos.
CONCLUSÃO
Vimos, nesta aula, que o movimento de projéteis pode ser adequadamente tratado quando grandezas vetoriais, tais como posição
e velocidade são tratadas exclusivamente através de suas coordenadas. Problemas de razoável complexidade podem facilmente ser
decompostos em pares de problemas simples, onde os grandes pontos de interrogação encontram-se na correta interpretação das perguntas e na escolha bem feita de sistemas de coordenadas. Apesar
de o sistema cartesiano usual ser geralmente o mais utilizado, em
algumas situações é mais interessante inverter os sentidos dos eixos coordenados para se obter maior simplicidade.
117
Física Básica
RESUMO
Nesta aula, tratamos sobre o problema de lançamento de projéteis. Este movimento é composto por uma componente horizontal e uma vertical. A estas direções serão atribuídos eixos cartesianos,
que as dividirão entre componentes x e y (horizontal e vertical). O
movimento global então poderá ser estudado em suas duas componentes, individualmente, o que possibilita a solução de pares de
problemas simples e que indicam a solução de um problema complicado. O tempo é mostrado como um fator de parametrização,
que pode, ou não, ser utilizado para a resolução dos problemas.
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula estudaremos o Movimento Circular Uniforme.
Serão discutidas as forças necessárias para a manutenção de tal
movimento e como fazer para equacioná-lo.
REFERÊNCIAS
GIANCOLI, Douglas C. Physics for Scientists and Engineers.
3ed. New Jersey: Editora Prentice Hall, 2000.
YOUNG, Hugh D. & FREEDMAN, Roger A. Física I- Mecânica.
10ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003. Tradução: Adir Moysés Luiz.
KELLER, Frederick J.; GETTYS, Edward & SKOVE, Malcolm
J. Física. São Paulo: Makron Books, 1997. Trad. Alfredo Alves
de Farias. Vol. 1.
RESNOCK, Robert; HALLIDAY, David & KRANE, Kennneth S.
Física 1. 5ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2003. Trad. Pedro M. C. L.
Pacheco, Marcelo A. Savi, Leydervan S. Xavier, Fernando R. Silva.
118
Movimento de projéteis
Aula
6
119
Aula
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
7
META
Particularizar o movimento em duas dimensões para o caso do movimento circular uniforme.
OBJETIVOS
Ao final desta aula o aluno deverá:
descrever o movimento de um objeto em movimento circular uniforme;
utilizar as equações de movimento para obter as grandezas físicas associadas a este movimento;
e calcular as acelerações tangencial e radial inerentes ao movimento circular uniforme.
PRÉ-REQUISITOS
Noções de Trigonometria, cinemática, vetores e diferenciação .
(Fonte: http://www.cefetsp.br)
Física Básica
INTRODUÇÃO
Bem vindos à nossa sétima e última aula de cinemática. Hoje
terminaremos nossos estudos desta importante disciplina que deverão ser úteis em nossa caminhada até o final de sua graduação.
Entramos, mais uma vez, em novas águas. Introduziremos, agora, o
estudo do movimento em duas dimensões onde a aceleração não é
constante. A gravidade é pouco discutida nesta aula, e a aceleração
que efetivamente interessa é aquela que mantém o objeto em sua
trajetória circular. Esta aceleração, necessariamente, aponta para o
centro do círculo e, por isso, é chamada de centrípeta. Na ausência
desta aceleração (ou força), o objeto mantém a velocidade que apresentava imediatamente antes. Ele, literalmente, sai pela tangente.
Este efeito não é, em absoluto, devido à ação de uma força, mas
simplesmente uma manifestação da inércia do corpo (que discutiremos nos capítulos vindouros). A descrição matemática do movimento circular uniforme é ligeiramente diferente daquela estudada
até agora, mas veremos que a mesma apresenta o mesmo formato.
Uma vez compreendido quem são as variáveis angulares, as equações tornam-se as mesmas para o caso linear. Vários conceitos, a
serem amplamente discutidos neste capítulo, terão impactos diretos no estudo da dinâmica do movimento. Manteremos, no entanto, a nossa atenção na cinemática do movimento rotacional. Depois, faremos uma pequena introdução ao estudo do movimento
rotacional, utilizando variáveis angulares e coordenadas polares.
(Fonte: http://www.infoescola.com).
122
Movimento circular uniforme
O assunto a ser tratado nesta aula é o Movimento Circular
Uniforme (MCU). Com alguma probabilidade, nossos primeiros
contatos com o MCU são dentro de um automóvel. Sentados no
banco de trás, com o cinto afivelado, vimos o motorista fazer uma
curva fechada para um dos lados do carro. Imediatamente apareceu
uma força tentando nos jogar para fora do carro, mas para o outro
lado. Que força misteriosa é ela? Será ela capaz de efetivamente nos
jogar para fora? Possivelmente sim.
Nosso problema, no entanto, é outro: que força é essa? Alguém está
nos empurrando? O carro está nos empurrando? A reposta é não. Se
considerarmos o carro como sistema de referência, teremos a impressão
de que a força existe. Se não tivermos nenhum contato com a realidade
externa, ou seja, se estivermos dentro de um ambiente fechado dentro
deste automóvel, pensaremos que estamos sujeitos a uma força.
O erro desta interpretação reside no fato de que o nosso sistema
de referência, o carro, está acelerado! Acelerado para uma direção diferente da sua trajetória, que é a condição necessária para mudar a sua
velocidade (talvez não o seu módulo), mas com certeza a sua direção.
Se o nosso sistema de referência está acelerado, então ele não é inercial,
e as leis de Newton não se aplicam (voltaremos a isto mais tarde).
Nossos estudos precisam de um sistema de referências inercial para
poder analisar o movimento. Podemos, então, usar como sistema de referência um observador que vê o carro se mover a partir de uma posição
elevada. A partir desse observador, não existe o problema: para que o
carro possa virar precisa do atrito de seus pneus com o asfalto, e a mudança de trajetória implica em uma força aplicada pela lateral do carro
sobre o seu corpo, ou mesmo o atrito de seu corpo contra o banco, o
que lhe dá a sensação de estar sendo empurrado para o outro lado.
No intuito de melhor compreender o MCU, vamos recordar que
a velocidade é um vetor que tem módulo, direção e sentido. Lembremos também que a definição de aceleração é a derivada em relação ao tempo da velocidade:
Aula
7
Esta simples equação nos diz que, se a velocidade está variando no tempo, então existe uma aceleração responsável por isto. Em
outras palavras, se o sistema está acelerado, então a velocidade vai
variar com o tempo. Estamos todos acostumados a associar uma
variação da velocidade com o aumento ou diminuição do seu
módulo, da mesma forma quando aceleramos ou freamos um automóvel. A velocidade, no entanto, é uma grandeza vetorial, e uma
variação de módulo, direção ou sentido só pode ser obtida através
da aplicação de uma força que lhe confere uma aceleração. Se esta
123
Física Básica
força é aplicada na mesma direção e sentido da velocidade a mesma aumenta; se é aplicada na mesma direção, mas em sentido oposto, ela diminui. Se ela é aplicada em outra direção ocorre a mudança de trajetória. Veja o esquema 1:
ESQUEMA 1
As linhas contínuas nos mostram os vetores velocidade inicial
de uma dada partícula. As tracejadas mostram os vetores aceleração aplicados nesta partícula. Finalmente, as pontilhadas marcam
os vetores velocidade resultantes. O último deles indica a situação
quando a direção é alterada.
O movimento circular uniforme é um caso particular deste último. No MCU, o módulo da velocidade não se altera. O movimento dos ponteiros de um relógio é um bom exemplo para este movimento. Cada um dos ponteiros tem um módulo de velocidade diferente, mas as velocidades (em módulo) são constantes. Se o módulo
da velocidade se mantém constante, mas a sua direção se altera
continuamente, então deve haver alguma força sendo aplicada ao
objeto. Considere a figura 1 abaixo:
FIGURA 1
124
Movimento circular uniforme
A partícula sem a ação da força (seja ela provida por quem quer
que seja) faria uma trajetória em linha reta como mostrada pela linha
tracejada. Esta linha, naturalmente, segue o vetor velocidade naquele ponto, e que corresponde à tangente naquele ponto. Note também
que a força é perpendicular ao vetor velocidade. Alguns instantes
depois, se a força continua a agir sobre o corpo, sempre em uma
direção perpendicular à velocidade, o vetor velocidade encontrar-seá em outra direção, como pode ser visto na figura 2 abaixo:
Aula
7
FIGURA 2
Nesta figura, observamos que, em dois instantes diferentes, o
vetor velocidade se encontra em dois pontos diferentes e com direções diferentes. Como vimos na aula de vetores, podemos colocar
estes dois vetores em um mesmo ponto de referência e realizar operações algébricas sobre eles. No lado direito da figura, mostramos
os dois vetores V1 e V2 com o mesmo ponto de início e também o
resultado de V2-V1 que chamaremos de ∆V. Podemos, então, verificar qual é a variação desta velocidade quando o tempo variou para
obtermos a própria definição de aceleração média:
Apesar de correta, esta equação não nos satisfaz, porque, entre o instante 1 e o instante 2, houve uma grande variação da velocidade. Observe o que estamos
dizendo:
FIGURA 3
125
Física Básica
Este seria o resultado se tivéssemos entre os instantes 1 e 2
uma aceleração constante (em módulo direção e sentido). Para
que tenhamos, efetivamente, um movimento circular uniforme,
a aceleração precisa mudar continuamente, ou seja, precisamos
que o intervalo de tempo entre os instantes 1 e 2 se torne muito
pequeno...
Esta é exatamente a definição da derivada. Vamos prestar alguma atenção a este ponto. Veja que a aceleração tem o mesmo
módulo, direção e sentido da derivada da velocidade. Isto não quer
dizer que a aceleração e a velocidade estejam na mesma direção!
De fato, como pode ser visto na figura 2, a direção da aceleração
(∆v/∆t) é perpendicular à velocidade. E isto realmente ocorre
para todos os pontos da trajetória: a velocidade é sempre perpendicular à aceleração no MCU.
Talvez a sua intuição lhe diga que esta última afirmação é
um pouco forte demais. Imagine-se amarrando uma pedra à ponta de uma corda e coloque-a a girar em torno de você, utilizando
seus braços para aplicar uma força na outra ponta da corda. Esta
força não precisa ter uma parte (ou componente) na direção da
velocidade da pedra para ela poder começar a girar. Se você apenas puxar a pedra, ela avançará em sua direção e não haverá
MCU. Para chegar ao MCU, será necessário que, no início, você
aplique uma componente da força em sua direção, e outra na
direção de movimento. Com isso, a velocidade de rotação da
pedra irá aumentando conforme você mantém esta força aplicada a uma componente na direção do movimento, ou componente “tangencial”. Isto quer dizer que, para iniciar o movimento
circular, precisamos de uma força tangencial que confere uma
aceleração tangencial. Esta aceleração tangencial altera a velocidade tangencial da pedra. Quando existe esta aceleração
tangencial, a pedra se encontra em um regime de Movimento
Circular não Uniforme! Somente quando esta componente se
anula (ou seja, se torna igual a zero), e a única aceleração existente é na direção do centro da trajetória é que temos um MCU.
Esta componente da aceleração é chamada de aceleração radial.
No MCU, portanto, apenas um tipo de aceleração é responsável pelo movimento: a aceleração radial. A aceleração tangencial
pode afetar o módulo da velocidade, mas não a sua direção. A aceleração radial não pode afetar o módulo da velocidade, mas afeta
continuamente a sua direção. Precisamos, então, encontrar uma
maneira de obter uma relação funcional entre esta aceleração radial
126
Movimento circular uniforme
Aula
e as variáveis do movimento: velocidade e raio do círculo. Para
obter essa relação, vamos estudar juntos a figura 4 abaixo:
7
FIGURA 4
A parte A da figura 4 mostra uma parcela da trajetória de um
MCU. Nela estão indicados os vetores posição e os vetores velocidade da partícula nos instantes 1 e 2. O ângulo formado entre os vetores
posição é chamado de ∆θ. Os vetores velocidade foram copiados e
colados na parte B e, como são perpendiculares aos vetores posição,
então o ângulo entre eles também é ∆θ. Finalmente, em C, podemos
observar o desenho de A, rodado de 90º para ficar idêntico a B. Todos os vetores que aparecem nesta figura são tratados nesta discussão como escalares: apenas estamos nos preocupando com os seus
módulos. Por semelhança de triângulos, podemos dizer:
e
. Isolando ∆θ, chegamos à relação:
Lembremos agora que a aceleração é dada por
e, portanto,
onde usamos ∆r/∆t=v. Esta relação é a final que obtemos para a
aceleração centrípeta:
Com a explanação desenvolvida até aqui, já podemos passar
para alguns problemas que nos ajudarão a melhor compreender estas definições. Antes disso, no entanto, introduziremos um segundo
tipo de sistema de coordenadas que é de grande importância no
estudo de movimentos circulares: o sistema polar de coordenadas.
127
Física Básica
O sistema polar de coordenadas utiliza dois parâmetros para
designar a posição de um dado objeto: a distância deste objeto até
a origem e o ângulo que a reta que une este ponto à origem faz com
a horizontal. Verifique a figura 5 abaixo:
FIGURA 5
Aqui observamos um objeto cuja localização pode ser definida por suas coordenadas cartesianas: (x,y). Esta é uma maneira
perfeitamente válida para designar a posição, mas não é a única.
Se fornecermos o par (r, θ), também definimos onde podemos
encontrar o mesmo objeto. A informação sobre a localização de
um ponto em um sistema de coordenadas pode ser usada para
encontrar a localização do mesmo em outro sistema de coordenadas. Para transformar de um para outro, só é necessária a utilização das equações de conversão:
128
Movimento circular uniforme
Com este novo sistema de coordenadas, é possível obter equações de movimento angulares, ou seja, as variáveis não são mais
lineares, mas angulares. Podemos assim definir em analogia às equações lineares:
Aula
7
No sistema cartesiano, identificamos as grandezas velocidade
e aceleração com as variáveis v e a. No sistema polar, identificamos
a velocidade angular com ω e a aceleração tangencial com α.
As equações angulares ficam assim, quando comparadas com
as lineares:
É importante notar que no MCU, α é sempre igual a zero. A
conversão das grandezas lineares para as angulares é feita, simplesmente, utilizando as seguintes relações:
É importante manter em mente que as grandezas que aparecem do lado esquerdo destas equações correspondem às componentes tangenciais de vetores. A aceleração centrípeta, por exemplo,
não pode entrar nessas equações.
129
Física Básica
ATIVIDADES
I. Qual é a aceleração centrípeta que a Terra sofre em sua trajetória
ao redor do Sol? Quais são as aproximações necessárias para poder
resolver este problema utilizando MCU?
II. Uma pessoa normal que se esforça para fazer rodar uma pedra
atada à ponta de uma corda foi capaz de fazê-lo a uma taxa de 8
revoluções por segundo quando a corda tinha um comprimento de
0,6 metros. Quando aumentou este comprimento para 0,9 metros,
só foi capaz de fazê-la girar a uma taxa de 6 revoluções por segundo. Em qual dos dois casos a pedra se moveu mais rápido e qual o
valor da aceleração centrípeta em cada um dos casos?
III. Escreva uma equação de movimento para o movimento da
Lua em torno da Terra. Assuma que, quando o cronômetro foi
disparado, o ângulo que o raio vetor (que ligava os dois corpos)
fazia era um ângulo de 37º com uma horizontal arbitrariamente
definida por mim.
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
I. Comecemos pela segunda indagação. Para resolver este
problema, será necessário tratar tanto o Sol quanto a Terra
como pontos materiais, ou seja, partículas sem massa e sem
volume; apenas abstrações. Em segundo lugar, deveremos
assumir que a trajetória da Terra é circular, o que não é verdade.
Se aceitarmos esta premissa, podemos tentar resolver o
problema. A equação para o cálculo da aceleração centrípeta é
conhecida:
. Mas nós temos um probleminha aqui: qual
é o raio e qual é a velocidade orbital? O raio pode ser obtido
diretamente de qualquer tabela de constantes físicas, e o valor
será de 1,496 X 1011 m. A velocidade angular nós não
conhecemos, mas podemos fazer uma estimativa lembrando
que a terra leva um ano para percorrer uma volta completa.
Nós sabemos da geometria básica que o perímetro de um círculo
é dado por:
, onde r é o raio do círculo. No caso da
órbita da Terra em torno do Sol, este perímetro corresponde à
trajetória total da Terra em um período. O período é definido
como o tempo que um corpo leva para completar uma volta
completa em torno de outro. Existem definições mais completas
e gerais, mas, para este nosso caso, podemos nos ater a esta
mais simples. Sendo o período chamado de T, podemos definir
130
Movimento circular uniforme
a velocidade orbital como a distância percorrida (ou o
perímetro) dividido pelo período, ou matematicamente:
Aula
7
Isto nos leva a uma nova formulação para a aceleração
centrípeta em função do período orbital:
Agora só precisamos saber qual é o período em unidades do SI:
segundos. Isto é fácil: basta multiplicarmos o número de dias
por vinte e quatro para saber o número de horas; o resultado é
multiplicado por sessenta para saber o número de minutos etc.
Podemos, agora, calcular a aceleração centrípeta:
Este valor da aceleração centrípeta é três ordens de magnitude
menor que a aceleração gravitacional como visto, por exemplo,
na queda livre. O que você pensa sobre isto? Elas deveriam
ser iguais? Ou são coisas totalmente diferentes?
II. O início da solução deste problema passa pela
interpretação de uma das informações que é dada em
“revoluções por segundo”. No século passado, antes do
advento do CD (compact disk), os discos musicais eram feitos
de um material polimérico preto chamado vinil. A sua leitura
não era digital, como os CDs, mas analógica: uma agulha era
acoplada à superfície do vinil e micro-ranhuras em sua
superfície transmitiam o som para o amplificador. A
quantidade de músicas que cabia em um único disco dependia
da qualidade de impressão das micro-ranhuras no vinil. Os
131
Física Básica
de melhor qualidade (mais modernos) rodavam mais devagar
e os mais antigos rodavam mais rápido. Tradicionalmente
existiam três modelos: 78 rpm, 33 rpm e 16 rpm. Esta
unidade, conhecida como rotações por minuto é a análoga à
que aparece neste problema.
Ela descreve quantas voltas o objeto realiza por unidade de
tempo. Enquanto os “fonógrafos” utilizavam r pm, nós
utilizamos RPS, rotações por segundo. Na verdade, esta é uma
medida de freqüência – f, e a sua unidade no SI é 1/segundos,
ou Hertz. Então, no primeiro caso, temos uma freqüência de 8
Hz e, no segundo caso, temos uma freqüência de 6 Hz. Como
podemos perceber, esta freqüência tem unidades de inverso
de tempo e, de fato, corresponde ao inverso do período
discutido no problema anterior:
Sendo assim, podemos calcular o período dos dois movimentos:
Temos então a seguinte tabela de valores:
Lembrando agora a discussão apresentada no problema
anterior, podemos calcular as velocidades através da equação:
E podemos também calcular a aceleração centrípeta através
da equação
132
Movimento circular uniforme
Podemos agora mostrar os resultados finais em outra tabela:
Aula
7
III. A solução deste problema é muito mais fácil do que possa parecer,
mas vamos trabalhar bem devagar para que seja possível apreciar
todos os detalhes. Como foi estabelecida uma posição inicial para
a Lua, vamos fazer um desenho para ilustrar a situação inicial.
No desenho acima, fica clara a arbitrariedade do eixo x. Se nós
girássemos o sistema cartesiano em 37º, faríamos coincidir o
vetor posição com o eixo horizontal, mas não é este nosso
objetivo. Para a correta resolução deste problema, precisamos
de um valor médio da distância entre a Terra e a Lua, e também
assumiremos que a órbita é circular. Este valor é facilmente
encontrado na literatura: 3,84x108 m. Este, então, é o valor de
r. Sendo o ângulo que este raio vetor faz com aquela horizontal
igual a 37º, podemos calcular quais são as coordenadas
cartesianas desta posição inicial:
133
Física Básica
Assim, as coordenadas iniciais são: (3,07; 2,31)X108
metros. Agora devemos estudar a órbita da Lua. Como
seriam as equações de movimento em coordenadas
cartesianas? Comecemos com o vetor velocidade. No
instante inicial, a velocidade da Lua tem uma componente
vertical e outra horizontal. Vamos calcular seu valor!
Sabemos que o período da Lua em torno da Terra é de 28
dias, que corresponde a 28X24X60X60 segundos, ou
2419200 segundos. Sendo assim, é fácil calcular o módulo
de sua velocidade:
Para calcular agora as componentes desta velocidade nas
direções x e y, precisaremos decompor esta velocidade. Para
isto, será útil dar uma boa olhada na seguinte figura.
A partir desta figura, é fácil ver que existe um ângulo de 37º
entre o vetor velocidade e a sua componente y, e de 53º (=90º
- 37º); entre o vetor velocidade e sua componente x. Para
obter esses valores, só precisamos então multiplicar o valor do
módulo da velocidade pelo cosseno do ângulo em questão. Simples? Sim, é claro, mas existe um probleminha: um segundo
após o disparo do cronômetro (na verdade, muito antes que
isto), os ângulos que o vetor velocidade faz com a horizontal e
134
Movimento circular uniforme
a vertical já mudaram! Eles mudam continuamente conforme
o tempo passa. Verifique o que acontece na figura abaixo.:
Aula
7
Em cada momento, ou seja, a cada local da trajetória o vetor
velocidade apontará para uma direção distinta. Nos exemplos
da figura, colocamos os instantes quando uma das componentes
cartesianas é igual a zero. Este problema fica então muito
difícil de resolver quando utilizamos coordenadas
cartesianas. Mas não é preciso se preocupar, pois podemos
utilizar as coordenadas polares. Quando fazemos esta opção,
não precisamos mais saber o ângulo que o vetor posição faz
com os eixos cartesianos, pois sabemos que ele sempre
aponta na direção tangencial à curva! Temos então um caso
muito simples onde tudo que precisamos saber é a posição
angular inicial e a velocidade angular.
Já vimos que o cronômetro é disparado quando o raio vetor
que liga a Terra à Lua faz um ângulo de 37º com a horizontal.
Isto quer dizer que θo=0,65rd=37º. A velocidade angular, por
outro lado, pode ser obtida facilmente utilizando a equação:
A equação de movimento limita-se, então, a:
135
Física Básica
CONCLUSÃO
O movimento circular uniforme é um equivalente do movimento retilíneo uniforme em sua formulação matemática. Apenas
a variável angular é capaz de descrever completamente o movimento, assim como no caso do MRU. Em contraste com o caso
linear, no entanto, o MCU necessita de uma força externa que mantenha o objeto de estudo em sua trajetória circular. Esta força externa também precisa ser exclusivamente radial, pois, de outro modo,
causaria uma aceleração tangencial alterando a velocidade angular.
Este último caso é chamado de movimento circular não uniforme e
não faz parte de nossa ementa. Sem entrar no mérito de sua origem,
discutimos brevemente a aceleração centrípeta que é facilmente
calculável e ajuda a descrever completamente o movimento.
RESUMO
Esta aula trata do equacionamento do Movimento Circular
Uniforme. A trajetória de um objeto sujeito a uma força central e
que produz uma aceleração centrípeta (“em direção ao centro”) é estudado em detalhe. Discutimos sobre as variáveis utilizadas na descrição do movimento e sobre a utilidade de se usar coordenadas
polares ao invés de cartesianas. É possível a conversão entre os
dois sistemas de coordenadas e, nas atividades, fica evidente a conveniência de se utilizar um em detrimento do outro. O aparecimento, até certo ponto, de uma aceleração central pavimenta o caminho para a discussão da dinâmica dos corpos, materializada nas
Leis de Newton, que serão apresentadas no decorrer do curso.
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, estudaremos as condições de forças aplicadas que possibilitam o equilíbrio de um corpo. Estudaremos também, com algum detalhe, metodologias para a determinação do
centro de gravidade dos corpos extensos.
136
Movimento circular uniforme
REFERÊNCIAS
GIANCOLI, Douglas C. Physics for Scientists and Engineers.
3ed. New Jersey: Editora Prentice Hall, 2000.
KELLER, Frederick J.; GETTYS, Edward & SKOVE, Malcolm
J. Física. São Paulo: Makron Books, 1997. Trad. Alfredo Alves
de Farias. Vol. 1.
RESNICK, Robert; HALLIDAY, David & KRANE, Kennneth
S. Física 1. 5ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2003. Trad. Pedro
M. C. L. Pacheco, Marcelo A. Savi, Leydervan S. Xavier,
Fernando R. Silva.
YOUNG, Hugh D. & FREEDMAN, Roger A. Física I - Mecânica.
10ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003. Tradução: Adir Moysés Luiz.
Aula
7
137
Aula
PRIMEIRA E SEGUNDA
LEI DE NEWTON
8
META
Introduzir os conceitos de força e da primeira e da segunda Lei de Newton.
OBJETIVOS
Ao final desta aula o aluno deverá:
definir com segurança e precisão o que é uma força em seu caráter filosófico e em sua
natureza vetorial;
aplicar a 1ª Lei de Newton para resolver problemas simples de dinâmica;
definir massa e calcular a aceleração que a mesma sofre quando uma dada força é aplicada
sobre ela; e
utilizar a 2ª Lei de Newton para calcular mudanças nos estados de movimentos de objetos.
PRÉ-REQUISITOS
Conhecimento sobre trigonometria e vetores
(Fonte: http://educar.sc.usp.br).
Física Básica
INTRODUÇÃO
Bem vindos à nossa primeira aula de dinâmica. Enquanto a
primeira parte do curso tratou da descrição quantitativa do movimento dos objetos, agora iniciaremos o estudo dos fenômenos que
causam o movimento, ou mais apropriadamente, os fenômenos que
alteram o estado de movimento dos objetos. Em contraste com as
idéias de Aristóteles, Galileu propôs a moderna concepção de força, mas foi Newton o responsável por seu equacionamento e estabelecimento como base da física clássica. A primeira lei de Newton
apresenta um conceito de fundamental importância na física: a
Inércia. Este conceito é utilizado, não apenas na física clássica,
mas também em uma de suas descendentes mais modernas: a relatividade. A segunda lei de Newton estabelece a relação entre a
massa de um corpo e a aceleração que ela sofre quando uma dada
força atua sobre ela. O conceito de massa confunde-se com o
conceito de inércia: quanto maior a massa de um corpo, maior a sua
inércia, ou seja, maior a força necessária para fazê-lo se mover. A
aplicação de uma força sobre um corpo causa uma aceleração: essa
é a dinâmica do movimento. Uma vez sujeita a essa aceleração, o
estado de movimento se altera. Estes, serão, portanto, os assuntos
a serem apresentados nesta aula.
(Fonte: http://www.kaentrenosvip.hpg.ig.com.br).
140
Primeira e segunda Lei de Newton
Nesta aula, iniciamos o estudo da dinâmica. Na primeira parte
de nosso curso, estudamos como os objetos se movem, sem nos
preocuparmos com as razões que os levam a se mover. Hoje iniciamos nossa aula com este tópico: o que é movimento? A questão, do
ponto de vista da filosofia natural, foi proposta, originalmente, indagando o que causa um movimento e o que causa a mudança deste movimento. É uma pergunta complicada.
Aula
8
Aristóteles, um dos grandes filósofos da Grécia clássica, contribuiu para responder a esta questão. Seus estudos sobre o movimento dos corpos chegaram aos nossos dias e indicam sua crença
de que um movimento qualquer necessita de uma razão, e propôs
três hipóteses:
• Movimento natural – indica que os objetos buscam seu local natural, como por exemplo, uma pedra que, ao cair, busca seu local
natural parada no chão.
• Movimento voluntário – seria aquele efetuado pelos seres vivos
obedecendo à própria vontade.
• Movimento forçado – ocorre quando um objeto sofre a ação de
outro objeto em movimento e passa assim a se mover também.
Esta abordagem manteve-se por longos 2000 anos!
Galileu iniciou uma nova era na análise do movimento quando
mudou a pergunta. Segundo seu entendimento, não é importante saber
o que é o movimento, mas apenas o que altera o movimento! É
uma mudança e tanto!
O grande engano de Aristóteles foi atribuído ao fato de não
levar em consideração a força de atrito. Galileu notou que a afirmação: “um objeto que se encontra em repouso assim continuará independentemente se nenhuma força for aplicada a ele”, é equivalente a “se um objeto se encontra em movimento, ele assim permanecerá a não ser que uma força seja aplicada sobre ele”. Notaram a
diferença? Os estados de repouso ou de movimento de um objeto
são equivalentes.
Podemos ainda ir um pouco mais longe. Lembra-se de nossa
discussão a respeito de pontos e sistemas de referência? Ótimo.
Você e eu, todos nós nos encontramos sobre a face da Terra.
Estamos em repouso ou em movimento? Se você está agora sentado confortavelmente lendo este texto, pode argumentar que se encontra em repouso (não dormindo!). O mesmo vale para mim.
Estamos assumindo que nosso sistema de referência se encontra
em algum ponto perto (ou mesmo dentro) de nós. E para este sistema de referência nós estamos de fato em repouso.
Aristóteles
Galileu
141
Física Básica
Vamos agora pegar este sistema de referência (você pode imaginar como sendo um trio de eixos cartesianos) e levá-lo para a Lua.
Isto é o mesmo que colocar um observador na superfície da Lua
que tenta nos ver com uma luneta. Para ele nós estamos em movimento! Um movimento muito complicado que envolve a rotação
da Terra e a translação da mesma ao redor da Lua! Espere um pouco! Não é a Lua que gira em torno da Terra? Para um observador na
superfície da Lua sem muita paciência para observar, é o oposto: a
Terra gira em torno da Lua. Pode até parecer loucura, mas faz muito pouco tempo que descobrimos que o Sol não gira em torno da
Terra. Mas este assunto pertence à História. O que nos importa
aqui, neste momento, é reconhecer que dois observadores (dois
pontos de referência) podem ver um objeto de maneiras distintas.
Um exemplo mais prosaico seria o de uma pessoa sentada ao lado
do motorista de um automóvel que passa velozmente por uma avenida. Para o passageiro (que leva seu sistema de referência), o motorista está parado. Para o pedestre que tenta cruzar a avenida, o
motorista está em alta velocidade.
A velocidade, portanto, depende do referencial e os estados de
repouso ou de movimento são equivalentes. Precisamos voltar agora para nossa indagação original: o que causa mudança no estado
de movimento de um objeto (a partir de agora deixaremos de enfatizar
que este estado de movimento pode ser um estado de repouso)?
Ao contrário de Aristóteles, Newton percebeu que apenas a
interação entre dois corpos pode ser responsável por tal mudança.
O movimento natural que Aristóteles menciona, por exemplo, não
faz sentido. Uma bigorna que escorrega de suas mãos não vai encontrar o seu pé por ser seu “local natural”. Se você pegar um pedaço de um meteoro encontrado na superfície da Terra e soltá-lo, ele
cairá para o solo, que, dificilmente, será considerado “local natural”. O que causa estes dois movimentos é simplesmente a atração
gravitacional entre o corpo em questão e a Terra. Newton reconheceu que esta alteração de movimento só pode ocorrer quando existe uma interação entre os corpos, chamada de Força.
De seus estudos anteriores, você deve ter aprendido que existem muitos tipos de forças: mecânica, elétrica, magnética, etc. Cada
uma delas apresenta um tipo de interação diferente entre os corpos.
As diferenças podem ser muito grandes, mas o resultado no movimento de um objeto pode ser o mesmo. Uma bola em repouso sobre o chão (no referencial do chão) pode ter seu repouso alterado
por várias forças. Se ela começa a se mover em relação ao chão,
podemos afirmar, com certeza, que uma força foi aplicada a ela.
Podemos não conhecer a origem desta força, mas sabemos que ela
142
Primeira e segunda Lei de Newton
está presente. Se a bola se encontrava parada e lentamente começou a se mover, aumentando gradativamente a sua velocidade, então alguma aceleração estava mudando sua velocidade (lembre-se
que
). Esta aceleração é produto de uma força...
Aula
8
Encontramo-nos agora equipados para explorar um pouco mais
este conceito de força aplicada a um corpo que tem como resultado
uma aceleração que muda seu estado de movimento.
· Um objeto pode estar sujeito a mais de uma força ao mesmo
tempo. Estas forças são grandezas vetoriais (têm módulo, direção e
sentido) e podem ser somadas vetorialmente para se obter a Força
Resultante.
· Como grandezas vetoriais, as forças podem ter sinais positivos ou negativos, dependendo sempre do sistema de referência adotado.
· As forças podem ser aplicadas quando os corpos estão em
contato ou à distância. A Terra e a Lua não estão em contato físico,
mas a força de atração entre elas é evidente.
Podemos agora enunciar a 1ª Lei de Newton:
“Se a força resultante aplicada sobre um objeto é igual a
zero, então o seu estado de movimento não se altera”
(Fonte: http://www.weno.com.br)
143
Física Básica
SISTEMAS INERCIAIS DE REFERÊNCIA
É importante saber que a primeira lei de Newton não vale em
todos os sistemas de referência. Se você coloca o seu sistema de
referência grudado a um automóvel e ele é acelerado, todos os objetos dentro do automóvel podem começar a se mover na direção
oposta àquela do automóvel. Se a velocidade do automóvel fosse
constante, todos os objetos estariam estacionários em relação ao
automóvel. Pense especificamente em uma lata de guaraná sobre o
painel: quando você acelera o carro faz com que o guaraná seja
derramado em seu colo. Mas, nenhuma força foi aplicada sobre o
guaraná! Então o seu movimento (ou repouso) foi alterado sem
uma força ser aplicada, o que corresponde a dizer que a primeira lei
de Newton foi violada... Os sistemas de referência onde a primeira
lei de Newton é válida são conhecidos como sistemas inerciais. Quase
sempre podemos assumir que os sistemas de referência acoplados à
Terra são inerciais. Isto não é totalmente correto devido ao movimento de rotação da Terra, mas chega muito perto. Qualquer sistema de referência que esteja em repouso ou em movimento com
velocidade constante em relação a um referencial inercial também
será um referencial inercial. Quando um sistema de referência está
sendo acelerado em relação a um sistema de referência inercial,
dizemos que ele é não inercial. A primeira lei de Newton é então
utilizada para definir se um sistema é ou não inercial.
Esta é conhecida como a lei da Inércia. Vejamos algumas aplicações.
ATIVIDADES
I. Imagine-se correndo em volta de um campo de futebol com um
copo cheio de água. Descreva o movimento do copo, da água e
discuta as diferenças.
II. Um engradado que pesa cerca de 100 N é levantado do chão a
uma velocidade constante de 10 m/s. Chegando a uma altura de 10
m, fica parado por cerca de 10 s. Em seguida, é novamente baixado
a uma velocidade de 10 m/s até o chão. Em qual destes três casos
o guindaste precisa aplicar uma força maior?
144
Primeira e segunda Lei de Newton
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
Aula
8
I. Vejamos primeiramente o que acontece com o copo. É apenas
um corpo sólido que está firmemente atado ao seu corpo. Neste
sentido, ele pode ser considerado como fazendo parte do seu
corpo. Quando você começa a correr, faz uma curva ou mesmo
quando pára de correr, o copo não experimenta qualquer
aceleração. O que acontece é que o seu sistema de referência
está acoplado ao seu corpo e, portanto, não nota qualquer
diferença nestes pontos do trajeto. A água, por outro lado,
experimenta algo diferente. Todas as vezes em que você muda
a sua velocidade, quando começa a correr, quando faz uma
curva e quando pára, você também muda a velocidade do copo.
A água então sofre forças aplicadas pelas paredes do copo
nesses momentos de variação de velocidade e, então, é
derramada. Quando está correndo a uma velocidade constante,
a água não sofre qualquer força e se mantém estável (tirando é
claro o movimento de sobe e desce natural de uma corrida).
Você, provavelmente, apostou suas fichas no movimento de
subida, certo? Se assim o fez, errou. Se você apostou na descida,
também errou. Aliás, não era possível acertar. Em todos os
três intervalos de tempo: subida, descida e espera, a velocidade
foi constante ou nula. Ou seja, não havia qualquer força
resultante sobre o container que o fizesse ser acelerado e,
conseqüentemente, mudar de velocidade. Em todos os casos,
a força aplicada pelo guindaste foi a mesma. Naturalmente que,
por um breve instante, houve um desequilíbrio de forças que
iniciou o movimento, mas, em seguida, o equilíbrio foi
restaurado, e a velocidade se manteve constante. Você pode
estar se perguntando para que serviram os valores da
velocidade, tempo de espera e altura alcançada. Infelizmente,
eles não fazem nenhuma diferença.
SEGUNDA LEI DE NEWTON
Como pudemos ver na 1ª Lei, os objetos têm uma tendência a
manter seu estado de repouso ou de movimento. Isto é o mesmo
que dizer que os objetos são resistentes às mudanças, todos eles
têm inércia. Mas alguns corpos têm uma inércia maior que os outros? Com certeza, sim, e o que determina a quantidade de inércia
de um corpo é a sua Massa.
145
Física Básica
Um corpo mais massivo resistirá mais à força aplicada quando
comparado a um corpo menos massivo. Imagine um barquinho de
papel boiando em uma piscina. Assopre este barquinho. Ele se
moverá? Com certeza, sim. Agora se imagine em um atracadouro e
tente empurrar um navio cargueiro de 50 toneladas... Isto é inércia;
isto é massa; isto é resistência ao movimento.
Se uma mesma força é aplicada a dois corpos, aquele com menor massa sofrerá uma maior aceleração e, conseqüentemente, adquirirá uma maior velocidade. É o caso de um pai e filho se empurrando com as mãos sobre o gelo. A força será a mesma em ambos os
corpos e corresponderá à força aplicada pelo pai mais a força aplicada pelo filho. Como o filho tem massa menor, será mais acelerado e sairá escorregando rapidamente. O pai, com sua maior massa,
será pouco acelerado e mal sairá do lugar (o que lhe dará tempo de
correr atrás do filho e evitar um desastre...).
(Fonte: http://www.dancanogelobastidores.globolog.com.br).
146
Primeira e segunda Lei de Newton
No sistema internacional, a massa tem unidade de quilogramas,
a força tem unidade de Newton e a aceleração de metros por segundo ao
quadrado (m/s2). Vejamos como podemos determinar a relação entre estas três variáveis para compreender a segunda lei de Newton.
Através de alguns experimentos, podemos determinar que a
força é diretamente proporcional à aceleração: se dobramos a força, dobramos a aceleração; se triplicamos a força, triplicamos a aceleração; e assim por diante. Com a massa é diferente: se dobramos
a massa, dividimos a aceleração por dois, se triplicamos a massa,
dividimos a aceleração por três. Isto nos diz que a massa e a aceleração são inversamente proporcionais:
Aula
8
Temos, então, a estrutura funcional da segunda lei de Newton.
Lembremos naturalmente que a força e a aceleração são grandezas
vetoriais, e a massa é escalar.
Nesta equação, estamos assumindo que apenas uma força atua
sobre o corpo. Em um sistema real, várias forças atuam simultaneamente e a sua somatória vetorial é que define a resposta do corpo.
Desse modo, podemos enunciar a segunda lei de Newton:
“A aceleração de um objeto é diretamente proporcional à
força resultante que atua sobre ele e inversamente
proporcional à sua massa. A direção da aceleração é a mesma
da força resultante”.
É importante aqui estabelecer uma distinção que é corriqueiramente ignorada: massa e peso não são a mesma coisa! Você nunca
vai à farmácia para se “pesar”. Você vai até lá para verificar se
aquela feijoada aumentou a sua inércia. Sim, a sua massa é a sua
inércia. É a sua resistência à uma força aplicada. Seria muito mais
fácil carregá-lo no colo antes da feijoada, pois sua inércia aumentou muito depois dela. Então, simplificando, vamos à farmácia para
medir a nossa massa. O peso é outra coisa completamente diferente. Se nós estivéssemos em um universo vazio, o nosso peso seria
igual a zero. Se nós estivéssemos na Lua, o nosso peso seria muito
menor que o nosso peso na Terra. Mas a massa seria a mesma em
todos estes lugares. O peso depende de uma força! E esta força é a
147
Física Básica
força gravitacional que nos atrai para este planeta. A força peso
corresponde à massa do corpo multiplicado pela aceleração da gravidade, algo em torno de 10 m/s2.
ATIVIDADES
I. Um ônibus de cerca de 3500 kg de massa é acelerado de 0 a 30
m/s em 10 segundos. Qual é o valor desta aceleração e qual é a
força necessária para alcançá-la?
II. Uma bola com massa igual a 3kg sofre uma aceleração dada por:
Determine a força resultante sobre esta bola,
assim como a magnitude dela.
Considere a figura abaixo:
O corpo mostrado está apoiado em um plano inclinado (θ=30º).
A altura do plano é de 20 metros, e a massa do corpo é de 35 kg.
Levando em consideração que apenas a componente do peso, paralela ao plano inclinado, contribui para a sua aceleração, determine a
velocidade com que o corpo chega ao final do plano. Qual é o valor
da força resultante neste bloco?
Um elétron tem massa de repouso igual a 9,11 x 10-31 kg. Partindo de uma velocidade inicial de 3.00 x 105 m/s, tem sua velocidade aumentada para 7.00 x 105 m/s em uma distância de apenas 5 cm. Assumindo que a aceleração sofrida seja constante, calcule a força necessária para provocar esta aceleração. O peso do
elétron é relevante?
148
Primeira e segunda Lei de Newton
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
Aula
8
I. Para resolver esse problema, teremos que assumir que a
aceleração é constante. Se este é o caso, então o seu cálculo é
muito simples:
E a força aplicada é obtida com a simples aplicação da segunda lei.
II. Esse problema difere do primeiro apenas no que diz respeito
ao caráter vetorial da aceleração. Não sabemos se a bola está
em repouso e também não sabemos se ela se moverá sobre um
plano. Não sabemos nem mesmo quais são as direções x e y.
Na realidade, isto não importa. Vamos apenas utilizar a álgebra
vetorial para resolver o problema:
E, para a sua magnitude:
III. Este problema já apresenta uma pequena complexidade,
mas apenas em sua formulação. Poderíamos resolvê-lo
vetorialmente ou somente através das componentes. Vamos
trabalhar com as componentes. Primeiramente, notemos que
a aceleração da gravidade faz um ângulo teta com uma linha
perpendicular à face do plano inclinado. Sendo assim,
podemos determinar facilmente qual é a componente
paralela à face:
Se sabemos que o corpo parte do repouso e não tem atrito
com a superfície, então podemos simplificar este problema
para o caso de um movimento uniformemente variado, onde
tudo se passa na superfície do plano. Usamos então a
equação de Torricelli:
149
Física Básica
onde Ds indica a distância percorrida. Sendo a altura do plano
igual a 20 metros, temos:
Substituindo, então, na equação anterior, obtemos:
O valor da força resultante é trivial: F=ma=35X5= 175 N
(que corresponde exatamente à metade do peso do corpo)
IV. Esse problema é muito interessante para a comparação da
magnitude de forças totalmente desproporcionais. Vejamos a
força necessária para provocar tal aceleração. Para determinar
a aceleração só precisaremos utilizar a equação de Torricelli
(mantendo as unidades no SI):
Quatro trilhões de metros por segundo ao quadrado! Isto é
uma aceleração estupenda, mas qual é a força necessária para
consegui-la?
Podemos ver que a força necessária é muito pequena. Mas,
pequena em relação a quê? Vamos compará-la com seu peso:
Este último resultado nos informou que a força necessária para
acelerar o elétron é 12 ordens de magnitude maior que o peso
do elétron. Podemos, portanto, ignorar totalmente a força
gravitacional neste cálculo.
150
Primeira e segunda Lei de Newton
CONCLUSÃO
O estudo das causas das alterações do estado de movimento
dos corpos pertence à dinâmica. A primeira lei de Newton pode
ser utilizada para definir a massa de um objeto. Enquanto o senso comum nos indica que massa é o mesmo que quantidade de
matéria, a abordagem newtoniana nos fornece uma definição
muito mais precisa e elegante para a massa: é a quantidade de
oposição imposta a uma força externa. A segunda lei de Newton
nos permitiu relacionar a dinâmica com a cinemática quando
relacionou a força aplicada a um corpo com a aceleração resultante sobre ele, mediada pela inércia do mesmo. Através destas
duas leis, é possível descrever o movimento de qualquer objeto
se soubermos o seu estado de movimento original e as forças
aplicadas sobre o mesmo. Naturalmente, esta descrição não é
simples na maioria dos sistemas reais, mas, para pequenos modelos, é possível a sua solução.
Aula
8
RESUMO
Nesta aula estudamos a primeira e segunda Lei de Newton.
A massa é descrita como inércia de um corpo, e a relação entre
uma força aplicada sobre um corpo e a respectiva aceleração
podem ser equacionadas utilizando a massa como elemento
mediador. Fazemos um breve histórico das idéias de força através dos tempos e oferecemos alguns problemas resolvidos para
a fixação do conteúdo.
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, estudaremos a terceira e última lei de Newton.
O conceito de ação e reação será abordado em profundidade propiciando ferramentas para o estudo posterior da estática dos corpos.
REFERÊNCIAS
GIANCOLI, Douglas C. Physics for Scientists and Engineers.
3ed. New Jersey: Editora Prentice Hall, 2000.
151
Física Básica
YOUNG, Hugh D. & FREEDMAN, Roger A. Física I- Mecânica.
10ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003. Tradução: Adir Moysés Luiz.
KELLER, Frederick J.; GETTYS, Edward & SKOVE, Malcolm
J. Física. São Paulo: Makron Books, 1997. Trad. Alfredo Alves
de Farias. Vol. 1.
RESNOCK, Robert; HALLIDAY, David & KRANE, Kennneth S.
Física 1. 5ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2003. Trad. Pedro M. C. L.
Pacheco, Marcelo A. Savi, Leydervan S. Xavier, Fernando R. Silva.
152
Aula
TERCEIRA LEI DE NEWTON
9
META
Conceituar a força peso; e
apresentar a terceira Lei de Newton.
OBJETIVOS
Ao final desta aula o aluno deverá:
distinguir a massa dos objetos de seus pesos;
calcular o peso de objetos em diferentes cenários; e
utilizar a 3ª Lei de Newton para resolver problemas simples de dinâmica vetorial.
PRÉ-REQUISITOS
Conhecimento sobre álgebra, trigonometria, primeira e segunda leis de Newton e vetores.
(Fonte: http://cepa.if.usp.br).
Física Básica
INTRODUÇÃO
Bem vindos à penúltima aula deste primeiro módulo. Hoje apresentamos a terceira e última lei de Newton, conhecida como a lei
da ação e reação. Sua formulação esclarece a necessidade de, pelo
menos, dois corpos para que haja uma força: não existe uma força
aplicada apenas a um corpo. O exemplo mais cabal desta afirmação
pode ser detectado no movimento de planetas. O movimento da
Lua, por exemplo, quando observado em um referencial inercial
fora do sistema solar corresponde a uma composição de dois movimentos (muitos na realidade, mas principalmente dois): o de
translação em torno da Terra e o de translação em torno do Sol.
Trata-se de um movimento quase circular, o que exige uma força,
que claramente só existe porque existem mais corpos para interagir
(gravitacionalmente) com a Lua.
De acordo com esta lei, quando aplicamos uma força a um corpo (ação), o corpo aplica uma força de igual intensidade, mas em
sentido oposto sobre nós (reação). Estudaremos como diferenciar
a segunda da terceira lei que, muitas vezes, são confundidas na
resolução de exercícios. Grande parte desta aula será utilizada para
a resolução de problemas de dinâmica e estática.
154
Terceira lei de Newton
A terceira Lei de Newton é, de certo modo, mais interessante
que suas antecessoras, pois introduz um conceito muito importante: a necessidade da existência de dois corpos para que exista uma
força. Parece muito simples, e de fato é, mas precisa ser discutida
em detalhe para que toda a idéia seja adequadamente compreendida. Vamos então enunciá-la:
Aula
9
Se dois corpos interagem, a força
exercida pelo corpo
1 no corpo 2 é igual em magnitude e tem direção oposta à
força
exercida pelo corpo 2 sobre o corpo1.
Vamos relembrar agora as outras leis de Newton:
1. Todo corpo permanece em estado de repouso ou em movimento
retilíneo uniforme se nenhuma força resultante atuar sobre ele;
2. A variação do estado de movimento de um corpo é proporcional
à força aplicada sobre ele, e o fator de proporcionalidade é a sua
massa, ou sua inércia.
As duas primeiras leis explicam como uma força externa pode
alterar o estado de movimento de um corpo. A terceira se refere a dois
corpos. Observando a equação que colocamos acima, notamos que
cada força mostra dois índices: 12 ou 21. A presença de dois índices indica que temos dois corpos e também indica quem aplica força em quem: o primeiro índice serve para indicar quem exerce a
força e o segundo indica quem sofre esta força. A figura abaixo
ilustra a situação.
Enquanto o corpo 1 aplica uma força F12 no corpo 2, o corpo 2
aplica uma força F21 no corpo 1. As setas aparecem indicando a
direção, o sentido e a intensidade da força. Quando um corpo exerce uma força sobre o outro, e sofre uma reação a partir do outro,
dizemos que existe uma interação entre estes corpos. Esta interação
155
Física Básica
pode ser através do contato entre estes corpos, mas também pode
ser através de corpos distantes uns dos outros. Estas duas forças
costumam ser chamadas de par ação-reação. Não se pode dizer quem
é ação e quem é reação, e isto também não é relevante. O que é
muito relevante agora é reconhecer esta lei nos problemas que apresentamos nas aulas anteriores. Veja, por exemplo, o movimento de
um projétil na figura abaixo:
A única força que aparece neste diagrama é a força da gravidade. A partir da primeira lei de Newton, sabemos que, como existe
esta força atuando sobre o corpo de massa m, o mesmo não poderá
manter uma trajetória retilínea. A partir da segunda lei de Newton,
sabemos que, devido a esta força, o corpo de massa m estará sujeito
a uma aceleração cujo módulo é dado por F/m. Mas a terceira lei de
Newton nos afirma que não existe ação sem reação. Então, onde
está a outra força? Será que ela se somará com a força gravitacional
e anulará a primeira? Afinal de contas, elas têm mesmo módulo,
mas sentidos opostos. Na terceira lei de Newton, as forças são aplicadas em corpos diferentes. Então quem é o outro corpo? A própria
Terra! Sim, a Terra.
A terceira lei de Newton nos diz que este corpo de massa m
exerce uma força sobre a Terra cujo módulo é F, o que se traduz em
uma aceleração cujo módulo é dado por F/M, onde M é a massa da
terra. Pode parecer um absurdo, mas de fato nós aceleramos a Terra. Só não sentimos nada porque nossa massa é muito pequena.
Vamos fazer um cálculo simples para saber que aceleração uma
bolinha causa sobre a Terra. Suponha que aquele corpo da figura
acima tem uma massa igual a 1 kg. Sendo a aceleração gravitacional
aproximadamente igual a 10 m/s2, a força gravitacional (ou a força
peso, ou a força que a Terra aplica no corpo) é igual a 10 N. A
reação a esta força, em sentido oposto à primeira também tem módulo
igual a 10 N. Sendo a massa da terra igual a 5,97 x 1024 kg, obtemos
que a aceleração que a Terra sofre é da ordem de 10/5,97 x 1024, ou
1,68 x10-24 m/s2. Parece muito pouco e realmente é muito pouco.
Lembre-se que este cálculo só faz sentido se o corpo se encontra
muito próximo da superfície da Terra.
156
Terceira lei de Newton
É importante se manter atento a este importantíssimo detalhe.
Quando duas forças atuam sobre o mesmo corpo e se cancelam
(com aceleração nula), o equacionamento do problema fica,
suspeitamente, parecido com o caso da terceira lei de Newton, mas
este não é o caso, pois para a terceira lei o que vale são forças em
corpos diferentes. Os problemas que trabalharemos a seguir ajudarão a trazer mais luz para este conceito, ao mesmo tempo que permitirão uma revisão das três leis de Newton.
Aula
9
ATIVIDADES
I. Imagine que você possa acelerar um corpo de 1 kg com a aceleração que a Terra sofre pela atração com o mesmo. Quanto tempo
demoraria a tirar este corpo do repouso e acelerá-lo a uma velocidade de 80 km/h?
II. Uma massa de 10 kg é colocada sobre uma balança e a mesma é
colocada dentro de um elevador. Faça um diagrama das forças presentes. Calcule a leitura da balança quando:
a. O elevador está parado;
b. O elevador está descendo a uma velocidade de 300 km/h;
c. O elevador está sendo acelerado para cima a uma taxa de 10 m/s2.
III. Um bloco de 10,0 Kg que descansa sobre uma mesa (sem atrito) é puxado por uma de suas extremidades superiores por uma
força de 40 N direcionada como indicado abaixo.
Determine a aceleração da caixa e a força normal exercida pela
mesa sobre a caixa.
IV. Uma carga de 200 kg deve ser erguida a certa altura e dispomos de uma corda e duas polias. De que maneira você poderia
minimizar o seu esforço? E qual seria esta força necessária para
levantar esta carga?
157
Física Básica
V. Uma bola de massa m1 e um bloco de massa m2 são conectados
por uma corda inextensível que passa por uma polia sem atrito e de
massa desprezível como na figura abaixo. O bloco se encontra em
um plano inclinado cuja inclinação é de q graus. Determine analiticamente o valor da aceleração e da tração aplicada sobre a corda.
Se m1 = 10 Kg e m2 = 15 Kg, qual o valor de q que manterá o
sistema em equilíbrio?
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
I. Para resolvermos esse problema, precisaremos converter
esta velocidade para unidades do sistema SI: m/s. Isto é simples:
consultando uma tabela de fatores de conversão, encontramos
que 1 km/h = 0,2778 m/s. Então, 80 km/h = 80X0,2778 m/
s = 22,224 m/s.
Agora só precisamos utilizar uma das equações horárias para
determinar o tempo:
Não é um tempo assombroso? Para melhor apreciar este
número, vamos fazer mais algumas conversões:
O universo iria derreter antes de ver esta bolinha andar... Esta
é a nossa influência sobre a Terra.
I. Vamos começar a discutir este problema com bastante
paciência para compreender todos os passos sob a luz das leis
de Newton.
158
Terceira lei de Newton
a. Vamos considerar o nosso sistema quando o elevador está
parado. Isto significa que poderíamos assumir que a balança está
em uma farmácia de nosso bairro. Façamos uma “perguntinha
inocente” para nós mesmos: se eu subir na balança, ela sairá
do lugar? Ela sairá voando? Se você for como a maioria dos
mortais, nada disto ocorrerá. A balança permanecerá parada
em seu lugar. Ela estava em repouso no chão e assim continuou.
A sua presença sobre a balança não faz com que ela seja
acelerada, e isto quer dizer que a força resultante na balança é
igual a zero. Isto quem nos informou foi a primeira lei de
Newton... Dê agora uma boa olhada na figura abaixo.
Aula
9
O bloco de 10 Kg também se encontra parado. A aceleração
do bloco deve ser nula, uma vez que ele não está saindo do
repouso. Podemos então utilizar a segunda lei de Newton para
calcular quem são F1 e F2.
Como a aceleração é nula,
A
força
F2
é
simplesmente a força peso:
. Lembre-se que
é
simplesmente um versor indicando que a direção é vertical, e
o sentido, para cima. Como existe um sinal negativo, a força é
para baixo. A força que balança aplica sobre o corpo é conhecida
como força normal. A força normal então só pode ter o valor
159
Física Básica
de
. Estas foram então as forças que atuaram sobre
o bloco de 10 Kg. Não utilizamos ainda a terceira lei. A terceira
lei nos informa sobre a fonte destas forças. Estas forças não
podem existir apenas; elas precisam de seu par ação-reação. E
quem são eles? Para começar, podemos lembrar que o bloco
está aplicando uma força sobre a Terra tão intensa quanto
aquela que a Terra está aplicando sobre ele: a força peso. Esta
reação, no entanto, não é de modo algum a força F1. Esta força
de reação está sendo aplicada sobre o centro da Terra. As forças
utilizadas na segunda lei de Newton sempre atuam no mesmo
corpo. Então quem é F1? Esta é a força que a balança exerce
sobre o bloco para mantê-lo parado! É uma força de um corpo
sobre outro. E aqui cabe a mesma pergunta: e quem é a reação
a esta força aplicada pela balança? Simples, é a força aplicada
pelo bloco sobre a balança, fazendo com que ela aponte uma
massa de 10 Kg.
a. Neste segundo caso nós temos um elevador descendo à
velocidade espantosa de 300 Km/h. Para resolver este
problema precisamos passar pela primeira lei de Newton
novamente. Ele está acelerado? Se a velocidade é constante,
então não está acelerado. Se ele não está acelerado, então se
encontra em um referencial inercial, que pode ser trocado por
outro referencial inercial. Falando mais claramente: se estamos
olhando para a frente do edifício onde este elevador panorâmico
está se movendo, nós vemos um elevador descendo
alucinadamente rápido. Mas, o que diria uma pessoa que acabou
de acordar dentro deste elevador e que não pode ver nada à
sua volta? Ele não saberia dizer se está andando ou se está
parado. Isto corresponde a colocar o referencial dentro do
elevador. Então estas duas situações são idênticas: parado ou
se movendo a uma velocidade constante. Então esta segunda
parte do problema já está resolvida pois é idêntica à primeira.
b. Esta última parte nos traz finalmente alguma emoção.
Agora nosso sistema não está em repouso. A nossa segunda lei
de Newton já pode ser usada para conhecer as forças que estão
atuando sobre o bloco. Elas podem utilizar os mesmos índices
que estão sendo usados na figura original.
Vamos agora analisar o movimento: todo ele ocorre na vertical.
Então, podemos transformar este problema vetorial em um
160
Terceira lei de Newton
problema de uma dimensão, desde que tomemos cuidado com
os sinais. O enunciado do problema nos diz que o elevador
está sendo acelerado para cima, portanto, o sinal de a é positivo.
Já vimos também que a força F-2 é a força peso do bloco. Esta
força não depende do estado de movimento do bloco, esteja
ele parado ou acelerado. Seu valor depende apenas de sua massa
e tem o valor já calculado de 98,0 N. O que nós já podemos
saber é que a força Normal F1- não é igual à força peso. Vamos
então obter o seu valor:
Aula
9
Como já discutimos, esta força é aquela aplicada pela balança
no bloco para mantê-lo sobre a sua superfície (lembre-se ele
não sai voando). Então, a esta ação, obtemos uma reação, que
é a força que o bloco exerce sobre a balança. Já não é
simplesmente a força peso. É uma força aplicada para baixo
com uma intensidade de 198 N. Como a balança está calibrada
para dividir a força a que ela é sujeita por 9,8 para dar uma
leitura da massa, tudo que temos que fazer é efetuar esta
divisão:
. A massa aparente, m’, que
corresponde à leitura da balança, é aproximadamente 20 Kg.
Este problema nos traz um novo desafio que é o tratamento
das leis de Newton em duas dimensões. Começaremos fazendo
um diagrama das forças que atuam na caixa:
Como já vimos anteriormente, a força peso só depende da
massa da aceleração da gravidade. O seu valor é facilmente
calculado, multiplicando um pelo outro para obter um valor
161
Física Básica
igual a 98N. A força aplicada externamente sobre o corpo é
dividida entre a normal aplicada pela mesa e aquela exercida
pela pessoa que a está puxando. Esta última tem seu valor
conhecido, mas a outra não. Para responder às perguntas deste
problema, precisaremos utilizar as leis de Newton. A segunda
lei será utilizada agora. Para isto, precisaremos utilizar a
linguagem vetorial. Vamos estabelecer um sistema de
coordenadas cartesiano que nos ajudará a visualizar as
componentes destas forças.
Agora apliquemos a segunda lei de Newton:
Todas as forças estão aqui equacionadas e o problema parece
difícil, mas não é. O problema se torna muito mais fácil se
dividirmos em componentes:
Componente X:
Componente Y:
Estamos, agora, com um problema mais fácil de resolver. Na
componente X , temos uma conta trivial que nos diz que
. Na segunda equação, precisamos tomar um certo
cuidado. A força peso é maior ou menor que a componente
162
Terceira lei de Newton
vertical da força aplicada pela pessoa que puxa a caixa? Esta
última é simplesmente
, ou seja, é menor que
o peso. Sendo assim, a caixa não perderá contato com a mesa o
que equivale a dizer que a aceleração vertical ay é igual a zero.
A força nor mal pode ser facilmente calculada agora:
. Lembre-se de que esta força
normal é igual e oposta à força que a caixa aplica sobre a mesa.
Ela não é a força peso apenas: é a força peso menos parte da
força exercida pela pessoa que puxa.
I. Existem infinitas maneiras de trabalhar com esta corda e
estas polias, mas vamos nos concentrar em três configurações
básicas que serão suficientes para ilustrar o problema. Considere
a figura abaixo:
Aula
9
Nós estamos assumindo que a corda não é elástica. Sendo
assim, podemos afirmar que a força aplicada em uma ponta da
corda é igual àquela aplicada à sua outra ponta. Chamaremos
esta força de Tração. Consideremos, então, a carga na primeira
das configurações. A força peso é sempre a mesma e é dada
pela massa multiplicada pela aceleração da gravidade. Vamos,
agora, arredondar a aceleração da gravidade para 10 m/s2. Sendo
assim, a força peso é sempre 2000 N. Se a carga está sendo
suspensa a uma velocidade constante, sua aceleração é zero, o
que indica que a força resultante sobre ela é nula. Se isto é
verdade, então a tração é igual ao peso, ou 2000 N. Como na
outra ponta da corda, temos uma pessoa equilibrando a tração
ao aplicar uma força F, seu valor deve ser 2000 N. Esta polia
163
Física Básica
não ajudou muito. Se puxássemos diretamente esta carga, daria
no mesmo. Apesar de ser um sistema simples, faremos um
diagrama de forças para que facilite a visualização.
A tração é, então, igual ao peso e igual à força aplicada. No segundo
caso, utilizamos duas polias, mas o resultado não é bom. A força
peso ainda é a mesma, 2000 N. A tração continua a mesma e,
mudando a posição da pessoa, não ajuda em nada, pois a força
que ele precisa usar para puxar a carga continua a mesma.
No terceiro caso, temos uma novidade que vale a pena apreciar
utilizando novamente o diagrama de força:
Ao prender uma das extremidades da corda no suporte de
levantamento, foi possível dividir o esforço por dois! Veja como:
o peso continua o mesmo, 2000 N, mas a segunda lei de Newton
aplicada sobre a carga (com aceleração zero) nos diz que
O esforço foi, assim, dividido entre a pessoa, e o suporte e seu
esforço caiu à metade. Por isso, é tão interessante o uso de
polias para lidar com grandes massas.
I. Uma resolução analítica é aquela onde não usaremos
números, teremos apenas as equações que serão posteriormente
utilizadas para obter resultados numéricos. Aqui novamente
precisaremos utilizar as três leis de Newton para resolver o
problema. A primeira observação que temos a fazer é em relação
164
Terceira lei de Newton
ao equilíbrio do sistema: a bola está caindo e puxando o bloco;
ou o bloco está escorregando e puxando a bola? Na verdade,
isto depende de θ, mas podemos assumir qualquer uma das
duas possibilidades uma vez que o resultado será o mesmo.
Vamos ,então, assumir que a bola está caindo acelerada.
Precisamos agora desenhar o diagrama de forças em cada um
dos corpos. Comecemos pela bola:
Aula
9
Como todos os vetores estão na direção y, podemos aplicar a
segunda lei de Newton diretamente.
Note que a tração aponta para cima, enquanto a gravidade e a
aceleração apontam para baixo, e é esta a razão de usarmos
estes sinais.
Para o bloco, precisamos
de um novo diagrama de
forças. Poderíamos
utilizar o mesmo sistema
cartesiano, mas isto não
é necessário. Vamos
colocar um novo
sistema
cartesiano
inclinado em relação ao
primeiro. Pode parecer
uma complicação a
mais, mas o desenho
abaixo irá facilitar a
visualização.
165
Física Básica
Esta pequena mudança de orientação dos eixos cartesianos e a
divisão da força-peso em suas componentes facilitaram todo o
nosso trabalho. Veja que a força peso aparece duas vezes no gráfico.
Ela aparece em sua direção real e também aparece em suas
componentes. Para aplicar a segunda lei de Newton, necessitamos
apenas das componentes. No problema anterior, escrevemos a
equação vetorial e depois utilizamos as suas componentes.
Agora já podemos ir diretamente para as componentes:
Componente X:
Componente Y:
Podemos agora inserir na equação da componente X a expressão
de T obtida no diagrama da bola:
E, simplificando esta equação, obtemos o valor da aceleração
em função das massas e do ângulo de inclinação:
Para obter a tração, só precisamos agora substituir este valor
de aceleração na primeira das equações:
Simplificando esta equação obtemos:
As fórmulas podem parecer um pouco assustadoras, mas são
apenas isto, fórmulas. Podemos fazer agora o cálculo numérico
pedido, onde m1 = 10 Kg e m2 = 15 Kg e a aceleração é zero.
Simplesmente substituímos os valores na equação da aceleração
para obter a resposta.
A resposta, portanto, é um ângulo de aproximadamente 41º.
166
Terceira lei de Newton
Aula
CONCLUSÃO
9
Vimos, então, que a terceira lei de Newton, em seu aspecto
filosófico, é uma ferramenta para a resolução de alguns problemas,
inclusive os problemas clássicos que são propostos na maioria dos
livros de Física para o curso superior.
RESUMO
A utilização criteriosa das três equações de Newton é suficiente
para a resolução de uma série de problemas simples de mecânica
vetorial. A terceira destas leis tem uma particular importância no que
tange à interpretação física das interações. Com ou sem contato, nunca existe uma única força. A toda ação existe uma reação. O ponto
mais importante desta lei é o entendimento de que estas forças sempre atuam em corpos diferentes. A utilização da segunda lei de Newton
em um corpo onde a aceleração é nula propicia um sistema de equações que é semelhante à ação e reação, mas o espírito desta lei é o de
que ela se aplica a um único corpo sujeito a várias forças.
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, passaremos ao estudo dos sistemas
dissipativos onde as forças de atrito precisam ser consideradas. A
partir destes conceitos e considerações, serão desenvolvidos novos
elementos de estudo, principalmente a velocidade terminal dos corpos que estão sujeitos ao atrito.
REFERÊNCIAS
GIANCOLI, Douglas C. Physics for Scientists and Engineers.
3ed. New Jersey: Editora Prentice Hall, 2000.
YOUNG, Hugh D. & FREEDMAN, Roger A. Física I- Mecânica.
10ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003. Tradução: Adir Moysés Luiz.
KELLER, Frederick J.; GETTYS, Edward & SKOVE, Malcolm
J. Física. São Paulo: Makron Books, 1997. Trad. Alfredo Alves
de Farias. Vol. 1.
RESNOCK, Robert; HALLIDAY, David & KRANE, Kennneth S.
Física 1. 5ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2003. Trad. Pedro M. C. L.
Pacheco, Marcelo A. Savi, Leydervan S. Xavier, Fernando R. Silva.
167
Aula
VELOCIDADE TERMINAL
10
META
Estender as Leis de Newton a sistemas dissipativos; e
introduzir o conceito de velocidade terminal
OBJETIVOS
Ao final desta aula o aluno deverá:
calcular a força de atrito resultante do contato entre duas superfícies reais;
escrever as equações de movimento na presença de forças de atrito; e
calcular a velocidade terminal de corpos acelerados e sujeitos a forças dissipativas
PRÉ-REQUISITOS
Conhecimento sobre álgebra, trigonometria, leis de Newton e vetores.
Experimento com viscosímetro de Stokes. Para medir a viscosidade de um líquido, uma
esfera é lançada no topo do viscosímetro e desce com velocidade terminal (a seta indica
a posição instantânea da esfera). A velocidade da esfera é medida e obtém-se a viscosidade. (Fonte: http://img144.imageshack.us).
Física Básica
INTRODUÇÃO
Bem vindos à última aula do primeiro módulo. Estenderemos,
aqui, as leis de Newton e nossos estudos de cinemática vetorial
para sistemas dissipativos – aqueles que perdem energia por enfrentar oposição ao movimento. A primeira parte da aula trata da
força de atrito que existe entre duas superfícies reais. Será
estabelecida a distinção entre a força de atrito estática, que impede
o movimento, e a força de atrito dinâmica, que retarda o movimento. Alguns exemplos já trabalhados em outras aulas serão revisitados,
adicionados à força de atrito. O movimento dos corpos será estudado de maneira mais realista ao introduzir o conceito de força de
arrasto. O problema da queda livre, que é sempre estudado nos
cursos secundários, será aprimorado ao adicionarmos a força de
arrasto que limita a velocidade que um corpo pode adquirir. Veremos que, em ambientes densos, a viscosidade é responsável por um
importante parâmetro conhecido como velocidade terminal. Mencionaremos brevemente também o conceito de limite e equações
diferenciais, permitindo a você um vislumbre de ferramentas matemáticas mais poderosas que estarão à sua disposição.
(Fonte: http://www.cepa.if.usp.br).
170
Velocidade terminal
Hoje nos aproximaremos da realidade física. Até nossa última
aula trabalhamos quase exclusivamente com sistemas idealizados,
ou seja, irreais. A principal falha nestes exemplos era a falta de uma
força presente em praticamente tudo: a força de atrito. Nossas equações de movimento não levam em consideração a força de atrito.
Imagine que dois blocos idênticos são colocados, um sobre uma
superfície de gelo, e outro sobre o asfalto. Uma força igual é aplicada durante algum tempo nos dois corpos e depois pára. A aceleração dos dois corpos será a mesma? Segundo as leis de Newton,
como as vimos até agora, sim. Se a aceleração é a mesma, então o
movimento destes dois corpos deveria seguir a mesma equação
horária:
.
Agora pense um pouco a respeito da seguinte cena: imagine
que num lago congelado ao lado de uma estrada, dois blocos estão parados na superfície e duas crianças empurram os dois blocos. Eles realmente se moverão da mesma maneira? Com certeza
não. A diferença se encontra, pelo menos formalmente, na força
de atrito. Vamos então tentar compreender que coisa misteriosa é
esta força de atrito.
A força de atrito existe sempre entre, pelo menos, duas superfícies em contato. À primeira vista, pode parecer que duas superfícies são lisas, mas quando olhamos com a ajuda de um microscópio,
a situação fica diferente. O desenho abaixo ilustra esta situação:
Aula
10
A superfície real é cheia de incrustações que funcionam como
verdadeiros obstáculos ao movimento. Em alguns pontos da
interface, a proximidade entre as duas superfícies é tão grande que
se formam “micro-soldas”. Estas micro-soldas são as principais responsáveis pela dificuldade que temos para arrastar um objeto. Olhando a figura anterior, perceberemos que estes pontos de contato são
relativamente poucos. A maior parte da superfície superior nem está
em contato com a superfície inferior. Na realidade, a área “real” de
contato é muitas vezes menor que a área geométrica da interface.
O atrito então depende da quantidade destes pontos de contato.
171
Física Básica
Vamos aprofundar um pouco mais este conceito. Se colocarmos
dois blocos de madeira sobre o asfalto, o atrito será o mesmo? Podemos imaginar que o asfalto e a madeira são relativamente homogêneos e, portanto, duas fotografias microscópicas das duas interfaces serão
muito parecidas. Isto significa que o número de micro-soldas será aproximadamente igual. E, de fato, os atritos serão muito parecidos. O que
acontecerá, no entanto, se alguém se sentar sobre um dos blocos? Esta
massa colocada sobre o bloco causará uma deformação na interface.
O material que for mais mole, a madeira ou o concreto, irá sofrer deformações se aumentar o número de micro-soldas, e conseqüentemente,
o atrito. À primeira vista, poderíamos concluir, então, que a força de
atrito depende do peso do bloco, mas isto não é verdade. A força
peso é sempre direcionada para o centro da Terra e o atrito nem
sempre aparece entre superfícies horizontais. Veja a figura abaixo:
Uma das pernas da mesa quebrou e o pacote agora está inclinado. Houve alguma alteração na força peso do pacote? Evidentemente não. E a força de atrito, mudou? Com certeza! Se tentarmos empurrar o pacote
para baixo será mais fácil
quando comparado com a
mesa intacta. Por outro
lado, se tentarmos empurrar para cima, nós teremos
maior dificuldade em comparação com a mesa horizontal. Mas se a força peso
não mudou e muito menos
a qualidade dos materiais,
o que mudou então? Foi a
força normal! A reação da
mesa ao peso do bloco. O
diagrama abaixo mostra
todas estas forças.
172
Velocidade terminal
Pelo diagrama e pela segunda lei de Newton, já sabemos que a
força normal é:
. Isto nos mostra que quanto mais inclinada a mesa, menor a força normal. Como sabemos intuitivamente
que quanto mais inclinado, menor o atrito para o pacote escorregar,
podemos concluir que a força de atrito de fato depende da força normal. Resta uma questão: se a força de atrito é proporcional (e vamos
assumir linear) à força normal, qual é o fator de proporcionalidade?
Podemos dizer que este fator depende dos materiais dos corpos, do
polimento dos corpos, da presença de lubrificantes ou sujeira, etc. E,
de fato, é assim, mas é praticamente impossível fazer um modelo de
interação e calcular este fator de proporcionalidade. Este fator é obtido experimentalmente para os mais variados pares de superfície e tabelado. Este fator se chama “coeficiente de atrito” e é representado
pela letra grega m. Podemos, então, formular esta relação:
Aula
10
FN é a força normal. Como as duas forças, a de atrito e a normal,
têm as mesmas dimensões, o coeficiente de atrito é um número puro,
ou adimensional. Poderíamos já fornecer uma tabela com estes coeficientes, mas é necessário que a estudemos um pouco mais.
Imagine que sobre uma mesa horizontal se encontra uma caixa
de sapatos de 10 Kg. Esta caixa tem um peso igual a 98 N e, por estar
em uma mesa horizontal, a reação normal é também 98 N. Enquanto
esta mesa estiver na horizontal, a força normal não mudará: será sempre 98 N. E qual é a força de atrito? Nós já conhecemos a fórmula,
vamos dizer que m=0,5. Qual é a força de atrito? Pela fórmula, a
força de atrito seria simplesmente:
.
Perfeito, temos o módulo da força de atrito. Em qual direção e sentido ela aponta? Se esta direção e sentido tiverem uma componente
horizontal, então a caixa irá se mover! Isto está correto?
Não. A força de atrito só existe em oposição ao movimento. Se
tentarmos arrastar esta caixa, aparecerá uma força de atrito. Esta
força de atrito se opõe ao movimento, mas ainda não sabemos qual
o seu valor. Veja a figura abaixo:
173
Física Básica
Nós podemos ver duas forças: uma externa e uma de atrito.
Vamos supor que esta caixa seja aquela de 10 kg e que seu coeficiente de atrito seja igual a 0,5. Sendo assim, a nossa equação nos diz
que a força de atrito vale 49 N. Se Fext =10 N, o que acontece? A
força de atrito é maior que a força externa, e como elas não se
cancelam existe uma força resultante. Se há uma força resultante e
a caixa está em repouso, então ela começará a se mover, conforme
esperado quando se conhece a primeira lei de Newton. A caixa realmente vai se mover contrariamente à força externa? Não, de modo
algum! Mas se ela não se move, ou seja, não muda o seu estado de
movimento, então a força resultante na caixa precisa ser zero. Já
vimos que a força peso está contrabalanceada pela força normal da
mesa sobre a caixa. Sendo assim, podemos assumir que a força de
atrito é igual à força externa! Mas podemos nos perguntar: e aquela
equação, não é verdadeira? Sim, mas apenas no limite.
A equação que descreve a força de atrito só nos diz qual é o
limite que o atrito pode chegar para se opor ao movimento. Se a
força externa for maior que 98 N, a força de atrito não será suficiente para anulá-la, e a caixa se moverá. Então podemos concluir
que a força de atrito é sempre igual à força externa até o limite
dado por
. Passado este limite, a força de atrito não
cresce mais e se torna constante.
Esta força de atrito que discutimos até agora, que varia com a
força externa, só é válida quando o corpo está em repouso em relação
à outra superfície. Por esse motivo, é conhecida como força de atrito
estática. Lembre-se de que grande parte dessa força é proveniente daquelas micro-soldas que existem no nível molecular. Quando a força
externa é suficiente para romper estas micro-soldas, a caixa começa a
se mover e, sem estas micro-soldas, o coeficiente de atrito diminui!
Isto significa que existe uma grande dificuldade para colocar um corpo em movimento quando ele está parado. Precisamos aumentar
gradativamente a força até conseguir romper estas micro-soldas e
começar a mover o corpo. Depois
disso fica mais fácil mover o corpo. O coeficiente de atrito então
pode ter dois valores. Como a força normal não muda, esteja o corpo em repouso ou em movimento,
então a única maneira de explicar
esta diminuição da força de atrito
é através de uma diminuição do coeficiente de atrito. Será ilustrativo
estudar o gráfico ao lado.
174
Velocidade terminal
Veja que a força de atrito cresce enquanto a força externa cresce. Ao chegar ao limite de 98 N ocorre o rompimento das microsoldas, e a força de atrito diminui até um valor constante. Esta
segunda força de atrito só existe quando o corpo está em movimento e, por isso, é chamada de dinâmica. Correspondentemente, o seu
coeficiente de atrito é chamado de dinâmico.
Podemos agora mostrar uma pequena tabela onde os valores
dos coeficientes de atrito estático e dinâmico estão mostrados para
vários pares de materiais. Lembre-se de que estes valores são experimentais e dependem, fundamentalmente, das condições em que
foram medidos.
Aula
10
Com estes dados, já podemos resolver alguns exercícios para
melhor compreender estas forças de atrito.
ATIVIDADES
I. Um bloco de madeira cuja massa é igual a 10 kg é puxado por
uma de suas extremidades superiores sobre uma superfície de metal. A força aplicada a esta extremidade tem módulo igual a 40 N e
faz um ângulo de 30º em relação à horizontal. Determine a aceleração resultante quando m=0,3 e escreva a equação horária deste
bloco.
II. Um bloco encontra-se em repouso sobre um plano inclinado que
faz um ângulo q com a horizontal. Podendo-se variar este ângulo, é
possível determinar qual é o ângulo crítico que corresponde à máxima força de atrito estática antes do início do movimento. Obtenha este ângulo.
175
Física Básica
Um bloco de massa 10 kg se encontra em repouso sobre um plano
inclinado que faz um ângulo de 37º com a horizontal, como na
figura abaixo.
O coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano é 0,4
e o bloco está ligado a uma bola cuja massa é m1. Determine qual
é o mínimo valor de m1 para não deixar o bloco deslizar para baixo
e também qual é o máximo valor de m1 que não arrasta o bloco
para cima.
COMENTÁRIOS SOBRE AS ATIVIDADES
Um diagrama das forças existentes neste problema irá ajudar a
resolvê-lo. Considere a figura abaixo:
176
Velocidade terminal
A aplicação da forma vetorial da segunda lei de Newton
permitirá a solução:
Aula
10
Comecemos com a componente y:
Obtida a força normal, podemos resolver a componente x:
Sendo esta a aceleração horizontal do bloco, podemos
facilmente
escrever
as
equações
horárias:
A solução deste problema só é possível com um
equacionamento correto do problema. Precisamos, portanto,
de um diagrama de forças como o mostrado abaixo:
Note que a força peso aparece como o vetor original e também
dividido entre suas componentes. Para equacionar o problema,
não podemos contar esta força duas vezes. Vamos neste
problema assumir um sistema cartesiano de coordenadas cujo
eixo x é paralelo ao plano inclinado apontando para baixo e
cujo eixo y é perpendicular a este e apontando para cima.
Procedendo deste modo chegamos a duas equações baseadas
na segunda lei de Newton sabendo que a aceleração é nula:
177
Física Básica
Se substituirmos a primeira na segunda, obtemos:
Além de muito simples, este método é utilizado experimentalmente
para a determinação do coeficiente de atrito estático.
I. A presença da bola na ponta daquela corda pode dar a
impressão de que o problema é mais complicado do que realmente
é. Um bom truque para simplificar a nossa vida é lembrar que,
se os corpos estão parados, então a força peso que atua sobre a
bola é igual à tração nas duas pontas da corda, ou seja,
Imediatamente, concluímos que
. Uma vez obtida esta
informação, podemos passar para a análise do bloco sem a
presença da bola, apenas com mais uma força. No enunciado do
problema, foram propostas duas situações, sendo que na primeira
delas queremos determinar qual o valor mínimo de m1 para que
o bloco não escorregue para baixo. Nesta situação, a força de
atrito aponta para cima, e o diagrama de forças é dado por:
178
Velocidade terminal
O equacionamento destas forças é simples como em todos os
outros casos:
Componente X:
Aula
10
Componente Y:
Podemos substituir a segunda equação na primeira, pois a força
de atrito depende da força normal:
Agora podemos substituir os valores dados no problema para
calcular m1.
Este é, então, o valor mínimo para a bola pendurada. Se a
massa dela for menor que 2,8kg, o bloco escorregará e ela
será puxada para cima.
No segundo caso, onde queremos conhecer o limite superior
da massa da bola antes que ela comece a arrastar o bloco para
cima, o diagrama de forças é ligeiramente diferente, pois a força
de atrito aparecerá na direção contrária:
179
Física Básica
O equacionamento naturalmente também é diferente:
Componente X:
Componente Y:
E, fazendo a mesma substituição do caso anterior, obtemos:
E, utilizando os valores propostos (já retirando g da equação):
Concluímos, assim, que se a massa da bola for maior que 9,2kg,
ela arrastará o bloco para cima.
VELOCIDADE TERMINAL
A força de atrito que acabamos de estudar não é a única que
limita o movimento dos corpos. Uma segunda classe de forças é
conhecida como Forças de Arrasto. Estas forças aparecem em corpos que se movem dentro de ambientes com alguma viscosidade.
Você já sentiu esta força de arrasto enquanto corria em um parque,
mas provavelmente já percebeu que esta força é muito mais intensa
dentro de uma piscina. Agitar os seus braços dentro ou fora da água
causa uma grande diferença. A diferença aqui aparece por causa da
diferente viscosidade destes dois meios, ar e água. Se houvesse uma
piscina cheia de mel, o seu movimento dentro dela seria ainda mais
difícil, devido à maior viscosidade do mel. Vemos, então, que a
força de arrasto depende da viscosidade do meio.
Quando vemos alguns jovens correndo com suas motocicletas,
notamos que os mais rápidos se encolhem todos sobre suas máquinas. Este recurso é utilizado para diminuir a área que está enfrentando o vento. De fato, este é um dos truques utilizados pelos pilotos de motocicletas em corridas: nas retas, onde a velocidade deve
ser a máxima possível eles ficam deitados sobre as motos e, quando
vão fazer uma curva, endireitam o corpo para ajudar a diminuir a
velocidade. Isto indica que a área do corpo que está se movendo
também é importante na força de arrasto.
180
Velocidade terminal
Em contraste com a força de atrito, a massa não se relaciona
com a força de arrasto e foi experimentalmente verificado que a
força de arrasto depende da velocidade do corpo. Modelar como é
esta relação entre força e velocidade não é trivial. A relação nem
precisa ser linear, ou seja, a força pode variar com o quadrado e o
cubo da velocidade (e até mesmo com outras potências). Estes termos não lineares podem ter uma grande influência nesta relação,
mas, por simplicidade, trabalharemos apenas com a parte linear desta
relação: a força de arrasto depende da velocidade . O fator
de proporcionalidade, que corresponderia ao coeficiente de atrito
no caso anterior, pode ser chamado de coeficiente de arrasto e depende de muitos fatores, não apenas dos materiais. Uma pedra de
formato irregular, por exemplo, se estiver caindo em queda livre e
girando em torno de algum eixo que passe pelo seu centro, terá, a
cada segundo, uma área diferente. Esta diferença aparece porque a
área que conta neste caso é a área da pedra que está perpendicular
ao movimento. A figura abaixo ilustra a situação.
Aula
10
Podemos ver então que este coeficiente não pode ser facilmente tabelado, e o seu estudo é o objeto da aerodinâmica. Como não
podemos resolver este problema, vamos ignorá-lo e tratar apenas
dos problemas onde já conhecemos este coeficiente. Vamos chamálo de k para poder obter uma equação. É bom notar que nesta equação aparecerá o sinal negativo, pois a força de arrasto é sempre na
direção oposta à velocidade:
181
Física Básica
Com esta equação já podemos trabalhar com a segunda lei
de Newton para estudar o movimento de queda dos copos sob a
ação da gravidade, mas com arrasto. O diagrama de forças abaixo ilustra a situação.
A partir deste diagrama, podemos então escrever:
Vemos, então, que nesta equação aparece a velocidade e a derivada da velocidade em relação ao tempo. Este tipo de equação é
conhecido como equação diferencial, e a sua resolução, apesar de
simples, não faz parte do programa deste curso. Apresentamos então a solução diretamente:
No caso da queda livre (sem arrasto), a velocidade aumentava
linearmente com o tempo, pois a equação horária é:
Esta equação nos diz que a velocidade aumenta continuamente, sem limite. A equação que leva em consideração o arrasto,
por sua vez, impõe um limite. Na figura abaixo, podemos ver, na
linha tracejada, como a velocidade se comporta em queda livre e,
na pontilhada, o que acontece quando a força de arrasto é levada
em consideração.
182
Velocidade terminal
Aula
10
Podemos ver que existe um limite para a velocidade a ser
alcançada. Para determinar as situações limites, ou seja, quando o
corpo iniciou a sua queda e quando muito tempo se passou, utilizamos um elemento de cálculo diferencial conhecido como limite,
que é o cálculo diferencial básico, mas que não faz parte de sua
formação. Vejamos como isto funciona:
Se substituirmos este valor na equação da velocidade, obteremos (para os instantes iniciais do movimento):
Mas, esta seria exatamente a velocidade se não houvesse força
de arrasto. Isto nos indica que a força de arrasto realmente cresce
com a velocidade, sendo praticamente nula quando o tempo é próximo de zero. Podemos também nos perguntar o que acontece quando muito tempo se passou.
O que nos dá a seguinte expressão para a velocidade:
Aqui já introduzimos o índice t que indica tratar-se de velocidade terminal. Este é um valor fixo e de grande importância em
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Física Básica
várias situações. Se você resolvesse saltar de pára-quedas de uma
altura de 1000 metros e ele não abrisse, você chegaria ao solo com
uma velocidade de aproximadamente 500 km/h e o estrago seria
muito grande. Graças à força de arrasto do ar, a sua velocidade
diminuiria para algo em torno de 200 km/h. Se você sentiu algum
alívio, não deveria, pois o estrago ainda vai ser muito grande...
ATIVIDADES
I. Se uma gota de 1,5 mm de raio tem uma velocidade terminal de 7 m/
s, calcule o valor de k, sabendo que a densidade da água é 1g/cm3.
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
I. A única dificuldade com esta questão se encontra nas
unidades utilizadas. Uma vez convertidas para o SI, fica muito
fácil a sua solução.
Raio 1,5 mm = 0,0015 m;
Volume = 4/3pr3 = 0,000000014 m3;
Densidade = 1g/cm3 = 1000 kg/m3;
Massa = Volume X densidade = 0,000014 kg
Agora usamos a equação da velocidade terminal:
Este resultado nos indica que o coeficiente de arrasto, em
contraste com o coeficiente de atrito, não é uma grandeza
adimensional. Ele tem a mesma dimensão do momento linear
(massa multiplicada pela velocidade).
CONCLUSÃO
A força peso é sempre direcionada para o centro da Terra e o atrito
nem sempre aparece entre superfícies horizontais. A equação que descreve a força de atrito só nos diz qual é o limite que o atrito pode
chegar para se opor ao movimento. Em contraste com a força de atrito,
a massa não se relaciona com a força de arrasto e foi experimentalmente verificado que a força de arrasto depende da velocidade do corpo.
184
Velocidade terminal
RESUMO
O movimento dos corpos, como foi estudado nas primeiras
aulas, precisava impor duas restrições: não existe atrito e não existe
resistência do ar. Estas restrições permitiram o estudo cabal e
simplificado da cinemática, mas nos afastaram da realidade. Nesta aula, resgatamos a realidade para os nossos cálculos ao considerar a força de atrito e a força de arrasto ao movimento dos corpos. Pudemos ver que o comportamento real de um corpo em
queda livre na atmosfera é bem diferente daquele observado no
vácuo. Enquanto no vácuo a velocidade cresce ilimitadamente,
na atmosfera qualquer objeto tem a velocidade limitada pelo arrasto até um valor limite conhecido como velocidade terminal.
Vimos que esta força é de muita importância na aerodinâmica,
mas que o seu modelamento é muito difícil devido à grande quantidade de variáveis envolvidas.
Aula
10
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, estudaremos o equilíbrio de corpos extensos.
Aprenderemos a determinar o seu centro de massa e verificaremos
quais são as condições de equilíbrio estático.
REFERÊNCIAS
GIANCOLI, Douglas C. Physics for Scientists and Engineers.
3ed. New Jersey: Editora Prentice Hall, 2000.
YOUNG, Hugh D. & FREEDMAN, Roger A. Física I- Mecânica.
10ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003. Tradução: Adir Moysés Luiz.
KELLER, Frederick J.; GETTYS, Edward & SKOVE, Malcolm
J. Física. São Paulo: Makron Books, 1997. Trad. Alfredo Alves
de Farias. Vol. 1.
RESNICK, Robert; HALLIDAY, David & KRANE, Kennneth S. Física 1. 5ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2003. Trad. Pedro M. C. L.
Pacheco, Marcelo A. Savi, Leydervan S. Xavier, Fernando R. Silva.
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