Teorias sobre a luz - Centro de Estudos Espaço

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
1
Introdução e Conceitos Básicos
A óptica é um ramo da Física que estuda a
luz
ou,
mais
amplamente,
a
radiação
electromagnética, visível ou não. A óptica explica os
fenômenos de reflexão, refracção e difracção, a
interação entre a luz e o meio, entre outras coisas.
Geralmente a disciplina estuda fenómenos
envolvendo a luz visível, infravermelha, e
ultravioleta; entretanto, uma vez que a luz é uma
onda
eletromagnética,
fenômenos
análogos
acontecem com os raios X, microondas, ondas de
rádio, e outras formas de radiação electromagnética.
A óptica, nesse caso, pode se enquadrar como
uma subdisciplina do eletromagnetismo. Algums
fenômenos ópticos dependem da natureza da luz e,
nesse caso, a óptica se relaciona com a mecânica
quântica.
Segundo o modelo para a luz utilizada,
distingue-se entre os seguintes ramos, por ordem
crescente de precisão (cada ramo utiliza um modelo
simplificado do empregado pela seguinte):
 Óptica geométrica: Trata a luz como um
conjunto de raios que cumprem o princípio de
Fermat. O Princípio de Fermat é um princípio
fundamental da óptica geométrica e diz que o
caminho seguido por um raio luminoso de um ponto
A para um ponto B é tal que o tempo decorrido entre
a partida de A e a chegada a B é estacionário para
pequenas variações do caminho.
 Utiliza-se no estudo da transmissão da luz
por meios homogêneos (lentes, espelhos), a reflexão
e a refração.
 Óptica ondulatória: Considera a luz como
uma onda plana, tendo em conta sua freqüência e
longitude de onda. Utiliza-se para o estudo da
difração e interferência.
 Óptica eletromagnética: Considera a luz
como uma onda eletromagnética, explicando assim a
reflexão e transmissão, e os fenômenos de
polarização e anisotrópicos.
 Óptica quântica ou óptica física: Estudo
quântico
da
interação
entre
as
ondas
eletromagnéticas e a matéria, no que a dualidade
onda-corpúsculo joga um papel crucial.
 Teoria ondulatória da luz
O físico francês Jean Bernard Léon
Foucault, no século XIX, descobriu que a luz se
deslocava mais rápido no ar do que na água. O
efeito contrariava a teoria corpuscular de
Newton, esta afirmava que a luz deveria ter uma
velocidade maior na água do que no ar.
James Clerk Maxwell, ainda no século
XIX, provou que a velocidade de propagação de
uma onda eletromagnética no espaço, equivalia
à velocidade de propagação da luz de
aproximadamente 300.000 km/s.
Foi de Maxwell a afirmação:
 A luz é uma "modalidade de energia
radiante" que se "propaga" através de ondas
eletromagnéticas.
Teoria da dualidade onda partícula
No final do século XIX, a teoria que
afirmava que a natureza da luz era puramente
uma onda eletromagnética, (ou seja, a luz tinha
um comportamento apenas ondulatório),
começou a ser questionada.
Ao se tentar teorizar a emissão fotoelétrica,
ou a emissão de elétrons quando um condutor
tem sobre si a incidência de luz, a teoria
ondulatória simplesmente não conseguia
explicar o fenômeno, pois entrava em franca
contradição.
Foi Albert Einstein, usando a idéia de Max
Planck, que conseguiu demonstrar que um feixe
de luz são pequenos pacotes de energia e estes
são os fótons, logo, assim foi explicado o
fenômeno da emissão fotoelétrica.
A confirmação da descoberta de Einstein se
deu no ano de 1911, quando Arthur Compton
demonstrou que "quando um fóton colide com
um elétron, ambos comportam-se como corpos
materiais."
 Comprimentos de onda da luz visível
A luz visível é a parte do espectro com
comprimentos de onda entre cerca de 400
nanómetros (abreviando nm) e 800 nm (no ar).
A luz pode também ser caracterizada pela sua
frequência.
Figura 1 - Espectro eletromagnético
Teorias sobre a luz
 Primeiras idéias dos gregos
No século I a.C. Lucrécio, dando
continuidade às ideias dos primeiros atomistas,
escreveu que a luz e o calor do Sol eram compostos
de pequenas partículas.
 Teoria corpuscular da luz
O físico inglês Isaac Newton, em 1672,
defendeu uma teoria onde se considerava a luz como
um feixe de partículas que eram emitidas por uma
fonte, e que estas atingiam o olho, e assim
estimulavam a visão. A este modelo, se deu o nome
de modelo corpuscular da luz.
 A velocidade da luz
De acordo com a moderna física teórica,
toda radiação eletromagnética, incluindo a luz
visivel, se propaga no vácuo numa velocidade
constante, comumente chamada de velocidade
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da luz, que é uma constante da Física, representada
por c. No vácuo: c   f
 Alterações na velocidade da luz
Toda luz propaga-se a uma velocidade finita.
Até mesmo observadores em movimento
medem sempre o mesmo valor de c, para a
velocidade da luz no vácuo, com c = 299.792.458
metros por segundo (186.282,397 milhas por
segundo); contudo, quando a luz atravessa alguma
substância transparente tal com o ar, água ou vidro,
sofre refracção e sua velocidade é reduzida. Assim
sendo, n=1 no vácuo e n>1 na matéria.
 Medição da luz
As seguintes quantidades e unidades são
utilizadas para medir luz.
 brilho, medida em watts/cm2
 iluminância ou iluminação (Unidade SI:
lux)
 fluxo luminoso (Unidade SI: lumen)
 intensidade luminosa (Unidade SI: candela)
Ondas, Raio e frente de Onda
Uma onda em física é uma perturbação
oscilante de alguma grandeza física no espaço e
periódica no tempo. A oscilação espacial é
caracterizada pelo comprimento de onda e a
periodicidade no tempo é medida pela freqüência da
onda, que é o inverso do seu período. Estas duas
grandezas estão relacionadas pela velocidade de
propagação da onda.
Fisicamente uma onda é um pulso
energético que se propaga através do espaço ou
através de um meio (líquido, sólido ou gasoso).
Segundo alguns estudiosos e até agora observado,
nada impede que uma onda magnética se propague
no vácuo ou através da matéria, como é o caso das
ondas ondas eletromagnéticas no vácuo ou dos
neutrinos através da matéria onde as partículas do
meio oscilam à volta de um ponto médio, mas não se
deslocam.
Exceto pela radiação eletromagnética, e
provavelmente as ondas gravitacionais, que podem
se propagar através do vácuo, as ondas existem em
um meio cuja deformação é capaz de produzir forças
de restauração através das quais elas viajam e
podem transferir energia de um lugar para outro sem
que qualquer das particulas do meio seja deslocada
permanentemente como acontece num imã; isto é,
nenhuma massa transportada associada pode anular
o efeito magnético. Em lugar disso, qualquer ponto
particular oscila em volta de um ponto fixo.
Uma onda pode ser longitudinal quando a
oscilação ocorre na direcção da propagação, ou
tranversal quando a oscilação ocorre na direcção
perpendicular à direcção de propagação da onda.
Pelo princípio de Huygens (físico holandês,
1629-1695), cada ponto de uma frente de onda,
num dado instante, pode ser considerado uma fonte
de ondas secundárias, produzidas no sentido de
propagação e com a mesma velocidade do meio.
Podemos dizer que a frente de onda
anterior é considerada como um gerador de uma
nova frente de onda, ou ainda que a frente de
onda separa a região "pertubada" da região não
pertubada. Um exemplo básico é o som onde até
o instante em que as partículas de ar estão em
repouso não se ouve nada, e só no momento que
estas partículas são vibradas (uma frente de
onda empurrando e gerando uma nova frente de
onda) é que haverá a propagação do som (neste
caso haverá propagação da energia e não da
matéria). No caso das ondas eletromagnéticas,
com sua energia irradiada igualmente em todas
as direções (circular), haverá um determinado
instante onde a fase da onda irradiada começará
a se repetir em todos os pontos, começando uma
nova frente de onda
A frente de onda é o lugar geométrico
de todos os pontos adjacentes que possuem a
mesma fase de vibração de uma grandeza física
associada com a onda.
Figura 2.1 -
Figura 2.2 -
2
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3
Um raio é uma linha reta imaginária na
direção de propagação de uma onda.
São linhas retas, perpendiculares às frentes
de onda.
Reflexão e Refração

Reflexão:
Em física o fenômeno da reflexão consiste
na mudança da direção de propagação da energia, no
retorno da energia incidente em direção à região de
onde ela é oriunda, após entrar em contato com uma
superfície refletora.
A energia pode tanto estar manifestada na
forma de ondas como transmitida através de
partículas. Por isso, a reflexão é um fenômeno que
pode se dar por um caráter eletromagnético, óptico
ou sonoro.
A reflexão difere da refração porque nesta
segunda, há desvio da energia para meio diverso do
meio de onde se originou.
A reflexão pode ser explicada totalmente
com base em apenas duas leis, de cunho geral.
Para enuncia-las, é preciso antes definir alguns
conceitos.
 A normal é a semi-reta que se origina a
partir da superfície refletora, situando-se
perpendicularmente a esta
 Ângulo de incidência é o ângulo que a
direção de deslocamento da energia faz com a
normal
 Ângulo de reflexão é o ângulo que a direção
que a energia que é refletida faz com a normal
Assim, as duas leis da reflexão podem ser expressas
da seguinte maneira:
1. A direção do raio incidente, a normal e a
direção do raio emergente pertencem a um único
plano.
2. O ângulo de incidência tem valor igual ao
valor do ângulo de reflexão.
Explanação teórica
Sendo um fenômeno que encontra
exemplos em física ondulatória como na física de
corpos materiais, é natural desconfiar-se que tem
uma explicação comum aos dois tipos de
comportamento.
Historicamente, o primeiro a formular uma
explicaçao para a reflexão (especificamente, a da
luz) foi Heron de Alexandria. Utilizando-se do
princípio aristotélico que diz que a natureza nada faz
de modo mais difícil, argumentou que a luz percorre
o menor caminho entre dois pontos quaisquer.
Como a luz é obrigada a se desviar durante
o percurso, ainda assim percorre o menor caminho
entre a fonte e o alvo. A esse princípio de óptica
geométrica damos o nome de princípio de Heron.
Muito mais tarde Fermat enunciou
princípio semelhante. Porém assinalava que o
tempo era mínimo e não a distância percorrida.
Esse princípio é conhecido como princípio de
Fermat.
Ainda mais tarde, Maupertuis formulou
pela primeira vez o princípio da menor ação,
onde então surge a noção de ação. Entretanto,
dentro do ponto de vista do cálculo das
variações, melhor seria chamar esse princípio de
princípio da ação estacionária, já que na
verdade a condição é de se achar um extremante
para a funcional ação.
Mais tarde, sir Hamilton enunciou a
forma moderna do princípio variacional.
A reflexão luminosa é a base da
construção e utilização dos espelhos.
Os espelhos, tanto planos quanto os
esféricos, tem larguíssima utlização, e são a
base dos telescópios refletores, que sofrem de
menos restrições que os telescópios refratores.
Figura 3 -
3
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4
Figura 4 - Tipos de reflexão.
Figura 5 -

Refração:
 ÍNDICE DE REFRAÇÃO
Índice de refração é uma relação entre
a velocidade da luz em um determinado meio e
a velocidade da luz no vácuo (c). Em meios com
índices de refração mais baixos (próximos a 1) a
luz tem velocidade maior (ou seja, próximo a
velocidade da luz no vácuo). A relação pode ser
descrita pela fórmula:
c
n
v
Onde: c é a velocidade da luz no vácuo
(c = 3.108 m/s); v é a velocidade da luz no meio;
De modo geral, a velocidade da luz nos
meios materiais é menor que c; e assim, em
geral, teremos n > 1. Por extensão, definimos o
índice de refração do vácuo, que obviamente é
igual a 1. Portanto, sendo n o índice de refração
de um meio qualquer, temos:
n 1
A velocidade de propagação da luz no
ar depende da frequência da luz, já que o ar é
um meio material. Porém essa velocidade é
quase igual a 1 para todasas cores. Ex: índice de
refração da luz violeta no ar = 1,0002957 e
índice de refração da luz vermelha no ar =
1,0002914. Portanto, nas aplicações, desde que
não queiramos uma precisão muito grande,
adotaremos o índice de refração do ar como
aproximadamente igual a 1:
n 1
Como vimos, as cores, por ordem
crescente de freqüências, são: vermelho, laranja,
amarelo, verde, azul, anil e violeta.
A experiência mostra que, em cada
meio material, a velocidade diminui com a
frequência, isto é, quanto maior a frequência,
menor a velocidade.
vvermelho  vlaranja  vamarelo
c
, concluímos que o índice
v
de refração aumenta com a frequência. Quanto
maior a frequência, maior o índice de refração.
Em geral, quando a densidade de um
meio aumenta, seu índice de refração também
aumenta.
Como variações de temperatura e
pressão alteram a densidade, concluímos que
essas alterações também alteram o índice de
refração. No caso dos sólidos, essa alteração é
pequena, mas para os líquidos, as variações de
temperatura são importantes, e no caso dos
gases tanto as variações de temperatura como as
de pressão devem ser consideradas.
A maioria dos índices de refração é
menor que 2; uma exceção é o diamante, cujo
índice é aproximadamente 2,4. Para a luz
amarela emitida pelo sódio, sua frequência é f =
Portanto como n 
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5090.1014Hz e cujo comprimento de onda no vácuo
é λ = 589nm. Essa é a luz padrão para apresentar os
índices de refração.
Consideremos dois meios A e B, de índices de
refração nA e nB; se nA > nB, dizemos que A é mais
refringente que B.
 Continuidade Óptica
Consideremos dois meios transparentes A e
B e um feixe de luz dirigindo-se de A para B. Para
que haja feixe refletido é necessário que nA  nB .
Quando nA = nB, não há luz refletida e
também não há mudança na direção da luz ao mudar
de meio; dizemos que há continuidade óptica.
Quando temos um bastão de vidro dentro
de um recipiente contendo um líquido com o mesmo
índice de refração do vidro, a parte do bastão que
está submersa, não refletindo a luz, fica "invisível".
 Índice de refração relativo
Se o índice de refração de um meio A é nA e o índice
de um meio B é nB, definimos:
nAB: índice de refração do meio A em
relação ao meio B:
n
nAB  A
nB
nBA: índice de refração do meio B em
relação ao meio A:
n
nBA  B
nA
Sendo vA e vB as velocidades da luz nos meios A e B,
temos:
n
v
nAB  A  B
nB vA
nB vA

n A vB
LEIS DA REFRAÇÃO
nBA 

Consideremos dois meios transparentes A e
B e um feixe estreito de luz monocromática, que se
propaga inicialmente no meio A, dirigindo-se para o
meio B. Suponhamos, ainda, que uma parte da luz
consiga penetrar no meio B e que a luz tenha
velocidades diferentes no dois meios. Nesse caso,
diremos que houve Refração. O raio que apresenta
o feixe incidente é o raio incidente (i), e o raio que
apresenta o feixe refratado é o raio refratado (r).
 A primeira lei da Refração
O raio incidente, o raio refratado e a normal, no
ponto de incidência, estão contidos num mesmo
plano.
A normal é uma reta prependicular à superfície no
ponto de incidência, θA é denominado ângulo de
incidência e θB, ângulo de refração.
 A segunda lei da Refração
nA sen A  nB senB
Dessa igualdade tiramos:
sen A
 nBA
sen B
A Segunda Lei da Refração foi
descoberta esperimentalmente pelo holandês
Willebrord Snell (1591-1626) e mais tarde
deduzida por Descartes, a partir de sua teoria
corpuscular da luz. Nos Estados Unidos, ela é
chamada de Lei de Snell e na França, de Lei de
Descartes; no Brasil é costume chamá-la de Lei
de Snell-Descartes.
Inicialmente a Segunda Lei foi
apresentada na forma da equação II; no entanto,
ela e mais fácil de ser aplicada na forma da
equação I.
Observando a equação I, concluímos que, onde
o ângulo for menor, o índice de refração será
maior. Explicando melhor:
Se:
 A  B
, o mesmo ocorre com seus senos:
sen A  sen B
; logo, para manter a igualdade da equação:
nB  nA
Ou seja, o menor ângulo θB ocorre no
meio mais refringente, nB.
Pelo princípio da reversibilidade, se a
luz faz determinado percurso, ela pode fazer o
percurso inverso. Assim, se ela faz o percurso
XPY, ela pode fazer o percurso YPX. Mas,
tanto num caso como no outro, teremos:
nA sen A  nB senB
Quando a incidência for normal, não
haverá desvio e teremos  A   B  0 , e,
portanto, sen A  sen B  0 , de modo que a
Segunda Lei também é válida nesse caso, na
forma da equação I:
nB  nA
 Caso de ângulos pequenos
Na tabela seguinte, apresentamos
alguns ângulos "pequenos" expressos em graus
e radianos, com o respectivo valor do seno e da
tangente:
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Ângulo°
Ângulo rad
Seno
Tangente
0
0
0
0
2
0,035
0,035
0,035
4
0,070
0,070
0,070
6
0,105
0,104
0,105
8
0,140
0,139
0,140
10
0,174
0,174
0,176
Observando esta tabela, percebemos que, para um
ângulo θ, até aproximadamente 10° temos:
  sen  tg
quando θ está expresso em radianos. Assim, para
ângulos pequenos, a Segunda Lei da Refração pode
ser escrita:
nA A  nB B
para ângulos em radianos.
Figura 6 -
Índice de refração
ondulatórios da luz.
e
aspectos
A freqüência da onda não varia quando
ela passa de um meio para outro. O
comprimento de onda  da luz geralmente é
diferente quando a onda passa de um material a
outro. Ele é menor num material do que no
vácuo. Assim:

0
n
Quando a luz passa de um material a a
outro b de índice de refração maior, de modo
que nb > na, a velocidade da onda diminui. O
comprimento de onda no segundo material
b  0 nb no segundo material é então menor
que o comprimento de onda no primeiro
material a  0 na no primeiro material. Já
quando o segundo material possui índice de
refração inferior, de modo que nb < na, a
velocidade aumenta. Então o comprimento de
onda b no segundo material é maior do que o
comprimento de onda a no primeiro material.
Intuitivamente: quando a velocidade da onda
diminui, ela é ―comprimida‖ (o comprimento de
onda torna-se menor); quando a velocidade
aumente ela se ―dilata‖ (o comprimento de onda
torna-se menor).
 Reflexão Interna Total
Existem certas circunstâncias em que a
luz pode ser totalmente refletida de uma
interface e nenhuma luz ser transmitida, mesmo
quando o segundo material é transparente, como
mostra a figura a seguir:
Figura 8 -
Figura 7 -
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7
Os raios mostram como isso pode ocorrer; a
figura contém diversos raios que emanam de uma
fonte puntiforme dentro de um material a com
índice de refração na. Os raios incidem sobre a
superfície de outro material b com índice de refração
nb, sendo na > nb (Por exemplo, o material a é água e
o b é o ar).
De acordo com a Lei de Snell:
n
senb  a sen a
nb
na
 1  senb  sen a ; o raio é
nb
desviado e se afasta para fora da normal. Deve
portanto existir um valor de a < 90° para o qual a
Lei de Snell fornece senb  1 e b  90 .
Isto ocorre com o raio 3 indicado no
diagrama, ele emerge tangenciando a superfície,
com um ângulo de refração igual a 90°.
Assim, o ângulo crítico para reflexão
interna total é dado por:
n
sen crít  b
na
Por exemplo, na interface vidro-ar, sabendo
que o índice de refração do vidro é 1,52:
1
sencrít 
 0.658  crít  41.1
1.52
A luz que se propaga no interior será
totalmente refletida quando ela incidir na interface
vidro-ar, formando umângulo igual ou superior a
41.1°.
Como refletores, os prismas que usam a
reflexão interna total apresentam algumas vantagens
em relação a superfícies refletoras metálicas, como,
por exemplo, espelhos comuns, que possuem uma
película metálica depositada sobre o vidro. Se, por
um lado, nenhuma superfície metálica pode refletir
100% da luz que sobre ela incide, por outro lado,
umprisma pode refletir totalmente a lus queincide
sobre ele. Além disso, as qualidades refletoras de
um prisma possuem a propriedade adicional de não
perderem o brilho, com o envelhecimento.
Um prisma com ângulos 45°-45°-90°,
como indicado na figura é denominado prisma
de Porro. No prisma, a luz entra e sai, formando
um ângulo de 90° com a hipotenusa, sendo
totalmente refletida nas faces menores. O
ângulo de desvio total entre o raio incidente e o
raio emergente é 180°. Os binóculos geralmente
usam uma associação com dois prismas de
Porro, como indicado na figura.
(b)
Como
Figura 9 -
7
Quando um fexe de luz penetra a
extremidade de uma barra transparente, como
mostra a figura acima, a luz pode sofrer reflexão
interna total se o índice de refração da barra for
maior que o índice de refração do material
existente em seu exterior. O raio de luz fica
confinado no interior da barra, mesmo quando a
barra é curva, desde que a curvatura não seja
muito acentuada. Essa barra muitas vezes é
chamada de tubo de luz. Feixes de fibra de vidro
ou fibras de plásticos podem se comportar de
modo semelhante, com a vantagem de serem
flexíveis. Tal feixe pode ser constituído por
milhares de fibras individuais, cada uma com
diâmetros da ordem de 0.002 a 0.01 mm.
Quando as fibras são agrupadas em um feixe, de
tal modo que uma das extremidades possua a
mesma geometria da outra, formando imagens
especulares,
o
feixe
pode
transmitir
umaimagem, como mostra a figura 10:
Figura 10 -
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
8
Dispositivos feitos com fibras óticas são
largamente aplicados na medicina, em instrumentos
chamados de endoscópios, que podem ser
introduzidos em tubos no organismo e são usados
para examinar diretamente os brônquios, a bexiga, o
cólon e outros órgãos. Um feixe de fibras pode ser
encerrado em uma agulha hipodérmica para estudar
tecidos e vasos sanguíneos muito afastados da pele.
As fibras óticas também são aplicadas em
sistemas de comunicação, nos quais ela pode ser
usada para transmititr um feixe de laser modulado.
A taxa com a qual a informação pode ser usada para
transmitir uma onda (de luz, de rádio ou qualquer
outro tipo) é proporcional à freqüência. Para
entender qualitativamente a razão disso, imagine que
você module, ou seja, modifique a onda cortando
algumas cristas de onda. Suponha que a crista
representa dígitos binários, sendo que a crista
cortada represente o 0 e a crista não modificada o
algarismo 1. O número de algarismos binários que
podemos transmitir por unidade de tempo é
proporcional à freqüência da onda. A luz
infravermelha e a luz visível possuem freqüências
muito maiores que a das ondas de rádio, de modo
que um feixe de laser modulado pode transmitir uma
quantidade muito grande de informações através de
um único cabo de fibras óticas.
Outra vantagem dos sistemas que usam
cabos de fibras óticas é que eles são isoladamente
elétricos, não sofrem interferências produzidas por
relâmpagos e outras fontes, e não permitem que
correntes indesejadas surjam entre a fonte e o
receptor. Elas são muito seguras e dificilmene
apresentam falhas, mas também implicam
dificuldades para montagem e para fazer junções.
Em 1952, o físico Narinder Singh Kapany,
com base nos estudos efetuados pelo físico inglês
John Tyndall de que a luz poderia descrever um
trajetória curva dentro de um material (no
experimento de Tyndall esse material era água),
pode concluir suas experiências que o levaram à
invenção da fibra óptica. A fibra óptica é um
excelente meio de transmissão utilizado em sistemas
que exigem alta largura de banda, tais como: o
sistema telefônico, videoconferência, redes locais
(LANs), etc. Como mencionamos, há basicamente
duas vantagens das fibras ópticas em relação aos
cabos metálicos: A fibra óptica é totalmente imune a
interferências eletromagnéticas, o que significa que
os dados não serão corrompidos durante a
transmissão. Outra vantagem é que a fibra óptica
não conduz corrente elétrica, logo não haverá
problemas com eletricidade, como problemas de
diferença de potencial elétrico ou problemas com
raios. O princípio fundamental que rege o
funcionamento das fibras ópticas é o fenômeno
físico denominado reflexão total da luz. Para que
haja a reflexão total a luz deve sair de um meio mais
para um meio menos refringente, e o ângulo de
incidência deve ser igual ou maior do que o
ângulo limite (também chamado ângulo de
Brewster)
As fibras ópticas são constituídas
basicamente de materiais dielétricos (isolantes)
que, como já dissemos, permitem total
imunidade a interferências eletromagnética;
uma região cilíndrica composta de uma região
central, denominada núcleo, por onde passa a
luz; e uma região periférica denominada casca
que envolve o núcleo. O índice de refração do
material que compõe o núcleo é maior do que o
índice de refração do material que compõe a
casca.
 Núcleo: O núcleo é um fino filamento de
vidro ou plástico, medido em micra (1 mm =
0,000001m), por onde passa a luz. Quanto
maior o diâmetro do núcleo mais luz ele pode
conduzir.
 Casca: Camada que reveste o núcleo. Por
possuir índice de refração menor que o núcleo
ela impede que a luz seja refratada, permitindo
assim que a luz chegue ao dispositivo receptor.
 Capa: Camada de plástico que envolve o
núcleo e a casca, protegendo-os contra choques
mecânicos e excesso de curvatura.
 Fibras de resistência mecânica: São
fibras que ajudam a proteger o núcleo contra
impactos e tensões excessivas durante a
instalação. Geralmente são feitas de um material
chamado kevlar, o mesmo utilizado em coletes a
prova de bala.
 Revestimento externo: É uma capa que
recobre o cabo de fibra óptica.
Existem duas categorias de fibras ópticas:
Multimodais e Monomodais. Essas categorias
definem a forma como a luz se propaga no
interior do núcleo.
 Multimodais: As fibras multimodais
possuem o diâmetro do núcleo maior do que as
fibras monomodais, de modo que a luz tenha
vários modos de propagação, ou seja, a luz
percorre o interior da fibra óptica por diversos
caminhos. As dimensões são 62,5 mm para o
núcleo e 125 mm para a casca. Dependendo da
variação de índice de refração entre o núcleo e a
casca, as fibras multimodais podem ser
classificadas em : Índice Gradual e Índice
Degrau.
 Monomodais: As fibras monomodais são
adequadas para aplicações que envolvam
grandes
distâncias,
embora
requeiram
conectores de maior precisão e dispositivos de
alto custo. Nas fibras monomodais, a luz possui
apenas um modo de propagação, ou seja, a luz
percorre interior do núcleo por apenas um
caminho. As dimensões do núcleo variam entre
8 mm a 10 mm, e a casca em torno de 125 mm.
As fibras monomodais também se diferenciam
pela variação do índice de refração do núcleo
8
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
9
em relação à casca; classificam-se em Índice Degrau
Standard, Dispersão Deslocada (Dispersion Shifed)
ou Non-Zero Dispersion.
Obs: As fibras ópticas transmitem luz com um
comprimento de onda invisível ao olho humano.
Portanto, nunca devemos olhar diretamente para
uma fibra óptica enquanto ela estiver transmitindo,
pois corremos o sério risco de ficarmos cego.
Figura 12 -
Figura 11 - Fibras óticas
9
(a) Estrutura
(b) Fribra óptica monomodal.
(c) Fibra óptica multimodal
 Dispersão
A luz branca comum é uma superposição
de cores cujos comprimentos de onda abrangem
todo o espectro visível. A velocidade da luz no
vácuo é a mesma para todos os comprimentos de
onda, porém, no interior de um material, ela varia
com o comprimento de onda Portanto, o índice de
refração de um material depende do comprimento de
onda. A dispersão indica como a velocidade da onda
e o índice de refração dependem de seu
comprimento de onda.
A figura a seguir ilustra como varia o
índice de refração n() para alguns materiais
comumente usados em ótica.
Para quase todos os materiais, n aumenta
quando o comprimento de onda  diminui, ou a
freqüência f aumenta. Para esses materiais, a luz
que possui o comprimento de onda maior se
desloca com velocidade superior àquela que
possui comprimento de onda menor.
A figura a seguir mostra um feixe de
luz branca incidindo em um prisma. O desvio
produzido pelo prisma aumenta com o aumento
do índice de refração e da freqüência e com a
diminuição do comprimento de onda. A luz
violeta sofre o maior desvio e a luz vermelha é a
que se desvia menos. As demais cores sofrem o
desvio entre esses extremos.
Quando a luz emerge do prisma, ela se
espalha e as cores são separadas.
Figura 13 - Dispersão luminosa da luz.
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
10
dispersão e de duas reflexões que ocorrem na
parte interna posterior da gotícula. Ambos os
arco-íris, o arco-íris primário e o arco-íris
secundário, podem ser vistos na figura a seguir.
índice n

Figura 14 Índice np
N1
i1

N2
r2
2
i2
1
10
r1

O raio luminoso sofre duas refrações: a
primeira ao entrar na interface entre o meio e o
prisma:
seni1 n  senr1 np
seni1

sen r1
np
n
E sofre um primeiro desvio angular 1; e a
segunda refração:
seni2 n p  senr2 n
sen r2
np

seni2
n
Comparando as expressões:
seni1

 r2  i1    i2   r1
seni2
sen r1
sen r2
Ao passar do prisma para o meio, sofrendo
outro desvio angular 2.
Aplicando a geometria, temos:
  1   2
   r  i
2
2
i  r  1  1  i  r
1
2
1
2
 r  i   2   2   r   i
2
2
2
2
  i   r   r   i
1
2
2
2
  i  r  (i  r )
1
2
2
2
  i   r  
  2  
1
2
Ao apreciar a beleza do arco-íris, você está
vendo efeitos combinados de refração e reflexão. O
Sol está atrás do observador e a luz se refrata para o
interior de uma gotícula de água: a seguir ela é
(parcialmente) refletida na parte interna posterior da
gotícula de água e finalmente refratada, saindo da
gotícula. A dispersão faz a separação das cores
como resultado da refração que ocorre em ângulos
diferentes para as diversas cores. Quando você vê
um segundo arco íris, está vendo o resultado da
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
11
Polarização
(B)
A polarização é uma característica de todas
as ondas eletromagnéticas. Essa seção descreve
a luz, contudo, deve-se lembrar que a luz é um
tipo de onda transversal, formada por campos
elétrico e magnético, perpendiculares entre si e
dependentes do tempo, que podem estar em
algum dos eixos x,y ou z.
Sempre definimos como direção de
polarização de uma onda eletromagnética como
a direção do campo elétrico E e não a direção
do campo magnético, pois quase todos os
detetores de ondas eletromagnéticas funcionam
sob a ação da força elétrica sobre os elétrons do
material e não pela ação da força magnética.
11
Figura 15 - (A) Esquema de onda
eletromgnética.
Nesse caso, os campos elétricos e
magnéticos são dados por:

E ( x, t )  Emax sen t  kx  ˆj

B( x, t )  B sen t  kx  kˆ
max
Nesse caso, a luz é polarizada na
direção y.
Filtros Polarizadores
As ondas produzidas por uma emissora
de rádio são em geral linearmente polarizadas.
A antena vertical de um telefone celular emite
ondas contida num plano horizontal em torno da
antena e que são polarizadas em uma direção
vertical (paralela à antena). Se uma antena de
TV no telhado de uma casa possui um elemento
horizontal ela capta ondas polarizadas na
horizontal, se o elemento na antena estiver na
direção vertical, ela detecta as ondas polarizadas
verticalmente.
Para a luz, a situação é diferente. As
fontes
comuns,
como
as
lâmpadas
incandescentes ou fluorescentes, emitem luz que
não é polarizada. As ―antenas‖ que são ondas
luminosas são as moléculas que constituem as
fontes de luz. A luz emitida por uma única
molécula, pode ser linearmente polarizada como
a onda emitida por uma antena de rádio.
Contudo, qualquer fonte de luz que
tenha um número extremamente grande de
moléculas com orientações caóticas, de modo
que a luz emitida possui ondas polarizadas
aleatoriamente em todas as direções transversais
possíveis. Essa luz é chamada de luz natural ou
luz não polarizada. Para produzir um feixe de
luz polarizada a partir de um feixe de luz natural
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
12
é necessário um filtro análogo ao filtro indicado na
figura a seguir.
Figura 16 –
(a)
12
(b)
(c)
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
13
Os filtros usados para polarizar ondas
eletromagnéticas possuem difrentes detalhes de
construção, que dependem do comprimento de onda.
Para microondas, que possuem comprimentos de
onda da ordem de alguns centímetros, um bom filtro
polarizador é uma grade de fios condutores
próximos e paralelos, isolados entre si e igualmente
espaçados (imagine uma grelha de churrasqueira
com a moldura de ferro externa substituída por uma
outra de material isolante.) Os elétrons podem se
mover livremente ao longo dos fios em resposta a
uma onda com um campo elétrico E paralelo aos
fios. A corrente resultante que percorre os fios
dissipa calor com uma taxa Ri2; a energia dissipada é
oriunda das ondas, de modo que as ondas que
atravessam a grade de fios paralelos possuam
amplitudes menores do que as amplitudes das ondas
incidentes. As ondas com um campo elétrico E
perpendicular aos fios atravessam a rede
praticamente sem nenhuma alteracão, visto que os
elétrons não podem mover-se através do ar entre os
fios. Portanto, um feixe de ondas que passa através
desse tipo de filtro emerge polarizado
perpendicularmente ao plano dos fios. No caso da
luz, o filtro polarizador mais comum é conhecido
como polaróide – nome derivado de uma marca
registrada Poloroid -, largamente utilizada em óculos
de sol e como filtros polarizadores em câmeras
fotograficas. Desenvolvido inicialmente pelo
cientista americano Edwin H Land, esse material
possui uma propriedade chamada de dicroísmo,
uma absorção seletiva na qual um dos componentes
de onda é absorvido muito mais acentuadamente do
que o outro. Um filtro polaróide transmite mais de
80% da intensidade da luz polarizada em uma
direção paralela a um certo eixo do material,
chamado de eixo polarizador, porém transmite
menos de 1% quando a luz é polarizada em um eixo
perpendicular a esse eixo. Em um tipo comum de
filtro polaróide, existem longas cadeias de moléculas
em seu interior orientadas em uma direção paralela
ao comprimento dessa moléculas desenhando um
papel análogo ao da grade de fios condutores que
funcionam como filtro de microondas.
Um filtro polarizador ideal, chamado
simplesmente de polarizador, deixa passar 100% da
luz polarizada que incide sobre ele quando a luz é
linearmente polarizada na mesma direção do eixo do
polarizador e bloqueia completamente a luz
linearmente polarizada na mesma direção do eixo
polarizador e bloqueia completamente a luz
linearmente polarizada na direção perpendicular a
esse eixo. Tal dispositivo é uma idealização
inatingível, porém é um conceito útil para esclarecer
idéias básicas. Nas discussões a seguir vamos
assumir que todo polarizador seja ideal. Na figura
anterio (c), uma luz não polarizada incide sobre um
disco polarizador. O eixo do polarizador é indicado
pela linha inclinada mostrada na figura. O valor de
E do feixe incidente pode ser decomposto em
componentes paralelos e perpendiculares ao
eixo de polarização; somente os componentes
de E paralelos ao eixo do polarizador são
transmitidos. Portanto, a luz que emerge do
polarizador é linearmente polarizada na direção
paralela ao do eixo do polarizador.
Quando um feixe de luz não polarizada
incide sobre um polarizador ideal, como
indicado na figura 16 (b), a intensidade da luz
transmitida é exatamente igual a um meio da
intensidade da luz não-polarizada incidente,
qualquer que seja a direção do eixo polarizador.
A explicação é a seguinte: podemos decompor o
campo E em um componente paralelo e outro
perpendicular ao eixo do polarizado. Como a
luz incidente possui estados de polarização
aleatórios, podemos dizer que, na média, os dois
componentes são iguais. Como o polarizador
ideal transmite apenas o componente paralelo ao
seu eixo, podemos concluir que somentemetade
da intensidade incidente é transmitida.
Quando a luz linearmente polarizada
que emerge de um polarizador incide sobre um
segundo polarizador, como indicado na figura
16 (b), considerando um caso geral, em que o
eixo do segundo polarizador, ou analisador, faz
um ângulo  com o eixo de polarização do
primeiro polarizador, podemos decompor a luz
polarizada transmitida pelo primeiro polarizador
em duas componentes, um paralela e uma
perpendicular ao eixo do analisador.
Somente o componente paralelo, com
amplitude Ecos, será transmitido pelo
analisador. A intensidade do feixe transmitido,
será máxima, quando =00 e será 0 quando
=900, ou seja,o eixo do polarizador está
cruzado com do analisador. Para determinar a
direção da polarização da luz transmitida pelo
primeiro polarizador, giramos o analisador até
que a fotocélula mostrada indique intensidade
igual a 0; nessa posição o eixo do primeiro
polarizador é perpendicular ao eixo do
analisador. Para determinar a intensidade
transmitida para valores intermediários do
ângulo , esta é proporcional ao quadrado da
amplitude de onda. A razão entre a amplitude da
onda transmitida e a amplitude da onda
incidente é igual a cos; portanto a razão entre
suas intendidades é cos2. Logo, a inensidade da
luz que emerge do analisador é dada pela Lei de
Malus:, descoberta experimentalmente em 1809
e vale somente quandoo feixe de luz que incide
sobre o analisador já está linearmente
polarizado:
I  I max cos2 
Imax: intensidade máxima da luz
transmitida.
I: intensidade transmitida para um dado
ângulo .
13
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
14
Polarização com reflexão
A luz não polarizada pode ser polarizada
parcial ou totalmente, por meio da reflexão. Na
figura a seguir, um feixe de luz não polarizada
incide na superfície de separação entre dois
materiais transparentes: denomina-se plano de
incidência o plano que contém o raio incidente, o
raio refletido e anormal à superfície.
Figura 17 –
Contudo, para determinado ângulo de
incidência, denominado ângulo de polarização p, os
componentes de E paralelos ao plano de incidência
são totalmente refratados.
Para esse mesmo ângulo de incidência, os
componentes de E perpendiculares ao plano de
incidência
são
parcialmente
refletidos
e
parcialmente refratados. A luz refletida é, portanto,
totalmente polarizada em um plano perpendicular ao
plano de incidência, como indicado.
A luz refratada é parcialmente polarizada
em um plano paralelo a esse plano, logo a luz
refratada é composta pela mistura da luz com o
campo elétrico paralelo ao plano de incidência,
cujos componentes são totalmente refratados,
superpostos com os componentes perpendiculares
restantes.
E 1812, o cientista inglês Sir david
Brewster descobriu que, quando o ângulo de
incidência é igual ao ângulo de polarização p, o raio
refletido é perpendicular ao raio refratado. Nesse
caso, o ângulo de refração b torna-se igual ao
complemento de p:
b  900   p
De acordo com a lei da refração:
na sen p  nb senb
na sen p  nb sen  90   p   nb cos  p
tg p 
nb
na
(Lei de Brewster para o ângulo de polarização)
A polarização por reflexão possibilita o
uso de eficiente de filtros polarizadores em
óculos de sol. Quando a luz solar é refletida por
uma supefície horizontal, o plano de incidência
é vertical e a luz refletida contém
preponderantemente luz polarizada na direção
horizontal. Quando a reflexão ocorre na
superfície lisa do asfalto de uma estrada ou na
superfície de um lago, ela produz um
ofuscamento indesejável. A visão pode ser
melhorada se o excesso de luz reponsável pelo
ofuscamento for eliminado. O fabricante de
óculos produz lentes com eixo de polarização na
direção vertical, de modo que a maior parte da
luz refletida com polarização horizontal não
atinja seus olhos. Além disso, os óculos também
reduzem em cerca de 50% a intensidade global
da luz não polarizada que incide sobre suas
lentes.
Figura 18 – (a)
(b)
Luz circularmente polarizada e
elipticamente polarizada.
Além da luz linearmente polarizada, a
luz e outras ondas eletromagnéticas podem ser
circularmente polarizadas ou elipticamente
polarizadas. Para introduzir esses conceitos,
vamos retornar mais uma vez aos estudos das
ondas mecânicas em uma corda esticada.
Quando duas ondas linearmente polarizadas
estão em fase e possuem, mesma amplitude e se
superpõe, como mostra a figura a seguir, cada
ponto da corda deve possuir simultaneamente os
deslocamentos y e z iguais em módulo. A onda
14
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
15
resultante está contida em um plano que forma um
ângulo de 450 com os planos xy e xz.
A amplitude da onda resultante é
2
vezes maior do que a amplitude de cada onda
componente, e a onda resultante é linearmente
polarizada.
Figura 19 –
Mas vamos supor agora que as duas ondas
mencionadas possuam uma diferença de fase de ¼
de ciclo. Então o movimento resultante de cada
ponto corresponde a uma superposição de dois
movimentos harmônicos simples ortogonais, com
uma diferença de fase de ¼ de ciclo. O
deslocamento y de um dado ponto é máximo quando
o deslocamento z é igual a zero e vice versa. O
movimento resultante da corda não está mais
contido em um único plano. Podemos mostrar que
cada ponto descreve uma circunferência contida em
um plano paralelo ao plano yz. Os pontos sucessivos
da corda contém diferença de fase consecutivas e o
movimento resultante assemelha-se a um
movimento helicoidal. Isso é mostrado no lado
esquerdo do polarizador indicado da figura 15. Esse
tipo particular de superposição de duas ondas
linearmente polarizadas denomina-se polarização
circular. Por convenção dizemos que a luz é
circularmente polarizada direita ou destrógira
quando o sentido do movimento de uma partícula da
corda, para um observador que olhe a onda se
aproximar frontalmente é horário: a luz é
circularmente polarizada esquerda ou levógira se o
sentido do movimento é contrário, ou seja, antihorário.
Na figura acima, mostra-se a situação
análoga para o caso de uma onda eletromagnética.
Ocorrem a superposiçao de duas ondas senoidais de
amplitudes iguais, polarizadas ao longo dos eixos y e
z e com uma diferença de fase de ¼ de ciclo. Na
onda resultante, o vetor E em cada ponto possui
módulo constante, porém gira em torno da direção
de propagação da onda. A figura ilustra o caso de
uma onda circularmente polarizada destrógira, pois
quando a onda se aproxima de você o vetor E gira
para a direita.
Quando a diferença de fase entre as
ondas componentes é diferente de um quarto de
ciclo, ou quando as duas ondas componentes
possuem amplitudes diferentes, então cada
ponto da corda, em vez de descrever uma
circunferência, passa a escrever uma elipse. A
onda resultante é chamada de elipticamente
polarizada.
Para as ondas eletromagnéticas na faixa
de radiofreqüência, a polarização circular o
elíptica pode ser produzida usando-se duas
antenas perpendiculares, alimentadas pelo
mesmo transmissor, porém com circuitos
projetados para se produzir diferenças de fase
apropriadas. No caso da luz, a diferença de fase
necessária para ser obtida usando-se um
material com birrefringência, ou seja, aquele
que possui dois índices de refração para ondas
polarizadas em planos perpendiculares entre si.
Um exemplo comum é a calcita (CaCO3).
Quando um cristal de calcita está orientado
convenientemente em relação a um feixe de luz,
não-polarizada, seu índice de refração para um
comprimento de onda de 589 nm é igual a 1.658
para uma onda polarizada em certa direção e
igual a 1.486 para uma onda polarizada em uma
direção perpendicular à primeira. Quando duas
ondas com amplitudes iguais e polarizadas em
planos perpendiculares entre si penetram nesse
material, elas se propagam no interior desse
material com velocidades diferentes. . Quando
elas estão em fase ao penetrar no material, então
geralmente não estão em fase quando dele
emergem. Quando o material possui uma
espessura apropriada suficiente para produzir
uma diferença de um quarto de ciclo, o cristal
converte luz linearmente polarizada em luz
circularmente polarizada. Esse tipo de cristal é
chamado de lâmina de um quarto de onda ou
placa de um quarto de onda. Essa placa também
pode converter luz circularmente polarizada em
luz linearmente polarizada. Você é capaz de
demonstrar essa afirmação?
 Fotoelasticidade
Alguns materiais que normalmente não
exibem birrefringência podem se tornar birrefringentes quando submetidos a tensões
mecânicas. Essa c a base de uma ciência denominada fotoelasticidade. Tensões em vigas, nas
paredes de caldeiras e nos pilares de uma
catedral podem ser analisadas construindo-se
um modelo transparente do objeto, geralmente
de um material plástico, submetendo o objeto a
tensões e analisando-o com luz polarizada entre
um polarizador cruzado com um analisador.
Distribuições
de
tensões
extremamente
complicadas podem ser analisadas com esse
método ótico.
15
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
16
Espalhamento da Luz
O céu é azul. O pôr-do-sol é vermelho. A luz
do céu é parcialmente polarizada: por isso, quando
olhamos para o céu usando óculos com lentes
polaróides notamos que o céu em certas direções
parece mais escuro do que em outras. Um mesmo
fenômeno é responsável por todos esses efeitos.
Ao olhar para o céu durante o dia, a luz que
você vê é a luz solar que foi absorvida e depois
retransmitida em muitas direções. Esse fenômeno
denomina-se espalhamento. (Caso a Terra não
possuísse atmosfera, o céu seria negro tanto durante
o dia quanto à noite, tal como um astronauta vê o
céu em volta da Lua quando ele está no espaço ou
sobre a superfície lunar: você veria a luz solar
somente quando olhasse diretamente para o Sol e
poderia observar as estrelas também durante o dia.)
A Figura 20 mostra alguns detalhes do processo do
espalhamento. A luz solar, que não é polarizada,
incide da esquerda para a direita ao longo do eixo
Ox e passa acima de um observador que está
olhando verticalmente de baixo para cima ao longo
do eixo Oy. (Estamos vendo a cena lateralmente.)
Considere moléculas do ar atmosférico localizadas
no ponto O. As cargas elétricas de cada molécula
oscilam por causa da ação do campo elétrico da luz
solar. Como a luz é uma onda transversal, a direção
do campo elétrico de qualquer componente do feixe
da luz solar permanece sobre o plano yz; e o
movimento das cargas deve ocorrer sobre esse
plano. Não existe nenhum campo e, portanto,
nenhum movimento ao longo do eixo Ox.
Uma onda de luz com o campo elétrico E
formando um ângulo  com o eixo Oz obriga as
cargas elétricas das moléculas a vibrar ao longo da
direção de E, conforme indicado pelas setas em
torno de O. Podemos decompor essa vibração em
uma vibração ao longo do eixo Oy e outra ao longo
do eixo Oz. Cada componente da luz incidente
produz o efeito semelhante ao de uma "antena",
oscilando com a mesma freqüência da luz incidente
e situada sobre o eixo Oy e sobre o eixo Oz.
Figura 20 –
Uma carga oscilante não irradia na
direção de sua vibração. Portanto, a "antena" ao
longo do eixo Oy não emite nenhuma luz para o
observador que está diretamente abaixo, embora
ela emita luz nas outras direções. Assim, a luz
que atinge o observador deitado é proveniente
de
outras
"antenas"
moleculares
correspondentes às cargas que oscilam do eixo
Oz. Essa luz é linearmente polarizada, com o
campo elétrico ao longo do eixo Oz. Os vetores
com setas opostas paralelos ao eixo Oz abaixo
do ponto O indicado na Figura 20 mostram a
direção da polarização da luz que incide sobre o
observador deitado.
Como o feixe original da luz solar
passa através da atmosfera, sua intensidade
diminui à medida que a energia é retirada para a
luz espalhada. Uma análise rigorosa do processo
de espalhamento mostra que a intensidade da
luz espalhada pelas moléculas do ar aumenta
com a quarta potência da freqüência (é
inversamente proporcional à quarta potência do
comprimento de onda). Logo, a razão entre as
intensidades dos dois extremos do espectro
visível é dada por (700 nm/400 nm) 4 = 9,4.
Fazendo-se uma aproximação, podemos dizer
que a luz azul é cerca de nove vezes mais
espalhada do que a luz vermelha. É por isso que
o céu é azul.
As nuvens contêm uma concentração
elevada de gotículas de água e de pequenos
cristais de gelo que também espalham a luz. Por
causa disso, a luz que passa através das nuvens
possui mais centros de espalhamento de tipos
diferentes do que no caso do céu sem nenhuma
nuvem. Portanto, a luz com todos os
comprimentos de onda acaba sendo espalhada,
de modo que as nuvens parecem brancas. A cor
do leite é branca pela mesma razão: todas as
cores são espalhadas por pequenos glóbulos de
gordura existentes no leite. Se você diluir o leite
misturando-o com uma quantidade de água
suficiente, a concentração dos glóbulos de
gordura passará a ser muito pequena, de modo
que a cor azul será espalhada mais
substancialmente do que as outras cores;
portanto, a solução fortemente diluída será azul
e não branca. (O leite sem gordura, que também
contém uma pequena concentração de glóbulos,
exibe, pela mesma razão, uma cor ligeiramente
azulada.)
Perto do pôr-do-sol quando a luz solar
atravessa uma extensa camada da atmosfera terrestre, uma grande quantidade da luz azul é
removida pelo espalhamento na atmosfera. A
luz solar sem a cor azul parece ser vermelha ou
ligeiramente amarela. Isso explica por que você
geralmente vê a luz solar amarela ou vermelha
durante o poente (e isso é notado pelo observador indicado no lado direito da Figura 20.)
16
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
17
Como a luz solar é parcialmente polarizada,
um polarizador pode ser útil na arte fotográfica.
Você pode obter uma fotografia do céu escuro
usando um polarizador com um eixo perpendicular à
direção do eixo com a polarização predominante da
luz espalhada. A luz mais fortemente polarizada
provém da parte do céu que está a 900 afastada da
direção da luz proveniente do Sol — por exemplo, a
direção diretamente acima de nossa cabeça quando o
Sol está no levante ou no poente.
Princípio de Huygens
As leis da reflexão e da refração que
estudamos anteriormente foram descobertas
experimentalmente muito tempo antes de a
natureza ondulatória da luz ser de fato
comprovada. Contudo, podemos deduzir essas
leis a partir de considerações ondulatórias e
mostrar que elas são consistentes com a natureza
ondulatória da luz. O mesmo tipo de análise que
faremos aqui será muito importante quando
estudarmos a ótica física.
Vamos começar com um princípio
conhecido como princípio de Huygens. Em 1678 o
cientista holandês Christian Huygens formulou um
princípio que permite a construção geométrica de
uma nova frente de onda a partir de uma frente de
onda conhecida em um dado instante. Huygens
afirmou que todos os pontos de uma frente de onda
podem ser considerados fontes de ondas
secundárias que se espalham para fora com uma
velocidade igual à velocidade de propagação da
onda. A nova frente de onda em um instante
posterior pode ser determinada construindo-se uma
superfície que tangencie as ondas secundárias, ou,
como se costuma dizer, traçando-se a envoltório
das ondas secundárias. Todos os resultados obtidos
a partir da aplicação do princípio de Huygens
também podem ser conseguidos com as equações
de Maxwell. Logo, ele não é um princípio
independente, mas de uma ferramenta geralmente
útil para explicar fenômenos ondulatórios.
O princípio de Huygens é ilustrado na
Figura 21. A frente de onda AA' está se deslocando
para fora de uma fonte, como indicam as pequenas
setas. Vejamos determinar a forma da frente de onda
depois de um intervalo de tempo t. Seja v a
velocidade de propagação da onda; então no
intervalo de tempo t ela se deslocou de uma
distância vt. Construímos diversas circunferências
(interseções das ondas secundárias esféricas com o
plano) centralizadas nos pontos da frente de onda
AÃ' com raios vt. A envoltória dessas ondas
secundárias, que fornece a nova frente de onda, é a
curva BB'. Estamos supondo que a velocidade v seja
a mesma em todos os pontos e em todas as direções.
Para deduzir a lei da reflexão a partir do princípio de
Huygens,
consideramos
uma
onda
plana
aproximando-se de uma superfície refletora plana.
Na Figura 34.27, as linhas AA', OB' e
NC' representam posições sucessivas das frentes
de onda que se aproximam da superfície MM'. O
ponto A da frente de onda AA´ acaba de atingir a
superfície refletora. Podemos usar o princípio de
Huygens para determinar a frente de onda
depois de um intervalo de tempo t. Usando os
pontos da reta AA´ como centros, podemos
desenhar diversas ondas secundárias com raios
vt. As ondas secundárias que se originam na
extremidade superior de AA´ se espalham até
encontrar o obstáculo, e a envoltória dessas
ondas fornece o segmento OB' da nova frente de
onda. Caso a superfície refletora não existisse,
as ondas secundárias que se originam na
extremidade inferior de AA´ se espalhariam de
modo análogo e atingiriam as posições
indicadas pelas linhas tracejadas. Em vez disso,
essas ondas secundárias atingem a superfície
refletora.
A superfície refletora produz uma
variação da direção dessas ondas secundárias
que incidem sobre ela, de modo que as ondas
secundárias que deveriam penetrá-la na
realidade retornam para o lado esquerdo da
superfície, como indicam as linhas contínuas.
A primeira dessas ondas secundárias está
centralizada no ponto A; a envoltória das
ondas secundárias que retornam é o segmento
OB da frente de onda. O traço da frente de
onda completa nesse instante fornece o ângulo
definido pela linha BOB'. Um raciocínio
semelhante permite a construção da linha
CNC´ para a frente de onda depois de outro
intervalo de tempo t.
Figura 21 –
De acordo com a geometria plana, o
ângulo a entre a frente de onda incidente e a
17
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
18
superfície é igual ao ângulo entre o raio incidente e
a normal à superfície, e, portanto, é o ângulo de
incidência.
Analogamente, r, é o ângulo de reflexão.
Para achar a relação entre esses dois ângulos,
observe a Figura 22. A partir de O desenhamos o
segmento OP = vt, perpendicular a AA´. O segmento
OB, por construção, é tangente ao círculo vt com
centro em A. Desenhando o segmento AQ a partir de
A até o ponto de tangência, os triângulos APO e
OQA são congruentes porque são triângulos
retângulos que possuem o lado comum AO e o lado
AQ = OP = vt. Portanto, concluímos que a = r,
obtendo assim a lei da reflexão.
Figura 22 –
trace o segmento AB = vbt na direção
perpendicular a BO.
vt
Pelo triângulo AOQ: sen a  a
AO
vt
Pelo triângulo AOB: senb  b
AO
Combinamos as relações anteriores e
teremos:
sen a va

senb vb
Figura 23 -
18
Como: na  c va  nb  c vb
nb c vb va


na c va vb
Podemos deduzir a lei da refração fazendo
um raciocínio semelhante. Na Figura 23 temos uma
frente de onda plana, representada pela linha reta
AA'. para a qual o ponto A acaba de incidir sobre a
interface SS' entre os dois materiais transparentes a e
b que possuem índices de refração na e nb e nos
quais as velocidades das ondas são va e vb. (As ondas
refletidas não são indicadas nessa figura; elas se
propagam exatamente como indicado na Figura 22).
Podemos aplicar o princípio de Huygens
para determinar as posições das frentes de onda
depois de um intervalo de tempo t.
Usando os pontos da reta AA' como centros,
desenhamos diversas ondas secundárias. Aquelas
que se originam na extremidade superior de AA' se
deslocam com velocidade va e, depois de um
intervalo de tempo t, são superfícies esféricas com
raio vt. Contudo, a onda secundária com origem no
ponto A se desloca no segundo material com
velocidade vb, e. depois de um intervalo de tempo t,
é uma superfície esférica com raio vbt. A envoltória
das ondas secundárias obtidas a partir da frente de
onda inicial é a nova frente de onda cuja interseção
com o plano da página fornece a linha BOB'. Uma
construção semelhante nos permite traçar a linha
CPC' depois de um segundo intervalo de tempo t.
O ângulo a entre a superfície e a frente de
onda incidente é o ângulo de incidência, e o ângulo
b, entre a superfície e a frente de onda refratada é o
ângulo de refração. Para verificar a relação entre
esses ângulos observe a Figura 23 (b). Desenhe o
segmento OQ = vat na direção perpendicular a AQ e
sen a nb
ou sena na  senb nb

senb na
que reconhecemos como a lei de Snell. Desse
modo, deduzimos a lei de Snell a partir de uma
teoria ondulatória. Alternativamente, podemos
considerar a lei de Snell um resultado
experimental que define o índice de refração de
um material; nesse caso, a análise anterior ajuda
a confirmar a relação v = c/n para a velocidade
em um material.
As miragens fornecem outro exemplo
do emprego do princípio de Huygens. Quando
os raios solares aquecem a superfície de um
pavimento ou a areia do deserto, forma-se nos
arredores da superfície, uma camada quente,
menos densa, com índice de refração n menor
do que o índice de refração da camada superior.
A velocidade da luz nessas áreas da superfície é
ligeiramente maior do que nas vizinhanças da
camada superior, e as ondas secundárias de
Huygens possuem raios um pouco maiores, de
modo que as frentes de onda se inclinam
levemente e os raios que se aproximam da
superfície com ângulos de incidência elevados,
(próximos de 90°) se encurvaram para cima,
como indicado na Figura 24. O raio de luz que
está afastado do solo não sofre quase nenhum
desvio e se propaga praticamente em linha reta.
O observador vê o objeto em sua posição
natural, juntamente com uma imagem invertida
embaixo dela, como se ela estivesse observada
refletida por uma superfície horizontal. Mesmo
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
19
quando a turbulência do ar aquecido impede a
formação de uma imagem invertida nítida, o cérebro
do viajante sedento interpreta a imagem como se ela
estivesse refletida pela superfície do lago.
Figura 24 -
19
Vidro.
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
20
Introdução
Seu reflexo no espelho do banheiro, a Lua vista
por meio de um telescópio, os desenhos observados
em um caleidoscópio; todas essas visões são
exemplos de imagens. Em cada um desses casos, os
objetos são vistos em posições aparentes diferentes
das posições nas quais eles realmente se encontram;
seu reflexo forma uma imagem do outro lado do
espelho, a Lua parece estar muito mais próxima
quando você a observa através do telescópio e um
objeto visto em um caleidoscópio parece estar em
diversos lugares ao mesmo tempo. Em cada caso,
um raio de luz proveniente de um ponto do objeto
sofre um desvio produzido por reflexão ou refração
(ou uma combinação dos dois efeitos) e parecem
divergir de ou convergir para um ponto chamado de
imagem puntiforme. Nosso objetivo é verificar
como isso ocorre e estudar os diferentes tipos de
imagens que podem ser obtidos usando-se um
dispositivo ótico simples.
Para entender as imagens e como elas são
formadas, precisamos apenas do modelo da
descrição da luz por meio de raios, as leis da
reflexão e da refração e um pouco de geometria e de
trigonometria. O papel central desempenhado pela
geometria em nossa análise é o principal motivo de
usarmos o nome ótica geométrica para designar o
estudo da formação de imagens.
Começaremos pelo espelho plano, um dos
dispositivos óticos mais simples para a formação de
imagens. A seguir estudaremos como as imagens
são formadas por espelhos curvos, por superfícies
refratoras e por lentes delgadas. Nossos estudos
servirão de base para entender o funcionamento de
muitos instrumentos óticos familiares, incluindo a
máquina fotográfica, a lupa, o olho humano, o
microscópio e o telescópio.
REFLEXÃO E REFRAÇÃO EM EMA SUPERFÍCIE PLANA
Antes de discutir o que significa uma imagem,
inicialmente precisamos do conceito de objeto
empregado na ótica. Chamamos de objeto qualquer
coisa da qual emanem raios de luz. Quando a luz é
emitida pelo próprio objeto dizemos que ele possui
luz própria — como, por exemplo, o filamento de
uma lâmpada comum. Alternativamente, depois de
emitida por uma fonte (como o Sol ou uma
lâmpada), a luz se reflete no objeto; por exemplo,
quando você lê este livro, a luz é refletida pelas
páginas do livro. A Figura l mostra raios de luz
irradiados em todas as direções por um objeto
situado no ponto P.
Figura 1 (a)
20
(b) Espelho plano
Para que um observador veja diretamente o
objeto é necessário que não haja nenhum
obstáculo entre o objeto e o olho do observador.
Note que os raios que partem do objeto chegam
ao olho do observador formando ângulos
diferentes; a diferença entre os dois ângulos é
processada no cérebro do observador para obter
uma estimativa da distância entre o observador e
o objeto.
O objeto P indicado na Figura 1 denominase objeto puntiforme e é representado por um
ponto que não possui nenhuma dimensão. Os
objetos reais que possuem comprimento, largura
e altura são chamados de objetos estendidos.
Inicialmente vamos considerar um objeto ideal
concentrado em um ponto, visto que um objeto
estendido pode ser um conjunto muito grande de
objetos puntiformes.
Suponha que alguns raios provenientes do
objeto atinjam uma superfície plana refletora
(Figura 1 (b)). Essa superfície poderia ser a
fronteira de um material com índice de refração
diferente, que reflete parte da luz incidente, ou
então uma superfície metálica polida que reflete
quase 100% da luz incidente. Vamos sempre
representar uma superfície refletora como uma
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
21
linha negra com um sombreado adjacente na parte
traseira da interface, como na Figura 2. Os espelhos
usados em banheiros possuem uma fina placa de
vidro na parte dianteira da superfície refletora para
protegê-la: desprezaremos o efeito dessa fina placa
de vidro.
De acordo com a lei da reflexão, para todo
raio que atinge a superfície o ângulo de incidência é
igual ao ângulo de reflexão. Como a superfície é
plana, a normal é sempre perpendicular à superfície
em todos os seus pontos e a reflexão é especular.
Parece que os raios depois de refletidos emanam de
um ponto P'. Chamamos o ponto P de objeto
puntiforme e o ponto P' correspondente denomina-se
imagem puntiforme; dizemos então que a superfície
refletora forma uma imagem do ponto P. Um
observador que esteja vendo apenas os raios refletidos pela superfície e que não sabe que está
vendo uma reflexão pensa que os raios estão
emanando do ponto onde se forma a imagem P'. A
imagem puntiforme é portanto um modo
conveniente de descrever as direções dos diversos
raios refletidos, assim como o objeto puntiforme P
descreve as direções dos raios que atingem a
superfície antes da reflexão.
Se a superfície indicada na Figura 2 não
fosse lisa, ocorreria uma reflexão difusa e os raios
refletidos de diversos pontos da superfície
possuiriam direções diferentes. Nesse caso não
haveria a formação de uma imagem puntiforme P' a
partir da qual os raios parecem emanar. Ao olhar
para uma superfície metálica comum você não
consegue ver sua imagem refletida porque
geralmente essa superfície é rugosa; fazendo o
polimento do metal você alisa a superfície de modo
que a reflexão especular se torna possível e vê-se
uma imagem refletida.
Uma imagem também é formada por uma
superfície plana refratora, como indicado na Figura
3. Os raios provenientes de um ponto P são
refratados na interface entre dois materiais
transparentes. Quando os ângulos de incidência são
pequenos, as direções dos raios depois da refração
são oriundas de um ponto P', conforme indicado, e
chamamos novamente P' de imagem puntiforme.
Mostramos como esse efeito faz com que um objeto
imerso na água pareça estar mais próximo da
superfície do que sua posição real (Veja a Figura 2).
Os raios não passam através da
imagem puntiforme P'. Na verdade quando o
espelho na Figura 1 é opaco não existe
absolutamente nenhuma luz em seu lado direito.
Quando os raios emergentes não passam
efetivamente no local onde se encontra o objeto,
dizemos que nesse local se forma uma imagem
virtual. Mais adiante analisaremos casos para os
quais os raios passam efetivamente no local
onde se encontra o objeto — dizemos que nesse
local se forma uma imagem real. As imagens
que se formam sobre uma tela de cinema, sobre
a película de uma máquina fotográfica e sobre
as retinas dos seus olhos são exemplos de
imagens reais.
FORMAÇÃO DA IMAGEM EM UM
ESPELHO PLANO
Vamos no momento nos concentrar na
descrição de imagens formadas por reflexão;
voltaremos ao problema da refração mais
adiante neste capítulo. Para localizar a imagem
virtual P' que um espelho plano forma para um
objeto P usaremos a construção indicada na
Figura 3. A figura mostra dois raios oriundos de
um objeto puntiforme P situado a uma distância
s à esquerda de um espelho plano.
Figura 3-
Figura 2 -
Chamaremos s de distância do objeto. O
raio PV incide ortogonalmente sobre o espelho
plano (ou seja, ele é perpendicular à superfície
do espelho) e retorna na mesma direção do raio
original.
21
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
22
O raio PB forma um ângulo 0com o raio PV.
Ele atinge o espelho plano com ângulo de incidência
O e se reflete formando o mesmo ângulo com a
normal. Estendendo os dois raios refletidos para trás
do espelho, eles se cruzam em um ponto P' situado a
uma distância s' atrás do espelho. Chamaremos s' de
distância da imagem.
A linha que liga P com P' é perpendicular ao
espelho. Os dois triângulos são congruentes, de
modo que P e P' possuem distâncias iguais até o
espelho plano e portanto s e s' possuem módulos
iguais. A distância entre o espelho e a imagem P'
formada atrás do espelho é exatamente igual a
distância na frente do espelho entre o objeto P e a
superfície do espelho.
Podemos repetir a construção indicada na
Figura 3 para qualquer raio que emane do ponto P.
A direção de qualquer raio refletido é tal que parece
que ele é oriundo do ponto P', confirmando que P' é
a imagem de P. Qualquer que seja a posição da
pessoa que está observando o objeto, ela sempre
verá a imagem localizada no ponto P'.
REGRAS DE SINAIS
Antes de prosseguir vamos introduzir algumas
regras
de
sinais.
Elas
podem
parecer
desnecessariamente complicadas para o caso simples
da imagem formada por um espelho plano, porém
desejamos formular essas regras de modo que
possam ser aplicadas para quaisquer situações que
sejam encontradas mais adiante. Essas situações
incluem a formação de imagens por meio da
reflexão ou da refração em interfaces planas ou
esféricas ou de um par de superfícies refratoras que
formam uma lente. As regras são:
1. Regra do sinal para a distância do objeto:
Quando o objeto está do mesmo lado da luz que
incide sobre a superfície refletora ou refratora, a
distância do objeto s é positiva; em caso contrário, é
negativa.
2. Regra do sinal para a distância da imagem:
Quando a imagem está do mesmo lado da luz que
emerge da superfície refletora ou refratora, a
distância da imagem s' é positiva;
em caso contrário, é negativa.
3. Regra do sinal para o raio de curvatura de
uma superfície esférica: Quando o centro de
curvatura Cesta do mesmo lado da luz que emerge
da superfície refletora ou refratora, o raio de
curvatura é positivo; em caso contrário, é negativo.
Para um espelho o lado do raio incidente é
sempre o mesmo do raio emergente; por exemplo,
nos dois casos indicados nas figuras 2 e 4 o lado em
questão é o lado esquerdo. Para a superfície refratora
indicada na Figuras 2, o lado da luz incidente é o
lado esquerdo da interface entre os materiais e o
lado da luz emergente é o direito.
Na Figura 3 a distância do objeto s é positiva
porque o objeto puntiforme P está do lado da luz
incidente sobre a superfície refletora (o lado
esquerdo).
A distância da imagem s' é negativa porque
a imagem puntiforme P' não está do lado da luz
que emerge da superfície refletora (o lado
esquerdo). As distâncias s e s´ são relacionadas
por
s  s
~
Para uma superfície refletora ou
refratora plana, os raios de curvatura são
infinitos e, portanto, não fornecem nenhuma
informação útil; para esses casos na verdade não
necessitamos da terceira regra. Porém, mais
adiante neste capítulo, veremos que essa regra
será extremamente útil quando estudarmos a
formação de imagens no caso de interfaces
curvas que refletem ou refratam a luz.
FORMAÇÃO DA IMAGEM DE UM
OBJETO - ESPELHO PLANO
Vamos agora considerar um objeto
estendido com um tamanho definido. Por
simplicidade geralmente tomamos um objeto
que possui apenas uma dimensão, tal como uma
seta estreita orientada paralelamente à superfície
refletora, como a seta PQ na Figura 5.
Figura 5 -
A distância entre o ponto inicial e a
extremidade da seta indicada desse modo é sua
altura; na Figura 5 a altura é y. A imagem
formada por esse objeto estendido é uma
imagem estendida; cada ponto do objeto possui
um ponto correspondente da imagem.
Mostramos dois raios provenientes do ponto Q;
parece que todos os raios provenientes de Q
divergem da imagem puntiforme Q' depois da
reflexão. A imagem da seta é o segmento P'Q',
com altura y'. Os outros pontos do objeto PQ
possuem imagens entre os pontos P' e Q'. Os
triângulos PQV e P'Q'V são congruentes, de
modo que PQ possui a mesma dimensão e
orientação da imagem P'Q', logo y = y'. A razão
entre a altura da imagem e a altura do objeto,
22
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
23
y'/y, em qualquer situação de formação de imagem,
denomina-se ampliação transversal m; ou seja:
y
m
y
(ampliação transversal)
Logo, para um espelho plano a ampliação
transversal m é igual a l. Quando você olha para um
espelho plano, sua imagem possui um tamanho igual
ao seu.
Na Figura 5 a seta que representa a imagem
aponta na mesma direção e no mesmo sentido da
seta que representa o objeto; dizemos que a imagem
está em pé, é direita ou então que se trata de uma
imagem ereta. Nesse caso, y e y' possuem o mesmo
sinal e a ampliação transversal m é positiva. A
imagem formada por um espelho plano é sempre
ereta, de modo que y e y' possuem sempre o mesmo
sinal e o mesmo módulo; de acordo com a Equação
da ampliação transversal é sempre dada por m = +1.
Mais adiante encontraremos situações nas quais
obtemos uma imagem invertida, ou seja, a seta da
imagem aponta no sentido oposto à seta que
identifica o objeto. Para uma imagem invertida, v e
v' possuem sempre sinais contrários e a ampliação
transversal m é sempre negativa O objeto indicado
na Figura 5 possui apenas uma dimensão, sua altura
y'. A Figura 6 mostra um objeto em três dimensões
formando uma imagem virtual em três dimensões
em um espelho plano. O sentido aparente da imagem
é relacionado com o sentido do objeto do mesmo
modo que a mão esquerda é relacionada com a mão
direita.
Figura 6 (a)
(b)
Você certamente perguntará: "Por que
a imagem é reversa e troca a direita com a
esquerda porém mantém o sentido vertical de
baixo para cima inalterado?" A pergunta é
embaraçosa! Como se observa na Figura 6 (a),
tanto a imagem vertical P'Q' quanto a imagem
horizontal P'S' são indicadas por vetores
paralelos aos respectivos vetores do objeto e não
sofrem nenhuma reversão! Somente o vetor que
indica a imagem frontal de trás para frente PT?
é que está invertido em relação ao vetor que
indica o objeto PR. Portanto, seria mais correto
dizer que um espelho plano reverte apenas o
sentido de frente para trás na direção frontal em
relação ao espelho. Para verificar essa formação
de imagens aponte seus dois polegares ao longo
de PR e PT?', os dedos indicadores ao longo de
PQ e P'Q' e. seus dedos médios ao longo de PS
e P'S'. Para evitar confusão com a definição de
imagem invertida feita anteriormente, dizemos
que a imagem obtida por um espelho plano
constitui uma imagem reversa: objetivamente
somente ocorre inversão no sentido de frente
para trás na direção frontal em relação ao
espelho. A imagem reversa formada por um
espelho plano de um objeto em três dimensões
possui o mesmo tamanho do objeto em todas as
dimensões. A imagem é ereta na direção
paralela ao espelho. Portanto, um espelho plano
forma sempre uma imagem ereta porém reversa.
A Figura 6 (b) fornece um exemplo disso.
Uma propriedade importante de todas
as imagens formadas por superfícies refletoras
ou refratoras é que uma imagem formada por
uma superfície ou por um dispositivo ótico pode
servir como um objeto para a formação de outra
imagem para uma segunda superfície ou dispositivo. A Figura 7 fornece um exemplo
simples.
Figura 7 -
23
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
24
O espelho l forma uma imagem P, ' de um
objeto situado no ponto P e o espelho 2 forma outra
imagem P', cada uma delas do modo que acabamos
de descrever. Porém, além disso, a imagem P,'
formada pelo espelho l serve como objeto para o
espelho 2, que a seguir forma uma imagem desse
novo objeto no ponto P^' como indicado.
Analogamente, o espelho l usa a imagem P,'
formada pelo espelho 2 como um objeto para formar
uma imagem sobre ele.
Deixamos para você demonstrar que a
imagem puntiforme obtida está também no ponto
P,'. A idéia de que uma imagem formada por um
dispositivo ótico pode servir como um objeto para a
formação de outra imagem para um segundo
dispositivo é de importância fundamental na ótica
geométrica. Mais adiante neste capítulo usaremos
essa ideia para localizar a imagem que sofre duas
refrações sucessivas nas superfícies curvas de uma
lente; no Capítulo 36 essa ideia nos ajudará a
entender a formação de imagens em dispositivos,
contendo combinações de lentes, tais como um
microscópio ou um telescópio refrator.
Reflexão em superfície esférica
Um espelho plano produz uma imagem do
mesmo tamanho do objeto. Porém existem muitas
aplicações para as quais as imagens e os objetos
devem possuir tamanhos diferentes. O espelho usado
pelo dentista gera uma imagem maior do que a do
objeto e o espelho de monitoramento produzem
imagem menor do que a do objeto. Existem também
algumas aplicações de espelhos nas quais se busca
obter uma imagem real, de modo que a luz passe
efetivamente pela imagem puntiforme P'; um
exemplo é o telescópio refletor, no qual se coloca
uma placa fotográfica para gravar a imagem de uma
estrela muito distante. Um espelho plano não serve
para realizar nenhuma dessas tarefas. Ao contrário,
somente espelhos curvos podem ser usados nessas
aplicações.
Vamos considerar o caso especial (e
analisado facilmente) da formação da imagem d um
espelho esférico. A Figura 8 mostra um espelho
esférico com raio de curvatura R com o lado
côncavo voltado para a luz incidente. O centro de
curvatura da superfície (o centro da esfera da qual o
espelho é uma parte) é o ponto e o vértice do
espelho (o centro da superfície refletora) é o ponto
V. A linha CV denomina-se eixo ótico. O ponto P é
um objeto puntiforme situado sobre o eixo ótico; no
momento estamos supondo que a distância do ponto
P até V é maior do que R.
O raio PV, que passa através do ponto C
atinge o espelho perpendicularmente e é refletido de
volta na mesma direção. O raio PB, que forma um
ângulo a com o eixo, atinge o espelho no ponto B,
onde os ângulos de incidência e de reflexão são
designados por  raio refletido intercepta o eixo no
ponto P'. Mostraremos de modo breve que todos
os raios provenientes do ponto P interceptam o
eixo no mesmo ponto P', como na Figura 8 (b),
desde que o ângulo a seja pequeno. O ponto P'
é, portanto, a imagem do objeto puntiforme P.
Diferentemente dos raios refletidos
indicados na Figura 1, os raios refletidos na
Figura 8 (b) se interceptam realmente no ponto
P', a seguir divergem do ponto P' como se eles
emanassem de uma fonte nesse ponto. Logo, P'
é uma imagem real.
24
Figura 8 -
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
25
Para entender a utilidade da formação de
uma imagem real, suponha que o espelho esteja em
uma sala escura na qual a única fonte de luz seja um
objeto no ponto P' que emite luz própria. Se você
colocar uma pequena película fotográfica no ponto
P', todos os raios de luz proveniente do ponto P que
se refletem no espelho irão se interceptar no mesmo
ponto P sobre a película fotográfica; quando for
revelado, o filme mostrará um ponto brilhante que
representa a imagem focalizada do objeto situado no
ponto P. Esse princípio é a base do funcionamento
de muitos telescópios astronômicos, que utilizam
grandes espelhos côncavo* para fotografar corpos
celestes. Quanto ao espelho plano indicado na
Figura 2, colocai uma película fotográfica no ponto
P' seria perda de tempo: os raios luminosos não
passando efetivamente pelo ponto da imagem e ela
não pode ser gravada na película fotográfica a
colocada. As imagens reais desempenham um papel
essencial na fotografia.
Vamos agora localizar a imagem real P' indicada
na Figura 8 (b) e provar que todos os raios
provenientes do ponto P se interceptam no ponto P'
(desde que o ângulo a seja pequeno). A distância do
objeto, medida a partir do vértice K é igual a s: a
distância da imagem, também medida a partir de V,
é igual a s' e o raio de curvatura do espelho é igual a
R. Os sinais de s, s' e R são obtidos usando-se as
regras de sinais mencionadas. O objeto puntiforme P
está do mesmo lado do raio incidente, logo, de
acordo com a primeira regra, a distância s é positiva.
A imagem puntiforme P' está do lado da luz
refletida; portanto de acordo com a segunda regra, a
distância também é positiva. O centro de curvatura
C está do mesmo lado da luz refletida, e assim, de
acordo com a 3ª regra, a distância R também é
positiva; R também é sempre positiva quando a
reflexão ocorre no lado côncavo da superfície.
Usando agora o seguinte teorema da
geometria: o ângulo externo de um triângulo é igual
a soma dos ângulos internos não adjacentes.
Aplicando esse teorema aos triângulos PBC e P´BC´
indicados na figura, teremos:
   
   
     2
Podemos calcular agora a distância da
imagem s´. Seja h a altura do ponto B acima do eixo
ótico e  uma pequena distância entre V e a base
dessa linha vertical. Escrevendo as expressões para
as tangentes dos ângulos ,  e :
h
h
h
tg 
; tg  
; tg 
s 
s  
R 
Essas equações trigonométricas não são de
solução tão simples como as obtidas no caso do
espelho plano. Contudo, quando o ângulo  é
pequeno, os ângulos  e  também são. A
tangente de um ângulo muito menor do que um
radiano é aproximadamente igual ao próprio
ângulo (medido em radianos), de modo que
podemos substituir nas equações anteriores tg
por  e assim por diante. Além disso, quando o
ângulo  é pequeno, é possível desprezar  em
comparação com s, s' e R. Portanto, para
ângulos pequenos, obtemos as seguintes
relações aproximadas:
h
h
h
  ;   ; 
s
s
R
Substituindo esses valores na Equação
     2 e dividindo por h, obtemos uma
equação geral envolvendo s, s' e R:
1 1 2
 
s s R
Ou
1 1 1
 
s s f
(relação imagem-objeto, espelho esférico).
Essa equação não contém o ângulo .
Logo, todos os raios provenientes do ponto P
que formam um ângulo suficientemente
pequeno com o eixo se interceptam no ponto P'
depois da reflexão; isso demonstra nossa
afirmação anterior. Tais raios, aproximadamente
paralelos e próximos do eixo, são chamados de
raios paraxiais. (A expressão aproximação
paraxial é em geral usada para a aproximação
que acabamos de descrever.) Como todos os
raios refletidos convergem sobre o ponto da
imagem, um espelho côncavo também é
chamado de espelho convergente.
Você deve entender que a Equação
anterior,
bem
como
outras
equações
semelhantes que vamos deduzir neste capítulo e
no próximo, é uma relação aproximadamente
correta. Ela decorre de um cálculo no qual
empregamos aproximações e vale somente para
raios paraxiais. Quando o ângulo a que o raio
forma com o eixo ótico é grande, o ponto P'
onde os raios interceptam o eixo ótico fica mais
próximo do vértice do que no caso de raios
paraxiais. Em conseqüência, um espelho
esférico, diferentemente de um espelho plano,
não forma uma imagem puntiforme precisa de
um objeto puntiforme — a imagem fica
"borrada". Essa característica de um espelho
esférico é chamada de aberração esférica. Os
resultados desanimadores inicialmente obtidos
pelo Telescópio Espacial Hubble colocado em
órbita em 1990 foram produzidos em parte por
erros cometidos na eliminação das aberrações
esféricas de seu espelho primário (veja a Figura
9 (a)).
25
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
26
O desempenho do telescópio melhorou
substancialmente após a instalação, em 1993, de
dispositivos óticos para correção das aberrações
(veja a Figura 9 (b)).
Quando o raio de curvatura torna-se
infinito (R = ), o espelho torna-se plano e a
Equação anterior se reduz à Equação s = s´ referente
a uma superfície plana refletora.
Figura 9 -
FOCO E DISTANCIA FOCAL
Quando o objeto puntiforme P está muito
longe do espelho esférico (s = ), os raios incidentes
são paralelos. (A estrela mostrada na foto da Figura
9 é um exemplo de objeto distante.) De acordo com
a Equação anterior, a distância s' para esse caso é
dada por:
1 1 2
R
   s 
 s R
2
Essa situação é indicada na Figura 10 (a).
O feixe dos raios incidentes paralelos convergem,
depois da reflexão no espelho esférico, para um
ponto F situado a uma distância R/2 do vértice do
espelho. O ponto F para o qual os raios paralelos
convergem é chamado de foco do espelho: dizemos
que os raios se encontram no ponto focal. A
distância entre o foco e o vértice do espelho,
designada pela letra f, denomina-se distância focal.
Vemos que entre f e o raio de curvatura R existe a
relação:
R
f 
2
A situação oposta é indicada na Figura 10 (b).
Agora o objeto é colocado no ponto focal F. de
modo que a distância do objeto é dada por .s = f =
R/2. A distância da imagem s' pode novamente ser
obtida pela Equação:
2 1 2
1
    0  s  
R s R
s
Quando o objeto está situado sobre o ponto
focal, os raios refletidos indicados na Figura 10 (b)
são paralelos ao eixo ótico — eles se encontram
somente no infinito, logo, a distância da imagem é
infinita.
Portanto, as propriedades do foco F de um
espelho esférico mostram que (l) todo raio que
incide paralelamente ao eixo ótico é refletido
passando pelo foco e (2) qualquer raio passando
pelo foco que incide sobre o espelho é refletido
paralelamente ao eixo ótico. Para um espelho
esférico essas afirmações são válidas apenas
para os raios paraxiais. Para um espelho
parabólico essas afirmações são exatas sempre:
essa é a principal razão pelas quais os espelhos
parabólicos são preferidos nos telescópios
astronômicos. Espelhos parabólicos e espelhos
esféricos são usados em lanternas e nos faróis
dos automóveis para transformar a luz da
lâmpada em um feixe paralelo. Em algumas
usinas para aproveitamento da energia solar se
usa uma grande rede de espelhos planos para
simular aproximadamente um espelho esférico
côncavo: a luz solar é coletada pêlos espelhos e
projetada para o ponto focal, onde são colocadas
as caldeiras para produzir vapor. (Os conceitos
de foco e de distância focal também se aplicam
a lentes, como veremos.)
Geralmente expressaremos a relação entre
as distâncias da imagem e do objeto, em termos
da distância focal:
1 1 1
 
s s f
Figura 10 -
FORMAÇÃO DA IMAGEM DE UM
OBJETO - ESPELHO ESFÉRICO
Vamos agora supor que o objeto possua um
tamanho finito, representado pela seta PQ na
Figura 11, perpendicular ao eixo ótico CV. A
imagem de P formada pelos raios paraxiais se
encontra no ponto P'. A distância do objeto para
o ponto Q é quase igual à distância do objeto
26
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
27
para o ponto P, de modo que a imagem P'Q' é
aproximadamente reta e perpendicular ao eixo ótico.
Observe que as setas do objeto e da imagem
possuem
tamanhos
diferentes,
y
e
y',
respectivamente, e que os sentidos das setas estão
invertidos. Definimos a ampliação transversal m
como a razão entre a altura da imagem y' e a altura
do objeto y:
y
m
y
, Como os triângulos PVQ e P´VQ' na Figura 11 são
semelhantes, obtemos a relação y/s = -y´/s'. O sinal
negativo é necessário porque a imagem e o objeto
estão em lados opostos em relação ao eixo ótico:
quando y é positivo, y' é negativo, e vice-versa.
Logo,
y
s
m 
y
s
Quando m é positivo a imagem é ereta ou direita
em relação ao objeto; quando m é negativo a
imagem é invertida em relação ao objeto, como
indica a Figura 11. Para um espelho plano, s = -s',
logo, y' = y e m = +1; como m é positivo, a imagem
é ereta, e como |m| = l, a imagem possui o mesmo
tamanho do objeto.
Figura 11 -
ATENÇÃO: Embora a razão entre a altura da
imagem e a altura do objeto seja chamada de
ampliação, a imagem formada por um espelho ou
por uma lente pode ser menor, maior ou do mesmo
tamanho do objeto. Quando ela é menor, o valor
absoluto da ampliação é menor do que um: |m| < l. A
imagem formada pelo espelho de um telescópio
astronômico ou pela lente de uma máquina
fotográfica é muito menor do que o objeto.
Para objetos com três dimensões, a razão entre as
distâncias da imagem e do objeto medidas ao longo
do eixo ótico é diferente da razão medida
perpendicularmente ao eixo ótico (a ampliação
transversal). Em particular, quando m for uma
fração pequena, a imagem tridimensional de um
objeto tridimensional ao longo do eixo será muito
mais reduzida do que transversalmente. A Figura 12
ilustra esse efeito. Observe que a imagem formada
por um espelho esférico, assim como a imagem de
um espelho plano, é sempre reversa ao longo do
eixo ótico.
Figura 12 -
27
Em nossa discussão sobre espelhos
côncavos, consideramos até o momento apenas
objetos situados para fora do foco ou sobre o
foco, de modo que a distância do objeto s ou é
superior ou é igual ao valor da distância focal f
(positiva).
Nesse caso a imagem se forma sempre do
mesmo lado do espelho que os raios refletidos e
a imagem é real e invertida.
Quando um objeto é colocado entre o foco e
o vértice, de modo que s < f, a imagem resultante é virtual (ou seja, a imagem se forma sobre
o lado do espelho oposto ao lado onde se
encontra o objeto), ereta e maior do que o
objeto. Os espelhos usados pêlos dentistas
(mencionados no início desta seção) são
espelhos côncavos; quando o dentista usa o
espelho, o dente está entre o foco e o espelho e
ele vê uma imagem real com tamanho maior do
que o do dente observado. Você pode provar as
afirmações anteriores sobre espelhos côncavos
aplicando as equações anteriores. Estaremos
também aptos para verificar esses resultados,
quando estudarmos os métodos gráficos para a
determinação das posições e dos tamanhos dos
objetos e das imagens.
Exemplo 1 - Imagem formada por um
espelho côncavo I
Figura 13 -
de lanterna está a uma distância de 10,0 cm em frente a
um espelho côncavo que forma uma imagem sobre uma
parede situada a uma distância de 3,00 m do espelho (Figura
13). (a) Qual é o raio de curvatura e a distância focal do
espelho? (b) Qual é a altura da imagem sabendo que a altura
do objeto é de 5,00 mm?
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
28
SOLUÇÃO a) A distância da imagem e a distância do objeto
são ambas positivas; temos s = 100 cm e s' = 300 cm. De acordo
com a Equação (35.4),
1 1 2
1
1
2
  

  R  19.4cm
s s R
10.0 300 R
A distância focal do espelho é f = R/2 = 9.7 cm.
Em uma lanterna, o filamento da lâmpada é
geralmente colocado próximo do foco, produzindo
um feixe de raios aproximadamente paralelos.
(b) De acordo com a Equação (35.7), a
ampliação transversal é:
y
s
300
m  
 30.0
y
s
10.0
Como m possui valor negativo, a imagem é
invertida. A altura da imagem é igual a 30,0 vezes a
altura do objeto. ou (30.0)(5.00 mm) = 150 mm.
Exemplo 2 - Imagem formada por um espelho
côncavo II No Exemplo l, suponha que a metade da
superfície esquerda do espelho seja recoberta por
uma película não refletora de fuligem. Que efeito
isso produziria sobre a imagem do filamento?
SOLUÇÃO: Seria natural imaginar que a
imagem obtida deveria mostrar somente a metade do
filamento. Contudo, a imagem continua mostrando o
filamento completo. A explicação pode ser
encontrada examinando-se a Figura 9 (b). Os raios
luminosos provenientes de qualquer ponto P do
objeto são refletidos por todas as partes do espelho e
convergem
sobre
a
imagem
puntiforme
correspondente situada no ponto P'. Se você
remover uma parte do espelho ou se recobrir uma
fração de sua área com
uma película não refletora, os raios luminosos que
atingem a superfície refletora restante ainda
formarão uma imagem de qualquer ponto do objeto.
O único efeito produzido pela redução da
área é que a imagem se torna mais fosca porque uma
quantidade menor de energia luminosa atinge o
ponto onde se encontra a imagem. No presente
exemplo, a área foi reduzida para a metade do valor
inicia], portanto o brilho da imagem será
aproximadamente igual à metade do brilho da
imagem do exemplo anterior. O aumento da área de
reflexão produz imagens mais brilhantes: para obter
imagens razoavelmente brilhantes de estrelas muito
distantes, os telescópios astronômicos usam
espelhos que possuem até alguns metros de
diâmetro.
Espelho Convexo
Na Figura 14 (a) o lado convexo de um
espelho esférico está de frente para o feixe incidente.
O centro de curvatura encontra-se do lado oposto
dos raios emergentes; de acordo com a terceira regra
de sinais exposta, R possui valor negativo. O raio PB
é refletido com o mesmo ângulo de incidência . O
raio refletido, projetado para trás, intercepta o
eixo no ponto P'.
Analogamente ao caso do espelho
côncavo, todos os raios provenientes de P
refletidos pelo espelho divergem de um mesmo
ponto P', desde que o ângulo  seja pequeno. O
ponto P' é portanto a imagem de P. A distância
do objeto s é positiva, a distância da imagem y' é
negativa e o raio de curvatura R é negativo para
um espelho esférico convexo.
A Figura 14 (b) mostra dois raios
divergindo da extremidade da seta PQ e a
imagem virtual P'Q' da seta. O mesmo
procedimento usado no caso do espelho
côncavo é aplicável no caso do espelho
convexo,R:
1 1 2
 
s s R
e a ampliação transversal é
y
s
m 
y
s
Figura 14 -
Essas expressões são exatamente iguais
às equações anteriores obtidas para um espelho
côncavo; deixamos a demonstração como um
problema.
Portanto,
quando
usamos
corretamente as regras de sinais, as equações
valem tanto para um espelho côncavo quanto
para um espelho convexo.
Quando R é negativo (espelho
convexo), os raios que incidem paralelamente
ao eixo ótico não passam através do foco F. Ao
contrário, eles divergem como se estivessem
emanando de um ponto F situado a uma
distância f atrás do espelho, como indicado na
Figura 15 (a). Nesse caso, f é a distância focal e
F denomina-se foco virtual. A correspondente
distância da imagem s' é negativa, logo, f e R
possuem sinais negativos e a Equação f = R/2,
vale tanto para um espelho côncavo quanto para
um espelho convexo. Na Figura 15 (b) os raios
incidentes convergem como se eles fossem
atingir o foco virtual no ponto F e são refletidos
paralelamente ao eixo ótico.
Em resumo, todas as equações obtidas
para um espelho esférico são válidas tanto para
28
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
29
um espelho côncavo quanto para um espelho
convexo, desde que as regras de sinais sejam usadas
adequadamente.
Figura 15 -
Como s' é negativo, a imagem se forma atrás
do espelho, ou seja, no lado oposto ao dos raios
emergentes (Figura 16 (b)) sendo uma imagem
virtual. A imagem se forma na metade da
distância entre a pane frontal do ornamento e
seu centro de curvatura.
A ampliação transversal m é obtida da
Equação:
m
y
s
1.76
 
 2.34 102
y
s
75
Como m é positivo, concluímos que ela é
ereta. Ela é apenas cerca de 0.0234 da altura do
Papai Noel:
y' = my = (0.0234)(1.6 m)=3,8.10-2m = 3.8
cm.
Exemplo 3 - Problema da imagem do Papai
Noel Papai Noel verifica se está sujo de fuligem
olhando para sua imagem refletida em um enfeite
prateado brilhante da árvore de Natal situado a uma
distância de 0.750 m (Figura 16 (a).) O diâmetro do
enfeite é igual a 7.2 cm. As referências da literatura
afirmam que Papai Noel é um "velhinho alegre e de
estatura mediana", de modo que sua altura estimada
é de l.60 m. Onde se forma e qual é a altura da
imagem de Papai Noel refletida pelo enfeite. Ela é
direita ou invertida?
Quando a distância do objeto í é
positiva, um espelho convexo sempre forma
uma imagem virtual, ereta, menor do que objeto
e reversa. Por essa razão se costuma usar um
espelho convexo para monitorar o interior de
lojas para — a fim de observar possíveis furtos,
nos espelhos colocados em cruzamentos
perigosos e em espelhos retrovisores com
"grande angular" de carros e caminhões
(incluindo aqueles que exibem a frase "objetos
vistos no espelho estão mais próximos do que
parecem").
Método Gráfico
Figura 16 SOLUÇÃO: A superfície do enfeite mais
próximo do Papai Noel funciona como um espelho
convexo com raio R = -(7.20 cm)/2 = -3.60 cm e
distância focal f = R/2 = -1.80 cm. A distância do
objeto é dada por:
s = 0.750 m = 75.0 cm.
De acordo com a Equação:
1 1 1
1 1 1
    

s s
f
s f s
1
1
1


 s  1.76cm
s 1.8 75
Nas seções precedentes, usamos as
equações para definir a posição e o tamanho da
imagem formada por um espelho. Podemos
também determinar as propriedades das imagens
usando um método gráfico simples. Esse
método consiste em encontrar o ponto de
interseção de alguns raios particulares que
divergem de um ponto do objeto (tal como o
ponto Q indicado na Figura 35.18) e que são
refletidos pelo espelho. Então (desprezando as
aberrações), verificamos que todos os raios
provenientes desse ponto do objeto e que se
refletem no espelho se interceptam no mesmo
ponto. Para essa construção sempre escolhemos
um ponto do objeto que não esteja situado sobre
o eixo ótico. Os quatro raios geralmente
desenhados com mais facilidade são indicados
na Figura 17. Eles são chamados de raios
principais.
1. Um raio paralelo ao eixo, depois da
reflexão, passa através do foco F de um
espelho côncavo ou parece emanar do foco
(virtual) de um espelho convexo.
29
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
30
2. Um raio que passa através do foco F (ou
que provém do foco) é refletido paralelamente ao
eixo ótico.
3. Um raio na direção do raio passando pelo
centro de curvatura C (ou cujo prolongamento
atinge o centro de curvatura) intercepta a
superfície perpendicularmente e, portanto, se
reflete para trás ao longo de sua direção inicial.
4. Um raio que passa pelo vértice V é
refletido formando ângulos iguais com o eixo
ótico.
Método gráfico para localizar a posição da imagem
formada por um espelho usando um diagrama com
os raios principais, (a) Espelho côncavo, (b)
Espelho convexo.
Uma vez encontrada a posição da imagem
puntiforme pela interseção dos raios principais (l, 2,
3, 4), podemos desenhar a trajetória de qualquer
outro raio que emane do objeto puntiforme e
verificar que ela atinge o mesmo ponto onde se
forma a imagem.
ATENÇÃO: Embora tenhamos enfatizado os
raios principais, na verdade qualquer raio que atinge
o espelho deve passar através de um ponto da
imagem (para uma imagem real) ou parece emanar
de um ponto da imagem (no caso da imagem
virtual). Em geral são usados apenas os raios
principais porque esses raios são suficientes para
localizar a imagem.
grandezas sempre possui significado físico; use
as equações e as regras de sinais
cuidadosamente e de modo consistente e elas
mostrarão a você a solução correta! Lembre-se
de que a mesma regra de sinais se aplica para os
quatro casos estudados neste capítulo: reflexão e
refração em superfícies planas e esféricas.
Exemplo 4 - Espelho côncavo, objeto situado em
diferentes distâncias:
Um espelho côncavo possui raio de
curvatura com valor absoluto igual a 20 cm.
Determine graficamente a imagem de um objeto
cm forma de seta perpendicular ao eixo do
espelho para as seguintes distâncias do objeto:
(a) 30 cm,
(b) 20 cm,
(c) 10 cm e
(d) 5 cm.
Confira a construção calculando o tamanho
e a ampliação de cada imagem.
Figura 17 -
 Estratégia
1. O diagrama dos raios principais tem na ótica
geométrica um papel análogo ao desempenhado pelo
diagrama do corpo livre na mecânica. Em qualquer
problema que envolva a formação de imagens por
um espelho, caso você disponha de informações
suficientes, sempre desenhe antes um diagrama dos
raios principais. (O mesmo conselho deve ser
seguido quando você estudar lentes nas próximas
seções.) Geralmente é mais conveniente fazer seu
diagrama orientando os raios incidentes da esquerda
para a direita. Não trace muitos raios desnecessários;
é suficiente traçar os raios principais, pois você tem
informações sobre eles. Um esboço traçado à mão
livre sem cuidado não fornece bons resultados.
2. Quando os raios principais não convergem
para uma imagem puntiforme real, você deve
prolongá-los em linha reta para trás para localizar
uma imagem puntiforme virtual, como indicado na
Figura. Recomendamos que esses prolongamentos
sejam desenhados com linhas tracejadas.
3. Preste bastante atenção aos sinais das
distâncias dos objetos e das imagens, dos raios de
curvatura e das alturas dos objetos e das imagens.
Todo sinal negativo para qualquer uma dessas
SOLUÇÃO: As construções são indicadas
nas quatro partes da Figura. Estude cada um
desses diagramas cuidadosamente. Comparando
cada raio numerado com a descrição feita
anteriormente. Convém mencionar diversas
observações importantes. Inicialmente, na parte
(b) a distância do objeto ó igual a distância da
imagem. Para esse caso, o raio 3 não pode ser
desenhado porque um raio partindo de Q e
passando pelo centro de curvatura C não atinge
o espelho. O raio 2 não pode ser desenhado em
(c) porque um raio partindo de Q c passando por
F também não atinge o espelho. Para esse caso
os
raios
emergentes
são
paralelos,
correspondendo a uma imagem que se forma no
infinito. Em (d) os raios emergentes não
30
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
31
possuem nenhum ponto de interseção real; eles
devem ser estendidos para trás do espelho para
encontrar a imagem puntiforme virtual Q', o ponto
do qual os raios parecem divergir. Todo objeto
situado entre o foco c o vértice de um espelho
côncavo produz uma imagem virtual e a situação
indicada em (d) ilustra um exemplo deste caso.
Medidas realizadas com uma régua apropriada
fornecem as seguintes distâncias das imagens
aproximadas: (a) 15 cm; (b) 20 cm; (c)  ou -
(porque os raios emergentes são paralelos e não
convergem para nenhuma distância finita); (d) -10
cm. Para calcular essas distâncias, inicialmente
notamos que f = R/2 = 10 cm: a seguir usamos a
Equação:
1 1 1
1 1 1
(a)   
   s  15cm
s s f
30 s 10
s 15
1

  (invertida)
s
30
2
1 1 1
1 1 1
(b)   
   s  20cm
s s f
20 s 10
Na Figura 18 uma superfície esférica de raio
R forma a interface entre dois materiais com
índices de refração na e nb. A superfície forma
uma imagem P' de um objeto puntiforme P
desejamos saber como as distâncias do objeto e
da imagem (s e s'} são relacionadas.
Figura 18 -
31
m
s 20

 1 (invertida)
s
20
1 1 1
1 1 1
(c)       s  

s s
f
10 s 10
m
s 

 
s 10
1 1 1
1 1 1
(d)       s  10cm
s s f
5 s 10
m
s
10

 2 (direita)
s
5
Em (a) e (b) as imagens são reais; em (d) ela é
virtual. Em (c) a imagem se forma no infinito.
m
REFRAÇÀO
ESFÉRICA
EM
UMA
SUPERFÍCIE
Conforme dissemos, as imagens podem ser
formadas por reflexão ou por refração. Para
começar, vamos considerar a refração em uma
superfície esférica, ou melhor, na interface esférica
entre dois materiais transparentes com índices de
refração diferentes. Essa análise pode ser aplicada
diretamente para alguns sistemas óticos reais, como,
por exemplo, o olho humano.
Ela também fornece os fundamentos para o estudo
das lentes, que geralmente possuem duas superfícies
esféricas (ou quase esféricas).
Aplicaremos as mesmas regras de sinais
usadas para o caso de espelhos esféricos. O
centro de curvatura C está do lado dos raios
emergentes da superfície, logo, R é positivo. O
raio PV incide sobre o vértice V na direção
perpendicular à superfície (ou seja, na direção
perpendicular ao plano tangente à superfície no
ponto de incidência V). Ele passa para o outro
material sem sofrer nenhum desvio. O raio PB,
que forma um ângulo  com o eixo incide
formando com a normal da superfície um
ângulo a, e é refratado formando um ângulo b.
Os raios emergentes se cruzam no ponto P', a
uma distância s' do lado direito do vértice. A
figura foi desenhada para o caso na < nb. As
distâncias do objeto e da imagem são ambas
positivas.
Vamos agora provar que se o ângulo  é
pequeno, todos os raios provenientes de P se
interceptam no mesmo ponto P', portanto P' é a
imagem real de P. Faremos um tratamento
semelhante ao adotado quando analisamos o
caso do espelho esférico. Usamos novamente o
teorema segundo o qual o ângulo externo de um
triângulo é igual à soma dos ângulos internos
opostos; aplicando esse teorema aos triângulos
PBC e P'BC. obtemos
a    
    b
De acordo com a lei da refração.
na sena  nb senb
As tangentes dos ângulos ,  e  são dadas
por:
h
h
h
tg 
; tg  
; tg 
s 
s  
R 
Para raios paraxiais, a e b são ambos
pequenos em comparação com um radiano,
logo, tanto a tangente quanto o seno são dados
aproximadamente pêlos próprios ângulos
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
32
(medidos em radianos). Então a lei da refração pode
ser escrita na forma:
naa  nbb
Combinando a relação anterior com a primeira
das equações,
n
b  a    
nb
Substituindo o valor de :
na  nb    na  nb 
Usando a aproximação tg =  e
desprezando a distância pequena :
h
h
h
  ;   ; 

s
s
R
Substituindo, teremos:
na nb nb  na
 
s s
R
Para obter a ampliação transversal,
observemos a figura 19:
Figura 19 -
polida formando uma superfície hemisférica
com raio R = 2.00 cm.
(a) Calcule a distância da imagem
formada por um pequeno objeto situado sobre o
eixo da barra a uma distância de 8.00 cm à
esquerda do vértice.
(b) Determine a ampliação transversal.
Figura 20 -
32
Solução:
(a) Como: na = 1.00; nb = 1.52; R =
2.00cm e s = +8.00 cm:
na nb nb  na
 
s s
R
1.00 1.52 1.52  1.00


 s  11.3cm
8.00
s
2.00
n s
y
(b) m    a
y
nb s
m
1.00 11.3
y

 0.929
y
1.52 8.00 
A imagem é invertida e ligeiramente
menor que o objeto.
Desenhamos dois raios a partir do ponto Q, um
através do centro de curvatura C e outro incidente do
vértice V, Pelos triângulos PQV e P´Q´V, obtemos:
y
 y
~
tg a  ; tgb 
s
s
Pela lei da refração: na sena  nb senb
Para ângulos pequenos:
tga  sena ;  tgb  senb
n y
n y
Achamos: a   b
s
s
n s
y
Ou: m    a
y
nb s
(Ampliação transversal, superfície refratora esférica)
Para uma superfície refratora plana,
fazemos R = ; então:
na nb
 0
s s
Exemplo 5 - Formação da imagem por
refração I - Uma barra de vidro cilíndrica no ar é
indicada na figura 20 e possui índice de refração
igual a 1.52. Uma de suas extremidades foi cortada e
Exemplo 6 - Formação da imagem por
refração II - A barra de vidro do exemplo
anterior é imersa na água. (índice de refração =
1.33). As demais grandezas permanecem com
os mesmos valores. Calcule a distância da
imagem e a ampliação transversal.
Figura 20 -
Solução:
(a) Como: na = 1.33; nb = 1.52; R =
2.00cm e s = +8.00 cm:
na nb nb  na
 
s s
R
1.33 1.52 1.52  1.33


 s  21.3cm
8.00
s
2.00
Como s´ é negativo, concluímos que,
depois que os raios se refratam na superfície,
eles não convergem, porém parecem divergir de
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
33
um ponto situado a 21.3 cm à esquerda do vértice.
n s
y
(b) m    a
y
nb s
m
1.33 21.3
y

 2.33
y
1.52 8.00 
A imagem é direita e maior que o objeto.
Exemplo 7 - Profundidade aparente em
uma piscina.O proprietário de uma piscina sabe que
a profundidade aparente é sempre menor que a real e
deve identificar com clareza qual é a parte mais
profunda para que uma pessoa que não sabe nadar
não mergulhe na parte cuja profundidade seja maior
que a da altura da pessoa.
Se um freqüentador da piscina olha
diretamente para a água na parte em que sua
profundidade é igual a 2.00 m, qual é a profundidade
aparente vista por essa pessoa?
Figura 21 -
A propriedade característica de uma
lente do tipo indicado na Figura 35.25 é que
lodo feixe paralelo ao eixo da lente que passa
para o outro lado da lente converge para um
ponto F, (Figura 22) e forma uma imagem real
nesse ponto. Tal lente é chamada de lente convergente.
Analogamente, os raios que emanam do
ponto F emergem da lente formando um feixe
paralelo (Figura 35.25b). O ponto F é chamado
de primeiro foco o ponto F, é o secundo foco e a
distância f (medida a partir do centro da lente) é
chamada de distância focal. Observe a
semelhança entre os dois focos de uma lente
convergente e o foco de um espelho côncavo
(Figura 22). De modo análogo ao espelho
côncavo, a distância focal de uma lente
convergente é definida como uma grandeza
positiva e esse tipo de lente é também
conhecido como lente positiva.
Figura 22 -
Solução:
na nb
1.33 1.00
 0

 0  s  1.50m
s s
2.00
s
Lentes Delgadas
O dispositivo ótico mais familiar e geralmente
mais usado (depois do espelho plano) é a lente. Uma
lente é um sistema ótico com duas superfícies
refratoras. A lente mais simples possui duas
superfícies esféricas suficientemente próximas para
desprezarmos a distância entre elas (a espessura da
lente): chamamos esse dispositivo de lente delgada.
Se você usa óculos ou lentes de contato quando lê
você está vendo estas palavras através de lentes
delgadas.
Podemos analisar com detalhes as lentes
delgadas aplicando os resultados referentes à
refração através de uma única superfície esférica.
Contudo, faremos essa análise mais adiante visto
que
desejamos
inicialmente
descrever
as
propriedades das lentes delgadas.
PROPRIEDADES DAS LENTES
A linha horizontal central indicada na
Figura 22 é chamada de eixo ótico, como no
caso de um espelho esférico. Os centros de
curvatura das duas superfícies esféricas definem
o eixo ótico. As duas distâncias focais indicadas
na Figura 22, ambas designadas por f possuem
sempre o mesmo valor para uma lente delgada,
mesmo quando as curvaturas das duas
superfícies são diferentes. Mais adiante, quando
deduzirmos nesta seção a relação que envolve f,
o índice de refração da lente e os raios de
curvatura das suas superfícies, mostrarão a
validade do resultado anterior que parece
surpreendente.
Como no caso de um espelho côncavo,
uma lente convergente pode formar a imagem
33
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
34
de um objeto estendido. Na Figura 23 indicamos
como se determina a ampliação transversal e a
posição da imagem produzida por uma lente delgada
convergente. Usando a mesma notação e as mesmas
regras de sinais anteriores, chamaremos de s a
distância do objeto e de s' a distância da imagem; y é
a altura do objeto e y' é a altura da imagem. O raio
QA paralelo ao eixo ótico antes da refração, passa
através do segundo foco F. O raio QOQ' passa
através do centro da lente sem sofrer nenhum desvio
porque (supomos) as duas superfícies estão muito
próximas e são praticamente paralelas. Existe
refração quando esse raio entra no material e quando
sai dele, porém não existe variação apreciável da sua
direção.
Os dois ângulos indicados pela letra cena
Figura 23 são iguais. Portanto, os dois triângulos
retângulos PQO e P'Q'O' são semelhantes e as
razões entre os lados correspondentes são iguais.
Logo,
y
y
y
s
  ou

s
s
y
s
(O sinal negativo indica que a imagem está abaixo
do eixo ótico e y' é negativo.).
Também os ângulos indicados pela letra β
são iguais e os dois triângulos retângulos OAF e
P'Q'F são semelhantes, logo,
y
y
y
s  f

ou

f
s  f
y
f
Igualando agora as equações, dividindo por
s’ e reagrupando, obtemos
1 1 1
 
s s f
(relação objeto-imagem, lente delgada).
Essa análise também fornece a ampliação
transversal m = y'/y para a lente; de acordo com a
Equação
s
m
s
(ampliação transversal, lente delgada).
Figura 23 -
O sinal negativo mostra que, quando s e s'
são ambos positivos, como na Figura 23, a
imagem é invertida e y e y' possuem sinais
opostos.
As equações são fundamentais para as lentes
delgadas. É com prazer que notamos que elas
são exatamente iguais às correspondentes
equações obtidas para espelhos esféricos. Como
observamos as mesmas regras de sinais usadas
para espelhos esféricos também são válidas para
lentes delgadas. Em particular, considere uma
lente com uma distância focal positiva (uma
lente convergente). Quando um objeto está fora
do primeiro foco F, dessa lente (ou seja, quando
s > f), a distância da imagem s´ é positiva (ou
seja, a imagem está do mesmo lado dos raios
emergentes); essa imagem é real e invertida,
como indica a Figura 23. Um objeto colocado
entre o vértice e o primeiro foco de uma lente
convergente, ou seja, s < f, produz uma imagem
com valor de s' negativo; essa imagem está
situada do mesmo lado da lente onde se
encontra o objeto, ela é virtual, ereta e maior do
que o objeto. Você pode comprovar essas
afirmações algebricamente usando as equações
anteriores; na próxima seção vamos verificá-las
usando métodos gráficos semelhantes para
espelhos.
A Figura 24 mostra como uma lente forma
uma imagem tridimensional de um objeto
tridimensional. O ponto R está mais próximo da
lente do que o ponto Q. De acordo com a
Equação, a imagem puntiforme R' está mais
afastada da lente do que a imagem puntiforme f
e a imagem P'R' aponta no mesmo sentido do
objeto PR.
Figura 24 -
34
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
35
Note que as setas das imagens P'S' e P'Q' estão
invertidas em relação aos objetos PS e PQ.
Vamos comparar a Figura 24 com a Figura 12,
que mostra a imagem formada por um espelho
plano. Notamos que a imagem formada pela lente é
invertida, porém não é reversa, ou seja, ela não está
disposta de trás para frente ao longo do eixo ótico
como no caso do espelho plano. Em outras palavras,
se o objeto é a mão esquerda, sua imagem também é
outra mão esquerda. Para verificar essa formação de
imagens aponte seu polegar esquerdo ao longo de
PR seu dedo indicador esquerdo ao longo de PQ e
seu dedo médio esquerdo ao longo de PS. A seguir
gire sua mão de 180° usando seu dedo polegar como
eixo; essa rotação fará seus dedos coincidirem com
os segmentos P'Q' e P'S'. Ou seja, dizemos que uma
imagem invertida é aquela que se obtém mediante
uma rotação de 180° em torno do eixo ótico da
lente.
Até o momento discutimos apenas lentes
convergentes. A Figura 25 mostra uma lente
divergente, um feixe de raios paralelos que incide
sobre a lente diverge depois da refração. A distância
focal de uma lente divergente é uma grandeza
negativa e a lente também é chamada de lente
negativa. Os focos de uma lente negativa estão em
posições invertidas em relação aos focos de uma
lente convergente. O segundo foco, F´ de uma lente
divergente é o ponto a partir do qual os raios que
estavam originalmente paralelos ao eixo parecem
divergir depois da refração, como na Figura 25 (a).
Os raios incidentes que convergem para o primeiro
foco F1 como indicado na Figura 25 (b) emergem da
lente formando um feixe paralelo a seu eixo.
Figura 25 -
As equações anteriores podem ser aplicadas para
qualquer tipo de lente, tanto no caso de lentes
positivas quanto para lentes negativas. Na Figura 26
mostramos diversos tipos de lentes convergentes e
divergentes. Anote a seguinte observação
importante: Qualquer lente que possua o centro mais
grosso do que sua periferia é uma lente convergente
com valor de f positivo; e qualquer lente que possua
o centro mais fino do que sua periferia é uma lente
divergente com valor de f negativo (desde que essas
lentes estejam imersas em um material com índice
de refração menor do que o índice de refração
do material da lente). Podemos provar isso
usando a equação do fabricante de lentes, cuja
dedução será nossa próxima tarefa.
Figura 26 -
35
EQUAÇÃO
LENTES
DO
FABRICANTE
DE
Vamos agora deduzir a Equação com mais
detalhes e ao mesmo tempo deduzir a equação
do fabricante de lentes, que fornece uma relação
entre a distância focal f, o índice de refração n
do material da lente e os raios de curvatura R1 e
R2 das superfícies da lente. Usamos o princípio
de que a imagem formada por uma superfície
refletora ou refratora pode servir de objeto para
outra superfície refletora ou refratora.
Começamos com o problema um pouco mais
geral de duas interfaces esféricas separando três
materiais com índices de refração na, nb e nc,
como indicado na Figura 27. As distâncias do
objeto e da imagem para a primeira superfície
são, respectivamente, s1, e s1' e para a segunda
superfície essas distâncias são s2, e s2'.
Supomos que a lente seja delgada, de modo
que a distância t entre as duas superfícies seja
pequena em comparação com as distâncias do
objeto e da imagem e que, portanto, f pode ser
desprezada. Então s2 e s1' possuem o mesmo
módulo, mas sinais contrários. Por exemplo, se
a imagem se forma do lado dos raios
emergentes da primeira superfície, s1' é positivo.
Contudo, como essa imagem funciona como
objeto para a segunda superfície, a primeira
imagem não está do lado incidente dessa superfície. Logo, podemos dizer que s2 = -s1´.
Precisamos usar duas vezes, para cada
superfície separadamente, a fórmula da superfície única dada pela Equação. Obtemos as duas
seguintes relações:
na nb nb  na
 
s1 s1
R1
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
36
nb nc nc  nb
 
s2 s2
R2
Como a lente geralmente está imersa no ar ou no
vácuo, para o primeiro material e para o terceiro
material temos na = nc = 1. O segundo índice de
refração nb é o da lente, que podemos simplesmente
designar por n. Substituindo esses valores e a
relação s2 = -s1´ obtemos:
1 1 n 1
 
s1 s1
R1
n 1 1 n
 
s1 s2
R2
Para obter uma relação entre a posição inicial do
objeto dada por .s', e a posição final da imagem s2´,
somamos as duas equações anteriores. Com isso
eliminamos o termo n/s1' e obtemos:
1
1 1
1 
   n  1   
s1 s2
 R1 R2 

Finalmente, imaginando a lente como uma
entidade única, chama a distância do objeto
simplesmente de s, e a posição final da imagem, em
vez s2', será simplesmente designada por s'. Fazendo
essas substituições encontramos:
1
1 1
1 
   n  1   
s s
 R1 R2 
Vamos agora comparar o resultado anterior
com a outra relação sobre lente delgada. Vemos que
as distâncias s e s' aparecem nessas duas equações
exatamente nas mesmas posições; portanto, a
distância focal/pode ser determinada pela relação:
1
1
1 
  n  1   
f
R
R
 1
2 
(equação do fabricante de lentes).
A relação anterior é chamada de equação
do fabricante de lentes. No processo da dedução de
uma nova relação entre a distância do objeto, a
distância da imagem e a distância focal de uma lente
delgada, também deduzem uma relação para a
distância focal da lente em função do índice de
refração n da lente e dos raios de curvatura R1 e R2
das superfícies da lente. Essa relação pode ser usada
para mostrar que todas as lentes indicadas na Figura
26 (a) são lentes convergentes com distâncias focais
positivas e que todas as lentes indicadas na Figura
26 (b) são lentes divergentes com distâncias focais
negativas.
Podemos aplicar todas as regras de sinais
nas equações. Por exemplo, na Figura 27 s, s' e R1
são positivos, porém R2 é negativo.
Não é difícil generalizar a Equação para
situações na qual a lente está imersa em um meio
com índice de refração maior do que l.
Desafiamos você a deduzir essa forma mais
geral da equação do fabricante de lentes.
Enfatizamos que a aproximação
paraxial é na verdade apenas uma aproximação!
Para uma lente esférica, os raios que
formam ângulos suficientemente grandes com o
eixo ótico não produzem o mesmo foco obtido
pêlos raios paraxiais; trata-se do mesmo tipo de
problema de aberração esférica que existe em
espelhos esféricos. Para evitar essa e outras
limitações das lentes esféricas delgadas, cm
instrumentos óticos de precisão se usam lentes
com outras formas geométricas mais complexas.
Exemplo 8 - Determinação da distância
focal de uma lente:
(a) Suponha que os valores absolutos
dos raios de curvatura das superfícies da lente
indicada na Figura 27 sejam ambos iguais a 10
cm e que o índice de refração seja n = 1,52.
Qual é a distância focal f da lente?
(b) Suponha que os valores absolutos
dos raios de curvatura das superfícies da lente
indicada na Figura 25 sejam ambos iguais a 10
cm e que o índice de refração também seja n =
1.52. Qual é a distância focal da lente?
SOLUÇÃO: (a) O centro de curvatura
da primeira superfície está do mesmo lado dos
raios emergentes, portanto R1 é positivo:
R1 = +10 cm. O centro de curvatura da
segunda superfície não está do mesmo lado dos
raios emergentes, portanto R2 é negativo:
R2 = -10 cm. De acordo com a equação
do fabricante de lentes:
1
1
1 
  n  1   
f
 R1 R2 
1
1 
1
 1.52  1  

f
10

10 

f = 9.6 cm.
Uma vez que f é positivo, trata-se de
uma lente convergente (como era de esperar,
porque a parte central da lente é mais grossa do
que sua periferia).
(b) O centro de curvatura da primeira
superfície está do mesmo lado dos raios
incidentes, portanto R1 é negativo; para a
segunda superfície, o centro de curvatura está
do mesmo lado dos raios emergentes, portanto
R2 é positivo. Assim, R1 = -10 cm e R2 = +10
cm. Usando novamente a equação do fabricante
de lentes:
1
1
 1
 1.52  1 
 
f

10
10


f = -9.6 cm
Uma vez que f é negativo, trata-se de
uma lente divergente (como era de esperar,
porque a parte central da lente é mais fina do
que sua periferia).
36
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
37
MÉTODO GRÁFICO PARA LENTES
Podemos determinar a posição e o tamanho
da imagem formada por uma lente delgada mediante
um método gráfico semelhante ao usado na seção
para espelhos esféricos. Desenhamos novamente
alguns raios especiais, chamados de raios principais,
que divergem de um ponto do objeto que não esteja
sobre o eixo ótico. A interseção desses raios, depois
de eles ter passado através da lente, determina a
posição e o tamanho da imagem. Ao usar o método
gráfico, consideramos o desvio total do raio como se
ele ocorresse em um plano vertical passando pelo
centro da lente, como na Figura 27. Isso é
consistente com a hipótese de que a distância entre
as superfícies da lente é desprezível.
Figura 27 -
prolongamentos dos raios emergentes (Figura
27 (b)).
ATENÇÃO: Lembre que qualquer raio
que se origina do objeto e atinge a lente passará
por algum ponto da imagem (no caso da
imagem real) ou aparentemente se origina de
um ponto da imagem (no caso da imagem
virtual). Fizemos um comentário semelhante ao
abordar a formação da imagem em espelhos.
Enfatizamos apenas os raios principais porque
eles são os únicos que você precisa desenhar
para a determinação da imagem.
37
A Figura 28 ilustra diversos casos nos
quais usamos os raios principais para a determinação da imagem para um objeto situado a
diversas distâncias de uma lente convergente.
Sugerimos que você estude esses diagramas
muito cuidadosamente, comparando cada raio
numerado com a descrição feita anteriormente.
Figura 28 - Determinação da imagem em
lente convergente.
Os três raios principais cujas trajetórias
podem ser facilmente traçadas para lentes são
indicados na Figura 27:
1. Um raio paralelo ao eixo emerge da lente
passando através do segundo foco F, de uma lente
convergente ou parece emanar do segundo foco de
uma lente divergente.
2. Um raio que passa através do centro da
lente não sofre nenhum desvio apreciável; no
centro da lente, as duas superfícies são paralelas;
portanto o raio emergente entra e sai
essencialmente na mesma direção.
3. Um raio que passa através do primeiro
foco f, (ou cujo prolongamento o atinge) emerge
paralelamente ao eixo ótico.
Quando a imagem é real, a posição da
imagem puntiforme é determinada pela interseção
entre qualquer um dos três raios l, 2 e 3 (Figura 27
(a)). Quando a imagem é virtual, a posição da
imagem é determinada pela interseção dos
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
38
É importante observar diversos pontos
relacionados com a Figura 28. As partes (a), (b) e
(c) dessa figura ajudam a explicar o que ocorre
quando focalizamos a máquina fotográfica. Para que
uma fotografia fique nítida, é necessário que a
imagem focalizada pela lente se forme sobre o filme
da máquina fotográfica. Quando um objeto se
aproxima da máquina fotográfica, a distância entre a
lente e a imagem real aumenta, de modo que o filme
deve se afastar da lente (ou melhor, a lente deve se
afastar do filme). Na Figura 28 (d) o objeto se
encontra sobre o foco: nesse caso o raio 3 não e
desenhado porque ele não passa através da lente.
Parece que os raios que emergem paralelamente da
lente são provenientes do infinito. Na Figura 28 (e)
o objeto se encontra entre o foco e o vértice da lente,
ou seja. a distância do objeto é menor do que a
distância focal da lente. Os raios emergentes são
divergentes c se forma uma imagem virtual: sua
posição é determinada estendendo-se os raios
emergentes para trás. Nesse caso. a distancia da
imagem s' é negativa. Note também que a imagem é
ereta e maior do que o objeto. (Uma lente
convergente usada dessa maneira denomina-se lente
de alimento ou lupa simples. A Figura 28 (f) mostra
um objeto virtual. Os raios incidentes não divergem
de um objeto real, porém seus prolongamentos
convergem como se eles se encontrassem na
extremidade de um objeto virtual O situado do lado
direito da lente; agora a distância do objeto s é
negativa. A imagem obtida é real, visto que a
distância s' é positiva e está localizada entre a lente e
o segundo foco. Essa situação pode surgir quando os
raios que atingem a lente na Figura 28 (f) emergem
de uma outra lente convergente (não indicada na
figura) situada do lado direito da figura. O último
exemplo desta seção envolve um objeto virtual.
Estratégia para a Solução de
Problemas
1. A estratégia recomendada pode
também ser aplicada para lentes e sugerimos
que você faça agora uma revisão daquela
estratégia.
Sempre comece com um diagrama dos
raios principais quando as informações dadas
permitirem.
Oriente seu diagrama consistentemente
fazendo os raios incidirem da esquerda para a
direita. Para uma lente existem apenas três raios
principais em comparação com os quatro raios
principais de um espelho. Não faça apenas um
esboço dos raios; desenhe os raios com uma
régua, medindo cuidadosamente as distâncias.
Desenhe-os como se eles se refratassem no
plano vertical situado no centro da lente, como
indicado na Figura 27. Certifique-se de ter
usado todos os três raios quando as informações
permitiram. Para identificar a imagem basta
localizar a interseção de apenas dois raios
principais; contudo, se o terceiro raio não passar
pela mesmo ponto da interseção, provavelmente
você cometeu um erro. Nesse caso, a
redundância pode ajudar a descobrir erros.
2. Quando os raios principais não convergem
para uma imagem puntiforme real a imagem é
virtual. Você deve prolongar esses raios em
linha reta para trás para achar o ponto de
interseção da imagem virtual, que se encontra
do lado mesmo lado da lente no qual os raios
incidem.
3. As mesmas regras de sinais que usamos
para espelhos e para uma única superfície
refratora também são válidas para lentes
delgadas. Tenha bastante cuidado ao aplicar
essas regras e interprete os resultados
corretamente.
4. Use sempre os dois métodos para
determinar a posição e o tamanho da imagem,
ou seja, o método gráfico deve ser confirmado
pêlos cálculos. Essa é a melhor maneira de
garantir a consistência dos resultados.
5. A imagem formada por um espelho ou por
uma lente pode servir de objeto para outro
dispositivo ótico. Nesse caso, determine
cuidadosamente as distâncias do objeto e da
imagem para essa imagem intermediária;
certifique-se de ter incluído as distâncias entre
os dois dispositivos (lentes e/ou espelhos) corretamente
Exemplo 9 - Localização da imagem e
ampliação usando uma lente convergente. Uma
lente convergente possui distância tocai igual a
20 cm. Faça um gráfico para localizar a imagem
para um objeto cuja distância ate a lente é de:
(a) 50 cm; (b) 20 cm: (c) 15 cm; (d) -40 cm.
38
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
39
Determine a ampliação transversal cm cada caso.
Confira os resultados calculando a posição da
imagem c a ampliação a partir das equações dadas.
SOLUÇÃO: Os diagramas dos raios principais
apropriados são indicados nas figuras 28 (a), 28 (d),
28 (e) e 28 (f). A partir de medidas feitas nos
gráficos, as distâncias são aproximadamente 35 cm,
-∞. -40 cm e 15 cm, e as ampliações são,
respectivamente: -2/3, +∞, +3 e +1/3.
De acordo com a Equação:
1 1 1
 
s s f
achamos os seguintes valores para as posições
das imagens:
1 1
1
(a)
 
 s  33.3cm
50 s 20
1 1
1
(b)
 
 s  
20 s 20
1 1
1
(c)
 
 s  60cm
15 s 20
1
1
1
(d)
 
 s  13.3cm
40 s 20
Os resultados obtidos graficamente são
aproximadamente iguais aos obtidos por meio dos
cálculos, exceto para o caso (c); a precisão do
diagrama da Figura 28 (e) é limitada porque os raios
que se estendem para trás possuem direções
aproximadamente iguais. Observe que a distância s'
é positiva para as imagens reais dos casos (a) e (d) é
negativa para a imagem virtual do caso (c).
De acordo com a Equação, as ampliações são:
33.3
2
(a) m  
m
50
3

(b) m  
 m  
20
60
(c) m  
 m  4
15
13.3
1
(d) m  
m
40
3
Exemplo 10 - Formação da imagem usando uma
lente divergente Você dispõe de uma lente delgada
divergente e verifica que os raios paralelos
incidentes são espalhados depois de passar pela
lente, dando a impressão de que emanam de um
ponto situado a uma distância de 20,0 cm do centro
da lente. Você deseja usar essa lente para formar
uma imagem virtual ereta com altura igual a 1/3 da
altura do objeto. (a) Onde o objeto deve ser
colocado? (b) Faça um diagrama dos raios
principais.
SOLUÇÃO
(a) A informação sobre os raios paralelos
incidentes mostra que a distância focal é f = -20,0
cm. Desejamos que a ampliação transversal seja
igual a + 4 (o valor positivo foi usado porque o
objetivo é que a imagem seja ereta.) De acordo
com a Equação, m = + = -s'/s. portanto ,s' = s/3. De acordo com a Equação
1
1
1
s
40


 s  40  s    
 13.3cm
s  s 3 20
3
3
A distância da imagem é negativa, portanto o
objeto e a imagem estão do mesmo lado da
lente.
(b) A Figura 29 pode ser usada par
fazer o diagrama solicitado, traçando os raios
numerados de modo semelhante ao indicado na
Figura 28.
Figura 29 - Diagrama dos raios
principais para a formação da imagem em uma
lente delgada convergente.
Exemplo 11 - Imagem de uma
imagem. Um objeto com altura igual a 8,0 cm é
colocado a 12,0 cm à esquerda de uma lente
convergente com distância focal de 8,0 cm.
Uma segunda lente convergente com distância
focal de 6,0 cm é colocada a 36,0 cm à direita
da primeira lente. Ambas as lentes possuem o
mesmo eixo ótico. Determine a posição, o
tamanho e a orientação da imagem final
produzida por essa combinação de lentes.
(Combinações de lentes convergentes são
usadas em microscópios e telescópios,)
SOLUÇÃO: A situação é ilustrada na
Figura 30.
Figura 30 -
39
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
40
O objeto O se encontra à esquerda do
primeiro foco F, da primeira lente, de modo que essa
lente produz uma imagem real I. Os raios luminosos
que incidem sobre a segunda lente emanam dessa
imagem como se a imagem I fosse um objeto
material. Portanto, a imagem formada pela primeira
lente serve como objeto da segunda lente.
Na Figura 30 desenhamos os raios
principais l, 2 e 3 a partir da extremidade superior
da seta do objeto
O para determinar a posição da primeira imagem I e
desenhamos os raios principais l', 2' e 3' a partir da
extremidade superior da seta da imagem para definir
a posição da segunda imagem I' formada pela
segunda lente (embora os raios 2' e 3' não possuam
existência real no caso presente). Note que a
imagem final sofreu duas inversões, uma em cada
lente, de modo que a segunda imagem iI' possui a
mesma orientação do objeto original.
Para calcular a posição e o tamanho da
segunda imagem I', inicialmente precisamos
determinar a posição e o tamanho da primeira
imagem I.
Aplicando para a primeira lente a Equação:
1 1 1
 
s s f
1 1 1
   s1'  24, 0cm
12 s1' 8
A primeira imagem I está a 24,0 cm à
direita da primeira lente. A ampliação é dada por:
m = -(24,0 cm)/( 12,0 cm) = -2.00
portanto a altura da imagem é:
(-2.00)(8,0 cm) = -16,0 cm.
Obtemos:
A primeira imagem está a 36,0 cm - 24.0
cm = 12.0 cm à esquerda da segunda lente, de modo
que a distância do objeto para a segunda lente é
igual a +12.0 cm. Aplicando para a segunda lente a
Equação (35.16), obtemos a posição da imagem
final:
A imagem final está a 12,0 cm à direita da segunda
lente e a 48,0 cm à direita da primeira lente.
A ampliação da imagem produzida pela segunda
lente é dada por:
m2 = -(12,0 cm)/( 12,0 cm) = -l .0.
Portanto a altura da imagem final é
exatamente a mesma altura da primeira imagem.
Porém com orientação oposta. Esses
resultados são também indicados pelo diagrama dos
raios principais.
Exemplo 12 - Imagem de uma imagem.
Na situação descrita no exemplo anterior, a
segunda lente é deslocada para uma distância de 12
cm à direita da primeira lente. Para essa nova
configuração, determine a posição, o tamanho e a
orientação da imagem final produzida pela
combinação dessas duas lentes.
Figura 31 -
1 1 1
1
1 1
  

  s2  4, 0cm
s s f
12 s2 6
Ampliação da segunda lente:
4
m  
 m  5.33
12
Tamanho final da imagem:
y  my  y  0.33   16  5.33cm
Imagem invertida em relação ao objeto.
40
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
41
Instrumentos de Óptica Geométrica
Introdução
Nos capítulos precedentes aprendemos os
fundamentos da formação de imagens usando
espelhos e lentes. Agora aplicaremos essas idéias em
alguns dispositivos óticos comuns e explicaremos
como eles funcionam. Em que aspectos a máquina
fotográfica é semelhante ao olho humano? Quais são
as diferenças'? O que deve fazer um fotógrafo ou um
operador de projetor de cinema para ajustar o "foco"
do filme? Como pode uma particular combinação de
duas lentes produzir um microscópio, porém outra
combinação produzir um telescópio? As respostas a
essas e outras perguntas podem ser dadas aplicandose os princípios básicos sobre espelhos e lentes que
estudamos.
O conceito de imagem que serviu de base para o
entendimento dos dispositivos óticos simples,
discutidos no Capítulo 35, desempenha papel
igualmente importante na análise dos instrumentos
de ótica. Continuamos a orientar nossa análise pelo
modelo de raios luminosos, portanto este capítulo
está enquadrado no estudo geral da ótica geométrica.
possível. Para uma lente convergente, a
distância da imagem aumenta quando a
distância do objeto diminui. Portanto, para
"focalizar" a máquina fotográfica, a lente deve
ficar mais próxima do filme para um objeto
distante e mais afastada do filme quando o
objeto está próximo da máquina. Geralmente
isso é feito fazendo-se girar uma montagem com
rosca que aproxima ou afasta a lente.
A escolha de uma distância focal/para
uma dada máquina fotográfica depende do
tamanho do filme e do ângulo de visão desejada.
Na Figura 2 as três fotografias foram obtidas
comum filme de 35 mm, usando a mesma
máquina fotográfica e focalizando a mesma
cena na mesma posição, porém empregando
lentes com diferentes distâncias focais.
Uma lente com distância focal muito
grande, denominada lente telefoto, fornece um
ângulo de visão pequeno e uma imagem grande
de um objeto distante (tal como a estátua
mostrada ma figura 2 (c)), a chamada lente
grande angular é uma lente com distância focal
pequena, que fornece um ângulo de visão
grande e uma imagem pequena.
CÀMERAS E PROJETORES
A câmera e o projetor são exemplos de
dispositivos óticos simples e muito usados na vida
cotidiana.
Eles
aplicam
princípios
óticos
semelhantes para realizar tarefas complementares. A
câmera ou máquina fotográfica produz uma pequena
imagem de um objeto, registrando-a em um filme.
Esse filme pode, a seguir, ser usado como um objeto
para um projetor que produz uma imagem ampliada
desse objeto sobre uma tela.
CÂMERAS
Os elementos básicos de uma câmera ou
máquina fotográfica são uma lente convergente, uma
caixa hermética (a palavra "câmera" é de origem
latina e significa "compartimento fechado"), um
filme sensível à luz para registrar a imagem e um
obturador combinado com um diafragma que serve
de janela para que a luz penetre na câmara fechada e
atinja a película durante um certo intervalo de tempo
(Figura 1 (a). A lente forma sobre o filme uma
imagem invertida real do objeto que está sendo
fotografado. As lentes das máquinas fotográficas de
boa qualidade possuem diversos elementos que são
usados para corrigir diferentes aberrações, incluindo
a dependência do índice de refração com o
comprimento de onda e as limitações impostas pela
aproximação paraxial. (As aberrações das lentes
serão discutidas depois) Um modelo clássico de
lentes para máquinas fotográficas é o dispositivo
"Tessar" da marca registrada Zeiss indicado na
Figura 1 (b).
Quando a máquina fotográfica está
corretamente focalizada, a posição do filme
corresponde à posição da imagem real formada pela
lente. A fotografia resultante será tão nítida quanto
Figura 1 -
Figura 2 -
41
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
42
Para entender esse comportamento, lembre
que a distância focal fornece a distância entre a
imagem e a lente quando o objeto está no infinito.
Em geral, para qualquer distância do objeto, o uso
de uma lente com distância focal maior fornece uma
distância maior para a imagem. Isso também faz
aumentar a altura da imagem; conforme vimos, a
razão entre a altura da imagem y' e a altura do objeto
y (a ampliação transversal) é igual ao módulo da
razão entre a distância da imagem s' e a distância do
objeto s.
y
s
m 
y
s
Para uma lente com distância focal
pequena, a razão s/s´ é pequena e um objeto distante
fornece somente uma imagem pequena. Quando
usamos uma lente com distância focal grande, a
imagem desse mesmo objeto pode cobrir
inteiramente a área do filme. Portanto quanto maior
for a distância focal, menor será o ângulo de visão
(Figura 2 (d)).
O ângulo de visão pode ser aumentado
simplesmente fazendo-se aumentar o tamanho do
filme. Quando usamos uma máquina fotográfica
com filme de 35 mm, para o qual a área da imagem
é igual a 24 mm x 36 mm, uma lente com f = 50 mm
fornece um ângulo de visão igual a 45°; a lente com
esse ângulo de visão é chamada de lente "normal".
Para uma máquina fotográfica que empregue uma
lente com a mesma distância focal, porém com um
filme de 60 mm x 70 mm, a lente funciona como
uma grande angular com um ângulo de visão igual a
63°.
A fim de que o filme registre uma imagem
apropriadamente, a energia total da luz incidente que
atinge o filme por unidade de área (a "exposição")
deve ficar situada entre determinados limites. Isso é
controlado pela velocidade do obturador e pela
abertura do diafragma. O obturador controla o
intervalo de tempo durante o qual a luz permanece
sobre o filme. Esse tempo pode ser ajustado em
intervalos com um fator igual a dois, geralmente
desde l s até 1/1000 s.
A intensidade da luz que atinge o filme é
proporcional à área vista pela lente da máquina
fotográfica e à área efetiva da lente. O tamanho da
área que a lente "vê" é proporcional ao quadrado do
ângulo de visão da lente e, portanto, ela é
aproximadamente proporciona a l/f 2. A área efetiva
da lente é controlada por meio do ajuste da abertura
da
lente,
ou
diafragma,
um
orifício
aproximadamente circular com diâmetro variável D;
portanto a área efetiva é proporcional a D2.
Reunindo esses dois fatores, vemos que a
intensidade da luz que atinge o filme com uma lente
particular é proporcional a D2/f2. A capacidade da
entrada de luz de uma lente é expressa pêlos
fotógrafos em termos da razão f/D, chamada de
número/da lente:
f
Distância focal

D Diâmetro da abertura
Por exemplo, dizemos que uma lente com
distância focal f = 50 mm e um diâmetro de
abertura D =25 mm possui um número/igual a 2,
ou "uma abertura de f/2. A intensidade da luz
que atinge o filme é inversamente proporcional
ao quadrado do número.
Para uma lente com diâmetro de abertura
variável, quando este aumenta de um fator igual
a
2 , o número/aumenta de 1 2 e a
intensidade da luz que atinge o filme aumenta
de um fator 2. As aberturas ajustáveis possuem
geralmente uma escala com números sucessivos
(chamada de escala do número/) relacionados
por fatores de 2 , tais como:
f/2, f/2.8, f/4, f/5.6, f/8, f/11, f/16,
e assim por diante. Os números maiores
correspondem a aberturas e exposições menores
e cada ponto da escala corresponde a um fator
igual a 2 na intensidade (veja a Figura 36.3). A
exposição efetiva (quantidade total da luz que
atinge o filme) é proporcional ao tempo de
exposição e à área da abertura. Portanto, f/4 e
1/500s, f/5 e 1/250s, f/8 e 1/125s são pares de
valores que correspondem à mesma exposição
efetiva.
Muitos fotógrafos usam a chamada
lente zoom, um conjunto complexo de lentes
que fornece uma distância focal que varia
continuamente, em geral em um intervalo
grande da ordem de 10 até l. As figuras 4 (a) e
(b) mostram sistemas simples com distâncias
focais variáveis e a Figura 4 (c) mostra uma
lente zoom típica de uma máquina fotográfica
de 35 mm.
A lente zoom fornece um intervalo de
imagens com diversas ampliações para um
mesmo objeto. É um problema muito complexo
nos projetos de ótica manter a imagem em foco
e, ao mesmo tempo, um número/constante
enquanto a distância focal varia. Ao variar a
distância focal de uma lente zoom típica, dois
conjuntos de elementos se movem no interior da
lente e um diafragma abre e fecha.
O sistema ótico empregado em uma
câmara que produz imagens para a televisão é
essencialmente análogo ao sistema ótico da
máquina fotográfica. O filme é substituído por
um sistema eletrônico que, no formato usado
nos Estados Unidos, produz uma varredura da
imagem com uma série de 525 linhas paralelas.
O brilho da imagem ao longo dessas linhas é
traduzido em impulsos elétricos que podem ser
armazenados em fitas de vídeo ou então
enviados por ondas eletromagnéticas com
freqüências da ordem de 100 até 400 MHz. A
cena inteira é varrida 30 vezes por segundo, de
modo que são varridas 30 x 525 ou 15.750
Nf 
42
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
43
linhas em cada segundo. Alguns receptores de TV
emitem um som fraco com altura elevada para essa
freqüência de varredura (duas oitavas acima do B
mais elevado do piano).
Figura 3 -
carbono no caso de um projetor de cinema)
passa através do filme e uma lente de projeção
forma sobre uma tela uma imagem real,
invertida e maior que o filme. Um espelho
côncavo atrás da lâmpada também ajuda a
direcionar a luz. As lentes do condensador
devem ser suficientemente grandes para cobrir a
área total do filme. A imagem formada sobre a
tela é sempre real e invertida; por essa razão os
diapositivos ou slides devem ser sempre
colocados no interior do projetor em uma
posição invertida. A posição e o tamanho da
imagem projetada sobre a tela são determinados
pela posição e pela distância focal da lente do
projetor.
Figura 4 -
Figura 5 -
Exemplo 1: Exposição de uma fotografia.
Uma lente telefoto comum da máquina fotográfica
de 35 mm possui uma distância focal igual a 200
mm e intervalos da escala f desde f/5.6 até f/745.
(a) Qual é o intervalo de diâmetros das aberturas
correspondentes?
(b) Qual é o intervalo correspondente para a
intensidade da imagem no filme?
SOLUÇÃO: (a) De acordo com a Equação:
o intervalo de diâmetros é dado por:
f
200
D

 36mm
Nf
5.6
f
200
D

 4.4mm
Nf
45
(b) Como a intensidade é proporcional ao
quadrado do diâmetro, a razão entre a intensidade
para f/5.6 e para f/45 é:
2
 36 

  65
 4.4 
Caso o tempo de exposição correio para f/5.6
seja igual a 1/1000 s, então para f/45 ele será dado
por:
(65)(1/1000s) = 1/15s.
PROJETORES
Um projetor é um dispositivo usado para
ver diapositivos ou filmes de cinema e seu funcionamento equivale ao inverso da máquina
fotográfica. Seus elementos essenciais são indicados
na Figura 5. A luz proveniente de uma fonte (uma
lâmpada incandescente ou uma lâmpada de arco de
Os retroprojetores usados nas salas de
aula apresentam um esquema semelhante para
projetar uma imagem sobre uma tela, porém
existem duas diferenças importantes (Figura 6
(a)). Depois de a luz sair da lente do projetor,
um espelho plano inclinado reflete e inverte a
imagem de modo que ela possa ser vista sobre a
tela com a orientação correta. Além disso, a luz
proveniente da lâmpada é direcionada para a
lente do projetor por um dispositivo de
plástico transparente sobre o qual colocamos a
transparência que desejamos projetar. Esse
dispositivo de plástico é um exemplo de lente de
Fresnel. Todas as lentes que descrevemos até o
momento funcionam com a refração que se dá
em suas superfícies, nenhuma refração ocorre
no interior da lente. Se eliminássemos uma parte
do material do interior da lente, poderíamos
reduzir sensivelmente o peso de uma lente
grande. É exatamente isso que a lente de Fresnel
faz (Figura 6 (b)). Cada segmento circular copia
o contorno circular correspondente de uma lente
43
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
44
comum. Você pode ver esses segmentos
examinando a superfície do retroprojetor onde
apoiamos a transparência. As lentes de Fresnel
geralmente não possuem qualidade muito boa, mas
são leves e custam pouco, levando em consideração
seu tamanho. Elas lambem são usadas em sinais de
trânsitos luminosos, em coletores de luz, em. células
solares, em lupas planas de bolso, em lâmpadas para
iluminação e em muitos outros dispositivos.
Figura 7 -
Figura 6 -
44
Exemplo 2 - Um projetor de diapositivo A
área de um diapositivo colorido comum de 35 mm é
igual a 24 mm x 36 mm. Qual é a distância focal da
lente do projetor necessária para que uma imagem de
l,2 m x l ,8 m se forme sobre uma tela situada a 5,0
m da lente?
SOLUÇÃO: Precisamos de uma ampliação
transversal com módulo dado por (l ,2 m)/(24 mm) =
50. De acordo com a Equação (35.17), a razão s'ls
também deve ser igual a 50. (A imagem é real, de
modo que s' é positivo.) Sabemos que s' = 5,0 m.
Logo, s = (5,0 m)/50 = 0,10 m. Então, de acordo
com a Equação (35.16).
1 1 1
1
1 1
   
  f  98mm
s s f
f 0.1 5
Uma distância focal comum para um projetor
de diapositivos doméstico é igual a 100 mm; esse
tipo de lente é fácil de encontrar e poderia ser uma
escolha apropriada para essa situação. Diversos
projetores são equipados com lentes do tipo zoom
a fim de possibilitar um dado intervalo para os
tamanhos da imagem e de permitir o uso de
diferentes distâncias entre o projetor e a tela.
O OLHO
O comportamento ótico do olho é
semelhante ao da máquina fotográfica. As partes
essenciais do olho humano, considerado um sistema
ótico, são indicadas na Figura 7. A forma do olho é
quase esférica, com diâmetro aproximadamente
igual a 2,5 cm.
A parte frontal é ligeiramente mais
encurvada e é recoberta por uma membrana
dura e transparente, a córnea. A região atrás da
córnea contém um líquido chamado de humor
aquoso. A seguir vem o cristalino, uma lente em
forma de cápsula com uma gelatina fibrosa dura
no centro e progressivamente mais macia à
medida que se aproxima de sua periferia. A
lente do cristalino é sustentada por ligações com
o músculo ciliar, localizado em sua periferia.
Atrás dessa lente, o olho está cheio de um
líquido gelatinoso chamado de humor vítreo. Os
índices de refração do humor vítreo e do humor
aquoso são ambos aproximadamente iguais a
1.336, valor quase igual ao índice de refração da
água. O cristalino, apesar de não ser
homogêneo, possui um índice de refração de
1.437.
Esse valor não é muito diferente do
índice de refração do humor vítreo e do humor
aquoso: a maior parte da refração da luz que
chega ao olho ocorre na superfície externa da
córnea.
A refração na córnea e nas
superfícies da lente produz uma imagem real
do objeto que está sendo observado. A
imagem é formada sobre a retina, uma
membrana sensível à luz situada junto da
superfície interna da parte traseira do olho. A
retina desempenha o mesmo papel do filme na
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
45
máquina fotográfica. Os cones e os bastonetes
existentes na retina agem como minúsculas
fotocélulas, que captam a imagem e transmitem os
impulsos através do nervo ótico para o cérebro. A
visão é mais precisa em uma pequena região
central chamada fóvea central, com diâmetro
aproximado de 0,25 mm.
A íris se localiza na parte dianteira do
cristalino. Ela contém uma abertura com diâmetro
variável denominada pupila que se abre ou se
fecha para adaptar a entrada da luz de acordo com
a variação da luminosidade. Os receptores da
retina também possuem mecanismos de adaptação
da intensidade.
Para que um objeto seja visto com bastante
nitidez, a imagem deve ser formada exata-mente
sobre a retina. O olho se ajusta para diferentes
distâncias s do objeto, fazendo alterações na
distância focal/de sua lente; a distância s' entre a
lente e a retina não varia. (Compare com a máquina
fotográfica, na qual a distância focal é fixa, porém a
distância entre o filme e a lente varia.) Para um olho
normal, um objeto no infinito é focalizado quando o
músculo ciliar está relaxado. Para produzir uma
imagem bem focalizada sobre a retina de um objeto
próximo, a tensão no músculo ciliar que envolve o
cristalino aumenta, o músculo ciliar se contrai e o
cristalino fica mais grosso na parte central fazendo
diminuir os raios de curvatura de suas superfícies;
logo, a distância focal diminui. Esse processo é
chamado de acomodação.
contrair uma lente maior. Por essa razão, a
distância do ponto próximo aumenta à medida
que a pessoa envelhece. Esse aumento da
distância do ponto próximo recebe o nome
popular de vista cansada e o nome científico de
presbiopia. Na Tabela 36. l mostramos alguns
valores aproximados da posição do ponto
próximo para o olho normal de uma pessoa
comum em diversas idades. Por exemplo, uma
pessoa com 50 anos não consegue focalizar com
nitidez nenhum objeto que esteja a uma
distância aproximadamente menor do que 40 cm
Figura 8 -
Tabela 1 VARIAÇÃO DO PONTO PRÓXIMO
SEGUNDO A IDADE
Idade (anos)
10
20
30
40
50
60
Ponto próximo (cm)
7
10
14
22
40
200
Os extremos do intervalo para o qual a
visão distinta é possível são chamados de ponto
próximo e de. ponto distante. O ponto distante de
um olho normal se encontra no infinito. A posição
do ponto próximo depende da capacidade do
músculo ciliar de reduzir o raio de curvatura do
cristalino. O intervalo de acomodação diminui
gradualmente à medida que a pessoa envelhece, pois
o cristalino aumenta durante a vida (para uma idade
de 60 anos ele é 50% maior do que aos 20 anos) e os
músculos ciliares tomam-se menos capazes de
Diversos defeitos comuns da visão
resultam de relações incorretas entre distâncias
que ocorrem no olho. Um olho normal forma
sobre a retina uma imagem de um objeto que se
encontra no infinito quando o olho está relaxado
(Figura 8 (a)). No olho míope, o globo ocular é
muito alongado em comparação com o raio de
curvatura da córnea (ou a córnea é encurvada
muito fortemente) e os raios de um objeto
situado no infinito são focalizados antes da
retina (Figura 8 (b)). Logo, a maior distância
para a qual um objeto forma uma imagem sobre
a retina está em um ponto mais próximo do que
no caso do olho normal. No olho hipermétrope,
o globo ocular é muito curto ou a córnea não é
suficientemente encurvada, e, assim, os raios de
45
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
46
um objeto situado no infinito são focalizados atrás
da retina (Figura8 (c)). O olho míope produz uma
convergência demasiadamente grande dos raios
paralelos e forma uma imagem antes da retina; o
olho hipermétrope produz uma convergência
insuficiente e forma uma imagem depois da retina.
No astigmatismo a superfície da córnea não
é esférica, porém é mais encurvada em um dado
plano do que em outro. Por causa disso, uma reta
vertical pode formar uma imagem em um plano
diferente do plano formado pela imagem de uma
reta horizontal (Figura 9). O astigmatismo pode
tornar impossível, por exemplo, a focalização
simultânea das barras verticais e horizontais de uma
janela.
Figura 11 -
Figura 12 -
Figura 9 -
Todos esses defeitos podem ser corrigidos
mediante o uso de lentes corretoras (óculos ou lentes
de contato). O ponto próximo de um olho com
miopia ou presbiopia está mais longe do que o ponto
próximo de um olho normal. Para ver nitidamente
um objeto situado na distância normal de leitura
(geralmente em torno de 25 cm), é necessário o uso
de uma lente que forme uma imagem situada sobre o
ponto próximo ou depois dele. Isso pode ser
conseguido com uma lente convergente (positiva),
como indicado na Figura 10. Na verdade, a lente faz
o objeto se deslocar para uma distância mais
afastada do olho para que a imagem seja focalizada
sobre a retina. Analogamente, a correção da miopia
é obtida usando-se uma lente divergente (negativa)
para fazer o objeto se deslocar para uma distância
mais próxima do olho do que a distância real do
objeto, como indicado na Figura 11.
Figura 10 -
O astigmatismo é corrigido pelo uso de
uma lente com superfície cilíndrica. Por exemplo, suponha que a curvatura da córnea em um
plano horizontal seja correia e focalize sobre a
retina raios provenientes do infinito, porém que
sua curvatura em um plano vertical seja tão
grande que a focalização ocorra antes da retina.
Quando uma lente cilíndrica divergente com
eixo horizontal é colocada antes do olho, os
raios no plano horizontal não sofrem nenhuma
modificação, mas a divergência adicional dos
raios no plano vertical faz com que esses raios
sejam focalizados sobre a retina, como se vê na
Figura 12.
As lentes corretivas são geralmente
descritas em termos da potência, definida como
o inverso da distância focal expressa em metros.
A unidade de potência é a dioptria. Portanto,
uma lente com f'= 0,50 m possui uma potência
igual a 2,0 dioptrias, f= -0,25 m corresponde a
uma potência igual a -4,0 dioptrias, e assim por
diante. Os números em uma receita de óculos
geralmente referem-se a potências expressas em
dioptrias.
Quando
o
defeito
envolve
simultaneamente astigmatismo e miopia ou
hipermetropia, existem três números: um para a
potência da lente esférica, um para a potência da
lente cilíndrica e um ângulo para descrever a
orientação da lente cilíndrica corretora.
46
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
47
Exemplo 3 - Correção da hipermetropia. O
ponto próximo de certo olho hipermétrope está a
100 cm em frente ao olho. Para ver com nitidez um
objeto situado a uma distância de 25 cm do olho.
qual é a lente de contato necessária?
SOLUÇÃO: Desejamos que a lente forme uma
imagem virtual do objeto em um local
correspondente ao ponto próximo do olho a uma
distância de 100 cm do olho. Ou seja, quando s = 25
cm, s' tem de ser igual a -100 cm. De acordo com a
equação das lentes delgadas.
1 1 1
1
1
1
   

 f  33cm
s s f
f 25 100
Necessitamos de uma lente convergente com
distância focal f = 33 cm. A potência correspondente
é l/(0.33m), ou +3,0 dioptrias.
Exige o uso de uma lente convergente
(distância focal positiva), portanto devemos
empregar uma lente biconvexa.
Exemplo 4 - Correção da miopia. O ponto
distante de um certo olho míope está a 50 cm em
frente ao olho. Para ver com nitidez um objeto
situado no infinito, qual é a lente necessária para os
óculos de correção? Suponha que a lente seja usada
a uma distância de 2.0 cm do olho.
SOLUÇÃO: O ponto distante de um olho
míope está mais próximo do que o infinito. Para ver
com nitidez objetos mais afastados do que o ponto
distante desse olho, é necessário que a imagem
virtual do objeto se forme a uma distância que não
seja maior do que o ponto afastado. Suponha que a
imagem virtual de um objeto no infinito seja
formada sobre o ponto afastado, a 50 cm do olho e a
48 cm da lente dos óculos. Ou seja, quando s = °°,
desejamos que s' seja igual a -48 cm. De acordo com
:
1 1 1
1 1
1
    
 f  48cm
s s f
f  48
Necessitamos de uma lente divergente
com distância focal -48 cm = -0,48 m. A potência
correspondente é igual a -2,1 dioptrias. Você é
capaz de verificar se, caso fosse usada lente de
confeito, em vez de óculos, f seria igual a -50
cm?
A LUPA
O tamanho aparente de um objeto é
determinado pelo tamanho da imagem sobre a
retina. Se o olho não possui nenhuma lente
adicional, o tamanho depende do ângulo 6
subtendido pelo objeto no olho, grandeza chamada
de tamanho angular (Figura 13 (a)).
Para observar um objeto pequeno, tal
como um inseto ou um cristal, você deve
colocá-lo mais próximo do olho, de modo que a
imagem sobre a retina e o ângulo subtendido
possuam o maior valor possível. Contudo, o
olho não pode focalizar com nitidez objetos que
estejam mais próximos do que o ponto próximo,
de modo que o tamanho de um objeto é máximo
(ou seja, ele subtende o ângulo máximo) quando
é colocado sobre o ponto próximo. Nas discussões apresentadas a seguir, vamos supor que
o ponto próximo de um observador médio esteja
situado a 25 cm de distância do olho.
Uma lente convergente pode servir
para formar uma imagem virtual maior e mais
afastada do que o próprio objeto, como indicado
na Figura 36.13b. Portanto, usando essa lente, o
objeto pode se deslocar para uma distância mais
próxima do olho e o tamanho angular da
imagem pode ser muito maior do que o tamanho
angular do objeto a uma distância de 25 cm sem
o uso da lente. Uma lente empregada dessa
maneira é chamada de lupa, também conhecida
como lente de aumento ou lupa simples. A
imagem virtual é vista com mais conforto
quando colocada no infinito, para que o
músculo ciliar não fique contraído; nas
discussões apresentadas a seguir vamos supor
que isso ocorra.
Na Figura 13 (a) o objeto está sobre o
ponto próximo, onde ele subtende um ângulo 
no olho. Na Figura 13 (b) uma lupa colocada em
frente ao olho forma uma imagem no infinito e
o ângulo subtendido com auxílio da lupa é '. A
medida da ampliação fornecida pela lente é dada
pela razão entre o ângulo '(com a lupa) e o
ângulo  (sem a lupa). Essa razão é chamada de
ampliação angular M:
M 


(ampliação angular).
ATENÇÃO:
Não
confunda
a
ampliação angular M com a ampliação
transversal m. A ampliação angular é a razão
entre o tamanho angular da imagem e o
tamanho angular do objeto correspondente; a
ampliação transversal fornece a razão entre a
altura da imagem e a altura do objeto
correspondente. Para a situação indicada na
Figura 13 (b), a ampliação angular é
aproximadamente igual a 3x, visto que a
imagem da formiga subtende um ângulo cerca
de três vezes maior que o ângulo subtendido
pela formiga na Figura 13 (a); portanto o olho
tem a impressão de ver a formiga três vezes
maior. A ampliação transversal m = -s'/s na
Figura 13 (b) é infinita porque a imagem se
forma no infinito; contudo isso não significa que
o objeto aparente um tamanho infinito quando
47
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
48
observado através da lupa! (Foi por essa razão que
não desenhamos uma formiga infinitamente grande
na Figura 13 (b).) Ao estudarmos uma lupa, a
ampliação angular M é um conceito útil, porém a
ampliação transversal m não é.
é usado um microscópio composto, que será
discutido na próxima seção.
Exemplo 5 - Dispomos de duas lentes de
plástico, uma biconvexa e a outra bicôncava,
cada uma delas com distância focal com valor
absoluto igual a 10.0 cm.
(a) Qual das duas lentes pode ser usada
como uma lupa?
(b) Qual é a ampliação angular?
SOLUÇÃO: (a) A formação da imagem
virtual indicada na
25
M
 2.5
10
O MICROSCÓPIO
Para calcularmos o valor de M,
inicialmente supomos que os ângulos sejam
suficientemente pequenos para que cada ângulo (em
radiano) seja igual a sua tangente ou a seu seno.
Usando a Figura 13 (a) e desenhando o raio na
Figura 13 (b) que passa através do centro da lente
sem sofrer desvio, verificamos que os ângulos  e '
são dados por:

y
y
 
25
f
Combinando essas relações, obtemos:
  y f 25
M 

 y 25 f
(ampliação angular para uma lupa)
A fórmula obtida sugere que seria possível
conseguir uma ampliação angular tão elevada que
fizesse diminuir a distância focal f. Contudo, as
aberrações de uma lente biconvexa simples (que
serão discutidas) impõem um limite prático para M
aproximadamente igual a 3x ou 4x. Caso essas
aberrações possam ser corrigidas, a ampliação
angular pode chegar até 20x. Se o objetivo são
ampliações angulares maiores do que esta, em geral
Se necessitamos de uma ampliação
angular maior do que a que pode ser obtida com
uma lupa simples, devemos usar um
microscópio, algumas vezes denominado de
microscópio composto. Os elementos essenciais
de um microscópio são indicados na Figura 14.
Para analisarmos esse sistema, tomamos como
base o princípio de que a imagem formada por
um elemento ótico tal como uma lente ou um
espelho pode servir de objeto para um segundo
elemento ótico. Já utilizamos esse princípio ao
deduzirmos a equação das lentes delgadas
aplicando duas vezes seguidas a equação da
refração nas duas superfícies da lente; usamos
novamente esse princípio nos exemplos, para os
quais a imagem formada por uma lente servia de
objeto para uma segunda lente.
Figura 14 -
48
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
49
O objeto O é colocado em um ponto
ligeiramente para fora do primeiro foco F, da
objetiva, uma lente convergente que forma uma
imagem I real e maior do que o objeto (Figura 14
(b)). Em um instrumento projetado adequadamente,
essa imagem se forma entre o foco F,' e o vértice de
uma segunda lente convergente, chamada de ocular,
em um ponto quase sobre seu foco. (Deixamos para
você explicar a razão pela qual essa imagem deve
ser formada na parte interna do foco quase sobre
F1'.) A ocular funciona como uma lupa simples,
conforme discutido, e forma uma imagem virtual
final I' do objeto O. A posição da imagem I' pode
estar situada entre o ponto próximo e o ponto
distante do olho. Tanto a lente ocular quanto a
objetiva de um microscópio são lentes compostas
altamente corrigidas, com diversos elementos óticos;
contudo, por simplicidade, cada uma dessas lentes é
indicada aqui como uma única lente delgada
simples.
Analogamente ao caso da lupa, o que
importa para um microscópio é sua ampliação
angular M. A ampliação angular total de um
microscópio composto é o produto de dois fatores. O
primeiro fator é a ampliação transversal m1, da
objetiva, que determina o tamanho linear da imagem
real I; o segundo é a ampliação angular M2 da
ocular, que relaciona o tamanho angular da imagem
virtual vista através da ocular com o tamanho que a
imagem real I teria se ela fosse vista sem a ocular.
O primeiro fator é dado por:
s
m1   1
s1
Onde s1, é a distância do objeto e s´1 é a distância
da imagem para a lente objetiva. Em geral, o objeto
está muito próximo do foco, de modo que a
distância da imagem s1´ é muito grande em
comparação com a distância focal f1 da lente
objetiva. Logo s'1 é aproximadamente igual a/i e
podemos escrever:
s
m1   1
f1
A imagem real I está próxima do foco F1' da
ocular, de modo que, para calcular a ampliação
angular da ocular, podemos usar a Equação:
M 2  25 f 2 onde f2, é a distância focal da ocular
(tomada como uma lente simples). A ampliação
angular total M de um microscópio composto (com
exceção de um sinal negativo que se costuma
ignorar) é o produto das duas ampliações
mencionadas:
25s1
M  m1 M 2 
f1 f 2
(ampliação angular de um microscópio)
onde s1´, f1 e f2 são grandezas medidas em
centímetros. A imagem final é invertida em relação
ao objeto.
Os fabricantes de microscópios
geralmente especificam os valores de m1, e de
M2 para os componentes do microscópio em vez
de especificar as distâncias focais da objetiva e
da ocular.
A Equação mostra que a ampliação
angular de um microscópio pode ser aumentada
usando-se uma objetiva com uma distância focal
f1, pequena, fazendo-se aumentar o valor de m1 e
o tamanho da imagem real I. Muitos
microscópios óticos possuem uma "torre‖
giratória com três ou mais objetivas com
diferentes distâncias focais para que o mesmo
objeto possa ser visto com diferentes
ampliações. A ocular também deve possuir uma
distância focal f2; pequena para se obter o valor
máximo de M.
TELESCÓPIOS
O sistema ótico de um telescópio é
semelhante ao de um microscópico composto.
Eu ambos, a imagem formada pela objetiva é
vista através de uma ocular. A diferença
essencial é que o telescópio é usado para ver
objetos grandes situados em distâncias grandes
e o microscópico é usado para ver objetos
pequenos situados muito próximos de nós.
Outra diferença é que muitos telescópios usam
como objetiva um espelho curvo e não uma
lente
Na Figura 15 mostramos um telescópio
astronômico. Como esse telescópio usa uma
lente como objetiva, ele é chamado de
telescópio de refração ou telescópio refrator. A
lente objetiva forma uma imagem real reduzida
I do objeto.
Essa imagem é o objeto para a lente
ocular, que por sua vez forma uma imagem
virtual ampliada de I. Os objetos que são visto
com um telescópio quase sempre estão tão
afastados do instrumento que a primeira
imagem I se forma aproximadamente sobre o
segundo foco da lente objetiva. Se a imagem
final I’ formada pela ocular está no infinito
(para a visão mais confortável de um olho
normal), primeira imagem deve se formar sobre
o foco da ocular. A distância entre a objetiva e a
ocular, que é igual ao comprimento do
telescópio, é portanto a soma f1+f2, das
distâncias focais, da objetiva e da ocular.
A ampliação angular M de um telescópio é
definida como a razão entre o ângulo subtendido
pela imagem final I' no olho e o ângulo
subtendido pelo objeto quando visto a olho nu.
Podemos expressar essa razão em termos das
distâncias focais da objetiva e da ocular. O
objeto (não-indicado) subtende um ângulo  na
49
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
50
objetiva e deve subentende também essencialmente
o mesmo ângulo quando a observação é feita a olho
nu. Além disso, visto que ( olho do observador se
encontra imediatamente à direita do foco F2', o
ângulo subtendido no olho pela imagem final é
aproximadamente igual ao ângulo ’. Como bd é
paralelo ao eixo ótico, a distância ab é igual a cd e é
também igual à altura y’da imagem real I.
obtida por meio de prismas de Porro,
constituído por um par de prismas com faces a
45°-45°-90° que produzem reflexão total. Eles
são inseridos entre a objetiva e a ocular
conforme indicado na Figura 16.
Figura 16 - Inversão da imagem obtida
com dois prismas de um binóculo.
Figura 15 -
50
Como os ângulos  e ' são pequenos, eles
podem ser aproximados pelas respectivas tangentes.
Pelos triângulos retângulos F1ab e F2'cd, obtemos:

 y
y
  
f1
f2
A ampliação angular M de um telescópio é dada
pela razão entre a distância focal à objetiva e a
distância focal da ocular. O sinal negativo mostra
que a imagem final é invertida. A Equação mostra
que, para obter uma ampliação angular grande, um
telescópio deve possuir uma objetiva com distância
focal F1 grande. Em contraste, vimos que um
microscópico precisa de uma objetiva com uma
distância focal pequena. Contudo, um telescópio que
possua uma objetiva com uma distância focal grande
deve também ter um diâmetro D grande para que o
número, dado por f1/D, na seja muito grande; como
dissemos, um número grande significa um imagem
sem brilho, com pouca intensidade. Normalmente
um telescópio não possui muitas objetivas para
serem trocadas; em vez disso, a variação da
ampliação angular obtida fazendo-se variar as lentes
da ocular com diferentes valores da distância focal
f2. Analogamente ao caso do microscópico, valores
pequenos de f2 fornecem ampliações angulares
maiores.
Uma imagem invertida não oferece nenhuma
desvantagem para uma observação astronômica.
Contudo, quando usamos um telescópio ou
um binóculo para observar um objeto na Terra,
desejamos que a imagem não seja invertida. A
inversão da imagem em um binóculo com prismas é
A imagem é invertida pelas quatro
inversões internas que ocorrem nas faces do
prisma adjacentes ao ângulo de 45°.
Os prismas também servem para
inverter a trajetória dos raios, diminuindo o
tamanho do instrumento e tomando-o mais
compacto. Os binóculos geralmente são
especificados por dois números separados pelo
sinal de multiplicação, tal como 7 x 50. O
primeiro número indica a ampliação angular M
e o segundo revela o diâmetro da lente objetiva
(em milímetros). O diâmetro serve para
determinar a capacidade da entrada de luz
através da objetiva e, portanto, indica o brilho
da imagem.
No telescópio refletor (Figura 17), a
lente objetiva é substituída por um espelho côncavo. Para um telescópio de grandes dimensões,
esse esquema apresenta muitas vantagens
teóricas e práticas. Um espelho não apresenta
inerentemente nenhuma aberração cromática
(dependência da distância focal com o
comprimento de onda) e as aberrações esféricas
(associadas com a aproximação paraxial) são
mais fáceis de corrigir do que no caso de lentes.
A superfície refletora é muitas vezes parabólica
em vez de esférica. O material do espelho não
tem de ser transparente e pode ser mais rígido
do que no caso de uma lente, que só pode ser
suportada em sua periferia.
Figura 17 - Sistema ótico de um
telescópio refletor. (a) O primeiro foco; (b) o
foco newtoniano (um esquema inventado por
Isaac Newton): (c) o foco de Cassegrain.
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
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(d)
(e) Hubble.
Os maiores telescópios refletores existentes no
mundo ate o momento são os telescópio,' Keck, no
cume da montanha Mauna Kea, no Havaí; cada um
deles possui um espelho com diâmetro total de 10 m
montado com 36 elementos refletores
hexagonais. Lentes com dia metros superiores a
l m geralmente não são práticas.
Como a imagem é formada em uma região
atravessada pêlos raios incidentes, ela só pode
ser observada bloqueando-se uma parte desses
raios (Figura 17 (a)); isso só é prático quando o
telescópio é muito grande. Esquemas
alternativos usam um segundo espelhos para
refletir a imagem para a parte lateral ou então
apresentam um orifício na região central do
espelho, como indicado nas figuras 17 (b) e 17
(c).
Quando um telescópio é usado par
fazer uma fotografia, a ocular é removida e no
local onde se forma a imagem real da objetiva
coloca-se um filme ou um detector. (Algumas
"lentes" com distâncias focais muito grande
empregadas em fotografia são na realidade
telescópios refletores.) Quase todos os
telescópio refletores usados em pesquisas
astronômicas nunca empregam oculares.
A grande importância do Telescópio
Espacial Hubble (nome dado em homenagem ao
astrônomo norte-americano Edwin Powell
Hubble que viveu de 1889 a 1953) está no fato
de ele estar colocado no espaço, fora da
atmosfera da Terra. A luz dos astros para chegar
a ele não precisa passar por nossa atmosfera.
Toda informação que obtemos de um astro está
na luz que vem deles. A atmosfera sempre
"some" com parte dessa informação e é por isso
que os observatórios astronômicos profissionais
sempre são construídos em locais bem altos.
Mesmo assim um telescópio "de solo" somente
conseguirá momentaneamente uma resolução de
imagem superior a 1,0 segundo de arco, isso em
condições
atmosféricas
extremamente
adequadas à observação. Com essa resolução
somos capazes de ver uma bola de futebol a
51,5 km de distância. A resolução do Hubble é
cerca de 10 vezes melhor, ou seja, de 0,1
segundo de arco. Com essa resolução e com a
ajuda de técnicas de reduções fotográficas
feitas por computador, podemos distinguir
separadamente
objetos
suficientemente
brilhantes a até menos de dois metros de
distância um do outro, como os dois faróis de
um carro que estivesse na Lua.
A "potência" de um telescópio está na
quantidade de luz que ele pode receber
instantaneamente de um objeto. Quanto maior o
diâmetro de um telescópio, maior a sua
"potência". O Hubble é um telescópio refletor
(seu elemento óptico principal é um espelho)
com 2,40 metros de diâmetro. Se fosse um
telescópio de solo ele seria considerado de porte
médio. (Os 2 maiores telescópios do mundo
estão no observatório de Mauna Kea no Havaí e
têm 10 metros de diâmetro cada. Existem 28
51
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
52
telescópios maiores que o Hubble, espalhados pelo
mundo, em funcionamento.) Mais que um
telescópio, o Hubble é um verdadeiro observatório
espacial, contendo instrumentação necessária a
vários tipos de observação. (Contém 3 câmeras, 1
detector astrométrico e 2 espectrógrafos). Além de
fotografar os objetos e medir com grande precisão
suas posições, o Hubble é capaz de "dissecar" em
detalhes a luz que vem deles. O Hubble está em uma
órbita baixa, a 600 km da superfície da Terra e gasta
apenas 95 minutos para dar uma volta completa em
torno de nosso planeta. A energia necessária para o
seu funcionamento é coletada por 2 painéis solares
de 2,4 x 12,1 metros cada. A sua massa é de 11.600
kg.
Os objetivos do Hubble podem ser
resumidos como sendo: Investigar corpos celestes
pelo estudo de suas composições, características
físicas e dinâmica; Observar a estrutura de estrelas e
galáxias e estudar suas formação e evolução;
Estudar a história e evolução do universo. Para
atingir seus objetivos a pesquisa do Hubble é
dividida em Galáxias e Aglomerados; Meio
Interestelar; Quasares e Núcleos Ativos de Galáxias;
Astrofísica Estelar; Populações Estelares e Sistema
Solar.
Por essa razão, a imagem formada por esses
raios nunca é perfeitamente nítida. A aberração
esférica consiste na impossibilidade de um
objeto puntiforme situado sobre o eixo da lente
convergir para uma imagem puntiforme. Em vez
disso, os raios convergem para uma região no
interior de um círculo que possui um raio
mínimo, chamado de círculo de confusão mínima, e a seguir divergem novamente, como
indicado na Figura 18. As aberrações correspondentes para um objeto situado fora do eixo
ótico produzem imagens em forma de cone em
vez de círculos; esse efeito é chamado de coma.
Note que, à medida que diminui a abertura
efetiva da lente (veja a Figura 36. l a), os raios
que formam ângulos grandes são cortados e
portanto as aberrações esféricas diminuem.
Figura 18 -
(http://www.observatorio.ufmg.br/hubble.htm)
ABERRAÇÕES DAS LENTES
Uma aberração é qualquer comportamento de
um espelho ou uma lente que não seguem as
fórmulas que deduzimos anteriormente. Existem
basicamente dois tipos de aberrações:
 aberração cromática, que envolve a
dependência da imagem com o comprimento de
onda;
 aberração monocromática, que
ocorre mesmo no caso de a luz incidente ser
monocromática (luz com um único comprimento de
onda). As aberrações das lentes não são produzidas
por um defeito de fabricação, tal como uma
irregularidade em sua superfície, ma decorrem
inevitavelmente das leis da refração em superfícies
esféricas.
Todas as aberrações monocromáticas são
associadas com a aproximação paraxial. Todas as
deduções que fizemos sobre objetos, imagens,
distâncias focais e ampliações foram baseadas nessa
aproximação. Admitimos que todos os raios eram
paraxiais, ou seja, consideramos todos os raios
próximos ao eixo ótico formando ângulos muito
pequenos com o eixo ótico. Essa condição nunca é
seguida com precisão.
Para qualquer lente com uma abertura de
tamanho finito, o cone de raios que forma uma
imagem em dado ponto também possui tamanho
finito. Em geral, quando raios não paraxiais provêm
de um ponto do objeto, eles não fornecem um único
ponto na interseção desses raios.
As aberrações esféricas também
ocorrem em espelhos esféricos, como
discutimos brevemente. Os espelhos usados em
telescópios astronômicos são geralmente
parabólicos em vez de esféricos; essa forma
elimina completamente as aberrações esféricas
de pontos no eixo ótico. As formas parabólicas
são mais difíceis de fabricar do que as esféricas.
Os resultados precários obtidos pelo
Telescópio Espacial Hubble logo após seu
lançamento em 1990 foram associados com
aberrações esféricas, oriundas de erros nas
medidas durante o processo de fabricação do
espelho.
O astigmatismo é uma aberração
originada de um ponto situado fora do eixo cuja
formação da imagem dá origem a duas linhas
situadas em planos perpendiculares entre si.
Nessa aberração, os raios provenientes
de um objeto puntiforme convergem a certa distância da lente formando uma imagem primária,
que é perpendicular ao plano definido pelo eixo
52
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
53
ótico e o objeto. Para outra distância diferente da
lente, eles convergem formando uma segunda linha,
chamada de imagem secundária, que é paralela a
esse plano. Esse efeito é indicado na Figura 19. O
círculo de confusão mínima (convergência máxima)
se forma entre essas duas imagens.
Figura 19 -
vermelha com a cor violeta. Quando um objeto
de cor púrpura é colocado a uma distância de
80,0 cm dessa lente, onde se formam as imagens
vermelha e violeta?
SOLUÇÃO: (a) usamos a equação das
lentes delgadas na forma indicada na Equação:
1
1 1
1 
   n  1   
s s
 R1 R2 
Nesse caso, aplicando as regras de sinais
mencionadas na Seção 35.2, obtemos R1 =  e
R2 = -30.0 cm. Para a luz violeta (n =1,537),
1
1
1 
1
  1.537  1  

80.0 s
  30.0 
s  185cm
A localização do círculo de confusão
mínima depende da distância medida transversalmente entre o objeto e o eixo ótico bem como da
distância longitudinal entre o objeto e a lente. Por
causa desse efeito, os objetos puntiformes situados
sobre um plano geralmente não produzem uma
imagem sobre o plano, porém a imagem forma uma
superfície encurvada. Esse efeito é chamado de
curvatura de campo.
Finalmente, verificamos que a imagem de
uma linha rela que não passa pelo eixo ótico pode
ser encurvada. Por causa disso, a imagem de um
cubo centralizado sobre o eixo ótico pode possuir
forma semelhante a um barril (com lados
encurvados para fora) ou uma forma contrária (com
lados encurvados para dentro). Esse efeito, chamado
de distorção, não é relacionado com a falta de
nitidez da imagem, porém decorre da variação da
ampliação transversal com as distâncias ao longo do
eixo.
As aberrações cromáticas decorrem da dispersão,
a variação do índice de refração com o comprimento
de onda. A dispersão faz com que a lente possua
diferentes distâncias focais para diferentes
comprimentos de onda, portanto diferentes
comprimentos de onda produzem imagens em
pontos diferentes. A ampliação de uma lente
também varia com o comprimento de onda; esse
efeito é relacionado com o aparecimento das cores
do arco-íris em tomo de imagens formadas em
binóculos e telescópios de baú custo. Os espelhos
não sofrem aberrações cromáticas, sendo esse o
principal motivo do uso de espelhos em telescópios
astronômicos de grande porte.
Exemplo 6 - Aberração cromática. Em
uma lente plano-convexa de vidro sua face plana é
voltada para o objeto. A outra face tem raio de
curvatura igual a 30,0 cm. O índice de refração do
vidro para a luz violeta (comprimento de onda de
400 nm) é de 1.537 e para a luz vermelha (700 nm) é
de 1,517. A cor púrpura é uma mistura da cor
Para a luz vermelha (n = 1,517),
encontramos s´= 211 cm. A luz violeta sofre
uma refração maior do que a da luz vermelha e
sua imagem se forma mais perto da lente.
Verificamos que uma variação bastante
pequena de índice de refração produz um
deslocamento substancial da imagem.
53