Solução de sistemas e Resposta de entrada nula Solução de

Instituto Federal de Santa Catarina
Curso superior de tecnologia em sistemas de telecomunicação
Processamento de Sinais Digitais - PSD
Solução
Solução de
de sistemas
sistemas
ee
Resposta
Resposta de
de entrada
entrada nula
nula
Prof. Diego da Silva de Medeiros
Fonte: Lathi – Sinais e Sistemas Lineares
São José, Agosto de 2013
Equação
Equação diferença
diferença ee Notação
Notação Operacional
Operacional
●
Equação diferença genérica:
y [n+ N ]+a1 y [ n+ N −1]+...+a N y [n]=b0 x [ n+ M ]+b1 x [n+ M −1]+...+b M x [n]
●
Equação diferença em notação operacional:
N
N −1
N
N −1
E
+
a
E
+...+a
E
+a
y
[n]=
b
E
+b
E
+...+b N −1 E +b N ) x [n]
(
(0
1
N −1
N)
1
●
Forma alternativa:
Q [ E ] y [n]= P [ E ] x [n]
onde
N
N −1
Q [ E ] = E +a1 E +...+ a N −1 E + a N
P [ E ] = b0 E N +b1 E N −1 +...+b N −1 E +b N
Solução
Solução de
de sistemas
sistemas (1)
(1)
●
Sistema 1 – Bicicleta em via horizontal
●
Entrada – Força da perna pedalando
●
Saída – Movimento da bicicleta
Solução
Solução de
de sistemas
sistemas (2)
(2)
●
Sistema 2 – Bicicleta em via inclinada
●
Entrada – Força da perna pedalando
●
Saída – Movimento da bicicleta
●
Condições iniciais – Movimento da bicicleta “na banguela”
Solução
Solução de
de sistemas
sistemas (3)
(3)
●
Solução total do sistema medida separadamente:
●
●
Resposta do sistema devido às condições iniciais
●
Entradas iguais a zero
●
Resposta de entrada nula
Resposta do sistema devido à entrada
●
Condições iniciais iguais a zero
●
Resposta de estado nulo
Resposta
Resposta de
de entrada
entrada nula
nula (1)
(1)
●
Solução da equação diferença, assumindo que não há sinais de entrada
●
Também conhecida como solução homogênea
y [n+ N ]+a1 y [ n+ N −1]+...+a N y [n]=0
ou
N
N −1
E
+
a
E
+...+a N −1 E +a N ) y [n]=0
(
1
ou
Q [ E ] y [n]=0
onde
N
Q [ E ] = E +a 1 E
●
N −1
+...+a N −1 E + a N
Versões deslocadas do sinal de saída devem somar 0
Resposta
Resposta de
de entrada
entrada nula
nula (2)
(2)
●
O único sinal que respeita a solução homogênea é a exponencial
E k (γn )=γk +n =γk γn
●
Solução da resposta de entrada nula na forma:
y 0 [n]=c γ
n
●
Substituindo
c ( γN + a 1 γN −1 + ... + a N −1 γ + a N ) γn =0
Resposta
Resposta de
de entrada
entrada nula
nula (3)
(3)
●
Solução não trivial:
γ
N
+ a1 γ
N −1
+ ... + a N −1 γ + a N =0
ou
Q [γ]=0
●
Solução não trivial é um polinônio de grau N
(γ − γ1 )(γ − γ2 )⋯(γ − γN )=0
●
Problema pode ser de três formas:
●
Raízes distintas
●
Raízes repetidas
●
Raízes complexas
Soluções
Soluções –– Raízes
Raízes distintas
distintas
●
Raízes distintas:
(γ − γ1 )(γ − γ2 )⋯(γ − γN )=0
com γ1 ≠ γ2 ≠ ⋯ ≠ γN
●
Solução:
y 0 [n]=c 1 γn1 +c 2 γn2 +⋯+c N γnN
onde ci =constantes do problema, obtidas a partir das condições iniciais
Soluções
Soluções –– Raízes
Raízes repetidas
repetidas
●
Raízes repetidas:
(γ − γ1 )(γ − γ2 )⋯(γ − γN )=0
com γ1 = ⋯ = γN
●
Solução:
y 0 [n]=( c0 + c 1 n + c 2 n2 + ⋯ + c N −1 n N −1 ) γn1
onde ci =constantes do problema, obtidas a partir das condições iniciais
Soluções
Soluções –– Raízes
Raízes complexas
complexas
●
Raízes complexas (forma polar):
γ = α e jβ e
●
γ* = α e− j β
Solução:
y 0 [n]=c 1 γ + c 2 ( γ )
n
●
Para um sistema real
c jθ
c 1= e
e
2
●
* n
c − jθ
c 2= e
2
E então:
c
y 0 [n]= α n cos(βn+θ)
2
Nomenclatura
Nomenclatura
Q [γ]
Polinônio característico
Q [γ]=0
Equação característica
γ1, γ2, ⋯, γN
Raízes ou valores característicos, autovalores
γ1n , γn2 ,⋯, γnN
Modos característicos, modos naturais
y 0 [n]
Resposta de entrada nula
Exercícios
Exercícios (Lathi)
(Lathi)
●
Exemplo 3.10, pg. 252
●
Exercícios E3.11, E3.12 e E3.13, pg. 255
●
Exemplo de computador C3.4 para os sistemas dos outros exercícios