Lei de Gauss

Cap. 23
Lei de Gauss
Prof. Oscar R. dos Santos
[email protected]
Fluxo de Água
O que é fluxo?
Taxa de algo atravessando uma superfície.
A
  v. A
v
  v cos A
A
Fluxo de água pela
seção transversal de
área A de uma torneira
 : Vazão ou fluxo
v : velocidade da água
A: área da seção transversal por onde há o fluxo de água
A : vetor área.
O vetor área , é um vetor que tem módulo a área da seção
transversal do cano e direção perpendicular a esse plano.
Fluxo de Ar
Fluxo de vento em uma espira quadrada.
Conjunto de vetores velocidade é denominado Campo de velocidades.
  v. A
Fluxo de campo de velocidades através da
espira.
O fluxo depende: da velocidade (1), da área da superfície (2) e da relação entre
as direções e sentidos dos vetores velocidade e área.
Fluxo de Campo Elétrico
Fluxo de campo elétrico: não temos um fluido mas linhas de campo que
atravessam um determinada superfície.

E
a

A

E
 0
A

E

A
b

E
A
vE
  E. A
Fluxo de campo elétrico para Ē
uniforme ao longo da superfície
plana A.
Φ: Fluxo de campo elétrico (N.m2/C)
Fluxo de campo elétrico proporcional ao
número total de linhas de campo que
atravessam a área A
Φ a> Φ b
Fluxo de Campo Elétrico
• Se Ē não é uniforme
ao longo da superfície
de área A?
   E.dA
Fluxo de Campo Elétrico
dA : vetor normal à superfície
Fluxo de Campo Elétrico
Exemplo 1:Superfície cilíndrica de raio r e comprimento L imerso em um
campo elétrico uniforme. Qual o fluxo de campo elétrico através desta
superfície fechada?
E
Exemplo 2: Um campo elétrico dado pela expressão abaixo atravessa o
cubo gaussiano que aparece na Figura abaixo. Qual o fluxo total de campo
elétrico através do cubo? (24 N.m2/C)
E  3xiˆ  4 ˆj
Fluxo de Campo Elétrico
Exercício
1. Um disco com raio r = 10cm está orientado de modo que seu vetor normal
faça um ângulo de 30º com o campo elétrico uniforme de módulo 2 x 103 N/C. (a)
Qual é o fluxo do campo elétrico do disco? (b) Qual o fluxo de campo elétrico
depois que ele gira e a normal fica perpendicular ao vetor campo elétrico? (c)
Qual o fluxo elétrico através do disco quando sua normal é paralela à E? (54
N.m2/C; 0; 63 N.m2/C)
dA
2. Uma carga pontual positiva de 3,0 μC está no centro de uma superfície
esférica de raio 20 cm. Qual é o fluxo elétrico através desta superfície? (3,4
x 105 N.m2/C)
Lei de Gauss
Lei de Gauss
Lei de Coulomb
 Cálculo simplificado;
 Simetria;
 Superfície Gaussiana: superfície fechada imaginária que pode ter
a forma que desejarmos;
 Relação entre fluxo de campo elétrico na superfície gaussiana e
a carga contida em seu interior.
-
+
+
+
+

-
+
qint
0
+
Superfície
Gaussiana
qint = soma das cargas
internas da superfície
gaussiana.
Lei de Gauss

qint
0
Lei de Gauss
O fluxo elétrico total através de qualquer
superfície fechada é igual à carga elétrica
total (líquida) existente no interior da
superfície dividida por εo.
O fluxo resultante não depende
da
forma
da
superfície
gaussiana, apenas da carga
líquida
contida
nela.
A
superfície é escolhida de
acordo com a situação.
 E .dA 
E .A 
qint
0
qint
0
Lei de Gauss
(modo geral)
Lei de Gauss
(E uniforme)
Lei de Gauss

qint
0
S1: qint =+q → Φ > 0
S2: qint =-q → Φ < 0
S3: qint= 0 → Φ = 0
S4: qint= (+q)+(-q) =0 → Φ = 0
Lei de Gauss e Lei de Coulomb
A Lei de Gauss é equivalente à Lei de Coulomb.
E .dA 
qint
0
qint
E
40 r 2
1
Uma superfície gaussiana
esférica com centro em uma
carga pontual q.
r: raio da superfície gaussiana.
Lei de Coulomb par carags
pontuais obtida pela Lei de
Gauss
Um condutor Carregado
Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor,
a carga se concentra na superfície do condutor; o interior
do condutor continua a ser neutro.
O campo elétrico no interior do
condutor deve ser nulo. Caso
contrário, o campo exerceria
força sobre os elétrons.
Cargas em condutores
Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor,
a carga se concentra na superfície do condutor; o interior
do condutor continua a ser neutro.
A carga qc fica
inteiramente sobre
a superfície.
Em todos os pontos no
interior do condutor
campo elétrico é nulo
Cavidade tem carga total –q
para anular o campo
elétrico em todos os pontos
sobre
a
superfície
gaussiana.
Campo elétrico em condutores
Blindagem eletrostática
Gaiola de Faraday
Na gaiola, as cargas se espalham de tal
maneira que o campo elétrico em seu interior
é nulo.
Aplicações: Blindagem eletrostática
Figura: O campo das cargas induzidas
sobre a caixa de metal junta-se ao campo
uniforme externo para produzir um campo
total nulo dentro da caixa.
Figura: Equipamentos como rádio, videocassetes,
reprodutores de DVD são montados em gabinetes
metálicos. Por igual razão, fios e cabos coaxiais são
envolvidos por uma tela metálica.
Campo elétrico em condutores
Exemplo 3: Condutor esférico carregado com carga + q.
E
R
Campo elétrico em condutores
Exemplo 3: Condutor esférico carregado com carga +q
E
r
dA
Se r  R
R
1
q
E
2
40 r
Campo elétrico de uma carga puntiforme
Superfície
Gaussiana
Teorema das Cascas (Parte 1)
Uma casca uniforme de cargas atrai ou repele uma
partícula carregada situada do lado de fora da casca
como se toda a casca estivesse situada no centro.
Campo elétrico em condutores
Exemplo 3: Condutor esférico carregado com carga +q
r
Se r  R
R
Superfície
Gaussiana
E 0
Excesso de carga se distribui
pela superfície externa
Teorema das Cascas (Parte 2)
E 1
E 0
r2
R
Se uma partícula carregada está situada no interior de
uma casca uniforme de cargas a casca não exerce
nenhuma força eletrostática sobre a partícula.
Simetria Esférica
Exemplo 4: Campo em uma esfera isolante uniformemente carregada.
Simetria Esférica
Exercício
3. Duas cascas esféricas concêntricas carregadas tem raios de 10cm e 15cm. A
carga da casca menor é 4x10-8 C, e da casca maior é 2x10-8 C. Determine o campo
elétrico (a) em r = 12 cm e (b) e, r = 20 cm. (2,5x104 N/C; 1,35x104 N/C)
4. Na figura uma esfera maciça não-condutora de raio a = 2 cm é concêntrica com
uma casca esférica condutora de raio interno b = 2a e raio externo c = 2,4 a. A
esfera possui um carga q1 = +5 fC, com distribuição uniforme, e a casca possui
uma carga q2 = -5 fC. Determine o módulo do campo elétrico (a) em r = a/2; (b) em
r = a; (c) em r =1,5 a; (d) em r =2,3 a; (e) em r =3,5 a.
(a) 5.62x10-2 N/C ;b) 0.112 N/C; c) 0.0499 N/C; d) 0; e) 0)
Simetria Cilíndrica
Exemplo 5: Barra cilíndrica de plástico infinita com densidade
linear de cargas.
E
Superfície
Gaussiana
+
+
+
+
E
+
+
+
L
r
P
1

E
20 r
dA
Linha cargas
+
+
+
+
+
+
Simetria Cilíndrica
Exemplo 6: Barra cilíndrica de plástico infinita com densidade
volumétrica de cargas.
Um cilindro muito longo de raio R possui uma distribuição volumétrica
de cargas uniformes . (a) Determine o campo elétrico a uma distância
r<R do eixo do cilindro e (b) e r>R.
Simetria Cilíndrica
Exercício
5.Uma linha infinita de cargas produz um campo elétrico de módulo 4,5x104 N/C a
uma distância 2 m. Calcule a densidade linear de cargas. (5x10-6 C/m)
6. A figura mostra um cilindro fino, maciço, carregado e uma casca cilíndrica
coaxial, também carregada. Os dois objetos, são feitos de material não condutor e
possuem uma densidade superficial de cargas uniforme na superfície externa. A
segunda figura, mostra a componente radial de E do campo elétrico em função da
distância radial r a partir do eixo comum. A escala do eixo vertical é definida por Es
= 3 x 103 N/C. (a) Qual a densidade linear de cargas do cilindro fino? (b) Qual é a
densidade linear de cargas da casca? (1,95 x 10-9 C/m; -5,84 x 10-9 C/m)
Simetria Planar
Exemplo 7: Placa fina, infinita, não-condutora com densidade de
carga σ.
Vista (a) em perspectiva (b) perfil de uma pequena parte de uma placa de
grande extensão com carga positiva na superfície. Uma superfície gaussiana
cilíndrica, engastada na superfície, envolve as cargas.

E
2 0
Placa não condutora de cargas
Simetria Planar
Exemplo 8: Duas placas condutoras com cargas superficiais +σ e σ.
Duas placas condutoras colocadas lado a lado.

E
0
Entre as placas
Simetria Planar
Exercício 7
A figura mostra partes de duas placas de grande extensão,
paralelas, não-condutoras, ambas com uma carga uniforme dos
lados. Os valores das densidades superficiais de cargas são σ+ =
6,8µC/m2 e σ- = -4,3µC/m2 .Determine o módulo do campo elétrico
(a) à esquerda; (b) entre e (c) à direita das placas. (1,4x105 N/C;
6,3x105 N/C; 1,4x105 N/C)