Plano de aula de Fundamentos

Ministério da Educação
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Campus Curitiba
PLANO DE ENSINO
CURSO Licenciatura em Matemática
FUNDAMENTAÇÃO LEGAL
MATRIZ
SA
(Resolução do COEPP que aprovou a matriz curricular do curso e, se houver, resoluções
posteriores relativas à disciplina/unidade curricular) - SA
DISCIPLINA/UNIDADE CURRICULAR
Fundamentos de Matemática 2
CÓDIGO PERÍODO
MA72F
2
AT
85
CARGA HORÁRIA (aulas)
AP
APS
AD
APCC
0
6
0
17
Total
108
AT: Atividades Teóricas, AP: Atividades Práticas, APS: Atividades Práticas Supervisionadas, AD: Atividades a Distância, APCC: Atividades
Práticas como Componente Curricular.
PRÉ-REQUISITO
Fundamentos de Matematica 1 (MA71F)
EQUIVALÊNCIA
Não tem
OBJETIVOS
Complementar os conceitos básicos da teoria elementar dos números desenvolvidas na disciplina de Fundamentos I e
desenvolver aplicações. Criar condições para o aluno dominar os conteúdos clássicos de ensino fundamental e médio
com rigor matemático.
EMENTA
Teorema Chinês de Restos; Aritmética módulo m; Trigonometria; Números complexos;
combinatória; Binômio de Newton.
Polinômios; Análise
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
ITEM
EMENTA
1.1
1
Teorema Chinês de Restos
1.2
1.3
1.4
2.1
2.2
2.3
2
Aritmética módulo m
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.1
3.2
3.3
3
Trigonometria
3.4
3.5
3.6
4.1
4
Números complexos.
4.2
4.3
CONTEÚDO
Revisão sobre congruências lineares e sistemas de
congruências.
O Teorema Chinês de Restos: introdução com exemplos
com duas e três equações.
Enunciado e demonstração do Teorema Chinês de Restos.
Aplicação do Teorema Chinês de Restos.
Propriedades reflexiva, simétrica e transitiva da relação de
congruência módulo m.
Classes de equivalência de inteiros produzidas pela relação
de congruência módulo m.
O conjunto quociente Zm das classes de equivalência
(módulo m).
Operações em Zm : soma e multiplicação de classes.
Tabelas de soma e multiplicação em casos particulares de
m.
Divisibilidade (utilizando congruências e classes de
equivalência)
Potências (módulo m).
Divisão (módulo m). Inversa de uma classe de equivalência
em Zm .
Aplicação à criptografia: Algoritmo RSA.
Arcos de circunferência. Medida de arcos.
Ângulos. Ângulos de duas semi-retas. Medida de ângulos.
Ciclo trigonométrico.
Seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante
de um arco.
Identidades e relações trigonométricas fundamentais.
Redução ao primeiro quadrante.
Transformações trigonométricas: fórmulas de adição,
subtração, multiplicação e divisão.
Definição de número complexo via identificação com pontos
do plano cartesiano.
Igualdade, soma e produto de números complexos.
Unidade imaginária. Representação algébrica de números
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5
5.6
Polinômios.
5.7
5.8
5.9
5.10
complexos (forma a + bi)
Parte real e parte imaginária de um número complexo.
Conjugado de um número complexo e suas propriedades.
Divisão de números complexos.
Forma Trigonométrica. Plano de Argand-Gauss.
Potenciação e Primeira Fórmula de Moivre. Demonstração.
Radiciação e Segunda Fórmula de Moivre. Demonstração.
Raízes n-ésimas e raízes primitivas da unidade. Equações
binomiais e trinomiais.
Definição de polinômio. Igualdade de polinômios.
Operações de soma, subtração e produto de polinômios.
Propriedades das operações.
Grau de um polinômio. Grau da soma e do produto.
Divisão de polinômios. Algoritmo de Euclides.
Divisão por binômios do primeiro grau. Teorema do resto e
Teorema D’Alembert. Método de Briot-Ruffini.
Existência de raízes de polinômios. Teorema Fundamental
da Álgebra (sem demonstração). Decomposição de um
polinômio em fatores lineares.
Multiplicidade de raízes.
Relações entre coeficientes e raízes.
Raízes reais e raízes complexas.
Equações polinomiais. Raízes. Multiplicidade de uma raiz.
Relações entre coeficientes e raízes. Fórmulas para
resolução de equações polinomiais de grau 2, 3 e 4.
6
Análise combinatória.
6.1 Princípio Fundamental da Contagem.
6.2 Fatorial, arranjos, permutações e combinações.
7
Binômio de Newton.
7.1
7.2
PROFESSOR
TURMA
Mari Sano
S83
ANO/SEMESTRE
2011/2
Teorema Binomial.
Triângulo aritmético de Tartaglia.
AT
87
CARGA HORÁRIA (aulas)
APS
AD
6
AP
APCC
17
Total
110
AT: Atividades Teóricas, AP: Atividades Práticas, APS: Atividades Práticas Supervisionadas, AD: Atividades a Distância, APCC: Atividades
Práticas como Componente Curricular.
DIAS DAS AULAS PRESENCIAIS
Dia da semana
Segunda
36
Número de aulas no semestre
Terça
Quarta
32
Quinta
36
Sexta
Sábado
PROGRAMAÇÃO E CONTEÚDOS DAS AULAS (PREVISÃO)
Dia/Mês ou
Conteúdo das Aulas
Semana
Número de
Aulas
08/08/2011
2
10/08/11
11/08/11
15/08/11
17/08/11
18/08/11
22/08/11
24/08/11
25/08/11
29/08/11
31/08/11
01/09/11
05/09/11
12/09/11
14/09/11
15/09/11
19/09/11
21/09/11
22/09/11
26/09/11
28/09/11
Aula inaugural: bibliografia, avaliações, horário de atendimento. Introdução à congruência módulo m.
Exemplos, propriedades.
Propriedades e aplicações à congruência módulo m.
Classes de equivalência. Exemplos.
O conjunto quociente Zm e as suas operações. Tabelas de operações em casos particulares de m.
Divisibilidade, potências e divisão em Zm.
Aplicação à criptografia: Algoritmo RSA.
O Teorema Chinês de Restos: introdução e demonstração.
Aplicação do teorema Chinês de Restos.
Ângulos. Ângulos de duas semi-retas, Medida de ângulos. Ciclo trigonométrico.
Seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante: definição e propriedades.
Resolução de exercícios.
Revisão para a primeira prova.
Primeira prova escrita.
Redução ao primeiro quadrante. Transformações trigonométricas: fórmulas de adição, subtração e divisão.
Número complexo: definição e operações. Representação algébrica de números complexos.
Parte real, imaginaria e conjugado de um número complexo. Divisão de números complexos.
Forma trigonométrica. Potenciação e Primeira Fórmula de Moivre.
Radiciação e Segunda Fórmula de Moivre. Raízes n-ésimas e raízes primitivas da unidade. Equações
binomiais e trinomiais.
Polinômio: definição e propriedades.
Grau e divisão de um polinômio. Algoritmo de Euclides.
Divisão por binômios do primeiro grau. Teorema do resto.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
PROGRAMAÇÃO E CONTEÚDOS DAS AULAS (PREVISÃO)
Dia/Mês ou
Conteúdo das Aulas
Semana
Número de
Aulas
29/09/11
03/10/11
05/10/11
06/10/11
10/10/11
13/10/11
17/10/11
19/10/11
2
2
2
2
2
2
2
2
20/10/11
24/10/11
26/10/11
27/10/11
31/10/11
03/11/11
07/11/11
09/11/11
10/11/11
16/11/11
17/11/11
21/11/11
23/11/11
24/11/11
28/11/11
30/11/11
01/12/11
05/12/11
07/12/11
08/12/11
12/12/11
14/12/11
15/12/11
17/12/11
Revisão para a segunda prova.
Segunda prova escrita.
Teorema de D'Alembert. Método de Briot-Ruffini.
Teorema fundamental del Álgebra (sem demonstração). Decomposição de polinômio em fatores lineares.
Multiplicidade de raízes. Relações entre coeficientes e raízes. Raízes reais e raízes complexas.
Equações polinomiais. Raízes. Multiplicidade de uma raiz.
Fórmulas para resolução de equações polinomiais de grau 2, 3 e 4.
Resolução de exercícios.
APCC: Apresentação de trabalhos.
APCC: Apresentação de trabalhos.
Princípio aditivo e multiplicativo: definição e aplicações.
Permutações simples e com repetição: definição e aplicações.
Arranjos simples e com repetição: definição e aplicacações.
APCC: Apresentação de trabalhos.
Semana da Licenciatura em Matemática.
Revisão para a terceira prova.
Terceira prova escrita.
APCC: Apresentação de trabalhos.
Combinações simples e com repetição: definição e aplicacações.
Permutações circulares: definição e aplicações.
O princípio das gavetas.
Teorema binomial.
Triângulo aritmético de Tartaglia.
APCC: Apresentação de trabalhos.
APCC: Apresentação de trabalhos.
APCC: Apresentação de trabalhos.
Revisão para a quarta prova.
Quarta prova escrita.
Segunda Chamada.
Recuperação: prova escrita substitutiva.
APCC: Apresentação de trabalhos.
APCC: Apresentação de trabalhos.
Atividades Práticas Supervisionadas.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
PROCEDIMENTOS DE ENSINO
AULAS TEÓRICAS
Aulas expositivas com utilização dos recursos didáticos.
AULAS PRÁTICAS
Não tem.
ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS
As atividades práticas supervisionadas consistirão na resolução de listas de exercícios que terão peso 1
nas provas escritas (P1, P2, P3, P4).
ATIVIDADES A DISTÂNCIA
ATIVIDADES PRÁTICAS COMO COMPONENTE CURRICULAR
Nas APCC, os alunos (em grupos) apresentarão resultados relevantes desta disciplina.
PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO
Avaliações escrita e trabalhos.
Haverá quatro provas escritas P1, P2, P3 e P4.
A nota final será calculada da seguinte forma:
NF=(2xP1 + 2xP2 + (2,5)xP3 + (2,5)xP4 + A) / 10
Sendo A a nota obtida nas APCC.
Nas avaliações de Segunda Chamada e Recuperação será cobrado todo o conteúdo da disciplina.
REFERÊNCIAS
Referências Básicas:
1) DOMINGUES, H. H., Fundamentos de Aritmética, 1a. ed., Florianópolis: EDUFSC, 2009.
2) OLIVEIRA, J. P., Introdução à Teoria dos Números, 2ª ed., Rio de Janeiro: CMU-IMPA, 2000.
3) HAZZAN, S., Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 5, Combinatória/Probabilidade, 7ª ed., São Paulo: Atual
Editora, 2004.
4) IEZZI, G., Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 3, Trigonometria, 8ª ed., São Paulo: Atual Editora, 2004.
5) IEZZI, G., Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 6, Complexos/Polinômios/Equações, 7ª ed., São Paulo:
Atual Editora, 2004.
Referências Complementares:
1) LANDAU, E., Teoria Elementar dos Números, 1ª ed., Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2002.
2) HEFEZ, A., Elementos de Aritmética, 1ª ed., Rio de Janeiro: SBM, 2005.
3) ALENCAR, F. E., Teoria Elementar dos Números, 1ª ed., São José dos Campos: Nobel,1981.
4) LIMA, E. L. et al., A Matemática do Ensino Médio, Vol. 1, 9ª ed., Rio de Janeiro: CPM-SBM, 2001.
5) LIMA, E. L. et al., A Matemática do Ensino Médio, Vol. 2, 6ª ed., Rio de Janeiro: CPM-SBM, 2000.
6) LIMA, E. L. et al., A Matemática do Ensino Médio, Vol. 3, 6ª ed., Rio de Janeiro: CPM-SBM, 2001.
7) MORGADO, A. O. et al., Análise Combinatória e Probabilidade, 9ª ed., Rio de Janeiro: COM-IMPA, 2000.
8) GARBI, G. G., O Romance das Equações Algébricas, 2ª ed., São Paulo: Editora Livraria da Física, 2007.
9) CARMO, M. P. et al., Trigonometria e Números Complexos, 3ª ed., Rio de Janeiro: SBM, 2001.
ORIENTAÇÕES GERAIS
Assinatura do Professor
Assinatura do Coordenador do Curso