Lei de Gauss - Engenharia Eletrica

10/10/2011
Ewaldo Luiz de Mattos Mehl
Universidade Federal do Paraná
Departamento de Engenharia Elétrica
[email protected]
LEI DE GAUSS
Lei de Gauss
AGENDA
• Revisão: Produto escalar
• Quem foi Gauss?
• Lei de Gauss – Analogia
• Linhas de campo elétrico
• Fluxo do campo elétrico
• Simetria
• Uso da Lei de Gauss para geometrias simétricas
 Fio infinito
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Revisão: Produto Escalar de dois vetores
sen
cos
Em coordenadas cartesianas:
Revisão: Vetor x Escalar
Em coordenadas cartesianas:
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Carl Friedrich Gauss
• Braunschweig, 30 de Abril de 1777
Göttingen, 23 de Fevereiro de 1855)
• Príncipe dos matemáticos
• Eletricidade: Lei de Gauss
• Estatística: Curva de Gauss
• Cálculo Numérico: Método de Gauss-Seidel
• Astronomia: Lei de Gauss da gravitação
• Matemática: Algoritmo de Gauss-Newton
• Cálculo do : Algoritmo de Gauss–Legendre
• ...
Lei de Gauss: Analogia
Desejamos medir a “intensidade da chuva” em um dia chuvoso
 Método 1: obter o volume de água de um pingo de chuva e contar o
número de pingos que caírem sobre uma superfície em um
determinado intervalo de tempo
 Procedimento análogo à aplicação da Lei de Coulomb
 Método 2: Estender um tecido seco com uma certa área e, após
algum tempo na chuva, remove-lo e torcê-lo, medindo o volume de
água resultante
 Procedimento análogo à aplicação da Lei de Gauss
 O método 1 é um procedimento “trabalhoso” ou “microscópico”
 O método 2 é um procedimento “mais elegante” ou “macroscópico”
 Ambos os métodos devem conduzir à MESMA RESPOSTA!
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Linhas de Campo Elétrico
1C
1C
1C
 Todas estas representações estão “corretas”, pois os vetores
são apenas uma forma de representação gráfica de um
fenômeno físico.
 Nos desenhos seguintes vamos convencionar que uma carga
elétrica de 1C dá origem a um vetor de campo elétrico.
Linhas de Campo Elétrico
Quantas linhas saem
da esfera?
8C 8 linhas
16C 16 linhas
32C
16C
8C
32C 32 linhas
Conclusão: O fluxo é proporcional à carga no interior da esfera
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Linhas de Campo Elétrico
Quantas linhas saem da
superfície?
8C 8 linhas
16C 16 linhas
32C
16C
8C
32C 32 linhas
Conclusão: A forma da superfície é indiferente, desde que seja FECHADA
Linhas de Campo Elétrico
Linhas que saem = +
Linhas que entram = -
8C 0 linhas
16C 0 linhas
32C
16C
8C
32C 0 linhas
Conclusão:
Quando a carga envolvida
pela superfície fechada é
zero, o número efetivo de
linhas de campo que
cortam a superfície é zero!
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Superfícies gaussianas
Não!
Superfícies gaussianas
Atenção!
As superfícies
gaussianas são
imaginárias!
Não é necessário
que exista um
corpo sólido com o
formato da
superfície!
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Lei de Gauss: Analogia gráfica
 O número de linhas do campo elétrico que saem de
uma superfície fechada (gaussiana) é proporcional à
carga elétrica envolvida por esta superfície
 S(linhas de campo E) a Carga envolvida pela superfície fechada
N Coulombs  aN linhas de campo elétrico
Fluxo do Campo Elétrico
• Como visto anteriormente, o número de linhas de campo é
um conceito arbitrário e dependente da convenção gráfica
utilizada.
1C
1C
1C
• É melhor portanto definir uma forma mais precisa que
expresse a “quantidade” de linhas de campo elétrico que
atravessa uma determinada superfície.
• Esta “quantidade” é chamada de Fluxo do Campo Elétrico
• Unidade: N.m2/C
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Lei de Gauss e
Fluxo do Campo Elétrico ()
 (Fluxo do campo elétrico) proporcional a (Carga envolvida)
  proporcional a qenvolvida

 o= 8,85 x 10-12 C/N.m2
Constante de permissividade do vácuo
Questão no 1
Uma superfície Gaussiana esférica
(#1)
contém
em
seu
centro
geométrico uma carga elétrica +q.
Uma segunda superfície Gaussiana
esférica (#2) do mesmo tamanho
também contém a carga +q no seu
interior, porém deslocada do seu
centro geométrico.
Comparativamente ao fluxo do campo
elétrico que atravessa a superfície
#1, o fluxo do campo elétrico que
atravessa a superfície #2 é:
+q
Superfície
Gaussiana
#1
Superfície
Gaussiana
#2
A. maior.
B. o mesmo.
C. menor, mas não zero.
D. zero.
E. Não se tem informações suficientes para responder.
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Questão no 1
Uma superfície Gaussiana esférica
(#1)
contém
em
seu
centro
geométrico uma carga elétrica +q.
Uma segunda superfície Gaussiana
esférica (#2) do mesmo tamanho
também contém a carga +q no seu
interior, porém deslocada do seu
centro geométrico.
Comparativamente ao fluxo do campo
elétrico que atravessa a superfície
#1, o fluxo do campo elétrico que
atravessa a superfície #2 é:
+q
Superfície
Gaussiana
#1
Superfície
Gaussiana
#2
A. maior.
B. o mesmo.
C. menor, mas não zero.
D. zero.
E. Não se tem informações suficientes para responder.
Revisão: Integral de Área
Esta área ficará
mais molhada!
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Integral de Área
Chuva
Chuva
dA
Esta área ficará
mais molhada!
Integral de Área
Chuva
Chuva
dA
Como as áreas são iguais, fica evidente que a quantidade de
chuva que “molha” cada área retangular depende do ângulo
entre a área e a direção de caída da chuva!
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Integral de Área
Chuva [C]
dA
Chuva [C]
dA
Casos extremos
• Vetores C e dA em 180°: máximo “molhamento”
• Vetores C e dA em 90°: a chuva não molha a superfície
Fluxo de chuva
através de uma área dA
 Fluxochuva = CdA
(produto escalar de dois vetores)
 |C||dA|cos(q)
 C.dA cos(q)
 Fluxochuva = 0 para q=90° cos(q) = 0
 Fluxochuva = -C.dA para q=180°  cos(q) = -1
 Generalizando:
Fluxochuva = C.dA cos(q)
 Para -1 < cos(q) < +1
q
C
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Fluxo do Campo Elétrico ()
na forma integral
O Fluxo do Campo Elétrico pode ser calculado através do
produto do campo elétrico pela área, considerando-os como
vetores:
• Caso 1: Os vetores E e A são paralelos
=E A
• Caso 2: Se os vetores A e E não são paralelos, o fluxo é
dado pelo produto escalar dos dois vetores:

 = EA
 = E.A cos q
Fluxo do Campo Elétrico ()
na forma integral
1. Dividir a superfície em pequenos
“elementos” de área A
Superfície
Gaussiana
2. Para cada elemento de área A calcular
o termo:
 
E.A = E.A cos q
3. Somar todos os termos calculados
anteriormente:
 
 =  E.A
n̂
n̂
4. Tomar o limite quando cada elemento
de área é infinitesimal:

A  0
n̂
5. A somatória dos elementos
infinitesimais torna-se então a integral,
 
que é o fluxo:
 =  E.dA
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Questão no 2
Duas cargas elétricas
pontuais
+q
(em
vermelho) e –q (em
azul) estão dispostas no
espaço como na figura.
Através
de
qual(is)
superfície(s) Gaussianas
o
fluxo
do
campo
elétrico é igual a zero?
A. Superfície Gaussiana A
B. Superfície Gaussiana B
C. Superfície Gaussiana C
D. Superfície Gaussiana D
E. Ambas as superfícies C e D
F. Ambas as superfícies A e B
Questão no 2
Duas cargas elétricas
pontuais
+q
(em
vermelho) e –q (em
azul) estão dispostas no
espaço como na figura.
Através
de
qual(is)
superfície(s) Gaussianas
o
fluxo
do
campo
elétrico é igual a zero?
A. Superfície Gaussiana A
B. Superfície Gaussiana B
C. Superfície Gaussiana C
D. Superfície Gaussiana D
E. Ambas as superfícies C e D
F. Ambas as superfícies A e B
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Fluxo do Campo Elétrico ()
na forma integral: anote!
 A superfície gaussiana deve ser decomposta por um
conjunto de áreas, cada qual representada por um vetor
perpendicular ao elemento de área.
 Nos cálculos envolvendo Lei de Gauss, o vetor elemento de
área sempre aponta “para fora” da superfície gaussiana.
 O cálculo do fluxo do campo elétrico é feito através do
produto escalar em cada elemento de área:
EdA = E.dA cos(q)
 O ‘truque’ é escolher uma
superfície gaussiana
conveniente, de modo que
a integral de área ( )
Superfície
Gaussiana
dA
n̂
possa ser facilmente calculada.
Fluxo do Campo Elétrico ()
na forma integral: anote!
A escolha da superfície gaussiana
geralmente é o maior problema para se
aplicar a Lei de Gauss!
O procedimento é buscar a SIMETRIA
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Simetria: Diz-se que um objeto possui simetria em relação a uma
determinada operação matemática (ex.: rotação, translação, … ) se um
observador não verifica mudança no objeto após a aplicação da operação.
Atenção: Simetria é uma noção intuitiva!
Simetria
rotacional
Observador
Esfera sem
defeitos
superficiais
Eixo de
Rotação
Simetria
rotacional
Observador
Esfera sem
Cilindro
defeitos
sem defeitos
superficiais
superficiais
Eixo de
Rotação
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Simetria de Translação
Observador
Tapete mágico
Plano infinito
e sem defeitos
Simbologia para cargas uniformemente distribuídas
Linear
Superficial
Volumétrica
ELETROMAGNETISMO - WILLIAM H. HAYT JÚNIOR
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Simbologia para cargas uniformemente distribuídas
Linear
Superficial
Volumétrica
FÍSICA – HALLIDAY, RESNICK & WALKER
Exemplo de uso da Lei de Gauss:
Campo Elétrico produzido por um fio longo com carga uniforme l [C/m]
Escolhe-se uma superfície gaussiana que aproveite a simetria da
estrutura; no caso, um cilindro:
E
E
dA
dA
l C/m
r
dA
L
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E
Cálculo do Fluxo:
dA
  = tampa1  lateral  tampa2
  =  E.d Atampa1   E.d Alateral   E.d Atampa2
 Nas “tampas” do cilindro
E e dA são perpendiculares
 Então:
r
 tampa1 = E.dAtampa1 cos(90) = 0
 tampa2 = E.dAtampa2 cos(90) = 0
 Não existe fluxo do campo elétrico através
das “tampas” do cilindro!
 = 0   E.d Alateral  0
Cálculo do Fluxo:
 = 0   E.d Alateral  0
E & dA são paralelos
EdA = |E||dA| = E.dA
E
dA
l C/m
dA
L
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Cálculo do Fluxo:
 = 0   E.d Alateral  0
A superfície cilíndrica tem uma
distância constante do fio.
Portanto o Campo Elétrico é
constante nesta superfície
E
l C/m
L
Cálculo do Fluxo:
  = 0   E.d Alateral  0
2r
 E = constante
  = 0  E  d Alateral  0
 A integral de todos os dA
L
é a superfície lateral do cilindro:
 dA
lateral
= 2πrL
 Então:
 = E 2πrL
2r
l C/m
L
r
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Cálculo do Campo Elétrico:
 A Lei de Gauss também pode ser escrita
como:
 A carga dentro da superfície gaussiana é:
2r
l C/m
r
L
 Então:
E=
ρl
2 .r. o
Discussão do resultado obtido
E=
ρl
2 .r. o
 |E| é proporcional a 1/r
 A medida que nos afastamos do fio carregado o campo
elétrico fica mais fraco.
 Intuitivamente correto!
 O vetor E aponta no sentido radial do fio carregado
 Intuitivamente correto!
 A intensidade do campo elétrico é proporcional à
densidade de carga no fio (l)
 Fio com maior densidade de carga = campo elétrico mais
intenso
 Intuitivamente correto!
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