aula3 - Instituto de Matemática

Desigualdade triangular e quadriláteros
Monica Moulin Ribeiro Merkle
Instituto de Matemática, UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil
[email protected]
23 de setembro de 2016
Monica Merkle - IM/UFRJ
1/8
Relações entre ângulos internos e comprimentos de lados
de triângulos
Em um mesmo triângulo:
PROP. Em um triângulo ABC , se Bb > Cb então AC > AB.
Vale a recı́proca do resultado anterior?
Em particular, se em um triângulo temos um ângulo interno maior
que 90◦ , então o lado oposto a este ângulo é o lado de maior
comprimento.
Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado de maior
comprimento.
E em triângulos distintos?
TEOREMA da boca aberta. Dados dois triângulos ABC e EFG , se
AB = EF , AC = EG e Ab < Eb então BC < FG .
Vale a recı́proca do resultado anterior?
Monica Merkle - IM/UFRJ
2/8
Relações entre ângulos internos e comprimentos de lados
de triângulos
Em um mesmo triângulo:
PROP. Em um triângulo ABC , se Bb > Cb então AC > AB.
Vale a recı́proca do resultado anterior?
Em particular, se em um triângulo temos um ângulo interno maior
que 90◦ , então o lado oposto a este ângulo é o lado de maior
comprimento.
Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado de maior
comprimento.
E em triângulos distintos?
TEOREMA da boca aberta. Dados dois triângulos ABC e EFG , se
AB = EF , AC = EG e Ab < Eb então BC < FG .
Vale a recı́proca do resultado anterior?
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2/8
Relações entre ângulos internos e comprimentos de lados
de triângulos
Em um mesmo triângulo:
PROP. Em um triângulo ABC , se Bb > Cb então AC > AB.
Vale a recı́proca do resultado anterior?
Em particular, se em um triângulo temos um ângulo interno maior
que 90◦ , então o lado oposto a este ângulo é o lado de maior
comprimento.
Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado de maior
comprimento.
E em triângulos distintos?
TEOREMA da boca aberta. Dados dois triângulos ABC e EFG , se
AB = EF , AC = EG e Ab < Eb então BC < FG .
Vale a recı́proca do resultado anterior?
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2/8
Relações entre ângulos internos e comprimentos de lados
de triângulos
Em um mesmo triângulo:
PROP. Em um triângulo ABC , se Bb > Cb então AC > AB.
Vale a recı́proca do resultado anterior?
Em particular, se em um triângulo temos um ângulo interno maior
que 90◦ , então o lado oposto a este ângulo é o lado de maior
comprimento.
Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado de maior
comprimento.
E em triângulos distintos?
TEOREMA da boca aberta. Dados dois triângulos ABC e EFG , se
AB = EF , AC = EG e Ab < Eb então BC < FG .
Vale a recı́proca do resultado anterior?
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2/8
Relações entre ângulos internos e comprimentos de lados
de triângulos
Em um mesmo triângulo:
PROP. Em um triângulo ABC , se Bb > Cb então AC > AB.
Vale a recı́proca do resultado anterior?
Em particular, se em um triângulo temos um ângulo interno maior
que 90◦ , então o lado oposto a este ângulo é o lado de maior
comprimento.
Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado de maior
comprimento.
E em triângulos distintos?
TEOREMA da boca aberta. Dados dois triângulos ABC e EFG , se
AB = EF , AC = EG e Ab < Eb então BC < FG .
Vale a recı́proca do resultado anterior?
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2/8
Relações entre ângulos internos e comprimentos de lados
de triângulos
Em um mesmo triângulo:
PROP. Em um triângulo ABC , se Bb > Cb então AC > AB.
Vale a recı́proca do resultado anterior?
Em particular, se em um triângulo temos um ângulo interno maior
que 90◦ , então o lado oposto a este ângulo é o lado de maior
comprimento.
Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado de maior
comprimento.
E em triângulos distintos?
TEOREMA da boca aberta. Dados dois triângulos ABC e EFG , se
AB = EF , AC = EG e Ab < Eb então BC < FG .
Vale a recı́proca do resultado anterior?
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2/8
Desigualdade triangular
Na Geometria Euclidiana o menor caminho entre dois pontos é um
segmento de reta. Como provar isto?
Desigualdade triangular. Dados tres pontos A, B e C temos
AC ≤ AB + BC . A igualdade ocorre se e só se B ∈ AC .
Se a, b e c são os comprimentos dos lados de um triângulo, então
a < b + c, b < a + c e c < a + b.
E dadas quantidades a > 0, b > 0 e c > 0 satisfazendo a < b + c,
b < a + c e c < a + b, é possı́vel construir um triângulo com lados
com os comprimentos dados?
Dado um ponto P no interior de um triângulo ABC temos
PB + PC < AB + AC .
Dado um ponto P no interior de um triângulo ABC temos
AP + PB + PC < AB + AC + BC .
Dados dois pontos A e B não pertencentes à reta r , como determinar
um ponto P ∈ r tal que AP + PB tenha o menor valor?
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3/8
Desigualdade triangular
Na Geometria Euclidiana o menor caminho entre dois pontos é um
segmento de reta. Como provar isto?
Desigualdade triangular. Dados tres pontos A, B e C temos
AC ≤ AB + BC . A igualdade ocorre se e só se B ∈ AC .
Se a, b e c são os comprimentos dos lados de um triângulo, então
a < b + c, b < a + c e c < a + b.
E dadas quantidades a > 0, b > 0 e c > 0 satisfazendo a < b + c,
b < a + c e c < a + b, é possı́vel construir um triângulo com lados
com os comprimentos dados?
Dado um ponto P no interior de um triângulo ABC temos
PB + PC < AB + AC .
Dado um ponto P no interior de um triângulo ABC temos
AP + PB + PC < AB + AC + BC .
Dados dois pontos A e B não pertencentes à reta r , como determinar
um ponto P ∈ r tal que AP + PB tenha o menor valor?
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3/8
Desigualdade triangular
Na Geometria Euclidiana o menor caminho entre dois pontos é um
segmento de reta. Como provar isto?
Desigualdade triangular. Dados tres pontos A, B e C temos
AC ≤ AB + BC . A igualdade ocorre se e só se B ∈ AC .
Se a, b e c são os comprimentos dos lados de um triângulo, então
a < b + c, b < a + c e c < a + b.
E dadas quantidades a > 0, b > 0 e c > 0 satisfazendo a < b + c,
b < a + c e c < a + b, é possı́vel construir um triângulo com lados
com os comprimentos dados?
Dado um ponto P no interior de um triângulo ABC temos
PB + PC < AB + AC .
Dado um ponto P no interior de um triângulo ABC temos
AP + PB + PC < AB + AC + BC .
Dados dois pontos A e B não pertencentes à reta r , como determinar
um ponto P ∈ r tal que AP + PB tenha o menor valor?
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3/8
Desigualdade triangular
Na Geometria Euclidiana o menor caminho entre dois pontos é um
segmento de reta. Como provar isto?
Desigualdade triangular. Dados tres pontos A, B e C temos
AC ≤ AB + BC . A igualdade ocorre se e só se B ∈ AC .
Se a, b e c são os comprimentos dos lados de um triângulo, então
a < b + c, b < a + c e c < a + b.
E dadas quantidades a > 0, b > 0 e c > 0 satisfazendo a < b + c,
b < a + c e c < a + b, é possı́vel construir um triângulo com lados
com os comprimentos dados?
Dado um ponto P no interior de um triângulo ABC temos
PB + PC < AB + AC .
Dado um ponto P no interior de um triângulo ABC temos
AP + PB + PC < AB + AC + BC .
Dados dois pontos A e B não pertencentes à reta r , como determinar
um ponto P ∈ r tal que AP + PB tenha o menor valor?
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3/8
Desigualdade triangular
Na Geometria Euclidiana o menor caminho entre dois pontos é um
segmento de reta. Como provar isto?
Desigualdade triangular. Dados tres pontos A, B e C temos
AC ≤ AB + BC . A igualdade ocorre se e só se B ∈ AC .
Se a, b e c são os comprimentos dos lados de um triângulo, então
a < b + c, b < a + c e c < a + b.
E dadas quantidades a > 0, b > 0 e c > 0 satisfazendo a < b + c,
b < a + c e c < a + b, é possı́vel construir um triângulo com lados
com os comprimentos dados?
Dado um ponto P no interior de um triângulo ABC temos
PB + PC < AB + AC .
Dado um ponto P no interior de um triângulo ABC temos
AP + PB + PC < AB + AC + BC .
Dados dois pontos A e B não pertencentes à reta r , como determinar
um ponto P ∈ r tal que AP + PB tenha o menor valor?
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Desigualdade triangular
Na Geometria Euclidiana o menor caminho entre dois pontos é um
segmento de reta. Como provar isto?
Desigualdade triangular. Dados tres pontos A, B e C temos
AC ≤ AB + BC . A igualdade ocorre se e só se B ∈ AC .
Se a, b e c são os comprimentos dos lados de um triângulo, então
a < b + c, b < a + c e c < a + b.
E dadas quantidades a > 0, b > 0 e c > 0 satisfazendo a < b + c,
b < a + c e c < a + b, é possı́vel construir um triângulo com lados
com os comprimentos dados?
Dado um ponto P no interior de um triângulo ABC temos
PB + PC < AB + AC .
Dado um ponto P no interior de um triângulo ABC temos
AP + PB + PC < AB + AC + BC .
Dados dois pontos A e B não pertencentes à reta r , como determinar
um ponto P ∈ r tal que AP + PB tenha o menor valor?
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3/8
Desigualdade triangular
Na Geometria Euclidiana o menor caminho entre dois pontos é um
segmento de reta. Como provar isto?
Desigualdade triangular. Dados tres pontos A, B e C temos
AC ≤ AB + BC . A igualdade ocorre se e só se B ∈ AC .
Se a, b e c são os comprimentos dos lados de um triângulo, então
a < b + c, b < a + c e c < a + b.
E dadas quantidades a > 0, b > 0 e c > 0 satisfazendo a < b + c,
b < a + c e c < a + b, é possı́vel construir um triângulo com lados
com os comprimentos dados?
Dado um ponto P no interior de um triângulo ABC temos
PB + PC < AB + AC .
Dado um ponto P no interior de um triângulo ABC temos
AP + PB + PC < AB + AC + BC .
Dados dois pontos A e B não pertencentes à reta r , como determinar
um ponto P ∈ r tal que AP + PB tenha o menor valor?
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3/8
Aplicações: distância de ponto a reta e alguns lugares
geométricos
DEF. A mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular a
AB que passa pelo seu ponto médio.
Um ponto A0 é o simétrico de A em relação à reta r quando r é a
mediatriz de AA0 .
PROP. A mediatriz do segmento AB é o lugar geométrico dos
pontos do plano que equidistam do ponto A e do ponto B.
Dados, no plano, uma reta r e um ponto A, existe uma única reta
perpendicular a r contendo A.
DEF. Seja A um ponto fora de uma reta r . A distância d(A, r ) de A
a r é o comprimento AP, onde P é o pé da perpendicular baixada de
A a r.
PROP. O lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas
concorrentes é a união das bissetrizes dos ângulos formados pelas
retas.
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4/8
Aplicações: distância de ponto a reta e alguns lugares
geométricos
DEF. A mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular a
AB que passa pelo seu ponto médio.
Um ponto A0 é o simétrico de A em relação à reta r quando r é a
mediatriz de AA0 .
PROP. A mediatriz do segmento AB é o lugar geométrico dos
pontos do plano que equidistam do ponto A e do ponto B.
Dados, no plano, uma reta r e um ponto A, existe uma única reta
perpendicular a r contendo A.
DEF. Seja A um ponto fora de uma reta r . A distância d(A, r ) de A
a r é o comprimento AP, onde P é o pé da perpendicular baixada de
A a r.
PROP. O lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas
concorrentes é a união das bissetrizes dos ângulos formados pelas
retas.
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4/8
Aplicações: distância de ponto a reta e alguns lugares
geométricos
DEF. A mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular a
AB que passa pelo seu ponto médio.
Um ponto A0 é o simétrico de A em relação à reta r quando r é a
mediatriz de AA0 .
PROP. A mediatriz do segmento AB é o lugar geométrico dos
pontos do plano que equidistam do ponto A e do ponto B.
Dados, no plano, uma reta r e um ponto A, existe uma única reta
perpendicular a r contendo A.
DEF. Seja A um ponto fora de uma reta r . A distância d(A, r ) de A
a r é o comprimento AP, onde P é o pé da perpendicular baixada de
A a r.
PROP. O lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas
concorrentes é a união das bissetrizes dos ângulos formados pelas
retas.
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4/8
Aplicações: distância de ponto a reta e alguns lugares
geométricos
DEF. A mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular a
AB que passa pelo seu ponto médio.
Um ponto A0 é o simétrico de A em relação à reta r quando r é a
mediatriz de AA0 .
PROP. A mediatriz do segmento AB é o lugar geométrico dos
pontos do plano que equidistam do ponto A e do ponto B.
Dados, no plano, uma reta r e um ponto A, existe uma única reta
perpendicular a r contendo A.
DEF. Seja A um ponto fora de uma reta r . A distância d(A, r ) de A
a r é o comprimento AP, onde P é o pé da perpendicular baixada de
A a r.
PROP. O lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas
concorrentes é a união das bissetrizes dos ângulos formados pelas
retas.
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4/8
Aplicações: distância de ponto a reta e alguns lugares
geométricos
DEF. A mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular a
AB que passa pelo seu ponto médio.
Um ponto A0 é o simétrico de A em relação à reta r quando r é a
mediatriz de AA0 .
PROP. A mediatriz do segmento AB é o lugar geométrico dos
pontos do plano que equidistam do ponto A e do ponto B.
Dados, no plano, uma reta r e um ponto A, existe uma única reta
perpendicular a r contendo A.
DEF. Seja A um ponto fora de uma reta r . A distância d(A, r ) de A
a r é o comprimento AP, onde P é o pé da perpendicular baixada de
A a r.
PROP. O lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas
concorrentes é a união das bissetrizes dos ângulos formados pelas
retas.
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Aplicações: distância de ponto a reta e alguns lugares
geométricos
DEF. A mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular a
AB que passa pelo seu ponto médio.
Um ponto A0 é o simétrico de A em relação à reta r quando r é a
mediatriz de AA0 .
PROP. A mediatriz do segmento AB é o lugar geométrico dos
pontos do plano que equidistam do ponto A e do ponto B.
Dados, no plano, uma reta r e um ponto A, existe uma única reta
perpendicular a r contendo A.
DEF. Seja A um ponto fora de uma reta r . A distância d(A, r ) de A
a r é o comprimento AP, onde P é o pé da perpendicular baixada de
A a r.
PROP. O lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas
concorrentes é a união das bissetrizes dos ângulos formados pelas
retas.
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4/8
Paralelogramos
Trabalharemos sempre com quadriláteros serão convexos, a seguir.
DEF. Um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos
paralelos.
Podemos caracterizar paralelogramos de outros modos? Sim.
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se seus ângulos
opostos forem congruentes (iguais).
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se seus lados
opostos forem congruentes (iguais).
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só suas diagonais se
intersectam nos pontos médios das mesmas.
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se dois lados
opostos são congruentes (iguais) e paralelos.
E se apenas dois lados são paralelos? Teremos um paralelogramo?
Não...
Monica Merkle - IM/UFRJ
5/8
Paralelogramos
Trabalharemos sempre com quadriláteros serão convexos, a seguir.
DEF. Um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos
paralelos.
Podemos caracterizar paralelogramos de outros modos? Sim.
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se seus ângulos
opostos forem congruentes (iguais).
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se seus lados
opostos forem congruentes (iguais).
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só suas diagonais se
intersectam nos pontos médios das mesmas.
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se dois lados
opostos são congruentes (iguais) e paralelos.
E se apenas dois lados são paralelos? Teremos um paralelogramo?
Não...
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Paralelogramos
Trabalharemos sempre com quadriláteros serão convexos, a seguir.
DEF. Um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos
paralelos.
Podemos caracterizar paralelogramos de outros modos? Sim.
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se seus ângulos
opostos forem congruentes (iguais).
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se seus lados
opostos forem congruentes (iguais).
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só suas diagonais se
intersectam nos pontos médios das mesmas.
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se dois lados
opostos são congruentes (iguais) e paralelos.
E se apenas dois lados são paralelos? Teremos um paralelogramo?
Não...
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Paralelogramos
Trabalharemos sempre com quadriláteros serão convexos, a seguir.
DEF. Um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos
paralelos.
Podemos caracterizar paralelogramos de outros modos? Sim.
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se seus ângulos
opostos forem congruentes (iguais).
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se seus lados
opostos forem congruentes (iguais).
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só suas diagonais se
intersectam nos pontos médios das mesmas.
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se dois lados
opostos são congruentes (iguais) e paralelos.
E se apenas dois lados são paralelos? Teremos um paralelogramo?
Não...
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Paralelogramos
Trabalharemos sempre com quadriláteros serão convexos, a seguir.
DEF. Um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos
paralelos.
Podemos caracterizar paralelogramos de outros modos? Sim.
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se seus ângulos
opostos forem congruentes (iguais).
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se seus lados
opostos forem congruentes (iguais).
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só suas diagonais se
intersectam nos pontos médios das mesmas.
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se dois lados
opostos são congruentes (iguais) e paralelos.
E se apenas dois lados são paralelos? Teremos um paralelogramo?
Não...
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5/8
Paralelogramos
Trabalharemos sempre com quadriláteros serão convexos, a seguir.
DEF. Um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos
paralelos.
Podemos caracterizar paralelogramos de outros modos? Sim.
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se seus ângulos
opostos forem congruentes (iguais).
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se seus lados
opostos forem congruentes (iguais).
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só suas diagonais se
intersectam nos pontos médios das mesmas.
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se dois lados
opostos são congruentes (iguais) e paralelos.
E se apenas dois lados são paralelos? Teremos um paralelogramo?
Não...
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Paralelogramos
Trabalharemos sempre com quadriláteros serão convexos, a seguir.
DEF. Um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos
paralelos.
Podemos caracterizar paralelogramos de outros modos? Sim.
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se seus ângulos
opostos forem congruentes (iguais).
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se seus lados
opostos forem congruentes (iguais).
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só suas diagonais se
intersectam nos pontos médios das mesmas.
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se dois lados
opostos são congruentes (iguais) e paralelos.
E se apenas dois lados são paralelos? Teremos um paralelogramo?
Não...
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Paralelogramos
Trabalharemos sempre com quadriláteros serão convexos, a seguir.
DEF. Um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos
paralelos.
Podemos caracterizar paralelogramos de outros modos? Sim.
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se seus ângulos
opostos forem congruentes (iguais).
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se seus lados
opostos forem congruentes (iguais).
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só suas diagonais se
intersectam nos pontos médios das mesmas.
PROP. Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se dois lados
opostos são congruentes (iguais) e paralelos.
E se apenas dois lados são paralelos? Teremos um paralelogramo?
Não...
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5/8
Trapézios, retângulos
DEF. Um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos. Os
lados paralelos são chamados de base menor e base maior do
trapézio.
Todo paralelogramo é um trapézio. Mas não vale a recı́proca...
DEF. Um retângulo é um quadrilátero com ângulos internos
congruentes (iguais).
Os ângulos internos de um retângulo medem 90◦ .
Todo retângulo é um paralelogramo.
DEF. A distância entre duas retas r e s é o comprimento de qualquer
segmento AB perpendicular a r e s, com A ∈ r , B ∈ s.
Um paralelogramo é um retângulo se e só se suas diagonais tem
mesmo comprimento.
O comprimento da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo
retângulo mede metade do comprimento da hipotenusa.
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6/8
Trapézios, retângulos
DEF. Um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos. Os
lados paralelos são chamados de base menor e base maior do
trapézio.
Todo paralelogramo é um trapézio. Mas não vale a recı́proca...
DEF. Um retângulo é um quadrilátero com ângulos internos
congruentes (iguais).
Os ângulos internos de um retângulo medem 90◦ .
Todo retângulo é um paralelogramo.
DEF. A distância entre duas retas r e s é o comprimento de qualquer
segmento AB perpendicular a r e s, com A ∈ r , B ∈ s.
Um paralelogramo é um retângulo se e só se suas diagonais tem
mesmo comprimento.
O comprimento da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo
retângulo mede metade do comprimento da hipotenusa.
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Trapézios, retângulos
DEF. Um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos. Os
lados paralelos são chamados de base menor e base maior do
trapézio.
Todo paralelogramo é um trapézio. Mas não vale a recı́proca...
DEF. Um retângulo é um quadrilátero com ângulos internos
congruentes (iguais).
Os ângulos internos de um retângulo medem 90◦ .
Todo retângulo é um paralelogramo.
DEF. A distância entre duas retas r e s é o comprimento de qualquer
segmento AB perpendicular a r e s, com A ∈ r , B ∈ s.
Um paralelogramo é um retângulo se e só se suas diagonais tem
mesmo comprimento.
O comprimento da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo
retângulo mede metade do comprimento da hipotenusa.
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Trapézios, retângulos
DEF. Um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos. Os
lados paralelos são chamados de base menor e base maior do
trapézio.
Todo paralelogramo é um trapézio. Mas não vale a recı́proca...
DEF. Um retângulo é um quadrilátero com ângulos internos
congruentes (iguais).
Os ângulos internos de um retângulo medem 90◦ .
Todo retângulo é um paralelogramo.
DEF. A distância entre duas retas r e s é o comprimento de qualquer
segmento AB perpendicular a r e s, com A ∈ r , B ∈ s.
Um paralelogramo é um retângulo se e só se suas diagonais tem
mesmo comprimento.
O comprimento da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo
retângulo mede metade do comprimento da hipotenusa.
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Trapézios, retângulos
DEF. Um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos. Os
lados paralelos são chamados de base menor e base maior do
trapézio.
Todo paralelogramo é um trapézio. Mas não vale a recı́proca...
DEF. Um retângulo é um quadrilátero com ângulos internos
congruentes (iguais).
Os ângulos internos de um retângulo medem 90◦ .
Todo retângulo é um paralelogramo.
DEF. A distância entre duas retas r e s é o comprimento de qualquer
segmento AB perpendicular a r e s, com A ∈ r , B ∈ s.
Um paralelogramo é um retângulo se e só se suas diagonais tem
mesmo comprimento.
O comprimento da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo
retângulo mede metade do comprimento da hipotenusa.
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Trapézios, retângulos
DEF. Um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos. Os
lados paralelos são chamados de base menor e base maior do
trapézio.
Todo paralelogramo é um trapézio. Mas não vale a recı́proca...
DEF. Um retângulo é um quadrilátero com ângulos internos
congruentes (iguais).
Os ângulos internos de um retângulo medem 90◦ .
Todo retângulo é um paralelogramo.
DEF. A distância entre duas retas r e s é o comprimento de qualquer
segmento AB perpendicular a r e s, com A ∈ r , B ∈ s.
Um paralelogramo é um retângulo se e só se suas diagonais tem
mesmo comprimento.
O comprimento da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo
retângulo mede metade do comprimento da hipotenusa.
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Trapézios, retângulos
DEF. Um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos. Os
lados paralelos são chamados de base menor e base maior do
trapézio.
Todo paralelogramo é um trapézio. Mas não vale a recı́proca...
DEF. Um retângulo é um quadrilátero com ângulos internos
congruentes (iguais).
Os ângulos internos de um retângulo medem 90◦ .
Todo retângulo é um paralelogramo.
DEF. A distância entre duas retas r e s é o comprimento de qualquer
segmento AB perpendicular a r e s, com A ∈ r , B ∈ s.
Um paralelogramo é um retângulo se e só se suas diagonais tem
mesmo comprimento.
O comprimento da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo
retângulo mede metade do comprimento da hipotenusa.
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Trapézios, retângulos
DEF. Um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos. Os
lados paralelos são chamados de base menor e base maior do
trapézio.
Todo paralelogramo é um trapézio. Mas não vale a recı́proca...
DEF. Um retângulo é um quadrilátero com ângulos internos
congruentes (iguais).
Os ângulos internos de um retângulo medem 90◦ .
Todo retângulo é um paralelogramo.
DEF. A distância entre duas retas r e s é o comprimento de qualquer
segmento AB perpendicular a r e s, com A ∈ r , B ∈ s.
Um paralelogramo é um retângulo se e só se suas diagonais tem
mesmo comprimento.
O comprimento da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo
retângulo mede metade do comprimento da hipotenusa.
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Losangos e quadrados
DEF. Um losango é um quadrilátero com lados congruentes (iguais).
Todo losango é um paralelogramo.
Um paralelogramo é um losango se e só se suas diagonais são
perpendiculares.
DEF. Um quadrado é um quadrilátero com ângulos internos e lados
congruentes (iguais).
Em um quadrado temos que as diagonais se intersectam no ponto
médio, são perpendiculares e formam ângulos de 45◦ com os lados.
O conjunto dos retângulos está contido no conjunto dos losangos que
está contido no conjunto dos paralelogamos que está contido no
conjunto dos trapézios.
A interseção dos conjuntos dos retângulos e losangos é igual ao
conjunto dos quadrados.
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Losangos e quadrados
DEF. Um losango é um quadrilátero com lados congruentes (iguais).
Todo losango é um paralelogramo.
Um paralelogramo é um losango se e só se suas diagonais são
perpendiculares.
DEF. Um quadrado é um quadrilátero com ângulos internos e lados
congruentes (iguais).
Em um quadrado temos que as diagonais se intersectam no ponto
médio, são perpendiculares e formam ângulos de 45◦ com os lados.
O conjunto dos retângulos está contido no conjunto dos losangos que
está contido no conjunto dos paralelogamos que está contido no
conjunto dos trapézios.
A interseção dos conjuntos dos retângulos e losangos é igual ao
conjunto dos quadrados.
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Losangos e quadrados
DEF. Um losango é um quadrilátero com lados congruentes (iguais).
Todo losango é um paralelogramo.
Um paralelogramo é um losango se e só se suas diagonais são
perpendiculares.
DEF. Um quadrado é um quadrilátero com ângulos internos e lados
congruentes (iguais).
Em um quadrado temos que as diagonais se intersectam no ponto
médio, são perpendiculares e formam ângulos de 45◦ com os lados.
O conjunto dos retângulos está contido no conjunto dos losangos que
está contido no conjunto dos paralelogamos que está contido no
conjunto dos trapézios.
A interseção dos conjuntos dos retângulos e losangos é igual ao
conjunto dos quadrados.
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Losangos e quadrados
DEF. Um losango é um quadrilátero com lados congruentes (iguais).
Todo losango é um paralelogramo.
Um paralelogramo é um losango se e só se suas diagonais são
perpendiculares.
DEF. Um quadrado é um quadrilátero com ângulos internos e lados
congruentes (iguais).
Em um quadrado temos que as diagonais se intersectam no ponto
médio, são perpendiculares e formam ângulos de 45◦ com os lados.
O conjunto dos retângulos está contido no conjunto dos losangos que
está contido no conjunto dos paralelogamos que está contido no
conjunto dos trapézios.
A interseção dos conjuntos dos retângulos e losangos é igual ao
conjunto dos quadrados.
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Losangos e quadrados
DEF. Um losango é um quadrilátero com lados congruentes (iguais).
Todo losango é um paralelogramo.
Um paralelogramo é um losango se e só se suas diagonais são
perpendiculares.
DEF. Um quadrado é um quadrilátero com ângulos internos e lados
congruentes (iguais).
Em um quadrado temos que as diagonais se intersectam no ponto
médio, são perpendiculares e formam ângulos de 45◦ com os lados.
O conjunto dos retângulos está contido no conjunto dos losangos que
está contido no conjunto dos paralelogamos que está contido no
conjunto dos trapézios.
A interseção dos conjuntos dos retângulos e losangos é igual ao
conjunto dos quadrados.
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Losangos e quadrados
DEF. Um losango é um quadrilátero com lados congruentes (iguais).
Todo losango é um paralelogramo.
Um paralelogramo é um losango se e só se suas diagonais são
perpendiculares.
DEF. Um quadrado é um quadrilátero com ângulos internos e lados
congruentes (iguais).
Em um quadrado temos que as diagonais se intersectam no ponto
médio, são perpendiculares e formam ângulos de 45◦ com os lados.
O conjunto dos retângulos está contido no conjunto dos losangos que
está contido no conjunto dos paralelogamos que está contido no
conjunto dos trapézios.
A interseção dos conjuntos dos retângulos e losangos é igual ao
conjunto dos quadrados.
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7/8
Losangos e quadrados
DEF. Um losango é um quadrilátero com lados congruentes (iguais).
Todo losango é um paralelogramo.
Um paralelogramo é um losango se e só se suas diagonais são
perpendiculares.
DEF. Um quadrado é um quadrilátero com ângulos internos e lados
congruentes (iguais).
Em um quadrado temos que as diagonais se intersectam no ponto
médio, são perpendiculares e formam ângulos de 45◦ com os lados.
O conjunto dos retângulos está contido no conjunto dos losangos que
está contido no conjunto dos paralelogamos que está contido no
conjunto dos trapézios.
A interseção dos conjuntos dos retângulos e losangos é igual ao
conjunto dos quadrados.
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Exercı́cios
Escolha entre problema 1 ou 2. Escolha entre problema 3 ou 4.
1. Construa com régua e compasso o triângulo ABC a partir da
mediana ma relativa a A e sabendo que AB = c e BC = a. Justifique
a construção.
2. Construa com régua e compasso o triângulo ABC a partir da
mediana ma relativa a BC e sabendo que AB = c e AC = b.
Justifique a construção.
3. Calcule a soma dos cinco ângulos internos nos vértices de uma
estrela de 5 pontas. Justifique.
4. Dado um polı́gono convexo de n lados, calcule a soma dos ângulos
internos e calcule a soma dos ângulos externos. Justifique.
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Exercı́cios
Escolha entre problema 1 ou 2. Escolha entre problema 3 ou 4.
1. Construa com régua e compasso o triângulo ABC a partir da
mediana ma relativa a A e sabendo que AB = c e BC = a. Justifique
a construção.
2. Construa com régua e compasso o triângulo ABC a partir da
mediana ma relativa a BC e sabendo que AB = c e AC = b.
Justifique a construção.
3. Calcule a soma dos cinco ângulos internos nos vértices de uma
estrela de 5 pontas. Justifique.
4. Dado um polı́gono convexo de n lados, calcule a soma dos ângulos
internos e calcule a soma dos ângulos externos. Justifique.
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Exercı́cios
Escolha entre problema 1 ou 2. Escolha entre problema 3 ou 4.
1. Construa com régua e compasso o triângulo ABC a partir da
mediana ma relativa a A e sabendo que AB = c e BC = a. Justifique
a construção.
2. Construa com régua e compasso o triângulo ABC a partir da
mediana ma relativa a BC e sabendo que AB = c e AC = b.
Justifique a construção.
3. Calcule a soma dos cinco ângulos internos nos vértices de uma
estrela de 5 pontas. Justifique.
4. Dado um polı́gono convexo de n lados, calcule a soma dos ângulos
internos e calcule a soma dos ângulos externos. Justifique.
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Exercı́cios
Escolha entre problema 1 ou 2. Escolha entre problema 3 ou 4.
1. Construa com régua e compasso o triângulo ABC a partir da
mediana ma relativa a A e sabendo que AB = c e BC = a. Justifique
a construção.
2. Construa com régua e compasso o triângulo ABC a partir da
mediana ma relativa a BC e sabendo que AB = c e AC = b.
Justifique a construção.
3. Calcule a soma dos cinco ângulos internos nos vértices de uma
estrela de 5 pontas. Justifique.
4. Dado um polı́gono convexo de n lados, calcule a soma dos ângulos
internos e calcule a soma dos ângulos externos. Justifique.
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