sistema decimal

SISTEMA DECIMAL
1. Classificação dos números decimais
O sistema decimal é um sistema de numeração de posição que utiliza a base
dez. Os dez algarismos indo-arábicos - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - servem para
contar unidades, dezenas, centenas, etc. da direita para a esquerda.
No sistema decimal o símbolo 0 (zero) posicionado à direita implica em
multiplicar a grandeza pela base, ou seja, por 10 (dez).
Número decimal é qualquer número representado na forma decimal.
Neste sistema, todos os números são obtidos a partir de adições e
multiplicações que envolvem potências de 10 ou de 1/10.
Definição
Número decimal
é um número obtido a partir de adições e multiplicações
que envolvem potências de 10 ou de 1/10.
De um modo geral, todo número decimal é representado por somas ( finitas ou
infinitas) de termos que envolvem potências de 10 ou de 1/10:
an.10n + an-1. 10 n-1 + ....+ a1.101 + a0.100 + b1. 1/10 + b2.1/102 + b3.1/103......
Todo número decimal é representado pela seqüência dos coeficientes:
an an-1...a0, b1b2b3....
A vírgula é utilizada ( no Brasil) como um separador decimal (em alguns outros
países, utiliza-se um ponto) que indica o começo da parte
menor do que a
unidade. Após a vírgula, cada dígito representa uma potência de 1/10. Os
algarismos após a vírgula são denominados “casas decimais”. Os algarismos
anteriores à vírgula formam a “parte inteira” do número.
Observe que, na soma acima, existem “pontinhos” após a vírgula (...) indicando
que o número de casas decimais pode ser infinito.
Potências de 10
São potências que correspondem a sucessivas multiplicações por 10, a partir
da unidade:
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
10n corresponde a n zeros após a unidade.
10n+1 = 10. 10n
Números decimais representados por uma seqüência finita de potências de
10:
N = an.10n + an-1. 10 n-1 + ....+ a1.101 + a0.100 = anan-1 ...a1a0
Onde an, an-1, ..., a1, a0 são algarismos do conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Exemplo:
3x 102 + 5 x 10 + 2 x 100 = 352
Todo número inteiro apresenta-se na forma de somas finitas de potências de
10 e todo número desta forma representa um número inteiro.
Potências de 1/10
Correspondem a sucessivas multiplicações por 1/10, a partir de 1/10:
1/10= 1/101
1/100 = 1/102
1/1000 = 1/103
................1/10n
Número decimal finito ou exato
Um número decimal é finito ou exato (tem um número finito de dígitos), quando
é representado por uma soma com número finito de parcelas.
Exemplo:
5. 1/10 + 7. 1/10 = 0,5 + 0,07 = 0,57
Define-se uma fração decimal,
como uma fração cujo denominador é 10 ou potência de 10: 1/10; 5/100,
3/1000, etc.
Existem frações que podem ser transformadas em frações decimais,
pois os denominadores são divisores de 10, 100, 1000 ou outra potência,
como por exemplo: 1/25, 1/8, etc.
A decomposição em fatores primos dos denominadores contém apenas os
números 2 e/ou 5.
Exemplo:
5751/10 = 5751. 1/10 = 575,1
2/5 = 4/10 = 0,4
253/25 = 1012/100 = 1012/102 = 1,012
1/8 = 125/1000 = 125 / 103
Todo números decimal finito representa uma fração decimal (ou equivalente).
Toda fração decimal (ou equivalente) corresponde a um número decimal finito.
Exemplo:
523,135 =
5.102 + 2. 10 + 3.100 + 1/ 10 + 3/ 102 + 5/ 103 =
(5.105 + 2. 104 + 3.103 + 1. 102+ 3.10 + 5. 100) / 103 =
523135/ 1000
Números decimais obtidos pela soma infinita de potências de 1/10
Um número decimal pode ser uma soma infinita de potências:
an.10n + an-1. 10 n-1 + ....+ a1.101 + a0.100 + b1. 1/10 + b2.1/102 + b3.1/103......
Nesse caso é representado por uma seqüência infinita de coeficientes:
an an-1...a0, b1b2b3....
1. Número decimal periódico
Um número decimal infinito, eventualmente, pode ser periódico.
Um número decimal periódico apresenta, na sua parte fracionária, após um
número finito de termos, um bloco de algarismos, não totalmente nulos,
(chamado período) com a propriedade que, a partir dele, a seqüência de dígitos
é constituída exclusivamente pela repetição sucessiva deste bloco. Um decimal
periódico é também denominado “dízima periódica”.
Para alguns autores, um decimal exato é periódico, com período zero:
Exemplo: 4 = 4, 00000
Neste texto, consideramos que o período é não nulo e distinguimos decimais
exatos de decimais periódicos.
O número de casas decimais do período pode ser qualquer número inteiro
positivo.
Exemplos:
1. Período com apenas uma casa decimal
2101 + 5.100 + 7/ 10 + 7/ 102 +7/ 103 +7/ 104 ...... = 25, 777777….
2. Período com 3 casas decimais..
3.101 + 0.100 + 123/ 103 + 123/106 + 123/109…
30, 123123123….
Costumamos denotar o período com uma barra superior:
25, 7
30, 123
Número decimal infinito e não periódico
Existem decimais infinitos não periódicos, por exemplo:
0,101001000100001....
Este número também pode ser escrito como soma de potências de 1/10:
1/101 + 1/ 103 + 1/106 + 1/ 1010... = 0,101001000100001....
Observe que não há um bloco de algarismos que se repita, na parte fracionária
do número. Não existe período.
Classificação
Os números decimais podem ser classificados em três
categorias:
1.finitos ou exatos
2.infinitos periódicos
3.infinitos não periódicos
Operações com decimais exatos
As frações decimais e os inteiros são números racionais cuja representação na
forma decimal é exata.
Portanto, para definir as operações de adição, subtração, multiplicação e
divisão, com decimais, é preciso que elas sejam compatíveis com as
operações já conhecidas, nos racionais.
É essencial que você estude o Texto: Operações com Decimais (pdf).
Após o estudo deste texto, sabemos que é possível dividir números inteiros e
obter como solução um número decimal.
Exemplo:
1
13____
1
0,076923076923....
10
9
12
3
4
1
aqui o resto 1 começa a se repetir
10
9
12
3
4 ... e assim sucessivamente.
Neste exemplo, observamos que o resultado é um número decimal infinito e
periódico, e que o período se inicia quando o resto se repete.
Relações com números racionais
1.Todo número racional é representado por um decimal exato ou
periódico
Já sabemos que toda fração decimal (ou equivalente a alguma fração decimal)
corresponde a um decimal exato. Uma fração qualquer, para ser transformada
numa fração decimal, necessariamente deve ter um denominador que seja
divisor de potências de 10.
Exemplo:
1/25 = 4/4.25 = 4/100 pois 25 é divisor de 100
Mas, muitas frações não têm esta propriedade:
Exemplos:
1/3 não é equivalente a uma fração decimal, pois 3 não é divisor de nenhuma
potência de 10.
Analogamente: 1/7; 1/13; 50/17 ; etc
Basta recorrer ao algoritmo da divisão de números decimais, para perceber
que, o resultado da divisão de dois números inteiros p/q só pode ter dois
resultados:
É exato , quando, em algum momento o resto é zero;
É infinito e periódico, se em nenhum momento o resto é zero.
Neste caso, os valores do resto só podem ser 123...(q-1).
Por exemplo, em 1/13, os restos só podem variar entre 1 e 12 (veja acima). Ou
seja, certamente, vai haver alguma repetição de algum algarismo. Neste
momento, inicia-se o período.
Para um certo número 1/q, que não é equivalente a uma fração decimal, o
período tem no máximo (q-1) dígitos.
É importante que você estude o texto Dízimas Periódicas e Calculadoras,
que ensina a calcular 1/n, com várias casa decimais e com período longo,
quando n é um número grande. Isto é feito usando a calculadora. Por exemplo,
com este método, pode-se descobrir que o período de 1/23 tem 21 casas
decimais
2. Todo número decimal exato ou periódico corresponde a um número
racional
Para seguir adiante, no trabalho de relacionamento dos decimais com os
racionais, é essencial que você relembre seus conhecimentos relativos a
progressões geométricas, no texto: Progressão Geométrica.
Com este estudo, você poderá compreender a afirmação seguinte:
A soma de uma PG de razão q = 1/10 corresponde a um número decimal
Infinito e periódico
0, bbbb.... = b. 1/101+ b.1/102 + b. 1/103 + b. 1/104 + ......
Com esta informação, vê-se que a PG de razão 1/10 corresponde a números
decimais infinitos periódicos com período de 1 dígito:
Exemplo
0 777777…. =
7. 1/10+ 7. 1/102 +7. 1/103 +7.1/104 ......
De acordo com a soma da PG, podemos escrever este número:
S = b + bq + bq2 + bq3... = b/ (1-q)
0 777777…. =
7. 1/10+ 7. 1/102 +7. 1/103 +7.1/104 ...=
7/9
Se o número tiver parte inteira, não há problema:
Exemplo:
530, 777777…. =
5.102 + 1. 10 1 +0.100 + 7. 1/10+ 7. 1/102 +7. 1/103 +7.1/104 ...=
530 + 7/9 =
4777/9
Usando esta relação, podemos construir diferentes números decimais
periódicos e calcular a fração correspondente.
Exemplos:
0,1111..... = 1. 1/10 + 1. 1/102+ ..... = (1/10)/(1-1/10) = 1/9
0,2222.....= 2/9
0.3333... = 3/9 = 1/3
0,4444..... = 4/9 = 2/3
0,5555... = 5/9
0,6666...= 6/9 = 2/3
0,7777...= 7/9
0,8888...= 8/9
0,9999...= 9/9 = 1
Este último resultado conduz a outras igualdades:
0, 23999... = 0,24
1,999... = 2
O que nos leva a concluir que um mesmo número admite diferentes
representações decimais, assim como diferentes representações fracionárias
Para pensar:
Com a soma da PG, provamos que:
1 = 0, 999.....
Você está convencido?
Um mesmo número admite diferentes representações decimais,
assim como diferentes representações fracionárias?
Você pode buscar mais detalhes nos seguintes endereços ou nos textos associados:
http://pt.wikipedia.org/wiki/0,999...
http://www.sbemrj.com.br/spemrj6/artigos/b4.pdf ou no Texto 999.pdf
Se a PG tiver razão igual 1/100 = 1/102 , encontramos números decimais com
período de 2 dígitos; se a razão for
1/1000 = 1/103 o período será de 3
dígitos, e assim por diante.
Exemplo:
45,123123123... =
45 + 123/1.000 + 123/ 1.0002 + .... = (123/1000)/ (1 – 1/1000) =
45 + 123/999 = 45.078/999 (verifique com a calculadora)
Você pode entender melhor o processo acompanhando o aplicativo:
Transformação de decimal periódico em fração
Conclusões
Revendo o que foi feito:
•
Associando racionais com divisão de inteiros concluímos que todo
número racional é representado por um decimal exato ou periódico;
•
Associando os números decimais exatos com frações decimais e os
decimais periódicos com a soma de progressões geométricas,
concluímos que todo decimal exato ou periódico corresponde a
um
número racional.
Relações com números irracionais
Das conclusões acima, vemos que, se um número é irracional, só
poderá ser representado por um decimal infinito não periódico.
Resta verificar que todo número decimal infinito
não periódico
corresponde a um número irracional. Ou seja, corresponde à medida de algum
segmento incomensurável com a unidade.
Para isto, vamos nos reportar à reta real.
A cada ponto P da reta, corresponde um segmento OP, cuja medida é
um número real, representado na reta pelo próprio ponto P.
Consideremos um número decimal infinito e não periódico. Existe algum
ponto da reta que se identifica com este número?
A resposta é sim, como mostra Cerri (2006):
Invente uma representação decimal qualquer. Ela representa um número real?
Vamos ver um exemplo consideremos o decimal 0,1212212221... .
Este é um decimal infinito e não periódico.
Existe um ponto Q da reta cujo número associado tem esta representação?
Vamos tentar responder.
Tome a seguinte seqüência de números:
0,1 ; 0,12 ; 0,121 ; 0,1212 ; 0,12122 ; 0,121221 ; 0,1212212 ; 0,12122122 ; etc
A seqüência é crescente e nunca ultrapassa 0,13.
Também não ultrapassa 0,122. Ou ainda não ultrapassa 0,1213 etc.
A diferença entre os termos vai ficando cada vez menor.
De fato, a diferença entre dois números consecutivos é sempre menor que
2/10n =0,0...02.
Veja
0,12 - 0,1=0,02
0,121 - 0,12=0,001
0,1212 - 0,121=0,0002 etc
Nossa intuição nos diz que esta é uma seqüência de números racionais que
converge para um ponto da reta real que corresponde a um número que só
pode ser o número representado por 0,121221222122221... , com infinitas
casas decimais!
O argumento que usamos pode ser repetido para toda e qualquer forma
decimal infinita que você inventar, mesmo que ela não tenha uma regularidade
(como é o caso do exemplo acima).
Conclusões
Todo número decimal infinito e não periódico
corresponde a um número irracional.
Todo irracional é representado por um número decimal infinito e não periódico.
Exemplos
É possível, então, relacionar os
números decimais com os racionais e
irracionais:
1.
42 = 42,0 é número decimal finito portanto é racional
2.
0,5 é um decimal finito portanto é racional
3.
0, 343434... é um decimal infinito e periódico portanto é racional
4.
0,101001000100001..... é um decimal infinito não periódico, portanto não
é racional
5.
π = 3.1415927... é decimal infinito não periódico e é irracional, portanto
não é racional
6.
√2 = 1,4142..... decimal infinito não periódico e é irracional, portanto não
é racional
Conclusões
Finalmente, temos que a todo decimal, corresponde um real e a todo real
corresponde um decimal, o que permite definir reais de outra forma.
Definição
Um número real é qualquer número representado
na forma decimal.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
O conjunto dos números racionais foi aumentado, e temos agora o conjunto
dos números reais. O conjunto dos números reais, denotado por R, é a união
dos números racionais com os irracionais. Todo número real é representado
por um número decimal. Alguns são redutíveis a frações outros não, os
irracionais.
Podemos ainda operar com estes “novos” números como fazemos com os
racionais?
Como definir agora adição e multiplicação?
Penteado ( 2004) responde que não é fácil operar com as representações
decimais.
Veja esta soma:
1,13234567898765453236272618377...
+ 2, 98547893076453426374866845959987656...
4,11793.........................................................
Não há como conhecer todas as casas decimais de alguns números.
Contudo os matemáticos de fato provaram que no conjunto dos números reais
R, que corresponde ao conjunto de todos os decimais
operações de adição e multiplicação que estendem as de Q.
Também temos uma ordem nas mesmas condições.
estão definidas
Para definir operações em R que estendam as operações
definidas em Q,
uma idéia consiste em definir um número irracional como o limite de uma
seqüência de
números racionais. O resultado de operações sobre limites
corresponde ao limite das operações sobre as seqüências.
Na prática, o resultado de operações com números irracionais é sempre
representada por um número racional muito próximo. Os resultados são
aproximados
DIAGRAMA
O conjunto dos números reais é formado pela união dos conjuntos dos
racionais e dos irracionais.
decimal exato
RACIONAL
REAL
decimal infinito periódico
IRRACIONAL
decimal infinito não periódico
GLOSSÁRIO
Recorrência
DECIMAL
Sistema decimal
Número decimal
BIBLIOGRAFIA
CERRI, Cristina. Desvendando os Números Reais (pdf). Mini-curso, Bienal
de Matemática, 2006. Disponível em
www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/cristina.cerri.pdf
PENTEADO, Cristina. Concepções do professor do ensino médio relativas
à densidade do conjunto dos números reais e suas relações frente a
procedimentos para abordagens desta propriedade. Dissertação de
Mestrado em educação Matemática. PUC-SP, 2004. Disponível em:
http://www.sapientia.pucsp.br//tde_busca/arquivo.php?codArquivo=4687