números inteiros, racionais e reais.

Matemática p/ MI
Teoria e exercícios comentados
Prof Marcos Piñon – Aula 00
AULA 00: Conjuntos numéricos: números inteiros,
racionais e reais.
SUMÁRIO
1. Apresentação
2. Números inteiros, racionais e reais
3. Exercícios comentados nesta aula
4. Gabarito
PÁGINA
1
3
24
27
1 – Apresentação
Olá, meu nome é Marcos Piñon, sou casado, baiano, torcedor do Bahêa e
formado em Engenharia Eletrônica pela Universidade Federal da Bahia.
Atualmente moro em Brasília e trabalho na Secretaria de Orçamento Federal do
Ministério do Planejamento (MPOG), onde fui aprovado em 8º lugar para o cargo
de Analista de Planejamento e Orçamento - APO, no concurso realizado em 2008.
Fiz faculdade de Engenharia por sempre ter tido afinidade com a Matemática, pois
realmente é um assunto que tenho prazer em estudar (cheguei até a dar aulas de
reforço de Matemática na época da faculdade para ganhar um trocado). Após me
tornar APO, decidi criar um site no intuito de aprender um pouco mais de
informática e também poder ajudar os concurseiros (raciociniologico.50webs.com).
Foi uma experiência maravilhosa, apesar de ser algo bem primitivo, mas que
tenho um carinho enorme. Também recebi vários e-mails com agradecimentos, o
que causou uma sensação muito boa. Isso me fez tomar gosto pela coisa e
comecei a preparar materiais e estudar bastante a matéria. Com isso, recebi um
convite do Professor Sérgio Mendes, amigo e colega de carreira, para fazer parte
desta equipe.
Com relação ao nosso curso de Matemática para Assistente Técnico
Administrativo do Ministério da Integração Nacional - MI, cujo edital foi publicado
no dia 22/03/2013, trata-se de uma disciplina que agrega alguns assuntos da
matemática básica estudada no ensino fundamental e médio (em minha época era
1º e segundo graus). Vamos dar uma olhada no edital:
1 - Conjuntos numéricos: números inteiros, racionais e reais.
2 - Sistema legal de medidas.
3 - Razões e proporções: divisão proporcional; regras de três simples e
compostas; porcentagens.
Parte desse conteúdo é bastante comum em provas do CESPE, o que nos
garante uma boa quantidade de questões. Pretendo chegar ao final do curso com
uma grande quantidade de questões resolvidas, o que fará com que apareça na
prova questões semelhantes às resolvidas em nosso curso.
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Com base nesse edital, resolvi montar o curso da seguinte maneira:
Aula
Conteúdo
Data
Aula 00
Conjuntos numéricos: números inteiros, racionais e
já disponível
reais.
Aula 01
Sistema legal de medidas. Razões e proporções.
Porcentagens.
05/04/2013
Aula 02
Divisão proporcional; regras de três simples e
compostas.
12/04/2013
Procurarei abordar a teoria até o limite necessário e de forma resumida, e darei
um foco maior na resolução de questões. Em outras matérias, talvez, o melhor
seja aprofundar a teoria e resolver algumas questões. Posso afirmar sem medo de
errar que em Matemática a “lógica” é outra. Sempre vou procurar, a cada assunto
exposto, colocar exemplos de questões, sempre do CESPE. As questões
comentadas em cada aula estão listadas no final do arquivo, caso o aluno queira
tentar resolvê-las antes de ver a solução (eu recomendo!).
Espero que gostem do curso, não economizem na resolução de questões e não
deixem de aproveitar o fórum ou enviar um e-mail, seja para tirar dúvidas, ou para
enviar críticas e sugestões.
Um abraço e bons estudos!!!
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2 – Conjuntos numéricos: números inteiros, racionais e reais.
Nesse tópico, vou fazer uma revisão geral bem sucinta de assuntos bastante
básicos, mas que algum aluno pode não se lembrar, pois faz muuuuuito tempo
que vocês estudaram isso.
Adição
Os termos de uma adição são denominados de parcelas e o resultado é chamado
de soma:
X
+
Y =
Parcelas
Z
Soma
A primeira regrinha da adição é que a ordem das parcelas não altera a soma:
X+Y=Y+X
A segunda regrinha da adição é que o zero é seu elemento neutro:
X+0=X
Subtração
O primeiro termo de uma subtração é denominado minuendo e o segundo termo
é chamado de subtraendo. Já o resultado é chamamos de diferença.
X
–
Minuendo
Y
=
Subtraendo
Z
Diferença
Na subtração a ordem dos termos pode alterar o resultado:
X–Y≠Y–X
A subtração é operação inversa da adição:
X–Y=Z ⇔ Z+Y=X
Valor Absoluto
O valor absoluto de um número inteiro indica a sua distância até o zero, quando
representado numa reta numerada. Assim, o valor absoluto de um número nunca
é negativo, pois representa uma distância.
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O valor absoluto de um número x é representado por |x| (lê-se valor absoluto de x
ou módulo de x).
Exemplos:
|–1| = 1
|–3| = 3
|4| = 4
|–1| = 1
–2
–1
0
1
2
3
4
Dois números são ditos simétricos, quando sua soma é igual a zero. Os módulos
de dois números simétricos são iguais.
Exemplo:
–1 + 1 = 0, ou seja, |–1| = 1 = |1|
Multiplicação
Os termos de uma multiplicação são denominados de fatores e o resultado é
chamado de produto:
A
x B
Fatores
=
C
Produto
Aqui, semelhante à adição, a ordem dos fatores não altera o produto:
AxB=BxA
O elemento neutro da multiplicação é o número 1:
Ax1=A
Números Inteiros
Simbolizamos o conjunto de todos os números inteiros por Ζ (z maiúsculo). Como
o próprio nome já diz, ele é formado por todos os números inteiros.
Ζ = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4...}
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Toda adição, subtração e multiplicação entre números inteiros resulta em outro
número inteiro. Por outro lado, a divisão, a potenciação e a radiciação entre
números inteiros, nem sempre resultam em outro número inteiro.
Divisão Inteira
Na divisão inteira de N por D, com D diferente de zero, existirá apenas um Q e um
R, tais que:
Q x D + R = N e 0 ≤ R < |D|
Onde N é o dividendo, D o divisor, Q o quociente e R o resto.
Temos duas restrições:
O D nunca pode ser igual a zero (não existe divisão por zero).
O R nunca pode ser negativo.
Quando o R é igual a zero, dizemos que a divisão é exata. Quando isso ocorre,
dizemos que N é divisível por D, ou que D é divisor de N, ou ainda, que N é
múltiplo de D.
O zero é divisível por qualquer número não nulo:
0÷D=0
Todo número inteiro é divisível por 1:
N÷1=N
Todo número inteiro que, ao ser dividido pelo número dois, resulta em um número
inteiro, é chamado de número par. Caso contrário esse número é chamado de
ímpar.
Divisores
Vou relembrar agora algumas regrinhas que podem ser bastante úteis na prova:
como identificar se um número é ou não é divisível por outro, ou múltiplo de outro.
•
Números divisíveis por 2 – Todo número par é divisível por 2, ou então,
todo número terminado em 2, 4, 6, 8 ou 0 é divisível por 2.
•
Números divisíveis por 3 – Um número será divisível por 3, se a soma de
seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo:
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13548 – é divisível por 3 pois 1 + 3 + 5 + 4 + 8 = 21, e 21 é divisível por 3.
•
Números divisíveis por 4 – Um número será divisível por 4 se os dois
últimos dígitos forem 0, ou formarem um número divisível por 4.
Exemplo:
1200 – é divisível por 4, pois os dois últimos dígitos são zero.
1388 – é divisível por 4, pois os dois últimos dígitos (88), formam um número
divisível por 4.
•
Números divisíveis por 5 – Todo número terminado em 5 ou 0 é divisível por
5.
•
Números divisíveis por 6 – Quando um número é divisível por 3 e por 2 ao
mesmo tempo, este número também é divisível por 6.
Exemplo:
1548 – é divisível por 2, pois é par, e é divisível por 3 pois 1 + 5 + 4 + 8 = 18, e 18
é divisível por 3. Assim, podemos afirmar que 1548 é divisível por 6.
•
Números divisíveis por 7 – para sabermos se um número é divisível por
sete, duplicamos o algarismo das unidades e subtraímos da parte que
sobra do número. Se o resultado for divisível por 7, então o número é
divisível por 7.
Exemplo:
1519 ⇒ fazemos: 9 x 2 = 18. Em seguida subtraímos: 151 – 18 = 133. Como 133 é
divisível por 7, então 1519 também é divisível por 7. Se no resultado da subtração
ainda restar dúvida se o número é ou não divisível por 7, repete-se a operação.
133 ⇒ 3 x 2 = 6. Em seguida: 13 – 6 = 7. Pronto, não resta mais dúvida.
•
Números divisíveis por 8 – Um número será divisível por 8 se os três
últimos dígitos forem 0, ou formarem um número divisível por 8.
Exemplo:
11000 – é divisível por 8, pois os três últimos dígitos são zero.
9056 – é divisível por 8, pois os três últimos dígitos (056), formam um número
divisível por 8.
•
Números divisíveis por 9 – Um número será divisível por 9, se a soma de
seus algarismos for divisível por 9.
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Exemplo:
1548 – é divisível por 9, pois 1 + 5 + 4 + 8 = 18, e 18 é divisível por 9.
•
Números divisíveis por 10 – Todo número terminado em 0 é divisível por 10.
Números Primos
Um número natural (são números inteiros não nulos) é dito primo se ele for
divisível apenas por 1 e por ele mesmo.
Números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...
Vale observar que o único número primo que é par é o número 2.
MDC, MMC e Fatoração
Esse assunto vocês já viram há muito tempo atrás, mas não custa nada relembrar
(até porque ele ajuda na resolução de algumas questões). Primeiro, vamos
lembrar o que significam essas siglas:
MDC: Máximo Divisor Comum
MMC: Mínimo Múltiplo Comum
Bom, de forma simplificada, dados dois ou mais números naturais diferentes de
zero, o MDC indica qual o maior número inteiro que estes dois ou mais números
são divisíveis ao mesmo tempo (lembrando que um número é considerado
divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero). Já o MMC
indica qual o menor número diferente de zero que é múltiplo, ao mesmo tempo,
destes dois ou mais números. Vamos ver alguns exemplos:
Exemplo: Encontrar o MDC e o MMC entre 4 e 6:
Divisores de 4: 1, 2 e 4
Divisores de 6: 1, 2, 3 e 6
MDC entre 4 e 6 = 2 (o maior dos divisores em comum)
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, ...
MMC entre 4 e 6 = 12 (o menor múltiplo em comum diferente de zero)
Exemplo: Encontrar o MDC e o MMC entre 15 e 20:
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Divisores de 15: 1, 3, 5 e 15
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20
MDC entre 15 e 20 = 5 (o maior dos divisores em comum)
Múltiplos de 15: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, ...
Múltiplos de 20: 0, 20, 40, 60, 80, 100, ...
MMC entre 15 e 20 = 60 (o menor múltiplo em comum diferente de zero)
Cálculo do MDC e do MMC
Bom, numa prova, listar todos os divisores e todos os múltiplos de um número
pode não ser interessante, devido ao tempo que pode ser necessário para isso
(imagine descobrir o MDC entre 1.200 e 1.800). Assim, existem algumas técnicas
para o cálculo do MDC e do MMC que facilitam bastante o trabalho.
Fatoração
-
A primeira coisa a se lembrar é da fatoração. Lembram-se o que é fatoração? E
como fatorar um número? A fatoração, que nos interessa nesse momento, é um
termo que indica a decomposição de um número em um produto de números
primos (fatores).
Fatorar o número 36
36
18
9
3
1
2
2
3
3
36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32
Fatorar o número 56
56
28
14
7
1
2
2
2
7
56 = 2 x 2 x 2 x 7 = 23 x 7
Agora, podemos definir o MDC e o MMC a partir da fatoração dos números:
MDC: O MDC entre dois ou mais números é igual ao produto dos seus fatores
primos comuns de menor expoente.
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MMC: O MMC entre dois ou mais números é igual ao produto dos seus fatores
primos comuns de maior expoente e de seus fatores primos não comuns com seus
respectivos expoentes.
Exemplo: Encontrar o MDC e o MMC entre 36 e 56.
MDC: 36 = 22 x 32 e 56 = 23 x 7 (perceba que tanto 36 quanto 56 possuem o 2
como fator comum, assim, o MDC entre eles será o 2 com o menor expoente, ou
seja, 22). MDC entre 36 e 56 = 22 = 4
MMC: 36 = 22 x 32 e 56 = 23 x 7 (perceba que tanto 36 quanto 56 possuem o 2
como fator comum e 3 e 7 como fatores não comuns, assim, o MMC entre eles
será o produto do 2 com o maior expoente, com 32 e 7, ou seja, 23 x 32 x 7). MMC
entre 36 e 56 = 23 x 32 x 7 = 504
Outra técnica para encontrar o MDC entre dois números é dividir o maior pelo
menor. Em seguida, dividimos o divisor da primeira divisão pelo resto dessa
divisão. E assim sucessivamente, até o resto ser igual a zero. O MDC será igual
ao divisor que resultou no resto zero. Vamos ver como seria com o exemplo
anterior:
MDC entre 36 e 56
56
= 1 (resto = 20)
36
36
= 1 (resto = 16)
20
20
= 1 (resto = 4)
16
16
= 4 (resto = 0)
4
Portanto, o MDC entre 36 e 56 é igual a 4.
Fração
Uma fração é uma forma de representar uma divisão, onde os números inteiros
utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma
linha horizontal ou traço de fração.
A÷B=
A
Numerador
=
B
Deno min ador
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Números Racionais
Simbolizamos o conjunto dos números racionais por Q (q maiúsculo). Ele é
x
formado por todos os números que podem ser escritos em forma de uma fração
y
onde x e y são números inteiros e y é diferente de zero (devemos lembrar que não
existe divisão por zero).
2 −4
385
;
; 0,385 (pois pode ser escrito como
); 3,3333... (pois pode
5 9
1000
10
9
ser escrito como
), 9 (pois pode ser escrito como ), etc..
3
1
Exemplos:
Assim, toda fração, todo número decimal, toda dízima periódica e todo número
inteiro pertencem ao conjunto Q.
Para transformar um número decimal finito em fração, basta colocar no numerador
todos os algarismos do número decimal e no denominador o número 1 seguido de
tantos zeros quantas forem as casas decimais:
Exemplos:
5,46 =
546
100
0,065 =
65
1000
Para transformar uma dízima periódica em fração, fazemos o seguinte:
Suponha que a,bcdpppp... seja a dízima periódica, onde os algarismos a, b, c e d
não fazem parte do período e apenas o p se repete infinitamente. A fração que
originou esta dízima é a seguinte:
abcdp − abcd
9000
No numerador da fração nós colocamos a diferença entre a parte não periódica
seguida do período pela parte não periódica. No denominador nós colocamos
tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros
quantos forem os algarismos da parte não periódica depois da vírgula.
Exemplos:
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12,56777777... =
0,00454545... =
13,333... =
12567 − 1256 11311
=
900
900
45 − 0
45
=
9900
9900
133 − 13 120
=
9
9
Uma observação importante é que o período só começa a contar após a vírgula.
Para somar ou subtrair duas frações, temos duas opções:
•
Quando os denominadores são iguais: conserva-se o denominador e
somam-se ou subtraem-se os numeradores
12
3
12 + 3
15
+
=
=
5
5
5
5
•
Quando os denominadores são diferentes: substitui-se a frações por outras
equivalentes com um mesmo denominador que seja múltiplo dos
denominadores das frações originais. Em seguida, procede-se da mesma
forma anterior.
12
7
36
35 36 − 35
1
–
=
–
=
=
5
3
15
15
15
15
Para multiplicarmos duas frações, devemos multiplicar seus numeradores,
encontrando um novo numerador e multiplicar os denominadores encontrando um
novo denominador:
12
7
12 × 7
84
x
=
=
5
3
5×3
15
Para dividirmos duas frações nós mantemos a primeira e a multiplicamos pelo
inverso da segunda:
12
7
12
3
12 × 3
36
÷
=
x
=
=
5
3
5
7
5×7
35
Números Reais
Simbolizamos o conjunto dos números reais por R (r maiúsculo). Ele é formado
por todos os números racionais adicionando-se as dízimas não periódicas (que
são números irracionais). Assim, todo número inteiro e todo número racional
também é um número real.
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Exemplos:
π = 3,14159... (dízima não periódica)
5 = 2,2360... (toda raiz não exata é uma dízima não periódica)
1 (é um número inteiro, portanto também é real)
0,47 (é um número racional, portanto também é real)
Bom, essa teoria não é novidade para a maioria de vocês. De qualquer forma,
serve como consulta se surgir alguma dúvida na resolução das questões. Por falar
nas questões, vamos a elas!
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
01 - (Prefeitura de Rio Branco – 2007 / CESPE) Considere que, somando-se 5
unidades a um dos fatores em uma multiplicação, o produto fique
aumentado de 120 unidades. Nesse caso, é correto afirmar que o outro fator
é superior a 25 unidades.
Solução:
Vamos chamar de A e de B os dois fatores e de C o produto. Assim:
AxB=C
Somando-se 5 unidades ao A, o produto fica aumentado em 120. Assim, temos:
(A + 5) x B = C + 120
A x B + 5.B = C + 120
Sabemos que A x B = C, assim:
C + 5.B = C + 120
5.B = 120
B=
120
5
B = 24
Portanto, o item está errado.
02 - (Prefeitura de Rio Branco – 2007 / CESPE) Considere que, em uma
divisão não exata, o quociente é igual a 7, o resto é o maior possível e a
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soma do resto com o divisor é igual a 21. Nesse caso, é correto afirmar que o
dividendo é um número superior a 90.
Solução:
Numa divisão nós temos o seguinte:
Quociente x Divisor + Resto = Dividendo
Foi dito que o resto é o maior possível. Com isso, podemos concluir que este resto
é apenas uma unidade menor do que o divisor, pois caso o resto fosse maior ou
igual ao divisor ele não seria o resto:
Divisor = Resto + 1
Além disso, foi dito que a soma do resto com o divisor é igual a 21:
Divisor + Resto = 21
Assim, podemos substituir o valor do divisor:
Divisor + Resto = 21
Resto + 1 + Resto = 21
2 x Resto = 21 – 1
Resto =
20
2
Resto = 10
Logo,
Divisor = Resto + 1
Divisor = 10 + 1
Divisor = 11
Ainda, foi dito que o quociente é igual a 7:
Quociente = 7
Assim, temos:
Quociente x Divisor + Resto = Dividendo
7 x 11 + 10 = Dividendo
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77 + 10 = Dividendo
Dividendo = 87
Portanto, o item está errado.
03 - (Prefeitura de Rio Branco – 2007 / CESPE) Considere que, para curar
uma infecção bastante grave, o médico receitou a um paciente 3 tipos de
antibióticos, em comprimidos, A, B e C, que deverão ser ingeridos,
respectivamente, de cinco em cinco horas, de doze em doze horas e de
quinze em quinze horas. No sábado, às seis horas da manhã, o paciente
ingeriu os três comprimidos juntos. Nessa situação, o paciente ingerirá os
três comprimidos juntos novamente às dezoito horas de segunda-feira.
Solução:
Nessa questão, o paciente irá ingerir os três comprimidos simultaneamente a cada
período múltiplo de 5, 12 e 15 horas. Assim, deveremos encontrar o MMC entre 5,
12 e 15 para saber o intervalo de tempo entre os momentos em que o paciente
ingere os três comprimidos simultaneamente:
Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, ...
Múltiplos de 12: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...
Múltiplos de 15: 0, 15, 30, 45, 60, 75, ...
Portanto, a cada 60 horas o paciente ingere os três comprimidos simultaneamente.
Assim, se ele tomou os três comprimidos às 6 horas da manhã do sábado, o
próximo horário será:
6 da manhã de sábado
24 horas
6 da manhã do domingo
24 horas
6 da manhã da segunda
12 horas
18 horas de segunda
24 + 24 + 12 = 60 horas
Portanto, o item está correto.
04 - (Prefeitura de Rio Branco – 2007 / CESPE) Considere que, em uma
12
deles preferem
escola, uma pesquisa feita com os alunos revelou que
100
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9
, as aulas de educação física, e o restante, 260
25
alunos, prefere as aulas de geografia. Nessa situação, é correto afirmar que,
nessa escola, há mais de 480 alunos.
as aulas de música,
Solução:
Chamando de x o total de alunos da escola, podemos montar a seguinte equação:
x=
12
9
.x +
.x + 260
100
25
x–
12
9
.x –
.x = 260
100
25
100 − 12 − 36
.x = 260
100
52
.x = 260
100
52.x = 26000
x=
26000
52
x = 500 alunos
Portanto, o item está correto.
(Texto para a questão 05) Considerando que a soma das idades de 2
meninos seja igual a 8 anos, que essas idades, em anos, sejam medidas por
números inteiros e que cada menino tenha pelo menos 2 anos de idade,
julgue os itens a seguir.
05 - (PM/ES – 2010 / CESPE) Se a diferença entre as idades dos meninos for 2
anos, então o produto das medidas dessas idades, em anos, será inferior a
14.
Solução:
Nessa questão, vamos chamar de “A” a idade do mais velho e de “B” a idade do
mais novo. Assim, temos:
a soma das idades de 2 meninos seja igual a 8 anos
A+B=8
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a diferença entre as idades dos meninos for 2 anos
A–B=2
A=2+B
Assim, sabendo que A + B = 8 e que A = 2 + B, temos:
A+B=8
2+B+B=8
2.B = 8 – 2
2.B = 6
B=
6
2
B=3
Com isso, como A = 2 + B, temos:
A=2+B
A=2+3
A=5
Por fim, resta verificar se o produto das idades é inferior a 14:
A x B = 5 x 3 = 15
Portanto, o item está errado.
(Texto para as questões 06 e 07) Para incrementar a frota de veículos, uma
corporação militar adquiriu automóveis e motocicletas. Considerando que a
soma dos 2 pneus de cada moto e dos 4 pneus de cada automóvel é igual a
152 pneus, julgue os itens a seguir.
06 - (CBM/ES – 2011 / CESPE) Se a quantidade de motos compradas
corresponde a um múltiplo de 4, então a de automóveis corresponde a um
número par.
Solução:
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Chamando de M a quantidade de motos e de A a quantidade de automóveis,
temos:
a soma dos 2 pneus de cada moto e dos 4 pneus de cada automóvel é igual a
152 pneus
2.M + 4.A = 152
Dividindo tudo por 2, temos:
M + 2.A = 76
2.A = 76 – M
a quantidade de motos compradas corresponde a um múltiplo de 4
Bom, se M é um número múltiplo de 4, podemos concluir que 76 – M também será
múltiplo de 4, já que 76 é múltiplo de 4. Assim:
2.A = 76 – M
2.A = Número múltiplo de 4
A=
Número múltiplo de 4
2
Com isso, podemos concluir que A é um número par, já que qualquer número
múltiplo de 4 quando dividido por 2 resulta em outro número divisível por 2, e
portanto par. Item correto.
07 - (CBM/ES – 2011 / CESPE) Se a quantidade de automóveis comprados foi
inferior a 30, então a quantidade de veículos adquiridos foi superior a 45.
Solução:
Sabemos que:
M + 2.A = 76
M = 76 – 2.A
Bom sabendo que a quantidade de automóveis foi inferior a 30, podemos testar
qual o valor de M para A = 30. Assim:
M = 76 – 2.A
M = 76 – 2 x 30
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M = 76 – 60
M = 16
V = A + M = 30 + 16 = 46
Agora, testamos A = 29:
M = 76 – 2.A
M = 76 – 2 x 29
M = 76 – 58
M = 18
V = A + M = 29 + 18 = 47
Podemos perceber que à medida que A diminui o M aumenta e a soma dos dois
também aumenta. Assim, podemos concluir que para A menor que 30, a soma de
A + M será sempre maior que 45. correto.
08 - (Correios – 2011 / CESPE) Em uma empresa, os empregados têm direito
a descanso remunerado de um dia a cada 15 dias trabalhados. Em
determinado ano, os dias trabalhados e os dias de descanso somaram 224
dias. Com base nessa situação, é correto afirmar que, nesse ano, a
quantidade de dias de descanso desses empregados foi superior a 16.
Solução:
Nessa questão temos o seguinte:
Trabalha 15, folga 1, trabalha 15, folga 1, ...
Ou seja, a cada ciclo de 16 dias, temos 15 trabalhados e 1 de folga. Assim, se o
total de dias foi 224, basta dividirmos este número por 16 para sabermos quantos
dias de descanso os empregados tiveram:
224
16
0
14
Portanto, nesse período de 224 dias, os empregados descansaram 14 dias. Item
errado.
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(Texto para a questão 09) Em um evento em que foram realizadas provas em
dois turnos, os colaboradores assinaram contrato para trabalhar em um ou
nos dois períodos. No período da manhã, os colaboradores trabalharam
quatro horas e, no período da tarde, cinco horas. O CESPE/UnB pagará R$
100,00 para os colaboradores que trabalharam um período e, para os que
trabalharam nos dois períodos, R$ 180,00.
Considerando a situação hipotética acima descrita, julgue os item
subsequente.
09 - (FUB – 2010 / CESPE) O colaborador que trabalhar em ambos os turnos
receberá o mesmo valor pela hora trabalhada que aquele que trabalhar
somente no turno vespertino.
Solução:
O colaborador que trabalhar nos dois turnos trabalhará por 4 + 5 = 9 horas e
receberá R$ 180,00. Assim, o valor da hora trabalhada será:
Hora trabalhada (2 turnos) =
180
= R$ 20,00 por hora trabalhada.
9
Já o colaborador que trabalhar apenas no período da tarde trabalhará 5 horas e
receberá R$ 100,00. Assim, o valor da hora trabalhada será:
Hora trabalhada (tarde) =
100
= R$ 20,00 por hora trabalhada.
5
Portanto, os dois colaboradores receberão o mesmo valor pela hora trabalhada.
Item correto.
(Texto para as questões 10 e 11) Uma empresa contratou 10 empregados de
nível superior e 15 de nível médio. Em cada nível, os salários mensais dos
empregados são iguais e a soma do salário mensal de um empregado de
nível superior com o salário mensal de um empregado de nível médio é igual
a R$ 3.500,00. Considerando que a despesa mensal da empresa com os
salários desses 25 empregados é de R$ 41.000,00, julgue os itens que se
seguem.
10 - (SEBRAE – 2008 / CESPE) O salário mensal de cada empregado de nível
superior é inferior a R$ 2.400,00.
Solução:
Vamos chamar de S o salário de nível superior e de M o salário de nível médio.
Assim, sabendo que a soma do salário mensal de um empregado de nível superior
com o salário mensal de um empregado de nível médio é igual a R$ 3.500,00,
temos:
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S + M = 3500
S = 3500 – M
Além disso, foi dito que a empresa contratou 10 empregados de nível superior e
15 de nível médio e a despesa mensal da empresa com os salários desses 25
empregados é de R$ 41.000,00:
10.S + 15.M = 41000
Substituindo o valor de S:
10.(3500 – M) + 15.M = 41000
35000 – 10.M + 15.M = 41000
5.M = 41000 – 35000
5.M = 6000
M=
6000
5
M = R$ 1.200,00
Com isso, podemos encontrar o salário de nível superior:
S = 3500 – M
S = 3500 – 1200
S = R$ 2.300,00
Portanto, o item está correto.
11 - (SEBRAE – 2008 / CESPE) A diferença entre o salário mensal de um
empregado de nível superior e o de um de nível médio é superior a
R$ 1.200,00.
Solução:
Utilizando as informações da questão anterior, temos:
S – M = 2300 – 1200 = R$ 1.100,00
Portanto, o item está errado.
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12 - (SEAD/SE – 2008 / CESPE) O produto de dois números racionais não
inteiros é um número racional não inteiro.
Solução:
2
3
e
são números
3
2
racionais não inteiros. Vejamos o que acontece com seu produto:
Para matar esta questão, basta pensar em um exemplo.
2 3
2×3
6
x
=
=
=1
3
2
3×2
6
Portanto, o item está errado.
13 - (SEAD/SE – 2008 / CESPE) Se a soma de dois números reais é um
número irracional, então um desses números é, necessariamente, irracional.
Solução:
Esta questão é verdadeira, pois se somarmos dois números racionais o resultado
será com certeza um número racional (lembrem-se que os números racionais
podem sempre ser escritos como frações). Assim, a única forma de somarmos
dois números reais e o resultado ser irracional é se pelo menos um dos números
for irracional. Item correto.
(Texto para as questões 14 e 15) Se a soma de dois números reais é igual a
3
21 e se a razão entre eles é igual a , então é correto afirmar que
4
14 - (SEAD/SE – 2008 / CESPE) um desses números é menor que 7.
Solução:
Vamos chamar os dois números de A e B. Assim, sabendo que a soma deles é
igual a 21, temos:
A + B = 21
A = 21 – B
Além disso, foi dito que a razão entre eles é igual a
3
:
4
A
3
=
B
4
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4.A = 3.B
Substituindo o valor de A:
4.(21 – B) = 3.B
84 – 4.B = 3.B
84 = 3.B + 4.B
7.B = 84
B=
84
7
B = 12
Agora, falta encontrarmos o A:
A = 21 – B
A = 21 – 12
A=9
Portanto, nenhum dos números é menor que 7. Item errado.
15 - (SEAD/SE – 2008 / CESPE) o produto desses números é superior a 120.
Solução:
Utilizando as informações da questão anterior:
A x B = 9 x 12 = 108
Assim, o produto desses números é menor que 120. Item errado.
16 - (Prefeitura de Rio Branco – 2007 / CESPE) Paulo e José apostavam em
um jogo de sinuca ao valor de R$ 5,00 a partida. No início do jogo, Paulo
tinha R$ 230,00 e José, R$ 120,00. No final do jogo, Paulo e José ficaram com
quantias iguais. Nessa situação, a diferença entre o número de partidas
vencidas por José e o número de partidas vencidas por Paulo foi superior a
12.
Solução:
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Chamando de N a diferença entre o número de partidas vencidas por José e o
número de partidas vencidas por Paulo, e sabendo que as quantias finais de Paulo
e de José foram iguais, temos:
230 – 5.N = 120 + 5.N
230 – 120 = 5.N + 5.N
110 = 10.N
N=
110
10
N = 11
Portanto, o item está errado.
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3 - Exercícios comentados nesta aula
01 - (Prefeitura de Rio Branco – 2007 / CESPE) Considere que, somando-se 5
unidades a um dos fatores em uma multiplicação, o produto fique aumentado de
120 unidades. Nesse caso, é correto afirmar que o outro fator é superior a 25
unidades.
02 - (Prefeitura de Rio Branco – 2007 / CESPE) Considere que, em uma divisão
não exata, o quociente é igual a 7, o resto é o maior possível e a soma do resto
com o divisor é igual a 21. Nesse caso, é correto afirmar que o dividendo é um
número superior a 90.
03 - (Prefeitura de Rio Branco – 2007 / CESPE) Considere que, para curar uma
infecção bastante grave, o médico receitou a um paciente 3 tipos de antibióticos,
em comprimidos, A, B e C, que deverão ser ingeridos, respectivamente, de cinco
em cinco horas, de doze em doze horas e de quinze em quinze horas. No sábado,
às seis horas da manhã, o paciente ingeriu os três comprimidos juntos. Nessa
situação, o paciente ingerirá os três comprimidos juntos novamente às dezoito
horas de segunda-feira.
04 - (Prefeitura de Rio Branco – 2007 / CESPE) Considere que, em uma escola,
12
uma pesquisa feita com os alunos revelou que
deles preferem as aulas de
100
9
, as aulas de educação física, e o restante, 260 alunos, prefere as
música,
25
aulas de geografia. Nessa situação, é correto afirmar que, nessa escola, há mais
de 480 alunos.
(Texto para a questão 05) Considerando que a soma das idades de 2 meninos
seja igual a 8 anos, que essas idades, em anos, sejam medidas por números
inteiros e que cada menino tenha pelo menos 2 anos de idade, julgue os itens a
seguir.
05 - (PM/ES – 2010 / CESPE) Se a diferença entre as idades dos meninos for 2
anos, então o produto das medidas dessas idades, em anos, será inferior a 14.
(Texto para as questões 06 e 07) Para incrementar a frota de veículos, uma
corporação militar adquiriu automóveis e motocicletas. Considerando que a soma
dos 2 pneus de cada moto e dos 4 pneus de cada automóvel é igual a 152 pneus,
julgue os itens a seguir.
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06 - (CBM/ES – 2011 / CESPE) Se a quantidade de motos compradas
corresponde a um múltiplo de 4, então a de automóveis corresponde a um número
par.
07 - (CBM/ES – 2011 / CESPE) Se a quantidade de automóveis comprados foi
inferior a 30, então a quantidade de veículos adquiridos foi superior a 45.
08 - (Correios – 2011 / CESPE) Em uma empresa, os empregados têm direito a
descanso remunerado de um dia a cada 15 dias trabalhados. Em determinado
ano, os dias trabalhados e os dias de descanso somaram 224 dias. Com base
nessa situação, é correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de dias de
descanso desses empregados foi superior a 16.
(Texto para a questão 09) Em um evento em que foram realizadas provas em dois
turnos, os colaboradores assinaram contrato para trabalhar em um ou nos dois
períodos. No período da manhã, os colaboradores trabalharam quatro horas e, no
período da tarde, cinco horas. O CESPE/UnB pagará R$ 100,00 para os
colaboradores que trabalharam um período e, para os que trabalharam nos dois
períodos, R$ 180,00.
Considerando a situação hipotética acima descrita, julgue os item subsequente.
09 - (FUB – 2010 / CESPE) O colaborador que trabalhar em ambos os turnos
receberá o mesmo valor pela hora trabalhada que aquele que trabalhar somente
no turno vespertino.
(Texto para as questões 10 e 11) Uma empresa contratou 10 empregados de nível
superior e 15 de nível médio. Em cada nível, os salários mensais dos empregados
são iguais e a soma do salário mensal de um empregado de nível superior com o
salário mensal de um empregado de nível médio é igual a R$ 3.500,00.
Considerando que a despesa mensal da empresa com os salários desses 25
empregados é de R$ 41.000,00, julgue os itens que se seguem.
10 - (SEBRAE – 2008 / CESPE) O salário mensal de cada empregado de nível
superior é inferior a R$ 2.400,00.
11 - (SEBRAE – 2008 / CESPE) A diferença entre o salário mensal de um
empregado de nível superior e o de um de nível médio é superior a
R$ 1.200,00.
12 - (SEAD/SE – 2008 / CESPE) O produto de dois números racionais não inteiros
é um número racional não inteiro.
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13 - (SEAD/SE – 2008 / CESPE) Se a soma de dois números reais é um número
irracional, então um desses números é, necessariamente, irracional.
(Texto para as questões 14 e 15) Se a soma de dois números reais é igual a 21 e
3
se a razão entre eles é igual a , então é correto afirmar que
4
14 - (SEAD/SE – 2008 / CESPE) um desses números é menor que 7.
15 - (SEAD/SE – 2008 / CESPE) o produto desses números é superior a 120.
16 - (Prefeitura de Rio Branco – 2007 / CESPE) Paulo e José apostavam em um
jogo de sinuca ao valor de R$ 5,00 a partida. No início do jogo, Paulo tinha R$
230,00 e José, R$ 120,00. No final do jogo, Paulo e José ficaram com quantias
iguais. Nessa situação, a diferença entre o número de partidas vencidas por José
e o número de partidas vencidas por Paulo foi superior a 12.
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4 - Gabaritos
01 - E
02 - E
03 - C
04 - C
05 - E
06 - C
07 - C
08 - E
09 - C
10 - C
11 - E
12 - E
13 - C
14 - E
15 - E
16 - E
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