Lista 2
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Segunda lista de exercı́cios de Geometria Analı́tica Profa Maria Andrade 1. No plano cartesiano desenhe o segmento orientado com origem P0 e extremidade P1 nos seguintes casos: a) P0 = (−3, 5) e P1 = (1, −2). b) P0 = (−2, 4) e P1 = (0, 0). c) P0 = (7, 2) e P1 = (−1, −1). 2. Para cada um dos segmentos orientados do exercı́cio anterior encontre −−→ − → − − o vetor → v tal que P0 P1 = P0 + → v. −−→ −−→ 3. Calcule a soma P Q1 + P Q2 nos seguintes casos: a) P = (1, 1), Q1 = (1, −2) e Q2 = (1, −3). b) P = (1, 1), Q1 = (3, 6) e Q2 = (−3, −5). c) P = (−2, −3), Q1 = (6, −15) e Q2 = (3, 4). 4. Quais as condições de a e b, números reais, para que os vetores do − − plano → u = (2a + 1, 1) e→ v = (−3, 2b − 5) sejam iguais? 5. Dados os pontos A = (3, 3), B = (0, 1) e C = (1, 6). a) Calcule a distância ente os pontos A e B. b) Verifique que o triângulo formado pelos vértices A, B e C é retângulo em A. c) Calcule a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC. √ − − − − − 6. Calcule o ângulo entre → u +→ v e → u −→ v , sabendo que ||→ u || = 2, − − − ||→ v || = 1 e que o ângulo entre → u e→ v é 45◦ . − − 7. Dados os vetores → u = (−2, 3) e → v = (2, 4). Determine o produto → − → − − interno entre u e v , o ângulo entre estes vetores e a projeção de → u → − sobre v . 1 − − v 8. Sejam → u e→ v vetores do plano não nulos. Seja P− a projeção do vetor → u − → → − → − → − − v v sobre o vetor uUniversidade . MostreFederal que de v Alagoas − P− é ortogonal → u . Interprete → u de Matemática geometricamente este Instituto resultado. − → → − −→(1, 3). Determine as coordenadas de um vetor → − → 9. Seja v , de norma (a) − u =u(1, = 2), v = (6, −8); → − − → → − ◦ (b) u = (−7, −3), v = (0, 1). 3, e que faz um ângulo de 30 com u . → → → 11. Sejam − u = (1, 2), − v = (4, −2) e − w = (6, 0). Calcule: − → → − − → (a) < u , 7 v + w >; → → → (b) # < − u,− w >− w #; − → → − → − (c) # u # < v , w >; → → → (d) < #− u #− v ,− w >. 10. Calcule a área do paralelogramo cujos vértices são os pontos médios dos lados do quadrilátero ABCD, onde A = (0, 1), B = (−4, −1), C = (5, −3) e D = (7, 0). − → 12. Encontre o ângulo entre os vetores → u e− v onde: − → 11. Calcule a −→ área do paralelogramo definido pelos vetores → u = (−2, 3) e (a) − u = (2, 2), v = (0, 3); → − − → → − (b) u = (3, 1), v = (−1, −2). v = (5, 1). 13. Seja P0 = (x0 , y0 ) um ponto do plano. Descreva o cojunto dos pontos P = (x, y) tais que satisfazem #P − P0 # =→ − − − − − − 12. Sejam u1. , → v e→ w→ vetores do R2 , tais que ||→ u || = 5, ||→ v || = 6, ||→ w || = 7 14. Calcule a norma do vetor − v→ = (cos θ, sen θ). Descreva o lugar geométrico formado pelas extremidades de − → − → − → − → − → − → − → − → − → − cujaw norma a um. etodosu os+vetores v + = é 0igual . Calcule: h u , v i, h u , w i e h v , w i. → → → 15. Seja − u = (x, y) um vetor. Mostre que o vetor − v = (−y, x) é ortogonal a − u . Desenhe os dois vetores no plano cartesiano. 0 0− 0 → → → 16. Mostre que se α− v = 0 , então α = 0 ou − v = 0. 0 − → − → → → 17. Mostre que se α u = α v e se α $= 0, então − u =− v. 13. Seja P = (x , y ) um ponto do plano. Descreva o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que satisfazem ||P − P || = 2. → − → − → → − 18. Sejam − u e− v dois vetores,→ mostre que 14. Mostre que se α− v = 0 . Então α = 0 ou → v = 0. − → − → 2 − → − → − → 2 − → 2 2 # u + v # + # u − v # = 2# u # + 2# v # − − − − 15. se α→ u = que α→ v e se α 6= 0, então→ u =→ v. → → 19. Mostre Sejam − u e− vque dois vetores, mostre 1 − 1 − − → → − → → → − → ,− v (0, >= 1) #→ u e+ − vu#2 = − #(x, u −y). v #2 Mostre que: 16. Sejam → e1 = (1, 0) e− e<2−→u= 4 4 → → 20. Sejam − u e− v dois vetores unitários cujo ângulo entre eles é → − 2π → − 2 3 . Calcule #2 u + 4 v # . → − → − → − √ a) u = x e + y e . 1 2 − → − → → → π 21. Sejam u e v dois vetores formando um ângulo de 4 . Suponha que #− u # = 5 e #− v # = 1. → → → → medida, em radianos, do ângulo→ entre→ os vetores − u +− v e− u −− v. → − → − → − − − b) u = (h u , e i, h u , e i). Encontre a 1 2 → → → → → → 22. Mostre que se − u é ortogonal a − v ea− w então − u é ortogonal a α− v + β− w , para quaisquer α , β ∈ R. − → − → − → − → − → − → → → → 23. Mostre que se u é ortogonal a v − w e v é ortogonal a w − u , então − w é ortogonal a − u −− v. − → − → 24. Considere os vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1). Mostre que todo vetor do plano pode ser escrito como uma → → soma de um múltiplo de − e com um múltilo de − e 17. Mostre que um triângulo inscrito num cı́rculo, cujo diâmetro coincide com um dos lados do triângulo, é um triângulo retângulo (i.e. um dos 1 2 mede 90. Veja abaixo. 25. ângulos Mostre que um triângulo inscrito num figura cı́rculo, cujo diâmetro coincide com um dos lados do triângulo, é um triângulo retângulo (i.e. um dos ângulos mede 90o ). Veja figura abaixo. C → − u A → − − v −→ u → − v B 18. Considere um paralelogramo ABCD, mostre que as diagonais deste paralelogramo tem o mesmo ponto médio. Veja figura abaixo. 2 Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática 26. Considere um paralelogramo ABCD, mostre que as diagonais deste paralelogramo tem o mesmo ponto médio. Veja figura abaixo. D C P Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática B A 26. Considere um paralelogramo ABCD, mostre que as diagonais deste paralelogramo tem o mesmo ponto médio. Veja figura abaixo. 27. Mostre que as diagonais de um quadrado são perpendiculares. D C 19. ABC Mostre que as diagonais de um quadrado sãomédios perpendiculares. 28. Seja um triângulo, mostre que o segmento que passa pelos pontos de dois lados deste triângulo P é paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado. Veja figura abaixo. 20. Seja ABC um triângulo,Amostre queBo segmento que passa pelos pontos C médios de dois lados deste triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem 27. Mostre que as diagonais de um quadrado são perpendiculares. por medida a metade da medida deste lado. abaixo. 28. Seja ABC um triângulo, mostre que o segmento que passa pelos pontos médios deVeja dois ladosfigura deste triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado. Veja figura abaixo. P Q C Q P A B − − → −→ A 2!P Q! = !AB! B − − → −→ 2!P Q! = !AB! → → → → 29. Sejam − u e− v 29. dois vetores não nulos. Sejam k = #− u→ # e l =→ #− v #, mostre que o vetor → → Sejam − u e− v dois vetores não nulos. Sejam k = #− u # e l = #− v #, mostre que o vetor → − 30. 11 → − → → w = (k v− +lu)− w = k + l (k v + l u ) − → − − − k + l 21. Sejam → u e v vetores não nulos. Sejam ||→ u || =→uke −→veé duas ||→ vvezes|| = l, mostre → → encontra-se na bissetriz do ângulo entre − u e− v . (Você deve mostrar que o ângulo entre − − → → − − → − → → − − → → → o ângulo entre u e w ou duas vezes o ângulo entre v e w ) encontra-se bissetriz do ângulo entre u e v . (Você deve mostrar que o ângulo entre − u e− v é duas vezes que na o→ vetor → → − → alturasvezes de um triângulo se encontram o ângulo entre30.− uMostre e− w que ouasduas o ângulo entre − vnume mesmo w ) ponto. 1 → − → − → − v +lu) w = num(k Mostre que as alturas de um triângulo se encontram k + l mesmo ponto. − − encontra-se na bissetriz do ângulo entre → u → v . (Ou seja, você deve → − → − − − mostrar que o ângulo entre u e v é duas vezes o ângulo entre → u e→ w − − ou duas vezes o ângulo entre → v e→ w .) − → − → 22. Escreva as equações vetorial, paramétrica, simétrica e cartesiana da − reta que contém o ponto P e a direção → v , onde − − a) P = (−1, −2) e → v = (2, 3). b) P = (1, −3) e → v = (4, −5). → − c) P = (2, 4) e v = (1, 2). 23. Determine as equações vetorial, paramétrica, simétrica e cartesiana da reta r definida pelos pontos P e Q, onde: a) P = (−1, 1) e Q = (4, 3). b) P = (0, 1) e Q = (−4, 3). c) P = (2, −2) e Q = (3, 3). 24. Usando as equações cartesianas obtidas no exercı́cio anterior calcule a distância de cada reta ao ponto L = (2, 3). 3 − − 25. Dados os vetores → u = (1, 4) e → v = (−4, 2), escreva as equações paramétricas e cartesianas das retas que contém as diagonais do parale− − logramo definido por → u e→ v. 26. Escreva as equações paramétricas da reta que contém o ponto P = (1, 3) e faz com a reta y = −2x + 4 um ângulo de π/3. 27. Encontre os pontos da reta x + 3y − 3 = 0 cuja distância a origem seja igual a 3. 28. Calcule o ângulo formado pelas retas r e s, nos casos: a) r : y = 2x + 3 e s : y = −5x + 2. b) r : x = −4 e s : y = −2x + 2. c) r : y = −x + 5 e s : −2y + 3x − 1 = 0. 29. Determine o valor de a de maneira que a reta 3x + ay + 7 = 0 passe pelo ponto P = (2,-2). 30. Considere a reta r : x − 3y + 10 = 0, encontre a equação da reta que passa por P = (3, 1) e que seja ortogonal a r. − 31. Dado → v = (2, 3). Encontre o vetor após fazermos uma rotação de 30◦ no sentido anti-horário e uma translação dada por T (x, y) = (x − 2, y + 4). 32. Seja A(x, y) = (2x+y+1, x−y−3). Mostre que A é uma transformação − − afim. Encontre A(→ v ), onde → v = (2, 3) e faça uma figura ilustrando → − → − v e A( v ). 33. Escreva as equações paramétricas das seguintes circunferências: a) x2 + y 2 − 16 = 0. b) x2 + y 2 − 8x = 0. c) x2 + y 2 − x + 3y − 2 = 0. 34. Deduza uma equação de circunferência centrada na origem e que seja tangente à reta 3x − 4y + 20 = 0. 35. Encontre a interseção das duas circunferências: x2 + y 2 − 8x − 2y + 7 = 0 x2 + y 2 − 6x − 4y + 9 = 0 4
