O problema do tubo de vácuo - if

sumula
09/26/2006 02:50 PM
O problema do tubo de vácuo
(Ref. básica: Introduction to Plasma Physics, Goldston & Rutherford, IOP 1995)
Considerem o seguinte tipo de esquema:
Elétrons são liberados pelo filamento incandescente termoiônico de tungstênio (ou algum
esquema termoiônico equivalente) e acelerados como um fluído frio (todos os elétrons em
um certo ponto se movimentam sem dispersão térmica, ou seja, com a mesma velocidade)
em escoamento estacionario (derivadas temporais = 0) por uma diferença de potencial do
catodo para o anodo de uma região totalmente evacuada - um tubo de vácuo, portanto.
Vamos supor que a escolha da escala de potenciais seja tal que V(catodo)=0. O fluído
eletrônico, aqui, é um plasma frio.
Para uma geometria unidimensional ao longo do eixo x a equação para a divergência do
campo elétrico assume o aspecto:
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, (1)
onde phi é o potencial eletrostático e rho é a densidade de cargas do sistema = -e n, com (-e)
a carga eletrônica - n é a densidade de elétrons. Como estamos trabalhando com um feixe
puramente eletrônico que está viajando unidimensionalmente do catodo para o anodo de
maneira estacionária, devemos ter
, (2)
onde j é a densidade de corrente do fluído eletrônico, constante. Notem que j não é a
densidade de corrente elétrica j e com a qual havíamos trabalhado em aula. A relação entre as
duas é simplesmente dada por j e=-e j. A partir de (2) podemos escrever n=j/v. Assim, se
conseguirmos expressar a velocidade do fluído eletrônico em termos de phi, podemos
substituir a expressão resultante em (1) e obter uma equação exclusivamente para o potencial
eletrostático. Ora, por conservação de energia sabemos que
, (3)
a partir do que, notando que inicialmente os elétrons são lançados com velocidade nula de
um ponto onde phi=0, o que implica em Const.=0, obtemos o que desejamos.
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, (4)
e daí:
. (5)
O problema é não linear e complicado. Uma possível solução particular pode no entanto ser
tentada na forma
, (6)
o que, substituído em (5), nos informa o seguinte:
. (7)
Finalizando, quando x=L, phi=V, de onde tiramos a importante regra de escala dos
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fabricantes de tubo de válvulas eletrônicas de vácuo, também conhecida como lei de ChildLangmuir:
. (8)
Mecânica Estatística de Plasmas
Imaginemos que dispomos de N partículas a serem distribuídas em estados "discretos", cada
estado com energia ej e comportando um número nj das N partículas. Notem que aqui
fazemos uma forte hipótese em relação ao tipo de sistema com o qual lidamos. Estaos
supondo que há estados j com uma energia única. No caso clássico, onde j designa posição e
velocidade como veremos (j={x,v}), isto é equivalente a dizer que em uma posição x e v, ou
em suas redondezas, as partículas possuem a mesma energia. Isto vale quando os efeitos
coletivos discutidos no começo do curso preponderam. Quando há colisões inter-partículas, o
que diminui o domínio dos efeitos coletivos, partículas próximas umas das outras podem ter
energias totalmente diferentes justamente devido às colisões, e a modelagem não pode ser
rigorosamente esta que segue.
Macroscópicamente só podemos divisar o número nj de partículas em cada estado, mas não
quais partículas específicas estão lá. Um esquema gráfico de nosso problema vem a seguir:
.
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Nossa tarefa é então contar de quantas formas uma particular distribuição macroscópica com
o conjunto {no,n1,n2,n3,n4,.......,nj ,.......}={n j } pode existir. A princípio, suspeitaríamos de
que tal número, vamos chamá-lo de W, fosse simplesmente a permutação de todas as
partículas entre si: N!. Mas isto não é totalmente correto, já que a permutação de duas
partículas em um mesmo estado, não conduz a um estado microscópicamente distinto: seria
algo com tirar duas partículas que habitam um mesmo ponto espacial (no caso clássico), e
reconduzí-las ao mesmo ponto.
O que no entando é verdade, é que para cada permutação entre partículas do mesmo estado, o
número de permutações macroscópicamente distintas vai ser o mesmo. Assim poderíamos
calcular o N! da seguinte forma:
. (9)
Supondo apenas um sistema de 2 estados com 2 partículas em um deles e a terceira no
segundo, o número total de permutações é 6, mas o número de permutações
macroscópicamente distintas e relevantes é apenas 3.
Pois seguindo adiante, o que devemos fazer é obter a distribuição dos nj que fornecem o
maior W, para um N fixo! Ou seja, escrevendo
, (10)
o que devemos fazer é maximizar a função de várias variáveis W({nj}) em relação aos seus
argumentos. Devemos no entanto considerar dois vínculos: o número total de partículas é
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constante, N, e a energia total do sistema é a energia fornecida por seu agente formador - no
caso de um plasma, a energia total seria constante e dada pela faísca que o produziu
(ionização do gás). Ou seja, devemos maximizar (10) em relação a seus argumentos,
submetidos aos vínculos:
. (11)
Isto pode ser convenientemente feito através dos multiplicadores de Lagrange. A partir deste
ponto, em vista da presença de fatoriais em (10), torna-se mais apropriado trabalhar com
logaritmos de W, que automaticamente suavizam o comportamento quase-exponencial dos
fatoriais. A maximização do logaritmo de W é equivalente à maximização do próprio W, já
que ambas as funções crescem com W. Reunindo todos estes comentários em fórmulas, o
que queremos então é maximizar a exótica função
, (12)
onde os dois lambdas sãos os multiplicadores de Lagrange. Como agora temos duas
variáveis extra, podemos desvencilhar os nj de suas restrições, como explicado em aula.
Outra fórmula conveniente aqui é a aproximaçnao de Stirling que funciona muito bem
quando nj,N>>1:
, (13)
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que pode ser obtida se aproximarmos
. (14)
Queremos então, no máximo, que variações de W-til sejam nulas. Algumas manobras
envolvendo (12)-(14) nos põe na seguinte situação:
, (15)
onde agora os delta nj são pequenas variações dos nj em relação ao ponto de máximo. Como
dentro do esquema dos multiplicadores todos os nj passam a ser independentes, temos
finalmente
, (16)
onde os lambdas devem ser calculados com base nos vínculos (11).
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Notem que o numero de particulas por estado depende exponencialmente da energia do
estado. Daqui já podemos desconfiar que o fator lambda_2 seja negativo. Caso nao o fosse,
teríamos um número crescente de partículas com a energia, algo fisicamente nada plausível
para estados de equilíbrio. A condição sobre o número total de partículas pode ser imposta
agora sobre a distribuição (16):
, (17)
onde é introduzido o conceito de função de partição Z como o somatório das exponenciais de
energia, e de onde podemos concluir:
, (18)
onde pj é definido como a probabilidade de ocupação de um estado j. Nossa tarefa agora é a
de determinar lambda_2. Se tivermos sucesso nisto, lambda_1 fica determinado em termos de
N e de lambda_2 (contida em Z) através de (17).
Para o cálculo de lambda_2, iniciamos observando que W é uma medida da multiplicidade de
realização de um estado macroscópico - ou seja, W mede de quantas maneiras microscópicas
distintas, um estado macroscópico pode ser realizado. Isto nos remete diretamente ao
conceito de entropia. O problema é que a entropia não pode ser W diretamente. Isto porque
entropia é extensiva (aditiva). Se tivermos dois sub-sistemas fracamente interagentes, o
W_total seria dado pela fórmula:
. (19)
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O número de estados microscópicos distintos seria o número de estados do primeiro subsistema multiplicado pelo número de estados do segundo. Imaginem dois subsistemas com 2
estados cada. Quantos estados distintos há no total? Ora, há 2 estados do segundo subsistema, digamos, para cada um dos 2 estados do primeiro sub-sistema; ou seja 2x2=4.
Pois W então não se decompõe em uma soma extensiva. O que se decompõe em uma soma,
por exemplo, é o logaritmo de W. Daí nasce a definição de entropia extensiva da
termodinâmica S:
, (20)
onde kappa é a assim chamada constante de Boltzmann;
. (21)
Vamos então iniciar calculando a entropia de nossa distribuição W:
. (22)
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Calculemos a seguir dS/dE, que, segundo a termodinâmica, é 1/T, T denotando a temperatur
do sistema:
, (23)
de onde finalmente obtemos lambda_2 = -1/(kappa T). Com isto ficamos prontos para
escrever a forma final da função de distribuição de probabilidades (18):
, (24)
também conhecida como distribuição de Boltzmann.
Façamos então uma aplicação da fórmula (24) com o intuito de, verificando uma relação
conhecida, atestar a validade da função de distribuição (24). O caso é o de calcular a energia
média para um gás ideal unidimensional. Neste caso a energia ej é simplesmente a energia
cinética de um "estado" clássico (x,v):
. (25)
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Um resultado interessante e genérico com relação a cálculos energéticos é o seguinte:
. (26)
Apliquemos nosso modelo energético (25) em (26).
, (27)
lembrando que por (23), lambda_2 é um número negativo e considerando L como o
comprimento do sistema. Agora a tarefa é a de calcular o logaritmo da função partição Z:
, (28)
de onde tiramos finalmente o resultado:
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, (29)
com o quê podemos escrever para nosso modelo de gás perfeito unidimensional:
, (30)
conhecido resutlado da mecânica estatística (princípio da equipartição de energia), que afirma
cada grau de liberdade de um sistema possuir exatamente kappa*T/2 de energia - é o nosso
caso, pois a energia total é N kappa T/2 conforme (30), e possuímos N-graus de liberdade em
um sistema com N partículas em movimento unidimensional. Fica como exercício
demonstrar que a energia total no caso tri-dimensional se torna E=3N kappa T/2.
A blindagem de Debye em plasmas
Como calcular a densidade de partículas? Simplesmente devemos calcular qual a
probabilidade total de encontrarmos a partícula em uma posição x e multiplicarmos o
resultado por N. E como calculamos a probabilidade total de encontrarmos a partícula em
uma posição? Novamente é simples: basta integrar a função de distribuição sobre todas as
possíveis velocidades que a partícula pode comportar em x:
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. (31)
A integral em (31) depende específicamente da forma da função energia, e(x,v). No caso em
que temos um gás livre da ação de qualquer campo externo possívelmente dependente da
posição x, temos
, (32)
(te certifica que a expressão está correta) o que reafirma que em sistemas homogêneos a
probabilidade, ou densidade de probabilidade, é dada simplesmente pela probabilidade total,
"1", dividida pelo tamanho total onde esta probabilidade se realiza, "L". Em casos onde a
energia e(x,v) depende de x, mas de forma separável, assim como no caso típico
, (33)
ficamos com
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. (34)
A densiade de partículas, neste caso, fica com o aspecto:
, (35)
o que nos leva a identificar o termo entre parentesis como a densidade de equilíbrio do
sistema. De fato, para regiões onde U(x)=0, n(x) passa a ser dada exclusivamente pelo termo
entre parentesis, já que a exponencial tende para "1". Mas quando U(x)=0 não há influência
de forças externas e n(x) -> no. Portanto:
, (36)
de onde tiramos o importante resultado:
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. (37)
O resultado parece razoável: quanto maior(menor) a energia potencial em um certo ponto x,
maior(menor) será a possibilidade de partículas ocuparem esta posição.
No caso eletrostático, supondo elétrons móveis e íons fixos, a energia potencial dos elétrons
pode ser escrita em termos do potencial eletrostático phi:
. (38)
A equação de Poisson que comanda o perfil do potencial eletrostático, em uma dimensão,
tem a forma;
, (39)a
onde as densidades de elétrons e íons foram normalizadas a densidade de equilíbrio no; eis
porquê a densidade fixa de íons aparece como um "1".
A partir disto, usando a função n(x) dada em (37) para os elétrons, governados por (38),
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, (39)b
o que pode ser escrito de forma consideravelmente mais simples se utilizarmos as seguintes
normalizações adicionais à da densidade;
; (40)
. (41)
A equação (41) é uma das primeiras equações não lineares a terem um papel relevante em
física de plasmas e sistemas carregados. Suas soluções não possuem representação analítica
simples em termos de funções elementares e o que faremos a seguir será estudar dois regimes
distintos: (i) o regime linear, que ocorre quando phi_dimensional<<kappa T, e (ii) o regime
altamente não linear, que ocorre no limite inverso; phi_dimensional >>kappa T.
Se phi<<1 (41) pode ser aproximada por
, (42)
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o que tem como solução phi(x)=Ae x+Be -x, com A,B constantes de integração cujos valores
são determinados pelas condições de contorno. Imaginando um eletrodo em x=0 suportando
uma voltagem V e outro eletrodo colocado em x tendendo a +infinito, a solução fisicamente
realizável (não divergente para x>0) assume então a forma:
. (43)
Em x=1 o valor do potencial cai a aproximadamente 1/3 de seu valor inicial V. Este ponto,
x=1 é chamado de comprimento de Debye: potenciais eletrostáticos são blindados a partir
deste ponto pelas cargas móveis do plasma. Em termos dimensionais, por (40), x=1 equivale
a:
. (44)
A figura acima mostra o que acontece nos regimes lineares: um leve potencial negativo,
como exemplificado, causa uma leve depleção de cargas negativas, deixando "descoberta"
uma pequena quantidade de cargas positivas que blindam a penetração do potencial negativo
para dentro do plasma.
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Ao estudar regimes altamente não lineares, as aproximações que conduzem a (42) não são
mais possíveis. Ainda assim, alguma informação de caráter semi-quantitativo pode ser obtida
da equação original (41). Multipliquemos (41) por dphi/dx em ambos os lados:
, (45)
de onde concluímos:
. (46)
Em outras palavras, o que se demonstra é que a equação (41) admite uma integral primeira,
(46), que nada mais é do que a conservação de energia associada ao "oscilador não-linear
independente do tempo" com a qual (41) pode ser correlacionada. A "energia potencial" U-til
tem o seguinte aspecto:
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Uma condição inicial arbitrária (bola preta) só atingirá assintóticamente a posição de
equilíbrio phi=0 se a constante presente em (46) satisfizer a condição Const=-1, e se a
derivada inicial dphi/dx tiver o sinal correto - neste caso, o sinal positivo. Agora, se
phi_inicial for muito grande e negativo, -phi>>1 o que vai acontecer é que
, (47)
o que nos informa que próximo eletrodo com potencial grande e negativo, há uma rarefação,
ou depleção total de elétrons, com a derivada da densidade eletrônica também tendendo a
zero. Tudo isto pode ser visualizado na próxima figura:
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;
A situação real é representada pela figura de cima, mas nossa modelagem será guiada pelo
aproximação representada pela figura abaixo - uma função degrau para a densidade
eletrônica. Nossa tarefa, no caso não linear, é a de calcular o comprimento de Debye nãolinear l.
Pois com o modelo da figura acima, começamos integrando a equação de Poisson (39)a
relembrando que com nossas normalizações, a densidade de elétrons vale 0 se 0<x<l e vale 1
se l<x<L. Já a densidade dos íons vale 1 sempre:
. (48)
Sabemos que em x=0, phi=Vo, o que nos informa B=Vo. Sabemos também que para x
tendendo para +infinito, phi permanece finito, com valor V1, o que nos indica C=0 e D=V1.
Em x=l as duas expressões acima para phi devem coincidir e suas derivadas também, o que
nos conduz a:
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, (49)
de onde concluímos A=+l, e:
(50)
o que finalmente fornece uma relação entre a diferença de potencial e o comprimento de
Debye não-linear:
, (51)
o quê, em variáveis dimensionais (ver (40)) finalmente gera a relação:
. (52)
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Notem que o comprimento de depleção (Debye não linear) não depende mais da
temperatura, o que era característico do caso linear. Agora l depende da diferença de
potencial, ou amplitude do campo, o que caracteriza de fato o regime não linear. Controlando
delta V, podemos controlar o tamanho da região de rarefação dos condutores do sistema.
Como usar este interessante fato? Ora, construindo transistores, como veremos a seguir.
O transistor FET:
Pois o FET,falando genéricamente, é um semicondutor dopado com uma boa densidade de
portadores majoritários de carga. Imaginem então que os majoritários sejam elétrons. Então
estamos em face de um sistema similar a um plasma: um fluído eletrônico se deslocando
sobre um fundo iónico positivo fixo. Com isto em mente, a configuração genérico de um
FET segue abaixo:
Ao longo do corpo do FET, há um potencial phi(x) cujos valores de contorno são os
seguintes: phi(x=0)=0 e phi(x=L)=V1. Para cada ponto x, a diferença de voltagem phi(x)-Vo
controla uma camada de depleção que aumenta a medida que a diferença de voltagem
aumenta. Portanto, na região da extrema esquerda, próxima a x=0, a depleção é menor, pois
lá o delta V é pequeno e dado essencialmente por delta V(x=0)=0-(-|Vo|)=|Vo|. Já na região
da direita, próxima a x=L, a depleção é maior, pois lá a voltagem é dada por delta V(x=L)=
V1-(.-|Vo|)=V1+|Vo|>|Vo|, onde V1>0. O FET é pois um dispositivo controlado de
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transporte de corrente. A voltagem de controle é phi(x)-Vo e a voltagem de transporte é V1.
O interessante é que se aumentarmos V1, e portanto também phi(x), a voltagem de transporte
aumenta, mas também aumenta a voltagem de controle. Por um lado a corrente tende a
aumentar pelo aumento da voltagem de transporte, mas por outro a voltagem de controle
engargala os portadores de carga perto de x=L, diminuindo seu número efetivo e dificultando
assim a existência de corrente. Este mecanismo leva a saturação de corrente, como veremos a
seguir.
Suponhamos que enquanto houver condutores disponíveis, a densidade de corrente se escreva
na forma ohmica:
, (53)
onde sigma é a condutividade do meio. Observando a figura acima, a corrente total será
essencialmente dada por
, (54)
onde D é uma medida da dimensão transversal do dispositivo.
Integremos (54) de x=0 a L, lembrando que para estados estacionários, a corrente total I
deve ser constante ao longo do transistor:
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, (55)
o que finalmente nos fornece:
. (56)
Daqui tiramos a voltagem crítica Vc que acontece quando atingimos a região de saturação em
um gráfico Volt-Ampére do tipo I x V1, de acordo com a condição dI/dV|Vc=0.
. (57)
Notem que quando V1=V 1,c, a relação (52) de pronto nos informa que l=D. Ou seja, a
saturação ocorre porque a região ativa de transporte de cargas "engargala" no extremo direito
do FET indicado no desenho. Uma curva de saturação típica segue abaixo:
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.
Certifiquem-se de que o comportamento inicial (para V1 muito pequeno) é de fato linear.
Tracem várias curvas, uma para cada valor da voltagem de controle Vo<0. Notem que o
modelo funciona até, e não mais do que a saturação. A partir daí precisaríamos de modelos
mais refinados - dentro de nosso modelo, para V1>V 1,c não teríamos mais um canal
eletrônico e não teríamos mais corrente.
Movimento de partículas em campos eletromagnéticos
externos
Consideremos inicialmente um campo magnético homogêneo e constante cuja orientação
pode sem problema algum ser alinhada com o eixo z de um sistema de referência. A
decomposição e definições dos vetores relevantes segue o esquema abaixo:
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;
quantidades com sub-índice z denotam componentes paralelas ao campo externo, enquanto
quantidades com sub-índice "perpendicular" denotam componente ortogonais ao campo. Na
figura foi representada a posição de uma partícula - vale o mesmo esquema para sua
velocidade.
A equação que governa o movimento de uma partícula de carga q é a lei de força de Lorentz:
(58)
Com o auxílio da figura anterior, e notando que produtos vetoriais envolvendo B devem
necessáriamente ser ortogonais a ele, (58) pode ser escrita como o par
. (59)
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A primeira equação indica movimento uniforme ao longo do campo. Relembrando a admitida
constância do campo, a segunda equação pode ser integrada uma vez no tempo para gerar
uma integral primeira na forma:
, (60)
onde C é um vetor constante apoiado no plano perpendicular x,y. Passa então a ser
conveniente a introdução de uma nova representação para o vetor C:
, (61)
onde o novo vetor Ro_perp pode ser obtido através da seguinte operação:
(62)
que, através da identidade vetorial Ax(BxC)=B(A.C)-C(A.B), nos conduz à expressão:
. (63)
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A conveniência da expressão (61) é que ela permite que (60) seja representável de forma
mais sugestiva:
. (64)
O vetor rL é chamado de vetor raio de Larmor e mede a posição da partícula em relação ao
ponto fixo R perp,o. O mais notável é que tomando o produto escalar dos dois lados de (64)
com o próprio rL , mostramos imediatamente que drL 2/dt=0, para o quê devemos mais uma
vez notar que o produto vetorial envolvendo rL é ortogonal a ele mesmo; ou seja, a
magnitude do vetor raio de Larmor, que podemos chamar simplesmente de rL , não varia com
o tempo! Conclusão: a partícula pode no máximo girar em torno de R perp,o, mantendo o raio
de giro fixo.
Nossa tarefa agora é a de calcular como rl gira em torno de seu centro de giro Rperp,o. Para
tanto, notemos que podemos escrever:
(65)
onde r-chapéu indica um versor unitário na direção radial, pois o módulo r L é fixo! Agora
examinem o pequena esquema vetorial abaixo:
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(d(theta) suposto positivo no sentido anti-horário).Tal esquema, que vale para pequenos
intervalos dt, associados a pequenos ângulos de rotação d(theta), permitem concluir que
, (66)
o quê, substituído em (64), e associado ao fato de que
, finalmente revela a
seguinte relação para a velocidade angular de movimento da partícula em torno do centro de
giro:
. (67)
Não deixem de notar o sinal negativo na expressão acima. Partículas com q>0 giram no
sentido horário (negativo) e vice-versa para partículas com carga q<0. A freqüência OmegaB
é a assim chamada freqüência de cíclotron, ou freqüência de Larmor.
E se tivermos um campo elétrico E constante também aplicado ao sistema? A força de
Lorentz
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, (68)
pode ser decomposta em componenentes paralela e perpendicular na forma:
, (69)
onde mais uma vez lembramos que produtos vetoriais envolvendo B residem necessáriamente
no plano ortogonal a este.
A primeira equação em (69) admite uma solução na forma vz=qE zt+vzo , o que indica
aceleração uniforme ao longo de z. Já a segunda equação (69) admite uma solução
estacionaria dvperp/dt=0 na seguinte forma:
, (70)
onde mais uma vez usamos a identidade vetorial envolvendo o produto vetorial duplo. Notem
então que há um movimento de deriva ("drift") chamado "cross-field drift". O movimento
tem velocidade perpendicular constante, e é independente de massas e cargas. No caso geral,
integremos a segunda equação (69) uma vez no tempo para produzirmos uma integral
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primeira na forma:
. (71)
A seguir reescrevamos r perp na forma alternativa:
, (72)
com o quê a equação (71) pode ser reescrita como:
. (73)
A partir deste ponto, podemos refazer os cálculos que nos conduziram de (60) a (64), com a
constante C substituída por C', e com
, (74)
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para obter de (72), (73) e (74) a seguinte expressão para a posição perpendicular da partícula:
. (75)
R perp,o continua sendo dado por (63) e denota a posição do centro de giro não perturbada
pelo campo elétrico e r L continua sendo o vetor raio de Larmor determinado por (64). Nossa
conclusão é a de que o movimento completo é uma rotação com a freqüência de Larmor, em
torno de um centro de giro R perp que se desloca no tempo, também sendo submetido a um
reposicionamento estático devido ao campo elétrico.
. (76)
Notem o efeito de polarização adicional ao movimento de deriva (onde está a polarização?).
file:///Volumes/KINGSTON/resumo1/sumula.html
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