probabilidade e variáveis aleatórias discretas

LISTA DE EXERCÍCIOS PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA BÁSICA
Prof. Cezar Augusto Cerqueira
PROBABILIDADE E VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
1)Descreva o especo amostral para os seguintes experimentos:
a)uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas
b) uma moeda é lançada 3 vezes e observam-se as faces obtidas
c)dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados nas faces observadas.
d) dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados na soma dos pontos.
e)uma moeda é lançada 3 vezes e conta-se o número de caras obtido.
f)retiram-se peças, que podem ser classificadas como perfeitas ou defeituosas, da linha de produção de uma
empresa até que uma defeituosa seja encontrada.
g)observa-se o tempo de duração de uma bateria de celular.
2) Sejam A e B dois eventos , traduza para a linguagem de conjuntos as seguintes situações:
a)pelo menos um dos eventos ocorre
b)exatamente um dos eventos ocorre
c)nenhum deles ocorre
d)o evento A ocorre mas o B não.
3) Uma moeda é lançada 3 vezes determine:
a)o espaço amostral e calcule as seguintes probabilidades:
b)de sair exatamente uma cara
c) duas coroas
d)ao menos uma cara
4) Refaça o problema anterior considerando viciada de modo que a chance de cara é três vezes a de coroa.
5) Dados P(A)=1/2 P(B)=1/3 P(AB)=1/4
Calcule:
a) P(AB)
b) P( A  B )
c) P( A  B )
(7/12 , ¾ , 5/12)
6) As probabilidades de defeito em 3 máquinas A , B e C são , respectivamente , 0,1 0,05 e 0,03.
Se as 3 estão funcionando em iguais condições, determine as seguintes probabilidades:
( Suponha que elas funcionam independentemente)
a) todas quebrarem
b) apenas uma quebrar
c) nenhuma quebrar
(0,00015)
(0,162)
(0,83)
7) As probabilidades de falha numa estrutura podem ser devidas a falhas em 3 pontos a, b, c , cujos valores
são , respectivamente: 0,06 , 0,03 e 0,04. Se ocorrer falha em qualquer um dos pontos isso leva falha em
toda estrutura. Supondo que as falhas são independentes , ache a probabilidade de ocorrer falha na estrutura.
(0,14272)
8) A inspeção visual de juntas de solda em placas de circuitos impressos pode ser bastante subjetiva. Parte
do problema se origina nos diversos tipos de defeitos de soldas e até da quantidade de um ou mais desses
defeitos. Consequentemente até mesmo inspetores experientes podem discordar quanto a disposição de uma
junta. Em um lote de 10000 juntas, o inspetor A encontrou 724 que julgou defeituosas, o inspetor B encontrou
751 e 1150 foram encontradas por ao menos um dos inspetores. Suponha que uma dessas 10000 juntas seja
selecionada aleatoriamente.
a)qual a probabilidade de que a junta selecionada não seja considerada defeituosa por nenhum dos 2
inspetores? (0,8841)
b)qual a probabilidade de que a junta selecionada seja julgada defeituosa pelo inspetor B, mas não pelo
inspetor A? (0,0435)
9)Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 brancas e 2 amarelas.
Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se uma bola. a)Qual a probabilidade de que seja branca ?
(19/30); b)se foi branca qual a probabilidade de ter vindo da urna 2?
10)As probabilidades de que os jogadores A,B e Ci marcarem um gol de pênalti são, respectivamente: 2/3,
4/5 e 7/10. Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de que:
a)nenhum deles marque um gol ?
b)ao menos um deles marque um gol ?
11)Em certa população 20% das pessoas são alérgicas a em medicamento, Sendo alérgico a probabilidade
de ter reação a um contraste é de 0,5. Para os não-alérgicos essa probabilidade é de 0,05. Uma pessoa,
escolhida ao acaso, teve reação ao contraste, qual a probabilidade de ser alérgico? E não alérgico?
12)Lançam-se dois dados. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos:
a) A = a soma dos resultados seja 7
b) B= o resultado do primeiro dado seja superior ao do segundo.
c) P(A | B).
d) Pode-se afirmar que A e B são independentes?
13)A probabilidade de um time ganhar uma partida em um dia de chuva é de 70%, em um dia que não chove
é de 80%. Sabendo que chove em 30% das partidas, calcule a probabilidade do time ganhar uma partida em
um dia qualquer?
14)Logo após serem colocados em serviço, alguns ônibus fabricados por certa empresa apresentaram trincas
no chassi. Suponha que a cidade tenha 25 desses ônibus e que 8 deles apresentem trincas.
a)há quantas formas de selecionar uma amostra de 5 ônibus para inspeção?
b)De quantas formas uma amostra de 5 onibus pode conter exatamente 4 com trincas?
c)se uma amostra de 5 onibus for selecionada ao acaso, qual a probabilidade de que exatamente 4
apresentem trincas?
d) no item anterior qual seria a probabilidade de que pelo menos quatro ônibus da amostra de 5 apresentem
trincas?
e)em uma amostra de 3 onibus, qual o numero médio de ônibus com trinca?
15)A tabela a seguir apresenta o comportamento de 1000 famílias quanto à compra com relação a aparelhos
de televisão de tela grande. Sorteando uma família ao acaso, calcule as seguintes probabilidades:
Efetivamente comprou
Planejou
a compra SIM
SIM
NÃO
Total
a)
b)
c)
d)
e)
NÃO
250
50
300
Total
150
550
700
400
600
1000
tenha planejado a compra
não tenha comprado
planejou e efetivamente comprou
planejou adquirir ou comprou
efetivamente comprou dado que planejou adquirir
16) Peças produzidas por uma máquina são classificadas como defeituosas, recuperáveis ou boas, com
probabilidades de: 0,1; 0,2 e 0,7; respectivamente. De um grande lote de peças, duas foram sorteadas. Qual
a probabilidade de:
a)ambas defeituosas
b)ao menos uma perfeita
c)uma ser recuperável e uma perfeita.
17)Uma companhia perfura poços artesianos e trabalha numa região escolhendo aleatoriamente o ponto de
furo e não encontrando água sorteia outro local e assim por diante até no máximo 3 tentativas. Admita a
chance de 0,7 de encontrar água em qualquer uma das tentativas. Calcule a probabilidade de:
a) encontrar água na segunda tentativa.
b)encontrar água em até 2 tentativas c)encontrar água.
18) Sabe-se que determinada moeda apresenta cara 3 vezes mais freqüentemente que coroa. essa moeda é
jogada 3 vezes. seja x o número de caras que aparece. Estabeleça a distribuição de probabilidades de x.
calcule E(x) e V(x).
19) Suponha que X seja uma V.A com valores 1,2,3,... e função de probabilidades P(X=j)=1/2j , j=1,2,3 ...
a) Calcular P( X ser par)
(1/3 , 1/16 , 1/7)
b) Calcular P( X >= 5)
c) Calcular P( X ser divisível por 3)
20)Dadas as seguintes distribuições de probabilidade:
X
Distribuição A
P(X)
0
1
2
3
4
X
0.5
0.2
0.15
0.1
0.05
Distribuição B
P(X)
0
1
2
3
4
0.05
0.1
0.15
0.2
0.5
a)calcule o valor esperado (média) de cada distribuição
b)calcule a variância e desvio padrão de cada distribuição.
c)compare as distribuições A e B.
21) Considere dois lançamentos de um dado equilibrado. Seja X V.A . representando a soma dos pontos
obtidos. Encontre a distribuição de probabilidades de X.
22) Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4. Tal moeda é lançada 2 vezes, construa a
distribuição de probabilidades da variável número de caras e calcule sua média e variância.
23)Considere dois lançamentos de um dado honesto. Defina X como sendo a soma dos pontos obtidos.
Encontre a distribuição de probabilidades de X e calcule sua média e variância.
24) Considere a seguinte tabela de contingência:
evento
A
Ac
B
10
25
Bc
30
35
a)Qual a probabilidade de A|B?
b)e de B|A ?
c) A|Bc
d) Ac|Bc
25) um analista de mercado está tentando desenvolver uma estratégia para investir em duas ações distintas.
O retorno anual antecipado para certa quantidade investida em cada ação, possui a seguinte distribuição de
probabilidade:
Probabilidade
0,1
0,3
0,4
0,2
Retorno
Ação X
-$50
20
100
150
Ação Y
100
50
130
200
a)Calcule o retorno esperado para a ação X
b) Calcule o retorno esperado para a ação Y
c)Calcule o desvio padrão para a ação X
d)Calcule o desvio padrão para a ação Y
e)Qual das duas ações apresenta maior risco?
f)Em qual delas você investiria? Por que?
g)Calcule o retorno esperado de um portfólio no qual se investirá 20% do capital na ação X.
26)Amostras de emissões de três fornecedores são classificadas quanto a satisfazer as
qualificações de qualidade do ar. Os resultados de 100 amostras são apresentados a
segur:
Fornecedor
1
2
T3otal
Obedece às especificações
Sim
22
25
30
Não
8
5
10
Seja A o evento de que a amostra seja do fornecedor 1 e B o evento de que uma amostra
atende às especificações.
a)calcule P(A)
b)P(B)
c) P ( A  B )
d) P ( A  B )
e) P( A  B)
f) P( A | B )
27)A probabilidade de um espécime de laboratório conter altos niveis de contaminação é
de 0,10. Três amostras são verificadas, sendo estas independentes.
a)qual a probabilidade de nenhum espécime conter alto nível de contaminação?
b)exatamente um espécime contenha altos níveis de contaminação?
c)qual a probabilidade de que ao menos um espécie contenha altos níveis de
contaminação?
d)qual o numero médio de espécimes com alto nível de contaminação?
28)Este problema foi proposto ao célebre Galileu. Tres dados são lançados. É mais
vantajoso apostar na soma dos pontos igual a 9 ou igual a 10?
29)Problema de Monty Hall. Em um programa de auditório há três portas. Atrás de uma
delas há um carro enquanto as demais estão vazias. Suponha que um candidato escolhe
uma das portas. O apresentador, que sabe onde está o premio, abre uma porta que sabe
estar vazia e pergunta se você quer mudar de opinião. É mais vantajoso mudar ou
permanecer?
30)Em certa localidade, 51% dos adultos são homens. Sabe-se ainda que 1,7% das
mulheres jogam tênis e que, entre os homens, esse percentual é de 9,5%. Seleciona-se
aleatoriamente uma pessoa.
a)qual a probabilidade de que seja homem?
b)qual de que jogue tênis?
c)se sabemos que a pessoa joga tênis, qual a probabilidade de que seja um homem?
d)Resolva o problema anterior simulando uma tabela de contingência com um total de
100.000 elementos.
31)O célebre jogador francês De Mère colocou para os matemáticos da sua época uma
série de desafios envolvendo jogos de azar. Em um deles estava interessado na
probabilidade de se obter pelo menos um seis em jogadas sucessivas de um dado
honesto. Ele propôs a Fermat e Pascal calcular a partir de quantas jogadas o jogo seria
mais vantajoso para o jogador, contra a banca. (p>50%).
a)qual a resposta para o enigma?
b)qual a probabilidade desse evento (pelo menos um 6) com 10 jogadas de um dado?
32)Suponha que na produção diária de peças 5% delas que não atendem às
especificações do consumidor. Quatro delas são selecionadas ao acaso, sem reposição.
Seja a variável aleatória X representando o número de peças não-conformes da amostra.
Encontrar a distribuição de probabilidades de X, sua média e sua variância.
33)Falhas em teclados de computadores ocorrem devido a conexões elétricas imperfeitas
(12%) ou a defeitos mecânicos (88%). Defeitos mecânicos estão relacionados a teclas
soltas (27%) ou a montagens impróprias (73%). Defeitos de conexão elétrica são
causados por fios defeituosos (35%), por conexões impróprias (13%) ou fios mal soldados
(52%). Encontre a probabilidade de uma falha ocorrer devido a:
a)teclas soltas (0,2396);
b)fios conectados impropriamente ou mal soldados. (0,078)
34)Uma batelada de 25 peças moldadas por injeção contém 5 delas que sofreram
excessivo encolhimento. a)se duas peças forem selecionadas ao acaso e sem reposição,
qual será a probabilidade de que a segunda peça tenha sofrido excessivo encolhimento.
b) se três peças forem escolhidas ao acaso e sem reposição,qual será a probabilidade de
que a terceira peça tenha sofrido excessivo encolhimento.
35) Uma rede congestionada de computadores tem uma probabilidade de 0,002 de perder
um bloco de dados e as perdas desses blocos são independentes. Um bloco perdido tem
de ser reenviado.
a)qual a probabilidade de uma mensagem de e-mail com 100 blocos necessitar ser
reenviada?
b)qual é a probabilidade de uma mensagem de e-mail de 3 blocos necessite ser
reenviada exatamente uma vez?