+ z

Sinais e Sistemas
Unidade 2 ‐ Conceitos de Matemática de Variável Complexa
Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng.
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Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
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Conteúdo da unidade
• Introdução
• Propriedades dos números complexos
Aula 01
• Operações com números complexos
• Fundamentos axiomáticos
• Funções de variável complexa
Aula 02
• Funções harmônicas complexas
• Resíduos e pólos
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Aula 03
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Aula 01
• Introdução
– Conjuntos numéricos
– Definição formal de números complexos
– Representação gráfica
• Propriedades dos números complexos
– Igualdade de números complexos
– Números reais e números imaginários puros
– Conjugado complexo
• Operações com números complexos
– Adição, subtração, multiplicação e divisão
– Valor absoluto
• Fundamentos axiomáticos
– Igualdade, soma e produto
– Leis: fechamento, comutativa, associativa e distributiva
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Introdução
Conjuntos numéricos
• Números Naturais (N)
– N = { 1, 2, 3, ... }
• Números Inteiros (Z)
– Z = { ... , ‐3, ‐2, ‐1, 0, 1, 2, 3, ... }
• Números Racionais (Q)
– Forma a/b { 1/2, 1/3, ... } e Dízimas periódicas { 0,9999... }
• Números Irracionais (I)
– Não expressos como a/b { π = 3,1415... , e = 2,7183... }
• Números Reais (Z)
– União dos Racionais com Irracionais
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Introdução
Conjuntos numéricos

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Introdução
Um número complexo possui a forma a + bj, onde a e b são números reais e j é a unidade imaginária e possui a propriedade j² = ‐1.
• Seja a variável complexa z = a + bj
– Parte real de z 
a = Re { z }
– Parte imaginária de z 
b = Im { z }
• Representação como par ordenado: z = (a, b)
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Introdução
Representação gráfica
• Plano complexo | Diagrama de Argand | Plano z
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Introdução
Forma retangular
z  a  bj   a, b 
a  r  cos  θ 
b  r  sen  θ 
Forma polar
zr θ
r  z  a 2  b2
θ  atan  b a 
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Propriedades
• Igualdade
– Seja z1 = a + bj e z2 = c + dj
– z1 = z2 se e somente se a = c e b = d
• Números reais como subconjunto dos números complexos
– Seja z = a + bj, com b = 0
– Ex: 0 + 0j = 0; ‐3 + 0j = ‐3
• Número imaginário puro
– Seja z = a + bj, com a = 0
– z = a + bj = 0 + bj = bj
• Conjugado complexo
– Seja z = a + bj
– Seu conjugado será z* = a – bj
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Operações
Adição
• Sejam z1 = a + bj e z2 = c + dj
• z1 + z2 = (a + bj) + (c + dj) = a + bj + c + dj = (a + c) + (b + d)j
Subtração
• Sejam z1 = a + bj e z2 = c + dj
• z1 ‐ z2 = (a + bj) ‐ (c + dj) = a + bj ‐ c ‐ dj = (a ‐ c) + (b ‐ d)j
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Operações
Multiplicação
• Sejam z1 = a + bj e z2 = c + dj
• z1 z2 = (a + bj)(c + dj) = ac + adj + bcj + bdj² = (ac ‐ bd) + (ad + bc)j
• OBS: j² = ‐1
Divisão
• Sejam z1 = a + bj e z2 = c + dj
z1 a  bj c  dj ac  adj  bcj  bdj 2  ac  bd   bc  ad 
j


 2

• 
2
2 2
2   2
2 
z2 c  dj c  dj
c d j
 c d   c d 
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Operações
Valor absoluto
• Seja z = a + bj
2
2
• Seu valor absoluto é definido como z  a  bj  a  b
2
2
– Ex: 4  2 j   4    2   20
• Propriedades
1) z1 z2  z1 z2
z1
z1
2) 
, se z2  0
z2
z2
3) z1  z2  z1  z2
4) z1  z2  z1  z2
Desigualdade triangular
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Fundamentos axiomáticos
Redefinição das propriedades
• Variável complexa como par ordenado z = a + bj = (a, b)
1) Igualdade
– (a, b) = (c, d) se e somente se a = c e b = d
2) Soma
– (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
3) Produto – (a, b)(c, d) = (ac – bd, ad + bc)
– m(a, b) = (ma, mb)
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Fundamentos axiomáticos
Observações
• a + bj = (a, b)
• (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1)
• j = 1j = (0, 1)
• j² = (0, 1)(0, 1) = (‐1, 0)
• (‐1, 0)  Equivalente ao número real “‐1”
• (1, 0)  Equivalente ao número real “1”
• (0, 0)  Equivalente ao número real “0”
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Fundamentos axiomáticos
Leis axiomáticas
• Se z1, z2 e z3 pertencem a um conjunto S de números complexos, então:
1) z1 + z2 e z1 z2 pertencem a S
Lei do fechamento
2) z1 + z2 = z2 + z1
Lei comutativa da adição
3) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3
Lei associativa da adição
4) z1 z2 = z2 z1
Lei comutativa da multiplicação
5) z1(z2 z3) = (z1 z2) z3
Lei associativa da multiplicação
6) z1(z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3
Lei distributiva
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Fundamentos axiomáticos
Leis axiomáticas
7) z1 + 0 = 0 + z1 = z1
“0”  Identidade com relação à adição
8) 1 z1 = z1 1 = z1
“1”  Identidade com relação à multipl.
9) Para qualquer z1 existe um único z tal que z + z1 = 0 z  inversa de z1 com relação à adição (‐ z1)
z1  0
10) Para qualquer existe um único z tal que z1z = zz1 = 1
z  inversa de z1 com relação à multiplicação (1/z1)
Corpo: qualquer conjunto S cujos membros satisfazem às leis axiomáticas
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Ferramentas de auxílio
Comandos MATLAB
help complex
help complex
% Exibe todos os comandos para números complexos
% Exibe todos os comandos para números complexos
z = 10 + 20j
z = 10 + 20j
z = 10 + 20i
z = 10 + 20i
% Definição do número complexo
% Definição do número complexo
r = abs
r = abs (z)
(z)
theta
theta = angle
= angle (z)
(z)
% Cálculo do módulo
% Cálculo do módulo
% Cálculo do argumento (rad)
% Cálculo do argumento (rad)
a = real (a)
a = real (a)
b = imag
b = imag (z)
(z)
% Extrai a parte real de z
% Extrai a parte real de z
% Extrai a parte imaginária de z
% Extrai a parte imaginária de z
z1 = conj
z1 = conj (z)
(z)
% Calcula o conjugado de z (z1
% Calcula o conjugado de z (z1 = 10 –
= 10 – 20j)
20j)
plot
plot (z)
(z)
% Plotagem
% Plotagem no plano complexo
no plano complexo
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Ferramentas de auxílio
Comandos calculadora HP
• MODE: RPN, Degrees, Rectangular ou Polar
z = 10 + 20j
% Número complexo desejado (retangular)
z = 10 + 20j
% Número complexo desejado (retangular)
z = 22.36 ∟63.43º
% (polar)
z = 22.36 ∟63.43º
% (polar)
Forma retangular
Forma retangular

% Definição do número complexo
 ( )
( ) 10 SPC
10 SPC 20 ENTER
20 ENTER
% Definição do número complexo
(10. , 20. )
% Exibição na forma de par ordenado
(10. , 20. )
% Exibição na forma de par ordenado
Forma polar
Forma polar

 ( )
( ) 22.36 ALFA 
22.36 ALFA  66 63.43
63.43 ENTER
ENTER % Definição do número complexo
% Definição do número complexo
(22.36 < 63.43)
(22.36 < 63.43)
Salvando na memória
Salvando na memória
ALFA
% Salva na memória
ALFA z STO
z STO
% Salva na memória
Manipulação
Manipulação
z 
% Menu para manipulação de números complexos
z  CMLPX
CMLPX
% Menu para manipulação de números complexos
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Exercícios de revisão
• Sejam z1 = 3 + 2j e z2 = ‐7 ‐j
a) Calcular z1 + z2 e z1 ‐ z2
b) Calcular z1 z2 e z1/z2
c) Obter a forma polar de z1 e z2
d) Representar no plano complexo z1 e z2
e) Representar no plano complexo z1 + z2 e z1 ‐ z2
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Bibliografia
[1] MURRAY, R. S. Variáveis complexas. São Paulo: McGraw‐Hill do Brasil, 1973.
[2] BROWN, J.W.; CHURCHILL R. V. Complex variables and applications. New York: McGraw‐Hill, 1996.
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