Funções Complexas

Sinais e Sistemas
Unidade 2 ‐ Conceitos de Matemática de Variável Complexa
Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng.
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Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
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Conteúdo da unidade
• Introdução
• Propriedades dos números complexos
Aula 01
• Operações com números complexos
• Fundamentos axiomáticos
• Funções de variável complexa
Aula 02
• Funções harmônicas complexas
• Resíduos e pólos
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Aula 03
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Aula 02
• Funções de variável complexa
– Funções unívocas e plurívocas
– Funções inversas e transformações
– Funções elementares
• Funções polinomiais
• Funções racionais algébricas
• Fórmula de Euler (expoentes complexos)
• Funções exponenciais
• Funções logarítmicas
• Funções algébricas e transcendentais
• Funções harmônicas complexas
– Funções trigonométricas circulares
– Funções trigonométricas hiperbólicas
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Funções de variável complexa
Variáveis e funções
• z = qualquer conjunto de números (variável complexa)
Se podemos associar a cada variável complexa “z” um ou mais valores de uma variável complexa “w”,
dizemos que w é função de z e escrevemos w = f(z).
• “z” muitas vezes é chamada de variável independente
enquanto que “w” é chamada de variável dependente
• Exemplo: f(z) = z², então, f(2j) = (2j)² = ‐4
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Funções de variável complexa
Funções unívocas e plurívocas
Se a cada valor de z corresponde somente um valor de w, dizemos que w é uma função unívoca de z.
Se a cada valor de z corresponde mais de um valor de w, dizemos que w é uma função plurívoca de z
• Exemplos
– w = z²  Função unívoca (z = ‐15‐8j  w = 161+240j)
– w = z1/2  Função plurívoca (z = ‐15‐8j  w = 1‐4j ou w = ‐1+4j)
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Funções de variável complexa
Funções inversas
Algumas vezes, dada uma função w = f(z), podemos obter o que se conhece por função inversa de f.
• Notação: z = g(w) = f ‐1(w)
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Funções de variável complexa
Transformações
Se w = u + vj (onde u e v são funções reais) é uma função unívoca de z = x + yj (onde x e y são reais), podemos escrever u + vj = f(x + yj).
• Igualando as partes reais e imaginárias temos que
u = u(x, y) e
v = v(x, y)
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Funções de variável complexa
•
Uma transformação leva de um conjunto de pontos (curva PQ) em outro conjunto de pontos, dito imagem, (curva P’Q’)
•
Exercício:
Seja w = z² e z = x + yj.
a) Obtenha a transformação z  w
b) Obtenha a imagem P(1, 2) (plano z) no plano w
a) w = z²  u + vj = (x + yj)²  u + vj = x² ‐ y² + 2xyj
Logo, u = x² ‐ y² e v = 2xy
b) P(1, 2)  P’(‐3, 4) Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
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Funções de variável complexa
Funções polinomiais
• As funções polinomiais são definidas por
w  a0 z n  a1 z n1    an1 z 1  an  P  z 
– Onde , a
a0  0 1, …, an são constantes complexas e n é um inteiro positivo, dito o grau do polinômio P(z)
w  az  b chamada de transform. linear
• A transformação é
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Funções de variável complexa
Funções racionais algébricas
• As funções racionais algébricas são definidas por
P  z
w
Q z
– Onde P(z) e Q(z) são polinômios
P  z  az  b

, cz  d  0
• O caso especial w 
Q  z  cz  d
– É conhecido como transformação bilinear ou linear fracionária
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Funções de variável complexa
Fórmula de Euler
• Seja a série infinita ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ...
– A mesma possui validade quando x = θj
– Assim, expandindo a série, obtém‐se:
eθj  cosθ  j senθ, e  2,71828
• Observar que
z  r θ  r  cosθ  j senθ 
z  reθj
Forma compacta de expressar uma variável complexa
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Funções de variável complexa
Funções exponenciais
• As funções exponenciais são definidas por
w  e z  e x  yj  e x e yj 
 e x  cos y  j sen y 
Euler
– Onde e = 2,71828 … é a base natural dos logaritmos
• Se a é real e positivo, logo w  a z  e z ln a
– Onde ln a é o logaritmo natural de a
– Se a = e, esta reduz‐se à anterior
• Propriedades: a) e z1  e z2  e z1  z2
b) e z1 e z2  e z1  z2
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Funções de variável complexa
Funções logarítmicas
• A função logarítmica natural é inversa da função exponencial
w  ln z  ln r  j  θ  2k π  , k  0,  1,  2, 
jθ
j θ 2kπ 
, r z e θ z
– Onde z  e  e
– Notar que ln z é uma função plurívoca cujo ramo principal é
w  ln z  ln r  jθ , 0  θ  2π
ln z
• Mudança de base: w  log a z 
ln a
• Propriedades: log  z1  z2   log z1  log z2
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Funções de variável complexa
Funções algébricas e transcendentais
• Se w é uma solução da equação polinomial a seguir, onde
P0  z   0, P1  z  ,  , Pn  z  são polinômios em z e n é um inteiro positivo, então w = f(z) é chamada função algébrica de z
P0  z  w n  P1  z  w n1    Pn1  z  w 1  Pn  z   0
– Qualquer função que não puder ser expressa como solução da equação anterior é chamada de função transcendental
– Exemplos: funções logarítmicas e trigonométricas hiperbólicas
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Funções harmônicas complexas
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x 10
Funções circulares
e zj  e  zj
sen z 
2j
Imaginário
• Seja z uma variável complexa
2
1
0
-1
5
0
4
e e
cos z 
2
zj
 zj
sen z
e zj  e  zj

tg z 
sen z j  e zj  e  zj 
x 10
Real
-5 0
10
5
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Ângulo (rad)
wt
wt = linspace(0,4*pi,1000); = linspace(0,4*pi,1000); a = 1; b = 1;
a = 1; b = 1;
z = wt*(a + b*j); z = wt*(a + b*j); w1 = sin(z);
w1 = sin(z);
plot3 (wt, real(w1), imag(w1));
plot3 (wt, real(w1), imag(w1));
xlabel
xlabel ('Ângulo (rad)'); ylabel
('Ângulo (rad)'); ylabel ('Real')
('Real')
zlabel
zlabel ('Imaginário')
('Imaginário')
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Funções harmônicas complexas
• Propriedades
a) sen2 z  cos2 z  1
b) 1  tg2 z  sec2 z
c) 1  cotg2 z  csec2 z
d) sen   z    sen z
e) cos   z   cos z f) sen  z1  z2   sen z1cos z2  cos z1sen z2
g) cos  z1  z2   cos z1cos z2  sen z1sen z2
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Funções harmônicas complexas
4
x 10
Funções hiperbólicas
ez  e z
senh z 
2
Imaginário
• Seja z uma variável complexa
2
0
-2
-4
-6
2
e e
cosh z 
2
z
z
senh z e z  e  z
tgh z 
 z
senh z e  e  z
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1
5
x 10
0
Real
-1
10
5
0
Ângulo (rad)
wt
wt = linspace(0,4*pi,1000); = linspace(0,4*pi,1000); a = 1; b = 1;
a = 1; b = 1;
z = wt*(a + b*j); z = wt*(a + b*j); w1 = sinh(z);
w1 = sinh(z);
plot3 (wt, real(w1), imag(w1));
plot3 (wt, real(w1), imag(w1));
xlabel
xlabel ('Ângulo (rad)'); ylabel
('Ângulo (rad)'); ylabel ('Real')
('Real')
zlabel
zlabel ('Imaginário')
('Imaginário')
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Funções harmônicas complexas
• Propriedades
a) cosh2 z  senh2 z  1
b) 1  tgh2 z  sech2 z
c) cotgh2 z  1  csech2 z
d) senh   z    senh z
e) cosh   z   cosh z f) senh  z1  z2   senh z1cosh z2  cosh z1senh z2
g) cosh  z1  z2   cosh z1cosh z2  senh z1senh z2
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Funções harmônicas complexas
Relação entre funções circulares e hiperbólicas
a) sen  zj   j senh z
b) cos  zj   cosh z
c) tg  zj   j tgh z
d) senh  zj   j sen z
e) cosh  zj   cos z
f) tgh  zj   j tg z
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Bibliografia
[1] MURRAY, R. S. Variáveis complexas. São Paulo: McGraw‐Hill do Brasil, 1973.
[2] BROWN, J.W.; CHURCHILL R. V. Complex variables and applications. New York: McGraw‐Hill, 1996.
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