Trabalho e Variação da Energia Cinética

Mecânica
Trabalho e Variação da Energia Cinética
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Introdução
A partir do final do século XIX, o termo energia passou a se incorporar cada vez mais às preocupações dos pensadores e, assim, se tornou um tema relevante no desenvolvimento das teorias
físicas, notadamente da teoria cinética dos gases, da mecânica estatística e da termodinâmica.
A partir do início do século XX, esse termo passou a fazer parte dos problemas cotidianos das
pessoas. Hoje, a disponibilidade de energia passou a ser um fator de desenvolvimento. Sabemos
que a energia é a mola propulsora do desenvolvimento, do progresso. Por isso, a relevância de se
buscar formas de energia renováveis e limpas. De grande impacto nos dias de hoje são os programas
que visam à geração de energia bem como à sua conservação. A busca por fontes alternativas, ou
novas, de energia é uma preocupação nos dias de hoje e, levando-se em conta o aumento constante
do seu consumo, essa procura tem um caráter perene.
No cotidiano, associamos energia à capacidade de realização de tarefas. Energia está ligada ao
conceito de implementar transformações (e esse é o objetivo de muitas tarefas). Podemos definir a
energia de um sistema como sua capacidade de realizar - ou passar ele mesmo por - transformações.
Essas definições refletem o sentido original da palavra grega energeia - ἐνέργεια, que pode ser traduzida por atividade ou, ainda, operatividade. Aquilo que tem energia é, nesse sentido da palavra, ativo
e operante.
O conceito de energia emergiu, pela primeira vez, a partir da ideia de Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716) de pensar na existência de duas categorias de “forças”. A primeira seria constituída
pelas forças fundamentais, ou mortas, tais como a força gravitacional, elétrica etc. À segunda
categoria deu o nome de “vis viva”, melhor traduzida na linguagem de hoje por “força viva”. Sendo
a força viva definida por ele como associada a “uma quantidade infinita de impressões das forças
elementares”, poderíamos identificá-la hoje como igual ao trabalho, ou a variação da energia cinética de uma partícula. O fato é que Leibniz introduziu a diferenciação entre força e energia, e fez o
que estava ao seu alcance para definir energia.
Thomas Young recebe o crédito por ter usado pela primeira vez, em 1808, o termo “energia” em
vez de força viva, dando a essa palavra o sentido empregado ainda nos dias de hoje. De qualquer
forma, a ideia de associar a um sistema físico uma grandeza tal que ela represente uma medida da
sua capacidade de realizar atividades, ou transformações, parece estar contida na proposta original
de Leibniz de associá-la a um novo tipo de “força”, ou vis.
1
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À medida que esse conceito físico ganhava importância, passamos a discuti-lo mais e mais na literatura científica. Em particular, nos primórdios questionava-se se a energia seria uma substância, a
qual seria identificada com o calórico, ou uma nova grandeza física (como, por exemplo, a quantidade de movimento). Esta última noção, a de grandezas física, afinal, acabou prevalecendo.
O fato é que o conceito de energia evoluiu paulatinamente com o tempo. Einstein, em 1905, deu
uma grande contribuição ao tema ao chamar a atenção para a equivalência entre massa e energia.
Aprendemos assim que a massa se constitui ela mesma em energia. É uma forma de energia intrínseca à matéria.
Existem muitas formas de energia. No próximo capítulo, apresentaremos o conceito mais geral
das formas de energia e analisaremos algumas delas.
1646-1716
Gotfried Wilhelm Leibniz
Existência de duas categorias de
“forças”: a primeira constituída
pelas forças fundamentais, e a segunda denominada de “força viva“.
1808
Thomas Young
Recebeu o crédito por ter usado
pela primeira vez, em 1808, o termo
“energia“ ao invés de força viva,
dando a essa palavra o sentido empregado ainda nos dias de hoje.
1905
Einstein
Deu uma grande contribuição ao
tema ao chamar a atenção para a
equivalência entre massa e energia.
Figura 1: Leibnitz, Thomas Young – o primeiro a utilizar o termo “energia” no sentido que empregamos hoje – e Einstein.
A Energia Cinética
Essa foi a primeira forma de energia identificada, graças à perspicácia de Leibnitz, que associava
ao simples movimento algo capaz de realizar tarefas. Como sabemos, um objeto em movimento é
dotado de capacidade de realizar tarefas, impor transformações a outros objetos. E essa capacidade
é proporcional ao quadrado da velocidade do objeto.
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3
Pelo simples fato de um objeto estar em movimento, ele tem energia. A energia de movimento é
denominada energia cinética. A força viva de Leibnitz pode ser identificada como associada a essa
forma de energia (na realidade, duas vezes essa grandeza). Em 1740, Emilie, marquise du Châtelet,
mostrou que a força viva proposta por Leibnitz seria proporcional à massa do corpo e ao quadrado
da sua velocidade. Gustave-Gaspard Coriolis introduziu, em 1829, o termo “energia cinética” dando
a ele a conotação moderna de energia associada ao estado de movimento de um corpo.
Assim, existe uma forma de energia que está associada inteiramente ao movimento, isto é, está
associada ao estado de movimento (à velocidade, mais precisamente). Tal energia é denominada
Energia Cinética (cinético, em grego, significa movimento).

Para uma partícula de massa m e velocidade v , a sua energia cinética é dada pela expressão:

m 2 p2
=
Ec =
v
2
2m
( 1 )
onde


p = mv
( 2 )
é a grandeza física denominada “momento linear” ou “quantidade de movimento linear” de uma

partícula de massa m e velocidade v .
Observe que, quanto maior for a velocidade e massa de um objeto, tanto maior será a sua energia
cinética. Essa expressão acima está de acordo com a nossa experiência cotidiana. Sabemos que um
carro em movimento pode realizar tarefas, algumas delas absolutamente desnecessárias, como
derrubar postes, derrubar muros ou deformar laterais de outros carros. O estrago provocado em
acidentes é tanto maior quanto maior a velocidade do veículo. Uma jamanta, por outro lado, por ter
uma massa maior do que um automóvel, é capaz de fazer mais estragos do que este (até mesmo a
uma velocidade menor).
exercícios resolvidos 
Figura 2: Estando ambos à mesma velocidade,
compare suas capacidades de executar tarefas.
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Trabalho Realizado por uma Força
O conceito vulgar de trabalho incorpora a ideia de esforço despendido para a realização de tarefas.
Intuitivamente, relacionamos esse esforço a dispêndio de energia. O trabalho, como definido pelos
físicos, é um conceito abstrato (nada intuitivo, de fato), mas, por outro lado, introduz um rigor matemático na definição de uma das múltiplas formas de energia, conhecida como energia potencial. Devido a
esse aspecto formal da definição de trabalho realizado por uma força, muitas vezes não percebemos
a relevância desse conceito. Em particular, ele é essencial para entendermos outros conceitos já arraigados, por meio do seu uso cotidiano, como energia potencial e conservação da energia.
Neste capítulo, mostraremos que o trabalho definido adequadamente associa essa grandeza
física à variação de uma, ou em alguns casos, duas formas de energia. Em particular, ele se constitui
numa medida de quanto uma forma de energia (a energia cinética) varia quando um móvel se
desloca de um ponto A para um ponto B. Dessa forma, fica evidente que o conceito de trabalho na
Física está relacionado à variação ou dispêndio de energia.
Diferentemente da ideia mais difundida, e popular, de que o trabalho está associado à realização
de tarefas e, portanto, envolve todas as formas de energia, o trabalho definido a seguir mede um
tipo de dispêndio (ou ganho) de energia: o da energia cinética. No caso de forças conservativas, o
trabalho mede também a variação da energia potencial. Trabalho está, portanto, ligado a variações
de duas formas de energia.
Trabalho Realizado por uma Força Constante
No cotidiano, dizemos que um indivíduo realizou um trabalho ou uma máquina realizou um
certo trabalho. Na física, dizemos que forças realizam trabalho. O trabalho é, assim, definido a
partir do conceito de força.

A definição de trabalho realizado por uma força genérica ( F ) exige que iniciemos a discussão
pelo caso mais simples, o de uma força constante. Para essa situação, definimos o trabalho realizado pela força ao atuar sobre uma partícula, quando esta se desloca de A até B (WA→B), como o


produto escalar do vetor deslocamento (Δr ) pela força ( F ). Ou seja:
 
WA→ B = F ⋅ ∆r ,
( 3 )
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5

onde Δr é o vetor deslocamento de A até B:
  
∆r = rB − rA .
( 4 )
Para uma força constante, pode-se mostrar que o trabalho assim definido não dependerá do
caminho percorrido pela partícula quando ela se movimenta entre os pontos A e B. Ou seja, o
trabalho só depende da força e desses dois pontos extremos do deslocamento da partícula.
Portanto, trabalho é uma grandeza escalar e seu valor para forças constantes é dado pela expressão
(3), a qual é equivalente, de acordo com a definição de produto escalar, à expressão:
 
WA→ B = F ∆r cos α,
Figura 3: O trabalho realizado por uma força
constante depende do ângulo entre o vetor
deslocamento e a força.
( 5 )


onde α é o ângulo entre a força F e o deslocamento Δr . Note, analisando a expressão (5), que o
trabalho realizado por uma força pode ser nulo:
WA→B = 0.
( 6 )
E isso ocorre, nesse caso, se a força aplicada for perpendicular ao deslocamento do móvel ou se
os dois pontos coincidirem. A coincidência pode resultar, nesse caso, de várias voltas dadas pela
partícula no espaço, retornando depois à posição inicial.
Figura 4: Para uma força constante, o trabalho
depende do vetor deslocamento entre os
pontos A e B.
Trabalho Realizado por uma Força Não Constante
Determinaremos agora o trabalho realizado por uma força quando a partícula percorre um caminho arbitrário do ponto A até o ponto B e quando a
força não é constante. Essa extensão deverá levar em conta, no entanto, a
definição de trabalho realizado por uma força constante.
Podemos sempre dividir o percurso entre A e B numa sucessão de N deslo
camentos Δr (i) (i = 1,2,...N), como mostra a figura (000).

Se tomarmos um número muito grande de divisões, os deslocamentos Δr (i)
serão muito pequenos e, consequentemente, a força praticamente não varia Figura 5.a: Caminho interligando os
ao longo de cada um deles. A força poderá, em cada um dos intervalos, ser pontos A e B.
Figura 5.b: Subdivisão do caminho
gerando N deslocamentos.
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6

admitida como constante ao longo do deslocamento e será denotada como a força F (i). O trabalho
realizado pela i-ésima força ao longo do i-ésimo deslocamento é, então, aquele dado pela expressão
(000) que se aplica para uma força que não varia:


∆Wi = F (i ) ⋅ ∆r (i ) ,

( 7 )

onde F (i) é o valor da força ao logo do i-ésimo deslocamento Δr (i) admitida agora como se fosse
constante.
Assim, podemos definir o trabalho no percurso Γ como a soma dos trabalhos ao longo de cada
um dos deslocamentos parciais. Isto é:
WA→ B ( n ) = ∆W1 + ∆W2 +  ∆Wn
 


= F (1) ∆r (1) + F ( 2 ) ∆r ( 2 ) + 
n 

= ∑ F ( i ) ∆r ( i ) .
( 8 )
i =1
Figura 6: Subdividimos o trabalho em N contribuições dos trabalhos
associados a cada subdivisão.
Na verdade, essa somatória para pequenos valores de N é apenas um valor aproximado para
o trabalho realizado pela força. Para obtermos o valor exato, devemos fazer o número de divisões
tender a infinito de tal forma que os deslocamentos de todos os intervalos tendem a zero. Por esse
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processo, a somatória do segundo membro de (000) tende para um valor bem definido, indicado
como igual à integral de caminho:
 
WA→ B = ∫ F ⋅ dr .
Γ
( 9 )
O termo do lado direito da equação acima é denominado integral de linha de um vetor ao
longo de uma curva Γ (ou circulação do vetor ao longo da curva).
Integral de Linha do Vetor Força
Já vimos que o trabalho é a integral de linha da força agindo sobre uma partícula. A seguir,
procuraremos dar uma definição mais operacional para tal conceito.
Lembramos que um caminho, interligando dois pontos A e B, nada mais é do que uma curva
que pode ser descrita utilizando um parâmetro, designado por λ. Assim, define-se uma curva como
o lugar geométrico dos pontos do espaço descritos pelas funções a um parâmetro – o parâmetro λ –
dadas por:
x = x (λ )
y = y (λ )
( 10 )
z = z (λ )
A cada ponto do espaço corresponde um e apenas um valor do parâmetro λ e, ao variá-lo,
obtemos os diferentes pontos ao longo da curva. Em particular, aos pontos A e B correspondem os
valores λA e λB tais que suas coordenadas são dadas por:
xA = x (λ A )
xB = x ( λ B )
yA = y (λ A )
yB = y ( λ B )
zA = z (λ A )
zB = z ( λ B )
( 11 )
Consideremos uma linha ou curva qualquer. Ela pode ser subdivida em n pedaços infinitesimais.
Um ponto ao longo da curva é caracterizado pelo vetor de posição:




r (λ ) = x (λ ) i + y (λ ) i + z (λ ) i
( 12 )
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Assim, dois pontos sucessivos ao longo de uma curva definem um vetor deslocamento (veja
figura 000) dado por:



∆r ( λ ) = r ( λ + ∆λ ) + r ( λ )
( 13 )
Definimos a distância entre esses dois pontos (veja figura 000) como igual ao módulo do vetor
acima. Isto é:

∆l = ∆r ( λ )
( 14 )
 

O produto escalar do vetor força F ( r ), dependente do ponto identificado pelo vetor posição r ,

pelo vetor deslocamento Δr , é dado, portanto, pela expressão:
 
  


F ( r ) ⋅ ∆r = F ( r ) ∆r cos θ = Ft ∆r
( 15 )
 
onde θ é o ângulo entre os dois vetores e Ft é a projeção do vetor força F ( r ) na direção estabelecida

pelo vetor Δr .
Consideremos uma curva arbitrária, na qual introduzimos uma partição contendo n pequenos
segmentos de comprimento Δl (veja figura 7).
Para qualquer elemento da linha, ou seja, um particular segmento da curva – digamos, o trecho

associado ao i-ésimo ponto da partição considerada –, introduzimos o vetor Δr i que é o vetor deslocamento associado aos extremos dessa divisão da curva. Ou seja, esse vetor é o vetor deslocamento
entre os extremos do segmento.
 
Considerando agora o campo vetorial F ( r ), podemos definir o trabalho da força associado a esse
segmento com o produto escalar:
 

∆Wi = F ( ri ) ⋅ ∆ri
( 16 )
Definimos, finalmente, o trabalho associado à partição n, W (n) como aquele que resulta da soma
sobre todas as contribuições associadas às n partições da curva:
n
n 


n
WA→ B ( ) = ∑ ∆Wi = ∑ F ( ri ) ⋅ ∆ri
i =1
i =1
( 17 )
Figura 7: O vetor deslocamento entre dois
pontos ao longo de uma curva e sua partição
em segmentos.
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No limite em que o número de elementos das partições tende a infinito, tal soma define a integral
de caminho da força, ou seja, o trabalho realizado pela força:
n 
  

WA→ B = lim ∑ F ⋅∆ri = ∫ F ( r ) ⋅ dr
n →∞
i =1
( 18 )
Γ

onde fica implícito que, no limite acima, o (máximo |Δr i|)→0 quando n→∞.

Na expressão (000), o vetor d r é o vetor deslocamento infinitesimal




dr = dxi + dyj + dzk
( 19 )

o qual é tangente à curva pelo ponto caracterizado pelo vetor posição r e o seu módulo é dado por

dr = dl
( 20 )
onde dl é o elemento de comprimento infinitesimal da curva. A direção desse vetor é a mesma direção
da reta tangente à curva pelo ponto considerado e o seu sentido indica a direção crescente do deslocamento (veja figura). Escrevemos assim:


dr = dlt

( 21 )
Figura 8: O vetor deslocamento
infinitesimal e a

projeção
 do campo V, no caso, o campo de
forças
F , em cada ponto ao longo do caminho.

onde t é o versor tangente à curva pelo ponto caracterizado pelo vetor posição r .
Quando a curva é fechada, a integral de caminho é conhecida como circulação do vetor ao longo
dela, e é representada assim:
W =
F
∫ ( r ) ⋅ dr

Γ
( 22 )

Se definirmos a componente do vetor F ⋅ dl = Ft ⋅ dl , então, a integral de linha entre os pontos A
e B pode ser escrita, formalmente, sob a forma:
λ
2
 dl 
WA→ B = ∫  Ft
 dλ
d
λ


λ1
( 23 )
ou seja, a circulação de um vetor, ou sua integral de linha acaba se reduzindo a uma integral de uma
função de uma variável.
Figura 9: Integral de caminho e Circulação de
uma grandeza vetorial.
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A circulação de um vetor, ou a integral de linha do vetor, é uma grandeza escalar que depende
do caminho escolhido e do sentido em que se percorre esse caminho. Invertendo-se o sentido em
que se percorre o caminho, inverte-se o seu sinal.
A circulação de um campo vetorial é uma medida de quão próximas (ou afastadas) estão as linhas
de força do campo de se fecharem sobre si mesmas. Na figura 9, apresentamos um campo sem
circulação e outro com circulação. O campo magnético da Terra é um campo com circulação.
Unidades de Trabalho
A unidade de trabalho depende das unidades empregadas tanto na unidade de intensidade de
força como da unidade de comprimento. No sistema internacional (S.I.), a unidade de trabalho é o
joule, definido como o produto de um newton vezes o metro. O joule, símbolo J, é então definido
como o produto:
J = 1N.1 m.
( 24 )
No sistema CGS, a unidade de trabalho é o erg.
exercícios resolvidos 
Forças Dependentes Apenas de uma Variável
Consideremos agora o caso de um deslocamento ao longo de uma linha reta. Tomaremos essa
linha como o eixo x. Agora admitiremos que a força dependa apenas da coordenada x. Ou seja, a
força depende apenas de uma das coordenadas.
Dada uma força dependente apenas de x, podemos dividir o deslocamento entre as posições xA
e xB em pequenos intervalos Δx. Para cada um desses intervalos, aplicamos a fórmula para força
constante, pois essa divisão procura justamente intervalos tão pequenos que, para cada um deles,
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possamos utilizar a expressão para força constante. Daí obtemos, para o i-ésimo intervalo, o trabalho
que, por definição, é dado pela expressão:
ΔWi = F(xi)Δxi.
( 25 )
De (25) segue-se que a energia potencial é dada por:
WA→ B =
xB
∫ F ( x ) dx.
( 26 )
xA
Figura 10: Para forças dependentes de apenas uma coordenada, o trabalho é dado pela área entre
a curva, determinada pelo gráfico da função, e o eixo x. Ou seja, o trabalho é dado pela integral
definida entre os pontos da extremidade.
exercícios resolvidos 
Potência de uma Força

Consideremos uma força F que, durante um intervalo de tempo Δt, realiza um trabalho ΔW.
Definimos a potência média (Pm) dessa força, nesse intervalo de tempo, por:
Pm =
∆W
∆t
( 27 )
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A potência instantânea, ou apenas potência representada por P, é definida por:
P = lim
∆t → 0
∆W
.
∆t
( 28 )
A potência de uma força é a derivada do trabalho desta em relação ao tempo.

Lembrando a equação (000), obtemos que, para deslocamentos infinitesimais d r causados pela

aplicação da força F , o trabalho infinitesimal realizado pela força é:
 
dW = F ⋅ dr ,
( 29 )
portanto, de (000), segue-se que a potência é dada pelo produto escalar:


dW  dr  
P=
=F⋅
= F ⋅ v,
dt
dt
( 30 )
onde v é a velocidade instantânea da partícula.
Unidades de Energia e Potência
No SI a unidade de energia é o Joule (símbolo J).
A unidade de potência é o watt, cujo símbolo é W. A unidade de potência watt é a potência de um
trabalho unitário joule (J) dividido pelo intervalo de tempo unitário de um segundo (s):
1W = 1J/1s
( 31 )
No entanto, por razões históricas, às vezes são usadas outras unidades:
1 HP = 1 horse-power = 746W
1 cv = 1 cavalo-vapor = 365W
( 32 )
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13
Trabalho e Variação de Energia Cinética
Vamos agora demonstrar, primeiramente sem muito rigor, um resultado muito importante; ou
seja, o trabalho realizado por uma força (ou a resultante das forças que agem sobre o corpo) no
deslocamento de A até B dá a diferença de energia cinética da partícula entre os pontos B e A:
WA→ B =
mvB 2 mv A2
−
2
2
( 33 )
Portanto, o trabalho dá uma medida muito precisa de quanto a energia cinética varia quando
um corpo se desloca do ponto A até o ponto B. Esta variação de energia cinética pode, por exemplo,
ter ocorrido como resultado da variação de outras formas de energia.
Para demonstrar esse resultado, basta retomarmos a definição de trabalho e, ao mesmo tempo,
usarmos a lei de Newton. Assim, integrando os dois termos da lei de Newton, obtemos:
B
B 
 
dv 
WA→ B = ∫ F ⋅ dr = m ∫ ⋅ dr
dt
A
A
( 34 )
Uma manipulação simples leva a escrever o lado direito dessa equação sob a forma:

B
B
 dr
 
WA→ B = m ∫ dv ⋅
= m ∫ dv ⋅ v .
dt
A
A
( 35 )
O integrando pode ser escrito como uma diferencial exata se lembrarmos que:
 

 v2 
 
 v⋅v 
=
dv ⋅ v = d 
d

 .
 2 
 2
( 36 )
Assim, utilizando a equação anterior em (000), obtemos:



B
 mv 2  mvB 2 mv A2
=
−
WA→ B = ∫ d 
,

2
2
2


A
demonstrando-se, portanto, o resultado expresso pela equação (000).
( 37 )
Figura 11: Energia potencial elástica pode, igualmente, ser transformada em energia cinética.
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Exercícios Resolvidos: A Energia Cinética
Exercício
Uma bala de massa m = 8 × 10−3 kg é ejetado de um fuzil com velocidade v = 720 m/s.
a. Qual a energia cinética da bala?
b. Compare essa energia com outras necessárias para realizar atividades corriqueiras.
Resolução
a. Energia cinética da bala
Conforme a definição, a energia cinética da bala é:
Ec = (1/2)mv² = (1/2)(8 × 10−3 kg)(720 m/s)² = (1/2)(8 × 10−3)(720)²[ kg·m²/s²]
Ec = (1/2)(8 × 10−3)(720)²[ kg.m²/s²] = 2.074 J
( 38 )
onde J = kg(m²/s²) = joule , unidade de energia no Sistema Internacional (SI) de Unidade.
b. Comparação
Vamos comparar com um evento no cotidiano. A tarefa de erguer um litro de água mineral (de
1 kg) na direção vertical, e ao longo de uma distância de 1 m, exige uma quantidade de energia igual
a E = 10 J.
O que pode fazer uma energia igual a 2.074 J? Ela corresponde à tarefa de erguer a massa de
207 litros de água de uma só vez ao longo de 1 m de altura!
Exercício
Por ocasião do saque, uma bola de tênis de massa m = 60 × 10−3 kg (60 g) pode ser arremessada
horizontalmente com momento linear p = 4,5 kg.m/s.
a. Qual a energia cinética da bola nessas circunstâncias?
b. Qual é a velocidade escalar da bola ao ser arremessada?
Mecânica » Trabalho e Variação da Energia Cinética
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Resolução
A energia cinética pode ser expressa em função do momento linear e da massa da partícula, ou seja,
Ec =
p2
2m
( 39 )
onde p = m.v (produto da massa pela velocidade escalar). Assim
Energia cinética é, portanto, dada por:
m

 4, 5 kg. 
s
Ec = 
≅ 168,8 joules
−3
2 ( 60 × 10 ) kg
( 40 )
Fazendo uso da relação entre momento linear e velocidade: p = mv, a velocidade, que no caso é
a única incógnita, pode ser determinada. Nesse caso, temos:
4,5 kg.m/s = (60 × 10−3 kg).v ⇒ v = 75 m/s (270 km/h).
( 41 )
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16
Exercícios Resolvidos: Unidades de Trabalho
Exercício
Determine o Trabalho realizado pela força normal.
Resolução
A força normal é sempre perpendicular à direção do deslocamento (e do movimento). Isso significa
que a projeção da força na direção de deslocamento é nula. Matematicamente, escrevemos, para
qualquer deslocamento:
 
N ⋅ dr = 0
( 42 )
E, portanto, o trabalho realizado pela força normal é nulo. Por isso, dizemos que a força normal
não realiza trabalho.
Exercício
Determine o trabalho realizado pela força gravitacional.
Resolução
Como a força da gravidade na proximidade da Terra é uma força constante, o trabalho realizado
por ela será dado pela expressão:
 
WA→ B = ∫ mg ⋅ dr .
Γ
( 43 )
De acordo com a expressão (43), o trabalho realizado pela força gravitacional, admitida constante,
é dado pela expressão:
  
WA→ B = mg ⋅ ( rB − rA ) .
( 44 )
Figura 1: O trabalho da força gravitacional
depende só das coordenadas dos pontos A e B.
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Escolhendo o eixo y ao longo da aceleração de gravidade e orientando o eixo y no sentido contrário (veja figura 000), verifica-se que o trabalho pode ser determinado como função apenas das
coordenadas y dos pontos A e B. Ou seja:
WA→B = mg(yB − yA).
( 45 )
Observe que o trabalho depende apenas da variação da altura (dada pela coordenada y). Isso
ocorre porque deslocamentos na direção horizontal dão contribuição nula para o trabalho, pois a
força de gravidade é perpendicular a esses deslocamentos.
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Exercícios Resolvidos: Forças Dependentes Apenas
de uma Variável
Exercício
Determine o trabalho realizado pela força elástica quando o móvel se movimenta entre os pontos
denominados x1 e x2.
Resolução
No caso da força elástica, F(x) = − kx, a curva F(x) é a reta interligando os dois pontos. O trabalho
realizado pela força elástica é dado, basicamente, pela área do triângulo tracejado na figura (1).
Dependendo de realizar o trabalho numa ou noutra direção, o trabalho será dado ou pela área ou
pela área precedida pelo sinal menos.
De acordo com a definição, o trabalho realizado pela força quando do deslocamento da partícula
entre os pontos denominados x1 e x2, é dado pela integral:
x2
x2
x2
x1
x1
x1
Wx1 → x2 = ∫ F ( x ) dx = − ∫ kxdx = −k ∫ xdx.
( 46 )
Figura 1: Gráfico da força elástica.
A última integral pode ser realizada de duas formas equivalentes. Na primeira, integramos a
função linear, cuja função primitiva é uma função quadrática. Obtemos, assim,
x2
x2
−k ∫ xdx = −k
2
x1
x2
x1
 x 2 − x12 
= −k  2
.
 2

( 47 )
Na segunda forma, basta observar que a integral envolve áreas de triângulos. Deve-se tomar
cuidado, no entanto, em relação aos sinais. Por isso, é sempre preferível efetuar a integração direta.
Como resultado temos que o trabalho realizado pelas forças elásticas é dado pela expressão:
Wx1 → x2 = −
k
x2 2 − x12 ) .
(
2
( 48 )
Mecânica » Trabalho e Variação da Energia Cinética
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Mecânica » Trabalho e Variação da Energia Cinética
Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Design Instrucional: Juliana Moraes Marques Giordano e Vani Kenski.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
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