Oral Famílias de soluções periódicas de uma partícula

Famı́lias de soluções periódicas de uma partı́cula atraı́da pela
força gravitacional induzida por um fio circular girante
Angelo Alberti∗,
Depto de Matemática, Campus Profo Alberto Carvalho, UFS,
49500-000, Itabaiana, SE
E-mail: [email protected],
Cláudio Vidal
Depto de Matemática, Faculdad de Ciencias, Universidad del Bio-Bio
Cansilla 5-C, Concepción- VIII Región- Chile
E-mail: [email protected].
1
Introdução
espaço de fase desta maneira determinarmos a
existências de famı́lias de soluções periódicas
Nosso propósito é estudar a dinâmica de uma no caso espacial.
partı́cula infinitesimal atraı́da pela força gravitacional induzida por um fio circular homogêneo e que está girando em torno de 2 O potencial do fio circular
seu centro de massa com velocidade angular
Consideraremos o problema de uma partı́cula
ω constante. Desta maneira estaremos conP infinitesimal movendo-se no espaço euclisiderando também a influência da força de
diano tridimensional, submetida a força de
Coriolis.
atração gravitacional induzida pelo fio circuA motivação para o estudo do problema, está
lar homogêneo girante. Suponha que fio circuno fato de que recentemente, na Mecânica Celar homogêneo C de raio a esteja centrado na
leste houve um grande interesse em estudar
origem do sistema de coordenadas euclidiano
a dinâmica de uma partı́cula infinitesimal, ou
tridimensional OXY Z, contido no plano XY
seja de massa nula, ao redor de corpos maciços
e gira com velocidade angular ω constante em
com forma irregular, como por exemplo na
torno da origem.
forma de fio, anel ou disco. Isso se deve ao fato
A expressão para a função potencial Newtode que muito de nossos planetas no sistema soniana induzida pelo fio circular homogêneo fixo
lar possuem anéis e há um interesse em descrede raio a é
ver os efeitos da partı́culas dos anéis. Maxwell
R λdu
escreveu a famoso trabalho sobre a dinâmica
,
V (r) = − C kr−uk
R 2π
dos anéis de saturno já em 1859 e mostrou
dθ
−λa 0 √X 2 +Y 2 +Z 2 +a2 −2Xa
cos θ−2Y a sen θ
que um anel sólido deveria ser instável. Exis(1)
tem ainda trabalhos recentes, que tratam da
sendo
λ
a
densidade
constante
do
fio
circular
dinâmica do fio circular homogêno fixo: Alberti
[1], Azevêdo [4] e Broucke [6] e do problema do fixo, e estamos considerando a constante gravianel homogêneo fixo: Alberti e Vidal [2], [3] . tacional G = 1.
Apresentaremos a formulação do problema
em diferentes sistemas de coordenadas, e cal- 2.1 O potencial em termos de integrais elı́pticas
cularemos o potencial induzido pelo fio circular em termos de integrais elı́pticas de primeira Devido as simetrias do problema, o qual é inespécie. Usando a formulação Hamiltoniana variante com respeito a rotações em relação ao
do problema, podemos reduzir a dimensão do eixo que passa pelo centro do fio e é perpen∗
Aluno do programa de doutorado em matemáticaUFPE- CAPES
dicular ao plano que contém o fio (eixo Z), um
sistema de coordenadas conveniente será o de
3
P
z
r
r1
r2
Q
R
A
2j
O
C
B
Figura 1: O fio circular homogêneo.
coordenadas cilı́ndricas:
Formulação do Problema
Como adito anteriormente, estamos considerando o fio circular homogêneo centrado
na origem do sistema tridimensional euclidiano
OXY Z com raio a, densidade linear λ constante e desta forma com massa M = 2πλa.
Suponhamos ainda que o fio está girando em
torno do eixo Z com velocidade angular constante ω. Desta forma um sistema de coordenadas conveniente é o sistema de coordenadas
giratórias definido por
  


x
cos(ωt)
sen(ωt) 0
X
 y  =  − sen(ωt) cos(ωt) 0   Y  .
z
0
0
1
Z
Neste sistema de coordenadas o fio circular homogêneo está fixo e desta forma já sabemos deSeja P um ponto do espaço que não está em terminar o potencial induzido pelo mesmo. As
C, e traçamos por P a perpendicular P Q = z equações de movimento de uma partı́cula, sob
ao plano que contém o fio circular. Seja R um a atração do fio circular girante são dadas pelo
sistema de equações de segunda ordem
ponto sobre o cı́rculo e denotamos
x = r cos θ
y = r sen θ
P R = ρ P A = ρ1
z = z.
P B = ρ2 ,
onde A e B são como na Figura 1 acima. Se
o ângulo AOR é representado por 2ϕ então o
elemento de arco é dado por ds = 2adϕ e desta
forma o potencial é dado por
Z π
dϕ
V (P ) = 2aλ
(2)
ρ
0
ẍ − 2ω ẏ = −Wx
ÿ + 2ω ẋ = −Wy
z̈ = −Wz .
(4)
2
onde W (x, y, z) = − ω2 (x2 + y 2 ) + U (x, y, z),
é chamado de potencial efetivo e U (x, y, z) é o
potencial do fio circular.
Daremos a formulação Hamiltoniana do
problema definindo os momentos conjugados
onde λ é a densidade linear do fio circular e (px , py , pz ) associados as variáveis giratórias
assim a massa do fio é dada por M = 2πaλ. Re- como sendo
presentando o comprimento OQ por r, obtemos
px = ẋ − ωy, py = ẏ + ωx, pz = ż.
da Figura 1 que
A função Hamiltoniana associada ao sistema de
ρ21 = (r − a)2 + z 2 ρ22 = (r + a)2 + z 2
equações (4) é da forma
ρ2 = ρ21 cos2 ϕ + ρ22 sen2 ϕ.
1
H = (p2x + p2y + p2z ) − W (x, y, z).
2
(5)
Observe que ρ1 e ρ2 são as distâncias mı́nima e
máxima, respectivamente, do ponto P ao fio Portanto, ao sistema (4) fica associado um siscircular. O potencial fica determinado pela tema de equações de primeira ordem, determinado pela função Hamiltoniana (5),
relação
R π/2
∂H
ẋ = ∂p
= px + ωy
√ 2 2dψ 2 2
V (P ) = 2M
x
π
0
ρ1 sen ψ+ρ2 cos ψ
∂H
R
ẏ
=
=
py − ωx
dψ
2M π/2 √
2M
∂py
= πρ
= πρ
K(k)
∂H
2
2
2 0
2
1−k sen ψ
ż = ∂pz = pz
(6)
(3)
p˙x = − ∂H
∂x = ωpy − Ux
onde K(k) é a integral elı́ptica de primeira
p˙y = ∂H
∂y = −ωpx − Uy
2
2
2
espécie completa com módulo k = 1 − ρ1 /ρ2 .
p˙z = ∂H
∂z = −Uz .
A dedução para o potencial em termos da integral elı́ptica completa de primeira espécie pode
Observe que o espaço de configurações do
ser encontrada em Kellog [7].
problema é dado por R3 \ C.
3.1
O problema
cilı́ndricas
em
coordenadas 4
Método numérico para exploração do sistema em um
dado nı́vel de energia
Devido a simetria axial do problema, iremos
descrever o problema mudando a formulação
de coordenadas giratórias para coordenadas Observamos primeiramente que para integrar
cilı́ndricas. Definimos a seguinte mudança de o sistema (11) precisamos de uma rotina para
coordenadas:
calcular a integral elı́ptica completa de primeira
espécie K(k) e também a integral elı́ptica comx = r cos θ
px = pr cos θ − prθ cos θ
pleta de segunda espécie E(k), pois dK/dk =
y = r sen θ
py = pr sen θ + prθ cos θ
E(k)/[k(1 − k 2 )] − K(k)/k. Para a avaliação
z =z
pz = pz
das integrais elı́pticas nós usamos a trans(7)
formação de Landen, com o método da média
onde pr , pθ , pz são os momentos conjugados de
geométrica-aritmética (Battin [5]), que permite
r, θ, z respectivamente.
avaliar as integrais elı́pticas obtendo uma conA função Hamiltoniana (5), nestas coordevergência muito rápida. O problema do fio cirnadas é dada por
cular homogêneo giratório é inicialmente dado
³
´
2
por um sistema de equações com três graus
p
1 2
H=
pr + p2z + 2θ − ωpθ + U (r, z) (8) de liberdade como dado na equação (8). Da
2
r
teoria de Sistemas Dinâmicos Conservativos,
onde
podemos usar a integral de energia para reZ π/2
duzir em um grau de liberdade o sistema.
2M
dψ
p
U (r, z) = −
.
Ainda, como vimos anteriormente, podemos
π 0
ρ21 sen2 ψ + ρ22 cos2 ψ
usar uma segunda integral de movimento, o
O sistema Hamiltoniano associado a função (8) momento angular e reduzir a um sistema com
é dado pelo sistema de equações de primeira duas variáveis. Nós obtemos assim um mapa
simplético do plano no plano, envolvendo as
ordem
duas variáveis conjugadas r e pr , que correṙ = pr
p˙r = pr3θ − Ur
spondem a um dado nı́vel de energia e um
(9) dado valor do memento angular c. Para imθ̇ = pr2θ − ω
p˙θ = 0
ż = pz
p˙z = −Uz .
plementar tal redução numericamente, nós integramos muitas órbitas com os mesmos valObserve que do sistema (9) segue que pθ = c,
ores da energia H e momento angular c e
onde c é uma constante. Portanto pθ é uma inplotamos os pontos isolados (r, pr ) para cada
tegral primeira, que corresponde ao momento
intersecção com o plano z = 0. Este conangular. Com a definição do momento angujunto de pontos forma a Superfı́cie de Seção de
lar c, a função Hamiltoniana (8) é escrita da
Poincaré. A Seção de Poincaré permite destinseguinte maneira
guir os movimentos quasi-periódicos, (quando
³
´
2
os pontos da seção formam linhas concêntricas
1 2
c
H=
pr + p2z + 2 − ωc + U (r, z) (10) continuas, que chamamos de ilhas) e os movi2
r
mentos caóticos.
Desta forma, reduzimos o sistema (9) com três
Estamos interessados em determinar as
graus de liberdade em um sistema com dois soluções periódicas estáveis, as quais correspongraus de liberdade usando a integral do mo- dem a pontos fixos da superfı́cie de seção.
mento. O sistema (9) fica então determinado
Definimos H = H + ωc, e assim a função
por
Hamiltoniana (10) pode ser reescrita na forma
ṙ
ż
= pr
= pz
p˙r
=
p˙z
=
³
c
2M −(r+a)K(k)
+ dK
+ πρ
2
ρ2
dk
r3
³2
√ ´
dK(k) 2 ar
z
K(k)
+
− 2M
3
dk
ρ
πρ2
2
³q
onde obtemos o valor de θ(t) =
conhecendo o valor de r(t).
a
r
−
´´
√
2 ar(r+a)
ρ2
Rt ¡
t0
c
r2
H=
1³ 2
c2 ´
R + Z 2 + 2 + U (r, z).
2
r
(11) Observe que uma vez que H e o momento an¢
− ω dt gular c, são constantes ao longo da soluções
também será H.
4.1
Famı́lias de soluções periódicas
A órbita periódica correspondente ao ponto
periódico 1 da Seção de Poincaré da Figura 2,
num dado nı́vel de energia
Para nosso estudo numérico, iremos sempre supor a velocidade angular ω sendo unitária assim
como também iremos considerar o problema do
fio com raio a = 1 e massa M = 1. Nós analisamos uma série de superfı́cies de seção para o
problema do fio girante, para diferentes valores
da energia H e do momento angular c. Consideremos primeiramente o caso em que fixamos
H = −0.3 e consideremos uma variação do momento angular c. Verificamos que a soluções
periódicas que aparecem para este nı́vel de energia e momento angular persistem para um
intervalo considerável da variação da energia e
também do momento angular.
1.5
está contida na famı́lia de órbitas periódicas
que são órbitas simétricas em relação ao eixo
z e ocorrem para valores do momento angular entre c = 0.005 e c = 0.19. São órbitas
com grande perı́odo, aproximadamente entre
τ = 26.873 até τ = 29.195. Na figura 3 observamos que estas soluções são interiores ao fio e
se aproximam do fio a medida que o momento
angular c aumenta.
A segunda famı́lia analisada, na qual pertence a órbita periódica corresponde ao número
2 da superfı́cie de seção 1, aparece numa estreita faixa do momento angular c = 0.1 a
c = 0.37 e apresenta perı́odos entre τ = 39.912
e τ = 41.683. Estas soluções envolvem o fio
circular já que passam pela região interior do
fio (0 < r < 1) e pela região exterior (r > 1).
Também podemos observar que estas soluções
não apresentam simetrias na configuração rz.
Veja Figura 4.
1
4
2
3
2
1
z
0.5
c=0.01
0
c=0.05
c=0.1
c=0.15c=0.16
c=0.19
-1
-2
0 44
1
3
-3
-4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
r
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Figura 3:
-0.5
Famı́lia de soluções periódicas na configuração
rz para o nı́vel H = −0.3 e valores do momento angular entre
c = 0.005 e c = 0.19.
2
2.5
-1
2
1.5
1
c=0.1
c=0.35
0.5
z
-1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0
-0.5
-1
Figura 2: Superfı́cie de Seção de Poincaré para H = −0.3
e momento angular c = 0.2.
-1.5
-2
-2.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
r
Na superfı́cie de seção acima, os números 1, Figura 4: Famı́lia de soluções periódicas na configuração
para o nı́vel H = −0.3 e valores do momento angular entre
2, 3 e 4 são as ilhas que darão origem aos pontos rz
c = 0.005 e c = 0.19.
fixos da seção e desta forma a órbitas periódicas
estáveis.
2
1.5
1
z
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r
1.2
1.4
1.6
1.8
2
pela região interior e exterior do fio circular.
As soluções periódicas apresentadas são
periódicas na configuração rz. Desta forma
de (r(t), z(t)) é umaR solução
periódica
de
¢
t¡ c
perı́odo τ e θ(t) = 0 r2 (s) − ω ds, temos
que (r(t) cos θ(t), r(t) sen θ(t), z(t)) será uma
solução periódica no espaço tridimensional se,
e somente se, θ(τ )/2π é um número racional.
Caso contrário dizemos que a solução é uma
solução quase periódica.
Figura 5:
Famı́lia de soluções periódicas na configuração
rz para o nı́vel H = −0.3 e valores do momento angular entre
c = 0.005 e c = 0.19.
z
z
3
3
2
2
1
0.8
0.6
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
1.5
1
0.4
0.5
-1.5
0
-1
-0.5
0.2
0
z
x
y
-0.5
0.5
-1
1
1.5 -1.5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1 -0.8
0
-0.6 -0.4
-0.2
y
-0.2 0
-0.4
-0.6
0.2 0.4
-0.8
0.6 0.8
x
1 -1
0
-0.2
Figura 7:
Órbita quasiperiódica
tridimensional
com H = −0.3 e momento
angular c = 1.9.
-0.4
-0.6
Figura 8:
Órbita quasiperiódica
tridimensional
com H = −0.3 e momento
angular c = 0.11.
-0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
r
Figura 6:
Famı́lia de soluções periódicas na configuração
rz para o nı́vel H = −0.3 e valores do momento angular entre
c = 0.005 e c = 0.19.
z
z
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
A terceira famı́lia que apresentamos, que
contém a órbita periódica corresponde a ao
ponto fixo 3 da superfı́cie de seção da Figura
2, aparece para um grande faixa do momento
angular c. Podemos verificar que estas órbitas
Figura 9: Órbita quasiFigura 10:
Órbita
estão presentes para valores do momento an- periódica tridimensional
quasi-periódica tridimensional com H = −0.3 e
gular c = 0.05 até c = 1.5. Estas soluções com H = −0.3 e momento
angular c = 1.3.
momento angular c = 1.3.
passam pela região interior e exterior ao fio circular e a medida que que o momento angular
aumenta elas se afastam mais do fio e aumentam seu perı́odo, o qual varia na faixa τ = 0.7
a τ = 15.279. Veja figura 5
A última famı́lia de soluções periódicas
estáveis que apresentaremos aqui, contém
a solução periódica corresponde ao ponto
periódico 4 na superfı́cie de seção 2. Observamos que configuração rz, conforme Figura
6, são simétricas em relação ao eixo z e apresentam uma forma ovalada. Estão presentes Figura 11:
Órbita
Figura 12:
Órbita
quasi-periódica tridimenpara momento angular na faixa de c = 0.0 a quasi-periódica tridimensional com H = −0.3 e
sional com H = −1.4 e
c = 1. Porém não apresentam grande variação momento angular c = 0.2.
momento angular c = 0.2.
do perı́odo, ficando entre τ = 11 e τ = 13.817.
Também verificamos que esta soluções passam
Nas figuras acima exibimos algumas órbitas
1.5
4
3
1
2
0.5
-1.5
-1 -0.8
0
-0.6 -0.4
-1
-0.2 0
-2
0.2 0.4
-3
0.6 0.8
x
1 -4
0
-1
-0.5
0
x
y
-0.5
0.5
-1
1
1.5 -1.5
z
1
y
z
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
2
1.5
1.5
1
1
-2
0.5
0.5
-1.5
-1
-0.5
x
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1
-1.5
2 -2
-1.5
y
-1
0
-0.5
x
0
-0.5
0.5
1
-1
1.5 -1.5
y
r
k = 1−
quasi-periódicas no espaço tridimensional.
5
Alguns
resultados
dinâmica da partı́cula
da
ρ21
ρ22
tem de ser muito próximo de 1.
Mas
s
k∼1
=⇒
1−
ρ21
∼ 1 =⇒ ρ21 ∼ 0
ρ22
Ao Estudar as superfı́cies de seção do problema
p
(r − 1)2 + z 2 segue que (r −
podemos observar algumas propriedades que Como ρ1 =
1) −→ 0 e z −→ 0 . Desta forma r está próximo
provaremos agora
de 1 e z próximo de zero. Logo a partı́cula deve
Proposição 1. Se o momento angular C é estar próxima do fio circular.
diferente de zero, então r 6= 0. Isto significa
que a partı́cula não passa pelo eixo z.
6
Conclusões
Demonstração. A Energia do problema é dada
Neste trabalho analisamos a dinâmica de uma
por
partı́cula em torno de um fio circular homogêneo que está girando em torno de seu
p2r
p2z
C
2
H=
K(k),
(12) centro de massa com velocidade angular con+
+ 2−
2
2
2r
πρ2
stante. Este é um modelo simples para repreentão temos que
sentar um anel planetário e desta forma descrever a dinâmica de uma partı́cula nas proximiµ
¶
p2r + p2z
2
2
2
dades do mesmo. A escolha do fio circular com
C = 2r H −
+
K(k) .
2
πρ2
estas propriedades, permite obter expressões
fechadas para o potencial gravitacional de fácil
Portanto se C 6= 0 então r 6= 0. Então como
manipulação analı́tica.
acabamos de ver se C 6= 0 então a partı́cula
Descrevemos propriedades do espaço de fase
não passa pela origem.
através das soluções periódicas.
Obtemos
famı́lias
de
soluções
periódicas
estáveis
medianProposição 2. Se H é suficientemente pete o método de continuação numérica. Todo esqueno, então r e z são limitados.
tudo da dinâmica foi realizado considerando o
√
2
2
Demonstração. Seja R = r + z . Iremos fio girando. Este problema possui similaridade
com problemas clássicos da Mecânica Celeste,
mostrar que se R −→ ∞ então H ≥ 0.
Se R −→ ∞ então ρ1 ∼ ρ2 (ou seja a nos problemas restritos de três corpos.
A investigação do problema não está encerdistância máxima e mı́nima da partı́cula ao fio
tendem ao mesmo valor). Isso significa que rada. Existem outros aspectos da dinâmica
a serem estudados: estudo das soluções de
ρ2
1 − 12 −→ 0. Desta forma, K(k) ' K(0) = π2 . equilı́brios; existência de soluções periódicas
ρ2
√
ComopR = r2 + z 2 −→ ∞ isto significa que simétricas, via continuação analı́tica; estudo da
dinâmica de sub-problemas, como por exemplo
ρ2 = (r + 1)2 + z 2 −→ ∞. Então
no plano que contém o fio circular; singularida2
des; órbitas de escape. Também pode-se conK(k) −→ 0.
(13)
siderar outros modelos de corpos, por exemplo
πρ2
um anel, um fio ou anel elı́ptico. Outro aspecto
Portanto, pela equação (12) temos que H ≥ a ser investigado é a questão da integrabilidade.
0.
Sobre alguma destas questões já temos resultados parciais e esperamos ampliarmos em um
Proposição 3. Se H é suficientemente pefuturo próximo.
queno, então a partı́cula se aproxima do fio circular.
Demonstração. Da relação de energia (12),
obtemos que se H é muito pequeno então
2
Assim
πρ2 K(k) terá de ser muito grande.
Referências
[1] A. Alberti, Dinâmica de uma partı́cula
no potencial de um fio circular ho-
mogêneo, Tese de mestrado- Departamento de matemática, (2003).
[2] A. Alberti, C. Vidal, Dynamics of a particle in a gravitational field of a homogeneous annulus disk, Celestial Mech Dyn
Astr, (2007).
[3] A. Alberti, C. Vidal, Periodic solutions of
a particle in a potential field of a planar
massive annulus disk, Preprint, (2007).
[4] C. Azevêdo, H. Cabral, P. Ontaneda. On
the fixed homogeneous circle problem, Adv
Nonlinear Studies., 7 (2007) 47-76.
[5] R. H. Battin, An introduction to the
mathematics methods of astrodynamics,
AIAA., Education Series, New York,
(1987).
[6] R. A. Broucke, A. Elipe, The dynamics of
orbits in a potential field of a solid circular
ring, RCD., 10 (2005) 129-143.
[7] O.D. Kellog, Foudations of Potential
Theory, Dover Publications, New York,
(1954).
[8] M. Hénon, On the Numerical Computation of Poincaré Maps, Physica D., (1982)
412-414.
[9] C.L. Siegel, J.K. Moser, Lectures on Celestial Mechanics, Springer-Verlag, New York
(1971).
[10] A. Wintner, The Analytical Foudations of
Celestial Mechanics, Princeton Univerity
Press, New York (1941).