Quadrados mágicos

Texto complementar
Quadrados mágicos
Lenimar Nunes de Andrade
MATEMÁTICA
Matemática
Assunto: Enigmas
Quadrados mágicos
Introdução
Quadrados mágicos têm intrigado matemáticos, cientistas e curiosos por séculos. O exemplo conhecido
mais antigo é o Loh-Shu encontrado na China.
Trata-se de um quadrado mágico de ordem 3 que data de 2850 a.C. Nele, os números ímpares são representados por bolinhas brancas e os pares por bolinhas pretas.
Uma abordagem algébrica
Um quadrado mágico de ordem n pode ser definido como sendo uma matriz (aij )n 3 n onde os elementos
aij pertencem ao subconjunto de N 1, 2, ..., n2, são dois a dois distintos e a soma dos números de qualquer
linha, qualquer coluna e de qualquer uma das duas diagonais é igual a uma constante M.
A constante M pode ser facilmente calculada em função de n. Para isso, basta observar que a soma das n
linhas da matriz é igual M  M  ... 1 M  n M. Por outro lado, essa soma é igual a
1  2  3  ...  n2 5
Portanto, nM 
n2(n2  1)
.
2
n2(n2  1)
n(n2  1)
; logo, obtemos M 5
.
2
2
Vamos descobrir a forma geral de um quadrado mágico de ordem 3:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
Neste caso, a constante “mágica” M deve ser igual a
3(32  1)
 15.
2
1
Resolvendo o sistema linear formado pelas igualdades das somas de linhas, colunas e diagonais e escolhendo a e b como variáveis livres, chegamos à conclusão de que um quadrado mágico de ordem 3 tem
o aspecto ao lado:
a
b
15  a  b
20  b  2a
5
b  10 1 2a
5  a  b
10  b
10  a
À primeira vista pode parecer que há uma infinidade de quadrados mágicos de ordem 3, bastando
para isso atribuirmos valores inteiros às variáveis a e b. Mas isso deve ser feito levando em conta que os
­valores obtidos devem ser inteiros não repetidos no intervalo [1, n2 ]. Por isso, (a, b) pode assumir apenas os valores
(2, 7), (2, 9), (4, 3), (4, 9), (6, 1), (6, 7), (8, 1) ou (8, 3), fornecendo os quadrados:
2
7
6
2
9
4
4
3
8
4
9
2
9
5
1
7
5
3
9
5
1
3
5
7
4
3
8
6
1
8
2
7
6
8
1
6
...
8
3
4
1
5
9
6
7
2
Cada um desses oito quadrados pode ser obtido a partir de qualquer um dos outros através de operações
de troca de linhas, troca de colunas ou transposição de matrizes. Nesse caso, dizemos que os quadrados são
idênticos e que existe um único quadrado mágico de ordem 3.
ANDRADE, L. N. de. Quadrados mágicos. Texto cedido pela Sociedade Brasileira de Matemática,
publicado originalmente na Revista do Professor de Matemática (http://www.rpm.org.br/).
São Paulo: IME-USP, n. 41, p. 12, 1999.
2