Representação Numérica - DCA

EA869
Representação Numérica
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação (FEEC)
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)
Prof. Levy Boccato
1
Resumo
Computabilidade
Complexidade
Problema
Como
organizar os
dados?
Como
descrever um
algoritmo?
Algoritmo
Nível
conceitual
Estruturas
de dados
Linguagens
de
programação
Linguagem
Assembly
2
Introdução
 Toda informação manipulada por um computador digital, seja um
número correspondente ao valor de uma medida do ambiente,
seja uma sequência de letras correspondente a uma mensagem, é
representada internamente como sequências de bits (binary digits).
 A representação na base 2 se tornou a opção dominante devido
aos avanços da
semicondutores.
eletrônica
baseada
em
dispositivos
 Neste tópico, abordaremos a questão de como o computador
representa e manipula números.
 Uma vez vistos estes conceitos, estaremos prontos para iniciar o
estudo da arquitetura de computadores, começando pelo
processador.
3
Introdução
 Sinal digital:
 Nível de tensão cujo valor exato não é relevante para o circuito,
apenas a faixa à qual ele pertence.
Nível alto (VH) – Bit 1
Região proibida
Nível baixo (VL) – Bit 0
4
Introdução
 Problema: estamos habituados a representar números na base
decimal. Porém, o computador lida com grandezas representadas
como sequências de bits (base 2).
 Fazer manipulações com números binários pode ser custoso e
pouco intuitivo para nós.
 Por isso, é necessário saber como converter números binários em
outras bases mais familiares.
 Duas bases são de particular interesse:
 Decimal: por motivos óbvios.
 Hexadecimal: facilita a representação de sequências maiores de bits
(útil, por exemplo, quando estamos trabalhando com arquiteturas de
16 ou 32 bits).
11111111111111112
6553510
FFFF16
5
Conversão de base
 Conversão de base:
A transformação de um número representado em uma base genérica para a
base decimal é feita segundo a expressão:
n10 = di . bi + . . . . + d1 . b1 + d0
onde n10 é o número na base 10 correspondente à sequência de i+1 dígitos
di na base b.
 Exemplos:
 A4 = 10×161 + 4×160 = 16410
 00110111 = 1×25 + 1×24 + 1×22 + 1×21 + 1×20 = 5510
 Binário para hexadecimal:
0001 1101 0110 1110
1
D
6
E
6
Números inteiros
 A conversão de base que vimos nos leva a interpretar a sequência
de bits como sendo a representação de um número natural.
 Como podemos representar números inteiros (i.e., com sinal)?
Só valores
positivos
3
3 bits → 2 → 8 números (Naturais)
Sinal e
Magnitude
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
2
2
0
1
1
3
3
1
0
0
4
0
1
0
1
5
-1
1
1
0
6
-2
1
1
1
7
-3
Bit mais significativo expressa o sinal:
0 – positivo
1 - negativo
Qual a vantagem e a
desvantagem desta
representação?
Vantagem
Relação
natural
com o uso
comum
Desvantagem
- Dois circuitos (soma e
subtração);
- Duas representações
para o zero;
7
Números inteiros
 A fim de contornar a necessidade de se ter dois circuitos
aritméticos – um para a adição, outro para subtração –, trabalha-se
com a representação por complemento.
 Neste contexto, a subtração entre dois números equivale à soma
do primeiro com o complemento do segundo.
 Complemento de 1:
 Regra: o complemento de x (n bits, positivo) é dado por xc = 2n – 1 – x.
 Exemplo:
 Qual o complemento de 1 do número 1?
Maior número
representável
111
- 001
110
8
Números inteiros
 Complemento de 1:
 Usando 3 bits, teríamos os seguintes números representados.
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
2
0
1
1
3
1
0
0
-3
1
0
1
-2
1
1
0
-1
1
1
1
0
Qual o problema
dessa representação?
Redundância do zero
 Para obter diretamente a cadeia binária do complemento, basta
inverter todos os bits.
 O bit mais significativo serve para indicar o sinal (exceto do zero).
9
Números inteiros
 Complemento de 2:
 Elimina o problema da redundância da representação do número 0,
possibilitando a representação de um valor a mais.
 Regra: o complemento de x (n bits, positivo) é dado por xc = 2n – x.
 Exemplo:
 Qual o complemento de 2 do número 3?
1000
 -3 = 8 – 3 = 5
- 011
101
10
Números inteiros
 Complemento de 2:
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
2
0
1
1
3
1
0
0
-4
1
0
1
-3
1
1
0
-2
1
1
1
-1
Positivos representáveis com n bits: 0 a 2n-1 - 1
Negativos representáveis com n bits: -1 a –2n-1
 Para obter diretamente a cadeia binária do complemento de 2, basta
inverter todos os bits e somar um ao valor.
 O bit mais significativo também para indicar o sinal (exceto do zero).
11
Números reais
 Como representar números reais no computador?
 Exemplos: 0,33
2,71828 (e)
3.847.992.023,45
 Problema: pelo argumento diagonal de Cantor, sabemos que a
cardinalidade do conjunto dos números reais ultrapassa a dos naturais.
Logo, não é possível computar todos os números reais.
 Consequência: o que se processa em computador necessariamente é
uma aproximação do conjunto dos números reais.
 Duas questões, portanto, são bastante importantes na escolha de uma
representação para esta classe de números:
 Qual a faixa de valores representáveis?
 Qual a precisão que se atinge com a representação adotada?
12
Números reais
 Como representar números reais no computador?
 Primeira abordagem: representar um número real como um
número natural.
 Ideia: a parte fracionária (após o ponto decimal) é representada
por um número fixo de dígitos binários – quanto maior o número
de bits, maior a precisão desta representação.
13
Números reais
 Ponto fixo
 Esquema de conversão:



Multiplicação do valor real por 2d, onde d é o número de bits da parte
fracionária.
Arredondamento para o valor inteiro mais próximo.
Exemplo: representação de 3,14 como um número inteiro de 8 bits
com 4 bits para a parte fracionária.

3,14 × 24 = 50,24 ≅ 50 = 0011 0010
Pesos
0
0
1
1
0
0
1
0
23
22
21
20
2-1
2-2
2-3
2-4
8
4
2
1
0,5 0,25 0,125
,
0,0625
14
Ponto Fixo
 Operações com representação em ponto fixo
 Adição: equivalente à soma de inteiros
 Exemplo: 3,14 + 2,71 = 5,85
 3,14 – representado como 0011 0010 = 50
 2,71 – representado como 0010 1011 = 43
 50 + 43 = 93 – 0101 1101
 A cadeia binária 0101 1101 corresponde a
0  2 3  1  2 2  0  2 1  1  2 0  1  2 1  1  2 2  0  2 3  1  2 4  5,8125
 Multiplicação: equivalente à multiplicação de inteiros com subsequente
deslocamento para a direita do resultado conforme o número de bits que
compõem a parte fracionária.



Exemplo: 3,14 × 2,71 = 8,5094
50 × 43 = 2150 = 1000 0110 0110
Deslocamento para a direita de 4 bits: 1000 0110
1  2 3  0  2 2  0  21  0  2 0  0  2 1  1  2 2  1  2 3  0  2 4  8,375
15
Ponto Flutuante
 A representação em ponto flutuante é o padrão adotado
pelos sistemas computacionais para expressar um
número real.
 Notação científica:
 Um único dígito à esquerda da vírgula (ponto decimal ou
binário).
 Normalização: o único dígito antes da vírgula sempre é diferente
de zero.
 Exemplos:
4,0 × 10-9
1,011 × 2-8
0,1011 × 2-7
(Normalizado)
(Normalizado)
(Não-normalizado)
16
Ponto Flutuante
 Vantagens da notação científica normalizada:
 Simplifica
a troca de dados que incluem números
representados em ponto flutuante.
 Simplifica os algoritmos para aritmética de ponto flutuante.
 Aumenta
a precisão dos números que podem ser
armazenados em uma palavra.

0’s desnecessários são substituídos por dígitos verdadeiros à
direita da vírgula.
17
Ponto Flutuante
 Representação (normalizada):
1,xxxxxx2 × 2yyyy
k bits
Sinal
m bits
yyyy
1,xxxxxx2
Expoente
Fração, Mantissa ou Magnitude
 O primeiro bit indica o sinal do número.
 O campo seguinte contém os bits referentes ao expoente (positivo ou
negativo), cujo tamanho
representáveis.
afeta decisivamente a faixa de números
 O último campo, denominado fração (mantissa ou magnitude), contém os
dígitos válidos na forma normalizada. O tamanho deste campo determina a
precisão da representação.
Geral: (-1)S × F × 2E
18
Ponto Flutuante
 A representação em ponto flutuante está sujeita à ocorrência
de overflow:
 Quando o expoente se torna excessivamente grande, não podendo ser
representado no campo correspondente, temos um overflow.
 Há, também, a possibilidade de outro evento excepcional,
denominado underflow:
 Quando o valor calculado se torna tão pequeno que não pode ser
representado, temos um underflow.
 Ou, equivalentemente, um underflow ocorre quando o expoente negativo
para a representação do número se torna muito grande e não cabe no
campo correspondente.
19
Ponto Flutuante
 Solução de compromisso:
 Aumentar o número de bits destinados ao expoente amplia a
faixa de números que podem ser representados. Além disso,
reduz a possibilidade de ocorrência de overflow / underflow.
 Aumentar o número de bits destinados à mantissa melhora a
precisão ou a capacidade
representação adotada.
de
aproximação
associada
à
 Limitação: tamanho da palavra (memória / registrador).
20
Ponto Flutuante
 Padrão IEEE 754 (1985):
 Formato simples (single):
8 bits
31
30
29
28
S
27
23 bits
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
Expoente
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Fração
 Formato duplo (double):
52 bits
11 bits
31
30
29
28
27
26
S
31
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
Expoente
30
29
28
27
26
25
24
11
10
Fração
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
Fração (continuação)
21
Ponto Flutuante
 Padrão IEEE 754 (1985):
 Bit escondido: dado que o bit mais significativo guardado na
mantissa sempre seria igual a 1 – por causa da normalização –, ele
não precisa ser armazenado junto com os demais bits, i.e., ele
pode ser implícito à representação.

Deste modo, no formato single, teremos efetivamente 24 bits de mantissa (1
implícito e 23 armazenados). No caso double, serão 53 bits.
22
Ponto Flutuante
 Padrão IEEE 754 (1985):
 Para facilitar a comparação entre dois números representados em
ponto flutuante, o expoente é armazenado antes da mantissa.
 Contudo, expoentes negativos complicam um pouco a comparação,
pois à primeira vista se parecem com valores de maior magnitude
(sem sinal) – lembrar que o bit mais significativo é igual a 1.
 Desejável:
maior expoente positivo = 11111
menor expoente negativo = 00000
 Esta convenção nos leva à notação polarizada, na qual um bias é
subtraído do expoente (sem sinal) armazenado para determinar o
valor real deste campo.
 Valor escolhido:
bias = 127 (single)
bias = 1023 (double)
23
Ponto Flutuante
 Padrão IEEE 754 (1985):
 Com estas modificações, a representação em ponto flutuante
segundo o padrão IEEE 754 é expressa da seguinte forma:
(-1)S × (1 + mantissa) × 2(expoente – bias)
Expandindo em função dos bits da mantissa b0, b1, b2,  :
(-1)S × (1 +(b1 × 2-1) + (b2 × 2-2) + (b3 × 2-3) + ) × 2(expoente – bias)
Ou, equivalentemente:
(-1)S × (1 +((b1 × 222) + (b2 × 221) +  + (b23 × 20)) × 2-23) × 2(expoente – bias)
24
Ponto Flutuante
 Padrão IEEE 754 (1985):
 Números positivos:
Menor expoente armazenado: 1
0
1,000... × 2-126
Maior expoente armazenado: 254
1,111... × 2-126
1,000... × 2127
1,111... × 2127

Precisão: 2-23× 2-126
Precisão: 2-23× 2127
 Números negativos:
-1,111... × 2127
-1,000... × 2127
-1,111... × 2-126
-1,000... × 2-126

Precisão: 2-23× 2127
0
Precisão: 2-23× 2-126
25
Ponto Flutuante
 Padrão IEEE 754 (1985):
 Representação do zero:
 Menor expoente: 000...0
 Menor fração ou mantissa: 000...0
 Símbolos especiais:
 O maior expoente (255) é reservado para símbolos especiais.
 Por exemplo, em vez de uma divisão por zero causar uma exceção, um
símbolo +∞ ou -∞ pode ser retornado. Neste caso, a representação
adotada é: expoente = 255 e fração = 000...0
 Operações inválidas como 0 / 0 ou uma subtração entre dois valores
infinitos produzem um símbolo NaN (not a number). A representação
adotada para esta condição é: expoente = 255 e fração = valor não-nulo.
26
Ponto Flutuante
 Padrão IEEE 754 (1985):
 Em vez de haver um vazio (gap) entre o 0 e o menor valor
normalizado, o padrão IEEE 754 aceita os chamados números
não-normalizados.
 Características:
 Expoente armazenado é o mesmo que o utilizado para o valor zero (00...0).
 Fração não-nula.
 Correspondência: (-1)S × (0 + fração) × 2-126
 Exemplo:
 Menor valor não-normalizado (single): 0,000...001 × 2-126 = 2-149.
 Maior valor não-normalizado (single): 0,111...111 × 2-126 = (1 – 2-23) × 2-126.
27
Ponto Flutuante
 Exemplo:
 k=4em=2
Neste caso, o bias é igual a 7.
Expoente = 0 – reservado para o 0 e para os números não-normalizados.
1,00 × 2-6 = 0,01562500
1,01 × 2-6 = 0,01953125
1,10 × 2-6 = 0,02343750
1,11 × 2-6 = 0,02734375
1,00 × 27 = 128
1,01 × 27 = 160
1,10 × 27 = 192
1,11 × 27 = 224
Menor expoente válido
Maior expoente válido
Expoente = 15 – reservado para ±∞ e NaN.
28
Ponto Flutuante
 Padrão IEEE 754 (1985):
 Quadro resumo:
29
Ponto Flutuante
 Padrão IEEE 754 (1985):
 Exemplo: decimal para ponto flutuante
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
0,625 – base decimal
0,1012 – base 2
Normalizando: 1,01 × 2-1
Sinal: 0
Expoente: -1 + 127 = 126
Fração: 01000...0
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S
Expoente
(7)
Fração
Palavra armazenada: 0x3f20 0000
30
Ponto Flutuante
 Padrão IEEE 754 (1985):
 Exemplo: ponto flutuante para decimal
1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S
Expoente
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Fração
Palavra armazenada: 0xc1b2 4000
Sinal = 1 – número negativo
Expoente = 131 – removendo a polarização, obtemos o expoente
verdadeiro: 131 – 127 = 4.
Fração = 2-2 + 2-3 + 2-6 + 2-9
Valor: (-1)S × (1 + fração) × 2(expoente – bias)
(-1) × (1 + 0,392578125) × 24 = - 22,28125
31
Ponto Flutuante
 Adição:
 Passo 1: alinhar o ponto binário (decimal) tendo como referência
o número com maior expoente.

Para isto, basta deslocar o significando do menor número para a
direita até que seu expoente corrigido se torne equivalente à
referência.
 Passo 2: efetuar a operação de adição.
 Passo 3: normalizar o resultado.
 Passo 4: arredondar (truncar) para que valor obtido possua
exatamente o número de dígitos permitido.
 Passo 5: caso necessário, efetuar nova normalização.
32
Ponto Flutuante
 Adição:
33
Ponto Flutuante
 Adição:
 Exemplo: 0,5 – 0,4375
Usando 4 bits para a representação:



0,5 = 0,1 × 20 = 1,000 × 2-1
-0,4375 = - 0,0111 × 20 = -1,110 × 2-2
O significando do número com menor expoente (no caso, -1,110) é
deslocado para a direita até que seu expoente atinja o valor -1.
-1,110 × 2-2 = -0,111 × 2-1

Soma:
1,000 × 2-1 – 0,111 × 2-1 = 0,001 × 2-1
34
Ponto Flutuante
 Adição:
 Exemplo: 0,5 – 0,4375

Normalize a soma, verificando a ocorrência de overflow ou
underflow.
0,001 × 2-1 = 1,000 × 2-4

Arrendonde o resultado (neste caso em particular, não há
necessidade de mudança).
1,000 × 2-4 = 0,0625.
35
Ponto Flutuante
 Multiplicação:
 Passo 1: calcular o expoente.
 Basta somar os expoentes armazenados!? E subtrair a polarização.
 Passo 2: multiplicar os significandos.
 Passo 3: normalizar o resultado.
 Passo 4: arredondar (truncar) para que valor obtido possua
exatamente o número de dígitos permitido. Se necessário,
efetuar nova normalização.
 Passo 5: determinar o sinal do resultado.
36
Ponto Flutuante
 Multiplicação:
37
Ponto Flutuante
 Multiplicação:
 Exemplo: 0,5 × (-0,4375)
Usando 4 bits para a representação:



0,5 = 0,1 × 20 = 1,000 × 2-1
-0,4375 = - 0,0111 × 20 = -1,110 × 2-2
Somando os expoentes sem bias:
-1 + (-2) = -3

Multiplicando os significandos:
1,000 × 1,110 = 1,110000
Podemos manter apenas 4 bits – 1,110 × 2-3
38
Ponto Flutuante
 Multiplicação:
 Exemplo: 0,5 × (-0,4375)

O produto já está normalizado e não houve overflow / underflow.

Não há necessidade de arredondar.

Sinal: como os sinais dos operandos eram diferentes, o resultado
será negativo.
-1,110 × 2-3
Convertendo para decimal: -1,110 × 2-3 = -0,21875
39
Ponto Flutuante
 Bits de guarda e arredondamento:
 Para arredondar os números de maneira mais precisa, o
hardware pode incluir bits extras nos cálculos.
 O padrão IEEE 574 prevê o uso de dois bits extras à direita
durante as somas intermediárias, denominados bits de
guarda e arredondamento.
 Exemplo: 2,56 × 100 + 2,34 × 102

Com bits extras: 2,3400 + 0,0256 = 2,3656 × 102
Arredondamento: 2,37 × 102

Sem bits extras: 2,34 + 0,02 = 2,36 × 102
40
Observações
 Alguns erros comuns:
 Deslocamento para a direita sempre implementa a divisão por
uma potência de 2.

Isso é verdade desde que seja um número sem sinal.
 Adição em ponto flutuante é associativa!
 Por causa da precisão limitada, é possível que arredondamentos
intermediários levem a resultados diferentes dependendo da ordem
em que as somas são feitas.
b = 1,5 × 1038
c=1
 Exemplo: a = -1,5 × 1038
 (a + b) + c = 1
 a + (b + c) = 0
41
Caracteres
 Vários dados de entrada e saída dos computadores não são números,
vide o teclado, mouse, impressora etc.
 É muito comum nos depararmos com caracteres:
 Letras: A, B, …, Z
 Dígitos: 0, 1, …, 9
 Caracteres especiais: ?, @, #
 Caracteres não-imprimíveis: ENTER, espaço
 A representação numérica que vimos até agora faz sentido para o
hardware e para o programador de linguagem de baixo nível. Porém,
o usuário final lida diretamente com caracteres.
 Como o computador associa estas duas representações?
Byte
Caracteres visíveis
CÓDIGOS ALFANUMÉRICOS
42
Caracteres
 Existem diversos padrões de códigos alfanuméricos, sendo o de maior
destaque o chamado código ASCII (American Standard Code for Information
Interchange).
 ASCII: associa uma sequência de 8 bits (byte) a um caractere.
 Por exemplo, ao digitar OBA no teclado, o processador recebe a seguinte
sequência de bits:
OBA
1001111
1000010
1000001
43
Números + Programa Armazenado
 Importante: uma sequência de bits armazenada na memória
não possui um significado intrínseco; isto é, ela pode ser
interpretada de maneiras diferentes:





Número sem sinal;
Número inteiro;
Número em representação de ponto flutuante;
Caractere (ASCII);
Instrução de máquina.
 A ação que o processador está executando no momento
determina como aquela cadeia binária deve ser interpretada.
 Importante: há uma diferença fundamental entre os números
representados em computador e os números do mundo real.
 Magnitude limitada.
 Precisão limitada.
Podemos representar apenas 2N números, onde N é o
número de bits para armazenamento/representação.
44
Créditos
 Este material está baseado nas notas de aula elaboradas pelo
Prof. Léo Pini e pelo aluno de doutorado Tiago Novaes.
45