() ()x ( ) ( ) ( )2 () ()x ( ) ( ) ( )2 2.3.1. Transformações em funções

26
Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________
2.3.1. Transformações em funções
Translações horizontais:
Seja f uma função. A função g definida por g (x ) = f (x − c ) corresponde a uma translação
horizontal de f segundo o vector v = (c, 0 ) .
Exemplo 1:
Consideremos f (x ) = ln(x ) e g (x ) = ln (x − 2 ) .
Note-se que g (x ) = f (x − 2) obtém-se a partir de f (x ) fazendo uma translação horizontal
de 2 unidades para a direita. Comparemos os gráficos:
y
f (x ) = ln(x )
2.5
y
0
0
-1
g (x ) = f (x − 2) = ln(x − 2 )
2.5
0
1
2
3
4
5
6
7
-1
8
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
x
-2.5
-2.5
-5
-5
Exemplo 2:
Consideremos f (x ) = ln(x ) e g (x ) = ln (x + 2 ) . Note-se que g (x ) = f (x + 2 ) obtém-se a partir
de f (x ) fazendo uma translação horizontal de 2 unidades para a esquerda. Comparemos
os gráficos:
f (x ) = ln(x )
y
g (x ) = f (x + 2) = ln(x + 2)
y
2.5
2.5
0
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-3
-2
-1
x
-2.5
-5
0
1
2
3
4
5
6
x
-2.5
-5
27
Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________
Translações verticais:
Seja f uma função. A função g definida por g (x ) = f (x ) + c corresponde a uma translação
vertical de f segundo o vector v = (0, c ) .
Exemplo 3:
Consideremos f ( x ) = ln(x ) e g ( x ) = ln( x ) + 1 . Note-se que g ( x ) = f ( x ) + 1 obtém-se a
partir de f ( x ) fazendo uma translação vertical de 1 unidade para cima. Comparemos os
gráficos:
g (x ) = f (x ) + 1 = ln(x ) + 1
f (x ) = ln(x )
y
y
4
3
2.5
2
1
0
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
-1
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
-2
-2.5
-3
-4
-5
-5
Exemplo 4:
Consideremos f (x ) = ln(x ) e g (x ) = ln (x ) − 1 . Note-se que g (x ) = f (x ) − 1 obtém-se a
partir de f (x ) fazendo uma translação vertical de 1 unidade para baixo. Comparemos os
gráficos:
f (x ) = ln(x )
y
g (x ) = f (x ) − 1 = ln(x ) − 1
y
2.5
3
2
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
-2.5
1
0
-1
-1
-2
-3
-5
-4
-5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________
28
Homotetias do eixo horizontal:
Seja f uma função e seja g a função definida por g ( x ) = f (cx ) com c > 0 . O gráfico de g
obtém-se a partir do de f dilatando ou contraindo o eixo dos xx´ s conforme se tenha
0 < c < 1 ou c > 1 , respectivamente.
Exemplo 5:
Consideremos f (x ) = x(x − 1)(x − 3) e g (x ) =
x x
x
x
−1
− 3 . Note-se que g (x ) = f
2 2
2
2
obtém-se a partir de f (x ) “esticando” o eixo dos xx´ s . Comparemos os gráficos:
f (x ) = x(x − 1)(x − 3)
g (x ) = f
x
x x
x
=
−1
−3
2
2 2
2
Exemplo 6:
Consideremos f (x ) = x(x − 1)(x − 3) e g (x ) = 2 x(2 x − 1)(2 x − 3) . Note-se que g (x ) = f (2 x )
obtém-se a partir de f (x ) “encolhendo” o eixo dos xx´ s . Comparemos os gráficos:
f (x ) = x(x − 1)(x − 3)
g ( x ) = f (2 x ) = 2 x (2 x − 1)(2 x − 3)
29
Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________
Homotetias do eixo vertical:
Seja f uma função e e seja g a função definida por g (x ) = cf ( x ) com c > 0 . O gráfico de g
obtém-se a partir do de f dilatando ou contraindo o eixo dos yy´ s conforme se tenha c > 1
ou 0 < c < 1 , respectivamente.
Exemplo 7:
f (x ) = ( x − 1)( x + 1)( x + 3)
Consideremos
e
g ( x ) = 2( x − 1)( x + 1)( x + 3) .
Note-se
que
g (x ) = 2 f (x ) obtém-se a partir de f (x ) “esticando” o eixo dos yy´ s . Comparemos os
gráficos:
g (x ) = 2 f (x ) = 2(x − 1)(x + 1)(x + 3)
f (x ) = (x − 1)(x + 1)(x + 3)
4
y
y
6
4
2
2
0
-3
-2
-1
0
0
1
-2
x
-2
x
-4
-6
-4
Exemplo 8:
Consideremos
g (x ) =
f (x ) = ( x − 1)( x + 1)( x + 3)
e
g (x ) =
(x − 1)(x + 1)(x + 3) . Note-se que
2
1
f ( x ) obtém-se a partir de f (x ) “encolhendo” o eixo dos yy´ s . Comparemos os
2
gráficos:
f (x ) = (x − 1)(x + 1)(x + 3)
4
g (x ) =
(x − 1)( x + 1)(x + 3 )
1
f (x ) =
2
2
y
4
2
2
0
-3
-2
-1
0
y
0
1
-3
-2
-1
0
x
1
x
-2
-2
-4
-4
30
Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________
Módulo de uma função
Seja f uma função, o gráfico de g ( x ) = f ( x) obtém-se a partir do de f reflectindo no eixo
dos xx’s a parte negativa da função.
Exemplo 8:
Comparemos os gráficos:
g ( x ) = f ( x)
f ( x ) = x ( x − 1)(x − 3)
y
y
4
4
2
2
0
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
-2
x
-2
-4
-4
Vejamos agora o que acontece, se aplicarmos a função módulo ao argumento de f :
Exemplo 9:
f (x )
f ( x ) = x( x − 1)(x − 3)
y
y
4
4
2
2
0
-3
0
-3
-2
-1
0
-2
1
2
3
4
x
-2
-1
0
-2
1
2
3
4
x
-4
-4
O que se passa é que o gráfico correspondente à parte positiva do domínio de f é reflectido
no eixo dos yy’s, e portanto a função f ( x ) é uma função par.