Módulo II

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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I MÓDULO II
MÓDULO II
Nesse Módulo vamos aprofundar as operações em ℤ . Para introdução do
assunto, vamos percorrer a História da Matemática, lendo os textos dispostos
nos
links
a
seguir:
http://www.vestibular1.com.br/revisao/historia_da_matematica.doc
e
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/cantor/teoriamatem.htm
Operações Fundamentais em ℤ .
1)Adição e Subtração
Regra de sinais:
- Sinais iguais das parcelas, somam-se conservando o sinal comum.
Exemplo:
−2 − 4 = −6
+2 + 2 = +4
( −7 ) + ( −5 ) = −7 − 5 = −12
- Sinais diferentes das parcelas, subtraem-se conservando o sinal
do maior número em valor absoluto.
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divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação ou outros
problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que sejam resolvidos tais
problemas.
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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I MÓDULO II
Exemplo:
−2 + 4 = +2
+2 − 4 = −2
( −5 ) + ( +5 ) = −5 + 5 = 0
( +4 ) − ( −9 ) = 4 + 9 = 13
( +4 ) − ( +9 ) = 4 − 9 = −5
( +4 ) + ( −9 ) = 4 − 9 = −5
( +4 ) + ( +9 ) = 4 + 9 = +13
OBS.: sempre que tiver o sinal de subtração (-) na frente de um parêntese,
troca o sinal do número dentro do parêntese.
Propriedades da Adição
a) Fechamento: a soma de dois números inteiros é sempre
um número inteiro.
Se a ∈ ℤ e b ∈ ℤ então ( a + b ) ∈ ℤ
Exemplo: ( −8 ) + ( +3) = −5 então se ( −8 ) ∈ ℤ e ( +3) ∈ ℤ então −5 ∈ ℤ .
b) Comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma.
Se a ∈ ℤ e b ∈ ℤ , então a + b = b + a
Exemplo:
( +5 ) + ( −9 ) = −4
( −9 ) + ( +5) = −4
Então, ( +5 ) + ( −9 ) = ( −9 ) + ( +5 )
c) Associativa: não importa de que forma as parcelas sejam agrupadas ou
associadas, a soma é sempre a mesma.
Se a ∈ ℤ , b ∈ ℤ e c ∈ ℤ então,
( a + b ) + c = a + (b + c )
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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I MÓDULO II
Exemplo:
( +2 ) + ( −7 )  + ( +9 ) = [ −5] + ( +9 ) = +4
( +2 ) + ( −7 ) + ( +9 )  = ( +2 ) + [ +2] = +4
Então, ( +2 ) + ( −7 )  + ( +9 ) = ( +2 ) + [ (−7) + (+9) ]
d) Elemento Neutro: o zero é o elemento neutro da adição.
Se a ∈ ℤ então, a + 0 = 0 + a = a
Exemplo:
7+0 = 0+7
7=7
e) Elemento oposto ou simétrico: todo o número inteiro admite
um oposto ou simétrico e a soma de qualquer número inteiro com o seu oposto
ou simétrico é sempre igual a zero.
Se a ∈ ℤ ; então existe o elemento oposto ( − a ) tal que
( + a ) + ( −a ) = 0
Propriedades da subtração em ℤ
a) Fechamento: a diferença de dois números inteiros é sempre
um número inteiro.
Se a ∈ ℤ e b ∈ ℤ então, ( a − b ) ∈ ℤ
Exemplo:
( −5) − ( −8) = −5 + 8 = +3
Se ( −5 ) ∈ ℤ e ( −8 ) ∈ ℤ então, +3 ∈ ℤ
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b) A subtração em ℤ não possui a propriedade comutativa
e associativa e não tem elemento neutro.
2) Multiplicação em ℤ
Podemos estabelecer o seguinte resumo dos sinais do produto,
que chamamos Regra Prática dos Sinais do Produto.
Obs.: - sinais iguais (+);
- sinais diferentes (-).
Obs: a multiplicação por zero é sempre nula.
Exemplos:
a) ( −5 ) ⋅ 0 = 0
b) ( +4 ) ⋅ ( +3) = 4 ⋅ 3 = 12
c) ( −4 ) ⋅ ( +3) = −12
d) ( −4 ) ⋅ ( −4 ) = +16
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Propriedades estruturais da multiplicação em ℤ
a) Fechamento: o produto de dois números inteiros é sempre
um número inteiro.
Se a ∈ ℤ e b ∈ ℤ então, ( a ⋅ b ) ∈ ℤ
Exemplo:
( −3) ⋅ ( +9 ) = −27
Se ( −3) ∈ ℤ e ( +9 ) ∈ ℤ então, −27 ∈ ℤ
b) Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto.
Se a ∈ ℤ e b ∈ ℤ então, a ⋅ b = b ⋅ a
Exemplo:
( −10 ) ⋅ ( +5) = −50
( +5) ⋅ ( −10 ) = −50
Então, ( −10 ) ⋅ ( +5) = ( +5 ) ⋅ ( −10 )
c) Associativa: não importa de que forma sejam agrupados ou
associados os fatores, o produto é sempre o mesmo.
Se a ∈ ℤ , b ∈ ℤ e c ∈ ℤ então,
( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c )
d) Elemento Neutro: o número +1 é o elemento neutro da
multiplicação.
Se a ∈ ℤ então, a ⋅ ( +1) = a
Exemplo:
( −10 ) ⋅ ( +1) = ( +1) ⋅ ( −10 )
−10 = −10
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e) Distributiva em relação à adição e à subtração: o produto
de um número inteiro por uma soma algébrica pode ser obtido
multiplicando-se esse número pelos termos da soma e, em seguida,
somando-se os produtos parciais.
Se a ∈ ℤ , b ∈ ℤ e c ∈ ℤ então,
a ⋅ ( b + c ) = ab + ac ou a ⋅ ( b − c ) = ab − ac
Exemplos:
( −3) ⋅ ( 7 + 5) = −3.7 + (−3).5 = −21 − 15 = −36
3) Divisão de números inteiros (Divisão em ℤ )
Podemos estabelecer o resumo dos sinais, através da Regra
Prática dos Sinais de Quociente.
Obs.: na divisão: - sinais iguais (+);
-
sinais diferentes (-).
- A divisão exata de dois números inteiros só é possível quando
o primeiro número é múltiplo do segundo e o segundo é diferente
de zero.
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Propriedades da divisão em ℤ .
Observa-se que a divisão nem sempre pode ser realizada no
conjunto ℤ .
Exemplo: ( +7 ) ÷ ( −5) ou ( −1) ÷ ( −4 ) não podem ser realizadas em ℤ .
Então, não valem, em ℤ , as propriedades do Fechamento, Comutativa,
Associativa e Elemento Neutro.
A propriedade Distributiva vale só a direita e quando possível.
Exemplo:
( 8 + 8 ) ÷ ( −2 ) = 8 ÷ ( −2 ) + 8 ÷ ( −2 )
−4 = −4
A distributiva à esquerda, em relação à adição e subtração,
não é válida.
Exemplo:
27 ÷ ( 3 + 9 ) ≠ 27 ÷ 3 + 27 ÷ 9
9≠3
4) Potenciação em ℤ
Exemplo: ( +3) = 9 , temos +3 é a base; 2 é o expoente e 9 é
2
a potência.
Observa-se dois casos para os números inteiros:
Primeiro caso: o expoente é um número par.
Exemplos:
a) ( +3) = ( +3) ⋅ ( +3) = 9
2
(a potência é um número positivo)
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b) ( −3) = ( −3) ⋅ ( −3) = +9
2
(a potência é um número positivo)
“ Quando o expoente é um número par, a potência é sempre
um número positivo ”.
Segundo caso: o expoente é um número ímpar.
Exemplos:
a) ( +2 ) = ( +2 ) ⋅ ( +2 ) ⋅ ( +2 ) = +8
3
(a potência tem o mesmo sinal da base)
b) ( −4 ) = ( −4 ) ⋅ ( −4 ) ⋅ ( −4 ) = −64
3
(a potência tem o mesmo sinal da base)
“ Quando o expoente é um número ímpar, a potência tem sempre
o mesmo sinal da base “.
Exemplos: a) ( +3) = ( +3) ⋅ ( +3) ⋅ ( +3) ⋅ ( +3) ⋅ ( +3) = +243
5
b) ( −3) = ( −3) ⋅ ( −3) ⋅ ( −3) ⋅ ( −3) ⋅ ( −3) = −243
5
Casos particulares:
10 ) A potência com expoente 1 é igual a própria base.
Exemplos: a) ( +5 ) = +5
1
b) ( −5 ) = −5
1
20 ) A potência com expoente zero e base diferente, vale 1.
Exemplos: a) ( +5 ) = 1
0
b) ( −3) = 1
0
Observação: a) ( −3) = ( −3) ⋅ ( −3) = +9
2
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Operações com potências em ℤ (Propriedades)
10 ) Produto de potências de mesma base: repete-se
a base e somam-se os expoentes.
Exemplos:
a) ( +3) ⋅ ( +3) = ( +3)
2
4
2+ 4
= ( +3 )
b) ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) = ( −2 )
2
3
+6
= ( −2 )
2 +1+ 3
6
20 ) Quociente de potências de mesma base: repete-se
a base e subtraem-se os expoentes.
Exemplos:
a) ( −3) ÷ ( −3) = ( −3)
8
4
8− 4
= ( −3 )
4
30 ) Potência de potência: repete-se a base e multiplicam-se
os expoentes.
Exemplos:
3
2
2⋅3
6
a) ( +3)  = ( +3) = ( +3)


2
4
4⋅ 2
8
b) ( −2 )  = ( −2 ) = ( −2 )


40 ) Potência de um produto ou quociente: repetem-se
as bases com as operações indicadas e eleva-se cada termo à
potência constante.
Exemplos:
a) ( −3) ⋅ ( −5 )  = ( −3) ⋅ ( −5 )
4
4
4
b) ( −8 ) ÷ ( +2 )  = ( −8 ) ÷ ( +2 )
3
3
3
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A PERGUNTA DO ZERO PARA O OITO
O que o 0(zero) falou para o 8(oito)?
- Cintinho apertado esse!
5. Radiciação de números inteiros
Radiciação é a operação inversa da potenciação.
64 = 8 pois 82 = 64
a)
b)
3
8 = 2 pois 23 = 8
Números Racionais – Frações
O conjunto dos números racionais ℚ , inclui o conjunto dos números inteiros ℤ
(... − 3, −2, −1, 0,1, 2,3,...)
e também as frações e os decimais.
Frações:
- A fração surge quando se obtém uma divisão entre dois números.
Exemplo: 10 ÷ 3 = ?
10
3
10 - numerador
3 - denominador
Classificações:
Fração decimal: o denominador é uma potência de 10
(10 , 100 , 1000 , etc.)
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Exemplo: a)
55
10
b)
33
100
Fração ordinária: são todas as outras.
Exemplo: a)
9
5
3
8
b)
c)
25
121
Fração própria: o denominador é maior que o numerador.
Exemplo: a)
3
7
10
32
b)
c)
1
9
Fração imprópria: o numerador é maior que o denominador.
Exemplo: a)
13
5
b)
9
2
c)
8
3
d)
1251
13
Quando o denominador é igual ao numerador a fração é igual a unidade (1).
Exemplo: a)
33
=1
33
b)
13
=1
13
c)
2
=1
2
- Todo número inteiro é igual a uma fração que tem denominador a unidade (1).
Exemplo: a) 4 =
4
1
b) 12 =
12
1
Simplificação de frações:
- Dividindo ou multiplicando numerador e denominador pelo mesmo número,
não se altera a fração.
Exemplo:
10 10 :5 2
=
=
15 15 :5 3
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- Dizemos, então, que
10
2
e
são frações equivalentes.
15
3
- Frações que não se pode simplificar diz-se irredutível.
Exemplo: a)
4
5
b)
8
7
c)
2
3
d)
101
102
Redução de fração ao mesmo denominador:
Exemplo: a)
1
3
b)
5
4
c)
1
2
d)
7
6
a) Encontra-se o MMC dos denominadores das frações acima:
MMC ( 3, 4, 2, 6 ) = 12
b) Divide-se o MMC encontrado pelos denominadores das frações e multiplicase pelos numeradores respectivos; coloca-se o MMC como sendo o novo
denominador (denominador comum).
Exemplo:
4 ⋅1 3 ⋅ 5 6 ⋅ 1 2 ⋅ 7
4 15 6 14
;
;
;
→
;
;
;
12 12 12 12
12 12 12 12
Operações com frações:
Adição e subtração:
1) Denominadores iguais: soma-se (adição) ou subtrai-se (subtração) os
numeradores:
Exemplo: a)
3 8 11
+ =
5 5 5
b)
3 2 1
− =
11 11 11
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1) Denominadores diferentes: reduzem-se as frações ao mesmo denominador :
Exemplo:
1 4 5 12 17
2
+ = + =
=1
3 5 15 15 15 15
MMC ( 3;5 ) = 15;1
2
(número misto)
15
O número misto representa a parte inteira somada com a fracionária.
Exemplo: 1
2
2 15 2 17
= 1+ = + =
15
15 15 15 15
Para transformar um número misto em fração imprópria basta multiplicar a parte
inteira pelo denominador e somar ao numerador (processo rápido).
Exemplo: 2
3 ( 2 ⋅ 5 ) + 3 10 + 3 13
=
=
=
5
5
5
5
Na conversão de uma fração imprópria em número misto procede-se como no
exemplo:
Multiplicação de frações:
Regra: multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador.
Exemplo:
4 3 4 ⋅ 3 12
⋅ =
=
7 5 7 ⋅ 5 35
2 8 2 ⋅ 8 16
⋅ =
=
9 1⋅ 9 9
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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I MÓDULO II
Divisão:
Regra: multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda.
Exemplo:
3 5 3 8 24 6
: = ⋅ =
=
4 8 4 5 20 5
Atenção: se estiver multiplicando, dividindo ou subtraindo frações com números
mistos, transforme em fração imprópria:
- Somente se for adição, pode-se somar as partes inteiras separadamente:
1
2
1 2
3
Exemplo: 3 + 4 = 7 + + = 7 + = 7 + 1 = 8
3
3
3 3
3
Fração de fração:
- Neste caso multiplica-se as frações envolvidas.
Exemplo:
3
1 3 1 3
de = ⋅ =
8
2 8 2 16
1
1 2 2 1
de 2 = ⋅ = =
8
8 1 8 4
Potenciação com fração:
- Eleva-se numerador e denominador à potência desejada.
2
2
9
 3 3
Exemplo:   = 2 =
25
5 5
4
24 16
2
  = 4 =
3
81
3
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OS IRMÃOS GÊMEOS
Dois irmãos gêmeos, na barriga, já na hora de nascer.
- Mano tu vai primeiro.
O outro respondeu:
- Não vai tu primeiro, tu vai ser o mais velho.
- Tá bom e então.
Quando ele saiu o médico deu duas palmadas no bumbum dele, de repente ele volta
com tudo pra dentro da barriga da sua mãe e diz para o irmão:
- Não sai aí não mano, que a porrada está comendo solta!!!
Fonte: www.piadasonline.com.br
Exercícios Resolvidos:
4 1
20 + 3 23
+
23 42÷3 23 14 322
⋅
=
⋅ =
a) 3 5 = 15 = 15 =
1 21 1 9
9 15 9÷3
15 3
45
÷
.
2 9
2 21
42
b)
82 26 3 82 ⋅ 26 ⋅ 3
⋅ ⋅ =
13 41 4 13 ⋅ 41 ⋅ 4
É possível simplificar antes de efetuar a multiplicação, portanto:
82 ⋅ 26 ⋅ 3 82 ⋅ 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 ⋅ 3
=
=
=3
13 ⋅ 41 ⋅ 4 1 ⋅ 41 ⋅ 4 1 ⋅1 ⋅ 4
1
1 1 1
÷3
⋅
1 1 1
c) 3
=3 3=9= ⋅ =
1 3 ⋅ 3 9 9 9 81
3÷
3
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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I MÓDULO II
Operações com números decimais:
Adição:
Exemplo: 29 , 4 + 27 , 772 + 1 , 5
a) Coloca-se as vírgulas em ordem (colunas):
29,4+27,772+1,5=
b) Completa-se com zeros e efetua-se a operação(adição):
Subtração:
Exemplo: 15,82 − 4, 6872
a) Coloca - se vírgula abaixo de vírgula:
15,8200 → minuendo
-
4, 6872 → subtraendo
______________
11,1328
→ resto
Multiplicação:
Exemplo: 4, 291 ⋅ 2, 987
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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I MÓDULO II
a) Efetua-se a multiplicação como se os números fossem inteiros:
4, 291
x 2, 987
_________
30037
34328
38619
8582
_____________
12,817217 → produto
b) O número de casas decimais do resultado será a soma do número de casas
decimais dos fatores.
4, 291
x
3 casas decimais
3 casas decimais
2,987
_________________
12,817217
6 casas decimais
Divisão:
Exemplo: 4, 2 0, 24
1, 2261 6,1
Regra:
a) Acrescenta-se zeros para igualar o número de casas decimais do dividendo
e do divisor.
4, 20 0, 24
1, 2261 6,1000
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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I MÓDULO II
b) Elimina-se as vírgulas:
420 24
12261 61000
c) Se o dividendo for menor que o divisor, acrescenta-se zeros ao dividendo,
compensando no quociente da seguinte maneira:
1 zero no dividendo → 0, no quociente
2 zeros no dividendo → 0,0 no quociente
3 zeros no dividendo → 0,0,0 no quociente, etc.
d) Inicia-se a divisão, até que se esgotem os algarismos do dividendo.
420 24
122610 61000
0, 2
180 17
12
e) Quando esgotarem-se os algarismos do dividendo, é necessário acrescentar
um zero ao resto, do seguinte modo:
- Se o quociente já tem parte decimal (vírgula), acrescenta-se um
zero ao
resto sem acrescentar zero ao quociente.
122610 61000
6100
0, 2
f) Se for necessário acrescentar mais zeros ao resto, coloca-se um zero no
quociente para cada zero no resto até que este seja maior ou igual ao
divisor.
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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I MÓDULO II
122610 61000
6100 0, 201
0
- Se o quociente não têm vírgula, então a colocação de um zero no resto é
acompanhada da colocação de vírgula no quociente.
420 24
180 17, 5
120
0
Conversão de uma fração em número decimal
a) Frações decimais:
1
= 0,1
10
(um décimo)
1
= 0, 01
100
(um centésimo)
1
= 0, 001
1000
(um milésimo)
Neste caso a vírgula se desloca para a esquerda tantas casas quantos forem o
número de zeros do denominador.
Exemplo:
481
= 0, 481
1000
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20
CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I MÓDULO II
Dízimas periódicas:
Observa-se que toda fração sempre produz um número decimal finito ou
infinito periódico (dízimas)
Exemplo:
1
= 0,5 (decimal finito)
2
1
= 0,16666... (dízima periódica)
6
Chama-se período a parte que repete (6, no exemplo acima de dízima
periódica).
Dízimas periódicas simples: o período começa logo após a vírgula.
Exemplo: 0, 444... (ou 0, 4 ou 0, ( 4 ) )
Dízima periódica composta: há uma parte não periódica entre a vírgula e o
período.
Exemplo: 0,532515151... ou 0,53251 ou 0,532 ( 51)
período = 51
parte não periódica = 532
Conversão de um número decimal em fração
a) Decimal finita: coloca-se o numerador o número inteiro sem a vírgula e no
denominador a unidade seguida de tantos zeros quantos forem os
algarismos de parte decimal.
Exemplo: 91,515 =
91515
1000
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0, 00015 =
15
100000
a) Decimal infinita periódica (dízimas):
- Dízimas periódicas simples: escreve-se no numerador o período, e no
denominador tantos noves quantos são os algarismos do período.
Exemplo: 0, 25 =
25
(fração geratriz)
99
- Dízima periódica composta: Numerador: parte não periódica seguida de um
período menos a parte não periódica.
Denominador: tantos noves quantos são os algarismos do período seguidos de
tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica.
Exemplo: 0,51482828... =
3,1423 = 3 +
51482 − 514
99000
1423 − 14
1409
=3
9900
9900
Observação:
Todo número decimal finito ou dízima periódica sempre pode ser convertido na
fração correspondente.
Exemplo: 0, 413 =
413
1000
;
0, 7666... =
76 − 7 69 23
=
=
90
90 30
No entanto há decimais infinitos não periódicos e que não podem ser
convertidos em frações. Estes números são conhecidos como números
irracionais.
Exemplo:
2 = 1, 4142136...
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5 = 2, 236068...
π = 3,1415927...
Só para descontrair...Quantos cavalos você vê nesta foto?????
Números Reais
É o conjunto formado pelos números racionais e irracionais.
- Soma algébrica (adição e subtração):
Sinais iguais: soma-se os valores absolutos e dá-se ao resultado o mesmo
sinal.
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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I MÓDULO II
Exemplo: ( +4 ) + ( +5 ) = +9
( +2 ) + ( +8) = +10
( +5) + ( +7 ) = +12
( −2 ) + ( −5) = −7
( −1) + ( −8) = −9
Sinais diferentes: subtraem-se os valores absolutos. O sinal será igual ao sinal
do maior valor absoluto.
Exemplo: ( +7 ) + ( −2 ) = +5
( +3 ) + ( −9 ) = −6
( +8 ) + ( −7 ) = +1
( +3) + ( −4 ) = −1
Observação: valor absoluto é o valor do número sem sinal.
Exemplo: Valor absoluto de −5 = 5
Valor absoluto de +8 = 8
- Nos números negativos quanto maior o seu valor absoluto menor será este
número.
Exemplo: −2 ⟩ −8
Para eliminar parênteses:
a) Sinal ( + ) antes do parênteses: o número permanece com o mesmo sinal;
b) Sinal ( − ) antes do parênteses: o número muda de sinal.
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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I MÓDULO II
Exemplo: ( −4 ) + ( +2 ) = −4 + 2 = −2
6
 8 2
− +  = −
5
 5 5
 4  2 4 2
+ −−  = + = 2
 3  3 3 3
Multiplicação e Divisão:
Sinais iguais: resultado positivo ( + )
Sinais diferentes: resultados negativos ( − )
Exemplo: ( +2 ) ⋅ ( +3) = +6
( −3) ⋅ ( −5) = +15
( +8) ⋅ ( −4 ) = −32
9
 3  3
 + ⋅ −  = −
40
 8  5
Exemplo: ( −2 ) ⋅ ( +4 ) ⋅ ( −3) ⋅ ( +4 ) ⋅ ( −7 ) = −672
( +1) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( +1) ⋅ ( −3) = +6
Potenciação:
Significa multiplicação repetida.
Exemplo: 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 ; então podemos escrever 34 = 81
Base → 25→exp oente = 32 → potência
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Observação:
Base negativa:
Expoente par: potência positiva. Exemplo: ( −2 ) = 4
2
Expoente ímpar: potência negativa. Exemplo: ( −2 ) = −8
3
Base positiva:
Potência sempre positiva. Exemplo: +32 = 9
Cuidado: ( −2 ) = +4
2
−2 2 = −4
Propriedades:
a) a1 = a ;
Exemplo: 81 = 8
b) a 0 = 1 ;
Exemplo: 5120 = 1
c) a − n =
1
;
an
m
1
1
Exemplo: 2-3 =
=
23 8
4
am
a
d)   = m ;
b
b
24 16
2
Exemplo:   = 4 =
3
81
3
e) ( a m ) = a m⋅n ;
Exemplo: ( 2 2 ) = 210
f) ( a ⋅ b ) = a n ⋅ b n ;
Exemplo: ( 2 ⋅ y ) = 23 ⋅ y 3
g) a m ÷ a n = a m − n ;
Exemplo: a 8 ÷ a 2 = a 8− 2 = a 6
h) 1a = 1 ;
Exemplo: 15217 = 1
n
n
5
3
Cuidado:
(2 )
3 2
= 26 = 64
23 = 29 = 512
2
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Radiciação:
É a operação inversa da potenciação.
Exemplo: 23 = 8 ;
logo:
3
8=2
32 = 9 ;
logo:
2
9 =3
Índice ց
3
Radical
8 = 2 → raiz
ց radicando
Propriedades:
a)
n
a ⋅b =
b)
n
a
=
b
c)
n m
d)
m
a =
n
n
n
a⋅n b ;
a
;
b
n ⋅m
Exemplo:
4 ⋅ y2 =
Exemplo:
9
=
16
a;
p
m
a = a ;
p
2=
Exemplo:
Exemplo:
3
9 3
=
16 4
4
2 = 2
2
4 ⋅ y2 = 2 ⋅ y
2
2
3
Observação: - ausência de expoente: expoente 1.
- ausência de índice na raiz: índice 2.
Exemplo:
3=
3 = 3
1
1
2
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Operações com radicais:
Adição e subtração:
Só é possível se os radicais forem semelhantes:
Exemplo: 3 2 − 2 2 = 1 2 = 2
4 3 − 3+3 3 = 6 3
7 3 2 − 2 2 + 8 3 2 + 5 2 = 15 3 2 + 3 2
3 +2 3 + 5 +2 5 = 3 3 +3 5
As vezes os radicais são iguais, mas torna-se necessário fatorar os radicandos
para que se evidencie a igualdade.
2 + 8 = 2 + 22 ⋅ 2 = 2 + 2 2 = 3 2
Exemplo:
45 + 20 = 32 ⋅ 5 + 22 ⋅ 5 = 3 5 + 2 5 = 5 5
Multiplicação:
a) Mesmo índice: multiplica-se os radicandos e conserva-se os índices.
5 ⋅ 2 = 10
Exemplo:
3
4 ⋅ 3 7 = 3 28
b) Índices diferentes: para multiplicar é necessário convertê-los para o mesmo
índice.
Exemplo:
2⋅3 5⋅4 3 =
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Regra:
- Encontra-se o MMC dos índices.
MMC (2; 3; 4;) = 12
-Divide-se o MMC pelo índice e coloca-se o resultado no expoente do radicando
respectivo; o novo índice será o MMC calculado.
12
2(12÷ 2) ⋅ 12 5(12÷3) ⋅ 12 3(12 ÷4 ) =
= 12 26 ⋅ 12 54 ⋅ 12 33
6 4 3
= 12 2 .5 .3 = 12 1080000
Divisão:
a) índices iguais: conserva-se os índices e divide-se os radicandos:
3
Exemplo:
3
8 38 3
=
= 4
2
2
15 ÷ 15 =
15
= 1 =1
15
c) índices diferentes: é necessário convertê-los para o mesmo índice, de
maneira análoga à multiplicação( MMC do índice).
5 6 53 6 125
Exemplo: 3 =
=
9
3 6 32
Observação: como um número decimal pode ser convertido em fração,
extraímos a raiz do seguinte modo:
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Exemplo:
3
125 3 53
5 1
0,125 =
=
= = = 0,5
3
1000
10
10 2
3
0, 0009 =
9
32
3
=
=
= 0, 03
2
10000
100
100
Racionalização:
- Consiste na simplificação de uma fração que tenha radical no denominador
para que este radical desapareça do denominador,
Exemplo:
2
2 5
10
10
=
⋅
=
=
5
5
5 5
25
HORA DO RECREIO!!!!!
Os Caçadores e o Leão
Dois caçadores estavam sentados sob uma árvore descansando, quando ouvem um
rugido.
- Meu Deus, um leão! - gritou um deles.
Mais do que depressa o outro começa a calçar as suas botas.
- Por que você está calçando as botas? - pergunta o outro. - Você não acha que é
capaz de correr mais do que o leão, acha?
- Não! Mas acho que sou capaz de correr mais do que você!
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