EMAG-T21 458KB Jan 12 2015 03:52:07 PM

Electromagnetismo
Aula Teórica nº 21
Departamento de Engenharia Física
Faculdade de Engenharia
Universidade do Porto
PJVG, LMM
1
Breve revisão da última aula
„
Rotacional
… Rotacional
… Teorema
de Stokes
… Forma local da lei de Ampère
… O rotacional de E é nulo
„
Forças e binários magnéticos
…A
força de Lorentz
… O efeito Hall
… Força entre fios atravessados por corrente
… Binário numa espira (TP)
2
Objectivos da
aula de hoje
„
Matéria
…
…
„
„
Nussenzveig 9.5-6
(Cheng 6.11-12)
O motor de corrente contínua
Inductâncias
…
A divergência do campo de indução
magnética
… O fluxo do campo de indução magnética
… Coeficientes de indução mútua e autoindução – L
„
„
„
„
…
Solenóide
Cabo coaxial
Dois fios paralelos
Duas bobinas circulares
Energia magnética
„
Cálculo do coeficiente de auto-indução
3
Exemplo: motor eléctrico
4
A divergência do campo de
indução magnética
„
Exercício (TP12)
a)
Mostre que
∇i B = 0
b)
Mostre que
∫ Bids = 0
S
5
A divergência do campo de
indução magnética
„
Significado físico Não existem fontes pontuais de
campo de indução magnética como para o caso do
campo eléctrico. As linhas de campo magnético não
partem de, nem chegam a, nenhum ponto.
Dipolo eléctrico
Dipolo magnético
6
O fluxo do campo magnético
„
„
O fluxo do campo magnético para uma
superfície aberta é não nulo.
Unidades SI: weber (b)
…1
Wb = 1 T m2 = 1 V s
Φ = ∫ B ids =
S
∫ Aidl
C
S
„
Fluxo de campo de indução
magnética ligado ao
caminho/contorno/circuito C
>
C
7
O conceito de indutância
„
„
Consideremos dois condutores transportando corrente (ou o efeito
de um conductor sobre ele próprio).
O fluxo do campo de indução magnética, criado por I1, através da
superfície definida pelo circuito do condutor 2 C2 é
Φ12 ≡
∫ B ids
1
S2
„
2
=
∫ A idl
1
N2
2
N1
C2
Quando existem N1 voltas no condutor/bobina 1 o fluxo de ligação
(Λ) é definido como
Λ12 ≡ N 2 Φ12
8
O conceito de indutância
„
O coeficiente de indução mútua L12 entre a bobina 1 e a bobina 2
é dado por
L12 ≡
„
Λ12
I1
N2
N1
Podemos também definir o coeficiente de auto-indução da bobina
1 com ela própria
L11 =
Λ11
I1
Unidades SI: henry (H)
1 H = 1 Wb/A = 1 V s / A
9
O conceito de indutância
„
Significado físico
…A
indutância está ligada ao fluxo por unidade de
corrente que atravessa um dado condutor.
… Capacidade é a carga armazenada por unidade de
diferença de potencial num condutor
… Uma indutância armazena energia tal como um
condensador
… Veremos mais tarde que os coeficientes de autoindução e de indução mútua estão relacionados com
forças electromotrizes induzidas nos condutores
devido a variações temporais da intensidade de
10
corrente.
A fórmula de Neumann
„
Exercício (TP12) Mostre que
L12 =
„
„
„
μ0
dl idl
N1 N 2 ∫ ∫ 1 2
4π
R
C1 C 2
N2
N1
L12=L21
O coeficiente de indução mútua apenas
depende da geometria dos condutores e da
permeabilidade magnética do meio (μ0 -> μ)
Análogo à capacidade
11
Método de cálculo de coeficientes
de auto-indução/indução mútua
Assumir uma corrente I1 num dos
condutores/circuitos/bobinas
Calcular B1 usando a lei de Ampère, de Biot-Savart ou
o vector potencial magnético A
Calcular o fluxo (Φ12) do campo B1 no interior do
circuito C2.
1.
2.
3.
„
4.
Normalmente S2/C2 é perpendicular ao campo B1
Calcular o fluxo de ligação (Λ12=N2 Φ12)
(N2=1 para uma espira)
5.
Calcular o coeficiente de indução mútua/auto-indução
(não depende da corrente!)
L12 = Λ12 / I1
12
Coeficientes de indução mútua e
auto-indução
„
Exercício (TP12) Considere um solenóide de
comprimento l muito maior que o seu raio a, o
solenóide têm N voltas.
a)
b)
c)
Calcule o coeficiente de auto-indução
Supondo que N=100, l=10 cm e a=5 mm calcule o
valor numérico do coeficiente de auto-indução.
Supondo que o solenóide tem um material
ferromagnético no seu interior (μ=103 μ0) calcule o
coeficiente de auto-indução
13
Coeficientes de indução mútua e
auto-indução
„
Exercício (TP12) Considere um cabo
coaxial consistindo em duas folhas
cilíndricas condutoras de raio a e b.
a)
b)
Calcule o coeficiente de auto-indução por
unidade de comprimento.
Supondo que se trata de um cabo RG-214,
com a=2.256 mm e b=7.24 mm calcule o
valor numérico
14
Coeficientes de indução mútua e
auto-indução
„
Exercício (TP12) Considere uma linha de
transmissão consistindo em dois fios
condutores paralelos de raio a e separação
d>>a
a)
b)
Calcule o coeficiente de auto-indução por unidade
de comprimento.
Calcule o valor numérico supondo que se trata de
uma linha de 300Ω (normalmente usada para ligar
uma antena à TV) com d/a=6
15
Coeficientes de indução mútua e
auto-indução
„
Exercício (TP12) Considere duas
espiras circulares de raio a e b e número
de voltas N1 e N2, respectivamente.
Suponha as bobinas coaxiais e
separadas de d>>a,b. Calcule o
coeficiente de indutância mútua das
bobinas.
16
Energia armazenada no campo de
indução magnética
„
Devido à sua utilidade para o calculo de coeficientes
de auto-indução e indutância mútua vamos aqui
antecipar o conceito de densidade volúmica e de
energia armazenada no campo de indução magnética
magnética
um =
„
1 2
1 2
B ⇒ Um = ∫
B dv
2 μ0
2 μ0
V
Por outro lado sabemos da teoria de circuitos que
Um =
2U
1 2
LI ⇒ L = 2m
I
2
17
Método de cálculo de coeficientes
de auto-indução/indução mútua
1.
2.
3.
4.
5.
Assumir uma corrente I1 num dos
condutores/circuitos/bobinas
Calcular B1 usando a lei de Ampère, de BiotSavart ou o vector potencial magnético A
Calcular a densidade de energia armazenada
no campo de indução magnética fluxo (um).
Calcular a energia magnética total (Um)
integrando em todo o espaço.
Obter o coeficiente de auto-indução ou
indutância mútua L=2Um/I2
18
Coeficientes de indução mútua e
auto-indução
„
Exercício (TP12) Considere um cabo
coaxial com um condutor central
cilíndrico sólido de raio a transportando
uma densidadede de corrente constante.
O condutor cilíndrico exterior tem raio
interno b e externo c. Calcule o
coeficiente de auto-indução por unidade
de comprimento.
19
Matéria próxima aula
„
Lei de Faraday
… Lei
de Lenz
… Exemplos de aplicação
… Força electromotriz induzida pelo movimento
de um condutor na presença de um campo de
indução magnética
… Forma geral da força electromotriz induzida
„
A forma diferencial da lei de Faraday
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