figuras bidimensionais

FIGURAS BIDIMENSIONAIS
Primeiramente é importante destacar um aspecto referente a definições, nomenclatura
e classificações.
O termo "polígono", por exemplo, aparece em alguns textos como uma figura plana
fechada, simples, formada de segmentos de reta. Em outras palavras, ao considerá-las
como figuras formadas por uma linha poligonal fechada considera-se o polígono como um
"contorno".
Desse modo, distinguem-se de figuras não poligonais, como por exemplo.
No entanto, em alguns textos o termo polígono refere-se a uma região do plano
limitada por um contorno, formado de vários (poli) ângulos (gonos).
Tal diferença precisa ser observada para que possamos identificar, num texto, que
concepção está sendo usada pois não há uma certa e outra errada, mas é preciso utilizálas com coerência. Quando falamos em quadrados podemos estar nos referindo tão
somente a um contorno especial como a esse contorno reunido com seu interior.
Em qualquer situação, polígonos são figuras:
•
•
•
formadas por segmentos consecutivos.
fechadas.
simples (não se cruzam).
Os polígonos podem diferenciar-se por serem convexos ou não, pelo número de lados,
pelo número de ângulos internos, pelo número de eixos de simetria etc.
Em polígonos convexos, um segmento que une quaisquer dois pontos do seu interior
está totalmente contido no polígono.
Quando isso não acontece, dizemos que o polígono é não convexo.
Se considerarmos o número de lados dos polígonos, podemos estabelecer uma
classificação dos mesmos e também nomeá-los. Vejamos alguns exemplos:
Polígonos de 3 lados => Triângulos
Polígonos de 4 lados => Quadriláteros
Polígonos de 5 lados => Pentágonos
Polígonos de 6 lados => Hexágonos
Polígonos de 7 lados => Heptágonos
Polígonos de 8 lados => Octógonos
Polígonos de 9 lados => Eneágonos
Polígonos de 10 lados => Decágonos
Alguns polígonos são chamados de regulares. Os polígonos regulares têm todos os
seus lados e todos os seus ângulos com mesma medida.
As diagonais de um polígono são segmentos que unem dois vértices não consecutivos
desse polígono. Em todos os polígonos com mais de 3 lados, podemos traçar e contar as
diagonais. Assim, no quadrilátero podemos traçar 2 diagonais, no pentágono podemos
traçar 5 diagonais, no octógono podemos traçar 20 diagonais, etc.
OS TRIÂNGULOS: POLÍGONOS MUlTO ESPECIAIS
Os triângulos são polígonos muito especiais porque todas as demais figuras poligonais
podem ser decompostas em triângulos.
Essas figuras com 3 lados e 3 ângulos podem ser classificadas de várias maneiras.
Podemos classificar os triângulos levando em conta a medida de seus lados. Assim
podemos definir, de uma forma mais "tradicional", assim:
•
•
•
Triângulos equiláteros: têm 3 lados de mesma medida (1)
Triângulos isósceles: têm 2 lados de mesma medida (2)
Triângulos escalenos: todos os lados têm medidas diferentes (3)
Mas, convém destacar que as definições acima não são as únicas possíveis. Há uma
forma de fazê-las de modo a incluir as diferentes classes de triângulos umas nas outras.
Há uma relação métrica muito interessante entre as medidas dos lados de um
triângulo: cada lado tem que ter medida menor que a soma das medidas dos outros dois
lados. Sendo a, b e c a medida de cada um dos lados de um triângulo qualquer, temos:
a<b+c
b<a+c
c<b+a
Uma propriedade fantástica dos triângulos é a chamada rigidez triangular: um
triângulo, jamais se deforma, enquanto figuras de 4 ou mais lados não são rígidas. Essa
rigidez justifica o fato de os carpinteiros colocarem uma espécie de trava quando fazem
portões.
Outra propriedade métrica importante dos triângulos é que, qualquer que seja o
triângulo que se considerar, a soma das medidas de seus ângulos internos é sempre a
mesma: 180°.
Os triângulos são figuras geométricas importantes porque geram as demais figuras.
Um quadrilátero pode sempre ser decomposto em, no mínimo, 2 triângulos. Um
pentágono pode sempre ser decomposto em, no mínimo, 3 triângulos. E assim por diante.
Assim, é possível determinar a soma dos ângulos internos de um polígono qualquer
dividindo-o em triângulos a partir do vértice. Para isso é preciso traçar as diagonais que
partem de um dos vértices desse polígono transformando-o em triângulos. A partir dessa
divisão basta somar a quantidade de triângulos e determinar a soma dos ângulos internos
do polígono como mostra a tabela abaixo.
Nº de
diagonais
Nº de
Nº de
Polígono
que
lados
triângulos
partem do
vértice
Quadrilátero
4
1
2
Pentágono
5
2
3
Hexágono
6
3
4
Octógono
8
5
6
Eneágono
9
6
7
Decágono
10
7
8
Soma dos
ângulos
internos
360º
540º
720º
1080º
1260º
1440º
Se considerarmos polígonos regulares é possível determinar o valor de cada um dos
seus ângulos internos a partir da soma dos ângulos desse polígono. A tabela abaixo
mostra o valor de cada ângulo interno de polígonos regulares e a partir deles, o valor de
cada ângulo externo é a soma dos ângulos externos de um polígono regular.
Polígono
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
Octógono
Eneánogo
Decágono
Soma dos
N° de lados
ângulos
internos
4
5
6
8
9
10
360°
540°
720°
1080°
1260°
1440°
Medida de Medida de
cada
cada
ângulo
ângulo
interno
externo
90°
90°
108°
72°
120°
60°
135°
45°
140°
40°
144°
36°
Soma dos
ângulos
externos
90° x 4 = 360°
72° x 5 = 360°
60° x 6 = 360°
45° x 8 = 360°
40° x 9 = 360°
36° x 10 = 360°
A medida dos ângulos internos de um polígono é fundamental para decidir se ele é ou
não recomendável para pavimentar uma superfície plana. A medida do ângulo interno de
um polígono regular deve ser um divisor de 360° para que seja possível compor um
ângulo de 360° com os vértices dos ladrilhos do mesmo tipo.
Assim, podemos compor uma superfície com hexágonos pois cada ângulo interno do
hexágono mede 120° e com 3 hexágonos, unidos pelo vértice, é possível formar o ângulo
de 360° o mesmo não acontece com o pentágono, pois cada ângulo interno de um
pentágono regular mede 108° que não é divisor de 360°.
É possível ladrilhar uma região plana com retângulos? triângulos? octógonos?
OS QUADRILÁTEROS
Os quadriláteros também podem ser classificados usando alguns critérios como o
paralelismo de seus lados, a medida de seus ângulos ou de seus lados. Podemos definir
trapézio como quadrilátero que tem pelo menos um par de lados paralelos. Esses lados
são denominados bases do trapézio.
Há trapézios isósceles, escalenos e retângulos.
Paralelogramos são quadriláteros cujos lados são dois a dois paralelos. Podemos
considerar então que um paralelogramo é um trapézio particular (se o paralelogramo tem
dois pares de lados paralelos, então é um trapézio). Num paralelogramo os lados opostos
têm a mesma medida e os ângulos opostos também têm a mesma medida. Já dois
ângulos consecutivos somam juntos, 180°.
Num paralelogramo, as diagonais se cortam no meio.
O retângulo é paralelogramo que tem um ângulo reto (e se tem um, os demais também
são retos) .
As diagonais de um retângulo se cortam no meio e tem a mesma medida.
O losango é um paralelogramo em que todos os lados têm o mesmo tamanho.
No losango, as diagonais são perpendiculares e se cortam no meio.
O quadrado é um retângulo que também é losango.
Os quadriláteros convexos podem ser decompostos em 2 triângulos. Assim sendo, a
soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360° (2 X 180°). É possível construir
diversos quadriláteros com régua e compasso, sabendo-se as características desses
quadriláteros.
FIGURAS CIRCULARES
Nem todas as figuras planas são poligonais. Existem figuras planas delimitadas por
curvas. Dentre elas a de curvatura mais perfeita é o círculo. Círculo é a região do plano
limitada por uma curva chamada circunferência. Corda é o segmento traçado entre dois
pontos da circunferência.
c: corda
r: raio
d: diâmetro
Num círculo podemos destacar como elementos o raio e o diâmetro. O raio é a
distância fixa que existe do centro a circunferência.
Um círculo admite uma infinidade de eixos de simetria, seus diâmetros. O diametro é a
maior das cordas.
Se dividirmos um círculo por meio de seu diâmetro obteremos 2 semicírculos.
Trechos extraídos das páginas 173 à 180 do livro de PIRES, Célia M. C. Espaço e Forma: a construção de
noções geométricas pelas crianças das quatro séries iniciais do Ensino Fundamental. São Paulo: PROEM,
2000.