Cap 4 - Medidas de Posição

ESTATÍSTICA I
Cap 4 – MEDIDAS DE POSIÇÃO
Prof Me Aloizio Magrini
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................................2
2. MEDIDAS DE POSIÇÃO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL ................................................................................2
3. CÁLCULO DE MEDIDAS ...................................................................................................................................3
3.1. DADOS ISOLADOS OU NÃO AGRUPADOS ..........................................................................................................3
3.1.1. CÁLCULO DA MÉDIA ...............................................................................................................................3
3.1.2. CÁLCULO DA MODA ................................................................................................................................3
3.1.3. CÁLCULO DA MEDIANA ...........................................................................................................................4
3.2. DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS ..........................................................................................................5
3.2.1. CÁLCULO DA MÉDIA ...............................................................................................................................5
3.2.2. CÁLCULO DA MODA ................................................................................................................................5
3.2.3. CÁLCULO DA MEDIANA ...........................................................................................................................6
3.3. DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS ..........................................................................................................6
3.3.1. CÁLCULO DA MÉDIA ...............................................................................................................................7
3.3.2. CÁLCULO DA MODA ................................................................................................................................7
3.3.3. CÁLCULO DA MEDIANA ...........................................................................................................................8
4. PROPRIEDADES DA MÉDIA ...........................................................................................................................10
4.1. 1ª PROPRIEDADE: SOMA DE DESVIOS NULA...................................................................................................10
4.2. 2ª PROPRIEDADE: SOMA DE CONSTANTE .......................................................................................................10
4.3. 3ª PROPRIEDADE: PRODUTO POR CONSTANTE ..............................................................................................10
4.4. APLICAÇÃO DAS PROPRIEDADES ...................................................................................................................11
5. ANÁLISE COMPARATIVA DAS MEDIDAS DE POSIÇÃO .............................................................................11
6. POSIÇÃO RELATIVA DA MÉDIA, MODA E MEDIANA ..................................................................................12
7. MEDIDAS SEPARATRIZES .............................................................................................................................13
8. MEDIDAS DE POSIÇÃO NO EXCEL ...............................................................................................................14
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .................................................................................................................................16
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ESTATÍSTICA I
Cap 4 – MEDIDAS DE POSIÇÃO
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1. INTRODUÇÃO
Nos capítulos anteriores foram introduzidas as técnicas que nos permitem organizar, resumir e apresentar os
dados estatísticos provenientes de uma pesquisa, objetivando facilitar sua análise e interpretação. Foi visto
também que a esta parte do tratamento dos dados denominamos de ESTATÍSTICA DESCRITIVA, e que DADOS
ORGANIZADOS, RESUMIDOS, e APRESENTADOS de forma conveniente, facilitam a tarefa de identificar os aspectos
relevantes do fenômeno em estudo (sua essência) e o delineamento de hipóteses sobre sua estrutura, ou
seja, facilitam o desenvolvimento do que denominamos de ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS.
No estudo sobre DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIAS, a forma padrão de apresentação de dados em Estatística,
observamos que este tipo de representação de dados torna possível visualizarmos como uma VARIÁVEL se
distribui em termos dos casos observados. A partir deste capítulo, estamos introduzindo uma estratégia
complementar para descrever e explorar VARIÁVEIS QUANTITATIVAS.
No estudo de uma série estatística, e principalmente na confrontação com outras séries estatísticas, é
conveniente o cálculo de algumas medidas que as caracterizem. Estas medidas, quando bem interpretadas,
podem fornecer informações valiosas sobre a série estatística em estudo. Na verdade, as medidas reduzem
uma série estatística a alguns valores, cuja interpretação fornece uma compreensão bastante apurada sobre
o conjunto de dados que as originaram.
À luz do acima exposto, podemos entender MEDIDAS ESTATÍSTICAS como VALORES NUMÉRICOS calculados sobre
o conjunto de valores observados da VARIÁVEL QUANTITATIVA em estudo, cuja interpretação fornece
informações específicas sobre o comportamento da variável naquele conjunto de dados.
Devido à variedade de características passíveis de estudo num conjunto de dados, Medidas Estatísticas são
agrupadas em quatro classes focadas em aspectos diferentes do comportamento da variável em estudo:
MEDIDAS ESTATÍSTICAS
MEDIDAS DE POSIÇÃO (OU DE TENDÊNCIA CENTRAL)
MEDIDAS DE DISPERSÃO
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
MEDIDAS DE ACHATAMENTO (OU CURTOSE)
2. MEDIDAS DE POSIÇÃO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL
As MEDIDAS DE POSIÇÃO expressam a característica dos dados observados tenderem a se agrupar (ou
concentrar) em torno dos valores centrais. Representam valores intermediários da série (entre o menor e
o maior valor), em torno dos quais os elementos da série estão distribuídos. Simultaneamente, as medidas
deste tipo nos indicam a posição da série em relação ao eixo dos valores assumidos pela variável ou
característica em estudo (numa representação gráfica, o eixo horizontal, das abscissas ou dos xx). Cabe
lembrar que estas medidas se referem a valores da variável em estudo, e por esta razão serão sempre
expressos na unidade de medida da variável (quilos, metros, $, kWh, etc.).
As principais medidas de tendência central são MÉDIA, MODA e MEDIANA.
MÉDIA ARITMÉTICA
Matematicamente, a média é definida como a soma dos valores dividida pelo
número de valores. Usando o conceito físico de ponto de equilíbrio, a média
indica o centro de um conjunto de valores.
Numa POPULAÇÃO a média é denotada por  (letra grega equivalente ao ‘m’
minúsculo) e pronuncia-se ‘mi’.
Numa AMOSTRA a média é denotada por x e pronuncia-se ‘xis barra’.
MODA
A moda de um conjunto de valores é definida como o valor que ocorre com
maior freqüência. Referências comuns à moda incluem expressões como
valor dominante, valor que ocorre o maior número de vezes, valor que
predomina num conjunto, valor modal, valor mais comum, etc. Não é
imperativa, mas a ordenação dos dados facilita a identificação do valor mais
freqüente.
A moda é denotada por Mo.
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MEDIANA
A mediana é o valor que separa o ROL em duas partes iguais, deixando à sua
esquerda o mesmo número de elementos que à sua direita (50% para cada
lado). O conceito de mediana implica necessariamente em ordenação dos
dados, já que é definida sobre o ROL dos valores.
A mediana é um caso particular de um conjunto de medidas chamado de
SEPARATRIZES, cuja característica é dividir um conjunto de dados em duas
partes, deixando P% dos elementos à sua esquerda e 100%-P% à sua direita.
A mediana é denotada por Md.
3. CÁLCULO DE MEDIDAS
O estudo das medidas de posição será efetuado tratando-as separadamente para dados isolados (não
agrupados) e para dados agrupados, com e sem intervalos de classe.
3.1. DADOS ISOLADOS OU NÃO AGRUPADOS
Considere os seguintes conjuntos de dados como exemplos para cálculos das medidas.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Conjunto 1
18
9
13
41
17
8
6
29
14
8
5
30
10
14
3
6
14
13
20
10
14
10
16
36
17
10
16
17
11
12
7
15
6
21
7
4
33
4
16
38
Conjunto 2
Conjunto 3
Conjunto 4
3.1.1. CÁLCULO DA MÉDIA
Considerando a definição da média aplicada a um conjunto de dados isolados, podemos defini-la como a razão
ou quociente ou divisão da soma de todos os valores da amostra, pelo número de elementos da amostra (n).
n
Assim, a formulação matemática da média é:
 xi
onde
 xi
x  i1
ou simplesmen te x 
n
n
xi são os valores da variável
n é o número total de valores (nº de elementos na amostra ou conjunto de dados)
18  17  14  10  14  14  17 104

 14,86
Para o Conjunto de dados 1 acima temos: x 
7
7
Verifique o cálculo da média para todos os conjuntos de dados de exemplo:
Conjunto 1
Conjunto 2
Conjunto 3
Conjunto 4
Σ
n
Média
104
105
105
284
7
10
11
12
14,86
10,50
9,55
23,67
3.1.2. CÁLCULO DA MODA
Num conjunto de valores não agrupados, a moda é facilmente reconhecida: basta procurar o valor que mais se
repete. É evidente que a ordenação dos valores contribui para a rápida identificação do(s) valor(es) mais
freqüente(s). Observe a construção do Rol para cada um dos conjuntos de exemplo:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Rol 1
10
7
3
6
14
8
4
7
14
8
4
10
14
9
5
16
17
10
6
17
17
10
6
21
18
11
12
29
13
13
30
14
16
33
15
16
36
20
38
41
Rol 2
Rol 3
Rol 4
EXEMPLO 1: Nota-se facilmente que a Moda para este conjunto de dados é o valor 14. Logo, este conjunto de
dados é UNIMODAL (apenas uma Moda). Observe que o valor 17 aparece apenas duas vezes e portanto não
pode ser considerado como uma moda do conjunto, uma vez que o valor 14 aparece três vezes.
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i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Rol 1
10
7
3
6
14
8
4
7
14
8
4
10
14
9
5
16
17
10
6
17
17
10
6
21
18
11
12
29
13
13
30
14
16
33
15
16
36
20
38
41
Rol 2
Rol 3
Rol 4
EXEMPLO 2: Nota-se facilmente que no conjunto 2 existem duas modas, o valor 8 e o valor 10. Logo, este
conjunto de dados é BIMODAL.
EXEMPLO 3: No conjunto 3 existem três modas, o valor 4, o valor 6, e o valor 16. A este conjunto de dados
denominamos MULTIMODAL.
EXEMPLO 4: Neste conjunto de dados não existe um valor que apareça mais vezes que os outros. A este
conjunto de dados denominamos AMODAL, ou seja, que não tem Moda.
3.1.3. CÁLCULO DA MEDIANA
Cabem aqui algumas observações importantes sobre a Mediana:
a) O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da amostra. Quando o número de elementos
da amostra é ímpar, há coincidência. O mesmo não acontece quando este número é par.
b) A mediana e a média aritmética não têm necessariamente o mesmo valor.
c) A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos da amostra ordenada. Essa é uma das
diferenças marcantes entre a mediana e média: a média se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos,
enquanto a mediana não se importa com os valores dos dados, mas apenas com sua posição.
Em função do tamanho da amostra (n), duas alternativas de cálculo são possíveis:
a) n é ímpar
 n  1
Neste caso, o ROL comporta apenas um elemento central, cuja posição é dada por 
.
 2 
b) n é par
n
n 
Neste caso, o ROL admite dois valores centrais, de ordens   e   1 .
2 
2
A mediana é, por convenção, a média dos valores que ocupam estas duas posições centrais consecutivas.
Considerando ser a Mediana uma medida de ordenamento do conjunto de dados, é imprescindível que seu
cálculo seja efetuado sobre a amostra ordenada, ou seja, o ROL. Retomemos os conjuntos de dados
ordenados dos exemplos:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Rol 1
10
7
3
6
14
8
4
7
14
8
4
10
14
9
5
16
17
10
6
17
17
10
6
21
18
11
12
29
13
13
30
14
16
33
15
16
36
20
38
41
Rol 2
Rol 3
Rol 4
EXEMPLO 1: Este conjunto de dados possui 7 elementos, e portanto n é ímpar. Conjuntos de dados ímpares
possuem um único elemento central, e sua posição é de ordem (n+1)/2. Assim, a ordem da MEDIANA num
conjunto de dados com 7 elementos é o valor na posição (7+1)/2 = 4., ou seja, o valor 14. Logo, Md=14.
EXEMPLO 2: Este conjunto de dados possui 10 elementos, e portanto n é par. Conjuntos de dados pares
possuem dois elementos centrais, e a mediana é a média destes dois valores centrais. O primeiro destes
valores centrais é de ordem n/2=10/2=5, e o segundo valor central é o seu elemento consecutivo, de ordem 6
(5+1). Neste caso, os valores dos elementos centrais são 10 (5º) e 10 (6º), e portanto a Mediana vale também
10, uma vez que ela é a média destes dois valores. Logo, Md=10.
EXEMPLO 3: O conjunto 3 possui 11 elementos, e portanto é ímpar. O único elemento central neste caso é de
ordem (n+1)/2. Assim, a mediana será o valor do elemento de ordem 6, que, por coincidência, neste caso
também vale 6. Logo, Md=6.
EXEMPLO 4: Este conjunto de dados possui 12 elementos, e portanto n é par. O primeiro valor central é de
ordem n/2 = 12/2 = 6. Assim a mediana será a média entre o 6º e o 7º valores do conjunto, que são
respectivamente 21 e 29. Logo Md=25.
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Cap 4 – MEDIDAS DE POSIÇÃO
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3.2. DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS
Vamos retomar o exemplo de DF da variável discreta Idade dos Alunos de uma Turma com 50 alunos, utilizada
no capítulo 3.
Idade dos Alunos numa Turma (em anos)
xi
fi
17
3
18
18
19
17
20
8
21
4
Σ
50
3.2.1. CÁLCULO DA MÉDIA
Neste caso, a média é calculada como a soma de cada elemento xi multiplicado pelo número de vezes que
esta observação ocorre na amostra, ou seja, pela sua freqüência simples fi, dividida pelo número total de
elementos na amostra (n). A fórmula de cálculo neste caso, é análoga à formula de cálculo para média
ponderada, onde os pesos assumem os valores das freqüências de ocorrência de cada elemento.
x f
x f
x   i i ou x   i i
n
onde
 fi
xi são os valores da variável
fi são as freqüências simples associadas a cada xi
n é o nº de elementos na amostra, que é igual à soma das freqüências fi
 fi , que é o denominador da
equação de cálculo da média. Falta encontrar o valor do numerador da equação representado por  x i  fi . A
estratégia aqui é abrir uma coluna auxiliar na tabela acima, para cálculo dos produtos xixfi para cada classe,
obtendo-se sua soma na linha de totalizações da tabela. Observe abaixo.
Observe que na DF acima, já possuímos o valor da soma das freqüências
xi
17
18
19
20
21
Σ
fi
3
18
17
8
4
50
xixfi
51
324
323
160
84
942
Observe como agora o cálculo da média se torna uma operação muito simples: x 
17 x 3 = 51
942
 18,8 anos .
50
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Considerando que na DF SEM intervalos (VARIÁVEL DISCRETA) não há perda de
detalhes nos valores da variável, a MÉDIA calculada através da Tabela é idêntica à
MÉDIA calculada diretamente sobre os DADOS BRUTOS (à mão ou com o Excel), NÃO
EXISTINDO neste caso o denominado erro de agrupamento.
3.2.2. CÁLCULO DA MODA
Em uma amostra de dados agrupados em DF sem intervalos de classe, a moda é o valor de xi que ocorre
com a maior freqüência fi. Como f2 é a maior freqüência, então x2 é o valor da moda. Logo, Mo=18 anos.
xi
17
18
19
20
21
fi
3
18
17
8
4
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3.2.3. CÁLCULO DA MEDIANA
Para determinar o valor que divide a distribuição em dois grupos que contenham o mesmo número
elementos, recorre-se à freqüência acumulada, e identifica-se a qual classe pertence o elemento central,
mesma forma que se procedeu para os dados não agrupados. Em função de n ser par ou ímpar e do valor
freqüência acumulada da classe, determina-se o valor da Mediana. Conforme mencionado, necessitamos
DF com a coluna correspondente a Fi, conforme mostrado abaixo.
xi
fi
Fi
17
3
3
18
18
21
19
38
17
20
8
46
21
4
50
50
Σ
de
da
da
da
Em virtude do tamanho da amostra (n) ser par (50), precisamos identificar quais as idades do 25º (n/2) e do
26º (consecutivo) alunos na amostra ordenada (elementos centrais), para calcular a MEDIANA como a média
das idades destes dois alunos. Nosso problema reside então em identificar quais as idades dos dois alunos
centrais, para o que necessitamos da Freqüência Acumulada. Vamos observar o seguinte raciocínio:
A primeira classe (17 anos) contém do 1º ao 3º (F1=3) alunos.
A segunda classe (18 anos) contém do 4º até o 21º (F 2=21) alunos.
A terceira classe (19 anos) contém do 22º até o 38º (F3=38) alunos.
Pergunta-se: em qual classe está o 25º aluno? E o 26º?
Se a 3ª classe agrupa do 22º até o 38º alunos, então o 25º e o 26º estão nesta classe. Assim, o 25º aluno está
na 3ª classe e possui 19 anos e o 26º aluno também está na 3ª classe e também possui 19 anos. Resumindo:
Elementos centrais
25º aluno
tem
26º aluno
tem
Idades
19 anos.
19 anos.
Logo, Md=19 anos (média de 19 anos e 19 anos).
Suponha agora que na turma acima, tenham ingressado 4 alunos com 20 anos e 3 alunos com 21 anos. A
nova DF da turma passaria a ser:
xi
17
18
19
20
21
Σ
fi
3
18
17
12
7
57
Fi
3
21
38
50
57
Qual seria a nova MEDIANA?
Como agora n é ímpar, existe um único valor central, que é o elemento de ordem (57+1)/2 = 29º. Qual a
classe que contém o 29º aluno? Observa-se que o 29º aluno está na 3ª classe. Qual a IDADE do 29º aluno? A
idade do 29º aluno é 19 anos. Logo, Md=19 anos (idade do elemento central único).
3.3. DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS
Vamos retomar o exemplo de DF da variável contínua Salário dos Empregados da Empresa X, utilizada no
capítulo 3.
Salários ($)
200 |---- 300
300 |---- 400
400 |---- 500
500 |---- 600
600 |---- 700
700 |---- 800
Σ
fi
2
3
13
11
9
2
40
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3.3.1. CÁLCULO DA MÉDIA
A fórmula de cálculo neste caso, é idêntica à formula para dados agrupados sem intervalos, com a diferença
de que aqui estaremos (por convenção) assumindo que a freqüência da classe ocorre para o ponto médio da
classe.
x f
x f
x   i i ou x   i i
n
 fi
onde
xi são os pontos médios dos intervalos de classes
fi são as freqüências simples associadas a cada xi
n é o nº de elementos na amostra, que é igual à soma das freqüências fi
Observe que, como no caso de DF sem intervalos, aqui também já possuímos o valor da soma das freqüências
 fi , que é o denominador da equação de cálculo da média. Falta encontrar o valor do numerador da equação
representado por  x i  fi . Ocorre que neste caso, xi representa os pontos médios das classes, o que vai
requerer agora a abertura de duas colunas auxiliares na DF anterior: uma coluna para cálculo de xi e outra
para cálculo dos produtos xixfi para cada intervalo de classe. Observe abaixo.
Salários ($)
200 |---- 300
300 |---- 400
400 |---- 500
500 |---- 600
600 |---- 700
700 |---- 800
Σ
Logo, x 
fi
2
3
13
11
9
2
40
xi
250
350
450
550
650
750
xixfi
500
1050
5850
6050
5850
1500
20800
2 x 250 = 500
 x i  fi  20800 = $520,00
40
 fi
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Em virtude da aproximação feita de que os pontos médios dos intervalos
representam o valor de todos os elementos contidos em cada intervalo, EXISTE
neste caso o denominado erro de agrupamento. A média calculada a partir da DF
difere daquela calculada a partir da TABELA PRIMITIVA ou ROL. Recomenda-se neste
caso utilizar a DF apenas para apresentação TABULAR e GRÁFICA, enquanto os
cálculos de MEDIDAS ESTATÍSTICAS devem ser desenvolvidos com o Excel a partir da
TABELA PRIMITIVA ou do BANCO DE DADOS da pesquisa.
3.3.2. CÁLCULO DA MODA
A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. Pela definição, afirmamos que a
moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal.
3.3.2.1. Moda Bruta
O método mais simples para o cálculo da moda (moda bruta) consiste em tomar o ponto médio da classe
modal. A CLASSE MODAL é a classe que apresenta a maior freqüência simples absoluta.
Classe Modal
Salários ($)
200 |---- 300
300 |---- 400
400 |---- 500
500 |---- 600
600 |---- 700
700 |---- 800
Σ
fi
2
3
13
11
9
2
40
xi
250
350
450
550
650
750
Na DF de exemplo, a MODA BRUTA é Mo=$450,00
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3.3.2.2. Moda Exata ou Moda de Czuber
É uma medida mais precisa, pois leva em consideração as freqüências das classes anterior à modal, da
classe modal e da classe posterior à classe modal.
Mo  lmo 
D1
 h
D1  D2
onde:
lmo – limite inferior da classe modal
fmo – freqüência absoluta da classe modal
fant – freqüência absoluta da classe anterior à classe modal
fpos – freqüência absoluta da classe posterior à classe modal
h – amplitude do intervalo de classe
D1 = fmo – fant e D2 = fmo - fpos
Salários ($)
Classe Modal
200
300
400
500
600
700
Σ
|---|---|---|---|---|----
300
400
500
600
700
800
fi
2
3
13
11
9
2
40
xi
250
350
450
550
650
750
Identificando componentes da fórmula:
mo=400;
D1=13-3=10;
D2=13-11=2;
Mo  400 
h=500-400=100
10
 100  $483,33
10  2
3.3.3. CÁLCULO DA MEDIANA
Para determinar a mediana dos dados agrupados em tabelas com intervalos de classes, devemos seguir os
seguintes passos:
a) Determinar as freqüências acumuladas absolutas.
b) Calcular a ordem do elemento mediano n/2 ou equivalentemente nxP, onde P=50% (0,50)
c) Identificar a classe correspondente à freqüência acumulada imediatamente superior a n/2, que é a classe
que contém a mediana, para em seguida aplicar a fórmula:
Md  lmed 
n / 2  Fant   hmed
fmed
onde
lmed = limite inferior da classe mediana
fmed = freqüência absoluta da classe mediana
Fant = freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana
hmed = amplitude do intervalo da classe mediana
NOTA: No caso de VARIÁVEIS CONTÍNUAS, não é necessário identificar se n é par ou ímpar.
EXEMPLO DE CÁLCULO:
Salários ($)
200
|---- 300
300
|---- 400
400
|---- 500
500
|---- 600
600
|---- 700
700
|---- 800
Σ
Classe Medianal
fi
2
3
13
11
9
2
40
Fi
2
5
18
29
38
40
1ª Classe com F maior
ou igual a n/2 (20).
Identificando componentes da fórmula:
(n/2) ou (50% de n)=20;
Classe Mediana=4ª;
Md  500 
lmed=500;
fmed=11;
hmed=100;
Fant=18
(20  18 )
2
 100  Md  500 
 100  Md  $518,18
11
11
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ESTATÍSTICA I
Cap 4 – MEDIDAS DE POSIÇÃO
Prof Me Aloizio Magrini
Visando proporcionar um melhor entendimento da fórmula de cálculo da mediana para VARIÁVEIS CONTÍNUAS,
vamos aplicar os mesmos conceitos utilizados na determinação da mediana no caso de VARIÁVEIS DISCRETAS.
Foi visto que a primeira providência é identificar, através das freqüências acumuladas, qual a classe
mediana, ou seja, a classe que contém o elemento de ordem (n/2). No caso de exemplo, identifica-se a 4ª
classe como a classe mediana, pois ela agrupa os elementos de ordem 19º ao 29º. Como conseqüência,
sabemos que o 20º elemento, que é pertencente a esta classe, possui então um salário de $500 a menos de
$600. Mas como determinar exatamente, ou pelo menos com maior precisão do que $500|---$600, qual o valor
do salário do elemento central da distribuição (20º elemento)?
A hipótese subjacente ao modelo de cálculo adotado, é de que os elementos pertencentes à classe mediana
se distribuem uniformemente no intervalo delimitado pela classe. Com base nessa premissa, podemos
antever que o resultado propiciado pela fórmula é apenas uma aproximação do valor procurado, pois não há
garantias sobre a uniformidade assumida. Vamos examinar no caso do exemplo, através da ilustração abaixo,
qual o tratamento adotado pelo modelo de cálculo.
A linha diagonal unindo as freqüências acumuladas da 3ª e 4ª classe, 18 e 29 respectivamente, representa
justamente a uniformidade assumida por hipótese. Sabemos que a 4ª classe ($500|---$600) contém os
elementos de ordem 19º ate o 29º (11 elementos). O modelo de uniformidade na distribuição dos elementos
impõe que o 19º elemento possui o salário de $500 e que o 29º elemento recebe aproximadamente $600 (na
verdade, 599,9999...).
Nota-se assim que a uma variação de 11 elementos (do 19º ao 29º ou 29-18=11) correspondeu uma variação
salarial de $100 ($600-$500). A pergunta a ser respondida, é quanto devemos adicionar (x) ao salário do 18º
elemento ($500), para uma variação de 2 elementos (20º - 18º), de forma que tal variação se dê na mesma
proporção apresentada pelos limites da 4ª classe? A solução da questão está na aplicação do critério de
proporcionalidade (assumido na hipótese de distribuição uniforme), conforme mostra a ilustração acima.
Montamos assim a famosa “regra de três” mostrada na figura acima, ou seja:
Variação de 11 elementos (fmed) implica numa variação salarial de $100 (hmed).
Variação de 2 elementos (n/2 – Fant) deve provocar uma variação de $x.
2  100
2
 100 , e cujos valores são originados
, que pode ser escrita também na forma x 
11
11
(n / 2  Fant )
 hmed . Para completar o cálculo da MEDIANA, é preciso adicionar o valor de x (18,18) ao
de x 
fmed
limite inferior da classe mediana lmed (500), obtendo-se Md=518,18. Então, o cálculo que fizemos da Mediana
2
 100 . Retornando os valores utilizados neste cálculo à suas origens, verificamos que a
foi Md  500 
11
Mediana foi calculada como:
(n / 2  Fant )
Md  lmed 
 hmed
fmed
A solução é: x 
que é exatamente a fórmula de cálculo da Mediana já apresentada.
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Cap 4 – MEDIDAS DE POSIÇÃO
ESTATÍSTICA I
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Cabe ressaltar que o critério de uniformidade na distribuição dos elementos dentro de um intervalo, foi
utilizado no cálculo da MODA, é utilizado no cálculo da MEDIANA, e será utilizado no cálculo de SEPARATRIZES,
conforme será visto adiante.
4. PROPRIEDADES DA MÉDIA
Vimos que a definição de Média envolveu o conceito de Somatório. Aplicando-se as propriedades deste tipo de
notação à formulação da Média, podemos derivar algumas propriedades que serão muito úteis em algumas
situações, permitindo-nos adiantar resultados sem a necessidade de efetuarmos extensos cálculos.
4.1. 1ª PROPRIEDADE: SOMA DE DESVIOS NULA
Define-se DESVIO EM RELAÇÃO À MÉDIA, como a diferença entre o valor de um elemento de um conjunto de
dados, e o valor da média deste conjunto.
Di  x i  x
1ª PROPRIEDADE
A soma algébrica de todos os desvios em relação à média é nula.
Formulação matemática:
n
 Di  0
i1
EXEMPLO: Seja o conjunto de dados 5, 6, 7, 8, 9, cuja média é facilmente identificável como sendo o valor 7.
Valores xi
5
6
7
8
9
Média=7
Di=(xi – Média)
-2
-1
0
1
2
ΣDi = 0
4.2. 2ª PROPRIEDADE: SOMA DE CONSTANTE
2ª PROPRIEDADE
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante ‘C’ a todos os valores de uma
variável, a MÉDIA do conjunto fica aumentada (ou diminuída) desta constante.
Se Yi  Xi  C  Y  X  C
Formulação matemática:
EXEMPLO: Seja o conjunto de dados 5, 6, 7, 8, 9, e seja C=3. Se Y=X+C, teremos:
Valores Xi
Valores Yi
5
8
6
9
7
10
8
11
9
12
Média=7
Média=10
4.3. 3ª PROPRIEDADE: PRODUTO POR CONSTANTE
3ª PROPRIEDADE
Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma
constante ‘K’, a MÉDIA do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por esta constante.
Se Yi  Xi.K  Y  X.K
Formulação matemática.
EXEMPLO: Seja o mesmo conjunto de dados anterior, e seja K=2. Se Y=XxK, teremos:
Valores Xi
Valores Yi
5
10
6
12
7
14
8
16
9
18
Média=7
Média=14
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4.4. APLICAÇÃO DAS PROPRIEDADES
Retomemos a Distribuição de Freqüências da variável Salários da Empresa X.
Salários ($)
200 |---- 300
300 |---- 400
400 |---- 500
500 |---- 600
600 |---- 700
700 |---- 800
Σ
No item 3.3.1. calculamos a Média como sendo x 
fi
2
3
13
11
9
2
40
xi
250
350
450
550
650
750
xixfi
500
1050
5850
6050
5850
1500
20800
 x i  fi  20800 = $520
40
 fi
Suponha agora que a Empresa X tenha concedido a todos seus funcionários um aumento salarial de 10%, e
também um abono de $60 a título de ajuda para transporte. Qual seria o novo SALÁRIO MÉDIO na Empresa X?
O procedimento habitual seria recalcular o salário de todos os 40 funcionários, montar uma nova DF e então
calcular a média para essa nova DF. No entanto, considerando que a empresa vai aplicar os aumentos
concedidos igualmente a todos os funcionários, esta condição nos permite aplicar as propriedades da média
conforme a seguir:
a) todos os funcionários terão seus salários aumentados em 10%. Logo, um funcionário cujo salário fosse ‘x’
passaria, em função deste aumento percentual, a receber x+10%x que totaliza 1,10x. Identificamos aqui um
fator multiplicador para todos os salários de valor 1,10.
b) todos os funcionários passarão a receber adicionalmente uma quantia fixa de $60 a título de ajuda
transporte. Logo, um funcionário cujo salário fosse ‘x’ passaria, em função deste abono (quantia fixa), a receber
x+$60. Identificamos aqui um fator aditivo para todos os salários no valor fixo de $60.
Observe que teremos que aplicar simultaneamente duas propriedades da média: a da soma de constante e a
do produto por constante. Formulando matematicamente o problema, temos que se xi representa o salário
atual de cada funcionário, o novo salário de cada funcionário, que denominaremos por yi, estará relacionado
com o anterior desta forma:
Yi  1,10  Xi  60
Assim, se o salário médio atual é $520, a aplicação dos dois tipos de aumento concedidos levará o novo salário
médio para y  1,10  520  60 , que resulta no valor $632.
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Somente podemos antecipar resultados através da aplicação de propriedades da média,
se a alteração for aplicada igualmente a todos os elementos do conjunto.
5. ANÁLISE COMPARATIVA DAS MEDIDAS DE POSIÇÃO
Analisando as definições e formas de cálculo das três medidas estatísticas MÉDIA, MODA e MEDIANA, podemos
destacar as vantagens e desvantagens de cada uma destas medidas. A escolha sobre qual (ou quais) destas
medidas utilizar para mostrar (ou enfatizar) a tendência dos valores de se agruparem em torno de valores
centrais, ou mesmo para nos dar uma idéia sobre como o conjunto de valores está posicionado em seu eixo de
valores, depende fundamentalmente do tipo de análise que se pretende desenvolver na pesquisa realizada.
O quadro a seguir reúne as principais características de cada uma das três medidas estatísticas estudadas.
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PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DAS MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA
VANTAGENS
DESVANTAGENS
Fácil de calcular.
Pode estar afastada do centro dos dados.
Não é afetada pelos dados extremos.
Difícil de incluir em funções matemáticas.
Pode ser aplicada em qualquer escala: nominal, A amostra pode ter mais de uma moda e algumas
ordinal, intervalar e razão (ou proporcional).
amostras podem não ter moda.
Não utiliza todos os dados da amostra.
MEDIANA
VANTAGENS
Fácil de calcular.
Não é afetada pelos dados extremos.
É um valor único.
Aplicável em escalas ordinal, intervalar e razão.
DESVANTAGENS
Difícil de incluir em funções matemáticas.
Não utiliza todos os dados da amostra.
MÉDIA
VANTAGENS
Fácil de compreender e aplicar.
Utiliza todos os dados da amostra.
É um valor único.
Aplicável em escalas intervalar e razão.
DESVANTAGENS
É afetada pelos dados extremos da amostra.
Requer o conhecimento de todos os dados da
amostra.
6. POSIÇÃO RELATIVA DA MÉDIA, MODA E MEDIANA
Embora o conceito de simetria não tenha sido introduzido ainda, é muito fácil de ser entendido e será
necessário para verificarmos como a forma de uma DF influencia os valores das três medidas de posição.
Numa distribuição de freqüências SIMÉTRICA em relação à MÉDIA, os valores da MÉDIA, MODA e MEDIANA
coincidem, e não é difícil de visualizarmos este fato. Uma distribuição é ASSIMÉTRICA POSITIVA quando os
valores de seu extremo superior estão mais afastados da MÉDIA que seus valores do extremo inferior,
resultando num contorno que apresenta uma cauda mais longa na direção do extremo superior dos valores.
No item anterior foi enfatizado que a MÉDIA é a única medida de posição que é afetada pelos valores extremos.
A ASSIMETRIA POSITIVA afeta a MÉDIA ‘puxando-a’ em sua direção, ou seja, na direção da cauda mais longa
que é a superior. Observe o que acontece com as três medidas de posição neste caso.
Reciprocamente, uma ASSIMETRIA NEGATIVA apresenta uma cauda mais longa na direção dos valores extremos
inferiores, o que afeta a MÉDIA ‘puxando-a’ também na direção dos valores extremos inferiores.
A MODA é facilmente identificável em ambos os casos: é a ordenada correspondente ao pico (máximo) de
freqüência. Diante da constatação de que a cauda mais longa traz a MÉDIA para seu lado, é fácil percebermos
que a cauda mais longa acaba por puxar para seu lado a MEDIANA também, quando confrontada com a MODA.
Assim, mesmo sem calcular os valores das três medidas, dependendo da forma (gráfico) da DF, podemos
estabelecer as relações acima entre as três medidas.
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7. MEDIDAS SEPARATRIZES
A mediana divide uma série de valores em dois grupos, cada um deles contendo 50% dos elementos da
amostra. Outras proporções entre grupos na separação de uma série de dados podem ser definidas, gerando o
conjunto de medidas denominado de SEPARATRIZES. As Separatrizes mais comuns são:
QUARTIS: Q1 , Q2 , Q3 (25%, 50%, 75%)
DECIS: D1 , D2 , ...., D9 (10%, 20%,...90%)
PERCENTIS: P10 , P45 , P75 , etc.
Observe que a MEDIANA corresponde ao segundo Quartil (Q2) e também ao Percentil P50.
O método de cálculo de SEPARATRIZES é análogo ao método de cálculo da MEDIANA, adaptando-se a proporção
de separação n/2 (ou 50%) à esquerda ou abaixo da MEDIANA, para a proporção especificada pela
SEPARATRIZ, que assim passa a ser representada por nxp, onde p é a proporção desejada (0,10; 0,20;
0,25;.....;0,75; 0,80; 0,90;....) de elementos à sua esquerda ou abaixo dela..
Para determinar uma SEPARATRIZ de qualquer ordem em dados agrupados em tabelas com intervalos de
classes, a exemplo do que ocorre com a MEDIANA, devemos seguir os seguintes passos:
a) Determinar as freqüências acumuladas.
b) Calcular o elemento separador np
c) Marcar a classe correspondente à freqüência acumulada imediatamente superior a np, que é a classe que
contém a separatriz desejada, para em seguida aplicar a fórmula:
Sep  lsep 
(n  p  Fant )
 hsep
fsep
onde:
n = número de elementos na amostra
p = percentual de elementos deixados à esquerda (ou abaixo)
lsep = limite inferior da classe que contém a separatriz
fsep = freqüência absoluta da classe que contém a separatriz
Fant = freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém a separatriz
hsep = amplitude do intervalo da classe que contém a separatriz
EXEMPLO:
Vamos calcular P71 para a DF de Salários da Empresa X.
Fi
Salários ($)
fi
200
|---- 300
2
2
300
|---- 400
3
5
400
|---- 500
13
18
500
|---- 600
11
29
600
|---- 700
9
38
700
|---- 800
2
40
Σ
40
Identificação dos componentes da fórmula:
nxp = 40x0,71 = 28,4; lsep = $500; fsep = 11; Fant = 18; hsep = 100
Aplicando a fórmula temos: P71  500 
1ª Classe com F maior
ou igual a 28,4 (71%).
28,4  18
 100 que fornece o resultado P71 = $594,55.
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Cap 4 – MEDIDAS DE POSIÇÃO
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8. MEDIDAS DE POSIÇÃO NO EXCEL
Quando se dispõe de um aplicativo como o Excel, utilizaríamos a DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS apenas para a
apresentação tabular e gráfica dos dados. Todas as Medidas Estatísticas podem (e devem) ser calculadas
através de funções do Excel, pois além do cálculo ser muito mais rápido que os cálculos manuais, as funções
podem ser aplicadas diretamente aos Dados Brutos (Tabela Primitiva ou Banco de Dados), o que torna os
resultados mais precisos, como vamos observar adiante. As funções do Excel para Medidas de Posição são:
MÉDIA
Função MÉDIA(núm1;núm2; ...)
núm1; núm2;... são de 1 a 30 argumentos numéricos para os quais se deseja obter a média.
COMENTÁRIOS:
a) Os argumentos devem ser números ou eles devem ser nomes, matrizes ou referências que
contenham números.
b) Se uma matriz ou argumento de referência contiver texto, valores lógicos ou células vazias, estes
valores serão ignorados; no entanto, células com valor zero serão incluídas.
MODA
Função MODO(núm1;núm2;...)
núm1, núm2,...são argumentos de 1 a 30 para os quais se deseja calcular a Moda. Pode-se usar
também uma única matriz ou referência a uma matriz em vez de argumentos separados por pontos-evírgulas.
COMENTÁRIOS
a) Os argumentos devem ser números ou nomes, matrizes ou referências que contenham números.
b) Se uma matriz ou argumento de referência contiver texto, valores lógicos ou células vazias, estes
valores serão ignorados; no entanto, células com valor zero serão incluídas.
c) Se o conjunto de dados não contiver pontos de dados duplicados, MODO retornará o valor de erro
#N/D.
MEDIANA
Função MED(núm1;núm2;...)
núm1; núm2;...são de 1 a 30 números dos quais se deseja obter a mediana.
COMENTÁRIOS
a) Os argumentos devem ser números ou nomes, matrizes ou referências que contenham números. O
Excel examina todos os números em cada argumento de referência ou matriz.
b) Se uma matriz ou argumento de referência contiver texto, valores lógicos ou células vazias, estes
valores serão ignorados; no entanto, células com valor zero serão incluídas.
c) Se houver uma quantidade par de números no conjunto, MED calculará a média dos dois números
do meio.
PERCENTIL
Função PERCENTIL(matriz;k)
matriz é a matriz ou intervalo de dados que se quer definir a posição relativa.
k é o valor do percentil no intervalo 0...1, inclusive.
COMENTÁRIOS
a) Se matriz estiver vazio ou contiver mais de 8.191 pontos de dados, PERCENTIL retornará o valor de
erro #NÚM!.
b) Se k não for numérico, PERCENTIL retornará o valor de erro #VALOR!.
c) Se k for < 0 ou se k > 1, PERCENTIL retornará o valor de erro #NÚM!.
d) Se k não for um múltiplo de 1/(n - 1), PERCENTIL interpolará para determinar o valor no k-ésimo
percentil.
QUARTIL
Função QUARTIL(matriz;quarto)
matriz é a matriz ou intervalo de célula de valores numéricos cujo valor quartil você deseja obter.
quarto indica o valor a ser retornado.
Se quarto for igual a (0 a 4), QUARTIL retornará
0 Valor mínimo
1 Primeiro quartil (25º percentil)
2 Valor médio (50º percentil)
3 Terceiro quartil (75º percentil)
4 Valor máximo
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ESTATÍSTICA I
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CONTINUAÇÃO DE QUARTIL
COMENTÁRIOS
Se a matriz estiver vazia, QUARTIL retornará o valor de erro #NÚM!.
Se quarto não for um número inteiro, será truncado.
Se quarto < 0 ou se quarto > 4, QUARTIL retornará o valor de erro #NÚM!.
MÍNIMO, MED e MÁXIMO retornarão o mesmo valor que QUARTIL quando quarto for igual a 0, 2 e 4,
respectivamente.
Vamos verificar os resultados dos cálculos feitos à mão com os resultados obtidos com as funções do Excel.
No caso da variável Idade dos Alunos, o cálculo de medidas feito à mão sobre a DF SEM intervalos resultou
em: média=18,8; Mo=18; Md=19. Observa-se que NÃO houve perda de precisão no cálculo.
No caso da variável Salários, o cálculo de medidas feito à mão sobre a DF COM intervalos resultou em:
média=520,00; Mo=483,33; Md=518,18. Observa-se neste caso a ocorrência do que denominamos de erro de
agrupamento, introduzido pelo agrupamento de valores da variável em INTERVALOS.
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Prof Me Aloizio Magrini
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Calcule MÉDIA, MODA BRUTA e MODA DE CZUBER (quando for o caso), MEDIANA , Q1 e Q3 para todas as séries
de dados a seguir:
1. DADOS NÃO AGRUPADOS
a) 2, 3, 5, 4, 5, 2, 5, 7
b) 4, 12, 5, 9, 12, 4, 3
c) 7, 7, 7, 7, 7
d) 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11
e) 2, 5, 9, 8, 10, 12
2. DADOS AGRUPADOS. Responda também qual medida representa melhor a série.
a)
i
1
2
3
4
xi
2
3
4
5
Total
fi
1
7
2
2
Fi
xi x fi
i
1
2
3
4
5
Nº Acidentes por Dia
0
1
2
3
4
Total
Nº Dias
30
5
3
1
1
Fi
xi x fi
i
1
2
3
4
5
Salários em R$
1.000
|---1.200
1.200
|---1.400
1.400
|---1.600
1.600
|---1.800
1.800
|---2.000
Total
Nº Func.
2
6
10
5
2
Fi
xi x fi
xi
i
1
2
3
4
5
6
Valor da Venda R$$
0
|---50
50
|---100
100
|---150
150
|---200
200
|---250
250
|---300
Total
Nº de NF
Fi
xi x fi
xi
b)
c)
i)
10
28
12
2
1
1
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ESTATÍSTICA I
Prof Me Aloizio Magrini
e)
i
1
2
3
4
5
i
1
2
3
4
5
6
0
2
4
6
8
Notas
|---|---|---|---|---Total
2
4
6
8
10
150
160
170
180
190
200
Altura (cm)
|---|---|---|---|---|---Total
160
170
180
190
200
210
Nº Alunos
Fi
xi x fi
xi
Fi
xi x fi
xi
5
20
12
20
3
f)
Nº Alunos
2
15
18
18
16
1
17/17