26 Desafio de Matemática para a 8 Série ª

26º Desafio de Matemática para a 8ª Série
2007
RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES
Obs.: esta resolução é da Turma A. As questões da Turma B são as mesmas, em ordem
diferente.
reprodução proibida
Turma A
123
MATEMÁTICA
IMPORTANTE:
Nos testes de 01 a 10, além de indicar a alternativa de sua escolha na folha de respostas, você deve escrever a justificativa
(os cálculos, etc.) no espaço reservado a ela.
01. No diagrama ao lado ST é paralelo a UV. Qual é o valor de x?
a) 46
b) 48
c) 86
d) 92
e) 94
P
x°
134°
132°
V
U
S
T
Resposta:
$ mede180o − 134 o = 46 o e, sendo UV paralelo a ST, o ângulo externo de T do triânguO ângulo PST
$ ) + m (SPT
$ ) = 132o ⇔ 46 o + x o = 132o ⇔ x = 86.
lo PST mede 132o . Assim, m (PST
P
x°
134°
S
U
46°
132°
V
132°
T
02. As letras A, B e C representam três algarismos não-nulos distintos.
+
A
Qual é o valor de A + B + C?
a) 19
b) 18
c) 17
A
A
B
B
C
C
B
C
d) 16
e) 15
Resposta:
Observando que o número de dois algarismos (AA) é igual a10A + A = 11A e que o número de três algarismos (ABC) é igual a
100A + 10B + C , temos11A + 11B + 11C = 100A + 10B + C ⇔ 89A = 10C + B . Ou seja, 89A é igual ao número de dois algarismos (CB ). Como A não é zero, A = 1 e (CB ) é 89, isto é, C = 8 e B = 9.
Portanto A + B + C = 1 + 9 + 8 = 18.
2
turma A
123
ETAPA
Texto para as questões 03 e 04.
Arnaldo, Bernardo e Carlos correm diariamente para manter a boa forma. Arnaldo percorre 1 km em 4 min; Bernardo, 1 km em 5 min; e Carlos, 1 km em 3 min.
Eles pretendem participar de uma prova de 40 km por equipe.
03. Suponha que Carlos comece a corrida e vá até um certo ponto e depois Bernardo assuma até o final, de modo que cada
um corra o mesmo tempo. Quantos quilômetros Carlos terá corrido?
a) 15
b) 20
c) 25
d) 30
e) 40
Resposta:
Seja t o tempo, em min, que cada um gastou na corrida. A velocidade de Bernardo é
1
km/min e a velocidade de Carlos é
5
1
1
1
1
km/min. Assim, t +
⋅ 75 = 25 km.
t = 40 ⇔ t = 75 min e Carlos terá corrido
3
5
3
3
04. Suponha agora que, antes de Carlos, Arnaldo corra e que, no final da prova, os três tenham corrido o mesmo tempo.
Quantos minutos, aproximadamente, cada um terá de correr?
a) 40
b) 50
c) 60
d) 70
e) 80
Resposta:
Seja x o tempo, em min, que cada um gastou na corrida. A velocidade de Arnaldo é
Carlos é
1
1
km/min, a de Bernardo é km/min e a de
4
5
2 400
1
1
1
1
km/min. Portanto t + t +
t = 40 ⇔ t =
min ≅ 50 min.
3
4
5
3
47
05. Maria acerta 70% de uma prova de 10 testes, 80% de uma prova de 20 testes e 90% de uma prova de 30 testes. Se as
três provas formassem uma prova de 60 testes, que porcentagem dos testes ela teria acertado?
a) 91%
b) 89%
c) 87%
d) 85%
e) 83%
Resposta:
Maria acertou um total de 70% ⋅ 10 + 80% ⋅ 20 + 90% ⋅ 30 = 7 + 16 + 27 = 50 testes, que representam
50
⋅ 100% ≅ 83%
60
de uma eventual prova de 60 testes.
06. Um torneio de tênis de mesa é disputado por seis pessoas. Jogos de tênis de mesa não podem terminar empatados.
Cada pessoa enfrentou uma vez cada uma das demais. Se Helena venceu quatro jogos, Inês venceu três jogos, Janete venceu dois jogos, Cátia venceu dois jogos e Lara venceu dois jogos, quantos jogos foram vencidos por Mônica?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Resposta:
Como cada pessoa deve jogar 5 vezes e cada jogo envolve duas pessoas, assim há um total de
6⋅5
= 15 jogos. Portanto Mô2
nica ganhou 15 − 4 − 3 − 2 − 2 − 2 = 2 jogos.
07. Todos os quadradinhos do diagrama são do mesmo tamanho. Que fração do quadrado maior está pintada?
9
9
3
3
1
a)
b)
c)
d)
e)
20
16
7
5
2
Resposta:
Da simetria da figura, podemos dividir o quadrado em nove quadrados menores:
ETAPA
3
turma A
123
Note que as retas traçadas dividem os quadrados brancos menores em quatro triângulos retângulos isósceles. Então,
em cada um dos nove quadrados da divisão, os vértices do quadradinho pintado correspondente são os pontos médios
dos lados.
Assim, podemos dividir cada um dos nove quadrados em oito triângulos congruentes menores, quatro deles pintados. Logo a
1
metade de cada quadrado está pintada e, portanto, a fração pintada no quadrado maior é
.
2
08. Qual é o valor numérico da expressão
a)
3
2
b)
5
3
x2 + 5 x + 6
x2 + 4 x + 4
7
c)
5
para x =
1
?
2
d)
5
7
e)
3
5
Resposta:
Sendo −3 e −2 as raízes da equação x 2 + 5x + 6 = 0, podemos fatorar x 2 + 5x + 6 = (x − (−2))(x − (−3))
= (x + 2)(x + 3). Além disso, x 2 + 4 x + 4 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 2 + 22 = (x + 2)2 .
1
+3
2
x
2
x
3
+
+
(
)(
)
x +3
7
1 x + 5x + 6
Logo para x =
,
.
=
=
= 2
=
2
1
x
2
5
2 x 2 + 4x + 4
+
(x + 2)
+2
2
09. A tabela a seguir mostra os resultados de uma pesquisa feita por uma estação de rádio. Infelizmente, alguns dados
foram perdidos. Qual é a porcentagem de homens que sintonizam a estação?
Sintonizam
Não sintonizam
26
Homens
∗ a) 39
Total
Mulheres
58
Total
136
b) 48
96
64
200
c) 52
d) 55
e) 75
Resposta:
Completando a tabela, obtemos:
Homens
Sintonizam
136 − 58 = 78
Não sintonizam
26
Total
200 − 96 = 104
Mulheres
58
64 − 26 = 38
96
Total
136
64
200
78
⋅ 100% = 75%.
104
(∗) Pode-se calcular o percentual também sobre o total de pessoas ou sobre o total daqueles que sintonizam a estação. Essas
interpretações também foram consideradas corretas.
Desse modo, 78 dos 104 homens sintonizam a estação: uma porcentagem de
10. Qual é o único dígito d tal que os dois números de 3 algarismos que obtemos no diagrama ao lado
(1d3 e 5d7) são ambos primos?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
5
1 d 3
7
Resposta:
Um número é múltiplo de 3 se, e somente se, a soma de seus algarismos é múltiplo de 3. Logo d não pode ser igual a 0, 3, 6 ou 9
(pois 5 + d + 7 = 12 + d seria múltiplo de 3 e, portanto, 5d 7 seria múltiplo de 3, ou seja, composto), nem a 2, 5 ou 8 (pois
1 + d + 3 = 4 + d seria múltiplo de 3 e, conseqüentemente, 1d 3 seria múltiplo de 3). Sobram, então, somente as possibilidades d = 1, d = 4 e d = 7.
Mas, observando que 517 = 11 ⋅ 47 e143 = 11 ⋅ 13, temos que d não pode ser 1 nem 4. Finalmente, as divisões a seguir mostram que 173 e 577 são ambos primos, de modo que d = 7.
173
33
5
7
24
173
63
8
11
15
173
43
4
13
13
173
3
3
17
10
577
17
3
7
82
577
27
5
11
52
577
57
5
13
44
577
67
16
17
33
577
7
7
19
30
577
117
2
23
25
577
287
26
29
19
4
turma A
11. Qual é o resto da divisão de 2 156 490 775 por 7?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
12. Em um jogo de handebol, durante o primeiro tempo
apenas o Flameiras marcou gols em sua partida contra o Fluríntians. No segundo tempo, cada equipe marcou 3 gols.
Sabendo que, ao final do jogo, o Flameiras marcou 90% dos
gols, qual fração dos gols ocorreu durante o segundo tempo?
3
3
1
9
1
b)
c)
d)
e)
a)
100
50
10
50
5
13. Os pontos P, Q, R e S estão, nessa
ordem,
sobre
uma
reta,
com P
PQ = QR = RS = 2 cm. Semicircunferências com diâmetros PQ, QR, RS e SP
são desenhadas formando a figura ao lado.
Qual é a área, em cm 2 , da figura?
9π
7π
a) 5π
b)
c) 4π
d)
2
2
Q R
S
17. Considere as seguintes afirmações sobre a equação
x2 − x − 1 = 0:
1) Possui duas raízes reais distintas.
2) Possui duas raízes reais iguais.
3) A soma das suas raízes é igual a 1.
4) O produto das suas raízes é igual a 1.
Então são verdadeiras:
a) 1 e 3.
b) 1 e 4.
c) 2 e 3.
d) 2 e 4.
e) 3 e 4.
18. Quando as seguintes frações são colocadas em ordem
crescente, qual delas ficará na posição central?
a) −
b)
e) 3π
14. Colocamos três algarismos não-nulos distintos na
linha inferior do diagrama a seguir. Números em células
vizinhas são adicionados e a soma é colocada na célula
acima delas. Na segunda linha o mesmo processo é repetido para obtermos o número da célula superior. Qual é a diferença entre o maior e o menor número que pode ser
obtido na célula superior?
ETAPA
123
1
2 007
1
2 006
c) −
d)
1
2 005
e) −
1
2 003
1
2 004
19. Ricardinho tem um paralelepípedo de massinha medindo 2 cm por 3 cm por 6 cm. Ele quer cortá-lo em cubos
cujas arestas medem um número inteiro de centímetros.
Qual é o menor número de cubos que ele pode obter?
a) 3
b) 8
c) 15
d) 29
e) 36
20. Qual é o máximo divisor comum de 2 008 2 e 22 008 ?
a) 8
b) 64
c) 512
d) 4 096
e) 2251
21. Qual é o valor de 0,1 + 0,2 + 0,3 ⋅ 0,4?
a) 0,24
b) 0,312
c) 0,42
d) 1,0
e) 1,5
+
+
a) 16
b) 24
22. Dizemos que um número inteiro positivo n é perfeito
quando a soma dos divisores positivos de n é igual a 2n. Por
exemplo: 28 é perfeito, pois 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 2 ⋅ 28.
Qual é o menor número perfeito?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
+
c) 25
d) 26
e) 35
15. Alberto parte de Macrópolis para Grandópolis às
8h30min, indo de bicicleta, a 12 km/h. Gilberto parte de
Grandópolis para Macrópolis às 9 h, indo também de bicicleta, a 16 km/h. Ambos utilizam a mesma estrada, a
Transmegalônia, que tem 62 km. A que horas eles se encontram?
a) 9h30min
c) 10h15min
e) 11 h
b) 10 h
d) 10h30min
16. Dado um grupo de 20 estudantes, considere as seguintes afirmações:
I. Existem pelo menos dois estudantes que nasceram no
mesmo dia do mês.
II. Existem pelo menos dois estudantes que nasceram no
mesmo mês.
III. Existem pelo menos dois estudantes cujos nomes começam pela mesma letra.
Então certamente é(são) verdadeira(s):
a) apenas I.
c) apenas III.
e) II e III.
b) apenas II.
d) I e II.
23. Considere o triângulo retângulo ABC de catetos
AB = 12 cm e BC = 5 cm. Seja θ a medida do ângulo em A.
Qual é o valor de sen2θ + cos2θ + tg 2θ?
144
169
144
169
a) 1
b)
c)
d)
e)
25
25
169
144
24. Ulisses sorteia uma bola de uma urna que tem três
bolas numeradas 1, 2 e 3, depois sorteia outra bola de uma
urna que tem quatro bolas numeradas 2, 4, 6 e 8 e, por fim,
sorteia uma terceira bola de uma urna que tem seis bolas
numeradas 5, 7, 9, 11, 13 e 15. A probabilidade de Ulisses
ter retirado três bolas cuja soma é ímpar é:
1
1
1
2
3
a)
b)
c)
d)
e)
4
3
2
3
4
25. Uma lista de dez números contém duas vezes cada um
dos números 0, 1, 2, 3, 4. Os dois zeros estão um ao lado do
outro, os dois números 1 estão separados por um número,
os dois números 2 por dois números, os dois números 3 por
três números e os dois números 4 por quatro números. A
lista começa 3, 4, ... . Qual é o último número?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
ETAPA
26. Assinale qual das alternativas a seguir não apresenta
uma identidade algébrica:
a) x2 + xy = x( x + y)
b) x2 − y2 = ( x − y)( x + y)
c) x2 + 2 xy + y2 = ( x + y) 2
d) x3 + y3 = ( x + y)( x2 + xy + y2 )
3
2
2
e) x + 3 x y + 3 xy + y
3
= ( x + y)
28. O triângulo eqüilátero XYZ está dividido em quatro triângulos menores.
Iremos pintar dois destes quatro triângulos menores de vermelho e os outros
dois de branco. De quantas maneiras
isto pode ser feito?
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
X
Y
Z
e) Mais de 6.
29. Uma caixa contém moedas de ouro. Se tais moedas fossem divididas igualmente entre seis pessoas, sobrariam
quatro moedas. Se tais moedas fossem divididas igualmente entre cinco pessoas, sobrariam três moedas. Supondo
que a caixa contém o menor número de moedas que satisfaz essas duas condições, quantas moedas sobram quando
as dividimos igualmente entre sete pessoas?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
30. Um pedaço de papel com o formato de um polígono é dobrado através de um eixo de simetria. A folha dupla resultante é dobrada novamente através de um eixo de
simetria. A folha quádrupla então obtida tem o formato de
um triângulo.
Quantos são os possíveis números de lados do polígono original?
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
31. Qual dos seguintes números é o maior?
1
1
1 1
1 1
a)
c) ⋅
e) :
+
2
4
2 4
4 2
b)
1
1
−
2
4
d)
33. Considere um segmento de 2 cm feito com uma lapiseira 0,5 mm. Quantos segmentos iguais a esse são necessários para preencher inteiramente uma área de 1 metro
quadrado?
a) 1 000 000
b) 100 000
c) 10 000
d) 1 000
e) 100
34. O produto
3
27. Thiago é um nadador e treina diariamente. Há um
mês, ele nadava 25 minutos e dava 10 voltas na piscina.
Hoje ele nada 24 minutos e dá 12 voltas na piscina. Ele melhorou o tempo para dar uma volta na piscina em:
a) 30 s
b) 40 s
c) 1 min
d) 2 min
e) 3 min
a) 3
5
turma A
123
1 1
:
2 4
32. Um grande relógio digital mostra cada dígito iluminando até sete barras em um mostrador. Por exemplo, o
mostrador, às 16h37min, tem a aparência a seguir:
a) 1
2 007
4 5 6
é igual a:
⋅
⋅
⋅. . . ⋅
3 4 5
2 006
b) 666
b)
c)
d)
d) 2 006
e) 2 007
35. Qual é a soma dos seis ângulos
marcados?
a) 1 080 o
b) 1 440 o
c) 1 620 o
d) 1 800 o
e) Não é possível determinar.
36. O meu ônibus estava previsto para sair às 17h40min e
chegar às 18h20min. Entretanto ele chegou 5 minutos
atrasado e a viagem durou 42 minutos. A que horas eu cheguei?
d) 18h27min
a) 18h21min
e) 18h29min
b) 18h23min
c) 18h25min
37. O desenho a seguir mostra um quadrado de lado y dividido em um quadrado de lado x e quatro retângulos congruentes. Qual é a medida do maior lado do retângulo?
y
x
( y − x)
2
( y + 2 x)
b)
3
c) y − x
a)
d)
e)
( y + x)
2
2y
3
38. Seja n inteiro positivo tal que n2 − 1 é um número
primo. Então podemos afirmar que n é:
a) par.
b) um quadrado perfeito.
c) um múltiplo de 6.
d) um divisor de 105.
e) composto.
39. Escolhem-se três números dentre os mostrados no quadrado a seguir, incluindo um de cada fileira horizontal e
um de cada fileira vertical. Então os números são multiplicados. Qual é o maior produto que pode ser obtido?
Considerando todos os dígitos de 0 a 9, qual é a barra menos
usada?
a)
c) 669
e)
a) 72
b) 96
1
2
3
4
5
6
7
8
9
c) 105
d) 162
e) 504
6
turma A
40. O professor de João pediu para que ele fizesse um gráfico com todos os pontos (x; y) de inteiros positivos tais que a
área de um retângulo de largura x e comprimento y é 12.
Que gráfico ele deveria ter desenhado?
a)
d)
y
y
x
b)
x
e)
y
y
x
c)
y
x
x
123
ETAPA