Probabilidade

ESTATÍSTICA BÁSICA
86
Probabilidade
No estudo das probabilidades estamos interessados em estudar o experimento aleatório,
isto é, aquele cujo resultado é incerto, embora o conjunto de resultados possíveis seja
conhecido.
Por exemplo, lançar um dado ou uma moeda e observar o resultado obtido constituem
um experimento aleatório. Da mesma forma, sortear uma bola de um conjunto de
bolas numeradas de 1 a 100 também é um experimento aleatório.
Em termos gerais, a probabilidade determina a possibilidade de ocorrer um
determinado resultado.
1. Espaço Amostral (Ω)
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Exemplos:
a) Lançamento de uma moeda: Ω = {c, k} sendo c = cara e k = coroa
b) Lançamento de duas moedas: Ω = { c c, c k, k c, k k }
c) Lançamento de um dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
d) Retirada de uma carta do baralho:
Ω = { A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K ()
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K ()
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K ()
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K () }
e) Vida útil de um componente eletrônico: Ω = { t = IR  t  0 }
2. Evento
A cada experimento está associado um resultado obtido, não previsível, chamado
evento. Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral, sendo
representados por letras maiúsculas A, B, C, D, etc.
Exemplo:
Lançam-se dois dados. Enumerar o espaço amostral e depois os seguintes eventos:
A: saída de faces iguais
B: saída de faces cuja soma seja igual a 10
C: saída de faces cuja soma seja menor que 2
D: saída de faces cuja soma seja menor que 15
E: saída de faces onde uma face é o dobro da outra
F: saída de faces desiguais
Solução:
O espaço amostral desses eventos (todos os resultados possíveis de serem obtidos
no lançamento dos dois dados) está descrito na tabela a seguir:
ESTATÍSTICA BÁSICA
87
Tabela 1 – espaço amostral ( Ω) no lançamento de dois dados
D1/D2
1
2
3
4
5
6
1
1,1
2,1
3,1
4,1
5,1
6,1
2
1,2
2,2
3,2
4,2
5,2
6,2
3
4
5
6
1,3 1,4 1,5 1,6
2,3 ,2,4 2,5 2,6
3,3 3,4 3,5 3,6
4,3 4,4 4,5 4,6
5,3 5,4 5,5 5,6
6,3 6,4 6,5 6,6
Eventos:
A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
B = {(4,6), (5,5), (6,4)}
C = { } (evento impossível)
D = Ω (evento certo)
E = {(1,2), (2,4), (3,6), (2,1), (4,2), (6,3)}
F=D-A
Quando o espaço amostral for finito ou infinito enumerável, todo subconjunto
poderá ser considerado um evento. Pode-se demonstrar que se  contiver n
elementos , existirão exatamente 2n subconjuntos (eventos).
Exemplo:
Considere um espaço amostral finito:  = {A, B, C, D}. Os subconjuntos do
espaço amostral são: {, A, B, C, D, (A,B},{A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D},
{A,B,C}, (A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}, {A,B,C,D}. Observa-se que 24 = 16 é o
número de total de eventos extraídos de .
3. Princípios de contagem
A notação n(A) será usada para dar o número de elementos distintos de um
conjunto A (cardinalidade de A). Alguns autores utilizam #A ou card(A) ao invés
de n(A). Um conjunto é finito quando contém exatamente m elementos distintos,
m  IN.
Exemplo:
Em um cesto há 6 bolas de vôlei, sendo 3 brancas e 3 vermelhas. Desse cesto são
retiradas sucessivamente 3 bolas. Calcular o número de elementos dos seguintes
eventos:
A: As três bolas são da mesma cor.
B: Duas bolas são brancas
C: As três bolas são vermelhas
D: O número de bolas brancas é igual ao número de bolas vermelhas.
E: O número de bolas brancas é maior do que de bolas vermelhas
ESTATÍSTICA BÁSICA
88
Solução:
Espaço amostral do experimento:
{BBB, BBV, BVB, VBB, BVV, VBV, VVB, VVV}; n (Ω) = 8
A = {VVV, BBB}; n(A) = 2
B = {BBV, BVB, VBB}; n(B) = 3.
C = {VVV}; n( C) = 1
D =   n (D) = 0
E = {BBB, BBV, BVB, VBB}
4. Operações com eventos
 Conjunto universo ou espaço amostral (Ω): é o conjunto formado por todos os
eventos possíveis de um experimento aleatório.
 Todo conjunto é um sub conjunto do conjunto universo, pois todos os
elementos do subconjunto pertencem ao conjunto universo ().
 Subconjunto: Dados dois conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A
se todos os elementos que pertencem a B também pertencem a A
Indica-se:
B  A ( B está contido em A)
A  B ( A contém B )
Exemplo:
a) Sejam os conjuntos
A = { a, b, c, d, e)
B = {a, c, e }
B  A, pois todos os elementos de B estão contidos em A
b) Sejam os conjuntos
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = { 0, 3, 5, 6}
B  A, pois todos os elementos de B estão contidos em A
 Conjunto vazio: é conjunto que não contém elementos. Representa-se por { }
ou por . O conjunto vazio, , também é um subconjunto de  ou de outro
qualquer subconjunto de .
Exemplo: Lançamento de um dado e obter a face com número 7 (D):
D = { } ou D = .
5. Tipos de eventos
a) Evento certo
É aquele que ocorre em qualquer experimento aleatório
Exemplo: No lançamento de uma moeda , com certeza sairá sempre as faces
“cara” ou “coroa”.
b) Evento impossível
É aquele que nunca ocorrerá em um experimento aleatório
ESTATÍSTICA BÁSICA
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Exemplo: Sair a face 7 no lançamento de um dado.
c) Evento complementar
O evento complementar de A é formado pelos elementos de Ω que não
pertencem a A (escreve-se Ā).
Exemplo: Se Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = { 1, 3, 5} então Ā = {2, 4, 6}.
A
A
Ā={x Ω|xA}
d) Evento união (  ) ou soma
Se A e B são dois eventos , o conjunto união A  B representa a ocorrência do
evento A ou do evento B ou de ambos os eventos.
Exemplo: Se A = { 1, 2, 5, 6} e B = {4, 5} então A  B = {1, 2, 4, 5, 6}.
A  B = { x  Ω | x  A ou x  B}
e) Evento intersecção (  ) ou produto
Se A e B são dois eventos, o conjunto intersecção A  B representa a
ocorrência de ambos os eventos A e B simultaneamente.
Exemplo:
Se A = { 1, 2, 5, 6} e B = {4, 5} então A  B = {5}.
A  B = { x  Ω | x  A e x  B}
A  B representa a ocorrência do evento A e do evento B simultaneamente.
ESTATÍSTICA BÁSICA
90
f) Eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos
Quando A  B =  os eventos são mutuamente exclusivos.
Exemplo:
Se A = {1, 2, 5, 6} e B = {4, 7} então A  B = { }.
Se A e B são conjuntos finitos disjuntos, então n(A  B) = n(A) + n(B)
Se A e B são conjuntos finitos, não disjuntos ou não mutuamente exclusivos, então
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
Exemplo:
a) conjunto finito A = { a, b, c }; n(A) = 3
conjunto finito B = { d, e, f, g }; n(B) = 4
n(A  B) = n(A) + n(B) = 3 + 4 = 7
b) conjunto finito A = { 1, 2, 3, 4}; n(A) = 4
conjunto finito B = {2, 4, 5, 6, 8, 9); n(B) = 6
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) = 4 + 6 – 2 = 8
Nesse caso os conjuntos A e B não são disjuntos, pois têm elementos em
comum (2 e 4).
c) Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso e
observa-se o número indicado. Descrever os seguintes conjuntos e dar o
número de elementos de cada um.
a) o espaço amostral Ω
b) O evento A: o número da bola é ímpar
c) O evento B: o número da bola é maior que 6
Solução:
a) Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
O número de elementos desse conjunto é n(Ω) = 10
b) A = { 1, 3, 5, 7, 9)
n(A) = 5
c) B = { 7, 8, 9, 10}
n(B) = 4
91
ESTATÍSTICA BÁSICA
6. Propriedades das operações com eventos aleatórios
Sejam A, B e C eventos associados a um espaço amostral Ω. As seguintes
propriedades são válidas:
a) IDEMPOTENTES
AA=A
AA=A
b) COMUTATIVAS
AB=BA
AB=BA
c) ASSOCIATIVAS
A  (B  C) = (A  B)  C
A  (B  C) = (A  B)  C
d) DISTRIBUTIVAS
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
e) ABSORÇÕES
A  (A  B) = A
A  (A  B) = A
f) COMPLEMENTARES
 
 
A A  
A A  
A A
g) LEIS DE MORGAN
A  B  A  B
A  B   A  B
A B
A B
ESTATÍSTICA BÁSICA
92
7. Partição de um espaço amostral
Dizemos que n eventos (E1, E2, E3,..., En ) formam uma partição de um evento
maior S quando:
a) E1  E2 ... En = S
b) Ei  Ej =  para todo i  j e i, j  {1, 2, 3,..., n}
E1
E2
......
E3
En
Consideremos uma urna com 6 bolas numeradas, de 1 a 6, e uma experiência aleatória
que consiste em retirar duas bolas da urna. Considere os eventos:
E1: {1, 2}
E2: {3, 4}
E3: {5, 6}
Então, temos que E1 E2 = , E1  E3 = , E2  E3 =  e S = E1  E2 E3
Então {E1, E2, E3 } é uma partição do evento S.
ESTATÍSTICA BÁSICA
93
Exercícios
1 De um baralho comum de 52 cartas extrai-se uma carta ao acaso. Descreva o
espaço amostral: (a) não levando em conta os naipes; (b) levando-se em conta os
naipes.
2
Descreva um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios:
(a) 3 jogadas de uma moeda; (b) número de fumantes em um grupo de 500 adultos
de sexo masculino; (c) jogar uma mesma moeda até que apareça coroa; (d) jogada
de uma moeda e um dado.
3
Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente, e se observa a seqüência de faces
obtidas. Determinar os eventos:
a) o espaço amostral
b) faces iguais
c) cara na 1a moeda
d) coroa na 2a e 3a moeda
e) ocorrerem exatamente duas caras
f) ocorrerem exatamente duas caras consecutivas
g) ocorrerem no mínimo duas caras
4. Considere duas roletas R e T conforme representadas nas figuras:
R
T
4
1
5
2
3
6
Uma experiência aleatória consiste em acionar a roleta R e em seguida a roleta T e
anotar as pontuações obtidas nesta ordem.
a) Qual o espaço amostral ?
b) Defina os eventos
A  a soma das pontuações obtidas é par
B  a soma das pontuações é 5
C  o produto das pontuações é 12
D  o produto das pontuações é maior que 20
E  a diferença das pontuações é positiva
5. Em uma caixa existe 5 papelotes numerados de 1 a 5. Retiram-se dois deles ao
acaso e calcula-se a soma dos números obtidos. Determine os eventos:
a) uma soma par e múltiplo de 3
b) uma soma ímpar e múltiplo de 3
c) uma soma múltiplo de 7
ESTATÍSTICA BÁSICA
94
6. Peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não
defeituosas (P). As peças são inspecionadas e suas condições registradas. Isto é
feito até que duas peças defeituosas consecutivas sejam fabricadas ou que 4 peças
tenham sido inspecionadas, aquilo que ocorrer em primeiro lugar. Descreva o
espaço amostral desse experimento.
7. Numa classe de 20 alunos será sorteado um ingresso para uma peça teatral. Para
concorrer ao sorteio cada aluno recebeu um número de 1 a 20. Determine:
b) o espaço amostral do experimento
c) o evento B formado pelos números múltiplos de 3
d) o evento C formado pelos números menores que 6
e) o evento D, formado pelos números primos
f) o evento E formado pelos divisores do número 20
g) o evento complementar de b
h) o evento C  D
i) o evento D  E
8. Sejam A, B e C três eventos de um espaço amostral. Exprimir os eventos abaixo
através do diagrama de Venn e utilizando as operações de união, intersecção e
complemento.
a) somente A ocorre
b) A e C ocorre, mas B não.
c) A, B e C ocorrem
d) Pelo menos um ocorre
e) Exatamente um ocorre
f) Nenhum ocorre
g) Exatamente dois ocorrem
h) Pelo menos dois ocorrem
i) No máximo dois ocorrem
9. Um lote contém peças de 5, 10, 15, 20, 25 e 30 mm de diâmetro. Suponha que duas
peças sejam selecionadas no lote. Se x e y indicam respectivamente os diâmetros da
1a e 2a peças selecionadas, o par (x, y) representam um ponto amostral. Usando o
plano cartesiano, indicar os seguintes eventos:
a) A = { x = y }
b) B = { y < x }
c) C = { x = y – 10}
d) D = (x + y) / 2 < 10 }
10. Extrai-se uma carta de um baralho comum de 52 cartas. Considere os eventos:
A: saída de uma dama
B: saída de uma carta de copas.
a) Defina os seguintes eventos através do diagrama de Venn e utilizando as
operações dos conjuntos.
C: ocorrência de pelo menos um dos eventos A e B
D: ocorrência de B mas não de A
ESTATÍSTICA BÁSICA
95
E: ocorrência de A e de B
F: ocorrência de A mas não de B
G: não ocorrência simultânea de A e de B
H: não ocorrência de A e de B
11. Uma caixa contém 6 bolas numeradas de 1 a 6. Retiram-se duas bolas
sucessivamente, sem reposição. Seja x o número da primeira bola e y o número da
segunda bola.
a) Determine o espaço amostral do experimento.
b) Defina os seguintes eventos:
A: {(x,y): x  y}
B: {(x, y): y = 6}
C: {(x, y): x + y = 5}
D: {(x, y): x + y é ímpar}
E: {(x, y): y  12}
F: {(x, y): y = 2x}
c) Considere os eventos A, B e C do item anterior. Defina
B  C ; B.C; A.B; A  B
d) Determine o espaço amostral da retirada de duas bolas sucessivamente, mas
com reposição da primeira.
8. Probabilidade de um evento
Considere as seguintes situações:
a) No lançamento de um dado qual a probabilidade de sair a face “3”?
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento A: sair 3
A = { 3 }  A é um evento simples
Então, a probabilidade de sair a face “3” é de 1 para 6 ou de 1/ 6 ou ainda
16,66...%
Para cada um dos outros números do Ω, a probabilidade é a mesma: 1/ 6
b) Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de ser um
“rei de copas”?
Nesse caso, a probabilidade é de 1 em 52 ou de 1/52. A probabilidade de ser
retirada ao acaso qualquer uma das outras 51 cartas do baralho é 1/52.
Considere um experimento aleatório em que cada um dos n eventos simples do Ω a
chance de ocorrência é a mesma. Nesse caso dizemos que Ω é um espaço
equiprovável e que a probabilidade de cada evento é 1/ n.
Podemos ampliar essa definição de probabilidade de um evento simples para
probabilidade de um evento qualquer
ESTATÍSTICA BÁSICA
P( A) 
96
n( A)
n ()
Sendo n(Ω) o número de elementos do espaço amostral e n(A) o número de
elementos do evento A  .
A probabilidade deve assumir um valor entre 0 e 1, como número decimal, fração
ou porcentagem:
0  P(A)  1 para todo evento A, A  .
A probabilidade deve satisfazer ainda os seguintes axiomas:
a) P () = 1
b) P(AB) = P(A) + P(B) se A e B forem mutuamente exclusivos.


 n
 n
c) P  A    P( Ai ) , se A1, A2 , ..., An forem, dois a dois, eventos
 i 1 i  i 1
 i 
mutuamente exclusivos.
Exemplo:
1) No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter
a) o número 2
b) um número par
c) um número múltiplo de 3
Solução:
a) Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, portanto n(Ω) = 6
ocorrência do número 2: A = { 2 }, portanto n(A) = 1
P(A) = n(A) / n(Ω) = 1/ 6 = 0,1666... = 16,66...%
b) ocorrência do número par: B = {2, 4, 6}, portanto n(B) = 3
P(B) = n(B) / n (Ω ) = 3/ 6 = 1 / 2 = 0,50 = 50%
c) ocorrência de número múltiplo de 3: C = {3, 6}, logo n( C) = 2
P(C ) = n(C ) / n (Ω ) = 2 / 6 = 1 / 3 = 0,333 = 33,33%
Extrações com reposição e sem reposição
Muitas situações práticas podem ser comparadas com extrações sucessivas de
bolas de uma urna (como selecionar peças de uma produção ou indivíduos de uma
ESTATÍSTICA BÁSICA
população). Essas extrações podem ser realizadas com reposição ou sem
reposição:
o com reposição
cada bola retirada é devolvida à urna antes da extração da bola seguinte
o sem reposição
uma bola retirada não é devolvida à urna.
Exemplo:
1. De um baralho de 52 cartas tiram-se sucessivamente, sem reposição, duas
cartas.
Determinar:
a) a probabilidade de tirar dama na primeira carta
b) a probabilidade de tirar dama na segunda carta
c) a probabilidade de tirar naipe de ouros na segunda carta
solução
a) número de cartas do baralho na 1a extração: n() = 52
número de damas no baralho na 1a extração: n(Q) = 4
n (Q )
4

P(D1 ) =
n() 52
b) número de cartas do baralho na 2a extração: n() = 51
número de damas no baralho na 2a extração: n(Q) = 3
n(Q)
3

P(D2 ) =
n() 51
c) se a 1a carta retirada foi de ouros: P() = 12/51
se a 1a carta retirada não foi de ouros: P() = 13/51
2. Idem exemplo 1, com reposição
solução
a) número de cartas do baralho na 1a extração: n() = 52
número de damas no baralho na 1a extração: n(Q) = 4
n (Q )
4

P(D1 ) =
n() 52
b) número de cartas do baralho na 2a extração: n() = 52
número de damas no baralho na 2a extração: n(Q) = 4
n (Q )
4

P(D2 ) =
n() 52
a) independente da retirada da 1a carta: P(D2 ) = 13/52
97
ESTATÍSTICA BÁSICA
98
9. Leis da Probabilidade
a) Probabilidade de um evento (A) não ocorrer
Se P(A) é a probabilidade do evento A ocorrer, então P(Ā) = 1 – P(A)
Esse evento é o complementar ao evento A . Logo P(A) + P(Ā) = Ω = 1
Exemplo:
Qual a probabilidade de não se pegar um “A” de um baralho de 52 cartas.
P(Ā) = 1 – P(A) = 1 – 4/ 52 = 48 / 52 = 12 / 13
b) Probabilidade de um evento (A) ou outro evento (B) ocorrer
Duas situações podem ocorrer:
 Se dois eventos forem mutuamente exclusivos (A e B não podem ocorrer
juntos)
P(A ou B) = P(A + B) = P(A) + P(B)
 Se dois eventos não forem mutuamente exclusivos (A e B podem ocorrer
juntos)
P(A ou B) = P(A  B) = P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
Exemplo
Retirando-se uma carta do baralho, qual a probabilidade
a) que a carta seja de ouros ou de espadas
b) que a carta seja de ouros ou seja um “A”
Solução
a) Uma carta de ouros e uma carta de espadas não podem ocorrer ao mesmo
tempo. Os eventos são, portanto, mutuamente exclusivos
A: retirada de uma carta de ouros
B: retirada de uma carta de espadas
ESTATÍSTICA BÁSICA
99
P(A) = 13/52 = 1/ 4
P(B) = 13/52 = 1/ 4
P(A ou B) = P(A) + P(B)
P(A ou B) = 1 / 4 + 1 / 4 = 1 / 2
b) Seja.
A: retirada de uma cartas de ouros
B: retirada de um “A “
P(A) = 13/52
P(B) = 4/52
Existe uma carta no baralho que é tanto um “A “ quanto de ouros. Nesse
caso, A e B não são mutuamente exclusivos
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
P(A ou B) = 13/ 52 + 4/ 52 – 1/ 52 = 16/ 52 = 4/ 13
c) Probabilidade de um evento (A) e outro evento (B) ocorrer
Duas situações podem ocorrer:
o Se dois eventos forem independentes (a seleção do evento A não altera a
composição do evento B)
P(A e B) = P(A) * P(B)
o Se dois eventos não forem independentes (a seleção do evento A altera a
composição do evento B )
P(A e B) = P(A) * P(B|A) , sendo P(BA) a probabilidade de B, dado
que A ocorreu.
Exemplo:
Foram retiradas duas cartas do baralho.
a) qual a probabilidade que saiam duas cartas de ouros?
b) Se a primeira carta de ouros foi devolvida, qual a probabilidade que a segunda
seja também de ouros?
Solução:
Seja A: retirada de uma carta de ouros
Seja B: retirada da segunda carta de ouro
a) A primeira carta de ouros tem P(A) = 13/ 52 = 1/ 4
A segunda carta de ouros tem P(BA) = 12/ 51
Os eventos não são independentes
Então P(A e B) = P(A) * P(BA) = 1/ 4 * 12 /51 = 12/ 204 = 3/ 51
b) A primeira carta de ouros tem P(A) = 13/ 52 = 1/ 4
A segunda carta de ouros tem P(B) = 13/ 52 = 1/ 4
Os eventos são independentes
Então P(A e B) = P(A) * P(B) = 1/ 4 * 1 /4 = 1/ 16
ESTATÍSTICA BÁSICA
100
Os diagramas em árvores também podem ser utilizadas no cálculo das
probabilidades:
1/ 4
B
segunda carta  1/ 4 * 1/ 4 = 1/
16
1/ 4
de ouros
A
carta de ouros
3/ 4
segunda carta não
é de ouros
3/ 4
carta não é de
ouros
Contagem por análise combinatória
Nem sempre é possível enumerar o espaço amostral. Nesses caso, devemos usar a
análise combinatória como processo de contagem.
Lembramos que a combinação de r elementos tomados p a p (p  r), calcula-se por
r
r!
Cr,p =   
 p  p!r  p !
Onde
r! = r.(r - 1)(r - 2)...1
p! = p.(p – 1)(p – 2)...1
admite-se que 0! = 1
Exemplo: Quantas comissões de 3 pessoas podem-se formar com um grupo de 10
pessoas?
10 
10!
10.9.8.7!
C10,3 =   

 120
3.2.7!
 3  3!(10  3)!
Exemplo: Em um congresso científico existem 15 matemáticos e 12 estatísticos.
Qual a probabilidade de se formar uma comissão de 5 membros, na qual figurem 3
matemáticos e 2 estatísticos?
Solução:
A: comissão de 3 matemáticos e 2 estatísticos
 27 
 =   número de comissões possíveis de 5 elementos
5
ESTATÍSTICA BÁSICA
101
15  12 
A =  .   comissões formadas por 3 matemáticos e 2 estatísticos
 3  2 
15  12 
 . 
3 2
P(A) =    
 27 
 
5
Exemplo: Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas; duas peças são retiradas
aleatoriamente. Calcule:
a) A probabilidade de ambas serem defeituosas
b) A probabilidade de ambas não serem defeituosas
c) A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.
Solução:
a) A = (ambas são defeituosas)
 4
4!
4.3.2!
A pode ocorrer   

 6 vezes
2.2!
 2  2!(4  2)!
12 
12!
12.11.10!
S pode ocorrer   

 66 vezes
2.10!
 2  2!(12  2)!
Logo, P(A) =
6
1

66 11
b) B = (ambas não são defeituosas)
8
8!
8.7.6!
B pode ocorrer   

 28 vezes
2.6!
 2  2!(8  2)!
12 
12!
12.11.10!
S pode ocorrer   

 66 vezes
2.10!
 2  2!(12  2)!
Logo, P(B) =
28 14

66 33
c) C = (ao menos uma é defeituosa)
C é o complemento de B, isto é C = B
ESTATÍSTICA BÁSICA
P(C ) = 1 – P(B) = 1 -
102
14 19

33 33
Exemplo: Calcular a probabilidade de se obter exatamente 3 caras e 2 coroas em
5 lances de uma moeda.
Solução:
A: saída de 3 caras e 2 coroas
 = 25 = 32  número de possibilidades em 5 moedas ( espaço amostral)
5
A =   = 10  número de possibilidades de 3 caras em 5 jogadas
 3
P(A) =
10 5

32 16
ESTATÍSTICA BÁSICA
103
Exercícios
1. Numa cidade os táxis de uma frota estão numerados de 1 a 200. Qual a
probabilidade de uma pessoa chamar um táxi de número maior que 122?
2. Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso
dessa urna. Qual a probabilidade do número sorteado ser múltiplo de 2 ou de 3?
3. A probabilidade de um guarda aplicar 4 ou mais multas em um dia é de 63%. A
probabilidade do guarda aplicar 4 ou menos multas em um dia é de 56%. Qual é a
probabilidade do guarda aplicar exatamente 4 multas em um dia?
4. Um dado é lançado 3 vezes sucessivamente. Seja o evento E: “pelo menos um dos
números obtidos é diferente dos outros”. Determinar o evento complementar de E.
5. Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. São retiradas 3 bolas, sem
reposição. Achar a probabilidade das duas primeiras serem pretas e a terceira
vermelha.
6. Seja um experimento com reposição, isto é, extrai-se uma bola de uma urna,
contendo 10 bolas vermelhas, 3 brancas e 5 azuis. Anota-se a cor da bola retirada e
devolve-se a mesma à urna. Qual a probabilidade de se retirar duas bolas
vermelhas? R: ¼ .
7. Uma loja tem um lote de 10 aparelhos de CD. Nesse lote existem dois aparelhos
com defeito. Um consumidor compra dois aparelhos do lote escolhidos
aleatoriamente.
a) Qual a probabilidade do consumidor comprar os dois aparelhos sem defeito?
b) Qual a probabilidade do consumidor comprar os dois aparelhos com defeito?
c) Qual a probabilidade do consumidor comprar pelo menos um dos aparelhos
defeituosos?
8. Um professor distribuiu balas entre seus alunos. Existem 20 balas que são dos
seguintes tipos: 4 de hortelã; 5 de café, duas de abacaxi e 9 são “drops” cítricos
(três brancos e 6 amarelos, da mesma cor das balas de abacaxi). Qual a
probabilidade:
a) do primeiro aluno retirar uma bala de hortelã
b) que ele retire qualquer bala que não seja de abacaxi
c) que ele retire uma bala de café ou um drops cítrico
d) que ele retire uma bala amarela ou drops cítrico
e) que ele retire uma bala de café, devolva e depois retire outra de hortelã
f) que ele retire duas balas , ambas de café.
9. Uma urna contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se
simultaneamente 3 bolas. Achar a probabilidade de que:
a) nenhuma seja vermelha
b) exatamente uma seja vermelha
c) todas sejam da mesma cor
104
ESTATÍSTICA BÁSICA
10. A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20
terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determine a
probabilidade de:
a) A ganha todas as três
b) Duas partidas terminarem empatadas
c) A e B ganham alternadamente
11. Demonstrar que P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC)
+ P(ABC).
12. Considere uma caixa contendo 100 bolas de diferentes tamanhos e cores, conforme
tabela a seguir.
Azul
Branca
Vermelha
Total
TAMANHO
Grande Média Pequena
5
8
10
8
10
13
12
15
19
25
33
42
Total
23
31
46
100
a) Qual a probabilidade de ser sorteado uma bola vermelha ?
b) Qual a probabilidade de ser sorteado uma bola vermelha ou branca ?
c) qual a probabilidade de sair uma bola azul ou uma bola grande ?
10. Probabilidade condicional
Sendo conhecido o espaço amostral de um experimento aleatório, suponha que um
determinado evento ocorreu. Tal evento pode modificar o cálculo da probabilidade
de um segundo evento qualquer? Por outro lado, podemos ter interesse em calcular
a probabilidade de um evento não em relação a todo espaço amostral, mas em
relação a um outro conjunto de condições? O estudo da probabilidade desses
eventos chamamos de probabilidade condicional.
Exemplo:
A tabela a seguir classifica em categorias os funcionários de um hospital.
Categoria profissional
Médico
Técnico de Laboratório
Enfermeiro
Técnico em radiologia
Manutenção
Terapeuta
Serviço administrativo
Total
Até
25 anos
5
20
200
4
10
6
20
265
De 26
ate 35 anos
30
65
816
29
35
60
85
1120
Mais de
35 anos
75
35
203
12
22
13
25
385
Total
110
120
1219
45
67
79
130
1770
105
ESTATÍSTICA BÁSICA
Se um dos funcionários é escolhido aleatoriamente no conjunto dos 1770
empregados, qual a probabilidade dele ser médico?
Sejam os eventos
B: médico
S: funcionário do hospital
n( B) 110

 0,06
Então P(B) =
n( S ) 1170
Supondo agora que o conjunto dos funcionários refere-se aqueles com mais de 35
anos de idade, qual a probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ser
médico?
 Agora, trata-se de uma probabilidade condicionada ao conjunto dos
funcionários
com mais de 35 anos.
Seja o evento
A3 : funcionário com mais de 35 anos
Então P(B A3) =
n( B  A3 )
75

 0,19
n( A3 )
385
Conceito clássico de probabilidade condicional
Sejam A e B dois eventos com P(A) > 0. Denomina-se probabilidade condicional
de B, dado que A já ocorreu do seguinte modo:
PB A 
PB  A
P A
Tiramos da definição da probabilidade condicional o chamado Teorema do
Produto:
P(B  A) = P(A)*.P(BA)
Exemplos:
1. Em uma caixa contém 50 bolas de diferentes tamanhos e cores, conforme
tabela a seguir.
Cor
Azul
Branca
Vermelha
Total
Grande
3
5
4
12
Média
5
6
9
20
Pequena
7
8
3
18
Total
15
19
16
50
106
ESTATÍSTICA BÁSICA
Achar a probabilidade de ser sorteada uma bola vermelha, quando se sabe que
a bola retirada é pequena.
Solução:
n(Ω) = 50
n(V) = 16
n(Pe) =v18
n(V  Pe) = 3
PV  
nV  16
 ;
n  50
PPe 
nPe 18
 ;
n  50
PV  Pe 
nV  Pe 3

n 
50
3
3
PVlPe   50 
 0,1667  16,67%
18 18
50
2. Duas bolas vão ser retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3 pretas e
4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas
a) sejam verdes?
b) sejam da mesma cor?
Solução:
4 3 1
a) PV  V   PV .PV V   . 
9 8 6
2 1 3 2 4 3 20 5

b) PMC   .  .  . 
9 8 9 8 9 8 72 18
3. Considere a tabela a seguir, que relaciona disciplina X sexo de uma faculdade.
Disciplina
Sexo
H
M
Total
F
Q
Total
40
70
110
60
80
140
100
150
250
Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando
química, dado que é mulher?
Solução:
80
PQ  M  250
80
.PQ M  


150 150
PM 
250
ESTATÍSTICA BÁSICA
107
4. Determinar a probabilidade da jogada de um dado resultar em um número
menor que 4, sabendo-se que o resultado é um número ímpar.
Solução:
Seja A: “sair um número menor que 4” e B: “sair um número ímpar”
2
P( A  B 6 2
Então P A / B  
 
3 3
P B 
6
5. Retira-se uma carta de um baralho de 52 cartas e sabe-se que saiu uma carta de
ouros. Achar a probabilidade de que seja um rei.
Solução:
Seja A: “sair uma carta de ouros” e B: “sair um rei”
1
P( B  A) 52 1
Então PB / A 


13 13
P( A)
52
6. Em uma urna existem 3 bolas verdes e 4 bolas pretas. São retiradas duas bolas.
Sabendo-se que a primeira bola é verde, achar a probabilidade de que a segunda
bola seja preta.
Solução:
Seja A: “primeira bola é verde” e B: “a segunda bola é preta”.
Então PB / A 
P( B  A)
P( A)
P(A) = 3 / 7
P(B  A) = 12 / 42
12
P( B  A) 42 2


Logo, PB / A 
3
P( A)
3
7
7. Uma loja tem um lote de 5 parelhos de DVD, e sabe-se que nesse lote existem 2
aparelhos com defeito. Um consumidor compra 2 aparelhos do lote, escolhidos
aleatoriamente. Achar a probabilidade do segundo aparelho ser defeituoso,
sendo que o primeiro já está escolhido.
Seja P: “o aparelho é perfeito”
D: “o aparelho é defeituoso”
Então o que se deseja é P(D/D) ou P(D/P)
108
ESTATÍSTICA BÁSICA
2
6
P( D  D) P( D  P) 20 20 1 2 3
Assim PD / D   PD / P  



  
2
3
P ( D)
P( P)
4 4 4
5
5
11. Teorema da Probabilidade Total
Seja A1, A2, ..., A3 eventos que formam uma partição do espaço amostral. Seja B
um evento desse espaço. Então
n
P( B)  P( B  A1 )  P( B  A2 )  ...  P( B  An )   P( B  Ai )
i 1
P(B) = P( A1 ).P( B A1 )  P( A2 ).P( B A2 )  ...+ P( An ).P( B An ) =
n
 P( A ).P( B
i 1
i
Ai )
Exemplo:
1. Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas.Uma segunda urna contém 4
bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se uma
bola. Qual a probabilidade de ser branca?
3B
2A
I
P I  
PII  
4B
2A
II
1
2
1
2
P( B I ) 
3
5
PB II  
4 2

6 3
109
ESTATÍSTICA BÁSICA
Logo a bola branca pode ocorrer:
P(B) = P(B  I) + P(B  II)
P(B) = P(I)*P(B / I) + P(II)*P(B/I)
1 3 1 2 19
P B   .  . 
2 5 2 3 30
resolução usando o diagrama em árvore
(I  B)
3/5
B
3/10
A
1/5
I
1/2
2/5
3/10 + 1/3 = 19/30
(II  B)
2/3
B
1/3
1/3
A
1/6
1/2
II
2. Numa secretaria três funcionários são responsáveis pelo arquivo de
documentos. O funcionário Carlos arquiva 45% dos documentos, enquanto
Jorge arquiva 25% e Manoel os outros 30%. Supondo que a percentagem de
documentos
arquivados de forma errada seja de 5%, 15% e 10%
respectivamente para cada um dos três funcionários, pede-se a probabilidade de
se encontrar um erro de arquivamento nessa secretaria.
Solução:
Seja A: “documento mal arquivado”
P(A/EC) = 0,05
P(A/EJ) = 0,15
P(A/EM) = 0,10
P(E) = P(A/EC).P(EC) + P(A/ EJ). P(EJ) + P(A/EM). P(EM)
P(E) = 0,05*045 + 0,15*0,25 + 0,10*0,30
P(E) = 0,09
Resolução pelo diagrama em árvore
110
ESTATÍSTICA BÁSICA
5%
C
CE
0,0225
EC
45%
25%
J
15%
EJ
JE
0,0375
10%
EM
ME
0,030
0,09
30%
M
12. Teorema de Bayes
O teorema de Bayes relaciona uma das parcelas da probabilidade total com a
própria probabilidade total.
Considerando a figura anterior , conhecido P(Ai) e P(B/Ai) e i = 1,2,...,n
PAj B  
PAj .PB Aj 
n
 P A .PB A 
i 1
i
, j  1,2,..., n
i
Exemplo:
A urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e a urna B contém 2 vermelhas e 8
azuis. Joga-se uma moeda, se der cara, extrai-se uma ficha da urna A; se der coroa ,
extrai-se uma ficha da urna B. Uma ficha vermelha é extraída. Qual a probabilidade
de ter saído cara no lançamento?
Solução:
3V
2A
2V
8A
A
B
Queremos: P(V/C)
PC  
1
2
P(V C ) 
3
5
P K  
1
2
PV K  
2
10
111
ESTATÍSTICA BÁSICA
Pelo teorema da probabilidade total:
P(V) = P(C  V) + P(K  V)
P(V) = P( C) . P(V/C) + P(K) . P(V/K)
Então:
P(V ) 
1 3 1 2
4
.  . 
2 5 2 10 10
Calculando agora P(C/V)
3
PV  C  10 3
.PC V  


4
PV 
4
10
O problema também pode ser resolvido pelo diagrama em árvore, como segue:
(C  V)
3/5
1/ 2
V
PV  
C
3
2
4


10 20 10
A
2/10
1/ 2
V (K  V)
K
A
PC V  
3 / 10 3

4 / 10 4
ESTATÍSTICA BÁSICA
112
Exercícios:
1. As probabilidades de 3 jogadores marcarem um pênalti são respectivamente 2/3,
4/5 e 7/10. Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de :
a) todos acertarem. R.: 28/75
b) apenas um acertar. R.: 1/6
c) todos errarem. R.: 1/50
P(A 
2.
Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A) = ½, P(B) = 1/3 e
B) = ¼. Calcule: P(AB), P(A/B) e P(B/A). R.: 7/12, ¾ e ½.
3.
Três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente dentre 20 lâmpadas, das quais 8 são
defeituosas. Determine a probabilidade p de que: (a) nenhuma seja defeituosa; (b)
exatamente uma seja defeituosa. R.: 11/57
4.
Um lote é formado por 12 artigos bons, 5 com pequenos defeitos e 3 com grandes
defeitos. Um artigo é escolhido ao acaso. Determine a probabilidade de que ele:
(a) não tenha defeitos; (b) não tenha grandes defeitos; (c) ou seja perfeito ou tenha
grandes defeitos. R.: a) 12/30 b) 17/30 c) 15/30
5. Suponha um baralho comum de 52 cartas do qual se extrai uma carta. Considere os
eventos:
<A> saída de uma dama
<B> saída de uma carta de copas
a) Defina e construa um diagrama para cada um dos eventos
<C> ocorrência de pelo menos um evento A e B
<D> ocorrência de B, mas não de A
<E> ocorrência de A e de B
<F> ocorrência de A, mas não de B
<G> não ocorrência simultânea de A e B
<H> não ocorrência de A e não ocorrência de B
b) Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? Explique.
6. Uma caixa contém 6 bolas numeradas de 1 a 6. retiram-se duas bolas
simultaneamente sem reposição. Seja x o número da primeira bola retirada e y o
número da segunda.
a) Descreva os resultados dos eventos possíveis de acontecerem
b) Descreva os seguintes eventos
<A> = {(x,y):x < y }
<B> = {(x,y): y = 6}
<C> = {(x,y): x + y = 5}
<D> = {(x,y): x + y é impar}
<E> = {(x,y): y  6}
<F> = {(x,y): y = 2x}
c) Qual o espaço amostral considerando a retirada sucessiva de duas bolas, com
reposição da primeira.
d) Qual o espaço amostral do experimento, quando se retiram simultaneamente
duas bolas.
ESTATÍSTICA BÁSICA
113
7. Numa caixa existem 12 tiras de papel numeradas do seguinte modo: 1, 2, 2, 3, 3. 3,
4, 4, 4, 5, 6, 6. Selecionando uma tira de papel ao acaso, qual a probabilidade de:
a) sair o número 3. R.: 1/4
b) sair um número par. R.: 7/12
c) sair um número impar. R.: 5/12
d) sair um número divisível por 3. R.: 5/12.
8. Sejam A e B dois eventos tais que P(A) = 3/8, P(B) = ½ e P(A e B) = ¼. Calcule:
a) P(A + B)
b) P( A )
c) P( B )
d) P( A e B )
9. Numa população, 40% das famílias têm televisão, 30% têm computador e 20%
têm ambos os aparelhos. Uma família é escolhida ao acaso. Calcule a
probabilidade de:
I) ter pelo menos um dos tipos de aparelho. R.: 50%
II) não ter televisão. R.: 60%
III) não ter qualquer aparelho. R.: 50%
IV) ter só televisão. R.: 20%
V) ter um só aparelho. R.: 30%
10. Uma caixa em um depósito contém 4 lâmpadas de 40W, 5 de 60W e 6 de 75W. Se
3 lâmpadas são selecionadas aleatoriamente:
a) Qual a probabilidade de ser selecionado exatamente 2 das lâmpadas de 75W?
b) Qual a probabilidade de serem selecionadas 3 lâmpadas da mesma potência?
c) Qual a probabilidade de que uma lâmpada de cada tipo seja selecionada?
d) Se as lâmpadas são selecionadas uma a uma até que seja encontrada uma de
75W, qual a probabilidade que seja examinada pelo menos 6 lâmpadas?
11. Dois armários guardam bolas de voleibol e basquete. O armário I tem 3 bolas de
voleibol e uma de basquete, enquanto o armário II tem 3 bolas de voleibol e 2 de
basquete. Escolhendo-se ao acaso um armário e em seguida uma das bolas ,
calcule a probabilidade da bola ser
a) de voleibol, sabendo-se que o armário I foi escolhido
b) de basquete, sabendo-se que o armário II foi escolhido
c) de basquete
12. Os alunos de uma turma pretendem realizar uma viagem. Na inscrição, 30 alunos
inscreveram-se na viagem a Fortaleza, 22 na viagem a Natal e 10 inscreveram-se
nos 2 destinos. Todos os alunos inscreveram-se em pelo menos um destino.
a) Quantos alunos tem a turma ? R.: 42
b) Selecionando um aluno ao acaso, qual a probabilidade de:
1. ter se inscrito para Fortaleza, mas não para Natal R.: 20
2. ter se inscrito em apenas uma viagem R.: 32
ESTATÍSTICA BÁSICA
114
13. Numa fábrica trabalham 30 mulheres e 50 homens. A distribuição destes
trabalhadores por classe de idades é a seguinte:
Menos de 21
De 21 a 50 anos
Mais de 50 anos
Homens
5
30
15
mulheres
3
18
9
Escolhe-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade da pessoa ser:
a) Homem R.: 5/8
b) ter menos de 21 anos R.: 1/10
c) ter mais de 50 e ser mulher R.: 9/80
d) ser mulher ou ter a idade entre 21 e 50 anos R.: ¾
e) ser mulher e ter idade entre 21 e 30 anos R.: 9/40
f) ser mulher, sendo que tem idade entre 21 e 30 anos R.: 3/8
g) ter entre 21 e 30 anos, sendo que é mulher R.: 3/5
14. Numa turma de 30 alunos, 20 são rapazes e 10 moças. Pretende-se escolher 4
alunos para formar uma comissão representativa da turma. Qual a probabilidade de
que a comissão seja formada por:
a) rapazes
b) duas moças e dois rapazes
c) pelo menos um rapaz
15. Numa escola, 25% dos alunos estão inscritos em Psicologia, 15% em Sociologia e
10% em ambas disciplinas. Um estudante é escolhido ao acaso. Qual a
probabilidade de:
a) não estar inscrito em Sociologia R.: 85%
b) freqüentar pelo menos uma das disciplinas R.: 30%
c) não estar inscrito em nenhuma disciplina R.: 70%
d) estar inscrito em Psicologia, sendo que freqüenta Sociologia. R.: 2/3
16. Considere duas caixas A e B. A caixa A contém 3 garrafas de suco de laranja e
5 de suco de maracujá e a caixa B contêm 4 garrafas de suco de laranja e 6 de suco
de maracujá. Escolhe-se uma caixa ao acaso e dela tira-se uma garrafa. Determine
a probabilidade de :
a) a garrafa ser de suco de laranja
b) ter sido retirado da caixa A, sabendo que é de suco de laranja.
17. A probabilidade de fechamento de cada rela do circuito apresentado a seguir é
dada por p. Se todos os relés funcionarem independentemente, qual será a
probabilidade de que haja corrente entre os terminais L e R?
115
ESTATÍSTICA BÁSICA
1
2
L
R
3
4
18. Uma urna contém 12 bolas: 5 brancas, 4 vermelhas e 3 pretas. Outra contém 18
bolas: 5 brancas, 6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a
probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor?
19. Numa bolsa temos 5 moedas de 1,00 e 4 de 0,50. Qual a probabilidade de, ao
retirarmos duas moedas, obtermos 1,50?
20. Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas e duas brancas. Foram extraídas 3
bolas com reposição. Qual a probabilidade de terem sido duas bolas pretas e uma
vermelha?
21. A probabilidade do aluno X resolver este problema é 3/5 e a do aluno Y é 4/7.
Qual a probabilidade do problema ser resolvido?
22. Um grupo de 15 elementos possui a seguinte composição:
Menores
Adultos
Homens Mulheres
5
3
5
2
Pede-se:
a) Qual a probabilidade de ser homem?
b) Qual a probabilidade de ser adulto?
c) Qual a probabilidade de ser menor e mulher?
d) Sabendo-se que o elemento escolhido é adulto, qual a probabilidade de ser
homem?
e) Dado que a escolhida é mulher, qual a probabilidade de ser menor?
23. A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um carro é de ¾, da classe
B é de 1/5 e da classe C 1/20. As probabilidades dos indivíduos comprar um carro
da marca X são 1/10, 3/5 e 3/10, dado que sejam A, B e C respectivamente. Certa
loja vendeu um carro da marca X. Qual a probabilidade do indivíduo que comprou
ser da classe B?
R: 4/7
24. Uma urna I tem 3 bolas brancas e 2 pretas; uma urna II tem 4 bolas brancas e 5
pretas; a urna III tem 3 bolas brancas e 4 pretas. Passa-se uma bola, escolhida
aleatoriamente, de I para II. Feito isso, retira-se uma bola de II e retiram-se 2 bolas
de III. Qual a probabilidade de saírem 3 bolas da mesma cor? R: 11/50
116
ESTATÍSTICA BÁSICA
13. Variável Aleatória discreta
Quando o espaço amostral de um experimento não é constituído por números reais,
não se pode utilizar diretamente os recursos estabelecidos na estatística descritiva.
Ë o caso do lançamento de uma moeda e observação de sua face superior, quando
os componentes (cara ou coroa) não são valores numéricos.
Para a utilização desses recursos é necessário estabelecer uma função que
transforme o espaço amostral não numérico em um espaço amostral numérico.
Variável aleatória é qualquer função que associa números reais aos eventos de um
espaço amostral.
Uma variável aleatória será discreta se o número de valores possíveis de X
(contradomínio) for finito ou infinito numerável.
Exemplo: O número X de peças defeituosas em cada cinco peças inspecionadas.
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
13.1 Função de Probabilidade
A função P(xi) = P(X = xi ) que associa um número P(xi), denominado de
função de probabilidade da variável aleatória X.
Distribuição de probabilidade da variável aleatória X é a associação de cada
possível resultado da variável aleatória X à sua probabilidade de ocorrência
P(X), isto é, é o conjunto de pares [xi, P(xi)]. Para que haja uma distribuição de
probabilidades de uma variável aleatória X é necessário que
n
 p( x )  1
i 1
i
Exemplo: Lançam-se duas moedas. Seja X: número de ocorrências da face
cara. Determinar a distribuição de probabilidade de X.
Solução:
O espaço amostral  = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}
Os valores possíveis da variável aleatória X serão 0, 1 e 2.
X = 0  corresponde ao evento (k, k) com probabilidade ¼
X = 1  corresponde ao evento (c, k) e (k, c) com probabilidade 2/4
X = 2  corresponde ao evento (c,c) com probabilidade ¼
Tabela
X P(X)
0
¼
1
½
2
¼
1

P(x)
½
¼
0
1
2
x
117
ESTATÍSTICA BÁSICA
Exemplo: Lançam-se 2 dados. Seja X a soma das faces. Determinar a
distribuição de probabilidade de X.
Faces dos dados
11
12, 21
13, 31, 22
14, 41, 23, 32
15, 51, 24, 42, 33
16, 61, 52, 25, 34, 43
26, 62, 35, 53, 44
36, 63, 45, 54
4 10, 10 4, 55
56, 65
66

X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-
P(X)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
1
13.2 Função de distribuição acumulada
É a soma das probabilidades dos valores xi menores ou iguais a x.
F ( x)  P( X  x) 
 p( x )
xi  x
i
Propriedades:
1. F(X) =  P( x)
xi  x
2.
3.
4.
5.
6.
7.
F    0
F    1
P(a  X  b) = F(b) – F(a)
P(a  X  b) = F(b) – F(a) + P(X = a)
P(a  X  b) = F(b) – F(a) – P(X = b)
A função é não decrescente
Exemplo: Admita que a variável aleatória X tome os valores 0, 1, 2 com
1 1 1
probabilidades , ,
respectivamente.
3 6 2
F(X) = 0
se
x 0
F(X) =
1
3
se
0 x1
F(X) =
1
2
se
1 x2
118
ESTATÍSTICA BÁSICA
F(X) = 1
x2
se
Eis o gráfico de F(X),
F(x)
1
1/2
1/3
0
1
2
3
x
Exemplo: Uma população de 1000 crianças foi vacinada contra um tipo de
alergia. Após um mês da vacinação, as crianças que ainda tivessem alguma
reação alérgica recebiam nova dose da vacina. Ao fim de 5 doses, todas as
crianças foram consideradas imunizadas. Os resultados estão na tabela a seguir:
Gráfico
1
2
3
4
Doses
Frequência 245 288 256 145
Freqüência 245 533 789 934
acumulada
5
66
1000
0
1
2
3
4
5x
Se uma criança é sorteada ao acaso, determine a probabilidade da criança:
a) ter recebido duas doses: P(x = 2)
b) ter recebido até duas vacinas: P(x  2)
c) ter recebido entre 2 e 4 vacinas: P(2  x  4)
Solução:
a) P(x=2) =
n( D 2) 288

 0,288
n() 1000
b) P(x  2) = P(x = 1) + P(x = 2) = 0,533
Como a variável só tem valores inteiros, esse valor fica inalterado no
intervalo [2,3). Isto é F(2,1) = F(2,45) = F(2,99). Por isso podemos escrever
F(x) = P(X  x) = 0,533 para 2  x < 3.
c) P(2  x  4) = P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4) = 0,689 ou
ESTATÍSTICA BÁSICA
119
P(2  x  4) = F(4) – F(2) + P(2) = 0, 934 – 0,533 + 0, 288 = 0,689
Exercícios:
1) Uma urna tem 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 3 bolas. Seja X: número
de bolas brancas, determinar a distribuição de probabilidades de X,
considerando:
a) sem reposição
b) com reposição
2) Dada a tabela:
X
1 2 3 4 5
P(X) P2 P2 P P P2
a) Ache p.
b) Calcule P(X  4 ) e P(X < 3)
c) Calcule P( X – 3  < 2)
3) Uma variável aleatória discreta tem a distribuição de probabilidade dada por
K
P(X) =
para x = 1, 3, 5, 7
x
a) calcular o valor de K
b) calcular P(x = 5)
4) Numa sala tem 5 rapazes e 4 moças. São retiradas aleatoriamente 3
pessoas.
Faça X a variável aleatória número de rapazes
a) Determine a distribuição de probabilidade da variável X. Construa uma
tabela.
b) Determine a função acumulada F(x)
c) Construa o gráfico F(x)
d) Calcule as probabilidades
I)
P(X  2)
II)
P(X  0)
III)
P(1  X  3)
IV) P(2  X  3)
V)
P(X  2)
e) Determine: F(2,5); F(3); F(0,5); F(3,5); F(2); F(-0,5).
13.3 Esperança matemática (Valor esperado)
É a média dos possíveis resultados esperados considerando o peso de cada
probabilidade de ocorr6encia de x, isto é:
120
ESTATÍSTICA BÁSICA
n
E(x) = x1 P( x1 )  x2 P( x2 )  ...  xn P( xn )   xi . p( xi )
i 1
O valor esperado nem sempre assume um dos valores da distribuição. Por
exemplo, o valor esperado do lançamento de um dado não viciado é 3,5
(prove).
Exemplo: Lançam-se 3 moedas. Seja x o número de ocorrências da face cara.
Calcule o número médio de caras nesse lançamento.
Espaço amostral (): CCC, CCK, CKC, KCC, CKK, KCK, KKC, KKK
N0 DE
CARAS (X)
0
1
2
3
P(X)
1/8 = 0,125
3/8 = 0,375
3/8 = 0,375
1/8 = 0,125
E[X] = 0. 0,125 + 1. 0,375 + 2. 0,375 + 3. 0,125 = 1,5
Exemplo: Uma pousada possui dois quartos duplos iguais. O preço é variável
de acordo com o número de clientes: 10,00 para um cliente, 20,00 com dois
clientes, 42,00 com três clientes e 85,00 com quatro clientes.
As probabilidades relativas à ocupação dos quartos são as seguintes:
P(1 cliente) = 0,15
P(2 clientes) = 0,45
P(3 clientes) = 0,30
P(4 clientes) = 0,10
Qual a quantidade média de clientes esperada por dia?
y = número de clientes que ocupam quartos
E[y] = 1. 0,15 + 2. 0,45 + 3. 0,30 + 4. 0,10 = 2,35
A quantidade diária média de clientes é de 2,35.
Qual o valor médio esperado por dia pela pousada?
x = diária de um quarto ocupado
E(x) = 10.(0,15) + 20.(0,45) + 42.(0,30) + 85.(0,10) = 32,60
A diária média do estabelecimento será de 32,60.
Propriedades do valor esperado:
I)
E(k) = k, k = constante
Demonstração:
121
ESTATÍSTICA BÁSICA
n
 k. p( xi ) = k.
E(k) =
i 1
II)
n

i 1
p ( xi ) = k.1 = k
E(k.x) = k.E(X)
Demonstração:
n
E(k.x) =
n
 k.x . p( x ) = k.  x . p( x ) = k.E(X)
i 1
i
i
i 1
i
i
III)
E(X  Y) = E(X)  E(Y)
IV)
n
 n
 X i    E ( X i )
 i 1  i 1
V)
E(aX  b)=E(aX)  b, a e b constantes
VI)
E(X - x) = E(X) – E(x) = E(X) - x = 0
13.4 Variância e Desvio Padrão
O conhecimento da média de uma distribuição de probabilidades não avalia o
grau de dispersão das probabilidades em torno dessa média. A variância é uma
medida que dá o grau de dispersão de probabilidades em torno da média. A
definição de variância de uma variável aleatória discreta é dada por:
2 = Var (X) = E{[X – E(X)]2}
Desenvolvendo o quadrado da diferença, obtém-se uma fórmula mais fácil de
ser aplicada:
Var (X) = E(X2) – {E(X)}2
Onde:
n
E[X2]=
 xi2 . p( xi ) e E(x) =
i 1
n
 x . p( x )
i 1
i
i
A variância é um quadrado e muitas vezes o resultado torna-se artificial. A
altura média de uma um grupo de pessoas é 1,70 m e a variância 25 cm2.
Contornamos esse problema definindo desvio padrão, que é a raiz quadrada da
variância.
122
ESTATÍSTICA BÁSICA
Exemplo: Um gerente de loja construiu a seguinte distribuição de
probabilidade para vendas de fogões, por semana:
Xi (vendas)
P(xi)
0
0,20
1
0,30
2
0,30
3
0,15
4
0,05
O número esperado de venda semanal será:
Média
E[x] = 0.(020) + 1.0,30 + 2. 0,30 + 3. 0,15 + 4. 0,05
E[x] = 1,55 fogões
Variância: V(x) = E[x2] – {E[x]2}=
E[x2] = 02. 0,20 + 12. 0,30 + 22 .0,30 + 32 . 0,15 + 42 . 0,05 = 3,65
V(x) = 3,65 – [1,55]2
V(x) = 1,25
Desvio padrão:  = 1,25 = 1,12
Propriedades da variância:
1. V(k) = 0, k = constante
Demonstração:
V(k) = E{[k – E(k)]2} = E{[k – k]2} = 0
2. V(k.x) = k2.V(X)
Demonstração:
n
V(k.x) =
 k.xi . p( xi ) = k.
i 1
n
 x . p( x ) = k.E(X)
i 1
i
i
3. V(X  Y) = V(X)  V(Y)  2 cov (X,Y)
V(X  Y) = E {[( X  Y ) – E ( X  Y)]2 }
n
n
 n
4. V  X i   V ( X i )  2 covX i , X j 
i j
 i 1  i 1
5. V(aX  b) = a2 V(X) , a e b constantes
13.5 Distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias
Exemplo: No lançamento simultâneo de dois dados, considere as seguintes
variáveis aleatórias: X = número de pontos obtidos no primeiro dado
Y = número de pontos obtidos no segundo dado.
a) Construir a distribuição de probabilidade através de uma tabela e gráfico das
seguintes variáveis
I)
W=X–Y
I)
A = 2.Y
ESTATÍSTICA BÁSICA
II)
III)
123
Z = X.Y
B = máximo de (X,Y)
b) Construir a função acumulada das variáveis W, Z e B e fazer os
respectivos gráficos
c) Aplicando as propriedades da função acumulada, calcular as
probabilidades:
I) P(-3  W  3)
II) P(0  W  4,5)
III) P(A  6)
IV) P(Z  5,5)
V) P(Z = 3)
VI) P(1  B  4)
VII) P(W  -8)
VIII) P(20  Z  35)
124
ESTATÍSTICA BÁSICA
Exercícios
1) Uma empresa transporta seus produtos utilizando dois tipos de caminhões. O
primeiro tem uma carroceria com dimensões de 2 x 3 x 9 metros e o do
segundo a carroceria mede 3 x 3 x 12 metros. Se 30% do transporte foi feito no
primeiro caminhão e o restante no segundo, qual o volume médio transportado
em cada viagem, supondo que eles estão sempre cheios.
2) As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas em cada carro que vá ao
litoral num sábado são, respectivamente: 5%, 20%, 40%, 25% e 10%.
d) Qual o número médio de pessoas no carro?
e) Se chegam ao litoral 4.000 carros por hora, qual o número esperado de
pessoas, em 10 horas de contagem?
f) Em que intervalo em torno da média chegam 68% das pessoas, em 10 hrs
de contagem?
3) Num jogo de dados, A paga 20,00 à B para lançar 3 dados. Se sair face 1 nos
três dados, A ganha 80,00, se sair face 2 em apenas dois dados, A ganha 50,00
e se sair face 1 em apenas um dados, A ganha 20,00. Calcular o lucro líquido de
A em uma jogada.
4) Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas com
reposição. Seja X o número de bolas brancas. Calcular E(X). R.: 1,2
5) Sabe-se que uma moeda mostra a face cara quatro vezes mais do que a face
coroa, quando lançada. Esta moeda é lançada 4 vezes. Seja X o número de
cartas que aparece, determine:
a) E(X)
R.: 3,20
b) V(X)
R.: 0,64
c) P(X  2)
R.: 0,9728
d) P(1 x  3)
R.: 0.1792
6) Uma variável aleatória discreta pode assumir 5 valores, conforme a distribuição
de probabilidades:
Xi
P(xi)
a)
b)
c)
d)
1
0,20
2
0,25
3
?
5
0,30
8
0,10
Encontrar o valor de p(3).
Qual é o valor da função acumulativa para x = 5?
Encontrar a média da distribuição.
Calcular a variância e o desvio padrão.
R.: 0,15
R.: 0,90
R.: 3,45
R.: 4,55 e 2,13