Prova 1 – Tema 3 – Movimentos bi e tridimensionais – Prof. Leandro

Prova 1 – Tema 3 – Movimentos bi e tridimensionais
– Prof. Leandro Neckel
Os movimentos bi e tridimensionais são, basicamente,
uma generalização dos movimentos unidirecionais
para 2 e 3 dimensões. Porém, é necessário ter em
mente que o rigor matemático com a notação vetorial
se torna muito mais importante para este novo
tópico. Em movimentos unidirecionais era suficiente
somente um sinal acompanhando o símbolo e/ou
valor numérico ligado a uma grandeza vetorial para
bem representa-la, ou seja, em uma dimensão o sinal
de mais ou menos representa suficientemente bem o
vetor unidimensional. Em posições, por exemplo, o
sinal negativo indica que a posição do móvel em
análise fica a esquerda da origem enquanto o positivo
demonstra que o mesmo está à direita da origem.
Feitas estas considerações, iniciaremos o estudos
destes movimentos em duas e três dimensões
revendo os conceitos de movimentos unidimensionais
generalizados para três dimensões.
Importante: os conceitos vetoriais vistos aqui serão
apoiados em conceitos básicos de álgebra vetorial, a
qual estará brevemente relatada no anexo 2 do
material disposto (INCOMPLETO).
POSIÇÃO
A posição em 2 ou 3 dimensões não é mais apoiada
somente sobre um dos eixos ordenados. Logo, a
simbologia utilizada não se apoia diretamente sobre
um dos mesmos. Ainda, a posição é descrita como um
vetor e o mesmo é escrito em termos dos vetores
unitários ,̂ ̂ .
(1)
̂
̂
Onde , são as posições em cada um dos eixos
ordenados do espaço cartesiano.
DESLOCAMENTO
Δ
(2)
Que pode ser escrito por
(3)
Δ
̂
Δ
̂
̂
̂
̂
̂
Como posições inicial e final do deslocamento de um
determinado móvel. O deslocamento é dado por
̂
̂
̂
Ou ainda
(4)
Δ
Δ ̂
Δ ̂
Δ O deslocamento vetorial é basicamente a soma
vetorial dos deslocamentos em cada um dos eixos
coordenados. Ainda, o deslocamento vetorial Δ
escrito em termos dos vetores unitários não dá o valor
numérico do deslocamento entro as posições
espaciais
e . Para isto, é necessário calcular o
módulo de Δ dado por
(5)
|Δ |
Δ
Δ
Δ
Δ
Repare que o módulo do deslocamento nunca
assumirá valores negativos.
VELOCIDADE MÉDIA
Assim como no tema da aula anterior, a velocidade
média é a quantidade de deslocamento exercida ao
longo de um intervalo de tempo. Ainda é possível
interpretá-la como a taxa temporal de deslocamento.
Em movimentos bi e tridimensionais a mesma é dada
por
!
(6)
Repare que o tempo é escalar, logo a velocidade
média vetorial, sendo calculada pela divisão de um
vetor por um escalar, resulta em um vetor.
Executando o cálculo, substituindo (5) em (6)
podemos reescrever:
Δ
̂
Δ"
̂
#
(7)
O deslocamento unidirecional era a diferença entre
posições iniciais e finais. Para o bi e o tri dimensional a
definição continua a mesma. Definimos então:
̂
Com
#
Δ
;
Δ"
Δ
̂
Δ"
$
'
̂
Δ
;
Δ"
Δ
Δ"
%
%
Δ
Δ"
A representação gráfica da velocidade média não é
possível de ser feita uma vez que não é possível gerar
um gráfico ondo possam ser demonstradas 4
dimensões ( , , e ").
VELOCIDADE INSTANTÂNEA
O conceito de velocidade instantânea para
movimentos de duas e três dimensões é o mesmo
para uma dimensão somente.
Toma-se que a posição do móvel é variável ao longo
do tempo, logo o vetor pode ser representado como
uma função do tempo ("). Como é uma função do
tempo ", cada uma das componentes cartesianas da
posição podem ser descritas como funções do tempo.
(")
(") ̂
(") ̂
Com o tempo em segundos e a posição em metros:
(")
A velocidade instantânea é calculada por meio do
cálculo da velocidade média com no limite em que o
intervalo de tempo tende a zero. Logo:
(8)
(9)
(10)
(")
(")
(")
/
!→. 0
lim
!
1
̂
1
!
$
̂
!
̂
$
!
2
!
3
;
3"
2
2
̂
Com
1
3
;
3"
$
VELOCIDADE ESCALAR OU RAPIDEZ
3
3"
Quando se trabalha com movimentos bi ou
tridimensionais, a velocidade escalar (ou também
conhecida como rapidez) é dada pelo módulo do vetor
velocidade instantânea em um determinado instante,
ou seja
| (")|
4
1
$
2
Para representar bem esta parte estudemos com mais
profundidade o exemplo que segue: Observe a
seguinte função posição bidimensional.
(")
5
"
5
2"
8 ̂
"
̂
2
Como esta função depende somente dos vetores
unitários ̂ e ̂ podemos representá-la em um plano
cartesiano x,y. Tendo o eixo vertical como y e o eixo
horizontal como x e, ainda, calculando os valores
vetoriais da posição (") para t do " 0: até " 4:,
temos:
A velocidade instantânea, no gráfico da posição, fica
representada da seguinte forma:
A função velocidade pode ser calculada:
2"
<
(")
5
2
= ̂
1
̂
2
É possível reparar que 1 é variável e que $ é
constante. Ou seja, segundo o plano cartesiano
adotado, é possível reparar que hora o móvel vai para
a esquerda e que, em algum instante, o mesmo vai
para a direita. Contudo, o mesmo móvel não deixa de
ir para cima em nenhum instante. Segundo a função
velocidade do mesmo é possível verificar que a taxa
com que o móvel muda de posição ao longo do exio y
é constante e igual a
?
@
.
Uma das formas de representar o vetor velocidade
instantânea é o desenho de vetores tangentes a curva
da posição ("). Observe:
Se imaginarmos um plano cartesiano, teremos o
seguinte vetor velocidade neste instante:
Com estas componentes, repare que é possível
encontrar o qualquer um dos ângulos relacionados
pois existe um triângulo de componentes montado:
Os vetores demonstrados são tangentes à curva e
apresentam graficamente o vetor velocidade naquela
posição.
Com a função velocidade, façamos uma simulação dos
valores vetoriais da velocidade como fizemos
anteriormente para a posição.
Sendo que o valor do módulo do vetor velocidade
instantânea (3.75) é dado por
| (")|
4
1
(
$
2
0)
Calculando, temos:
1,10
0,50 ≈ 1,21
Observando um dos triângulos temos:
Um outro fator a ser compreendido é a relação entre
as componentes e o vetor resultante da velocidade
instantânea. Para isto utilizaremos um valor da
relação acima para exemplificação. Utilizaremos o
seguinte ponto:
"
3,75:; (3,75)
Repare que
1
1,10
C
;
:
(1,10 ̂
$
0,50
0,50 )̂
C
:
C
:
C
:
Para determinarmos os ângulos podemos recorrer a
várias relações trigonométricas. Começando por
F
Olhando por F temos:
G
90º
cos(F)
1
tan(F)
$
: M(F)
$
1
Com a operação inversa* determinamos (por meio de
uma calculadora) o ângulo F:
F
1
arccos R S
F
T U: M R
F
arctan <
$
$
1
S
=
* Na calculadora Casio se busca a operação inversa
das trigonométricas utilizando os recursos de cos-1,
sen-1 e tan-1.
Utilizando o arco cosseno, temos:
F
LANÇAMENTOS HORIZONTAL E OBLÍQUO.
Ao final do tema passado foram expostas duas
situações especiais de movimentos dentro dos
movimentos unidimensionais: o movimento de
aceleração constante (chamado MRUV) e um caso
especial deste também com aceleração constante
porém igual a zero (chamado MRU, com velocidade
constante). Neste tema trabalharemos alguns tipos a
mais de movimentos especiais e que se baseiam nos
anteriormente vistos para a compreensão.
Comecemos pelo lançamento horizontal.
O lançamento horizontal é caracterizado por um
projétil sendo disparado da ponta de um platô
horizontalmente indo em direção ao chão abaixo com
o passar do tempo.
1,10
= ≈ 24,61º
T UUV: <
1,21
É importante verificar se sua calculadora está ajustada
para fornecer respostas em graus. Qualquer dúvida
entre em contato.
ACELERAÇÃO MÉDIA
Generalizando do movimento unidimensional
(11)
X
!
T
XY ZX[
!
ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA
Também
generalizando
unidimensional:
(12)
(13)
(14)
X
!→. !
X
X#
!
!
T(")
lim
T(")
T1 ̂
T(")
̂
T$ ̂
do
X'
!
T2
X%
!
̂
movimento
É importante relembrar que a aceleração pode ser
interpretada como a taxa com que a velocidade varia
ao longo do tempo. Na aceleração instantânea, esta
interpretação se resume na taxa em que a velocidade
está mudando em um determinado instante.
ACELERAÇÃO ESCALAR
Da mesma forma que é possível interpretarmos a
velocidade de maneira escalar, também é possível
interpretar a aceleração da mesma maneira. Em um
determinado instante " a aceleração escalar é dada
por
T
|T (")|
4T1
T$
assim como qualquer outro vetor.
É importante verificar que em um lançamento como
este a velocidade inicial . do móvel é puramente
horizontal no início do movimento. Ao longo do
movimento, por meio da ação da gravidade o projétil
vai passando a apresentar alguma parcela de
velocidade vertical:
T2
Porém, um ponto importante de ser citado é que, ao
longo do movimento a velocidade inicial horizontal, a
1 é constante (desconsiderando a resistência do ar e
outros efeitos resistivos), pois não existe nenhum
fator que faça o móvel desacelerar nesta direção.
Entretanto, a velocidade vertical $ varia ao longo do
movimento. Isto se deve a ação da força da gravidade
que age de maneira puramente vertical para baixo,
imprimindo uma aceleração constante ao projétil.
Desta forma, pode-se separar o movimento
bidimensional de projéteis em dois movimentos
distintos porém com muito em comum:
•
Horizontal: de velocidade constante igual a
1 . Logo, tem-se um MRU horizontalmente.
•
Assim, temos somente a seguinte equação
para este movimento
o
1"
: posição horizontal final
: posição horizontal inicial
": tempo
Vertical: de velocidade variável conforme a
aceleração da gravidade (similar a uma queda
livre). Em um sistema de referências em y
com o crescente do mesmo voltado para
cima, temos um MRUV com as seguintes
equações
o
o
o
$
$
.$
.$ "
^"
\! ]
2^Δ
: posições verticais
final e inicial respectivamente
.$ : velocidade inicial vertical
^: módulo da aceleração da
.$
gravidade (^
Δ
vertical.
9,8 @] )
: Deslocamento
Frequentemente alguns termos matemáticos
aparecem nos exercícios propostos com outros
nomes, como por exemplo: posição horizontal final =
alcance.
Algo que é necessário lembrar sempre é que o tempo
transcorrido para o movimento horizontal é o mesmo
que o tempo percorrido para o movimento vertical.
Ou seja, assim que o projétil se move horizontalmente
o mesmo também vai caindo aos poucos. Entenda
com a seguinte observação:
Se o movimento for notado por um observador que
está acima do movimento olhando para baixo (em
falta de perspectiva) será notado puramente um
movimento retilíneo uniforme. Se o mesmo
movimento for notado por alguém que está
exatamente a frente do projeto (também em falta de
perspectiva) será observado somente um movimento
de queda livre:
Para melhor compreensão vejamos um exemplo
simples:
- uma bola é chutada horizontalmente do topo de um
prédio. A velocidade inicial da bola é de 20
@
e a
altura do prédio é de 35C. Calcule: (a) O tempo de
queda, (b) a velocidade vertical final da bola, (c) a
velocidade escalar final da bola e (d) o alcance
horizontal da mesma.
É interessante organizarmos o problema de forma
bidimensional conforme as equações citadas. Como
temos um lançamento horizontal, a velocidade inicial
é puramente horizontal, ou seja, com a componente
vertical igual a zero. Assim, .1
1 (UVM:"TM" )
20 . Também é importante deixar claro que a altura
@
inicial da bola é 35C, logo
35C.
Ainda, podemos afirmar que
0 pois a bola chega
ao chão no final do movimento. Também podemos
colocar que .$ 0 pois a componente vertical da
velocidade inicial é nula. Para encontrar o tempo de
queda é necessário utilizar a equação
^"
2
considerando os valores nulos citados acima. Isolando
o termo " temos
.$ "
"
2
±a
^
Calculando temos " ±2,67:. Como não admite-se
tempos negativos, temos então " 2,67:.
Conhecendo o tempo pode-se calcular a velocidade
vertical final da bola, na letra (b), por meio da
equação
Sabendo que
.$
$
$
.$
0 temos
^" ∴
$
^"
26,19
C
:
É importante frisar que o resultado negativo é correto
uma vez que tomamos por referencia um sistema
cartesiano onde as posições verticais crescem para
cima e decrescem para baixo. Logo, vetores que
apontam para cima (unidirecional) são positivos e
para baixo são negativos. Esta velocidade
apontada para baixo.
$
está
Um outro movimento importante de ser estudado é o
lançamento obliquo, que difere pouco do horizontal
por sua velocidade de lançamento não ser puramente
horizontal mas sim com um determinado ângulo
acima ou abaixo da horizontal.
U" . Logo, pode-se interpretar a fração
vertical do movimento como um lançamento vertical
puro (como estudado no capítulo 2). Nestas condições
a velocidade vertical, inicialmente apontada para
cima, ao longo do tempo tem seu valor decrescido,
chegando a zero e passando a ser negativo apontando
para baixo.
.1
1
A separação deste lançamento também é válida, ou
seja, é possível interpretar a parte horizontal do
movimento no eixo x como um MRU e a parte vertical
no eixo y como um MRUV. A trajetória típica de um
lançamento obliquo é representada no esquema
abaixo:
A grande diferença entre este lançamento e o
horizontal é que a velocidade inicial possui ambas
componentes vertical e horizontal não nulas. Observe:
É possível, então, decompor a velocidade inicial do
movimento em relação aos eixos x e y do sistema de
coordenadas através do triangulo montado na figura a
seguir.
.
1
c
̂
.$
4
: M(F)
∴
.$
∴
1
cos(F)
1
̂
.$
.
. :
1
.
.$ Repare que na imagem acima o comprimento do
vetor $ , que representa o módulo da fração vertical
da velocidade, vai diminuindo de tamanho até
desaparecer no ponto mais alto, onde $ 0 e | |
1 , e depois passa a apontar para baixo. Isso
demonstra claramente o comportamento de um
lançamento vertical puro para cima.
As equações que regem o lançamento oblíquo são as
mesmas do lançamento horizontal, com o detalhe das
condições iniciais do movimento citadas até então.
Para deixar isto mais claro vamos a um exemplo:
- Uma bola é chutada do chão a 25C/: fazendo um
ângulo de 30º com o chão. (a) Quanto tempo a bola
permanece no ar antes de chegar novamente ao
chão? (b) Qual é a altura máxima alcançada pela
bola? (c) Qual é o alcance máximo horizontal da bola?
(d) Demonstre a expressão matemática que relaciona
o alcance máximo e o ângulo de lançamento e simule
o alcance para os ângulos de 35º, 40º, 45º, 50º e 65º.
(a) para determinar o tempo de permanência da bola
no ar, podemos analisar diretamente a fração vertical
do movimento. Na situação inicial temos:
.
M(F)
. cos(α)
A velocidade inicial vertical .$ varia ao longo do
tempo de acordo com a aceleração da gravidade. A
velocidade inicial horizontal é constante, por isso
F
25
30º
C
:
Repare que . é o módulo do vetor
inicial. Sabemos também que
.$
.1
. :
U"
M(F)
1
.
da velocidade
. cos(α)
Logo, as equações do movimento vertical ficam:
•
$
.$
•
$
.$
.
•
∴
^"
∴ $
.:
2^Δ .:
\! ]
$
.$ "
M (F)
.:
.
M(F)
M(F)"
^"
2^Δ
^"
2
Outras condições iniciais do movimento são:
0
0
ou seja, as posições inicial e final do movimento, para
a análise atual, são ambas zero. Podemos então
utilizar a terceira equação para encontrar o tempo:
.
∴0
.
.:
M(F)"
. : M(F)"
^"
. : M(F)8
2
∴ " 0
2 . : M(F)
∴"
^
"5
^"
2
^"
2
0
2,56:
O mesmo tempo poderia ser encontrado
considerando que o tempo de subida é o mesmo de
descida. Utilizando a primeira equação das citadas
considerando
"
"f
]
.:
.$
M(F)
0
metade do tempo total de percurso
$
Temos:
0
∴ "?
.:
M(F)
.:
M(F)
^
Calculando temos:
"?
1,28:
"
2"?
^"? 2,56:
(b) Para calcular a altura máxima podemos considerar
a metade do tempo de percurso calculado no item
anterior. Logo, através da equação das posições
verticais , considerando . 0, "f 1.28: e
]
desejando conhecer a posição final , temos
.:
.
.:
M(F)
6,23C
M(F)
^"?
2
^"?
2
(c) O alcance máximo horizontal da bola é a posição
horizontal, em que a bola se encontrará no instante
em que a bola voltar ao chão, ou seja, no tempo total
de percurso calculado na letra (a). Para isso,
utilizamos a equação do movimento horizontal:
.
O primeiro resultado é o tempo de saída da bola do
chão, o segundo representa realmente a chegada.
Substituindo os valores temos:
"
Que é exatamente metade do tempo de percurso.
Assim
1"
Com
0;
.
Assim, tendo "
∴
. cos(F)
1
. cos(F) "
2,56: temos a posição final
55,43C
(d) Sendo o tempo do alcance máximo, conforme a
resolução da letra (a) expresso por
M(F)
^
e o alcance máximo dado, segundo a resolução da
letra (c) por
"
2
.:
. cos(F) "
podemos substituir aquela nesta obtendo:
2
.:
Para os ângulos pedidos:
M(F) cos(F)
^
mln
1
min
1
:
: Z?
o (o " )
A unidade Hertz significa quantidade de repetições
por segundo. Como o contexto é de rotação, podemos
associar o Hertz a rotações por segundo. Uma outra
unidade de frequência para giros é o RPM (revoluções
ou rotações por minuto). A conversão pode ser feita
utilizando o método do fator unitário:
Repare que o alcance máximo foi obtido para o ângulo
de 45º. Isso se dá somente em situações idealizadas
em que efeitos adversos (resistência do ar, por
exemplo) são desconsiderados.
1 Vp"T 60: ^qM3V:
⋅
1: ^qM3V
1CsMq"V
1o
Logo
1o
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
O movimento circular uniforme é dado por um
movimento em que o móvel descreve uma trajetória
circular de raio com velocidade escalar constante.
A velocidade vetorial do mesmo não pode ser
considerada constante, pois seu vetor velocidade,
tangencial a curva executada, muda constantemente
de direção e sentido ao longo do giro.
O comprimento da circunferência
descrita é dado por
g
2h
Logo, sua velocidade escalar é
dada por
g
Δ"
2h
Δ"
O tempo necessário para o móvel
descrever uma volta é chamado de período e é
representado por i. Logo, a equação da velocidade
escalar de um móvel em movimento circular uniforme
é dada por
j
k
(15)
A frequência de um movimento circular é a
quantidade de vezes que o giro se repete em um
determinado tempo. Se o período é o tempo de um
giro, a frequência do mesmo é dada por:
(16)
l
?
k
Sendo que, no S.I., sua unidade é
60 Vp"T:
1CsMq"V
60tuv
O móvel em movimento circular está sujeito a uma
aceleração que aponta para o centro da trajetória. A
aceleração, por ser vetorial, não é responsável por
fazer variar o módulo da velocidade ao longo do
tempo, mas sim sua direção e
sentido. Para que o móvel
execute uma trajetória perfeita,
é necessário que a aceleração,
chamada
centrípeta,
esteja
sempre apontada para o centro
ao longo de sua trajetória. Este
vetor aceleração está sempre perpendicular ao vetor
velocidade.
Esta aceleração centrípeta em módulo dado por
(17)
Tw
X]
Esta aceleração será essencial para a compreensão
das forças envolvidas em movimentos circulares no
estudo de dinâmica, que é o próximo tema.
Exemplo de prova de semestres passados:
Uma pessoa está em um carrossel a uma distância de
2,5C do centro do mesmo girando com o mesmo com
velocidade escalar constante. (a) Quanto tempo este
carrossel demora para executar uma volta completa
sabendo que a aceleração centrípeta que a pessoa
sente é de 0,6 @] ? (b) Qual é o período do movimento
se a pessoa vai para um outro ponto no carrossel que
fica a 5,5m do centro do mesmo?
(a) Trata-se de cálculo básico e aplicação de fórmula.
Tw
2h
i
2h
R i S
∴ Tw
Isolando T
i
4h
i
4h
a
Tw
Substituindo e calculado:
i
12,83:
(b) Uma vez que a velocidade do carrossel não muda
pelo fato da pessoa ter assumido uma outra posição
dentro do mesmo, o período do movimento continua
sendo o mesmo.