Eletrostática: O Potencial Elétrico

Eletromagnetismo
Eletrostática: O Potencial Elétrico
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1
Introdução
Os problemas mais simples do eletromagnetismo são aqueles que envolvem cargas elétricas
distribuídas de tal forma que as densidades que descrevem a distribuição de cargas não se alteram
com o tempo. Admitimos igualmente que, na mesma região do espaço, os campos magnéticos
(se existirem) são, igualmente, estáticos. É nesse sentido que utilizamos a palavra estática.
As duas condições enunciadas acima podem ser resumidas assim:
 ∂ρ

=
0 

 ∂t




 ∂B

=
B ( x, y , z, t ) B=
0 
( x, y , z )

 ∂t

ρ ( x, y , z, t ) =
ρ ( x, y , z )
( 1 )
O campo magnético acima citado (caso exista) não teria sido provocado pelas cargas estáticas
aludidas acima. Assim, a situação mais comum na eletrostática é o campo magnético ser nulo. Consideraremos neste capítulo só esse caso. Escrevemos:

B=0
( 2 )
Cargas elétricas em repouso produzem dois tipos de campos. O primeiro deles - o campo denominado potencial elétrico - será tratado neste capítulo. No entanto, antes de introduzi-lo devemos
abordar o próprio conceito de campo.
O conceito de Campo
A rigor, não há necessidade de os corpos estarem em contato para que eles interajam entre si.
Em particular, todas as interações fundamentais são interações à distância.
Para descrevermos interações à distância, fazemos uso do conceito de campo. Com isso queremos
dizer que, nas formulações mais gerais e abrangentes dos fenômenos físicos, lançamos mão desse
conceito. Esse é o caso, por exemplo, da teoria da gravitação formulada por Einstein e da teoria
eletromagnética formulada por Maxwell.
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Conquanto o conceito de campo seja um pouco abstrato, ele é um conceito fundamental e que
permeia toda a Física, da Física Clássica à Física Quântica.
A ideia de descrever as interações utilizando campos parte do pressuposto de que um objeto
(uma partícula, um átomo, uma maçã etc.) altera, com a sua mera presença, as propriedades do
espaço. A descrição dessa alteração nas propriedades do espaço se dá através do campo, que
ocupa todo o espaço.
O campo abriga o conteúdo de informações, do ponto de vista das interações, que se pode extrair
a respeito de objetos existentes numa determinada região do espaço. Isso se torna verdadeiro na
medida em que os objetos interagem entre si através dos campos gerados por eles. Nesse sentido,
a interação com o campo é equivalente à interação com aquilo que o produziu.
É importante ressaltar que o campo existe independentemente da existência de outros objetos
que interajam com ele.
Dito de outra forma, quando uma partícula se encontra numa determinada região do espaço
em que ela experimenta a ação de uma força, pode-se argumentar que a partícula se move numa
região que tem características especiais. O campo, nessa visão, seria uma propriedade de uma região
do espaço e essa propriedade é independente da existência das partículas que se movam nela.
A esse algo de especial existente em cada ponto do espaço, e que dá origem à força sobre uma
partícula num determinado ponto do espaço, denominamos campo. Nessa forma de encarar os
fenômenos, o agente que é responsável pela interação entre as partículas é o campo.
Consideremos um caso relativamente simples: o nosso planeta. A Terra exibe três tipos de campo:
um campo é denominado campo gravitacional;o outro, campo elétrico e; finalmente, o campo magnético. Assim, os constituintes da Terra (os agregados de átomos) produzem campos que preenchem
o espaço físico à sua volta. Esses campos são ilustrados nas figuras abaixo.
Campos gravitacional, elétrico e magnético da Terra.
2
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Um objeto próximo à superfície terrestre, como uma maçã ou uma bússola, interage com a
Terra através de um ou mais desses campos. O resultado da interação de um objeto com o campo
gravitacional terrestre é o movimento dos projéteis. A queda de uma maçã é um exemplo simples.
O movimento dos satélites já não é tão simples assim. A interação de uma agulha imantada com o
campo magnético da Terra resulta na sua orientação ao longo de direções preferenciais. Ela sempre
se orienta na direção dos polos.
Cargas elétricas geram Campos
O conceito de campo desempenha um papel central no eletromagnetismo bem como em relação
às demais interações e isso porque não há como fazer uma descrição dos fenômenos elétricos e
magnéticos sem fazer uso de tal conceito. Numa linguagem científica mais precisa, dizemos que
os atributos dos constituintes geram campos. Assim, uma partícula como o elétron gera, com sua
mera presença, campos ditos eletromagnéticos. A interação com os demais objetos dotados do
mesmo atributo se dá por meio deles. Essa é a base da descrição das interações eletromagnéticas.
Assim, objetos dotados de atributos como a carga elétrica produzem campos que ocupam o
espaço físico. Os demais objetos dotados do mesmo atributo interagem com os primeiros por meio
desse campo. Assim, não há como falar dos fenômenos eletromagnéticos sem introduzir o conceito
de campo. Em particular, as leis do eletromagnetismo são expressas em termos de taxas de variação
pontual ou taxas de variação instantânea de campos.
No eletromagnetismo devemos falar em dois tipos de campos fundamentais denominados
potenciais. O potencial elétrico (que é um campo escalar) e o potencial vetor. Os demais campos,
como o campo elétrico e o campo magnético, são, a rigor, derivados desses dois.
Para entendê-los consideremos duas situações fisicamente relevantes. Na primeira, as cargas
elétricas ocupam posições fixas. Dizemos que temos uma situação estática. Nessas circunstâncias
dizemos que as cargas geram um potencial eletrostático, o qual será representado pela letra V.
Em geral, o potencial depende do ponto do espaço e do tempo. Como regra geral, escrevemos:
V = V(x, y, z, t)
( 3 )
Uma partícula em repouso (ou mais
partículas) gera campos: o campo
elétrico e o potencial escalar.
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4

Quando as cargas estão em movimento, elas geram ainda outro campo: o potencial vetor A. Ele é
dependente dos pontos do espaço e, eventualmente, do tempo. Escrevemos, nessas circunstâncias:
 
A = A ( x, y , z, t )
( 4 )
Cargas elétricas em repouso geram um potencial num ponto P do espaço

(o potencial elétrico). Sendo r o vetor de posição associado a ele, o potencial
elétrico será representado por:

V (r )
( 5 )
Unidades
A unidade de potencial no sistema Internacional de medidas (ou o MKSA) é o Volt.
Superfícies Equipotenciais
O lugar geométrico dos pontos do espaço para os quais o potencial é constante,
V(x, y, z) = V0
( 6 )
é uma superfície. Como os pontos sobre essa superfície estão, todos, sujeitos ao mesmo potencial,
tais superfícies são denominadas equipotenciais.
Recursos interativos
• http://www.cco.caltech.edu/~phys1/java/phys1/EField/EField.html
• http://www.falstad.com/vector3de/directions.html
A superfície que contém as linhas azuis é
uma “equipotencial”. Todos os seus pontos,
pertencentes ou não às linhas, possuem
o mesmo potencial elétrico, ou seja, em
qualquer ponto de coordenadas x, y e z, o
potencial V(x, y, z) = V0.
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5
Superfícies equipotenciais são importantes na eletrostática, especialmente em se tratando de
condutores. No caso de um condutor perfeito, pode-se mostrar que a superfície do próprio condutor
é uma superfície equipotencial.
Um condensador é um dispositivo nos quais temos duas superfícies equipotenciais. No caso de
um condensador de placas paralelas, as duas superfícies são planos paralelos.
a
Potencial e Energia Potencial
É fácil explicar a relação do potencial com a energia potencial. Para tanto, consideremos uma
partícula que se mova numa determinada região do espaço, e na qual ela experimenta a ação de
uma força conservativa. Nesse caso, a energia mecânica é conservada. Escrevemos a energia mecânica (E) como a soma de duas parcelas:
mv 2
=
E
+ U ( x, y , z )
2
b
( 7 )
O primeiro termo é denominado energia cinética e depende do quadrado da velocidade da
partícula e da sua massa:
Ec =
mv 2
2
( 8 )
Como se nota na expressão acima, a energia cinética está relacionada com o estado de movimento do corpo (derivando daí o termo “cinética”).
A segunda contribuição para a energia mecânica é a energia potencial,a qual escrevemos sob a forma:
Ep = U(x, y, z)
( 9 )
Observe que o fato de essa forma de energia depender da posição é o que confere a ela o nome de
energia potencial, ou seja, energia associada à posição da partícula. No caso em que a partícula se move
sob a ação de uma força elétrica, a energia potencial recebe o nome de energia potencial eletrostática.
Tendo em vista que a energia mecânica é conservada, é de se esperar que, ao longo do movimento, uma forma de energia se converta, continuamente, em outra forma de energia. Quando
atiramos uma pedra para o alto, imprimimos uma energia cinética a ela, a qual irá se reduzindo
Superfícies equipotenciais de duas cargas de
sinal oposto (a) e de um condensador de placas
planas paralelas (b).
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paulatinamente até que ela atinja o ponto mais alto. Nesse ponto de altura máxima, a energia
cinética será mínima. Consequentemente, a energia cinética foi convertida em parte em energia
potencial. A partir do momento em que a pedra inicia o movimento descendente começa a fase do
movimento em que existe conversão de energia potencial em energia cinética.
O exemplo acima não é um caso particular. Em geral, vale a premissa de que, nos pontos para os
quais a energia potencial é mínima, a energia cinética será máxima. E vice-versa. Esse é o princípio
de funcionamento das montanhas russas num parque de diversões.
O potencial eletrostático, assim como o campo eletrostático, pode ser pensado como uma propriedade da região do espaço. Essa propriedade é independente da existência das partículas que se
movam nela. A essa propriedade associada ao ponto do espaço, e que agora está relacionado à
energia da partícula, damos o nome de Potencial elétrico.
Da forma que a energia potencial eletrostática não dependa da partícula que se mova numa
dada região do espaço, definimos o potencial eletrostático como o quociente da energia eletrostática pela carga elétrica, isto é:
U(x, y, z) = qV(x, y, z)
( 10 )
Em outras palavras, o potencial eletrostático é dado pela razão entre a energia eletrostática e a
carga da partícula. E isso assegura que o potencial não dependa da existência de partículas que se
movam no espaço. Ele tem uma existência própria.
Campos Gerados por uma Carga
Elétrica em Repouso
Para o bom entendimento do caso geral, consideremos uma partícula de carga Q localizada

num ponto P′ do espaço caracterizado pelo vetor de posição r ' de coordenadas (x', y', z'). Essa

partícula gera um campo potencial elétrico de tal forma que, num ponto P cujo vetor posição é r
(coordenadas (x, y, z)), ele pode ser escrito como

=
V (r )
Q
1
Q
1
=
 
4 πε0 r − r ′ 4 πε0 d ( P, P′)
( 11 )
 
onde |r − r '| = d(P, P') é a distância entre os pontos P e P' (veja figura), e ε0 é a permitividade do vácuo.
Uma carga elétrica no ponto P′ produz um
potencial elétrico no ponto P o qual depende
da distância entre eles.
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Admitiremos que a expressão (11) seja uma lei fundamental e única da eletrostática, isto é, ela
não pode ser derivada de outras. A seguir, veremos que ela leva à lei de Coulomb, e esta é tida muitas vezes como a lei fundamental da eletrostática.
Se a mesma partícula estiver embebida num meio material (como a água) caracterizado por
uma permitividade ε, a expressão acima é dada por:

=
V (r )
Q
1
Q
1
=
 
4 πε r − r ′ 4 πε d ( P, P′)
( 12 )
De agora em diante, admitiremos que o meio no qual a partícula se encontra seja o vácuo,
lembrando, no entanto, que, se considerarmos um meio qualquer, basta substituir, nas fórmulas
seguintes, o valor da permitividade do vácuo pela constante permitividade do meio.
Sabemos da Geometria Euclidiana que a distância entre dois pontos do espaço pode depender
das coordenadas desses pontos de acordo com a expressão:
d ( P, P′)=
( x − x′)
2
+ ( y − y ′) + ( z − z ′)
2
2
( 13 )
Assim, podemos expressar o potencial elétrico produzido no ponto de coordenadas (x, y, z), devido à existência de uma carga puntiforme localizada no ponto de coordenadas (x', y', z') como função das coordenadas desses dois pontos, ou seja, a expressão (11) pode ser escrita assim:
V ( x , y. z ) =
Q
4 πε0
1
( x − x′)
2
+ ( y − y ′) + ( z − z ′)
2
2
( 14 )
As superfícies equipotenciais associadas ao potencial ( ) são esferas concêntricas adotando-se o
ponto P’ como o centro delas (veja figura).
As circunferência tracejadas são intersecções das superfícies esféricas equipotenciais associadas
ao potencial elétrico gerado pela carga Q com a superfície z = 0.
Os pontos de cada esfera ou circunferência tem o mesmo potencial elétrico, pois distam igualmente da carga Q.
exercício resolvido 
Superfícies equipotenciais, no plano xy associadas a uma carga puntiforme localizada na
origem do referencial.
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Campos produzidos por uma distribuição discreta
de cargas
O princípio da superposição assegura que o potencial eletrostático, quer seja de uma distribuição
discreta ou contínua de cargas, é dado pela soma dos potenciais produzidos pelas partes. Assim, o
  

potencial produzido por N cargas, cujos valores são Q1, Q2, Q3, ... QN , localizadas em r1 , r2 , r3 , ⋅⋅⋅⋅ rN é
dado pela soma dos potenciais produzidos pelas cargas elétricas individuais:
N
1
Qi
1 N Qi
=
 
 
4 πε0 r − ri 4 πε0 i 1 r − ri
=i 1 =

=
V (r )
∑
∑
( 15 )
o qual, quando escrito em termos das coordenadas cartesianas, se escreve como:
V ( x, y , z ) =
N
∑
i =1
Qi
4 πε0
1
(( x − xi )
2
+ ( y − yi ) + ( z − zi )
2
1
2 2
)
( 16 )
Como veremos a seguir, as expressões para o potencial eletrostático que resulta de uma distribuição estática de cargas são mais simples que a dos campos eletrostáticos, pois nesse caso estamos
falando de uma grandeza escalar. Temos, no caso do potencial, apenas um campo escalar e não um
campo vetorial com três componentes.
exercícios resolvidos 
Cargas em diferentes pontos do
espaço geram um potencial no
ponto P.
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Potencial e Campo de duas Cargas de sinais opostos
A título de exemplo, consideremos o caso de duas cargas elétricas de sinais opostos. Seja Q o
módulo dessas cargas. Consideremos a situação descrita pela figura, na qual a carga de sinal positivo
se encontra na posição z = d (as demais coordenadas iguais a zero) e a carga negativa se encontra
no eixo z e com coordenada z = −d. Nessas circunstâncias, o potencial para um ponto arbitrário no
espaço,cujas coordenadas são (x, y, z), será dado pela expressão:
=
V ( x, y , z )

Q 
4 πε0 

1
(z − d )
2
+ ( y) + ( x)
2
2
−


2
2
2 
( z + d ) + ( y ) + ( x ) 
1
( 17 )
Duas cargas a uma distância d localizadas ao longo do eixo z.
Ao olhar a expressão anterior podemos constatar que, para z = 0, o potencial se anula:
V(x, y, 0) = 0
As superfícies equipotenciais são dadas pela figura.
( 18 )
Linhas de força de um dipolo.
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10
Potencial produzido por uma
distribuição contínua de cargas
Para uma distribuição contínua de cargas, aplicamos o princípio da superposição considerando
as contribuições associadas a volumes infinitesimais da distribuição de cargas e, então, efetuamos
a soma. Resulta que, se a distribuição volumétrica for caracterizada pela densidade ρ(x, y, z), o

potencial gerado por tal distribuição no ponto r é dado pela integral de volume:
V ( x, y , z )
1
4 πε0
∫∫∫
V
ρ ( x ′, y ′, z ′)
(( x − x′)
2
+ ( y − y ′) + ( z − z ′)
2
)
dx ′dy ′dz ′ ≡
1
2 2
1
4 πε0
∫∫∫
V

ρ ( r ′)
  dV ′
r − r′
( 19 )
onde a integral de volume deve ser efetuada sobre o volume V que contém a distribuição de cargas.
Para o caso de cargas distribuídas ao longo de uma superfície, caracterizada pela densidade
superficial e distribuição superficial σ, o potencial gerado por uma tal distribuição é dado por:
V ( x, y , z )
1
4 πε0
∫∫
S
σ ( x ′, y ′, z ′)
(
1
dS ′ ≡
Este ícone indica1 que há4um
πε0
2
2
2
y ′) +relativo
( x − x′) + ( y −vídeo
( z − z′) ao2 conteúdo
)
∫∫
S′

σ ( r′)
  dS ′
r − r′
( 20 )
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A integral agora deve ser efetuada como uma
sobre as contribuições de todos os pontos
da superfície que contêm a distribuição. 
exercício resolvido 
O caso de uma distribuição linear de cargas é uma simples extensão dos resultados anteriores.

O potencial no ponto r, r , agora se escreve como a integral: 
V ( x, y , z )
1
4πε0
∫
Γ
λ ( x ′, y ′, z ′)
(( x − x′)
2
+ ( y − y ′) + ( z − z′)
2
exercício resolvido 
1
2 2
)
dl ′ ≡
1
4πε0
∫
Γ
λ ( r′)
  dl ′
r − r′
( 21 )
Cargas podem ser distribuidas no
espaço ou em superficies.
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11
Comportamento a Grandes Distâncias:
Momento de Dipolo Elétrico de
uma distribuição de cargas
Analisemos o comportamento do potencial elétrico quando consideramos pontos localizados a
grandes distâncias da distribuição de cargas elétricas. Dada uma distribuição de cargas caracterizada

por uma densidade ρ(r ), o potencial elétrico produzido por tal distribuição é dado pela expressão
(19). Ele pode ser reescrito sob a forma:

V (r ) =
1
4 πε0
∫∫∫
V

ρ ( r ′)
dV ′
 
2 1/2


′
′
r r r
r 2 1 − 2 + 2 
r
r 

( 22 )
Grandes distâncias da fonte, da distribuição de cargas elétricas, significam a seguinte condição:
r′
1
r
( 23 )
onde r' é a distância até um ponto qualquer sobre a distribuição de cargas elétricas e r é a distância
até o ponto do espaço.
O comportamento dos potenciais a grandes distâncias pode ser inferido com bastante precisão
a partir da aproximação:
 
1
r r′
≅
1
+
1/2
 
r2
 2 r  r ′ r ′2 
1 − 2 + 2 
r
r 

( 24 )
E, portanto, o potencial elétrico pode ser determinado, substituindo-se (24) em (22), com bastante
precisão como uma soma de dois termos:

=
V (r )
 
Q
p r
+
4 πε0 r 2 4 πε0 r 3
( 25 )
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12
onde Q é a carga total da distribuição e é o momento de dipolo elétrico da mesma distribuição,
a saber:

=
p


∫∫∫ r′ρ ( r′)dV ′
( 26 )
V
Diferenças de Potencial
Em geral, não temos como determinar o potencial num determinado ponto. É mais factível determinar diferenças de potencial. Isso ocorre porque, quando existem diferenças de potencial numa
determinada região, criam-secondições para o movimento de cargas nela localizadas. A partir das
forças podemos determinar as diferenças de potencial.
A diferença de potencial entre dois pontos, A e B, é dada pela diferença entre a função potencial
elétrico calculada nesses dois pontos, ou seja:


∆V = VB − VA = V ( rB ) − V ( rA )
( 27 )
Consideremos diferenças de potenciais bem pequenas, ou seja, consideremos variações infinitesimais das coordenadas.
Uma variação infinitesimal é definida como a diferença da função para pontos do espaço muito
próximos. Para escrevermos uma expressão para a variação infinitesimal, consideremos a variação

entre dois pontos que se distinguem pelo vetor deslocamento Δr (veja figura).



∆V ≡ V ( r + ∆r ) − V ( r )
( 28 )
Vamos agora expandir a grandeza escalar


V ( r + ∆r ) ≡ V ( x + ∆ x, y + ∆y , z + ∆z )
( 29 )
em potências das variações (Δx, Δy, Δz) utilizando para isso a expansão de Taylor para funções de
muitas variáveis:
V ( x + ∆x, y + ∆y=
, z + ∆z ) V ( x, y , z ) +
∂V
∂V
∂V
1 ∂ 2V 2 ∂ 2V
∆x +
∆y +
∆z +
∆x +
∆x∆y + ...........
∂x
∂y
∂z
2 ∂2 x
∂x∂y
( 30 )
Os pontos A e B têm o mesmo potencial, pois
suas distâncias até onde a carga Q se localiza é
a mesma.
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13
Assim, até termos de primeira ordem, podemos escrever:
∆V ( x, y , z ) ≅
∂V
∂V
∂V
∆x +
∆y +
∆z
∂x
∂y
∂z
( 31 )
Donde concluímos, pela definição do gradiente, que para valores infinitesimais dos deslocamentos
podemos escrever:


dV =∇V ⋅ dr
( )
( 32 )
onde, nessa notação, escrevemos:

∂V  ∂V  ∂V 
∇V=
i+
j+
i
∂x
∂y
∂z
( 33 )
Outra propriedade importante em relação à variação infinitesimal é a de que a integral sobre tais
variações dá a diferença de potencial entre os pontos considerados:
B


dV V ( rB ) − V ( rA )
∫=
( 34 )
A
Definimos o campo elétrico como o campo vetorial obtido a partir de derivadas do potencial, ou
seja, o campo elétrico é definido por:


∂V  ∂V  ∂V 
E ≡ −∇V = −
i−
j−
i
∂x
∂y
∂z
exercícios resolvidos 
( 35 )
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Exercício resolvido: Potencial produzido por uma
distribuição contínua de cargas
Exercício
Determine o potencial gravitacional e o campo gravitacional de uma distribuição de cargas, de
massa total M, de tal forma que ela esteja inteiramente concentrada numa casca esférica de raio R
e com densidade constante.
Resolução
A densidade superficial de uma distribuição da carga total é, desde que constante, dada por:
σ=
M
4 πR 2
( 36 )
Adotando-se o referencial de tal forma que a origem do referencial tenha o seu eixo z passando
pelo ponto no qual se quer determinar, então, a distância desse ponto até um ponto sobre a distribuição pode ser escrita como:
 
r − r ′=
x ′2 + y ′2 + ( z − z ′)
2
( 37 )
Utilizando as coordenadas esféricas, e lembrando que
x′2 + y ′2 + z ′2= R 2
e
z ′= R cos θ
( 38 )
a distância entre o ponto e aquele localizado sobre a esfera pode ser escrita como:
 
′
r − r=
z 2 − 2 zR cos θ2 + R 2
( 39 )
Uma área na superfície esférica associada a valores infinitesimais dos ângulos θ e φ pode ser
escrita, de acordo com a figura, como:
dS = R 2 senθdθdφ
( 40 )
Elemento infinitesimal de superfície esférica.
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15
Assim, o potencial pode ser escrito como:
V ( z ) =−GσR 2
∫
2π
0
dϕ
∫
π
0
sen θ
dθ
2
z − 2 zR cos θ + R 2
( 41 )
Efetuando a integração, trivial, sobre a coordenada φ, obtemos:
V ( z ) =−GσR 2 2 π
∫
π
0
dθ
sen θ
2
z − 2 zR cos θ + R 2
( 42 )
É fácil verificar que
∫ dθ
sen θ
1
=
z 2 − 2 zR cos θ + R 2
2
zR
z − 2 zR cos θ + R
2
( 43 )
Donde obtemos:
∫
π
0
dθ
sen θ
1 
=
2
zR 
z − 2 zR cos θ + R
2
( z + R)
2
( z − R )=
2
−

1
 z + R − z − R 
zR 
( 44 )
E, portanto, lembrando a relação (41), podemos escrever o potencial sob a forma:
V ( z ) =−GM
1
 z + R − z − R 
2 zR 
( 45 )
Para os pontos externos à distribuição, o potencial é dado por:
V ( z ) = −GM
1
z
( 46 )
ou seja, o potencial varia com o inverso da distância do ponto até a origem:
V ( r ) = −GM
1
r
( 47 )
Para os pontos internos à distribuição, o potencial, de acordo com a expressão (45), é constante e
dado pelo valor dele na superfície da distribuição de massas:
V ( r ) = −GM
1
R
( 48 )
Neste caso, o potencial elétrico em um ponto P
distante r ≥ R (raio da esfera) é o mesmo que o
de uma carga puntiforme localizada na origem
e de valor igual a Q.
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16
Exercício
Determine o campo elétrico, num ponto fora da distribuição, devido à existência de cargas
distribuídas de uma forma uniforme, com densidade σ0 sobre um plano infinito.
Resolução
Para facilitar o cálculo, consideramos a distribuição como se estivesse no plano
z′ = 0
a
Ademais, podemos sempre tomar um referencial de tal forma que as coordenadas do ponto no
qual queremos determinar o campo sejam (veja figura):
x = 0, y = 0
Considerando-se o referencial da figura, o campo elétrico pode ser escrito como:




σ0
x ′i + y ′j + zk
E ( x, y , z ) =
dx ′dy ′
3
4 πε0 S
2
2
2 2
x′ + y ′ + z
∫∫
(
)
( 49 )
b
Como as integrais das componentes x e y envolvem integrais de funções ímpares, essas componentes são nulas:
Ex(x, y, z) = Ex(x, y, z) = 0
Para o cálculo da única componente não nula, efetuamos uma mudança de variáveis (de coordenadas cartesianas para polares) e obtemos:

=
E ( x, y , z )
∞ ∞
∞ 2π
σ0 
σ0 
ρd ρ d ϕ
dx ′dy ′
=
zk
zk
3
3
4πε0 −∞ −∞ 2
4πε0 0 0 2
2
2 2
2 2
′
′
ρ +z
x +y +z
∫∫
(
∫∫
)
(
)
∞
∞

ρd ρ
σ0 
−1
σ0 z 
2πσ0 
=
=
=
E ( x, y , z )
zk
zk
k
3
2
2
ε
ε
z
4 πε0
2
2
0
0
2
2
ρ
+
z
0 ρ +z 2
0
∫
(
)
(
)
( 50 )
Referencial cartesiano adotado para determinar
o campo elétrico produzido por uma placa
plana carregada e infinita.
Eletromagnetismo » Eletrostática: O Potencial Elétrico
17
O campo elétrico é, portanto, constante e perpendicular à superfície (veja figura 000). O vetor
campo elétrico aponta para a placa se as cargas forem negativas ou, no caso de cargas positivas, o
vetor tem o sentido oposto.
Exercício
Um fio de comprimento 30 cm tem 90 × 10−3 C de cargas em excesso, distribuídas uniformemente
ao longo desse fio. Qual é o valor do potencial elétrico num ponto localizado a uma distância d acima
de uma das suas extremidades?
Resolução
A partir dos dados do enunciado, podemos concluir que a densidade linear de cargas é uniforme
e dada pela relação entre a carga total e o comprimento do fio:
λ = Q/L = (90 × 10−3)C/(30 cm) = 3 × 10−3 C/cm = 300 × 10−3 C/cm
( 51 )
Utilizando o referencial da figura, concluímos que a distância r de um ponto sobre o fio é a hipod
x 2 + d 2 , onde x é a coordenada, ao longo do fio, do elemento
tenusa do triângulo de catetos x e=
de carga infinitesimal.
Portanto, de (000), concluímos que o potencial é dado pela soma:
V = k ∫ dq r = k ∫ ( λdx )
(
)
x 2 + d 2 = k λ ∫ ( dx )
(
)
x2 + d 2 .
( 52 )
Os limites de integração são: x = 0 até x = L, coordenadas essas associadas aos pontos A e B
(as extremidades do fio), abrangendo todo o comprimento do fio. Então, substituindo λ = Q/L e,
de acordo com o princípio da superposição, concluímos que:
=
V
L
( k Q L ) ∫ dx
0
x2 + d 2
( 53 )
Pedaço de fio com densidade linear
de carga uniforme.
Eletromagnetismo » Eletrostática: O Potencial Elétrico
18
Consultando uma tabela de integrais, encontramos:
L
∫ dx
0
)
(
L
) (
(
x 2 + d 2 = ln x + x 2 + d 2  = ln L + L2 + d 2 − ln 0 + 0 + d 2

 0
)
( 54 )
Donde inferimos que:
=
V
L
=
x2 + d 2
( k Q L ) ∫ dx
0
kQ  L + L2 + d 2
.ln 

L
d


,


( 55 )
ou seja, o potencial elétrico gerado pela carga Q no fio de comprimento L, no ponto P, é:
V=
kQ  L + L2 + d 2
.ln 

L
d





( 56 )
Eletromagnetismo » Eletrostática: O Potencial Elétrico
19
Exercícios resolvidos: Campos Gerados por uma Carga
Elétrica em Repouso
Exercício
Considere uma carga elétrica pontual Q = + 2 μC no espaço. Determinar o potencial elétrico por
ela gerado no ponto P(0,80 m; 0,60 m; 0,70 m) quando a carga Q estiver em repouso e localizada
nos seguintes pontos do espaço:
a. Carga Q localizada no ponto de coordenadas P’( 0; 0; 0,20 m).
b. Carga Q localizada na origem do referencial.
Resolução
a. Potencial no ponto P como resultado de estar a partícula localizada no ponto P’.
Substituindo-se na equação (000) as coordenadas do ponto P’(0; 0; 0,20 m), o potencial gerado
por Q em pontos de coordenadas (x, y, z) assim se escreve:
kQ
=
2
2
2
( x − 0 ) + ( y − 0 ) + ( z − 0,20 )
=
V ( x, y , z )
kQ
x + y + ( z − 0,20 )
2
2
2
( 57 )
Para o ponto P(0,80 m; 0,60 m; 0,70 m), o potencial é:
 Nm 2 
9 × 109  2  ( 2 × 10−6 C )
18 × 103
 C 
= ≅ 16.100 ( N.m/C ) =
V (P) =
16,1 kV
2
2
2
1,25
( 0,80 m ) + ( 0,60 m ) + ( 0,70 − 0,20 ) m 
( 58 )
b. Potencial no ponto P como resultado de a partícula estar localizada na origem.
Nessa nova situação, a carga Q encontra-se na origem, ou seja, P’(0,0,0). Então, o potencial gerado
por Q em qualquer ponto de coordenadas (x, y, z) é:
V ( x, y , z ) =
kQ
x + y + (z)
2
2
2
, onde x 2 + y 2 + z 2 = d = distância da origem até o ponto P(x, y, z).
Eletromagnetismo » Eletrostática: O Potencial Elétrico
20
Assim, o novo potencial no ponto P é:
=
V (P)
 Nm 2 
9 × 109  2  × 2 × 10−6 C
18 × 103
 C 
= = 14.750
=
N C 14,7 kV
2
2
2
1,49
( 0,8 m ) + ( 0,6 m ) + ( 0,7 m )
( 59 )
• Superfície equipotencial
A distância do ponto P(x, y, z) à origem é d = x 2 + y 2 + z 2 ; para x = 80 cm, y = 60 cm e z = 70 cm, ela é
d = 14.900 cm ≅ 122 cm. Existem infinitos pontos cuja distância à origem é d = ~55 cm ≅ 122 cm.
Esses pontos pertencem à superfície esférica, concêntrica com a carga Q e com raio R = d.
Todos os pontos da superfície esférica de raio 122 cm, concêntrica com Q (que está na origem),
têm coordenadas tais que x 2 + y 2 + z 2 = d = R; em todos esses pontos, o potencial elétrico gerado
pela carga Q é V = kQ/d. Portanto, essa superfície é uma equipotencial.
Os pontos da superfície esférica de raio R = d =
x 2 + y 2 + z 2 têm
o mesmo potencial elétrico. Essa superfície é “equipotencial”.
Eletromagnetismo » Eletrostática: O Potencial Elétrico
21
Exercícios resolvidos: Campos produzidos por uma
distribuição discreta de cargas
Exercício
Considere uma distribuição de cargas elétricas como a esboçada na figura.
As cargas pontuais Q1, Q2 e Q3 têm intensidades iguais a q e estão fixas nos vértices de um prisma
retangular.
a. Determine o potencial elétrico resultante na origem do referencial cartesiano.
b. Qual a carga que, fixada em P, anula o potencial no ponto 0.
Resolução
a. Potencial elétrico na origem do referencial cartesiano
Pelo princípio da sobreposição, o potencial na origem do referencial [o ponto de coordenadas
(x = y = z = 0)] é a soma algébrica dos potenciais que cada carga gera nesse ponto.
As cargas estão localizadas nos pontos de coordenadas A(0; 0; 0,25 m); B(0; 0,50 m; 0) e C(0,50 m; 0; 0).
Vamos calcular cada um deles fazendo uso da expressão geral do potencial calculado na origem resultante de uma carga Q localizada num ponto arbitrário P’ de coordenadas (x′, y′, z′) . Tal expressão é:
=
VP′ ( 0,0,0 )
Q
1
= Qk
2
4 πε0 ( 0 − x ′) + ( 0 − y ′)2 + ( 0 − z ′)2
1
( x′)
2
+ ( y ′) + ( z ′)
2
2
( 60 )
Para simplificar o cálculo, basta lembrar que o potencial depende apenas da distância d entre
a carga e o ponto onde se deseja determinar o potencial. Lembrando que Q1 = Q2 = Q3 = q, e
substituindo, na expressão anterior, os valores das coordenadas de cada um dos pontos, concluímos, então, que o resultado é dado por:
V0 =∑ i Vi =k Q1 d1 + k Q2 d 2 + k Q3 d 3
3
( 61 )
As posições das cargas neste exemplo são:
Q1(xA ,yA,zA); Q2(x B,y B,zB ) e Q3(xC ,yC ,zC ) . Cada
carga gera um potencial num ponto do espaço
P(x,y,z). O resultado, de acordo com o princípio
da superposição, é a soma dos potenciais
gerados pelas diversas cargas elétricas.
Eletromagnetismo » Eletrostática: O Potencial Elétrico
22
Carga
Distância da carga ao ponto 0
Q1 = q
Q2 = q
Q3 = q
0,25 m
0,50 m
0,50 m
V = kQ/d
kq/0,25 = 4kq
kq/0,50 = 2kq
kq/0,50 = 2kq
V0 = 4kq + 2kq + 2kq = 8kq
b. Quarta carga que, fixada em P, anula o potencial na origem do referencial
Trata-se de determinar o valor de uma quarta carga Q4 que, colocada no ponto P(50 cm; 50 cm;
25 cm) (veja figura), torna nulo o potencial resultante na origem (x = 0, y = 0, z =0).
Assim, V4 + V0 = 0 → V4 = −V0 = − 8kq. Como V4 = kQ4/d4 e
d4 =
x2 + y2 + z2 =
( 50 )
2
+ ( 50 ) + ( 25) =
2
2
3175 = 75 cm = 0,75 m,
( 62 )
tem-se kQ4/(0,75) = −8kq → Q4 = 6q.
Resumindo: uma carga Q4 = 6q, fixa no ponto P, torna nulo o potencial elétrico no ponto 0.
Exercício
Determine a energia potencial eletrostática (ou elétrica) do sistema de três cargas alinhadas e distribuídas de acordo com o esquema da figura, dado que Q = 4 × 10−3 C, Q1 = −2 × 10−3 C e Q2 = −2 × 10−3 C.
Três cargas alinhadas ao longo do eixo x.
Resolução
A energia potencial elétrica de um sistema de cargas é a soma da energia potencial de cada um
dos pares de cargas do sistema. O sistema das cargas (Q, Q1 e Q2) forma 3 pares, a saber:
I) Q e Q1; II) Q e Q2 e III) Q1 e Q2. A energia potencial desse sistema será:
U sistema = U 3 cargas = ∑1 Ui = U1 + U 2 + U 3
3
( 63 )
Eletromagnetismo » Eletrostática: O Potencial Elétrico
23
Upar
Par
Q e Q1
Q e Q2
Q1 e Q2
U = k.Q.Q1/d = [(9 × 109 N.m²/C²)(4 × 10−3 C)(−2 × 10−3 C)]/(0,2 m)
U = k.Q.Q2/d = [(9 × 109 N.m²/C²)(4 × 10−3 C)(−2 × 10−3 C)]/(0,4 m)
U = k.Q1.Q2/d = [(9 × 109 N.m²/C²)(−2 × 10−3 C)(−2 × 10−3 C)]/(0,6 m)
− 360 × 10³ J
−180 × 10³ J
+ 60 × 10³ J
Portanto, Usistema = (−360 × 10³ J) + (−180 × 10³ J) + (+60 × 10³ J) = − 480 × 10³ J.
O significado físico de energias negativas de um sistema em interação é o fato de que ele é um
sistema dito ligado. Como consequência, para separar as cargas para longe é necessário fornecer
uma energia mínima para o sistema, cujo valor é igual à sua energia de ligação. Nesse caso, essa
energia mínima para separá-las completamente é dada por E = 480 × 10³ J.
Exercício
O diagrama ao lado esquematiza um sistema de três cargas Q, qB e qC, distribuídas nas posições
A, B e C, conforme a figura. Pode-se pensar essa configuração como se fosse o átomo de Hélio
quando os elétrons estão equidistantes do núcleo e suas posições têm direções formando um
ângulo de 90°. Considerando-se os valores L = 1,5Å (1Å = 10−10 m); e = 1,6 × 10−19 C, determinar:
a. a energia potencial elétrica do átomo de Hélio nessa situação.
b. a energia mínima para dissociar o átomo.
Resolução:
a. A energia potencial elétrica do átomo
O sistema, átomo de Hélio, é formado por três cargas – o núcleo e os dois elétrons –, o que
resulta em 3 pares distintos de cargas. Para determinar a energia potencial do sistema de 3 cargas,
consideramos a soma das energias dos pares:
U 3 cargas = ∑1 Ui = U1 + U 2 + U 3
3
( 64 )
Uma situação clássica para o átomo de Hélio.
Eletromagnetismo » Eletrostática: O Potencial Elétrico
24
Dados:
• L = 1,5 Å=1,5 × 10−10 m);
• e = 1,6 × 10−19 C;
2
2
• BC =d = ( AB ) + ( AC ) = L2 + L2 = 2 L ≅ (1,41) L , tem-se:
Par de cargas
Q
Q − qC
Q − qB
qB − qC
2e
2e
−e
q
d
−e
L
−e
L
−e (1,41)L
Upar cargas = kQq/d
Upar (joules)
k(2e)(−e)/L = − [k/L],2e²
k(2e)(−e)/L = − [k/L],2e²
k(−e)(−e)/(1,41)L = [k/L],(0,707)e²
− 30,72 × 10−19 J
− 30,72 × 10−19 J
+ 10,86 × 10−19 J
Portanto:
 −30,72 × 10−19 J − 30,72 × 10−19 J + 10,86 × 10−19 J  =
−50,58 × 10−19 J
U 3 cargas =
∑1 Ui =
3
−50,58 × 10−19 J
U Hélio =
( 65 )
Sabendo que 1 eV = 1,6 × 10 −19 J , podemos expressar essa energia em eletrovolts. Assim,
UHélio ≅ −47,4 eV.
b. Energia de dissociação do átomo
A energia para dissociar o sistema é aquela que, introduzida no sistema, anula a sua energia
potencial. Com isso podemos assegurar que o núcleo e cada um dos elétrons estarão livres, isto é,
liberados para se mover para onde quiserem. Assim, a energia mínima para dissociar o sistema é
U = + 47,4 eV.
A energia para arrancar apenas um elétron de um átomo, no seu estado de menor energia, é a
sua energia de ionização.
Eletromagnetismo » Eletrostática: O Potencial Elétrico
25
Exercício Resolvido: Diferenças de Potencial
Exercício
Uma esfera metálica de raio R = 5 cm tem excesso de carga Q e está presa a um suporte isolante.
a. Determinar o potencial elétrico na superfície da esfera e nos pontos A (r1 = 20 cm);
B (r2 = 30 cm); C (r3 = 40 cm) e para um ponto infinitamente distante (r = ∞), quando Q = + 50
μC C e Q = − 50 μC (μ = 10−6 C).
b. Determinar a diferença de potencial entre os pontos A e C quando Q = + 50 μC e quando
Q = − 50 μC.
c. Qual a diferença de potencial entre a superfície da esfera e um ponto infinitamente distante dela?
Resolução:
a. Potencial elétrico na superfície da esfera
A expressão V = kQ/r permite calcular o potencial elétrico para pontos r ≥ R = 5 cm. A tabela
resume os cálculos:
Q
+50 μC
−50 μC
Superfície
r = R = 0,05 m
A
(r1 = 0,2 m)
B
(r2 = 0,3 m)
C
(r3 = 0,4 m)
V = 9.000 kV V = 2.250 kV V = 1.500 kV V = 1.125 kV
V = −9.000 kV V = −2.250 kV V = −1.500 kV V = −1.125 kV
Infinito
r=∞
V=0
V=0
Observações:
I. 1 kV = 10³ volts.
II. O sinal do potencial é o mesmo da carga elétrica.
III. O módulo do potencial elétrico é inversamente proporcional a r tanto para Q > 0 quanto para < 0.
Uma esfera metálica carregada
produz campos, nos pontos externos
a ela, como se toda a carga elétrica
nela contida estivesse no centro da
própria esfera.
Eletromagnetismo » Eletrostática: O Potencial Elétrico
26
b. Diferenças de potencial
Como o potencial elétrico é uma grandeza escalar, a diferença de potencial elétrico entre dois
pontos se determina realizando a diferença entre os potenciais de cada ponto. Assim, a diferença
de potencial entre A e C é ΔVAC = VC – VA . Veja tabela a seguir:
Para Q = + 50 μC ΔVAC = 1.125 – 9.000 = – 7.875 kV
Para Q = −50 μC
ΔVAC = –1.125 – (−9.000) = + 7.875 kV
c. Diferença de potencial quando um dos pontos está muito longe da esfera.
A diferença de potencial entre a superfície da esfera e um ponto no “infinito” (significa num ponto
longínquo, adotado como se fosse o infinito) é:
ΔV = V∞ − Vsuperfície
( 66 )
De (000), nota-se que o potencial se anula no infinito, ou seja, ele tende a zero quando a distância
tende para o infinito. Obtemos assim o resultado da tabela abaixo.
Para Q = + 50 μC ΔV(superfície − ∞) = 0 – 9.000 = – 9.000 kV
Para Q = − 50 μC ΔV(superfície − ∞) = 0 – (–9.000) = + 9.000 kV
Eletromagnetismo » Eletrostática: O Potencial Elétrico
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Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
Fotografia: Jairo Gonçalves.
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